Đề thi học sinh giỏi cấp trường môn Toán lớp 8 năm 2022-2023 có đáp án - Trường THCS Hải Hòa

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:7

Thêm vào BST

Báo xấu

14
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

TaiLieu.VN giới thiệu đến các bạn “Đề thi học sinh giỏi cấp trường môn Toán lớp 8 năm 2022-2023 có đáp án - Trường THCS Hải Hòa” để ôn tập nắm vững kiến thức cũng như giúp các em được làm quen trước với các dạng câu hỏi đề thi giúp các em tự tin hơn khi bước vào kì thi chính thức.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi học sinh giỏi cấp trường môn Toán lớp 8 năm 2022-2023 có đáp án - Trường THCS Hải Hòa

PHÒNG GD&ĐT ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LỚP 8 TRƯỜNG THCS HẢI HÒA NĂM HỌC 2022 - 2023 ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI MÔN: Toán Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) (Đề gồm 01 trang) ĐỀ BÀI Câu 1: (6.0 điểm) 𝑥𝑥 2 + 1 𝑥𝑥 3 − 1 𝑥𝑥 4 − 𝑥𝑥 3 + 𝑥𝑥 − 1 Cho biểu thức: 𝐴𝐴 =+ 2 + 𝑥𝑥 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 3 b) Tính giá trị của biểu thức A biết x thoã mãn: 𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 = 2 . a) Nêu ĐKXĐ và Rút gọn biểu thức A. 6 c) Tìm các giá trị x > 0 để biểu thức B = nhận giá trị nguyên . A Câu 2: (3.0 điểm) 1. Cho n là số tự nhiên lẻ. Chứng minh: n3 − n chia hết cho 24. 2. Tìm số nguyên dương n để ( n 2 − 8 ) + 36 là số nguyên tố. 2 Câu 3: (3.0 điểm) 1. Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn: 2 x 2 + 3 y 2 + 4 x = 19 2x 13 x 2. Giải phương trình: 2 + 2 6. = 2 x − 5x + 3 2 x + x + 3 Câu 4: (7.0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn . Các đường cao AE , BF cắt nhau tại H. Gọi M là trung điểm của BC , qua H vẽ đường thẳng a vuông góc với HM , a cắt AB, AC lần lượt tại a) Chứng minh: 𝛥𝛥𝛥𝛥𝛥𝛥𝛥𝛥 ∼ 𝛥𝛥𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸 I và K. b) Qua C kẻ đường thẳng b song song với đường thẳng IK , b cắt AH, AB theo thứ tự tại N và D. Chứng minh: NC = ND và HI = HK . + + c) Gọi G là giao điểm của CH và AB. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐵𝐵𝐵𝐵 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐻𝐻𝐻𝐻 𝐻𝐻𝐻𝐻 𝐻𝐻𝐻𝐻 P= Câu 5: (1.0 điểm) y2 2x + 4 Cho hai số dương x , y thỏa mãn: 2 = . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 4 x + 12 x + 9 y +1 thức: Q = xy − 3 y − 2 x − 3 . ------------------Hết------------------- (Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
