TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN<br />
<br />
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM 2016<br />
<br />
ĐỀ CHÍNH THỨC<br />
<br />
Môn thi: TOÁN khối 11<br />
<br />
(Đề thi gồm 01 trang)<br />
<br />
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề<br />
<br />
Câu 1 (3,0 điểm): Cho phương trình 3x 2 − 4(m − 1)x + 2m 2 − m + 2 = 0 (1) . Tìm các giá trị của<br />
tham số m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x 2 phân biệt sao cho x1 + x 2 + 4x1x 2 = 4<br />
Câu 2 (2,0 điểm): Giải phương trình cos 2x = 2 sin2 x + 4 cos x<br />
Câu 3 (4,0 điểm):<br />
a) Tìm hệ số của số hạng chứa x 14 trong khai triển của biểu thức P (x ) = x (x 2 − 2x )9 thành<br />
một đa thức ẩn x .<br />
b) Trong một kỳ thi chọn học sinh giỏi toán khối 11 của trường THPT Chu Văn An có 52<br />
học sinh đăng ký dự thi, trong đó có 1 em tên Thành và 1 em tên Đạt. Dự kiến Ban tổ chức<br />
kỳ thi sẽ sắp xếp 3 phòng thi (phòng 1 và phòng 2 có 18 thí sinh, còn phòng 3 có 16 thí sinh).<br />
Nếu phòng thi được sắp xếp một cách ngẫu nhiên, hãy tính xác suất để Thành và Đạt ngồi<br />
thi chung trong một phòng.<br />
Câu 4 (3,0 điểm):<br />
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi O là tâm của mặt<br />
đáy ABCD và P là trung điểm của cạnh bên SD.<br />
a) Chứng minh rằng đường thẳng OP vuông góc với cả hai đường thẳng AC và SD.<br />
b) Tính góc hợp bởi hai mặt phẳng (SAD ) và (SCD ).<br />
Câu 5 (3,0 điểm):<br />
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD có M và N là các điểm tương<br />
ứng lấy trên cạnh AB và BC sao cho AM = BN = 3NC . Biết điểm D có toạ độ nguyên,<br />
điểm N (4; −2) và đường thẳng DM có phương trình 2x − y + 3 = 0. Hãy viết phương trình<br />
của đường thẳng AN và xác định toạ độ đỉnh D của hình vuông ABCD .<br />
<br />
xy 2 + x 2y + xy + x 2 − y − 1 = 0<br />
<br />
<br />
Câu 6 (3,0 điểm): Giải hệ phương trình <br />
3 3x − y = 3 3x + y<br />
<br />
<br />
Câu 7 (2,0 điểm):<br />
<br />
Cho hai số thực dương a và b thoả mãn a + b = a 2 + b 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức<br />
<br />
a 2 b2<br />
8<br />
P=<br />
+ +<br />
b<br />
a<br />
a +b<br />
----- Hết ----Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.<br />
Họ và tên thí sinh: ……………………………………………………….; Số báo danh: ………………..<br />
<br />
ĐÁP ÁN - ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM 2016 (KHỐI 11)<br />
Câu<br />
<br />
Lược giải<br />
<br />
Điểm Câu<br />
<br />
Lược giải<br />
<br />
3x 2 − 4(m − 1)x + 2m 2 − m + 2 = 0<br />
<br />
∆′ = −2m 2 − 5m − 2 > 0<br />
<br />
(<br />
<br />
)<br />
2<br />
<br />
⇔ m ∈ −2; − 1<br />
<br />
4(m − 1)<br />
;<br />
3<br />
2m 2 − m + 2<br />
x1x 2 =<br />
3<br />
<br />
