Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 12 năm 2009

Chia sẻ: Tran Binh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:13

Thêm vào BST

Báo xấu

120
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 dành cho các em học sinh đang chuẩn bị cho kỳ kiểm tra, qua đó các em sẽ được làm quen với cấu trúc đề thi và củng cố lại kiến thức căn bản nhất. Chúc các bạn thành công!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 12 năm 2009

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CẤP TỈNH GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY NĂM HỌC 2008 - 2009 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Lớp 12 THPT Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi:10/02/2009 Chú ý: - Đề thi gồm 4 trang - Thí sinh làm bài trực tiếp vào bản đề thi này Điểm của toàn bài thi Các giám khảo Số phách Bằng số Bằng chữ (Họ, tên và chữ ký) (Do Chủ tịch Hội đồng chấm thi ghi) Giám khảo 1: Giám khảo 2: Qui định: Học sinh trình bày vắn tắt cách giải, công thức áp dụng, kết quả tính toán vào ô trống liền kề bài toán. Các kết quả tính gần đúng, nếu không có chỉ định cụ thể, được ngầm định chính xác tới 4 chữ số phần thập phân sau dấu phẩy. Bài 1. 1.1. Tìm giá trị gần đúng của x sao cho hàm số f(x) = 3cos2x + 4cosx.sinx + 5sin2x đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. 1.2. Tính gần đúng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên. Cách giải Kết quả Bài 2. 3x2  2 x  4 2.1. Tính gần đúng giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số f ( x)  . 4x  5 2.2. Tính khoảng cách d gần đúng giữa hai điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số trên ( lấy kết quả trên màn hình ). Kết quả : Gtcđ  Gtct  d  Bài 3. 3.1. Tìm hàm số bậc 3 đi qua các điểm A(-2 ; 5), B(3 ; -1), C(-4 ; 3), D(4 ; 9) 3.2.Tính gần đúng diện tích S giới hạn bỡi đồ thị hàm số trên và trục Ox. Kết quả : y= S  Trang 1
Bài 4. Tính gần đúng diện tích hình thang, biết chiều dài hai đáy là a = 2 7 , b = 7 3 . Góc giữa hai cạnh không song song bằng   250 và biết rằng hai đường chéo vuông góc nhau. Cách giải Kết quả Bài 5. Một ổ khóa két sắt gồm sáu chữ số, hiện tại đang ở số 000000. Cần ít nhất bao nhiêu thời gian ( tính theo giờ, phút, giây) để kiểm tra được tất cả các mã số từ 000001 đến 999999 với giả thiết rằng thời gian bấm một phím là nửa giây. Cách giải Kết quả Bài 6. 6.1. Một sinh viên vừa trúng tuyển đại học được ngân hàng cho vay trong 4 năm học, mỗi năm 2.000.000đ để nộp học phí với lãi suất ưu đãi 3%/năm. sau khi tốt nghiệp đại học, sinh viên ấy phải trả góp cho ngân hàng hàng tháng với số tiền m đồng ( không đổi ) cũng với lãi suất 3%/năm trong vòng 5 năm . Tính số tiền m hàng tháng sinh viên đó phải trả nợ cho ngân hàng ( làm tròn kết quả đến hàng đơn vị ). Cách giải Kết quả 6.2. Hoà vừa trúng tuyển vào đại học, bố Hoà tích góp tiền gởi tặng cho Hoà để mua một máy tính trị giá 6.000.000 đồng bằng cách cho Hoà số tiền hàng tháng theo phương thức sau : Tháng đầu tiên Hoà nhận được 200.000 đồng, các tháng từ tháng thứ hai trở đi , mỗi tháng nhận được số tiền hơn tháng trước 20.000đ . Nếu Hoà muốn có ngay máy tính để học bằng cánh chọn phương thức mua trả góp hàng tháng bằng đồng tiền bố cho với lãi suất 0,7 %/ tháng, thì Hoà phải trả góp bao nhiêu tháng mới hết nợ và tháng cuối cùng phải trả bao nhiêu ? Trang 2
Nêu cách giải và quy trình bấm phím Kết quả Bài 7. Cho tam giác ABC có độ dài ba đường trung tuyến là ma= 48,25 cm, mb= 65,52 cm, mc = 54,76cm. Tính gần đúng diện tích của tam giác ABC. Cách giải Kết quả Bài 8. Một người nông dân có một đám cỏ hình tròn bán kính R = 200 mét, cỏ đầy không có chỗ nào trống. Ông ta buộc một con bò vào một cây cọc trên mép đám cỏ. Hãy tính gần đúng chiều dài đoạn dây buộc sao cho con bò chỉ ăn được đúng một nửa đám cỏ . Cách giải Kết quả Bài 9. 9.1. Một hình hộp chữ nhật ABCDA'B'C'D' có AB = a, AD = b, AA' = c . Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng AB'D' và mặt phẳng A'C'D. Tính  theo a, b, c . Cho biết a = 45cm, b = 36cm, c = 52cm ; hãy tính  theo độ, phút, giây. Trang 3
Cách giải Kết quả 9.2. Một hình tứ diện có một cạnh bằng a = 26cm , cạnh đối diện dài bằng b = 32cm và các cạnh còn lại dài bằng c = 48cm. Tìm gần đúng bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện . Cách giải Kết quả 2un 1  3un , nếu n lẻ Bài 10. Cho dãy số un xác định bỡi u1  1; u2  2; un  2   3un 1  2un , nếu n chẵn 10.1. Tính các giá trị u10 , u15 , u21 10.2. Gọi Sn là tổng của n số hạng đầu tiên của dãy (un) . Tính S10, S15 , S20. u10 = u15 = u21= S10 = S15 = S20 = Lập quy trình bấm phím để tính un và Sn --------------HẾT------------- Trang 4
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CẤP TỈNH GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY NĂM HỌC 2008 - 2009 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Lớp 12 BTTHPT Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi:10/02/2009 Chú ý: - Đề thi gồm 4 trang - Thí sinh làm bài trực tiếp vào bản đề thi này Điểm của toàn bài thi Các giám khảo Số phách Bằng số Bằng chữ (Họ, tên và chữ ký) (Do Chủ tịch Hội đồng chấm thi ghi) Giám khảo 1: Giám khảo 2: Qui định: Học sinh trình bày vắn tắt cách giải, công thức áp dụng, kết quả tính toán vào ô trống liền kề bài toán. Các kết quả tính gần đúng, nếu không có chỉ định cụ thể, được ngầm định chính xác tới 4 chữ số phần thập phân sau dấu phẩy. Bài 1. Tìm nghiệm gần đúng (độ, phút, giây) của phương trình : sin 2 2 x  5(sin x  cos x )  1 Cách giải Kết quả Bài 2. 3x2  2 x  4 2.1. Tính gần đúng giá trị cực đại và cực tiểu của hàm số f ( x)  . 4x  5 2.2. Tính khoảng cách gần đúng giữa hai điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số trên ( lấy kết quả trên màn hình ). Kết quả : Gtcđ  Gtct  d  Bài 3. 3.1. Tìm hàm số bậc 3 đi qua các điểm A(-2 ; 5), B(3 ; -1), C(-4 ; 3), D(4 ; 9) 3.2. Tính giá trị gần đúng của a, b sao cho đường thẳng y = ax + b tiếp xúc với đồ thị của hàm số trên tại điểm M có hoành độ x 0 = 6 - 5 . Kết quả : y= a  ,b  Trang 1
Bài 4. Cho đa thức P(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e , biết P(1) = 5, P(2) = 11, P(3) = 21, P(4) = 35, P(5) = 77. 4.1. Tính P(20) , P(2009). ( Lấy kết quả chính xác). 4.2. Tìm số dư của phép chia P(x) cho 3x - 4 . Cách giải Kết quả Số dư của phép chia P(x) cho 3x + 4 là : r =  x  3  4t  x  1  2t   Bài 5. Cho hai đường thẳng  :  y  2  3t và d :  y  2  7t  z  5t  z  1  t   5.1. Tính gần đúng góc ( độ, phút, giây) giữa hai đường thẳng đó. 5.2. Tính gần đúng khoảng cách giữa hai đường thẳng đó. Cách giải Kết quả Bài 6. Hoà vừa trúng tuyển vào đại học, bố Hoà tích góp tiền gởi tặng cho Hoà để mua một máy tính trị giá 6.000.000 đồng bằng cách cho Hoà số tiền hàng tháng theo phương thức sau : Tháng đầu tiên Hoà nhận được 200.000 đồng, các tháng từ tháng thứ hai trở đi, mỗi tháng nhận được số tiền hơn tháng trước 20.000đ. Nếu Hoà muốn có ngay máy tính để học bằng cánh chọn phương thức mua trả góp hàng tháng bằng số tiền bố cho với lãi suất 0,7 %/ tháng, thì Hoà phải trả góp bao nhiêu tháng mới hết nợ và tháng cuối cùng phải trả bao nhiêu ? Trang 2
Nêu cách giải và quy trình bấm máy Kết quả Bài 7. Cho tam giác ABC có góc A = 360, BC = 52 cm, AC - AB = 28 cm . 7.1.Tính góc B và C theo độ, phút, giây. 7.2. Tính gần đúng các cạnh còn lại và diện tích S của tam giác. Cách giải Kết quả Bài 8. Một hình tứ diện có một cạnh bằng a = 26 cm , cạnh đối diện dài bằng b = 32 cm và các cạnh còn lại dài bằng c = 48 cm. Tìm gần đúng bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện . Cách giải Kết quả Trang 3
Bài 9. Một người nông dân có một đám cỏ hình tròn bán kính R = 200 mét, cỏ đầy không có chỗ nào trống. Ông ta buộc một con bò vào một cây cọc trên mép đám cỏ. Hãy tính gần đúng chiều dài đoạn dây buộc sao cho con bò chỉ ăn được đúng một nửa đám cỏ . Cách giải Kết quả Bài 10. Cho dãy số un xác định bỡi u1  1; u2  2; un  2  2un 1  3un 10.1. Tính các giá trị u10 , u20 10.2. Gọi Sn là tổng của n số hạng đầu tiên của dãy (un) . Tính S20 . Lập quy trình bấm phím để tính un và Sn Kết quả : u10 = u20 = S20 = --------------HẾT------------- Trang 4
Trường Chuyên Lê Quý Đôn ---------------- ĐỀ CHỌN ĐỘI TUYỂN TOÁN LỚP 12 NĂM HỌC 2008-2009 Thời gian làm bài: 120 phút --- - --- Câu 1. Giải hệ phương trình 8 2 18 x2 y2 z2 yz 2zx 3xy x y z 1 Câu 2. Cho dãy số (xn) xác định bởi điều kiện x1 1; x n 1 2008 với n=1; 2; …. Chứng 2 x2 1 n minh rằng dãy số này có giới hạn hữu hạn khi n Câu 3. Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường tròn (O). Gọi I là điểm giữa của cung BC không chứa điểm A và K là trung điểm của BC. Hai tiếp tuyến của (O) tại B, C cắt nhau ở M; AM cắt BC tại N. a) Chứng minh rằng AI là phân giác của góc MAK 2 NB AB b) Chứng minh rằng NC AC Câu 4. Tìm tất cả các hàm số f : R R liên tục trên R và thỏa mãn điều kiện f x 2f 2x f 4x x 2 x , x R Câu 5. Cho a, b, c là các số không âm phân biệt. Chứng minh rằng 1 1 1 11 5 5 a2 b2 c2 2 2 2 a b b c c a 2 Câu 6. Trên bàn cờ vua kích thước 8x8 được chia thành 64 ô vuông đơn vị, người ta bỏ đi một ô vuông đơn vị nào đó ở vị trí hàng thứ m và cột thứ n 1 m 8;1 n 8 . Gọi S(m;n) là số hình chữ nhật được tạo bởi một hay nhiều ô vuông đơn vị của bàn cờ sao cho không có ô nào trùng với vị trí của ô bị xóa bỏ ban đầu. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của S(m;n). ----------------------------------------------------------HẾT------------------------------------------------------------
Trường Chuyên Lê Quý Đôn ---------------- LỜI GIẢI ĐỀ CHỌN ĐỘI TUYỀN HSG NĂM HỌC 2008-2009 MÔN TOÁN LỚP 12 Câu 1. Hệ phương trình bài ra tương đương với: x x2 y2 z2 xyz 8 y x2 y2 z2 2xyz 2 z x2 y2 z2 3xyz 18 Cách 1. Đặt a = x2 + y2 + z 2 và b = xyz. Bình phương 2 vế của từng phương trình trong hệ rồi cộng lại 2 2 2 ta thu được a 3 b 8 2b 2 3b 18 a 3 10b 2 114b 392 (1) Nhân 3 phương trình bài ra theo vế được: a 3 b b 8 2b 2 3b 18 (2) Từ (1) và (2) ta có: b 10b 2 114b 392 b 8 2b 2 3b 18 3 2 4b 19b 94b 144 0 b 2 Thay vào (1) được a3 = 216 tức là b=6. Thay vào hệ phương trình ban đầu giải được x = 1, y = -1, z = 2 Cách 2. Nhân 2 vế của các phương trình ban đầu lần lượt với 7; 1; -3 rồi cộng theo vế thu được (7x + y – 3z) (x2 + y2 + z2) =0. Mà x, y, z không đồng thời bằng 0 nên 7x + y – 3z =0. Thay y = 3z + 7x vào 2 phương trình trong hệ ta thu được một hệ phương trình đẳng cấp bậc 3 ( giải ra nghiệm duy nhất x = 1, y = -1, z = 2) 1 x 1 Câu 2. Xét hàm số f x 2 2008 f' x 2 f' x x R 2 x 1 x2 1 2 x Xét hàm số g x f x x g' x 2 1 0 x R x2 1 Nên phương trình g(x) = 0 có không quá 1 nghiệm mà g 2008 0 và g 0 0 nên phương trình g(x) = 0 có nghiệm duy nhất x = c. 1 Áp dụng định lý Lagrange tồn tại số yn sao cho x n 1 c f xn f c x n c f ' yn xn c 2 x1 c Do đó x n c . Theo nguyên lý kẹp thì lim xn =c. 2n 1 Vậy dãy (xn) có giới hạn hữu hạn. (Lưu ý: Có thể chứng minh từ n=2 trở lên thì xn0, hàm số đồng biến. Dễ chứng minh được dãy số giảm khi n>2 và xn>c với mọi n>2. Do đó dãy có giới hạn hữu hạn theo nguyên lý Weierstrass) Câu 3. a) Gọi E là giao điểm khác A của MA với đường tròn (O). Ta có ME.MA M\(O) MB2 Tam giác MBO vuông tại B có đường cao BK nên MB2 MK.MO MK.MO ME.MA Do đó tứ giác AOKE nội tiếp được EAK EOK 2EAI Nên AI là phân giác góc MAK . b) Do AI là phân giác chung của các góc BAC , NAK , nên ta có BAN KAC , BAK NAC . Áp dụng công thức tính diện tích
NB SANB ABsin BAN (1) NC SANC ACsin CAN KB SAKB ABsin KAB ABsin NAC sin NAB AB A 1 KC SAKC AC sin KAC AC sin NAB sin NAC AC (2) NB AB2 Thay (2) vào (1) ta thu được (đpcm) NC AC2 Câu 4. Xét hàm số g(x) = f(x) + ax2 + bx với a, b là các hằng số. N Khi đó g(x) là hàm số liên tục trên R và f(x) = g(x) – B K C ax2 –bx. Thay vào điều kiện bài ra thu được E I g 4x 2g 2x g x f 4x 2f 2x f x 7ax 2 bx 1 7a x 2 b 1 x x R 1 M Ta chọn a ,b 1 . Thì 7 g 4x 2g 2x g x 0 x R Xét hàm số h(x) = g(2x) –g(x) thì h(x) là hàm số liên tục trên R và h(2x) = h(x) với mọi số thực x. Tuy nhiên h(0) = g(0) – g(0) =0. xn Lấy a bất kì, lập dãy cấp số nhân x1 a , x n 1 . Rõ ràng lim xn =0 và dãy h(xn) là dãy hằng số. 2 Do hàm h(x) liên tục trên R nên h(a) = lim h(xn) = h (limxn) = h(0) =0 do đó h(x) =0 với mọi x. Do đó g(2x) = g(x) với mọi x. Lập luận như trên do hàm g(x) liên tục ta suy ra g(x) = g(0) = c (const) x2 Từ đó suy ra f x x c với c là hằng số bất kì. Thử lại thấy đúng. 7 (Lưu ý: + Bài toán vẫn đúng nếu chỉ cho giả thiết hàm f(x) liên tục tại x = 0. + Hs không giải thích tính liên tục của hàm mà dùng lim h(xn) = h (limxn) thì không cho điểm.) Câu 5. Không giảm tính tổng quát ta giả sử a