PHÒNG GD&ĐT ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LỚP 8 TRƯỜNG THCS HẢI HÒA NĂM HỌC 2022 - 2023 ĐỀ CHÍNH THỨC HƯỚNG DẪN CHẤM - MÔN TOÁN (Đề gồm 01 trang) Nội Dung Điể Câu m 𝒙𝒙 𝟐𝟐 + 𝟏𝟏 𝒙𝒙 𝟑𝟑 − 𝟏𝟏 𝒙𝒙 𝟒𝟒 − 𝒙𝒙 𝟑𝟑 + 𝒙𝒙 − 𝟏𝟏 Cho biểu thức: 𝑨𝑨 = + 𝟐𝟐 + 𝒙𝒙 𝒙𝒙 − 𝒙𝒙 𝒙𝒙 − 𝒙𝒙 𝟑𝟑 b) Tính giá trị của biểu thức A biết x thoã mãn: 𝒙𝒙 𝟐𝟐 + 𝒙𝒙 = 𝟐𝟐 . a)Tìm ĐKXĐ và Rút gọn biểu thức A. 6.0 đ 6 c) Tìm x > 0 để biểu thức B = nhận giá trị nguyên . A a) ĐKXĐ: Với 𝑥𝑥 ≠ 0; 𝑥𝑥 ≠ 1; 𝑥𝑥 ≠ −1 b) Rút gọn: Với 𝑥𝑥 ≠ 0; 𝑥𝑥 ≠ 1; 𝑥𝑥 ≠ −1 ta có: 0.5 x 2 + 1 x3 − 1 x 4 − x3 + x − 1 A= + 2 + = + − 0.5 𝑥𝑥 2 +1 𝑥𝑥 2 +𝑥𝑥+1 𝑥𝑥 2 −𝑥𝑥+1 x x −x x − x3 𝑥𝑥 𝑥𝑥 𝑥𝑥 2 x + 2x + 1 0.5 = Câu 1 x (6.0 đ) ( x + 1) 2 = b)Tính giá trị của biểu thức A biết x thoã mãn: 𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 = 2 x 0.5 Ta có: 𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 = 2 ⇔ 𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 − 2 = 0 ⇔ (𝑥𝑥 − 1)(𝑥𝑥 + 2) = 0 𝑥𝑥 = 1 (𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑚𝑚) 0.5 ⇔� 𝑥𝑥 = −2( 𝑡𝑡/𝑚𝑚) 0.5 Với 𝑥𝑥 = −2 thì 𝐴𝐴 = 0.5 −1 2 . 0.5 6 0.5 c)Tìm x > 0 để biểu thức B = nhận giá trị nguyên A 6 6x Vì x > 0 nên B = = >0 0.5 ( x + 1) 2 A Vì (x-1)2 > 0 suy ra: (x +1)2 > 4x
=4 ⇒ A > 4 ⇒ < = 1,5 6 6 ( x + 1) 2 0.5 𝐴𝐴 4 4x Do đó: A = > x x Khi đó: 0 < B < 1,5 mà B nhận giá trị nguyên nên B = 1 ⇔ 6x  x= 2 + 3 = 1 ⇔ 6 x = ( x + 1) ⇔ x 2 − 4 x + 1 = 0 ⇔  2 ( x + 1) 2  x= 2 − 3  0.5 Vậy B nhận giá trị nguyên ⇔   x= 2 + 3 (t/mđk)  x= 2 − 3  1. Cho n là số tự nhiên lẻ. Chứng minh: n3 − n chia hết cho 24. 2. Tìm số nguyên dương n để ( n 2 − 8 ) + 36 là số nguyên tố. 2 3.0 đ 1.Ta có: n3 − n n ( n − 1)( n + 1) = Vì n − 1; n; n + 1 là ba số tự nhiên liên tiếp nên có một trong ba số đó chia hết 0.5 cho 3. Do đó ( n3 − n ) 3 (1) Vì n là số tự nhiên lẻ nên n − 1 và n + 1 là hai số tự nhiên chẵn liên tiếp. Do đó 0.5 ( n − 1)( n + 1)8 ⇒ ( n3 − n )8 (2) Vì 3 và 8 là hai số nguyên tố cùng nhau nên kết hợp với (1), (2) suy ra 0.5 ( n3 − n ) 24 (đpcm) Câu 2 2.Ta có (3.0 đ) ( n − 8) + 36 = n − 16n + 64 + 36 = n − 16n + 100 =n 2 2 4 2 4 2 4 + 20n 2 + 100 − 36n 2 =( n + 10 ) − 36n 6n + 10 )( n + 6n + 10 ) = (n − 2 2 2 2 2 Vì n ∈ N * nên n 2 + 6n + 10 > n 2 − 6n + 10 0.5  n 2 + 6n + 10 = 1 để ( n 2 − 8 ) + 36 là số nguyên tố thì  2 2  n − 6n + 10 = 1 Mà n 2 + 6n + 10 > n 2 − 6n + 10 nên n 2 − 6n + 10 = 1 0.5 ⇔ n 2 − 6n + 9 = 0 ⇔ ( n − 3 ) = 0 ⇔ n = 3 2 Thử lại: Với n = 3 ⇒ ( n 2 − 8 ) + 36 = ( 32 − 8 ) + 36 = 37 là số nguyên tố 2 2 Vậy với n = 3 thì ( n 2 − 8 ) + 36 là số nguyên tố 2 0.5 Câu 3 1. Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn: 2 x + 3 y + 4 x = 2 2 19 (3.0 đ) 2x 13 x 2. Giải phương trình: 2 + 2 = 6 3.0 đ 2 x − 5x + 3 2x + x + 3
1. Ta có: 2 x + 3 y 2 + 4 x = 19 ⇔ 2 x 2 + 4 x + 2 = 21 − 3 y 2 2 ⇔ 2 ( x 2 + 2 x + 1) = 3 ( 7 − y 2 ) ⇔ 2 ( x + 1) = 3 ( 7 − y 2 ) (1) 2 0.5 Ta thấy: Vế trái PT (1) chia hết cho 2 và 3 là số lẻ ⇒ 7 − y 2  2 ⇒ y 2 lẻ nên y lẻ ( 2 ) Vì vế trái PT (1) không âm do đó 3 ( 7 − y 2 ) ≥ 0 ⇔ 7 − y 2 ≥ 0 ⇔ y 2 ≤ 7 ( 3) 0.5 Từ (2) và (3) suy ra y 2 =⇔ y =1 . Thay y 2 = 1 vào (1) ta được : 1 ± = 3 = 2 x +1 x 2 ( x + 1) = ⇔ ( x + 1) = ⇔  2 2 18 9 ⇔ x +1 = 3 x = 4 − − 0.5 Vậy các nghiệm nguyên (x;y) của PT là ( 2; −1) , ( 2;1) , ( −4;1) , ( −4; −1) 2x 13 x 2. 