Đề thi học kì 2 môn Toán lớp 10 năm 2019-2020 có đáp án – Trường THCS & THPT Nguyễn Tất Thành

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:15

Thêm vào BST

Báo xấu

29
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề thi học kì 2 môn Toán lớp 10 năm 2019-2020 có đáp án – Trường THCS & THPT Nguyễn Tất Thành là tài liệu tham khảo hữu ích cho các bạn chuẩn bị tham gia bài kiểm tra học kỳ 2 sắp tới. Luyện tập với đề thi giúp các em học sinh củng cố kiến thức đã học và đạt điểm cao trong kỳ thi này, mời quý thầy cô và các bạn cùng tham khảo đề thi. Chúc các bạn thành công!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi học kì 2 môn Toán lớp 10 năm 2019-2020 có đáp án – Trường THCS & THPT Nguyễn Tất Thành

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II TRƯỜNG THCS VÀ THPT NGUYỄN TẤT THÀNH Năm học 2019 -2020 ------------------------- Lớp: 10 Mã đề 101 Môn: Toán Thời gian làm bài: 90 phút ----------------------- Phần I. Trắc nghiệm (3điểm) Hãy chọn và ghi lại chữ cái trước đáp án mà em chọn vào bài làm. Câu 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1;3) và B(−3;5) . Phương trình nào dưới đây là phương trình của đường tròn đường kính AB ? A. ( x − 1) 2 + ( y + 4) 2 = 5. B. ( x − 1) 2 + ( y + 4) 2 = 25 . C. ( x + 1) 2 + ( y − 4) 2 = 25 . D. ( x + 1) 2 + ( y − 4) 2 = 5. Câu 2: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình x 2 + y 2 + 2mx − 4(m + 1) y + 4m 2 + 5m + 2 =0 là phương trình của một đường tròn trong mặt phẳng tọa độ Oxy. m < 1  m < −2  m ≤ −2 A. −2 < m < −1 . B.  . C.  . D.  . m > 2  m > −1  m ≥ −1 2 cos 2 x − 1 Câu 3: Rút gọn biểu thức P = ta được cos x + sin x A. P =| cos x − sin x | . B. P = sin x − cos x . C. P = cos x − sin x . D. P = cos x + sin x . Câu 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C ) :( x + 1) 2 + ( y − 2) 2 =9 và đường thẳng ∆ : 3 x + 4 y − 2m + 4 =0 (trong đó m là tham số). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m sao cho đường thẳng ∆ là tiếp tuyến của đường tròn (C ) . Tích các số thuộc tập hợp S bằng: A. −36 . B. 12 . C. −56 . D. −486 . Câu 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C ) : x 2 + y 2 − 2 x + 4 y + 1 =0 . Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của đường tròn (C ) . A. I (−1; 2), R = 2. B. I (−1; 2), R = 4. C. I (1; −2), R = 2. D. I (1; −2), R = 4. π 1 Câu 6: Cho biết < x < π và sin x = . Tính cos x . 2 3 2 2 2 2 2 2 A. cos x = . B. cos x = − . C. cos x = . D. cos x = − . 3 3 3 3 Câu 7: Cho a, b ∈  là hai số thực bất kì. Xét các mệnh đề sau Mệnh đề 1: sin(=a + b) sin a cos b + sin b cos a . Mệnh đề 2: sin(= a − b) sin b cos a − sin a cos b . Mệnh đề 3: cos(=a − b) cos a cos b − sin a sin b . Mệnh đề 4: cos(= a + b) cos a cos b + sin a sin b . Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là: A. 0 . B. 1 . C. 2 . D. 3 . 1 Câu 8: Cho biết sin x + cos x = − . Tính sin 2x . 2 3 3 1 A. sin 2 x = − . B. sin 2 x = . C. sin 2 x = . D. sin 2 x = −1 . 4 4 2
3sin x − 4 cos x Câu 9: Cho biết tan x = 5 . Tính giá trị biểu thức Q = . cos x + 2sin x 19 11 A. Q = 1 . B. Q = . C. Q = −1 . D. Q = . 11 9 x2 y 2 Câu 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip ( E ) : + = 1 . Tiêu cự của elip ( E ) bằng 25 9 A. 4 . B. 8. C. 16 . D. 2 . Câu 11: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm cố định là A(2;0) , B(0; 2) . Cho biết quỹ tích các điểm M thỏa mãn điều kiện MA2 + MB 2 =12 là một đường tròn bán kính R . Tìm R . A. R = 5 . B. R = 4 . C. R = 3 . D. R = 2 . Câu 12: Cho biết sin x + sin y =3 và cos x − cos y = 1 . Tính cos( x + y ) . 1 A. cos( x + y ) = 1. B. cos( x + y ) = −1 . C. cos( x + y ) = 0. D. cos( x + y ) =. 2 Phần II. Tự luận (7 điểm) Câu 1 (2 điểm) 1. Giải phương trình x2 − 2 x + 6 = 2 x −1 . 2. Giải bất phương trình − x 2 + 3x + 4 ≤ x + 1 . Câu 2 (2 điểm) π 1. Cho biết < a < π và tan a = −2 . Tính cos a và cos 2a . 2 2. Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng sin 2 A + sin 2 B + sin 2C = 4sin A sin B sin C . Câu 3 (2,5 điểm) 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x 2 + y 2 − 6 x + 4 y − 12 = 0. a) Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) tại điểm A(−1;1) . b) Viết phương trình đường thẳng ∆ song song với đường thẳng d : 3x − 4 y − 2 =0 và cắt đường tròn (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài đoạn thẳng AB = 8 . x2 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip ( E ) :+ y 2 = 1 . Gọi F1 , F2 là hai tiêu điểm của ( E ) 4 và điểm M ∈ ( E ) sao cho MF1 ⊥ MF2 . Tính MF1 + MF22 và diện tích ∆ MF1 F2 . 2 Câu 4 (0,5 điểm) Cho tam giác ABC có số đo ba góc là A, B, C thỏa mãn điều kiện A B C tan + tan + tan =3. 2 2 2 Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác đều. -------------------------- Hết -------------------------- Ghi chú : - Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. - Học sinh không được sử dụng tài liệu.
