Đề thi lớp 10 tỉnh Quảng Bính môn Toán chuyên năm 2013

Chia sẻ: Phung Tuyet | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

77
lượt xem 7
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo đề thi - kiểm tra 'đề thi lớp 10 tỉnh quảng bính môn toán chuyên năm 2013', tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi lớp 10 tỉnh Quảng Bính môn Toán chuyên năm 2013

së GD&®t qu¶ng b×nh kú thi tuyÓn sinh vµo líp 10 thpt n¨m häc 2012 - 2013 (ĐỀ CHÍNH THỨC) Khoá ngày 04 - 07 - 2012 Môn : TOÁN (CHUYÊN) Họ tên : ........................ Thời gian làm bài : 150 phút (không kể thời gian giao đề) SBD: ............................ Đề thi gồm có 01 trang Câu 1: (2,0 điểm) Cho phương trình: x 2  2x  4a  0 (x là ẩn số). Giả sử hai nghiệm x1 ,x 2 của phương trình là số đo hai cạnh góc vuông của một tam giác. 1 a) Tìm các giá trị của a để diện tích của tam giác vuông bằng (đơn vị diện tích). 3 4 b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A  x1x 2  . x1 x 2 1 1 Câu 2: (2,0 điểm) Giải phương trình:   1. x 3  x2 Câu 3: (1,5 điểm) Cho các số thực a,b,c thoả mãn: ab  bc  ca  2 . 4 Chứng minh: a 4  b 4  c 4  . 3 Câu 4: (3,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, nội tiếp trong đường tròn (O). Trên cung BC không chứa A, lấy điểm M tuỳ ý (M khác C). P là điểm trên cạnh BC sao cho BAM  PAC . Trên các tia AB, AC lấy lần lượt các điểm E, F sao cho BE = CF = BC. a) Chứng minh: ABP AMC và MC.AB  MB.AC  MA.BC . MB.AE  MC.AF b) Chứng minh: MA  MB  MC  . BC c) Xác định vị trí điểm N trên đường tròn (O) để tổng NA + NB + NC lớn nhất. Câu 5: (1,0 điểm) Cho các số nguyên a, b, c, d và số nguyên dương p. Chứng minh rằng nếu a  b  c  d, a 2  b 2  c2  d 2 chia hết cho p thì a 4  b 4  c4  d4  4abcd cũng chia hết cho p. HÕT
HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP ÁN CHẤM ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2012 - 2013 Khóa ngày 04 - 07 - 2012 Môn: TOÁN (CHUYÊN) * Đáp án chỉ trình bày một lời giải cho mỗi câu. Trong bài làm của học sinh yêu cầu phải lập luận lôgic chặt chẽ, đầy đủ, chi tiết, rõ ràng. * Trong mỗi câu, nếu học sinh giải sai ở bước giải trước thì cho điểm 0 đối với những bước giải sau có liên quan. * Điểm thành phần của mỗi câu nói chung phân chia đến 0.25 điểm. Đối với điểm thành phần là 0.5 điểm thì tùy tổ giám khảo thống nhất để chiết thành từng 0.25 điểm. * Học sinh không vẽ hình đối với Câu 4 thì cho điểm 0 đối với Câu 4. Trường hợp học sinh có vẽ hình, nếu vẽ sai ở ý nào thì cho điểm 0 ở ý đó. * Học sinh có lời giải khác đáp án (nếu đúng) vẫn cho điểm tối đa tùy theo mức điểm của từng câu. * Điểm của toàn bài là tổng (không làm tròn số) của điểm tất cả các câu. Câu Nội dung Điểm 1 2,0 điểm Điều kiện để hai nghiệm x1 , x2 của phương trình là số đo hai cạnh  '  0  0,25 góc vuông của tam giác là  x1x 2  0 x  x  0  1 2 1  4a  0  1   4a  0  0  a  0,25  20 4 1a  Vì x1 , x2 là số đo hai cạnh góc vuông nên diện tích tam giác là 1 1 0,25 x1 x 2  2 3 1 1  .4a  2 3 0,25 1  a  (tho¶ m·n) 6 Lưu ý: học sinh không tìm điều kiện phương trình có hai nghiệm dương mà kết quả đúng cho 0,5 điểm. 4 1 Ta có: A  x1x 2   4a  0,25 x1 x 2 a 1b 1 3  4a   4a 4a 0,25 Trang 1
