Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 11 năm 2010-2011 môn Toán - Sở GD&DT Quảng Bình

SỞ GD&ĐT<br /> QUẢNG BÌNH<br /> <br /> KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 11 THPT<br /> NĂM HỌC 2010 - 2011<br /> Môn thi: Toán<br /> ĐỀ THI CHÍNH THỨC<br /> (Khóa ngày 30 tháng 3 năm 2011)<br /> SỐ BÁO DANH:……………..<br /> Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)<br /> <br /> Câu 1:(3.0 điểm)<br /> <br /> <br /> <br /> a) Giải phương trình: sin 3 x  cos3 x  2 2cos  x    1  0<br /> 4<br /> <br /> 1<br /> 1<br /> 16<br /> <br /> 2<br /> x<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> x y x y 3<br /> b) Giải hệ phương trình: <br /> 1<br /> 1<br /> 100<br />  2( x 2  y 2 ) <br /> <br /> <br /> <br /> ( x  y)2 ( x  y)2<br /> 9<br /> Câu 2:(2.0 điểm) Cho dãy số ( xn ) xác định như sau:<br />  x1  30<br /> <br /> 2<br />  xn1  30 xn  3xn  2011,  n <br /> <br /> *<br /> <br /> xn1<br /> .<br /> xn<br /> Câu 3:(3.0 điểm)<br /> Cho tứ diện đều ABCD cạnh a . Gọi I, J lần lượt là trọng tâm các tam giác<br /> ABC và DBC. Mặt phẳng ( ) qua IJ cắt các cạnh AB, AC, DC, DB lần lượt<br /> tại các điểm M, N, P, Q với AM = x , AN = y ( 0  x, y  a ).<br /> a) Chứng minh MN, PQ, BC đồng qui hoặc song song và MNPQ là hình thang<br /> cân.<br /> 4a<br /> 3a<br /> b) Chứng minh rằng: a ( x  y )  3 xy . Suy ra:<br />  x y .<br /> 3<br /> 2<br /> c) Tính diện tích tứ giác MNPQ theo a và s  x  y .<br /> Tìm lim<br /> <br /> Câu 4:(1.0 điểm) Cho phương trình: ax 2   2b  c  x   2d  e   0 có một nghiệm<br /> không nhỏ hơn 4. Chứng minh rằng phương trình ax 4  bx 3  cx 2  dx  e  0<br /> có nghiệm.<br /> Câu 5:(1.0 điểm) Cho x, y , z  0 . Chứng minh rằng:<br /> 2 xy<br /> 2 yz<br /> 3 zx<br /> 5<br /> P<br /> <br /> <br /> <br /> ( z  x)( z  y ) ( x  y )( x  z ) ( y  z )( y  x) 3<br /> --------------------HẾT----------------------<br /> <br /> SỞ GD&ĐT<br /> THPT<br /> QUẢNG BÌNH<br /> <br /> KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 11<br /> NĂM HỌC 2012- 2013<br /> Môn thi: Toán<br /> (Khóa ngày 27 tháng 3 năm 2013)<br /> Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian<br /> <br /> ĐỀ THI CHÍNH THỨC<br /> SỐ BÁO DANH:……………..<br /> giao đề)<br /> <br /> Câu 1:(3.0 điểm)<br /> <br /> 2 x<br /> <br /> x<br /> <br />   10<br /> <br /> y y<br /> a) Giải hệ phương trình: <br />  x 2  1  2 x  12<br /> <br /> y2<br /> 2<br /> b) Giải phương trình:  cos 2 x  cos 4 x   6  2sin 3 x<br /> Câu 2:(2.5 điểm)<br /> <br /> a) Tính giới hạn dãy số: lim<br /> <br /> <br /> <br /> n4  n2  1  3 n6  1<br /> <br /> <br /> <br /> u1  2013<br /> b) Cho dãy số  un  xác định như sau: <br /> 1<br /> n<br /> (n  1)<br /> un 1  n 1 un <br /> 2013n<br /> <br /> Tìm công thức số hạng tổng quát và giới hạn dãy số  un  ?<br /> <br /> Câu 3:(2.5 điểm)<br /> Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình thang cân (AD//BC) và BC=2a,<br /> AB=AD=DC=a (a>0). Mặt bên SBC là tam giác đều. Gọi O là giao điểm của AC<br /> và BD. Biết SD vuông góc với AC.<br /> a) Tính SD.<br /> b) Mặt phẳng (  ) qua điểm M thuộc đoạn OD (M khác O, D) và song song với<br /> hai đường thẳng SD và AC.<br /> Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng (  ). Biết MD = x.<br /> Tìm x để diện tích thiết diện lớn nhất.<br /> Câu 4:(2.0 điểm) Cho phương trình: x 4  ax 3  bx 2  cx  d  0<br /> a) Với d  2013 , chứng minh rằng phương trình có ít nhất hai nghiệm phân biệt.<br /> b) Với d  1 , giả sử phương trình có nghiệm, chứng minh a 2  b 2  c 2 <br /> <br /> --------------------HẾT---------------------<br /> <br /> 4<br /> 3<br /> <br /> SỞ GD&ĐT<br /> THPT<br /> QUẢNG BÌNH<br /> <br /> KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 11<br /> NĂM HỌC 2012 - 2013<br /> Môn thi: Toán<br /> (Khóa ngày 27 tháng 3 năm 2013)<br /> HƯỚNG DẪN CHẤM<br /> (Đáp án, hướng dẫn này có 4 trang)<br /> yªu cÇu chung<br /> <br /> * Đáp án chỉ trình bày một lời giải cho mỗi bài. Trong bài làm của học sinh yêu<br /> cầu phải lập luận lô gic chặt chẽ, đầy đủ, chi tiết và rõ ràng.<br /> * Trong mỗi bài, nếu học sinh giải sai ở bước giải trước thì cho điểm 0 đối với<br /> những bước giải sau có liên quan. Ở câu 3 nếu học sinh không vẽ hình hoặc vẽ<br /> hình sai thì cho điểm 0.<br /> * Điểm thành phần của mỗi bài nói chung phân chia đến 0,25 điểm. Đối với điểm<br /> thành phần là 0,5 điểm thì tuỳ tổ giám khảo thống nhất để chiết thành từng 0,25<br /> điểm.<br /> * Học sinh có lời giải khác đáp án (nếu đúng) vẫn cho điểm tối đa tuỳ theo mức<br /> điểm của từng bài.<br /> * Điểm của toàn bài là tổng (không làm tròn số) của điểm tất cả các bài.<br /> Câ<br /> u<br /> 1<br /> <br /> Nội dung<br /> <br /> Điểm<br /> 1,5 điểm<br /> <br /> 1<br /> a) ĐK: y  0 . Đặt a  x  1; b <br /> y<br /> <br /> Ta có hệ phương trình trở thành<br />  a  b  ab  11  a  b  5 a  b  7<br />  a  2 a  3<br /> <br /> <br /> (<br /> VN<br /> )<br /> <br /> <br />  2<br /> <br /> <br /> <br /> 2<br /> ab<br /> <br /> 6<br /> ab<br /> <br /> 18<br /> b<br /> <br /> 3<br /> a<br /> <br /> b<br /> <br /> 13<br /> <br /> <br /> <br /> b  2<br /> <br /> a  2<br />  1<br /> TH1: <br />  ( x; y )  1; <br />  3<br /> b  3<br /> a  3<br />  1<br /> TH2: <br />  ( x; y )   2; <br />  2<br /> b  2<br /> <br /> Trang: 1 - Đáp án Toán 11<br /> <br /> 0,25<br /> 0,75<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 1,5 điểm<br /> <br /> 2<br /> b)  cos 2 x  cos 4 x   6  2sin 3 x<br /> <br />  4sin 2 x sin 2 3 x  6  2sin 3 x<br /> 0,5<br /> <br />  4(1  sin 2 x sin 2 3 x)  2(1  sin 3 x)  0<br />  4 sin 2 x(1  sin 2 3 x)  cos 2 x   2(1  sin 3 x )  0<br />  4(sin 2 x cos 2 3 x  cos 2 x )  2(1  sin 3 x)  0<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> sin 3 x  1<br /> sin 3 x  1<br /> <br /> <br />  sin 2 x cos 2 3 x  0   2<br />  x   k 2 (k  Z )<br /> 2<br /> cos x  0<br /> cos 2 x  0<br /> <br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 2<br /> a) lim<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> n 4  n2  1  3 n6  1  lim<br /> <br /> <br /> <br /> n4  n 2  1  n 2  ( 3 n6  1  n 2 )<br /> <br /> <br /> <br /> 1,0 điểm<br /> 0,25<br /> <br /> Ta có:<br /> <br /> <br /> 1<br /> 1<br /> <br /> <br />  1<br /> 2<br /> <br /> <br /> n 1<br /> 4<br /> 2<br /> 2<br /> n<br /> <br /> <br /> lim n  n  1  n  lim <br />   lim<br /> 4<br /> 2<br /> 2<br /> 1<br /> 1<br /> <br />  2<br />  n  n 1  n <br />  1 2  4 1<br /> n<br /> n<br /> <br /> <br /> 1<br /> lim( 3 n 6  1  n 2 )  lim<br /> 0<br /> 6<br /> 2<br /> 3<br /> ( n  1)  n 2 3 ( n6  1)  n 4<br /> Do đó lim n 4  n2  1  3 n6  1  1<br /> 2<br /> <br /> <br /> <br /> 2<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> b) un  0, n  N<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 1,5 điểm<br /> 0,25<br /> <br /> *<br /> <br /> 1<br /> 1<br />  unn11  unn <br /> n<br /> 2013<br /> 2013n<br /> 1<br /> Do đó: u22  u11 <br /> 20131<br /> 1<br /> u33  u22 <br /> 20132<br /> unn11  unn <br /> <br /> ...<br /> unn  unn11 <br /> <br /> Suy ra: unn  u11 <br /> <br /> 1<br /> 2013n 1<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> <br />  ... <br /> 1<br /> 2<br /> 2013 2013<br /> 2013n 1<br /> <br />  1 <br /> 1 <br /> n<br /> 2013 <br /> <br /> un  2013 <br /> 2012<br /> <br />  1 <br /> 1 <br /> <br /> 2013 <br />  <br /> 2012<br /> <br /> n 1<br /> <br /> n 1<br /> <br /> Trang: 2 - Đáp án Toán 11<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> n 1<br /> <br />  1 <br /> 1 <br /> n<br /> 1  1  ...  1  2014<br /> 2013<br /> 2013 <br /> 1  un  2013  <br />  n 2014 <br /> 1<br /> (Cô si)<br /> 2012<br /> n<br /> n<br /> 2013 <br /> Mặt khác lim 1 <br />   1 . Vậy lim un  1<br /> n <br /> <br /> <br /> 3<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> 2,5 điểm<br /> <br /> S<br /> K<br /> Q<br /> B<br /> <br /> C<br /> J<br /> <br /> P<br /> O<br /> M<br /> <br /> A<br /> <br /> N<br /> <br /> Trang: 3 - Đáp án Toán 11<br /> <br /> D<br /> <br /> T<br /> <br /> 0,25<br /> <br />