Đề thi số 1 môn toán cao cấp A1

Chia sẻ: Bui Van Vuong | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:37

Thêm vào BST

Báo xấu

1.844
lượt xem 591
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo Đề thi môn toán cao cấp A1 kèm các phương pháp giải khác nhau

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi số 1 môn toán cao cấp A1

Đề 1 Câu 1: Py ' = (e x + 3 y + 1) y ' = 3 Px ' = (3 y − y 3 ) x ' = 3 ⇒ Py ' = Px ' ⇒ pt vi phân toàn phần Nghiệm tổng quát: u ( x, y ) = C y x u ( x, y ) = ∫ P ( x, y )dx + ∫ Q( x, y ) dy 0 0 y x = ∫ (e + 3 y + 1)dx + ∫ − y 3 dy x 0 0 y y4 = ( e + (3 y + 1) x ) − x x 4 0 0 4 y = e x + (3 y + 1) x − 1 − 4 y4 Kết luận:nghiệm của pt là e + (3 y + 1) x − 1 − =C x 4 Câu 2: * Cách 1: Khử x2 từ hệ x2 '− 4 x1 ' = −10 x1 + t − 4et (*) Đạo hàm 2 vế pt (1) x1 " = 3 x1 '+ x2 '+ et ⇒ x2 ' = x1 "− 3x1 '− et Thế vào (*) (*) ⇔ x1 "− 7 x1 '+ 10 x1 = t − 3e t pt đặc trưng : k − 7 k + 10 = 0 ⇒ k = 2 ∨ k = 5 2 ⇒ x1(0) = C1.e 2t + C2 .e5t x1( r ) = x1( r1 ) + x1( r2 ) x1( r1 ) là nghiệm của pt x1 "− 7 x1 '+ 10 x1 = t (1)
⇒ x1( r1 ) = t S .e0t . ( At + B ) α = 0 không là nghiệm pt đặc trưng ⇒ S = 0 ⇒ x1( r ) = At + B ⇒ x1( r ) ' = A ⇒ x1( r ) " = 0  1  A = 10  10 A = 1  (1) ⇔  ⇔  −7 A + 10 B = 0 B = 7   100 1 7 ⇒ x1( r1 ) = t + 10 100 x1( r2 ) là nghiệm của pt x1 "− 7 x1 '+ 10 x1 = −3et (2) ⇒ x1( r2 ) = t S .et . A α = 1 không là nghiệm pt đặc trưng ⇒ S = 0 ⇒ x1( r ) = A.et ⇒ x1( r ) ' = A.et ⇒ x1( r ) " = A.et 3 (2) ