Đề thi minh họa kỳ thi THPT Quốc gia năm 2017 môn Toán - Đề số 049

Chia sẻ: Trần Quốc Hùng | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:11

Thêm vào BST

Báo xấu

67
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề thi minh họa kỳ thi THPT Quốc gia năm 2017 môn Toán - Đề số 049 nhằm giúp các bạn học sinh đang chuẩn bị cho kỳ thi THPT Quốc gia sắp tới cùng củng cố và ôn luyện kiến thức, rèn kỹ năng làm bài thông qua việc giải đề. Chúc các bạn đạt kết quả cao nhất trong các kỳ thi.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi minh họa kỳ thi THPT Quốc gia năm 2017 môn Toán - Đề số 049

ĐỀ THI MINH HỌA KỲ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2017 Đề số 049 Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 90 phút 2 Câu 1: Tập xác định của hàm số y 4 x 5 x 2 2 là: A. D = 2; \ 4 B. D = ;4 \ 2 C. D = [ −2; 4] D. D = ( −2; 4 ) Câu 2: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ﾡ và có bảng biến thiên như hình dưới đây: Khẳng định nào sau đây là sai? A. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( − ; −1) . B. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −1;3) . C. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 1; + ). D. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −1;1) . Câu 3: Cho hàm số y = f ( x ) có xlim f ( x) = −3 và lim f ( x) = 3 . Chọn mệnh đề đúng. + x − A. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng x 3 và x 3. B. Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận ngang. C. Đồ thị hàm số đã cho có đúng một tiệm cận ngang. D. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng y 3 và y 3. Câu 4: Hãy chọn cụm từ (hoặc từ) cho dưới đây để sau khi điền nó vào chỗ trống mệnh đề sau trở thành mệnh đề đúng: “Số cạnh của một hình đa diện luôn ……………… số đỉnh của hình đa diện ấy.” A. nhỏ hơn B. lớn hơn C. lớn hơn hoặc bằng. D. bằng 3x + 1 Câu 5: Cho hàm số y = . Khẳng định nào sau đây đúng? 2x −1 3 A. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = B. Đồ thị hàm số không có tiệm cận 2 3 1 C. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là y = D. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = − 2 2 Câu 6: Một mặt phẳng đi qua tâm của một khối cầu cắt khối cầu đó theo một thiết diện là một hình tròn có diện tích bằng 25π . Tìm thể tích của khối cầu đó. 500 500π A. B. C. 100π D. 500π 3 3 Câu 7: Cho hàm số y = f ( x ) có tập xác định là [ −3;3] và đồ thị như hình vẽ dưới:
Khẳng định nào sau đây đúng về hàm số trên: A. Giá trị lớn nhất là 1, giá trị nhỏ nhất là 1. B. Giá trị lớn nhất là 3, giá trị nhỏ nhất là 4. C. Tổng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất là 2 D. Tổng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất là 3. Câu 8: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f ' ( x ) = ( x + 1) ( x − 2 ) ( 2 x + 3) . Tìm số điểm cực trị của f ( x ) . 2 3 A. 3 B. 2 C. 0 D. 1 x 2 − 2 x −3 1� Câu 9: Số nghiệm của phương trình � �� = 7 x +1 là: ��7 A. 2 B. 1 C. 3 D. 0 Câu 10: Phương trình log 2 x + log 4 x + log8 x = 11 có nghiệm là: A. 36 B. 24 C. 64 D. 45 �a � 10 2 ( Câu 11: Tính giá trị của biểu thức P = log a2 a b + log ) a −2 ( ) � �+ log 3 b b (với 0 < a 1; 0 < b 1 ) �b� A. 2 B. 1 C. 3 D. 2 Câu 12: Tính đạo hàm của hàm số y = 2017 x . 2017 x A. y ' = x.2017 x −1 B. y ' = C. y ' = 2017 x.ln 2017 D. y ' = 2017 x ln 2017 1 4 Câu 13: Tìm điểm cực đại của hàm số y = x − 2x2 − 3 . 2 A. xCĐ = 0 B. xCĐ = 2 C. xCĐ = 2 D. xCĐ = − 2 Câu 14: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SQ các cạnh SA, SD. Mặt phẳng (α ) chứa MN cắt các cạnh SB, SC lần lượt tại Q, P. Đặt = x , V1 là SB 1 thể tích của khối chóp S.MNQP, V là thể tích của khối chóp S.ABCD. Tìm x để V1 = V . 2 −1 + 33 1 −1 + 41 A. x = B. x = 2 C. x = D. x = 4 2 4 Câu 15: Cho hàm số y = x 4 − mx 2 + 2m − 1 có đồ thị là (Cm). Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để (Cm) có ba điểm cực trị cùng với gốc tọa độ tạo thành một hình thoi. A. m = 1 + 2 hoặc m = −1 + 2 B. m = 2 + 2 hoặc m = 2 − 2 C. m = 4 + 2 hoặc m = 4 − 2 D. Không có giá trị m
Câu 16: Biết rằng đồ thị của hàm số y = ( n − 3) x + n − 2017 nhận trục hoành làm tiệm cận ngang và x+m+3 trục tung làm tiệm cận đứng. Khi đó giá trị của m + n là: A. 0 B. 6 C. 3 D. −3 Câu 17: Biểu thức 3 x. 4 x ( x > 0 ) viết dưới dạng luỹ thừa với số mũ hữu tỷ là: 1 1 5 5 A. x 12 B. x 7 C. x 12 D. x 4 Câu 18: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng (d ) : y = mx − 3m cắt đồ thị (C) của hàm số y = x 3 − 3 x 2 tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 , x3 thỏa mãn x1 + x2 + x3 = 15 . 2 2 2 3 3 A. m = − B. m = −3 C. m = 3 D. m = 2 2 Câu 19: Hàm số nào sau đây không có cực trị? 2x +1 A. y = B. y = x 4 − 3x 2 + 1 C. y = x 2 + 3x + 2 D. y = x 3 − 3 x 2 + 2007 x −3 Câu 20: Hàm số f x 3 3x 2 7 x 1 . Tính f ' 0 . 1 7 5 A. B. 0 C. − D. 3 3 3 Câu 21: Một khối chóp có diện tích đáy bằng 3 2 và thể tích bằng 50 . Tính chiều cao của khối chóp đó. 5 10 A. 10 B. C. D. 5 3 3 2 ( Câu 22: Tìm tập xác định D của hàm số y = log 2 x + 5 x − 6 . ) A. D = [ −6;1] B. D = ( −�; −6 ) �( 1; +�) C. D = ( −6;1) D. D = ( −�; −6] �[ 1; +�) x ( Câu 23: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình log 5 25 − log 5 m = x có nghiệm ) duy nhất. m 1 1 A. m = 4 B. m = 1 C. 1 D. m 1 5 m= 4 5 1 Câu 24: Cho hàm số f ( x ) = x 3 + 2 x 2 + ( m + 1) x + 5 . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm 3 số đồng biến trên R . A. m 3 B. m < −3 C. m < 3 D. m > 3 Câu 25: Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau: A. Hàm số y = e12 x + 2016 đồng biến trên ﾡ . B. Hàm số y = log11 x nghịch biến trên khoảng (0; + ) . C. log(a + b) = log a + log b; ∀a > 0, b > 0 . D. a x + y = a x + a y ; ∀a > 0, x, y ﾡ . Câu 26: Cho hàm số y = x 3 − 3x 2 + mx + 1 có đồ thị là (Cm). Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để (Cm) có hai điểm cực trị có hoành độ x1 và x2 sao cho x13 + x23 = 5 . 3 3 4 A. m = 3 2 B. m = C. m = − D. m = − 2 2 3
2x − 2 Câu 27: Cho hàm số y = có đồ thị là (C), M là điểm thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M x−2 cắt hai đường tiệm cận của (C) tại hai điểm A, B thỏa mãn AB = 2 5 . Gọi S là tổng các hoành độ của tất cả các điểm M thỏa mãn bài toán. Tìm giá trị của S. A. 6 B. 5 C. 8 D. 7 Câu 28: Trong Vật lí, sự phân rã của các chất phóng xạ được biểu diễn theo công thức hàm số mũ − λt ln 2 m(t ) = m0eλ , = , trong đó m0 là khối lượng ban đầu của chất phóng xạ ( tại thời điểm t = 0 ), T m(t ) là khối lượng chất phóng xạ tại thời điểm t ; T là chu kỳ bán rã (tức là khoảng thời gian để một nửa khối lượng chất phóng xạ bị biến thành chất khác ). Khi phân tích một mẫu gỗ từ công trình kiến trúc cổ, các nhà khoa học thấy rằng khối lượng cacbon phóng xạ 146C trong mẫu gỗ đó đã mất 35% so với lượng 146C ban đầu của nó. Hỏi công trình kiến trúc đó có niên đại khoảng bao nhiêu năm? Cho biết chu kỳ bán rã của 146C là khoảng 5730 năm. A. 4011 (năm) B. 2865 (năm) C. 3561 (năm) D. 3725 (năm) Câu 29: Một sợi dây kim loại dài 60 cm được cắt thành hai đoạn. Đoạn thứ nhất được uốn thành một hình vuông, đoạn thứ hai được uốn thành một vòng tròn (hình vẽ dưới). Gọi S là tổng diện tích của hình vuông và hình tròn. Giá trị nhỏ nhất của S gần bằng giá trị nào trong các giá trị sau: A. 125 cm2 B. 128 cm2 C. 126 cm2 D. 127 cm2 2x −1 Câu 30: Kết luận nào sau đây về tính đơn điệu của hàm số y = là đúng? x+2 A. Hàm số luôn luôn đồng biến trên ﾡ \ { −2} . B. Hàm số luôn luôn nghịch biến trên ﾡ \ { −2} . C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng (– ; –2) và (–2; + ). D. Hàm số đồng biến trên các khoảng (– ; –2) và (–2; + ). Câu 31: Tập nghiệm của bất phương trình log 2 ( x 3) log 2 ( x 1) 3 là: A. S (3;5] B. S = [ −1;5] C. S = [ 3;5] D. S = [ 5; + ) Câu 32: Đồ thị hàm số nào sau đây có hình dạng như hình vẽ bên dưới:
A. y = x 3 + 3 x 2 B. y = x 3 + 3 x C. y = x3 − 3 x 2 D. y = x 3 − 3 x Câu 33: Số nghiệm nguyên không âm của bất phương trình 15.2 x +1 + 1 2 x − 1 + 2 x +1 là: A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 Câu 34: Khi tăng độ dài cạnh đáy của một khối chóp tam giác đều lên 2 lần và giảm chiều cao của hình chóp đó đi 4 lần thì thể tích khối chóp thay đổi như thể nào? A. Giảm đi 2 lần. B. Không thay đổi. C. Tăng lên 8 lần. D. Tăng lên 2 lần. Câu 35: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = x + x − ( m + 2 ) x − 1 nghịch biến 3 2 trên một đoạn có độ dài không vượt quá 2. 2 7 2 7 7 2 A. m B. − m C. m − D. − < m 3 3 3 3 3 3 Câu 36: Một khối lăng trụ tam giác có các cạnh đáy lần lượt bằng 5 cm, 12 cm, 13 cm và chiều cao của khối lăng trụ bằng trung bình cộng của các cạnh đáy. Khi đó thể tích khối lăng trụ bằng: A. 300 cm3 B. 600 cm3 C. 100 cm3 D. 780 cm3 Câu 37: Cho hình nón có bán kính đáy là 4a, chiều cao là 3a. Tính diện tích toàn phần của hình nón. A. 32π a 2 B. 28π a 2 C. 16π a 2 D. 36π a 2 Câu 38: Khối lập phương có diện tích toàn phần bằng 150 cm 2. Thể tích của khối lập phương đó bằng: 375 3 375 3 A. cm2 B. 125 cm2 C. cm3 D. 125 cm3 8 8 Câu 39: Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC. A ' B ' C ' có cạnh đáy là a và khoảng cách từ A đến mặt a phẳng ( A ' BC ) bằng . Tính thể tích của khối lăng trụ ABC. A ' B ' C ' . 2 3 2a 3a 3 2 3 2a 3 3a 3 2 A. B. C. D. 16 48 12 16 Câu 40: Một khối lăng trụ có đáy là lục giác đều cạnh bằng a , cạnh bên của lăng trụ có độ dài cũng bằng a và tạo với đáy một góc 600 . Thể tích của khối lăng trụ đó bằng: 3a 3 9a 3 3 3a 3 3a 3 A. B. C. D. 4 4 4 4 Câu 41: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = − x 4 + 3 x 2 + 1 trên đoạn [0; 2]. 13 A. 1 B. C. 3 D. 29 4 Câu 42: Một người thợ nhôm kính nhận được đơn đặt hàng làm một bể cá cảnh bằng kính dạng hình hộp chữ nhật không có nắp có thể tích 3,2 m3; tỉ số giữa chiều cao của bể cá và chiều rộng của đáy bể bằng 2 (hình dưới). Biết giá một mét vuông kính để làm thành và đáy của bể cá là 800 nghìn đồng. Hỏi người thợ đó cần tối thiểu bao nhiêu tiền để mua đủ số mét vuông kính làm bể cá theo yêu cầu (coi độ dày của kính là không đáng kể so với kích thước của bể cá).
A. 9,6 triệu đồng B. 10,8 triệu đồng C. 8,4 triệu đồng D. 7,2 triệu đồng Câu 43: Tìm tích tất cả các nghiệm của phương trình 4.3log( 100 x ) + 9.4log( 10 x ) = 13.61+ log x . 2 1 A. 100 B. 10 C. 1 D. 10 Câu 44: Một bình đựng nước có dạng hình nón (không có đáy), đựng đầy nước. Người ta thả vào đó một khối cầu có đường kính bằng chiều cao của bình nước và đo được thể tích nước tràn ra ngoài là 18π (dm3). Biết rằng khối cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của hình nón và đúng một nửa của khối cầu đã chìm trong nước (hình dưới). Tính thể tích nước còn lại trong bình. A. 24π (dm3) B. 54π (dm3) C. 6π (dm3) D. 12π (dm3) Câu 45: Cho hình chóp S.ABC có AB = a, AC = 2a, �BAC = 600 , cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a 3 . Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. a 7 a 55 a 10 a 11 A. R = B. R = C. R = D. R = 2 6 2 2 Câu 46: Cắt một hình trụ bởi một mặt phẳng qua trục của nó ta được thiết diện là một hình vuông có chu vi bằng 40 cm. Tìm thể tích của khối trụ đó. 250π A. 500π cm3 B. 1000π cm3 C. cm3 D. 250π cm3 3 Câu 47: Hình trụ có bán kính đáy bằng 2 3 và thể tích bằng 24π . Tính chiều cao của hình trụ. A. 2 B. 6 C. 2 3 D. 1 Câu 48: Bảng biên thiên dưới đây là của hàm số nào?
A. y = − x 4 + 2 x 2 − 3 B. y x4 2x2 3 C. y = x 4 + 2 x 2 + 3 D. y = x 4 + 2 x 2 − 3 Câu 49: Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = sin 3 x − cos 2 x + sin x + 2 . Khi đó giá trị của biểu thức M + m bằng: 158 112 23 A. B. 5 C. D. 27 27 27 Câu 50: Số nghiệm của phương trình log 2 ( x − 1) = log 2 ( 5 − 2 x ) là: A. 2 B. 0 C. 3 D. 1 HẾT
ĐÁP ÁN ĐỀ KHẢO SÁT KIẾN THỨC (Lần 1) MÔN TOÁN KHỐI 12 Câu Đáp án Câu Đáp án 1. D 26. B 2. B 27. C 3. D 28. C 4. B 29. C 5. A 30. D 6. B 31. A 7. D 32. C 8. B 33. D 9. A 34. B 10. C 35. D 11. B 36. A 12. C 37. D 13. A 38. D 14. A 39. D 15. B 40. B 16. A 41. B 17. C 42. A 18. C 43. C 19. A 44. C 20. C 45. A 21. D 46. D 22. B 47. A 23. C 48. B 24. A 49. A 25. A 50. D
HƯỚNG DẪN MỘT SỐ CÂU VẬN DỤNG VÀ VẬN DỤNG CAO Câu 1: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = x + x − ( m + 2 ) x − 1 nghịch biến 3 2 trên một đoạn có độ dài không vượt quá 2. HD: + Tính y ' = 3x + 2 x − ( m + 2 ) , ∆ ' = 3m + 7 2 + Nếu ∆ ' 0 thì h/s đồng biến trên ﾡ nên không t/m giả thiết của bài toán + Xét ∆ ' > 0 . Khi đó y ' = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 < x2 và h/s nghịch biến trên đoạn [ x1 ; x2 ] . + Theo giả thiết phải có x2 − x1 2 . Từ đây áp dụng ĐL Viet sẽ tìm được kết quả. Câu 2: Cho hàm số y = x 4 − mx 2 + 2m − 1 có đồ thị là (Cm). Tìm tất cả các giá trị của m để (Cm) có ba điểm cực trị cùng với gốc tọa độ tạo thành một hình thoi. HD: + ĐK để có 3 cực trị là m > 0 . � m m2 � � m m2 � + Khi đó 3 điểm cực trị là A ( 0; 2m − 1) , B � �2 ; − + 2 m − 1 ,C � � � �− ;− + 2m − 1 � � � 4 � � 2 4 � + Ba điểm cực trị cùng với gốc tọa độ tạo thành một hình thoi xảy ra khi và chỉ khi A và O đối xứng nhau qua trung điểm của BC. Từ đó tìm được kết quả. Câu 3: Một sợi dây kim loại dài 60 cm được cắt thành hai đoạn. Đoạn thứ nhất được uốn thành một hình vuông, đoạn thứ hai được uốn thành một vòng tròn (hình bên). Gọi S là tổng diện tích của hình vuông và hình tròn. Giá trị nhỏ nhất của S gần bằng giá trị nào. HD: + Đặt độ dài cạnh của hình vuông là x ( 0 < x < 15 ) thì diện tích hình vuông là x 2 , diện tích hình 2 2 2 �60 − 4 x � �30 − 2 x � �30 − 2x � tròn là π. � �= � � . Tổng diện tích 2 hình là S = f ( x ) = x + � � 2 � 2π � � π � � π � + Khảo sát hàm số f ( x ) ta được kết quả. Lưu ý: Có thể sử dụng máy tính cầm tay để do tìm GTNN của hàm số f (x ) 2x − 2 Câu 4: Cho hàm số y = có đồ thị là (C), M là điểm thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại x−2 M cắt hai đường tiệm cận của (C) tại hai điểm A, B thỏa mãn AB = 2 5 . Gọi S là tổng các hoành độ của tất cả các điểm M thỏa mãn bài toán. Tìm giá trị của S. � 2a − 2 � −2 2a − 2 HD : + Gọi M � a; � thuộc đồ thị h/s thì PTTT tại M là (d ) : y = a − 2 2 ( x − a ) + a − 2 � a−2 � ( ) � 2a � 16 , B ( 2a − 2; 2 ) � AB = ( 2a − 4 ) 2 + Tìm được A �2; � + = 2 5 . Tìm được 4 giá trị của a là � a−2� ( a − 2) 2 0;1;3; 4 . Suy ra kết quả. Câu 5: Tìm tích tất cả các nghiệm của phương trình 4.3log( 100 x ) + 9.4log( 10 x ) = 13.61+log x . 2 HD : + PT 4.3log( 100 x ) + 9.4log( 10 x ) = 13.61+log x � 4.91+ log x + 9.41+log x = 13.61+ log x 2 1+ log x 1+ log x �3 � �2 � � 4. � � + 9. � � = 13 �2 � �3 � 1+ log x �3 � 9 1 + Đặt t = � � > 0 . Tìm được t1 = 1 và t2 = . Từ đó tìm được các nghiệm x1 = , x2 = 10 �2 � 4 10 Câu 6: Trong Vật lí, sự phân rã của các chất phóng xạ được biểu diễn theo công thức hàm số mũ − λt ln 2 m(t ) = m0eλ , = , trong đó m0 là khối lượng ban đầu của chất phóng xạ (tại thời điểm t = 0 ), T m(t ) là khối lượng chất phóng xạ tại thời điểm t ; T là chu kỳ bán rã (tức là khoảng thời gian để một nửa khối lượng chất phóng xạ bị biến thành chất khác). Khi phân tích một mẫu gỗ từ công trình kiến trúc cổ, các nhà khoa học thấy rằng khối lượng cacbon phóng xạ 146C trong mẫu gỗ đó
đã mất 35% so với lượng 146C ban đầu của nó. Hỏi công trình kiến trúc đó có niên đại khoảng bao nhiêu năm? Cho biết chu kỳ bán rã của 146C là khoảng 5730 năm. ln 2 − λt HD: + Từ công thức m(t ) = m0eλ , = và m ( t ) = 0, 65m0 ta suy ra T t ln 2 − t �1 � 5730 0, 65 = e 5730 � 0, 65 = � � � t = 5730.log 1 0, 65 �3561 (năm) �2 � 2 Câu 7: Tìm số nghiệm nguyên không âm của bất phương trình 15.2 x +1 + 1 2 x − 1 + 2 x +1 . HD : Đặt t = 2 x . Bất phương trình trở thành 30t + 1 t − 1 + 2t Xét hai trường hợp t 1 và 0 < t < 1 ta tìm được nghiệm 0 � t >4 x 2 . Suy ra số nghiệm nguyên không âm là 3 Lưu ý: Có thể sử dụng máy tính cầm tay để kiểm tra xem các giá trị 0, 1, 2, 3,... có là nghiệm của BPT đã cho hay không, từ đó suy ra đáp án. x ( ) Câu 8: Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình log 5 25 − log 5 m = x có nghiệm duy nhất. HD : PT � 25 − 5 − log 5 m = 0 hay t − t = log 5 m, t = 5 > 0 x x 2 x Xét hàm f ( t ) = t − t , t > 0 . 2 log 5 m 0 m 1 Lập BBT của f(t), từ BBT suy ra điều kiện để PT có nghiệm duy nhất là 1 1 m= 4 log 5 m = − 4 5 Câu 9: Cho khối tam giác đều ABC. A ' B ' C ' có cạnh đáy là a và khoảng cách từ A đến mặt a phẳng ( A ' BC ) bằng . Tính thể tích của khối lăng trụ ABC. A ' B ' C ' . 2 HD : HS tự vẽ hình Đặt chiều cao của lăng trụ là h và gọi M là trung điểm của BC thì ta có hệ thức 1 1 1 1 4 4 8 a 6 a 2 3 a 6 3a 3 2 = + � = − = � h = � V = S .h = . = d 2 ( A, A ' BC ) h 2 AM 2 h 2 a 2 3a 2 3a 2 4 4 4 16 Câu 10: Một người thợ nhôm kính nhận được đơn đặt hàng làm một bể cá cảnh bằng kính dạng hình hộp chữ nhật không có nắp có thể tích 3,2 m3; tỉ số giữa chiều cao của bể cá và chiều rộng của đáy bể bằng 2 (hình dưới). Biết giá một mét vuông kính để làm thành và đáy của bể cá là 800 nghìn đồng. Hỏi người thợ đó cần tối thiểu bao nhiêu tiền để mua đủ số mét vuông kính làm bể cá theo yêu cầu (coi độ dày của kính là không đáng kể so với kích thước của bể cá). 1, 6 HD : Theo hình vẽ ta có xyh = 3, 2 và h = 2 x � x 2 y = 1, 6 � y = 2 x 1, 6 6, 4 8 4 4 Tổng diện tích 5 mặt của bể cá là S = xy + 2 xh + 2 yh = + 4x2 + = 4x2 + = 4x2 + + 12 x x x x x Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 1 . Vậy tổng diện tích tối thiểu là 12 m2, suy ra số tiền tối thiểu cần là 9,6 triệu. Câu 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SD. Mặt phẳng (α ) chứa MN cắt các cạnh SB, SC lần lượt tại Q, P. Đặt SQ = x , V1 là thể tích của khối chóp S.MNQP, V là thể tích của khối chóp S.ABCD. Tìm x để SB 1 V1 = V . 2 V HD: (HS tự vẽ hình) Ta có VS . ABD = VS .BCD = , V1 = VS .MNQ + VS . NPQ 2
SP SQ +) Vì MN//BC nên PQ//BC = =x SC SB VS .MNQ x VS .MNQ x V VS .MNQ SM SN SQ x = = S . NPQ SN SQ SP 1 2 VS . NPQ x 2 +) = . . = V 4 V ; 8 V = . . = x = VS . ABD SA SD SB 4 S . BCD SD SB SC 2 V 4 2 1 V + VS . NPQ 1 x x2 1 +) Ta có: V1 = V � S .MNQ = � + = . Suy ra đáp án. 2 V 2 8 4 2 Câu 12: Cho hình chóp S.ABC có AB = a, AC = 2a, �BAC = 600 , cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a 3 . Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. HD : (HS tự vẽ hình) Sử dụng định lí Cosin tính được BC = a 3 , suy ra tam giác ABC vuông tại B, do đó tâm mặt cầu 1 chính là trung điểm của SC và bán kính R = SC . 2 Câu 13: Một bình đựng nước có dạng hình nón (không có đáy), đựng đầy nước. Người ta thả vào đó một khối cầu có đường kính bằng chiều cao của bình nước và đo được thể tích nước tràn ra ngoài là 18π (dm3). Biết rằng khối cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của hình nón và đúng một nửa của khối cầu đã chìm trong nước (hình dưới). Tính thể tích nước còn lại trong bình. 1 4 HD : Gọi R là bán kính của khối cầu thì thể tích nước tràn ra là . πR 3 = 18π � R = 3 dm 2 3 Suy ra chiều cao của nón là h = 2 R = 6 dm. 1 1 1 1 Gọi r là bán kính đáy của nón thì 2 + 2 = 2 � r = 2 3 dm, suy ra VN = πr 2 h = 24π dm3 r h R 3 Vậy thể tích nước còn lại là 24π − 18π = 6π dm . 3 HẾT