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II TRƯỜNG THCS VÀ THPT NGUYỄN TẤT THÀNH Năm học 2019 -2020 ------------------------- Lớp: 10 Mã đề 102 Môn:Toán Thời gian làm bài: 90 phút ----------------------- Phần I. Trắc nghiệm (3 điểm) Hãy chọn và ghi lại chữ cái trước đáp án mà em chọn vào bài làm. Câu 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm M (−1;3) và N (3; −5) . Phương trình nào dưới đây là phương trình của đường tròn đường kính MN ? A. ( x − 1) 2 + ( y + 1) 2 = 16 . B. ( x + 1) 2 + ( y − 1) 2 = 20 . C. ( x + 1) 2 + ( y − 1) 2 = 16 . D. ( x − 1) 2 + ( y + 1) 2 = 20 . 2 Câu 2: Cho biết π < x < 2π và cos x = . Tính sin x . 3 5 5 1 1 A. sin x = − . B. sin x = . C. sin x = . D. sin x = − . 3 3 3 3 Câu 3: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình x 2 + y 2 − 4mx + 2(m − 1) y + 6m 2 − 5m + 3 =0 là phương trình của một đường tròn trong mặt phẳng tọa độ Oxy. m < 1  m < −2 A. −2 < m < −1 . B.  . C. 1 < m < 2 . D.  . m > 2  m > −1 2sin 2 x − 1 Câu 4: Rút gọn biểu thức M = ta được cos x + sin x A. M = cos x − sin x . C. M =| cos x − sin x | . B. M = sin x − cos x . D. M = cos x + sin x . Câu 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C ) : x + y + 4 x − 6 y + 4 = 2 2 0 . Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của đường tròn (C ) . A. I (2; −3), R = 3. B. I (2; −3), R = 9. C. I (−2;3), R = 3. D. I (−2;3), R = 9. x2 y 2 Câu 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip ( E ) : + = 1 . Tiêu cự của elip ( E ) bằng 100 64 A. 6 . B. 12 . C. 2 . D. 4 . 1 Câu 7: Cho biết sin x − cos x =. Tính sin 2x . 3 8 2 8 2 A. sin 2 x = . B. sin 2 x = − . C. sin 2 x = − . D. sin 2 x = . 9 3 9 3 4 cos x − 5sin x Câu 8: Cho biết cot x = 3 . Tính giá trị biểu thức P = . sin x + 2 cos x 11 −11 A. P = −1 . B. P = 1 . C. P = . D. P = . 9 7 Câu 9: Cho a, b ∈  là hai số thực bất kì. Xét các mệnh đề sau a+b a −b b−a a+b Mệnh đề 1: sin a + sin b = 2sin cos . Mệnh đề 2: sin a − sin b = 2sin cos . 2 2 2 2 a+b b−a a+b a −b Mệnh đề 3: cos a + cos b = 2 cos cos . Mệnh đề 4: cos a − cos b = 2sin sin . 2 2 2 2 Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là: A. 3 . B. 1. C. 2 . D. 4 .
Câu 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(3; −1) và B(5; −5) . Cho biết quỹ tích các điểm K 20 là một đường tròn bán kính R . Tính R . thỏa mãn điều kiện KA2 + KB 2 = A. R = 3 . B. R = 5 . C. R = 5 . D. R = 2 . Câu 11: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C ) :( x − 2) + ( y + 1) = 2 2 4 và đường thẳng ∆ : 4 x − 3 y + m + 1 =0 (trong đó m là tham số). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m sao cho đường thẳng ∆ là tiếp tuyến của đường tròn (C ) . Tổng các số thuộc tập hợp S bằng: A. −24 . B. 24 . C. 20 . D. −20 . Câu 12: Cho biết sin x − sin y =1 và cos x + cos y = 3 . Tính cos( x + y ) . 1 A. cos( x + y ) = 0. B. cos( x + y ) = −1 . C. cos( x + y ) =. D. cos( x + y ) = 1. 2 Phần II. Tự luận (7 điểm) Câu 1 (2 điểm) 1. Giải phương trình x2 − 2 x + 6 = 2 x −1 . 2. Giải bất phương trình − x 2 + 3x + 4 ≤ x + 1 . Câu 2 (2 điểm) π 1. Cho biết < a < π và tan a = −2 . Tính cos a và cos 2a . 2 2. Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng sin 2 A + sin 2 B + sin 2C = 4sin A sin B sin C . Câu 3 (2,5 điểm) 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x 2 + y 2 − 6 x + 4 y − 12 =0. a) Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) tại điểm A(−1;1) . b) Viết phương trình đường thẳng ∆ song song với đường thẳng d : 3x − 4 y − 2 =0 và cắt đường tròn (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài đoạn thẳng AB = 8 . x2 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip ( E ) :+ y 2 = 1 . Gọi F1 , F2 là hai tiêu điểm của ( E ) 4 và điểm M ∈ ( E ) sao cho MF1 ⊥ MF2 . Tính MF1 + MF22 và diện tích ∆ MF1 F2 . 2 Câu 4 (0,5 điểm) Cho tam giác ABC có số đo ba góc là A, B, C thỏa mãn điều kiện A B C tan + tan + tan =3. 2 2 2 Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác đều. -------------------------- Hết -------------------------- Ghi chú : - Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. - Học sinh không được sử dụng tài liệu.
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II TRƯỜNG THCS VÀ THPT NGUYỄN TẤT THÀNH Năm học 2019 -2020 ------------------------- Lớp: 10 Mã đề 103 Môn: Toán Thời gian làm bài: 90 phút ----------------------- Phần I. Trắc nghiệm (3 điểm) Hãy chọn và ghi lại chữ cái trước đáp án mà em chọn vào bài làm. x2 y 2 Câu 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip ( E ) : + = 1 . Tiêu cự của elip ( E ) bằng 25 9 A. 8. B. 4 . C. 16 . D. 2 . Câu 2: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình x 2 + y 2 + 2mx − 4(m + 1) y + 4m 2 + 5m + 2 =0 là phương trình của một đường tròn trong mặt phẳng tọa độ Oxy. m < 1  m ≤ −2  m < −2 A.  . B.  . C.  . D. −2 < m < −1 . m > 2  m ≥ −1  m > −1 Câu 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C ) :( x + 1) 2 + ( y − 2) 2 =9 và đường thẳng ∆ : 3 x + 4 y − 2m + 4 =0 (trong đó m là tham số). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m sao cho đường thẳng ∆ là tiếp tuyến của đường tròn (C ) . Tích các số thuộc tập hợp S bằng: A. −486 . B. 12 . C. −56 . D. −36 . Câu 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm cố định là A(2;0) , B(0; 2) . Cho biết quỹ tích các điểm M thỏa mãn điều kiện MA2 + MB 2 = 12 là một đường tròn bán kính R . Tính R . A. R = 2 . B. R = 4 . C. R = 3 . D. R = 5 . 3sin x − 4 cos x Câu 5: Cho biết tan x = 5 . Tính giá trị biểu thức Q = . cos x + 2sin x 11 19 A. Q = . B. Q = . C. Q = 1 . D. Q = −1 . 9 11 Câu 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1;3) và B(−3;5) . Phương trình nào dưới đây là phương trình của đường tròn đường kính AB ? A. ( x − 1) 2 + ( y + 4) 2 = 5. B. ( x − 1) 2 + ( y + 4) 2 = 25 . C. ( x + 1) 2 + ( y − 4) 2 = 25 . D. ( x + 1) 2 + ( y − 4) 2 = 5. 2 cos 2 x − 1 Câu 7: Rút gọn biểu thức P = ta được cos x + sin x A. P =| cos x − sin x | . B. P = cos x + sin x . C. P = cos x − sin x . D. P = sin x − cos x . π 1 Câu 8: Cho biết < x < π và sin x = . Tính cos x . 2 3 2 2 2 2 2 2 A. cos x = . B. cos x = − . C. cos x = − . D. cos x = . 3 3 3 3 Câu 9: Cho a, b ∈  là hai số thực bất kì. Xét các mệnh đề sau Mệnh đề 1: sin(=a + b) sin a cos b + sin b cos a . Mệnh đề 2: sin(= a − b) sin b cos a − sin a cos b . Mệnh đề 3: cos(= a − b) cos a cos b − sin a sin b . Mệnh đề 4: cos(= a + b) cos a cos b + sin a sin b . Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là: A. 3 . B. 0 . C. 2 . D. 1 .
Câu 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C ) : x 2 + y 2 − 2 x + 4 y + 1 =0 . Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của đường tròn (C ) . A. I (−1; 2), R = 2. B. I (1; −2), R = 2. C. I (−1; 2), R = 4. D. I (1; −2), R = 4. Câu 11: Cho biết sin x + sin y = 3 và cos x − cos y = 1 . Tính cos( x + y ) . 1 A. cos( x + y ) =. B. cos( x + y ) = −1 . C. cos( x + y ) = 1. D. cos( x + y ) = 0. 2 1 Câu 12: Cho biết sin x + cos x = − . Tính sin 2x . 2 3 1 3 A. sin 2 x = − . B. sin 2 x = . C. sin 2 x = −1 . D. sin 2 x = . 4 2 4 Phần II. Tự luận (7 điểm) Câu 1 (2 điểm) 1. Giải phương trình x2 − 2 x + 6 = 2 x −1 . 2. Giải bất phương trình − x 2 + 3x + 4 ≤ x + 1 . Câu 2 (2 điểm) π 1. Cho biết < a < π và tan a = −2 . Tính cos a và cos 2a . 2 2. Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng sin 2 A + sin 2 B + sin 2C = 4sin A sin B sin C . Câu 3 (2,5 điểm) 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x 2 + y 2 − 6 x + 4 y − 12 =0. a) Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) tại điểm A(−1;1) . b) Viết phương trình đường thẳng ∆ song song với đường thẳng d : 3x − 4 y − 2 =0 và cắt đường tròn (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài đoạn thẳng AB = 8 . x2 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip ( E ) : + y 2 = 1 . Gọi F1 , F2 là hai tiêu điểm của ( E ) 4 và điểm M ∈ ( E ) sao cho MF1 ⊥ MF2 . Tính MF1 + MF22 và diện tích ∆ MF1 F2 . 2 Câu 4 (0,5 điểm) Cho tam giác ABC có số đo ba góc là A, B, C thỏa mãn điều kiện A B C tan + tan + tan =3. 2 2 2 Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác đều. -------------------------- Hết -------------------------- Ghi chú : - Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. - Học sinh không được sử dụng tài liệu.
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II TRƯỜNG THCS VÀ THPT NGUYỄN TẤT THÀNH Năm học 2019 -2020 ------------------------- Lớp: 10 Mã đề 104 Môn: Toán Thời gian làm bài: 90 phút ----------------------- Phần I. Trắc nghiệm (3 điểm) Hãy chọn và ghi lại chữ cái trước đáp án mà em chọn vào bài làm. 2 Câu 1: Cho biết π < x < 2π và cos x = . Tính sin x . 3 5 5 1 1 A. sin x = − . B. sin x = . C. sin x = . D. sin x = − . 3 3 3 3 4 cos x − 5sin x Câu 2: Cho biết cot x = 3 . Tính giá trị biểu thức P = . sin x + 2 cos x −11 11 A. P = −1 . B. P = 1 . C. P = . D. P = . 7 9 x2 y 2 Câu 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip ( E ) : + = 1 . Tiêu cự của elip ( E ) bằng 100 64 A. 6 . B. 12 . C. 2 . D. 4 . Câu 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C ) : x 2 + y 2 + 4 x − 6 y + 4 =0 . Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của đường tròn (C ) . A. I (2; −3), R = 3. B. I (2; −3), R = 9. C. I (−2;3), R = 3. D. I (−2;3), R = 9. Câu 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C ) :( x − 2) 2 + ( y + 1) 2 = 4 và đường thẳng ∆ : 4 x − 3 y + m + 1 =0 (trong đó m là tham số). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m sao cho đường thẳng ∆ là tiếp tuyến của đường tròn (C ) . Tổng các số thuộc tập hợp S bằng: A. 20 . B. −20 . C. 24 . D. −24 . Câu 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm M (−1;3) và N (3; −5) . Phương trình nào dưới đây là phương trình của đường tròn đường kính MN ? A. ( x − 1) 2 + ( y + 1) 2 = 20 . B. ( x − 1) 2 + ( y + 1) 2 = 16 . C. ( x + 1) + ( y − 1) = 2 2 16 . D. ( x + 1) + ( y − 1) = 2 2 20 . 2sin 2 x − 1 Câu 7: Rút gọn biểu thức M = ta được cos x + sin x A. M = cos x + sin x . B. M =| cos x − sin x | .C. M = sin x − cos x . D. M = cos x − sin x . Câu 8: Cho a, b ∈  là hai số thực bất kì. Xét các mệnh đề sau a+b a −b b−a a+b Mệnh đề 1: sin a + sin b = 2sin cos . Mệnh đề 2: sin a − sin b = 2sin cos . 2 2 2 2 a+b b−a a+b a −b Mệnh đề 3: cos a + cos b = 2 cos cos . Mệnh đề 4: cos a − cos b = 2sin sin . 2 2 2 2 Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là: A. 2 . B. 1. C. 3 . D. 4 . 1 Câu 9: Cho biết sin x − cos x =. Tính sin 2x . 3 8 2 8 2 A. sin 2 x = − . B. sin 2 x = − . C. sin 2 x = . D. sin 2 x = . 9 3 9 3
Câu 10: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình x 2 + y 2 − 4mx + 2(m − 1) y + 6m 2 − 5m + 3 =0 là phương trình của một đường tròn trong mặt phẳng tọa độ Oxy. m < 1  m < −2 A.  . B. 1 < m < 2 . C. −2 < m < −1 . D.  . m > 2  m > −1 Câu 11: Cho biết sin x − sin y = 1 và cos x + cos y = 3 . Tính cos( x + y ) . 1 A. cos( x + y ) = 0. B. cos( x + y ) = −1 . C. cos( x + y ) =. D. cos( x + y ) = 1. 2 Câu 12: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(3; −1) và B(5; −5) . Cho biết quỹ tích các điểm K 20 là một đường tròn bán kính R . Tìm R . thỏa mãn điều kiện KA2 + KB 2 = A. R = 3 . B. R = 5 . C. R = 2 . D. R = 5 . Phần II. Tự luận (7 điểm) Câu 1 (2 điểm) 1. Giải phương trình x2 − 2 x + 6 = 2 x −1 . 2. Giải bất phương trình − x 2 + 3x + 4 ≤ x + 1 . Câu 2 (2 điểm) π 1. Cho biết < a < π và tan a = −2 . Tính cos a và cos 2a . 2 2. Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng sin 2 A + sin 2 B + sin 2C = 4sin A sin B sin C . Câu 3 (2,5 điểm) 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x 2 + y 2 − 6 x + 4 y − 12 =0. a) Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) tại điểm A(−1;1) . b) Viết phương trình đường thẳng ∆ song song với đường thẳng d : 3x − 4 y − 2 =0 và cắt đường tròn (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài đoạn thẳng AB = 8 . x2 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip ( E ) :+ y 2 = 1 . Gọi F1 , F2 là hai tiêu điểm của ( E ) 4 và điểm M ∈ ( E ) sao cho MF1 ⊥ MF2 . Tính MF1 + MF22 và diện tích ∆ MF1 F2 . 2 Câu 4 (0,5 điểm) Cho tam giác ABC có số đo ba góc là A, B, C thỏa mãn điều kiện A B C tan + tan + tan =3. 2 2 2 Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác đều. -------------------------- Hết -------------------------- Ghi chú : - Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. - Học sinh không được sử dụng tài liệu.
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT PHẦN I. TRẮC NGHIỆM (3 điểm) Câu 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai điểm A (1;3) , B ( −3;5 ) . Phương trình nào dưới đây là phương trình của đường tròn đường kính AB ? A. ( x − 1) + ( y + 4 ) = 2 2 5. B. ( x − 1) + ( y + 4 ) = 2 2 25 . C. ( x + 1) + ( y − 4 ) = 2 2 25 . D. ( x + 1) + ( y − 4 ) = 2 2 5. Lời giải Chọn D Gọi I là trung điểm của AB .  x A + xB  xI = = −1 2 Ta có  y y A + yB = = 4  I 2 Vậy I ( −1; 4 )  (1 + 1) + ( 3 − 4 ) 2 2 R = IA = = 5 Phương trình đường tròn tâm I , bán kính R = 5 là: ( x + 1) + ( y − 4 ) = 2 2 5. Câu 2. Tìm tất cả các giá trị của tham số của m để phương trình x 2 + y 2 + 2mx − 4 ( m + 1) y + 4m 2 + 5m + 2 =0 là phương trình của một đường tròn trong mặt phẳng tọa độ Oxy . m > 2 A. −2 < m < −1 . B.  . m < 1  m > −1  m ≥ −1 C.  . D.  .  m < −2  m ≤ −2 Lời giải Chọn C Ta có a = −m ,=b 2m + 2 , c = 4m 2 + 5m + 2 Phương trình đã cho là phương trình đường tròn  m < −2 ( ) ⇔ a 2 + b 2 − c > 0 ⇔ ( −m ) + ( 2m + 2 ) − 4m 2 + 5m + 2 > 0 ⇔ m 2 + 3m + 2 > 0 ⇔  2 2  m > −1 2 cos 2 x − 1 Câu 3 . Rút gọn biểu thức P = ta được cos x + sin x A. P =| cos x − sin x | . B. P = sin x − cos x . C. P = cos x − sin x . D. P = cos x + sin x . Lời giải Chọn C 2 cos 2 x − 1 cos 2 x − sin 2 x ( cos x − sin x )( cos x + sin x ) = cos x − sin x Ta có P == = cos x + sin x cos x + sin x cos x + sin x
Câu 4 . Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C ) :( x + 1) 2 + ( y − 2) 2 = 9 và đường thẳng ∆ : 3 x + 4 y − 2m + 4 =0 (trong đó m là tham số). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m sao cho đường thẳng ∆ là tiếp tuyến của đường tròn (C ) . Tích các số thuộc tập hợp S bằng: A. −36 . B. 12 . C. −56 . D. −486 . Lời giải Chọn A Đường tròn (C ) :( x + 1) 2 + ( y − 2) 2 =9 có tâm I ( −1; 2 ) và bán kính R = 3 . Đường thẳng ∆ : 3 x + 4 y − 2m + 4 = 0 là tiếp tuyến của đường tròn (C ) ⇔ d ( I , ∆ ) =3 3 ( −1) + 4.2 − 2m + 4 ⇔ 3 = 5 ⇔ 9 − 2m = 15  9 − 2m =15 ⇔ 9 − 2 m = −15  m = −3 ⇔  m = 12 Vậy S = {−3;12} nên tích các số thuộc tập hợp S bằng −36 . Câu 5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn ( C ) : 2 x 2 + 2 y 2 − 8 x + 4 y − 1 =0. Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của đường tròn ( C ) . 22 22 A. I ( −2;1) , R = . B. I ( 2; −1) , R = . 2 2 21 C. I ( 4; −2 ) , R =. D. I ( −4; 2 ) , R = 21. 2 Lời giải Chọn B Ta có: 2 x 2 + 2 y 2 − 8 x + 4 y − 1 =0 1 ⇔ x2 + y 2 − 4 x + 2 y − = 0 2  −4 =a = 2 −2  2 2 1  2 Ta có x + y − 4 x + 2 y − =0 ta có hệ số b = = −1 2  −2  −1 c = 2   1 22 Suy ra tâm I ( 2; −1) và bán kính = 22 + ( −1) −  − = 2 R a 2 + b2 −= c   2 2 4 Câu 6. Biết sin = α , ( 90° < α < 180° ) . Khi đó giá trị cos α bằng: 5 3 1 3 1 A. . B. . C. − . D. − . 5 5 5 5
Lời giải Chọn C  3  cos α = 2 4 9 5 Ta có: sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇔ cos 2 α = 1 − sin 2 α ⇔ cos 2 α = 1−   = ⇒ (1) 5 25  3 cos α = −  5 Do ( 90° < α < 180° ) ⇒ cos α < 0 (2) 3 Từ (1) và (2) suy ra: cos α = − 5 Câu 7. Cho a, b ∈  là hai số thực bất kì. Xét các mệnh đề sau Mệnh đề 1: sin ( a= + b ) sin a cos b + sin b cos a . Mệnh đề 2: sin ( a= − b ) sin b cos a − sin a cos b . Mệnh đề 3: cos (= a − b ) cos a cos b − sin a sin b . Mệnh đề 4: cos (= a + b ) cos a cos b + sin a sin b . Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là: A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 3 . Lời giải Chọn B sin ( a= + b ) sin a cos b + sin b cos a ⇒ Mệnh đề 1 đúng. sin ( a= − b ) sin a cos b − cos a sin b ⇒ Mệnh đề 2 sai. a − b ) cos a cos b + sin a sin b ⇒ Mệnh đề 3 sai. cos (= cos (= a + b ) cos a cos b − sin a sin b ⇒ Mệnh đề 4 sai. Vậy có duy nhất mệnh đề 1 đúng. 1 Câu 8. Cho biết sin x + cos x = − . Tính sin 2x . 2 3 3 1 A. sin 2 x = − . B. sin 2 x = . C. sin 2 x = . D. sin 2 x = −1 . 4 4 2 Lời giải Chọn A 1 1 − ⇒ ( sin x + cos x ) = 2 sin x + cos x = 2 4 1 ⇔ sin 2 x + 2sin x cos x + cos 2 x = 4 1 3 ⇔ 1 + sin 2 x = ⇔ sin 2 x =− . 4 4 3sin x − 4 cos x Câu 9. Cho biết tan x = 5 . Tính giá trị biểu thức Q = . cos x + 2sin x 19 11 A. Q = 1 . B. Q = . C. Q = −1 . D. Q = . 11 9 Lời giải Chọn A
s in x −4 3 3sin x − 4 cos x cos x 3 tan x − 4 3.5 − 4 Ta= có Q = = = = 1. cos x + 2sin x 1 + 2 s in x 1 + 2 tan x 1 + 2.5 cos x x2 y 2 Câu 10. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho elip ( E ) : + =1 . Tiêu cự của elip ( E ) bằng 25 9 A. 4 . B. 8 . C. 16 . D. 2 . Lời giải Chọn B x2 y 2 a 2 = 25 (E) : + 1 có  2 = ⇒ c 2 = a 2 − b 2 = 16 ⇒ c = 4 . 25 9 b = 9 Vậy tiêu cự của elip ( E ) bằng 2= c 2.4 = 8. Câu 11. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai điểm cố định là A ( 2;0 ) , B ( 0; 2 ) . Cho biết quỹ tích các điểm M thỏa mãn điều kiện MA2 + MB 2 = 12 là một đường tròn bán kính R . Tìm R . A. R = 5 . B. R = 4 . C. R = 3 . D. R = 2 . Lời giải Chọn C Gọi M ( x; y ) thỏa MA2 + MB 2 = 12 (1) . Ta có MA2 =( x − 2 ) + y 2 và MB 2 = x 2 + ( y − 2 ) . 2 2 (1) ⇔ ( x − 2 ) + y 2 + x2 + ( y − 2) = 2 2 12 ⇔ 2 x 2 + 2 y 2 − 4 x − 4 y − 4 =0 ⇔ x2 + y 2 − 2 x − 2 y − 2 =0. Vậy quỹ tích của điểm M là đường tròn có tâm I (1;1) và bán kính R= 12 + 12 + 2= 2 Câu 12. Cho biết sin x + sin y = 1 . Tính cos ( x + y ) 3 và cos x − cos y = A. cos ( x + y ) = 1. B. cos ( x + y ) = −1 . 1 C. cos ( x + y ) = 0. D. cos ( x + y ) =. 2 Lời giải Chọn B 3 ⇒ ( sin x + sin y ) = 3 (1) . 2 Ta có: sin x + sin y = 3 ⇔ sin 2 x + 2sin x sin y + sin 2 y = 1 ⇒ ( cos x − cos y ) = 1 ( 2) . 2 cos x − cos y = 1 ⇔ cos 2 x − 2 cos x cos y + cos 2 y = Lấy (1) cộng với ( 2 ) vế theo vế, ta được 2 + 2sin x sin y − 2 cos x cos y = 4 ⇔ cos x cos y − sin x sin y = −1 Vậy cos ( x + y ) = cos x cos y − sin x sin y = −1 . PHẦN II. TỰ LUẬN (7 điểm) Câu 1.
1. Giải phương trình x2 − 2 x + 6 = 2 x −1 . Lời giải  1  x≥  1 2 2 2 x − 1 ≥ 0 x ≥  x − 2x + 6 = 2x −1 ⇔  2 2 ⇔  2 ⇔   x = −1 (l ) .  x − 2 x + 6= ( 2 x − 1)  2 0  3 x − 2 x − 5 = 5   x = ( n)  3 5  Vậy S =   . 3 2. Giải bất phương trình − x 2 + 3x + 4 ≤ x + 1. Lời giải x +1 ≥ 0  x ≥ −1  2  Bpt ⇔ − x + 3x + 4 ≥ 0 ⇔ −1 ≤ x ≤ 4  2  2 − x + 3x + 4 ≤ ( x + 1) 2 2 x − x − 3 ≥ 0 −1 ≤ x ≤ 4  3  3 ≤x≤4 ⇔  x ≥ ⇔ 2  2   x = −1   x ≤ −1 3  Vậy tập nghiệm của bất phương trình cần tìm là = S  ;4  ∪ {−1}. 2  Câu 2. π 1. Cho biết < a < π và tan a = −2 . Tính cos a và cos 2a . 2 Lời giải π Cho biết < a < π và tan a = −2 . Tính cos a và cos 2a . 2 1 1 1 1 5 Ta có: 1 + tan 2 a = ⇒ cos 2 a = 2 = 2 = ⇒ cos a = ± 2 cos a 1 + tan a 1 + ( −2 ) 5 5 π 5 Vì < a < π thuộc góc phần tư thứ hai nên cos a < 0 ⇒ cos a =− 2 5 2 2  5 3 cos 2a =2 cos a − 1 =2  −  − 1 =−  5  5 2. Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng sin 2 A + sin 2 B + sin 2C = 4sin A sin B sin C . Lời giải π . Do đó ta có Với tam giác ABC ta có A + B + C = sin 2 A + sin 2 B + sin 2C = 2sin( A + B ) cos(A − B) + sin 2C = 2sin C cos( A − B ) + 2sin C cos C sin 2 A + sin 2 B=+ sin 2C 2sin C.[ cos( A − B ) − cos(A + B)]=2 sin C.(-2).sinA.sin (-B) Ta được: sin 2 A + sin 2 B + sin 2C = 4sinA.sinB.sin C Vậy ta có điều phải chứng minh. Câu 3.
1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường tròn ( C ) : x 2 + y 2 − 6 x + 4 y − 12 = 0 a. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn ( C ) tại điểm A ( −1;1) . b. Viết phương trình đường thẳng ∆ song song với đường thẳng d :3 x − 4 y − 2 =0 và cắt đường tròn ( C ) tại hai điểm A , B sao cho độ dài đoạn thẳng AB = 8 . Lời giải a. Đường tròn ( C ) có tâm I ( 3; −2 ) .  Ta có: IA = ( −4;3) Vậy phương trình tiếp tuyến của đường tròn ( C ) tại điểm A ( −1;1) là: −4 ( x + 1) + 3 ( y − 1) = 0 ⇔ −4 x + 3 y − 7 = 0 ⇔ 4 x − 3 y + 7 = 0 . b. Đường tròn ( C ) có tâm I ( 3; −2 ) , R = 5 . Do AB = 8 nên I ∉ ∆ . Đường thẳng ∆ song song với đường thẳng d :3 x − 4 y − 2 =0 nên 0 , C ≠ −2 . ∆ có dạng: 3 x − 4 y + C = Gọi M là trung điểm của AB . Khi đó: AM = 4 , AI= R= 5 ⇒ IM = 3 3.3 − 4. ( −2 ) + C C = −2 IM d ( I ; ∆ ) nên ta có: Mà = = 3 ⇔ 17 + C = 15 ⇔  32 + ( −4 ) 2 C = −32 C = −2 không thỏa mãn điều kiện. C = −32 thỏa mãn điều kiện nên phương trình đường thẳng ∆ là: 3 x − 4 y − 32 = 0. x2 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho elip ( E ) : + y2 =1. Gọi F1 ; F2 là hai tiêu điểm của ( E ) 4 và điểm M ∈ ( E ) sao cho MF1 ⊥ MF2 . Tính MF12 + MF2 2 và diện tích ∆MF1 F2 . Lời giải x2 ( ) ( ) Ta có F1 − 3;0 , F2 3; 0 . Gọi M ( x; y ) , ta có M ∈ ( E ) ⇔ 4 1 (1) . Mặt khác ta có + y2 =   ( ) ( MF1 − 3 − x; − y ; MF2 3 − x; − y . )   ( )( Do MF1 ⊥ MF2 nên MF1.MF2 =0 ⇔ x − 3 x + 3 + y 2 =0 ⇔ x 2 + y 2 =3 ( 2 ) . )  x2 2  +y = 1 Từ (1) và ( 2 ) ta có  4 .  x2 + y 2 =3  2 6 3 2 6 3  2 6 3  2 6 3 Suy ra M  hoặc M  hoặc M  −  hoặc M  −  3 ; 3   3 ; − 3   3 ; 3  3 ;− . 3        Vậy MF12 + MF2= 2 2 ( x 2 + y 2 ) += 6 12. 1 1 1 ( x + 3) ( x − 3) (x − 3) + y 2 ( x 2 + 6 ) + y= 2 2 2 S ∆MF1F= MF1.MF= 2 . + y2 . 2 + y= 2 4 1. 2 2 2 2
A B C Câu 4. Cho ∆ABC có số đo ba góc là A , B , C thỏa mãn điều kiện tan + tan + tan =3. 2 2 2 Chứng minh ∆ABC là tam giác đều. Lời giải A B C π A B π C  A B π C  Ta có + + = ⇒ + = − ⇒ tan  + =  tan  −  2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 A B A B tan + tan tan + tan 2 2 = C 2 2 = 1 ⇒ cot ⇒ A B 2 A B C 1 − tan .tan 1 − tan .tan tan 2 2 2 2 2 A B B C C A ⇒ tan .tan + tan .tan + tan .tan = 1. 2 2 2 2 2 2 A B C Ta có tan + tan + tan = 3 2 2 2 A B C A B B C C A ⇔ tan 2 + tan 2 + tan 2 + 2 tan .tan + 2 tan .tan + 2 tan .tan 2 2 2 2 2 2 2 2 2  A B B C C A  = 3  tan .tan + tan .tan + tan .tan   2 2 2 2 2 2 A B C A B B C C A ⇔ tan 2 + tan 2 + tan 2 − tan .tan − tan .tan − tan .tan =0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 A B 1 B C 1 C A ⇔  tan − tan  +  tan − tan  +  tan − tan  = 0 2 2 2  2 2 2  2 2 2  A B  A B A B  tan 2 − tan 2 = 0  tan 2 = tan 2 2 = 2     B C  B C B C A B C π ⇔  tan − tan = 0 ⇔  tan = tan ⇔  =(vì 0 < ; ; < ) ⇔ A = B = C .  2 2  2 2 2 2 2 2 2 2  C A  C A C A  tan 2 − tan 2 = 0  tan 2 = tan 2 2 = 2    Suy ta ∆ABC đều. -------------------- HẾT --------------------