Đề thi học sinh giỏi Toán huyện Kinh Môn (Năm học 2015-2016)

Chia sẻ: Nguyễn Công Liêu | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

156
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mời các bạn cùng tham khảo "Đề thi học sinh giỏi Toán huyện Kinh Môn" năm học 2015-2016, với đề thi này sẽ giúp các bạn ôn tập lại kiến thức đã học, có cơ hội đánh giá được năng lực của mình. Chúc bạn thành công trong kỳ thi sắp tới.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi học sinh giỏi Toán huyện Kinh Môn (Năm học 2015-2016)

ĐỀ HUYỆN KINH MÔN NĂM 2015 - 2016 Câu 1: (2đ). 1) Cho x  3 17  12 2  3 17  12 2 . Tính giá trị của biểu thức: A = x6 – 6x4 + 4x3 + 9x2 – 12x + 724. 2) Cho a, b, c là các số thực khác 0 thỏa mãn: a3 + b3 – c3 + 3abc = 0. ab  a   ca  2 2 2 Tính giá trị của biểu thức: M  2.    3.    5.    c   bc  b  Câu 2: (2đ). 1) Giải phương trình: x 2  12  17  9x  x 2  5 2) Chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì p2 – 1 chia hết cho 24. Câu 3: (2đ). 1) Tìm các số nguyên x, y sao cho 2x2 – 4x + 3y2 + 6y – 5xy – 7 = 0. 2) Cho đa thức P(x) thỏa mãn: Khi chia cho x – 3 dư 17; khi chia cho x – 1 dư 3. Tìm dư của phép chia P(x) cho x2 – 4x + 3. Câu 4: (3đ). Cho  ABC. M là điểm thuộc cạnh BC. Qua M kẻ các đường thẳng song song với AC, AB. Chúng cắt AB, AC thứ tự tại N và P. 1) Gọi O là trung điểm của NP. Chứng minh A, O, M thẳng hàng. MB 1 2) Giả sử đường thẳng NP cắt đường thẳng BC tại Q và  . MC 2 Tính QB/QC. 3) Tìm vị trí của M để diện tích  MNP có giá trị lớn nhất. Câu 5: (1đ). Cho các số dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của: a8 b8 c8 M 4   (a  b4 ).(a 2  b 2 ) (b4  c4 ).(b2  c2 ) (c4  a 4 ).(c2  a 2 )
Gợi ý Câu 1: (2đ). 1) Cho x  3 17  12 2  3 17  12 2 . Tính giá trị của biểu thức: A = x6 – 6x4 + 4x3 + 9x2 – 12x + 724. Từ x  3 17  12 2  3 17  12 2  lập phương 2 vế, chuyển vế ta được: x3 – 3x – 34 = 0.  A = x (x – 3x – 34) – 3x(x – 3x – 34) + 38(x – 3x – 34) + 2016 = 2016. 3 3 3 3 2) Cho a, b, c là các số thực khác 0 thỏa mãn: a3 + b3 – c3 + 3abc = 0. ab  a   ca  2 2 2 Tính giá trị của biểu thức: M  2.    3.    5.    c   bc  b  a3 + b3 – c3 + 3abc = 0  (a + b)3 – 3ab(a + b) – c3 + 3abc = 0  (a + b – c).(a + 2ab + b + ac + bc + c ) – 3ab(a + b – c) = 0 2 2 2  (a + b – c)(a – ab + ac + bc + b + c ) = 0 2 2 2  (a + b – c)(2a – 2ab + 2ac + 2bc + 2b + 2c ) = 0 2 2 2  (a + b – c)[(a – b) + (a + c) + (b + c) ] = 0 2 2 2  a + b – c = 0 hoặc a = b = - c. * Với a + b – c = 0  M = 2.12 + 3.(-1)2 + 5.12 = 10. * Với a = b = -c  M = 2.(-2)2 + 3.(1/2)2 + 5.(-2)2 = 115/4 Câu 2: (2đ). 1) Giải phương trình: x 2  12  17  9x  x 2  5 x 2  12  17  9x  x 2  5  x 2  12 - 4 = x 2  5 - 3 + 9x – 18 (x  2)(x  2) (x  2)(x  2) (x  2)(x  2) (x  2)(x  2)    9(x  2)    9(x  2)  0 x  12  4 2 x 5 3 2 x  12  4 2 x2  5  3  x2 x2   (x  2)    9  0  x  12  4 x2  5  3  2 Ta thấy x 2  12  17  9x  x 2  5 td x 2  12  x 2  5  9x  17