0,5<br />
0,5<br />
<br />
x1 + x 2 =<br />
<br />
⇔ 4 cos2 x − 4 cos x − 3 = 0<br />
<br />
1<br />
(do cos x ∈ [−1;1])<br />
2<br />
2π<br />
⇔x =±<br />
+ k 2π (k ∈ ℤ)<br />
3<br />
P(x ) = x(x 2 − 2x )9<br />
<br />
⇔ cos x = −<br />
<br />
=<br />
<br />
A<br />
<br />
B<br />
<br />
4a<br />
<br />
1,0<br />
<br />
AC ⊥ BD<br />
<br />
<br />
⇒ AC ⊥ (SBD )<br />
<br />
AC ⊥ SO<br />
<br />
<br />
<br />
0,75<br />
<br />
⇒ AC ⊥ OP<br />
<br />
∆SBD có<br />
<br />
0,5<br />
<br />
BD 2 = 2a 2 = SB 2 + SD 2<br />
<br />
0,5<br />
<br />
⇒ SB ⊥ SD<br />
<br />
0,75<br />
<br />
SB ta suy ra<br />
Kết hợp OP€<br />
OP ⊥ SD<br />
<br />
1,0<br />
<br />
k =0<br />
<br />
Cho 19 − k = 14 ⇔ k = 5.<br />
<br />
Tính góc ((SAD ), (SCD ))<br />
<br />
0,5<br />
<br />
5<br />
Hệ số cần tìm: C 9 .(−2)5 = −4032<br />
<br />
0,5<br />
<br />
SD ⊥ OP<br />
<br />
<br />
⇒ SD ⊥ (PAC )<br />
<br />
SD ⊥ AC<br />
<br />
<br />
<br />
Xác suất để Thành, Đạt thi chung phòng<br />
18 18<br />
n(Ω) = C 52 .C 34<br />
<br />
0,5<br />
<br />
SD ⊥ PA<br />
<br />
⇒<br />
<br />
SD ⊥ PC<br />
<br />
<br />
<br />
0,5<br />
<br />
⇒ ((SAD ),(SCD )) = (PA, PC )<br />
<br />
“Thành, Đạt thi chung P1 hoặc P2”<br />
16 18<br />
n(A1 ) = 2 × (C 50 .C 34 )<br />
<br />
18 18<br />
n(A2 ) = C 50 .C 32<br />
<br />
0,5<br />
<br />
Tam giác OPC vuông tại O có<br />
<br />
tan OPC =<br />
<br />
Xét biến cố A:<br />
“Thành, Đạt thi chung phòng” thì<br />
16 18<br />
18 18<br />
n(A) = 2 × (C 50 .C 34 ) + C 50 .C 32<br />
<br />
P (A) =<br />
<br />
n(A)<br />
71<br />
=<br />
n(Ω) 221<br />
<br />
0,75<br />
<br />
4b<br />
<br />
“Thành, Đạt thi chung Phòng 3”<br />
3b<br />
<br />
C<br />
<br />
Chứng minh OP ⊥ AC , OP ⊥ SD<br />
<br />
9<br />
<br />
∑C 9k .(−2)k .x 19−k<br />
<br />
D<br />
O<br />
<br />
cos 2x = 2 sin 2 x + 4 cos x<br />
<br />
3a<br />
<br />
P<br />
<br />
1,0<br />
<br />
Đáp số: m = −1<br />
<br />
2<br />
<br />
S<br />
<br />
1,0<br />
<br />
x1 + x 2 + 4x1x 2 = 4 ⇔ m = ±1<br />
<br />
1<br />
<br />
Điểm<br />
<br />
OC<br />
= 2<br />
OP<br />
<br />
⇒ OPC ≈ 54 44′8 ′′<br />
0,5<br />
<br />
Từ đó,<br />
((SAD ),(SCD )) ≈ 70 31′ 44 ′′<br />
<br />
0,75<br />
<br />
Câu<br />
<br />
Lược giải<br />
<br />
Điểm Câu<br />
M<br />
<br />
A<br />
<br />
Lược giải<br />
TH2 : xy + x 2 − 1 = 0<br />
<br />
B<br />
<br />
1<br />
− x , (2) trở thành<br />
x<br />
1<br />
1<br />
3 3x − + x = 3 2x + (3)<br />
x<br />
x<br />
1<br />
Đặt a = 3x , b = 2x + thì<br />
x<br />
1<br />
a, b ≥ 0 và a 2 − b 2 = x −<br />
x<br />
⇔y=<br />
<br />
H<br />
N<br />
C<br />
<br />
D<br />
<br />
Viết phương trình đường thẳng AN<br />
và tìm toạ độ đỉnh D<br />
<br />
3<br />
tan BAN = = cot AMD<br />
4<br />
<br />
