ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2010 - 2011 Môn thi: Toán

Chia sẻ: Nguyễn Huy Vinh | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

88
lượt xem 14
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Câu 3:(3.0 điểm) Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A và B. Tiếp tuyến chung gần B của hai đường tròn lần lượt tiếp xúc (O) và (O’) tại C và D. Qua A kẻ đường thẳng song song CD cắt (O) và (O’) lần lượt tại M và N. Các đường thẳng BC, BD lần lượt cắt MN tại P và Q. Các đường thẳng CM, DN cắt nhau tại E. Chứng minh rằng: a) Các đường thẳng AE và CD vuông góc nhau. b) Tam giác EPQ cân...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2010 - 2011 Môn thi: Toán

SỞ GD&ĐT KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS QUẢNG BÌNH NĂM HỌC 2010 - 2011 Môn thi: Toán ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Khóa ngày 30 tháng 3 năm 2011) SỐ BÁO DANH:…………….. Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) x+4 x−4 + x−4 x−4 A= Câu 1:(2.5 điểm) Cho biểu thức 8 16 với 4 < x 8 1− + 2 x x a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm x nguyên để A có giá trị nguyên. Câu 2:(2.5 điểm) Số đo hai cạnh góc vuông của một tam giác là nghiệm của phương trình bậc hai (m − 2) x 2 − 2( m − 1) x + m = 0 . Xác định m để số đo 2 đường cao ứng với cạnh huyền của tam giác đã cho là 5 Câu 3:(3.0 điểm) Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A và B. Tiếp tuyến chung gần B của hai đường tròn lần lượt tiếp xúc (O) và (O’) t ại C và D. Qua A kẻ đường thẳng song song CD cắt (O) và (O’) l ần l ượt t ại M và N. Các đường thẳng BC, BD lần lượt cắt MN tại P và Q. Các đ ường thẳng CM, DN cắt nhau tại E. Chứng minh rằng: a) Các đường thẳng AE và CD vuông góc nhau. b) Tam giác EPQ cân. Câu 4:(1.0 điểm) Cho x, y, z > 0 thỏa mãn: x 2 + y 2 + z 2 = 3 . Chứng minh: xy yz zx + + 3 z x y Câu 5:(1.0 điểm) Cho a, b, c, d là các số nguyên thỏa mãn : a 5 + b5 = 4(c5 + d 5 ) Chứng minh rằng : a + b + c + d chia hết cho 5. --------------------HẾT----------------------
SỞ GD&ĐT KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS QUẢNG BÌNH NĂM HỌC 2010 - 2011 Môn thi: Toán (Khóa ngày 30 tháng 3 năm 2011) HƯỚNG DẪN CHẤM (Đáp án, hướng dẫn này có 3 trang) Yêu cầu chung * Đáp án chỉ trình bày một lời giải cho mỗi bài. Trong bài làm của h ọc sinh yêu c ầu ph ải lập luận lô gic chặt chẽ, đầy đủ, chi tiết và rõ ràng. * Trong mỗi bài, nếu học sinh giải sai ở b ước giải trước thì cho điểm 0 đối với những b - ước giải sau có liên quan. Ở câu 3 nếu học sinh không vẽ hình ho ặc v ẽ hình sai thì cho điểm 0. * Điểm thành phần của mỗi bài nói chung phân chia đ ến 0,25 đi ểm. Đ ối v ới đi ểm thành phần là 0,5 điểm thì tuỳ tổ giám khảo thống nhất để chiết thành từng 0,25 điểm. * Học sinh có lời giải khác đáp án (nếu đúng) vẫn cho đi ểm tối đa tuỳ theo m ức đi ểm c ủa từng bài. * Điểm của toàn bài là tổng (không làm tròn số) của điểm tất cả các bài. Câu Nội dung Điểm 1 2,5 điểm a) Với 4 < x 8 x−4+4 x−4 +4 + x−4−4 x−4 +4 0,5 A= Ta có: � 4� 2 1− � � � x� ( ) ( ) 2 2 x−4 +2 + x−4 −2 x−4 +2 + x−4 −2 = 0,5 = 2 4 � 4� 1− �1− � x � x� x−4 +2+2− x−4 4x = = x−4 x−4 0,5 x 16 0,25 b) Ta có: A = 4 + với 4 < x 8 x−4 Do đó với x nguyên, A nguyên khi và chỉ khi x – 4 là ước của 16. 0,25 Kết hợp với điều kiện đã cho ta có: � x − 4 =1 �x=5 � x−4=2� � x=6 � � 0,5 � � x−4=4 � �x =8 Trang: 2 - Đáp án Toán 9
2 2,5 điểm Gọi x1 , x2 là số đo hai cạnh góc vuông của tam giác đã cho, vì chúng là nghiệm của phương trình bậc hai (m − 2) x 2 − 2(m − 1) x + m = 0 nên ta có điều kiện: m 2 m 2 � ∆' 0 � m � �� > 0 (*) � P > 0 �m − 2 0,5 �S > 0 �m − 1 >0 m−2 ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2 5 2 1 1 5 Từ giả thiết bài toán ta có: 2 + 2 = � = ( x1x2 ) 2 x1 x2 4 4 0,5 2m 2 − 4m + 4 5 � = m2 4 0,5 � 3m − 16m + 16 = 0 2 4 0,25 � m = 4, m = 3 0,25 Thử lại ta thấy chỉ có giá trị m = 4 thỏa mãn điều kiện (*). Vậy : m = 4 là giá trị cần tìm 0,25 0,25 3 3,0 điểm E C I 0,5 D B O Q O' M A N P ﾷ a) Ta có: ECD ﾷ = CMA ﾷ (đồng vị), CDA ﾷ = CMA ﾷ ) (cùng chắn cung CA 0,25 ﾷﾷ 0,25 Nên ECD = DCA . ﾷ Chứng minh tương tự ta có: EDC ﾷ = CDA 0,25 Suy ra: ∆CDE = ∆CDA( g .c.g ) � CE = CA � ∆CEA cân tại C. 0,25 ﾷ Theo chứng minh trên thì CD là đường phân giác của ECA Nên: CD ⊥ AE 0,25 Trang: 3 - Đáp án Toán 9
ﾷ b) Gọi I là giao điểm của CD và AB. Ta có: IAD ﾷ = IDB ﾷ ) (cùng chắn cung BD IA ID � ∆IAD ∼ ∆IDB( g .g ) � = � ID 2 = IA.IB 0,25 ID IB Chứng minh tương tự ta có: IC 2 = IA.IB Suy ra: IC 2 = ID 2 � IC = ID 0,25 CI BI DI Ta có: CD // PQ � = = 0,25 AP BA AQ Vì: CI = DI � AP = AQ hay A là trung điểm PQ. Mặt khác: CD ⊥ AE , CD // PQ nên: PQ ⊥ AE 0,25 Vậy: tam giác EPQ có AE vừa là trung tuyến vừa là đường cao nên nó là 0,25 tam giác cân. 4 Ta có: 1.0 điểm 2 xy yz zx �xy yz zx � + + ��3 � + + ��9 z x y � z x y � x 2 y 2 y 2z 2 z 2 x 2 � 2 + 2 + 2 + 2 ( x 2 + y 2 + z 2 ) �9 z x y 0,25 x 2 y 2 y 2z 2 z 2 x 2 � 2 + 2 + 2 �3 z x y 2 2 x y y 2z2 y2 z2 z2 x2 z 2 x2 x2 y 2 Mặt khác: 2 + 2 + 2 + 2 2 2 2y ; 2z ; 2 x2 z x x2 y y2 z 0,25 2 2 2 2 2 2 x y yz z x Suy ra: � 2 + 2 + 2 �x + y + z = 3 2 2 2 0,25 z x y xy yz zx Vậy + + 3 . Dấu bằng xảy ra khi x = y = z = 1 0,25 z x y 5 1,0 điểm Ta chứng minh ( n − n ) M5 5 Ta có: ( n5 − n ) = n ( n2 − 1) ( n2 + 1) = n ( n2 − 1) ( n2 − 4 ) + 5n ( n2 − 1) 0,25 =� (n − 2)( n − 1)n(n + 1)( n + 2) + 5n(n 2 − 1) � � M5 � 0,25 Suy ra: 5( c5 + d 5 ) − ( a + b + c + d ) � a 5 − a + b5 − b + c 5 − c + d 5 − d = � � M5 � 0,25 � ( a + b + c + d ) M5 0,25 Trang: 4 - Đáp án Toán 9
Trang: 5 - Đáp án Toán 9