Vì x 2  12  x 2  5 > 0 nên 9x – 17 > 0  x > 17/9. x2 x2 Khi đó dễ thấy   9 < 0 nên x – 2 = 0  x = 2. x 2  12  4 x2  5  3 2) Chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì p2 – 1 chia hết cho 24. p2 – 1 = (p – 1)(p + 1). Do p nguyên tố lớn hơn 3 nên p không chia hết cho 3.  p – 1 hoặc p + 1 chia hết cho 3  (p – 1)(p + 1) chia hết cho 3 (1). Do p nguyên tố lớn hơn 3 nên p lẻ  p – 1 chẵn, p + 1 chẵn mà p – 1; p + 1 là 2 số chẵn liên tiếp  (p – 1)(p + 1) chia hết cho 8 (2) (1); (2) và (3, 8) = 1  p2 – 1 chia hết cho 24. Câu 3: (2đ). 1) Tìm các số nguyên x, y sao cho 2x2 – 4x + 3y2 + 6y – 5xy – 7 = 0. Đưa về (x – y – 2)(2x – 3y) = 7. Vì x, y nguyên nên: x-y-2 1 7 -1 -7 2x – 3y 7 1 -7 -1 x 2 17 10 - 14 y -1 26 9 -9 2) Cho đa thức P(x) thỏa mãn: Khi chia cho x – 3 dư 17; khi chia cho x – 1 dư 3. Tìm dư của phép chia P(x) cho x2 – 4x + 3. Theo bài  P(3) = 17; P(1) = 3. Vì đa thức chia là x2 – 4x + 3 có bậc 2 nên đa thức dư có dạng ax + b  P(x) = (x – 1)(x – 3).Q(x) + ax + b. P(3) = 17 và P(1) = 3  a + b = 3 và 3a + b = 17  a = 7, b = - 4 Vậy dư là 7x – 4.
Câu 4: (3đ). Cho  ABC. M là điểm thuộc cạnh BC. Qua M kẻ các đường thẳng song song với AC, AB. Chúng cắt AB, AC thứ tự tại N và P. 1) Gọi O là trung điểm của NP. Chứng minh A, O, M thẳng hàng. MB 1 2) Giả sử đường thẳng NP cắt đường thẳng BC tại Q và  . MC 2 Tính QB/QC. 3) Tìm vị trí của M để diện tích  MNP có giá trị lớn nhất. A 1) dễ. 2) BM/BC = BN/BA = MN/AC = 1/3 P  AP/AC = 1/3  AP/PC = ½  MN/PC = 1/2 O QM/QC = MN/PC = 1/2.  QM = MC mà BM = MC/2  MB = QB N  QB/QC = 1/4. 3)  BNM ~  BAC;  MPC ~  BAC C Q B M  SBMN/SABM = BM /BC 2 2 SMPC/SBAC = CM2/BC2  (SBNM + SMPC)/SABC = (BM + CM )/BC . 2 2 2 Dễ chỉ ra SANMP = 2.SMNP  SMNP lớn nhất  SANMP lớn nhất  SBNM + SMPC nhỏ nhất. Mà (SBNM + SMPC)/SABC = (BM2 + CM2)/BC2  2. (SBNM + SMPC)/SABC = 2(BM + CM )/BC  (BM + CM) /BC = 1 2 2 2 2 2  SBNM + SMPC  (SABC)/2 không đổi.  Min(SBNM + SMPC) = (SABC)/2 không đổi  BM = MC  M là trung điểm BC. Vậy …
Câu 5: (1đ). Cho các số dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của: a8 b8 c8 M 4   (a  b4 ).(a 2  b 2 ) (b4  c4 ).(b2  c2 ) (c4  a 4 ).(c2  a 2 ) a8 b8 Có:   a 2  b2 ; (a  b ).(a  b ) (a  b ).(a  b ) 4 4 2 2 4 4 2 2 b8 c8 c8 a8  = b 2 – c 2 ;  = c2 – a2 (b  c ).(b  c ) (b  c ).(b  c ) 4 4 2 2 4 4 2 2 (c  a ).(c  a ) (c  a ).(c  a ) 4 4 2 2 4 4 2 2 a8 b8 b8 c8  4    + (a  b 4 ).(a 2  b 2 ) (a 4  b 4 ).(a 2  b 2 ) (b 4  c 4 ).(b2  c 2 ) (b 4  c 4 ).(b 2  c 2 ) c8 a8 +  =0 (c 4  a 4 ).(c2  a 2 ) (c 4  a 4 ).(c 2  a 2 ) a8 b8 c8   (a 4  b 4 ).(a 2  b 2 ) (b 4  c4 ).(b2  c 2 ) (c4  a 4 ).(c2  a 2 )  b8 c8 a8    (a 4  b 4 ).(a 2  b2 ) (b 4  c4 ).(b 2  c2 ) (c 4  a 4 ).(c 2  a 2 ) a 8  b8 b 8  c8 c8  a 8  2M = 4   (a  b 4 ).(a 2  b2 ) (b 4  c4 ).(b 2  c 2 ) (c4  a 4 ).(c2  a 2 ) Lại có 2.(a8 + b8 )  (a4 + b4)2; 2(a4 + b4)  (a2 + b2)2 ; a2 + b2  2ab a 4  b4 b4  c4 c4  a 4  4M  2   a  b2 b2  c2 c2  a 2  8M  a + b + b + c + c + a  2ab + 2bc + 2ca = 2(ab + bc + ca) = 2 2 2 2 2 2 2  8M  2  M  1/4. 1  MinM = 1/4  a = b = c = 3