2 + 2 = 6 2 x − 5x + 3 2 x + x + 3 Ta thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình. Chia cả tử và mẫu của các 2 13 phân thúc cho x ta có + = 6 3 3 2x − 5 + 2x + 1 + x x 3 Đặt: 2 x + − 2 =ta được: a 0.5 x 2 13 2a + 6 + 13a − 39 6(a − 3)(a + 3) + = 6⇔ = a−3 a+3 (a − 3)(a + 3) (a − 3)(a + 3) ⇒ 15a − 33 = 6a 2 − 54 ⇔ 6a 2 − 15a − 21 = (2a − 7)(a + 1) = 0⇔ 0  a = −1 ⇔ a = 7  2 0.5 3 7 Với a = −1 ⇒ 2 x + − 2 = ⇔ 2 x 2 − x + 3 =0 x 2 2  1 23 2 ⇔ 4x − 2x + 6 = ⇔  2x −  + 0 = lý 0 vô  2 4 7 3 Với a = ⇒ 2 x + − 2 = 1 ⇔ 4 x 2 − 11x + 6 = − 0 2 x x = 2 ⇔ 4 x − 3 x − 8 x + 6 = ( x − 2 )( 4 x − 3) = 2 0⇔ 0⇔  x = 3  4 3 0.5 Tập nghiệm của phương trình là S = 2;  .    4
Cho tam giác ABC nhọn . Các đường cao AE , BF cắt nhau tại H. Gọi M là trung điểm của BC , qua H vẽ đường thẳng a vuông góc với HM , a cắt a) Chứng minh: 𝜟𝜟𝜟𝜟𝜟𝜟𝜟𝜟 ∼ 𝜟𝜟𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬 AB, AC lần lượt tại I và K. b) Qua C kẻ đường thẳng b song song với đường thẳng IK , b cắt AH, AB theo thứ tự tại N và D. Chứng minh: H là trung điểm của IK + + c) Gọi G là giao điểm của CH và AB. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 𝑨𝑨𝑨𝑨 𝑩𝑩𝑩𝑩 𝑪𝑪𝑪𝑪 𝑯𝑯𝑯𝑯 𝑯𝑯𝑯𝑯 𝑯𝑯𝑯𝑯 thức: P = Hình vẽ: A FK Câu 4 G (7.0 đ) H I M C 0,5 B E N D a)Ta có: 𝛥𝛥𝛥𝛥𝛥𝛥𝛥𝛥 ∼ 𝛥𝛥𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵(𝑔𝑔. 𝑔𝑔) ⇒ = 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶 1,0 CE CA 1,0 Xét ∆ABC và ∆EFC có: = và góc C chung Suy ra: 𝛥𝛥𝛥𝛥𝛥𝛥𝛥𝛥 ∼ 𝛥𝛥𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸(𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐) CF CB 0.5 b)Vì CN / / IK mà 𝐻𝐻𝐻𝐻 ⊥ 𝐼𝐼 𝐼𝐼 nên HM ⊥ CN ⇒ M là trực tâm ∆HNC 0.5 ⇒ MN ⊥ CH mà CH ⊥ AD( H là trực tâm ∆ABC ) ⇒ MN / / AD Xét 𝛥𝛥𝛥𝛥𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑐𝑐ó: M là trung điểm của BC, MN // BD hay MN // BD 0.5 ⇒ N là trung điểm của CD ⇒ NC = ND (1) = 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐼𝐼 𝐼𝐼 𝐻𝐻𝐻𝐻 0.5 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐶𝐶𝐶𝐶 Từ (1) và (2) ⇒ IH = HK hay H là trung điểm của IK Vì IK // CD , Áp dụng định lý talets ta có: = (2) 0.5
= = = = 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑆𝑆 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑆𝑆 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑆𝑆 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 +𝑆𝑆 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑆𝑆 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 +𝑆𝑆 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐻𝐻𝐻𝐻 𝑆𝑆 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑆𝑆 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 𝑆𝑆 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 +𝑆𝑆 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 𝑆𝑆 