Đề thi môn Toán lớp 11 năm học 2018 – 2019 (Mã đề thi 161, có lời giải chi tiết)

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:37

Thêm vào BST

Báo xấu

4
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

"Đề thi môn Toán lớp 11 năm học 2018 – 2019 (Mã đề thi 161, có lời giải chi tiết)" là tài liệu ôn luyện môn Toán lớp 11 dưới hình thức trắc nghiệm. Đề thi bao gồm nhiều câu hỏi trắc nghiệm khác nhau, kèm theo lời giải chi tiết. Tài liệu giúp học sinh củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán trắc nghiệm. Mời các bạn cùng tham khảo tài liệu mã đề 161 để học tập và củng cố kiến thức.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi môn Toán lớp 11 năm học 2018 – 2019 (Mã đề thi 161, có lời giải chi tiết)

TRƯỜNG THPT …………. BÀI:…………………. TỔ TOÁN NĂM HỌC 2018 – 2019 Môn: Toán - Lớp 11 - Chương trình chuẩn ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: ……… phút Mã đề thi Họ và tên:………………………………………….Lớp:……………...……..……… 161 10 Câu 1. Đa thức P  x   1  3 x  2 x 2   a0  a1 x  ...  a20 x 20 . Tìm a15 A. a15  C10 .C10 .35.25  C10 .C96 .33.26  C10 .C87 .3.27 10 5 9 8 B. a15  C10 .C10 .25  C10 .C96 .26  C10 .C87 .27 . 10 5 9 8 C. a15  C10 .C10 .35.25  C10 .C96 .33.2 6  C10 .C87 .27 . 10 5 9 8 D. a15  C10 .C10 .35  C10 .C96 .33  C10 .C87 .3. . 10 5 9 8 Hướng dẫn giải: Chọn A 10 10 k Ta có: P  x   1  3 x  2 x 2    C10  3 x  2 x 2  k k 0 10 k 10 k   C10  Cki (3 x) k i .(2 x 2 )i   C10  Cki .3k i.2i x k  i k k k 0 i 0 k 0 i0 với 0  i  k  10 . Do đó k  i  15 với các trường hợp k  10, i  5 hoặc k  9, i  6 hoặc k  8, i  7 Vậy a15  C10 .C10 .35.25  C10 .C96 .33.26  C10 .C87 .3.27 . 10 5 9 8 1 2 n Câu 2. Tính tổng S3  Cn  2Cn  ...  nCn A. n.2 n 1 . B. 3n.2 n 1 . C. 2 n.2 n 1 D. 4 n.2 n 1 . Hướng dẫn giải: Chọn A k n! n! (n  1)! k 1 Ta có: kCn  k .  n  nCn 1 , k  1 k !(n  k )! (k  1)![(n  1)  (k  1)]! (k  1)![(n  1)  (k  1)]! n n 1  S3   nCn 11  n Cn 1  n.2 n 1 . k k k 1 k 0 . Câu 3. (Chuyên Long An - Lần 2 - Năm 2018) Với n là số nguyên dương thỏa mãn điều kiện n  2 An2  Cn  10 , tìm hệ số a5 của số hạng chứa x 5 trong khai triển  x 2  3  với x  0 . 3  x  A. a5  10 x 5 . B. a5  10 x 5 . C. a5  10 . D. a5  10 . Lời giải Chọn C Ta có n! n! An2  Cn  10  3   10 ,  n  , n  3  n  2! 3! n  3!  n  2 1 1 3 3 2 4  n  n  1  n  n  1 n  2   10   n  n  n  10  0   n  6 .  6 6 2 3 n  5  So điều kiện nhận n  6 hay n  5 . 66 6 k  2   2  k Khi n  6 , ta có  x 2  3    C6k x 2 6 k   3    C6k  2  x125 k .  x  k 0 x  k 0 7 Để có x 5 thì 12  5k  5  k  (loại). 5 Trang 1/37 - Mã đề thi 161
5 5 5 k  2   2  k Khi n  5 , ta có  x 2  3    C5k x 25 k   3    C5k  2  x105 k .  x  k 0 x  k 0 Để có x 5 thì 10  5k  5  k  1 . 1 Vậy a5  C5  2   10 . 5 10 Câu 4. Tìm hệ số của x 5 trong khai triển đa thức của: x 1  2 x   x 2 1  3 x  A. 1313 B. 3320. C. 2130. D. 3210. Hướng dẫn giải: Chọn B 5 10 Đặt f ( x )  x 1  2 x   x 2 1  3 x  5 10 k i Ta có: f ( x)  x  C5k  2  .x k  x 2  C10  3 x  i k 0 i 0 5 10 k   C5k  2  .x k 1   C10 3i.xi  2 i k 0 i 0 5 Vậy hệ số của x trong khai triển đa thức của f ( x ) ứng với k  4 và i  3 là: 4 C54  2   C10 .33  3320 . 3 Câu 5. (THPT TRẦN PHÚ ĐÀ NẴNG – 2018)Với n là số nguyên dương thỏa mãn 2 n 3C 3 n 1  3 A  52  n  1 . Trong khai triển biểu thức  x  2 y 2 n 3  , gọi T k là số hạng mà tổng số mũ của x và y của số hạng đó bằng 34 . Hệ số của Tk là A. 1287 . B. 2574 . C. 41184 . D. 54912 . Lời giải Chọn C Điều kiện : n  2 , n  * . 3 2 Ta có 3Cn1  3 An  52  n  1  3.  n  1 !  3 n !  52 n  1   3!  n  2  ! n  2!  n  1  n  n  1  3 n   n  1  52  n  1  n 2  n  6 n  104 2  n  13  n 2  5 n  104  0    n  13 .  n  8 13 13 13 13  k k x 3  2 y2    C13  x 3  k  2 y 2    C13 2k x 39 3k y 2 k . k 0 0 Ta có : 39  3k  2k  34  k  5 . Vậy hệ số C13 2 5  41184 . 5 n  1  Câu 6. Tìm hệ số của số hạng chứa x 8 trong khai triển nhị thức Niutơn của  3  x 5  biết  x  n 1 n Cn 4  Cn 3  7  n  3 . A. 13129 B. 495. C. 313. D. 1303. Hướng dẫn giải: Chọn B Ta có: Cn  4  Cn 3  7  n  3   Cn 3  Cn 3   Cn  3  7  n  3 n 1 n n n 1 n n 1  Cn  3  7  n  3    n  2  n  3  7  n  3 2!  n  2  7.2!  14  n  12 . Trang 2/37 - Mã đề thi 161
n 5 12  k 60 11k 12 12 1  k   Khi đó:  3  x5    C12  x 3  .  x 2  k k   C12 x 2 . x  k 0   k 0 60  11k Số hạng chứa x 8 ứng với k thỏa: 8  k  4. 2 4 12! Do đó hệ số của số hạng chứa x 8 là: C12   495 . 4!12  4  ! Câu 7. (CHUYEN PHAN BOI CHAU_NGHE AN_L4_2018_BTN_6ID_HDG) Tính tổng S  2.22017 C2018  3.2 2016 C2018  4.22015 C2018  ...  2019C2018 . 1 2 3 2018 A. S  2021.32017  2 2018 . B. S  2021.32017 . C. S  2021.32018  2 2017 . D. S  2021.32017  2 2018 . Lời giải Chọn D Áp dụng khai triển nhị thức NewTon ta có 2018 2  x  C2018 .22018  C2018 .22017.x  C2018 .22016.x 2  ...  C2018 .x 2018 0 1 2 2018 2018  x 2  x  C2018 .22018.x  C2018 .22017.x 2  C2018 .22016.x 3  ...  C2018 .x 2019 0 1 2 2018 Lấy đạo hàm theo x hai vế ta được: 2018 2017 2  x  x.2018.  2  x   C2018 .2 2018  2.C2018 .22017.x  3.C2018 .22016. x 2  ...  2019.C2018 .x 2018 0 1 2 2018 Cho x  1 ta được: 32018  2018.32017  C2018 .2 2018  2.C2018 .22017  3.C2018 .2 2016  ...  2019.C2018 0 1 2 2018 Suy ra S  32018  2018.32017  C2018 .2 2018  2021.32017  2 2018 . 0 40  2  Câu 8. (THPT Kinh Môn - Hải Dương - 2018 - BTN) Trong khai triển f  x    x  2  , hãy tìm hệ số  x  của x 31 . A. 31148 . B. 71314 . C. 79040 . D. 9880 . Lời giải Chọn C 40  2  40 Ta có f  x    x  2    x  2 x 2  .  x  k k Số hạng tổng quát của khai triển là C40 x 40  k .  2 x 2   C40  2  x 40 3 k . k k Số mũ của x bằng 31 khi và chỉ khi 40  3k  31  k  3 . 3 3 Vậy hệ số của x 31 là C40  2   79040 . Câu 9. (THPT Quỳnh Lưu 1 - Nghệ An - Lần 2 - 2017 - 2018 - BTN) Tìm hệ số của x 5 trong khai triển 2n thành đa thức của  2  3x  , biết n là số nguyên dương thỏa mãn: 0 2 4 2n C2 n 1  C2 n 1  C2 n 1  ...  C2 n 1  1024 . A. 2099520 . B. 1959552 . C. 1959552 . D. 2099529 . Lời giải Chọn B 2 n 1 Ta có  x  1  C2 n 1.x 2 n 1  C2 n 1.x 2 n  ...  C2 n 1.x  C2 n 1 1 0 1 2n 2 n 1 Thay x  1 vào 1 : 2 2 n 1  C2 n 1  C2 n 1  ...  C2 n 1  C2 n 1  2  0 1 2n 2 n 1 Thay x  1 vào 1 : 0  C2 n 1  C2 n 1  ...  C2 nn1  C22nn1  3 0 1 2 1 Trang 3/37 - Mã đề thi 161
Phương trình  2  trừ  3 theo vế: 2 2 n 1  2  C2 n 1  C2 n 1  ...  C2 n 1  0 2 2n Theo đề ta có 2 2 n 1  2.1024  n  5 10 Số hạng tổng quát của khai triển  2  3x  : k k Tk 1  C10 .210  k .  3 x   C10 .210  k .  3 .x k k k Theo giả thiết ta có k  5 . 5 Vậy hệ số cần tìm C10 .25.  3  1959552 . 5 Câu 10. Tìm số nguyên dương n sao cho: C2 n 1  2.2C22n 1  3.2 2 C2 n 1  ...  (2 n  1)2 n C22nn11  2005 1 3  A. n  1002 . B. n  1114 . C. n  102 D. n  1001 . Hướng dẫn giải: Chọn A 2 n 1 k 1 Đặt S   (1) .k .2k 1 C2 n 1 k k 1 Ta có: ( 1) k 1.k .2 k 1 C2 n 1  ( 1) k 1.(2n  1).2k 1 C2 n 1 k k Nên S  (2n  1)(C2 n  2C2 n  22 C2 n  ...  22 n C22n )  2n  1 0 1 2 n Vậy 2n  1  2005  n  1002 . 0 2 2 2010 2010 Câu 11. S2  C2011  2 C2011  ...  2 C2011 32011  1 3211  1 32011  12 32011  1 A. . B. . C. . D. 2 2 2 2 Hướng dẫn giải: Chọn D Xét khai triển: (1  x ) 2011  C2011  xC2011  x 2C2011  ...  x 2010C2011  x 2011C2011 0 1 2 2010 2011 Cho x  2 ta có được: 32011  C2011  2.C2011  2 2 C2011  ...  2 2010 C2011  2 2011 C2011 (1) 0 1 2 2010 2011 Cho x  2 ta có được: 1  C2011  2.C2011  2 2 C2011  ...  22010 C2011  22011 C2011 (2) 0 1 2 2010 2011 Lấy (1) + (2) ta có: 2  C2011  22 C2011  ...  2 2010 C2011   32011  1 0 2 2010 32011  1 Suy ra: S 2  C2011  2 2 C2011  ...  22010 C2011  0 2 2010 . 2 Câu 12. Tìm hệ số của x 8 trong khai triển biểu thức sau: g ( x)  8(1  x)8  9(1  2 x )9  10(1  3 x )10 A. 21031 B. 22094. C. 139131. D. 130282. Hướng dẫn giải: Chọn B n n Ta có: 1  ax    Cn a k x k nên ta suy ra hệ số của x k trong khai triển (1  ax)n là Cn a k . Do đó: k k i 0 Hệ số của x trong khai triển (1  x)8 là: C8 8 8 Hệ số của x 8 trong khai triển (1  2 x)9 là: C9 .28 8 Hệ số của x 8 trong khai triển (1  3 x)10 là: C10 .38 . 8 Vậy hệ số chứa x 8 trong khai triển g ( x ) thành đa thức là: 8C8  9.28.C9  10.38.C10  22094 . 8 8 8 Trang 4/37 - Mã đề thi 161
Câu 13. (THPT TRẦN PHÚ ĐÀ NẴNG – 2018)Với n là số tự nhiên lớn hơn 2 , đặt 1 1 1 1 S n  3  3  3  ...  3 . Tính lim S n . C3 C4 C5 Cn 1 3 A. 3 . B. . C. 1. D. . 3 2 Lời giải Chọn D 3 Ta có Cn  n!   n  3! n  2  n  1 n  n  n  1 n  2   1  6 3 3! n  3 !  n  3! 6 6 Cn n  n  1 n  2  6 6 6 6 Vậy ta có Sn     ...  1.2.3 2.3.4 3.4.5 n  n  1 n  2  2 1 1 2 1 1 2 1 1 Nhận xét   ;   ;…;   1.2.3 1.2 2.3 2.3.4 2.3 3.4  n  2  n  1 n  n  2  n  1  n  1 n  1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  n  2  3n  6  Sn  3      ...       3    3   1.2 2.3 2.3 3.4 n  2 n 1 n 1 n   2 n  2n  2n  6  3n  6   3 n  3 Vậy lim S n  lim    lim   .  2n   2  2   1 2 3 2016 Câu 14. (THPT Xuân Hòa-Vĩnh Phúc- Lần 1- 2018- BTN) Tổng C2016  C2016  C2016  ...  C2016 bằng A. 22016  1 . B. 22016  1 . C. 4 2016  1 . D. 42016 . Lời giải Chọn A 1 2 2016 0 1 2 2016 2016 C2016  C2016  ...  C2016  C2016  C2016  C2016  ...  