Đề thi HSG tỉnh Hà Tĩnh năm học 2008-2009 môn Toán lớp 9

Chia sẻ: Bui Hien | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:4

Thêm vào BST

Báo xấu

349
lượt xem 27
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mời các bạn tham khảo Đề thi HSG tỉnh Hà Tĩnh năm học 2008-2009 môn Toán lớp 9 sau đây để biết được cấu trúc đề thi cũng như những dạng bài chính được đưa ra trong đề thi. Từ đó, giúp các bạn có kế hoạch học tập và ôn thi hiệu quả.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi HSG tỉnh Hà Tĩnh năm học 2008-2009 môn Toán lớp 9

Đề thi HSG tỉnh Hà Tĩnh Năm học 2008-2009 Thời gian 150/ Môn: Toán Ngày thi 20 tháng 03 năm 2009 1 x x2 + 2 + =12 y y Bµi 1: a) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh 1 x x + + =8 y y b) Ba sè a,b,c, tho¶ m·n ®ång thêi c¸c ®iÒu kiÖn: a+b+c = 1 và 1 1 1 1. a b c Chøng minh: a 2009 b 2009 c 2009 1 Bµi 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh: x 3 2 (3x 2) 3 3x(3x 2) Bµi 3: Tõ mét ®iÓm A ngoµi ®êng trßn t©m O, vÏ c¸c tiÕp tuyÕn AD, AE (D, E lµ c¸c tiÕp ®iÓm). Tia AO c¾t ®êng trßn t©m O t¹i B,C (B ë gi÷a A vµ C), kÎ DH vu«ng gãc víi CE t¹i H. Gäi P lµ trung ®iÓm cña DH. Tia CP c¾t ®êng trßn t©m O t¹i Q (Q ≠ C). Gäi giao ®iÓm cña AC vµ DE lµ I. a) Chøng minh tø gi¸c DQIP lµ tø gi¸c néi tiÕp ®êng trßn. b) Chøng minh AC lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn ®i qua3 ®iÓm A, D, Q Bµi 4: Cho ®êng th¼ng d n»m ngoµi ®êng trßn t©m O. VÏ OA vu«ng gãc víi d t¹i A. Tõ A, kÎ c¸c c¸t tuyÕn d1, d2 lÇn lît c¾t ®êng trßn (O) t¹i B, C vµ D, E (B ë gi÷a A vµ C, cßn D ë gi÷a A Vµ E). Gäi M, N thø tù lµ giao ®iÓm cña c¸c ®êng th¼ng BE vµ DC víi ®êng th¼ng d. Chøng minh tam gi¸c OMN lµ tam gi¸c c©n. Bµi 5: C¸c sè thùc x,y,z tho¶ m·n: x 4 + y4 + z4 = 3. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc : P=x2(y+z) + y2(x+z) + z2(y+x) .
Người chép lại: Tôn Đức Trình Người giải: Tôn Đức Trình Bài giải: 1 x x2 + 2 + =12 (1) y y Bµi 1: a) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh 1 x x + + =8 (2) y y 1 1 1 Lấy (1)+(2) theo vế ta được: (x + )2 + x + 20 = 0. Đặt: t = x + y y y => t2 + t 20 = 0 => t1 = 4, t2 = 5 1 1 1 Với t = 4 => x + = 4 => x = 4 . Thay vào (2) có: (2y1)2 = 0=> y = y y 2 => x = 2. 1 1 Với t = 5 => x + = 5=> x = 5 . Thay vào (2) có: y y 13y2 + 5y + 1 = 0 phương trình vô nghiệm. 1 Vậy hệ có nghiệm duy nhất: x = 2, y = 2 b, Ba sè a,b,c, tho¶ m·n ®ång thêi c¸c ®iÒu kiÖn: a+b+c = 1 và 1 1 1 Từ 1 . => ab+ac+bc= abc => (a+b+c)(ab+ac+bc) = abc a b c => (a+b)(b+c)(c+a) = 0=> a+b = 0 hoặc b+c= 0 hoặc c+a = 0. Nếu: a+b = 0 => c = 1 => a2009 + b2009 = 0 => a2009 + b2009 +c2009 = 1 Tương tự với: b+c= 0 hoặc c+a = 0. Bµi 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh: x 3 2 (3x 2) 3 3x(3x 2) (*) 2 ĐK: x ≥ . Từ (*) => 2 (3x − 2) 3 = 3x(3 x − 2) − x3 . Bình phương hai vế ta 3 được: 4(3x2)3 = 9x2(3x2)2 + x6 6x4(3x2) x5 15x5 + 93x4 216x3 +252x2 144x + 32 = 0 (x1)2(x2)2(x2 12x + 8) = 0 => x1 = x2 = 1; x3 = x4 = 2; x5 = 6 2 7 , x6 = 6 + 2 7 . Thoả mãn.
Bµi 5: Áp dụng BĐT Bunhiacopky ta có: P2 = [x2(y+z) + y2(x+z) + z2(y+x)]2 ≤ (x4 + y4 + z4)[(y+z)2 + (x+z)2 + (y+x)2] Mà: (x4 + y4 + z4)[(y+z)2 + (x+z)2 + (y+x)2] = 6[z2 + x2 + y2 +xy+xz+yz] mà: 6[z2 + x2 + y2 +xy+xz+yz] ≤ 12(z2 + x2 + y2) ≤ 12 3(z 4 + x 4 + y 4 ) = 36 P2 ≤ 36 => Pmax = 6 khi và chỉ khi x=y=z=1. Người giải: Tôn Đức Trình Bài 3: O3 a, Có: QDI= QCE mà IP//EH => QDI= QPI=> QDPI nội tiếp b, Gọi O3 là tâm đường tròn ngoại D tiếp AQD Ta có: AO3L+ O3AL = 900 (1) O2 ADQ= AO3L Q (góc nội tiếp, góc ở tâm) L P Có: AEQ= QCE mà A B I O1 C QDE= QCE => AEQ= QDE mà H QDI+ DIQ= 900 (theo (a) DFI = 900 ) mặt khác E QIA+ DIQ= 900 => QIA= DEA => tứ giác AQIE nội tếp. => QAI= QEI mà QEI= QCD và QCD= ADQ, ADQ= AO3L => IAQ= AO3L (2) Từ (1) và (2) có: O3A vuông góc với AC => đccm. M Bài 4: Lấy C1 đối xứng với C Nối A với C1 cắt đường tròn O tại B1. C Dễ thấy: MAB= NAB1 (*) và AB = AB1. (**) B Ta có: ABM= EBC (1) (đđ) Ta có: CBE= CDE (2) (chắn cung CE) A O B1 Mặt khác ADN= CDE (3) (đđ) Lại có: B1DC= B1C1C (4) (chắn cung CB1) D Mà CC1 // MN C1 E N
(do C1 đối xứng với C qua AO) => C1AN = AC1C (sole) (5) Từ (4) và (5) => B1AN + B1DN=1800 => ANDB1 nôi tiếp. => AB1N = AND (6) Từ (1)(2)(3)(4)(5)(6) => => AB1N = ABM (***). Từ (*)(**)(***)=> ABM = AB1N (gcg) => AM = AN mà MN vuông góc với AO theo gt => MON cân tại O. đccm. Cách 2: M A N Kẻ OH và OK lần lượt vuông góc với BE và CD Dễ thấy MAHO nôi tiếp D => JHA = AMO (1) (cùng bù OHA) B Có NAKO nội tiếp => LKA = ANO (2) (cùng bù OKA) L Ta có: ACD AEB (gg) S Có AK, AH trung tuyến tương K J ứng của 2 tam giác => ACK AHE (cgc) S H O => AHE = AKC (3) C 0 Mà CKL = EHJ = 90 (4) (theo ta vẽ vuông góc) Từ (1)(2)(3)(4) Ta có => ANO = AMO E => => MON cân tại N. đccm