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 c)Ta có: = ; = 𝐵𝐵𝐵𝐵 𝑆𝑆 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 +𝑆𝑆 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑆𝑆 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 +𝑆𝑆 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 0.5 𝐵𝐵𝐵𝐵 𝑆𝑆 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑆𝑆 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐵𝐵𝐵𝐵 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑆𝑆 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝑆𝑆 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 𝑆𝑆 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 Tương tự ta có: ⇒ 𝑃𝑃 = + + = + + 𝐻𝐻𝐻𝐻 𝐻𝐻𝐻𝐻 𝐻𝐻𝐻𝐻 𝑆𝑆 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑆𝑆 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑆𝑆 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 𝑆𝑆 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 𝑆𝑆 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = + + + + + 0.5 𝑆𝑆 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 𝑆𝑆 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑆𝑆 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 𝑆𝑆 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑆𝑆 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑆𝑆 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 𝑆𝑆 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = + + + + + 𝑆𝑆 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑆𝑆 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 𝑆𝑆 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑆𝑆 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 0.5 ≥2+2+2=6 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑆𝑆 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 Khi và chỉ khi ∆ABC đều . 0.5 y2 2x + 4 Cho hai số dương x , y thỏa mãn: 2 = . Hãy tìm giá 4 x + 12 x + 9 y +1 trị nhỏ nhất của biểu thức: Q = xy − 3 y − 2 x − 3 . 1.0 đ y2 2x + 4 y2 2x + 4 Ta có: 2 = ⇒ 2 = 4 x + 12 x + 9 y +1 (2 x + 3) y +1 Đặt a = y ; = 2 x + 3 ( a > 0; b > 3) b a2 b + 1 Ta được: 2 = ⇒ a 3 + a = b3 + b ⇔ (a − b)(a 2 + ab + b 2 + a + b) =0 (1) b a +1 Câu 5 Vì a > 0; b > 3 nên a + ab + b + a + b > 0 . 2 2 (1.0 đ) Do đó : (1) ⇔ a =. b Suy ra: = 2 x + 3 . y 0.5 Nên : Q x(2 x + 3) − 3(2 x + 3) − 2 x − 3 = = 2𝑥𝑥 2 − 5𝑥𝑥 − 12 = 2(𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 − 6) = 2 ��𝑥𝑥 − � − �. 5 5 2 121 2 4 16 = 2 �𝑥𝑥 − � − ≥ 5 2 121 −121 4 8 8 . 5 11 Dấu " = " xảy ra khi: x = = ;y (thỏa mãn). 0.5 4 2 −121 5 11 Vậy GTNN của Q là = ;y tại x = . 8 4 2 Điểm toàn bài 20 đ Lưu ý khi chấm bài: - Điểm toàn bài làm tròn đến 0,25 điểm.
- Trên đây chỉ là sơ lược các bước giải, lời giải của thí sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic. Nếu thí sinh trình bày cách làm khác mà đúng thì cho điểm các phần theo thang điểm tương ứng.