C2016  1  1  1  1  22016  1 . Câu 15. Với n là số nguyên dương, gọi a3 n  3 là hệ số của x 3 n  3 trong khai triển thành đa thức của ( x 2  1) n ( x  2) n . Tìm n để a3n 3  26n A. n=5. B. n=4. C. n=3. D. n=2 Hướng dẫn giải: Chọn A Cách 1:Ta có: n x 2  1  Cn x 2 n  Cn x 2 n  2  Cn x 2 n  4  ...  Cn 0 1 2 n n  x  2  Cn x n  2Cn x n 1  22 Cn x n  2  ...  2n Cn 0 1 2 n Dễ dàng kiểm tra n  1 , n  2 không thoả mãn điều kiện bài toán. Với n  3 thì dựa vào khai triển ta chỉ có thể phân tích x 3 n  3  x 2 n . x n  3  x 2 n  2 . x n 1 Do đó hệ số của x 3 n  3 trong khai triển thành đa thức của n n x 2  1  x  2  là: a3n 3  23.Cn .Cn  2.Cn .Cn . 0 3 1 1 2n  2n 2  3n  4  7 Suy ra a3 n 3  26n   26n  n   hoặc n  5 3 2 Vậy n  5 là giá trị cần tìm. Cách 2: n n n n  1   2 Ta có:  x 2  1  x  2   x 3n  1  2   1    x   x Trang 5/37 - Mã đề thi 161
n ni k i  1  2  n i n   x3n  Cn  2   Cnk   x 3n   Cn x 2i  Cn 2k x  k  k i0  x  k 0  x   i 0 k 0  Trong khai triển trên, luỹ thừa của x là 3n  3 khi 2i  k  3  2i  k  3 . Ta chỉ có hai trường hợp thoả mãn điều kiện này là i  0, k  3 hoặc i  1, k  1 (vì i , k nguyên). n n Hệ số của x 3 n  3 trong khai triển thành đa thức của  x 2  1  x  2  Là: a3 n 3  Cn .Cn .23  Cn .Cn .2 . 0 3 1 1 2n  2n 2  3n  4  7 Do đó a3 n 3  26n   26n  n   hoặc n  5 3 2 Vậy n  5 là giá trị cần tìm. 1 2 Câu 16. (THPT Lục Ngạn-Bắc Giang-2018) Với n là số nguyên dương thỏa mãn Cn  Cn  55 , hệ số của x 5 trong n  2  khai triển của biểu thức  x3   bằng  x2  A. 8064 . B. 3360 . C. 8440 . D. 6840 . Lời giải Chọn A n  n  1  n  10 Ta có Cn  Cn2  55  n  1  55  n 2  n  110  0    n  10 . 2  n  11 10 k  2  10  k  2  Số hạng tổng quát trong khai triển  x3  2  là Tk 1  C10  x3  .  2   C10 .2k .x 30 5 k . k k  x   x  5 Số hạng chứa x ứng với 30  5k  5  k  5 . 10  2  5 Vậy, hệ số của x trong khai triển của biểu thức  x3  2  bằng C10 .25  8064 . 5  x  3n Câu 17. Tổng các hệ số nhị thức Niu-tơn trong khai triển 1  x  bằng 64 . Số hạng không chứa x trong 3n  1  khai triển  2nx   là:  2nx 2  A. 210 . B. 250 . C. 240 . D. 360 . Lời giải Chọn C 3n Đặt: P  x   1  x  . 3n Tổng các hệ số trong khai triển là P 1  1  1  64  23n  64  8n  82  n  2 . 3n 6  1   1  Số hạng tổng quát trong khai triển  2nx   hay  4 x  2  là  2nx 2   4x  k 6k 1  Tk 1  C .  4 x  .  2   C6 .46 2 k .x 6 3 k . k 6 k  4x  Ta cần tìm k sao cho: 6  3k  0  3k  6  k  2 . Số hạng không chứa x trong khai triển là: C6 .462.2  240 . 2 Câu 18. (THPT CHUYÊN KHTN - LẦN 1 - 2018) Cho n là số nguyên dương thỏa mãn n n 3n Cn  3n 1 Cn  3n  2 Cn  .....   1 Cn  2048 . Hệ số của x10 trong khai triển  x  2  là: 0 1 2 n A. 22 . B. 220 . C. 24 . D. 11264 . Lời giải Trang 6/37 - Mã đề thi 161
Chọn A n n Ta có  3  1  3n Cn  3n 1 Cn  3n  2 Cn2  .....   1 Cnn 0 1  2 n  2048  2 n  211  n  11 . 11 11 Xét khai triển  x  2    C11 x11 k .2 k k k 0 Tìm hệ số của x  tìm k    k  11 thỏa mãn 11  k  10  k  1 . 10 11 Vậy hệ số của x10 trong khai triển  x  2  là C11.2  22 . 1 n 1  Câu 19. Xác định số hạng không phụ thuộc vào x khi khai triển biểu thức    x  x 2   với n là số x  nguyên dương thoả mãn Cn  2n  An 1 .( Cnk , An tương ứng là số tổ hợp, số chỉnh hợp chập k của n phần tử). 3 2 k A. 98 . B. 98 . C. 96 . D. 96 Hướng dẫn giải: Chọn A n  3 3 2  Ta có: Cn  2n  An 1   n  n  1 n  2    2n   n  1 n  6 n  3  2  n 8.  n  9n  8  0 Theo nhị thức Newton ta có: 8 8 1 2  1  0 1 1 1  x   x  x     x  x 1  x    C8 x8  C8 x 6 1  x       1 2 1 3 4 8 C82 4 1  x   C83 2 1  x   C84 1  x   ...  C8 x8 1  x  8 x x Số hạng không phụ thuộc vào x chỉ có trong hai biểu thức 1 3 4 C83 2 1  x  và C84 1 x  . x Trong đó có hai số hạng không phụ thuộc vào x là: C83 .C32 và C84 .C4 0 Do đó số hạng không phụ thuộc vào x là: C83 .C32  C84 .C4  98 . 0 n  1  Câu 20. Số hạng thứ 3 của khai triển  2 x  2  không chứa x. Tìm x biết rằng số hạng này bằng số hạng  x  30 thứ hai của khai triển 1  x3  . A. 2 . B. 1 . C. 1 . D. 2 . Lời giải Chọn A n n k  1   1   2 x  2    Cn .(2 x) n  k .  2  . k  x  k 0 x  Vì số hạng thứ ba của khai triển trên ứng với k  2 nên số hạng thứ ba của khai triển là Cn .2n  2.x n 6 . 2 Mà số hạng thứ ba của khai triển không chứa x nên n  6  0  n  6 . 30 Số hạng thứ 2 của khai triển 1  x 3  là C30 .x3  30 x3 . 1 Khi đó ta có C6 .24  30.x3  x  2 . 2 2 3 4 n Câu 21. Tính các tổng sau: S3  2.1.Cn  3.2Cn  4.3Cn  ...  n( n  1)Cn . Trang 7/37 - Mã đề thi 161
A. n(n  1)2n  2 B. n(n  2)2 n  2 . C. n(n  1)2n 3 . D. n(n  1)2n  2 . Hướng dẫn giải: Chọn D k n! Ta có k (k  1)Cn  k  n( n  1)Cn  22 (k  2)!(n  k )! n  S3  n( n  1) Cn  2  n( n  1)2 n  2 . k 2 k 2 2 n 1 Câu 22. (Sở Phú Thọ - Lần 1 - 2018 - BTN) Với n là số nguyên dương thỏa mãn An  Cn 1  54 , hệ số n  2 của số hạng chứa x 20 trong khai triển  x5  3  bằng ?  x  A. 25344 . B. 25344x 20 . C. 25342 . D. 25342x 20 . Lời giải Chọn A 2 n 1 Ta có An  Cn 1  54  n!   n  1!  54  n  2 !  n  1  n  1!.  n  1! 1  n  n  1  n  n  1  54  2  n 2  n    n 2  n   108  n 2  3n  108  n  12 2 n 12 12  2  12 12  k k   x 5  3    x 5  2 x 3    C12 x 5  x  k    . 2 x 3   C k 12 .2k x 608 k . k 0 k 0 Xét 60  8k  20  k  5  hệ số cần tìm là C12 .25  25344 . 5 Câu 23. (SGD BINH THUAN_L6_2018_BTN_6ID_HDG) Hệ số của x5 trong khai triển 3 10 f  x   1  x  3 x  thành đa thức là A. 1380 . B. 1332 . C. 3480 . D. 1836 . Lời giải Chọn B 10  Ta có f  x   1  x 1  3x 2   . Số hạng tổng quát: T  C10C10  k 3k x i 3 k . k i i  3k  5  k  0 k  1 Để T chứa x thì i, k   5  hoặc  0  i  10  k  10 i  5 i  2  Vậy hệ số của x5 trong khai triển là C10C10 30  C10C92 31  1332 . 0 5 1 12  x 3 Câu 24. Tìm hệ số của số hạng chứa x 4 trong khai triển    3 x 1412 55 13 621 A. B. . C. . D. . 3123 9 2 113 Hướng dẫn giải: Chọn B 1 55 8 ( 3) 4 C12  . 4 3 9 Câu 25. (THPT Chu Văn An - Hà Nội - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Khai triển của biểu thức 2018 x 2  x  1 được viết thành a0  a1 x  a2 x 2  ...  a4036 x 4036 . Tổng S  a0  a2  a4  a6  ...  a4034  a4036 bằng: Trang 8/37 - Mã đề thi 161
A. 1 B. 0 C. 21009 D. 21009 Lời giải Chọn A 2018 Ta có  x 2  x  1  a0  a1 x  a2 x 2  ...  a4036 x 4036 . 2018 Cho x  i ta được  i 2  i  1  a0  a1i  a2  a3 i  a4  a5 i  a6  ...  a4036 . 2018 Hay S  a0  a2  a4  a6  ...  a4034  a4036   1  i  1  1 . Câu 26. (THPT Hà Huy Tập - Hà Tĩnh - Lần 2 - 2017 - 2018 - BTN) Số hạng không chứa x trong khai 6  2 triển  x 2   là:  x 6 2 A. 2 C6 . B. C64 . C. C62 .16 . D. 4C62 . Lời giải Chọn C k k 12 3 k Số hạng tổng quát của khai triển là: C6 .2 .x  0  k  6, k    . 6  2 Số hạng không chứa x trong khai triển  x 2   ứng với k thỏa 12  3k  0  k  4 .  x 4 4 2 Vậy số hạng không chứa x là: C6 .2  C6 .16 . Câu 27. (Sở GD Cần Thơ-Đề 302-2018) Cho biểu thức n P  x    x  2   an x n  an 1 x n 1  ...  ak x k  ...  a1 x  a0 , n   * . Biết an 9  an 8 và an 9  an 10 . Giá trị của n bằng: A. 13 . B. 14 . C. 12 . D. 15 . Lời giải Chọn A * Theo công thức khai triển nhị thức Newton ta có: n P  x    x  2   Cn x n 20  Cn x n 1 21  ...  Cn  k x k 2 n  k  ...  Cn 1 x1 2 n 1  Cn x 0 2n , n   * 0 1 n n n n mà P  x    x  2   an x n  an 1 x n 1  ...  ak x k  ...  a1 x  a0 , n   * Ta có: ak  2n  k Cn  k  2n  k Cn , 0  k  n  an 8  28 Cn 8  28 Cn , an 9  29 Cn , an 10  210 Cn n k n 8 9 10 * Theo đề bài với n  10, n   * :  9 n! 8 n! 2 1 an 9  an8 2 9! n  9  !  2 8! n  8  ! 9  n  8  25    n      2  n  13. an 9  an10  29 n! 2 10 n!  1 1 n  14   9! n  9  !  10! n  10  ! n  9 5  Câu 28. (Chuyên Lương Thế Vinh – Hà Nội – Lần 2 – 2018 – BTN) Cho khai triển 2018 2017  T  1  x  x 2017    1  x  x 2018  . Hệ số của số hạng chứa x trong khai triển bằng A. 0 . B. 4035 . C. 1 . D. 2017 . Lời giải Chọn C 2018 k 2017 k Cách 1: Ta có T   C2018  x  x 2017    C2017  x 2018  x  . k k k 0 k  0 Hệ số của số hạng chứa x ứng với k  k   1 . 1 1 Do đó hệ số cần tìm là C2018  C2017  1 . Cách 2: Ta có T  a0  a1 x  a2 x 2  ...  a2017.2018 x 2017.2018  f  x  Trang 9/37 - Mã đề thi 161
 f   x   a1  2a2 x  ...  2017.2018a2017.2018 x 2017.20181  f   0   a1 . 2017 2018 2016 Mà f   x   2018 1  x  x 2017  1  2017 x   2017 1  x  x   1  2018 x  2016 2017  f   0   2018  2017  1  a1  1 . Do đó hệ số cần tìm là 1 . Câu 29. (CỤM CÁC TRƯỜNG CHUYÊN ĐỒNG BẰNG SÔNG CỬU LONG-LẦN 2-2018) Cho n là n số nguyên dương thỏa mãn 5n Cn  5n 1 Cn  5n  2 Cn  ...   1 Cnn  1024 . Tìm hệ số của x3 trong 0 1 2 n khai triển  3  x  . A. 90 B. 270 C. 270 D. 90 Lời giải Chọn D n n Ta có 5n Cn  5n 1 Cn  5n  2 Cn2  ...   1 Cnn  1024   5  1  1024  2 2 n  210  n  5 . 0 1 5 5 5 k k Với n  5 ta có:  3  x    C5k .35 k .   x    C5k .35 k .  1 .x k . k 0 k 0 3 Vậy hệ số của x3 là: C53 .32.  1  90 . Câu 30. (TRƯỜNG CHUYÊN HỌC VINH - LẦN 2 - 2018) Cho khai triển ĐẠI n 1  2 x   a0  a1 x  a2 x    an x n , n  1. Tìm số giá trị nguyên của n với n  2018 sao cho tồn 2 tại k  0  k  n  1 thỏa mãn ak  ak 1 . A. 2018 . B. 673 . C. 672 . D. 2017 . Lời giải Chọn B n n Ta có 1  2 x    Cn 2k x k , suy ra ak  Cn 2k với k  0,1, 2,3,..., n . k k k 0 Do đó: n! n! ak  ak 1  Cn 2k  Cn 1 2k 1  k k  2. k ! n  k  !  k  1! n  k  1! 1 2 2n  1    2n  2k  k  1  k  .  n  k   k  1 3 Vì 0  k  n  1 nên suy ra n  2 . 2.3m  1 1 Nếu n  3m , m   , thì k   2m    . 3 3 2.  3m  1  1 1 Nếu n  3m  1 , m   , thì k   2m    . 3 3 2.  3m  2   1 Nếu n  3m  2 , m   , thì k   2m  1   . Nên với các số n  3m  2 , m   , thì 3 sẽ cho tồn tại k  0  k  n  1 thỏa mãn ak  ak 1 . Vì 2  n  2018 và n   nên 2  3m  2  2018  0  m  672 và m   . Do đó, có 673 số giá trị nguyên của n với n  2018 sao cho tồn tại k  0  k  n  1 thỏa mãn ak  ak 1 . Câu 31. (Sở GD&ĐT Hà Nội - Lần 1 - 2018 - BTN) Tìm hệ số của số hạng chứa x 5 trong khai triển 10 1  x  x 2  x3  . A. 252 . B. 582 . C. 1902 . D. 7752 . Lời giải Trang 10/37 - Mã đề thi 161
Chọn C 10 10 10 10 10 10 10 Ta có: 1  x  x 2  x3   1  x 2  1  x    C10 .x 2 k . C10 .x i   C10 .C10 .x 2 k i k i k i k 0 i 0 k 0 i 0 5 Hệ số của số hạng chứa x nên 2k  i  5 . Trường hợp 1: k  0 , i  5 nên hệ số chứa x 5 là C10 .C10 . 0 5 1 3 Trường hợp 2: k  1 , i  3 nên hệ số chứa x 5 là C10 .C10 . Trường hợp 3: k  2 , i  1 nên hệ số chứa x 5 là C10 .C10 . 2 1 Vậy hệ số của số hạng chứa x 5 là C10 .C10  C10 .C10  C10 .C10  1902 . 0 5 1 3 2 1 Câu 32. (THPT Chuyên Hùng Vương - Gia Lai - Lần 2 -2018 - BTN) Tính tổng các hệ số trong khai 2018 triển 1  2x  . A. 1. B. 2018 . C. 2018 . D. 1 . Lời giải Chọn A Xét khai triển (1  2x) 2018  C2018  2 x.C2018  (2 x ) 2 .C2018  ( 2 x )3 .C2018  ...  ( 2 x ) 2018 .C2018 0 1 2 3 2018 Tổng các hệ số trong khai triển là: S  C2018  2.C2018  ( 2) 2 .C2018  ( 2)3 .C2018  ...  (2) 2018 .C2018 0 1 2 3 2018 Cho x  1 ta có: (1  2.1) 2018  C2018  2.1.C2018  (2.1) 2 .C2018  (2.1)3 .C3  ...  ( 2.1) 2018 .C 2018 0 1 2 2018 2018 2018   1  S  S 1 Câu 33. (THPT Chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Tìm số nguyên dương n thỏa mãn 0 1 2 n 2Cn  5Cn  8Cn  ...   3n  2  Cn  1600 . A. n  8 . B. n  5 . C. n  7 . D. n  10 . Lời giải Chọn C 0 1 2 n Biến đổi 2Cn  5Cn  8Cn  ...   3n  2  Cn 0 1 2 n   3.0  2  Cn   3.1  2  Cn   3.2  2  Cn  ...   3n  2  Cn  2  Cn  Cn  Cn  ...  Cn   3  Cn  2Cn  ...  nCn  . 0 1 2 n 1 2 n Ta có Cn  Cn  Cn  ...  Cn  2 n . 0 1 2 n n n 1 Xét hàm số f  x   1  x   f   x   n 1  x   f  1  n.2n1 1 n Lại có f  x   1  x   Cn  Cn x  Cn x 2  Cn x 3  ...  Cn x n 0 1 2 3 n  f   x   Cn  2 xCn  3x 2Cn  ...  nx n 1Cn 1 2 3 n 1 2 3 n  f  1  Cn  2Cn  3Cn  ...  nCn  2  Từ 1 và  2  ta được Cn  2Cn  3Cn  ...  nCn  n.2 n 1 . 1 2 3 n 0 1 2 n  3n  n Do đó 2Cn  5Cn  8Cn  ...   3n  2  Cn  2.2 n  3n.2 n 1   2   .2 .  2  0 1 2 n  3n  n Bài ra 2Cn  5Cn  8Cn  ...   3n  2  Cn  1600 nên  2   .2  1600 .  2  Với n  7 I Loại.  3n  n  21  7 Với 1  n  7   2   .2   2   .2  1600  Loại.  2   2  Trang 11/37 - Mã đề thi 161
 3n  n Do đó  2   .2  1600  n  7 .  2  Câu 34. (THPT Chuyên Thái Nguyên - Lần 2 - 2017 - 2018 - BTN) Tìm hệ số của x 4 trong khai triển nhị n  1  5 4 thức Newton  2 x  5  với x  0 , biết n là số tự nhiên lớn nhất thỏa mãn An  18 An  2 .  x A. 15360 . B. 3360 . C. 13440 . D. 8064 . Lời giải Chọn D n  6 Điều kiện:  n   5 4 Khi đó An  18 An  2  n!  18.  n  2 !  n  5!  n  6 !  n  n  1 n  2  n  3 n  4   18  n  2  n  3 n  4  n  5   n  n  1  18  n  5  n 2  19n  90  0  9  n  10  n  10 . n  max 10 k  1  k 10  k  1  Số hạng tổng quát trong khai triển  2x  5  là Tk 1  C10 .  2 x  .  5   x  x k 50  6 k   C10 .210 k .x10 k .x k 5  C10 .210 k .x k 5 . 50  6k Tìm k sao cho  4  k  5. 5 Vậy hệ số của số hạng chứa x 4 là C10 .2105  8064. 5 Câu 35. (THPT CHuyên Lam Sơn - Thanh Hóa - Lần 2 - 2017 - 2018 - BTN) Cho n là số nguyên dương thỏa mãn An2  Cn  Cn  4n  6 . Hệ số của số hạng chứa x 9 của khai triển biểu thức 2 1 n  3 P  x    x 2   bằng:  x A. 18564 . B. 64152 . C. 192456 . D. 194265 . Lời giải Chọn C n! n! n! An2  Cn  Cn  4 n  6  2 1    4n  6  n  2 !  n  2 !.2!  n  1!.1! n  n  1  n  1  l   n  n  1   n  4n  6  n 2  11n  12  0   . 2  n  12  n   12  3 Khi đó P  x    x 2   .  x k 12  k 3 Công thức số hạng tổng quát: Tk 1  C12 .  x 2  k .    C12 .3k .x 24 3 k . k  x Số hạng chứa x 9  24  3k  9  k  5 . Vậy hệ số của số hạng chứa x 9 trong khai triển là C12 .35  192456 . 5 Câu 36. (THPT HAU LOC 2_THANH HOA_LAN2_2018_BTN_6ID_HDG) Trong khai triển n n 1  3x   a0  a1 x  a2 x 2  ...  an x n . Tìm a2 biết a0  a1  a2  a3  ...   1 an  2 2018 A. a2  18316377 . B. a2  508536 . C. a2  9 . D. a2  4576824 . Trang 12/37 - Mã đề thi 161
Lời giải Chọn D n Trong khai triển 1  3 x   a0  a1 x  a2 x 2  ...  an x n ta thay x  1 ta được: n 4n  a0  a1  a2  a3  ...   1 an  2 2 n  2 2018  n  1009 . 2 2 Khi đó, a2  C1009  3  4576824 . 300 Câu 37. Có bao nhiêu số hạng hữu tỉ trong khai triển  10  8 3  ? A. 37 . B. 38 . C. 36 . D. 39 . Lời giải. Chọn B 300 300 300  k k  10  8 3  k   C300 k 0  10  .  3 8 . 300  k  2 Các số hạng hữu tỉ sẽ thỏa mãn   k 8 .  k 8 Từ 0 đến 300 có 38 số chia hết cho 8 . Câu 38. (Chuyên Quang Trung - BP - Lần 4 - 2017 - 2018) Cho n thỏa mãn n Cn  Cn  ...  Cn  1023 . Tìm hệ số của x 2 trong khai triển 12  n  x  1 thành đa thức. 1 2 n   A. 2 B. 90 C. 45 D. 180 Lời giải Chọn D n Xét khai triển 1  x   Cn  Cn x  Cn x 2  ...  Cn x n , cho x  1 ta được 0 1 2 n 2n  Cn  Cn  Cn2  ...  Cn  2n  1  Cn  Cn  ...  Cn  1023  n  10 . 0 1 n 1 2 n 10 Xét khai triển  2 x  1 có số hạng tổng quát C10 210  k x10  k  k  10, k    , hệ số của x 2 ứng với k k thỏa 10  k  2  k  8 . Vậy hệ số cần tìm là C10 .2 2  180 . 8 Câu 39. Tính tổng S  2.1Cn  3.2Cn  4.3Cn  ...  n( n  1)Cnn 2 3 4 A. n( n  1)2n . B. (n  1)2n  2 C. n(n  1)2n  2 . D. n(n  1)2n  2 . Hướng dẫn giải: Chọn D n k Ta có: S   k ( k  1)Cn k 2 Mà k (k  1)Cnk  n( n  1)Cn  22 k Suy ra S  n( n  1)(Cn0 2  Cn  2  Cn2 2  ...  Cnn 22 )  n (n  1)2 n  2 . 1  2 20 Câu 40. Cho đa thức P  x   1  x   2 1  x   ...  20 1  x  có dạng khai triển là 2 20 P  x   a0  a1 x  a2 x  ...  a20 x . Hãy tính hệ số a15 . A. 511313. B. 412674 C. 400995. D. 130414. Hướng dẫn giải: Chọn C 20 15 a15   kC k 15 k  400995 . Câu 41. Câu nào sau đây sai? 0 1 2 n n A. 2 n  Cn  Cn  Cn2  ...  Cnn . 0 1 B. 0  Cn  Cn  Cn  ...   1 Cn . Trang 13/37 - Mã đề thi 161
0 1 2 n n C. 1  Cn  2Cn  4Cn  ...   2  Cn . D. 3n  Cn  2Cn  4Cn  ...  2n Cn . 0 1 2 n Lời giải Chọn C n Ta có:  a  b   Cn a n  Cn a n 1b  Cn a n 2 b 2  ...  Cnn b n 0 1 2 Thay a  1; b  1 ta được kết quả câu A Thay a  1; b  1 ta được kết quả câu B Thay a  1; b  2 ta được kết quả câu D 0 1 2 n n n Thay a  1; b  2 ta được Cn  2Cn  4Cn  ...   2  Cn   1  1 nên câu C sai. 100 Câu 42. Trong khai triển  x  2   a0  a1 x  ...  a100 x100 . Hệ số a97 là A. 298.C100 . 98 B. 1293600 . C. 1293600 . D. 23.C100 . 97 Lời giải. Chọn D 100 100 100 100  k 100  k Ta có  x  2    C100 .x k .  2  k k   C100 .  2  .x k  a0  a1 x  ...  a100 x100 . k 0 k 0 k 100  k 3 Từ đó suy ra ak  C .  2  100 . Vậy a97  C100 .  2   23.C100 . 97 97 Câu 43. (THPT Chuyên Hùng Vương-Gia Lai-2018) Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển Nhị 2n  n x thức Niu tơn của     x  0  , biết số nguyên dương n thỏa mãn Cn  An2  50 . 3  2x 2  279 297 29 97 A. B. C. D. 215 512 51 12 Lời giải Chọn B n! n! Ta có Cn  An2  50  n  3, n     3   50 3! n  3 !  n  2 ! n  n  1 n  2  n  n  1    50  n 3  3n 2  4n  300  0  n  6 . 6 1 12  n x Khi đó khai triển    có số hạng tổng quát C12 312 k .2  k .x 2 k 12  k  , k  12  k  2x 2  Hệ số của số hạng chứa x8 ứng với k thỏa 12k  12  8  k  10 . 297 Vậy hệ số của số hạng chứa x8 là C12 .32.210  10 . 512 Câu 44. (THPT Chuyên Bắc Ninh - Lần 2 - 2017 - 2018) Cho đa thức 8 9 10 11 12 P  x   1  x   1  x   1  x   1  x   1  x  . Khai triển và rút gọn ta được đa thức P  x   a0  a1 x  ...  a12 x12 . Tính tổng các hệ số ai , i  0; 1; 2; ...; 12 . A. 0 . B. 7920 . C. 5 . D. 7936 . Lời giải Chọn D Ta có 8 9 10 11 12 P  x   1  x   1  x   1  x   1  x   1  x  . Áp dụng khai triển Trang 14/37 - Mã đề thi 161
n 1  x   Cn  Cn x  Cn x 2  ...  Cn x n . 0 1 2 n Cho x  1 , ta có Cn  Cn  Cn  ...  Cn  2 n . 0 1 2 n Do đó ta có tổng hệ số của P  x  là: S  28  29  210  211  212  28 1  2  4  8  16   31.28  7936 . Câu 45. (Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ - 2018 - BTN) Cho số nguyên dương n thỏa mãn 1 2 n 2Cn  3Cn  ...   n  1 Cn  2621439 . Số hạng không chứa x trong khai triển của biểu thức n  2 1  x   bằng  x A. 31824 . B. 18564 . C. 1. D. 43758 . Lời giải Chọn B Ta có: n x 1  x   Cn x  Cn x 2  Cn x 3  ...  Cn x n 1 . 0 1 2 n Lấy đạo hàm hai vế ta được: n n 1  x  1  nx  x  1  Cn  2Cn x  3Cn x 2  ...   n  1 Cn x n . 0 1 2 n Cho x  1 , ta có Cn  2Cn  3Cn  ...   n  1 Cn  2n  n2n 1  2n1  2  n  . 0 1 2 n 2621440  2n 1  2  n   1  2621439  2n1  2  n   2621440  2n  .2 . (*) 2n 2621440 Xét f  n   2n là hàm số đồng biến trên  0;   và g  n   2. là hàm số nghịch biến trên 2n  0;   . Ta có f 18   g 18   n  18 là nghiệm duy nhất của (*). 18  1 Khi đó số hạng tổng quát của khai triển  x 2   là: C18 x363 k với k  , 0  k  18 . k  x 12 Vậy số hạng không chứa x là C18  18564 . Câu 46. (Đoàn Trí Dũng - Lần 7 - 2017 - 2018) Tính giá trị của biểu thức: 0 1 1 2 2016 2017 2017 2018 P  C2017 C2018  C2017 C2018  ...  C2017 C2018  C2017 C2018 . 2018 2018 2017 2017 A. P  C4034 B. P  C4036 C. P  C4035 D. P  C4034 Lời giải Chọn C 0 2017 1 2016 2016 1 2017 0 Ta biến đổi trở thành: P  C2017 C2018  C2017 C2018  ...  C2017 C2018  C2017 C2018 . Xét khai triển: 2017 018 1  x  1  x    C2017  xC2017  ...  x 2016C2017  x 2017C2017  C2018  xC2018  ...  x 2017C2018  x 2018C2018  0 1 2016 2017 0 1 2017 2018 Hệ số của x 2017 trong khai triển trên chính là: 0 2017 1 2016 2016 1 2017 0 P  C2017 C2018  C2017 C2018  ...  C2017 C2018  C2017 C2018 . 2017 018 4035 Mặt khác, ta cũng có: 1  x  1  x   1  x   C4035  xC4035  ...  x 4034C4035  x 4035C4035 và 0 1 4034 4035 2017 2017 trong khai triển này thì hệ số của x 2017 là C4035 . Do vậy ta có: P  C4035 . 10 Câu 47. (Chuyên Thái Nguyên - 2018 - BTN) Tìm hệ số của x 4 trong khai triển 1  3 x  2 x 3  A. 270 . B. 16758 . C. 21130 . D. 17550 . Lời giải Chọn D Trang 15/37 - Mã đề thi 161
10 10 k 1  3 x  2 x3    C10 3x  2 x3 k   k 0 10 k 10 k k i i   C10 . Cki  3x  k . 2 x3    C10Cki 3k i.2i.x k  2i k k 0 i 0 k 0 i 0 4 Số hạng chứa x khi k  2i  4   k ; i    4; 0  ,  2;1 Hệ số của số hạng đó là C10 .C4 .34.20  C10 .C2 .31.21  17010  540  17550 . 4 0 2 1 2 n Câu 48. (SGD Hà Nam - Năm 2018) Cho số tự nhiên n thỏa mãn An  2Cn  22 . Hệ số của số hạng chứa n x 3 trong khai triển của biểu thức  3 x  4  bằng A. 4320 . B. 1080 . C. 4320 . D. 1440 . Lời giải Chọn A Điều kiện n  2 , n   . n! 2 n Ta có An  2Cn  22   2  22  n  n  1  20  n  5 thỏa mãn.  n  2! 5 5 n 5 k 5 k 5 k Khi đó  3 x  4    3 x  4    C5k .  3 x  .  4    C5k .3k .  4  xk . k 0 k 0 3 Hệ số của số hạng chứa x nên k  3 . 2 Do đó hệ số cần tìm là C5 .33.  4   4320 . 3 n Câu 49. Tìm số nguyên dương bé nhất n sao cho trong khai triển 1  x  có hai hệ số liên tiếp có tỉ số là 7 . 15 A. 20 . B. 21 . C. 22 . D. 23 . Lời giải. Chọn B n (1  x) n   Cn x k . k k 0 k 7 Cn 7 (k  1)!(n  k  1)! 7 k 1 7 Vì hai hệ số liên tiếp tỉ lệ là nên k 1      . 15 Cn 15 k !(n  k )! 15 n  k 15 Vì n là số nguyên dương bé nhất nên n  7  15  1  21 . 8  1  Câu 50. Tìm số hạng chính giữa của khai triển  3 x   , với x  0 . 4  x 1 1 1 1 3 4 4 3 3 4 A. 70. x . x . B. 56x . C. 70x . D. 70x và 56x . Lời giải Chọn C 1 4  1  4 Số hạng chính giữa trong khai triển là T5  C . 4 8   3 x .  4   70 x 3 .  x Câu 51. Xác định hệ số của x 4 trong khai triển sau: f ( x)  (3x 2  2 x  1)10 . A. 1303. B. 11312 C. 8089. D. 8085. Hướng dẫn giải: Chọn D 10 10 k f  x   1  2 x  3 x 2    C10  2 x  3 x 2  k k 0 Trang 16/37 - Mã đề thi 161
10 k 10 k   C10  Cki (2 x) k i .(3 x 2 )i   C10  Cki 2k i.3i x k i k k k 0 i 0 k 0 i 0 với 0  i  k  10 . Do đó k  i  4 với các trường hợp i  0, k  4 hoặc i  1, k  3 hoặc i  k  2 . Vậy hệ số chứa x 4 : 24 C10 .C4  2231 C10 .C3  32 C10 .C22  8085 . 4 0 3 1 2 Câu 52. (Toán học và Tuổi trẻ - Tháng 4 - 2018 - BTN) Hệ số của x 6 trong khai triển 4 1  2 x  16  x 2  x   thành đa thức là    4 1 6 6 8 1 6 A. C14 . B. C14 . C. 4C14 . D. C14 . 4 2 Lời giải Chọn A n n 6 Xét khai triển  2 x  1  1  2 x   6  k 0 C6 16k k  2x k  C 2 x k 0 k k k 6 4 8 8 8 8 j  2 1  1 1  1  x  x     x      x   4  2  2   j 0 C8   j 2 xj 4 n 8 8 j n 8 8 j 6 2 1 1 1 Vậy  2 x  1  x  x     4 k 0 C6 2k x k . k  j 0 J C8   2 x  j k 0  C6 2k . k j 0 J C8   2 x j k Số hạng của khai triển chứa x 6 khi jk 6 Xét bảng : 4 6 1 3003 1 6 Vậy hệ số x6 trong khai triển  2 x  1  x 2  x   thành đa thức là  C14 .  4 4 4 Câu 53. Cho khai triển (1  2 x ) n  a0  a1 x  ...  an x n , trong đó n   * . Tìm số lớn nhất trong các số a a a0 , a1 ,..., an , biết các hệ số a0 , a1 ,..., an thỏa mãn hệ thức: a0  1  ...  n  4096 . 2 2n A. 130127 B. 126720. C. 213013. D. 130272. Hướng dẫn giải: Chọn B Trang 17/37 - Mã đề thi 161
Đặt f ( x )  (1  2 x) n  a0  a1 x  ...  an x n a1 a 1  a0   ...  n  f    2n  2 n  4096  n  12 n 2 2  2 Với mọi k  0,1, 2,...,11 ta có: ak  2 k C12 , ak 1  2 k 1 C121 k k ak 2k C k k 1 23   1  k 1 121  1  k 1 k  ak 1 2 C12 2(12  k ) 3 Mà k  Z  k  7 . Do đó a0  a1  ...  a8 a Tương tự: k  1  k  7  a8  a9  ...  a12 ak 1 Số lớn nhất trong các số a0 , a1 ,..., a12 là a8  28 C12  126720 . 8 Câu 54. (THPT Lê Quý Đôn - Hải Phòng - 2018 - BTN) Tổng 1 S 2017  2.3C2017  3.32 C2017  4.33 C2017    2017.32016 C2017  bằng. 2 3 4 2017 A. 42016  1 B. 32016 1 C. 32016 D. 42016 Lời giải Chọn A 2017 Xét khai triển: P  x   1  x   C2017  C2017 x  C2017 x 2  C2017 x 3  C2017 x 4    C2017 x 2017 . 0 1 2 3 4 2017 Lấy đạo hàm hai vế ta được: 2016 2017 1  x   C2017  2C2017 x  3C2017 x 2  4C2017 x 3    2017C2017 x 2016 . 1 2 3 4 2017 Cho x  3 ta được: 2017.42016  C2017  2.3C2017  3.32 C2017  4.33 C2017    2017.32016 C2017 . 1 2 3 4 2017  2017.42016  C2017  2.3C2017  3.32 C2017  4.33 C2017    2017.32016 C2017 . 1 2 3 4 2017 1 1  2017  2017.42016  2017   2017  2.3C2017  3.32 C2017  4.33 C2017    2017.32016 C2017  . 2 3 4 2017  4 2016  1  S . Câu 55. (THPT Nguyễn Thị Minh Khai - Hà Tĩnh - 2017 - 2018 -BTN) Biết tổng các hệ số của khai triển 2 n 3  x  bằng 1024 . Tìm hệ số của x10 trong khai triển. A. 61236 . B. 59049 . C. 59049 . D. 61236 . Lời giải Chọn D n Vì tổng các hệ số của khai triển  3  x 2  bằng 1024 nên thay x  1  2 n  1024  n  10 . 10 10 k Khi đó  3  x 2    C10 310  k  1 x 2 k , x10 ứng với k  5 suy ra hệ số cần tìm là k k 0 5 C10 35  1  61236 . 5 0 1 2 n n Câu 56. Tổng số Cn  Cn  Cn  ...   1 Cn có giá trị bằng: A. 0 nếu n hữu hạn. B. 0 trong mọi trường hợp. C. 0 nếu n chẵn. D. 0 nếu n lẻ. Lời giải Chọn B n 0 1 2 n Ta có:  x  1  Cn .x n .  1  Cn .x n 1.  1  Cn2 .x n  2 .  1  ...  Cn .x 0 .  1 . 0 1 n Trang 18/37 - Mã đề thi 161
0 n 1 2 n 0 1 2 n n n Cho x  1 , ta được: 1  1  Cn  Cn  Cn  ...   1 Cn  Cn  Cn  Cn  ...   1 Cn  0, n . 5 6 Câu 57. Tổng của số hạng thứ 4 trong khai triển  5a  1 và số hạng thứ 5 trong khai triển  2 a  3 là A. 4160a 2 . B.  4610a 2 . C. 4610a 2 . D. 4620a 2 . Lời giải Chọn C 5 2 3 Số hạng thứ 4 trong khai triển  5a  1 là T4  C5 .  5a  .  1  250a 2 . 3 6 2 4 Số hạng thứ 5 trong khai triển  2a  3 là T5  C64 .  2a  .  3  4860a 2 . Vậy tổng của hai số hạng trên là 4610a 2 . 8 Câu 58. Tìm hệ số cuả x 8 trong khai triển đa thức f ( x)  1  x 2 1  x     A. 214 B. 213. C. 230. D. 238. Hướng dẫn giải: Chọn D Cách 1 8 2 3 1  x 2 1  x    C80  C8 x 2 1  x   C82 x 4 1  x   C8 x 6 1  x    1 3 4 5 8 C84 x8 1  x   C85 x10 1  x  ...  C88 x16 1  x  Trong khai triển trên ta thấy bậc của x trong 3 số hạng đầu nhỏ hơn 8, bậc của x trong 4 số hạng cuối lớn hơn 8. Do đó x 8 chỉ có trong số hạng thứ tư, thứ năm với hệ số tương ứng là: C8 .C32 , C84 .C4 . 3 0 8 Vậy hệ số cuả x 8 trong khai triển đa thức 1  x 2 1  x   là:   3 2 4 0 a8  C8 .C3  C8 .C4  238 . Cách 2: Ta có: 8 8 n 8 n k 1  x 2 1  x     C8n x 2 n 1  x    C8n  Cn  1 x 2 n  k   k n0 n 0 k 0 với 0  k  n  8 . Số hạng chứa x 8 ứng với 2n  k  8  k  8  2n là một số chẵn. Thử trực tiếp ta được k  0; n  4 và k  2, n  3 . Vậy hệ số của x 8 là C83 .C32  C84 .C4  238 . 0 Câu 59. (THPT Phan Chu Trinh - ĐăkLăk - 2017 - 2018 - BTN) Số hạng không chứa x trong khai triển 2n  3  3 2  2x  3  với x  0 , biết n là số nguyên dương thỏa mãn Cn  2n  An 1 là:  x 16 0 A. C16 .2 . B. C16 .24.312 . 12 C. C16 .216 . 0 D. C16 .2 4.312 . 12 Lời giải Chọn D Với điều kiện n  3, n   , ta có n  n  1 n  2  3 2 Cn  2n  An 1   2n   n  1 n   n  1 n  2   12  6  n  1 3!  n  1(loaï)i  n 2  9n  8  0   .  n  8(thoûa) 16  3  Với n  8 , ta có số hạng thứ k  1 trong khai triển  2x  3  là  x k 4 k 16  k  3  k 16  k C16  2 x    3   C16 216  k  3 x 3 . k  x Trang 19/37 - Mã đề thi 161
4 Theo đề bài ta cần tìm k sao cho 16  k  0  k  12 . 3 Do đó số hạng không chứa x trong khai triển là C16 .24.312 . 12 Câu 60. (THTT - Số 484 - Tháng 10 - 2017 - BTN) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của n  1  2 1  x x  4  , với x  0 , nếu biết rằng Cn  Cn  44 .  x  A. 525 . B. 165 . C. 238 . D. 485 . Lời giải Chọn B. n  2 ĐK:   * . n   2 1 n  n  1 Ta có Cn  Cn  44   n  44  n  11 hoặc n  8 (loại). 2 11  1  Với n  11 , số hạng thứ k  1 trong khai triển nhị thức  x x  4  là  x  k 33 11 11 k  1   k k  C11 x x   4 x  k  C11 x 2 2 . 33 11k Theo giả thiết, ta có   0 hay k  3 . 2 2 3 Vậy, số hạng không chứa x trong khai triển đã cho là C11  165 . 6  2  Câu 61. Trong khai triển  x    , hệ số của x3 ,  x  0  là:   x A. 80 . B. 160 . C. 240 . D. 60 . Lời giải Chọn B 1  k Số hạng tổng quát trong khai triển trên là Tk 1  C6k .x 6 k 2k .x 2 1 Yêu cầu bài toán xảy ra khi 6  k  k  3  k  3 . 2 Khi đó hệ số của x3 là: C6 .23  160 . 3 n  1 Câu 62. (THPT Sơn Tây - Hà Nội - 2018 – BTN – 6ID – HDG) Cho nhị thức  x   , x  0 trong đó  x tổng các hệ số của khai triển nhị thức đó là 1024 . Khi đó số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức đã cho bằng A. 252 B. 525 C. 252 D. 125 Lời giải Chọn C n n k n  1 1  x     Cn x n  k     C n x n  2 k . k k  x k 0 x k 0 n k n Tổng các hệ số bằng  C  1  1 n  2n  1024  n  10 . k 0 Số hạng không chứa x tương ứng với 10  2k  0  k  5 . 5 Vậy số hạng không chứa x bằng C10  252 . 6 6 Câu 63. Hệ số của x3 y 3 trong khai triển 1  x  1  y  là: Trang 20/37 - Mã đề thi 161