6<br />
<br />
Từ đó viết được AN : x + 2y = 0<br />
<br />
0,5<br />
<br />
⇔ (a − b)(a + b + 3) = 0<br />
<br />
0,5<br />
<br />
Như vậy,<br />
<br />
⇒ AN = DM = 5a<br />
<br />
⇒ ND = 17a 2 = 85<br />
<br />
0,5<br />
<br />
GTNN của P =<br />
<br />
⇒ a + b = a 2 + b2 ≤ 2<br />
1<br />
1<br />
⇒<br />
≥<br />
a +b<br />
2<br />
<br />
0,5<br />
<br />
0,5<br />
<br />
xy 2 + x 2y + xy + x 2 − y − 1 = 0 (1)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
(2)<br />
<br />
3 3x − y = 3 3x + y<br />
<br />
0,5<br />
(1) ⇔ (y + 1)(xy + x 2 − 1) = 0<br />
TH1 : y = −1 thì (2) trở thành<br />
<br />
⇔3<br />
<br />
(<br />
<br />
)<br />
<br />
3x − 3x − 1 + 1 = 0<br />
<br />
(vô nghiệm do 3x > 3x − 1 )<br />
<br />
a 2 b2<br />
⇒<br />
+ ≥ a +b<br />
b<br />
a<br />
<br />
7<br />
<br />
Vậy D(2; 7)<br />
<br />
3 3x + 1 = 3 3x − 1<br />
<br />
a2<br />
b2<br />
<br />
<br />
+ b + + a ≥ 2a + 2b<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
b<br />
<br />
a<br />
<br />
<br />
0,5<br />
<br />
ND = 85 ⇔ (t − 4)2 + (2t + 5)2 = 85<br />
<br />
6<br />
<br />
0,5<br />
<br />
Do a, b > 0 nên theo CauChy ta có<br />
<br />
⇒ ND = (t − 4;2t + 5)<br />
⇔ t = 2 (do t ∈ ℤ)<br />
<br />
a 2 b2<br />
8<br />
+<br />
+<br />
b<br />
a<br />
a +b<br />
<br />
(a 2 + b 2 )2 = (a + b)2 ≤ 2(a 2 + b 2 )<br />
<br />
Do D ∈ DM : 2x − y + 3 = 0 nên<br />
D(t;2t + 3) (t ∈ ℤ)<br />
<br />
0,5<br />
<br />
Cho a, b > 0, a + b = a 2 + b 2 . Tìm<br />
<br />
13<br />
13<br />
a = d (N , DM ) =<br />
5<br />
5<br />
⇒a = 5<br />
<br />
∆NCD có ND = (4a )2 + a 2<br />
<br />
0,5<br />
<br />
1<br />
x<br />
<br />
1<br />
≥ 0 ⇔x =1<br />
x<br />
Đáp số: (x ; y ) = (1; 0)<br />
<br />
⇒ AM = BN = 3a<br />
<br />
⇒ HN =<br />
<br />
3x = 2x +<br />
<br />
⇔ 3x = 2x +<br />
<br />
AM .AD 12<br />
= a<br />
DM<br />
5<br />
<br />
0,5<br />
<br />
⇔ a = b (do a, b ≥ 0)<br />
<br />
Gọi H = AN ∩ DM<br />
Đặt AB = 4a > 0<br />
<br />
⇒ AH =<br />
<br />
0,5<br />
<br />
(3) trở thành a 2 + 3a = b 2 + 3b<br />
<br />
⇒ BAN + AMD = 90 ⇒ AN ⊥ DM<br />
<br />
5<br />
<br />
Điểm<br />
<br />
⇒<br />
<br />
0,5<br />
<br />
a 2 b2<br />
8<br />
8<br />
+ +<br />
≥ a +b +<br />
b<br />
a<br />
a +b<br />
a +b<br />
<br />
<br />
4<br />
⇒ P ≥ a +b +<br />
<br />
<br />
a +b<br />
<br />
⇒ P ≥ 2 (a + b) ⋅<br />
<br />
<br />
1<br />
+ 4⋅<br />
<br />
<br />
a +b<br />
<br />
0,5<br />
<br />
4<br />
1<br />
+ 4⋅ = 6<br />
a +b<br />
2<br />
<br />
Ngoài ra a = b = 1 thoả điều kiện<br />
0,5<br />
<br />
a + b = a 2 + b 2 và lúc đó P = 6<br />
Vậy, giá trị nhỏ nhất của P bằng 6.<br />
<br />
0,5<br />
<br />
CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br />
MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br />
<br />
GIÁO VIÊN VÀ HUẤN LUYỆN VIÊN HÀNG ĐẦU<br />
-<br />
<br />
Học Online trực tiếp với các Thầy, Cô là chuyên gia bồi dưỡng HSG Quốc gia chuyên môn<br />
cao, giàu kinh nghiệm và đạt nhiều thành tích.<br />
Học kèm Online trực tiếp với Huấn luyện viên giỏi là các anh chị đã tham gia và đạt giải<br />
cao trong kì thi HSG Quốc gia các năm trước.<br />
Chương trình được sắp xếp hệ thống, khoa học, toàn diện giúp học sinh nắm bắt nhanh<br />
kiến thức và tối ưu kết quả học tập.<br />
<br />
-<br />
<br />
CÁCH HỌC VÀ PHƯƠNG PHÁP HỌC THÚ VỊ - HIỆU QUẢ<br />
-<br />
<br />
Lớp học Online ít học sinh: Mỗi lớp từ 5 - 10 em để Giáo viên và Huấn luyện viên bám sát,<br />
hỗ trợ kịp thời cho các em nhằm đảm bảo chất lượng khóa học ở mức cao nhất.<br />
Thời gian học linh động, sắp xếp hợp lý giúp các em dễ dàng lựa chọn cho mình khung<br />
thời gian tốt nhất để học.<br />
Mỗi bài học được chia thành nhiều buổi học (mỗi bài có tối thiểu 2 buổi học):<br />
<br />
+ Buổi đầu tiên huấn luyện viên hướng dẫn các em học Online trực tiếp: Phần lý<br />
thuyết, phương pháp giải toán - các ví dụ minh họa điển hình & bài tập tự luyện do giáo viên<br />
cung cấp. Trong quá trình học các em được trao đổi, thảo luận Online trực tiếp với các bạn<br />
cùng học và huấn luyện viên để nắm rõ và hiểu sâu thêm các vấn đề trong bài học.<br />
+ Buổi học tiếp theo: Sau khi về nhà các em đã làm bài tập tự luyện thì ở buổi học này<br />
Huấn luyện viên sẽ đánh giá bài làm của các em và sửa bài. Trong quá trình sửa bài các em<br />
thảo luận Online trực tiếp với HLV, các bạn cùng lớp để hoàn thiện bài làm và mở rộng thêm<br />
các dạng toán mới.<br />
<br />
HỌC CHỦ ĐỘNG – HỌC THOẢI MÁI VÀ TIẾT KIỆM<br />
-<br />
<br />
-<br />
<br />
Các em không cần đến lớp, không cần đi lại mất thời gian, công sức, tiền của. Hãy chọn<br />
cho mình góc học tập yên tĩnh, tập trung và 01 máy tính có kết nối internet là chúng bắt<br />
đầu học Online trực tiếp như ở lớp.<br />
Mỗi tuần học 2 buổi, có nhiều lớp học, ca học trong ngày giúp các em hoàn toàn chủ động<br />
thời gian học tập của mình.<br />
Các chuyên đề luôn được mở giúp các em có thể học nhanh chương trình, trong thời gian<br />
ngắn nhất.<br />
Kết nối với các thầy cô, huấn luyện viên Online trực tiếp giúp việc giải đáp các vấn đề<br />
nhanh hơn - hiệu quả hơn.<br />
Được kết giao với các bạn học khác là những học sinh yêu thích, đam mê và giỏi toán trên<br />
toàn quốc.<br />
Học phí phù hợp. Đội ngũ tư vấn, cskh nhiệt tình, tận tâm hỗ trợ các em trong suốt quá<br />
trình học.<br />
<br />
www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br />
<br />
Trang | 1<br />
<br />
Thêm vào BST
Báo xấu
Download
Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ
