Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 10 năm 2015-2016 - Trường THPT Hải An

CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> <br /> SỞ GD & ĐT HẢI PHÒNG<br /> <br /> ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN KHỐI 10<br /> <br /> TRƯỜNG THPT HẢI AN<br /> <br /> NĂM HỌC 2015 -2016<br /> Thời gian làm bài: 150 phút<br /> <br /> Bài 1(2 điểm)<br /> 1. Tìm a và b để hàm số<br /> <br /> y  ax 2  bx  3 nhỏ nhất bằng - 4<br /> đạt giá trị<br /> <br /> khi x = 1<br /> <br /> 1<br /> <br /> 2. Tìm tập xác định của hàm số y =<br /> <br /> 1  2x  x  4  1  x<br /> Bài 2(3 điểm)<br /> <br />  x( x 2  y 2 )  5 y<br /> <br /> 1. Giải hệ phương trình: <br /> 2<br /> 2<br />  y( x  4 y )  2 x<br /> <br /> (m  1) x 2  (2m  3) x  3m  4<br /> 1<br /> 2. Tìm các giá trị của m để bất phương trình<br /> ( m  1) x 2  2mx  3m<br /> nghiệm đúng với  x  R.<br /> 3. Tìm các giá trị của m để phương trình (2 x  3) 2  2 x  3  m  14  0 có<br /> nghiệm thuộc [0;1].<br /> <br /> Bài 3(3 điểm): Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hai điểm A(2; 4) và B(6; 0).<br /> 1. Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm A và tạo với đường thẳng<br /> (d): x - 3y + 2 = 0 một góc 450<br /> 2. Viết phương trình đường thẳng k đi qua điểm A và tạo với hai trục toạ độ một<br /> tam giác có diện tích bằng 2 (đvdt).<br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> Trang | 1<br /> <br /> CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> <br /> 3. Tìm điểm M trên đoạn OA, điểm N trên đoạn AB, điểm E và F trên đoạn<br /> OB sao cho tứ giác MNEF là một hình vuông.<br /> Bài 4(2 điểm): Trong mặt phẳng cho  ABC với BC = a, AC = b, AB = c và R là<br /> bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác. Gọi ha, hb, hc là các đường cao lần<br /> lượt qua các đỉnh A, B, C của  ABC. CMR:<br /> <br /> a 2 b 2 c 2  8 R 3 ha hb hc<br /> <br /> Bài 5(2 điểm): Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: y =<br /> <br /> x2  x 1  x2  x 1<br /> <br /> ------------------------------Hết-----------------------------Giám thị coi thi không giải thích gì thêm<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> Trang | 2<br /> <br /> CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN KHỐI 10<br /> Bài ý<br /> <br /> Sơ lược đáp án<br /> <br /> Điểm<br /> <br /> +)TH1 a = 0: Hàm số có dạng y = bx - 3 nên không thoả mãn bài toán--------- 0,25đ<br /> ------><br /> a  0<br />  b<br /> <br /> +)TH2 a  0: Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng - 4 khi x = 1    1 ---1<br />  2a<br />  y (1)  4<br /> <br /> <br /> 0,25 đ<br /> <br /> -------><br /> 2<br /> Giải hệ ta tìm được a = 1 và b = - 2 => y  x  2 x  3 ------------------------------><br /> <br /> 0,5 đ<br /> <br /> +)Hàm số xác định<br /> 1<br /> 2<br /> <br /> 1  2 x  0<br /> 1<br /> <br /> x  4  0<br /> (1)<br /> <br />  4  x <br /> 2<br /> <br /> <br /> --><br /> 1  x  0<br />  1  2 x  1  x  x  4 (2)<br /> <br />  1 2x  x  4  1 x  0<br /> <br /> <br /> 0,25 đ<br /> <br /> 1<br /> <br /> 2 x  1  0<br /> x   2<br /> <br /> (2)  (1  2 x)(1  x)  2 x  1   2 x  1  0<br />  ...  <br /> <br />  1  x  0<br />  (1  2 x)(1  x)  (2 x  1) 2<br /> <br />  2<br /> <br /> <br /> 0,5 đ<br /> <br /> ---><br /> +)Kết hợp với điều kiện (1) ta được tập xá định của hàm số là: D = [- 4;0) ------ 0,25 đ<br /> ------><br /> +)Ta thấy: x = y = 0 thoả mãn hệ đã cho<br /> Hệ không có nghiệm dạng (a; 0) hoặc (0; a) với a  0--------------- 0,25 đ<br /> ------><br />  x( x2  y 2 )  5 y<br /> x  0<br /> (1)<br /> <br /> 1 +)Với <br /> thì HPT đã cho   2 2 2<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> 2 x ( x  y )  5 y ( x  4 y ) (2)<br /> y  0<br /> <br /> <br /> <br /> Ta có: (2) 2 <br /> <br /> <br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> 2<br /> <br /> <br /> x<br /> x<br />  y <br />   1  5 1  4    Từ đây ta tìm được    4 ----y<br /> x <br /> <br />  y<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> 0,5 đ<br /> <br /> Trang | 3<br /> <br /> CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> -------><br /> 2<br /> <br /> x<br /> x<br /> +)Mặt khác từ (1) => x và y cùng dấu =>    4   2 x = 2y<br /> y<br />  y<br /> <br /> Thế x = 2y vào (1), ta được: y =  2 / 2<br /> 2<br /> 2<br /> ) hoặc (- 2 ;) -------2<br /> 2<br /> <br /> 0,25 đ<br /> <br /> (m  1) x 2  (2m  3) x  3m  4<br /> 2 x 2  3 x  4<br /> 1<br />  0 -----------------(m  1) x 2  2mx  3m<br /> (m  1) x 2  2mx  3m<br /> <br /> 0,25 đ<br /> <br /> KL: hệ đã cho có nghiệm là (0;0) hoặc ( 2 ;<br /> ------><br /> +)Ta có:<br /> ------><br /> <br /> 2<br /> <br /> +)Ta thấy: 2 x 2  3 x  4  0 với  x  R<br /> 2<br /> <br /> 0,25 đ<br /> <br /> =>BPT đã cho nghiệm đúng với x  R (m  1) x 2  2mx  3m  0 với<br /> x  R----><br /> 0,5 đ<br /> <br /> m  1  0<br />  m  1<br /> 3<br />  2<br /> <br /> m<br /> 2<br /> 2<br /> m  3m(m  1)  0 2m  3m  0<br /> 3<br /> 2<br /> <br /> KL: BPT đã cho nghiệm đúng với x  R  m   ------------------------------------><br /> +)Đặt t = 2 x  3 khi đó phương trình (2) có dạng: t2 + t -14 = m (*)<br /> Ta có: 0  x  1  3  t  5<br /> 3<br /> <br /> 0,5 đ<br /> <br /> =>PT đã cho có nghiệm x  [0;1] PT (*) có nghiệm t  [3;5]---------------------><br /> +)Lập bảng biến thiên của hàm số f(t) = t2 + t -14 trên [3;5]<br /> 0,5 đ<br /> <br /> Ta được các giá tri của m thoả mãn bài toán là -2  m  16 ----------------------------><br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> Trang | 4<br /> <br /> CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> Câu ý<br /> <br /> Sơ lược đáp án<br /> <br /> Điểm<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> +)Gọi n = (a;b) là VTPT của  (ĐK: a 2  b 2  0 )<br /> Theo giả thiết ta có: cos(  ,d) = cos450 <br /> <br /> a  3b<br /> a 2  b 2 12  32<br /> <br /> <br /> <br /> 2<br /> -----------2<br /> <br /> 0,25 đ<br /> <br /> ------><br /> +)  2 a  3b  10 a 2  b2  2a 2  3ab  2b2  0 (*)<br /> <br /> 0,25 đ<br /> <br /> Nếu b = 0 thì a = 0 mâu thuẫn với ĐK: a 2  b 2  0<br /> 1<br /> <br /> a<br /> <br /> 2<br /> <br /> a<br /> <br /> a<br /> <br /> a<br /> <br /> 1<br /> <br />  ---------------------------------=> (*)  2    3  2  0   2 V<br /> b<br /> b<br /> b 2<br /> b<br /> ------><br /> <br /> +)Với<br /> <br /> 0,25 đ<br /> <br /> 0,25 đ<br /> <br /> a<br /> = -2 ta chọn a = 2 và b = -1 => Phương trình  : 2x - y = 0----------b<br /> <br /> -------><br /> +)Với<br /> 3<br /> <br /> a 1<br />  ta chọn a = 1 và b = 2 => Phương trình  : x + 2 y - 10 = 0 ----b 2<br /> <br /> -------><br /> +)Gọi giao điểm của đthẳng (k) với hai trục toạ độ là: E(a;0) và F(0;b) ĐK:<br /> ab  0<br /> Phương trình (k):<br /> <br /> x y<br />  1<br /> a b<br /> <br /> Do (k) đi qua điểm A nên ta có:<br /> Mặt khác, ta có: S OEF = 2 <br /> <br /> 2 4<br />   1 (*)<br /> a b<br /> <br /> 1<br /> a b  2  ab  4 -----------------------------2<br /> <br /> 0,25 đ<br /> <br /> 2 ------><br /> 0,25 đ<br /> <br /> 4<br /> 2<br /> +)Với ab = 4  a thế vào (*) ta được  a  1  a 2  a  2  0 vô<br /> b<br /> a<br /> <br /> nghiệm ----><br /> +) Với ab = - 4 <br /> <br /> 4<br />   a thế vào (*) ta được<br /> b<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> Trang | 5<br /> <br />