1 1 3 Với 0  a  , ta có: 4a   2 vµ 3 4 4a 4a 0,25 A5  1  4a  4a  1 A  5   a   tho¶ m·n   a1 4   4 0,25 1 Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 5 khi a  4 2,0điểm ĐK:  3  x  3 vµ x  0 0,25 Đặt y  3  x 2 , (y  0) 0,25 Ta có hệ phương trình 1 1   1 0,25 x y x 2  y 2  3   x  y  xy  2 (x  y)  2xy  3 0,25  x  y  xy   2  x  y   2  x  y   3  0   x  y  1 2   xy  1  0,25  x  y  3  (v« nghiÖm)   xy  3   1  5  x   2 (tho¶ m·n)  1  5  y  x  y  1    2   0,5  xy  1  1  5  x   2 (lo¹i)   1  5  y   2 1  5 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x  0,25 2 3 1,5điểm Trang 2
Ta có a 4  b 4  c 4  a 2 b 2  b 2 c 2  c2 a 2 , a,b,c  0,5  3  a 4  b 4  c 4   3( a 2b2  b 2c 2  c 2 a 2 ), a ,b,c  2 và 3  a 2 b 2  b 2 c 2  c 2a 2    ab  bc  ca  , a,b,c  0,5 1 2 4  ab  bc  ca    a 4  b 4  c4  0,25 3 3 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b  c 2 0,25  abc ab  bc  ca  2 3 4 3,5 điểm A B P C 0,25 M F E Hình vẽ Ta có: ABP  AMC (cùng chắn cung AC) BAM  PAC  BAP  MAC 0,25 Nên: ABP AMC 0,25 AB BP Suy ra:   MC.AB  MA.BP (1) 0,25 4a MA MC Mặt khác: BMA  BCA , BAM  PAC  ABM APC 0,25 MB MA    MB.AC  MA.PC (2) 0,25 PC AC Từ (1) và (2) suy ra: MC.AB  MB.AC  MA.BC 0,25 AC AB Từ kết quả câu a) ta có: MA  MB.  MC. 0,25 BC BC  AC   AB  4b Do đó: MA  MB  MC  MB.   1   MC   1  BC   BC  0,25  AC  BC   AB  BC  = MB.    MC.   BC   BC  Trang 3
 AC  CE   AB  BF  = MB.    MC.   BC   BC  0,25 MB.AE  MC.AF  BC Xét trường hợp N thuộc cung BC không chứa A - Nếu N khác C theo kết quả câu b) ta có NB.AE  NC.AF NA  NB  NC  (3) BC - Nếu N trùng C, ta thấy (3) vẫn đúng. 0,25 Mặt khác 2(NB.AF)  NC.AE   NB 2 .AF 2  NC 2 .AE 2 2   NB.AE  NC.AF    NB 2  NC 2  AE 2  AF 2   BC 2 .EF 2 (4) 4c 0,25 Từ (3) và (4) suy ra NA  NB  NC  EF . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi NB.AF=NC.AE hay NBC  AEF 0,25 Xét trường hợp N thuộc cung BC chứa A, lấy N' đối xứng với N qua BC, khi đó N' thuộc cung BC không chứa A, N'A < NA, N'B = NB, N'C = NC. Áp dụng trường hợp trên ta có: NA + NB + NC < N'A + N'B + N'C  EF. 0,25 Vậy trong mọi trường hợp thì NA + NB + NC có giá trị lớn nhất là EF, đạt được khi NBC  AEF . 1,0 điểm Xét f(x)  (x  a)(x  b)(x  c)(x  d) 0,25 Ta biểu diễn f(x) dưới dạng: f(x)  x 4  Ax 3  Bx 2  Cx  abcd 0,25 Với : A  a  b  c  d chia hết cho p. Ta có: 0  f(a)  f(b)  f(c)  f(d)  a 4  b 4  c 4  d 4  A(a 3  b 3  c3  d 3 )  B(a 2  b 2  c 2  d 2 )  0,25 5  C(a  b  c  d)  4abcd Suy ra: a 4  b 4  c 4  d 4  4abcd  A(a 3  b 3  c3  d3 )  B(a 2  b 2  c 2  d 2 )  C(a  b  c  d) 0,25 Vì A, a  b  c  d, a  b  c2  d 2 chia hết cho p nên 2 2 a 4  b 4  c4  d4  4abcd chia hết cho p. Trang 4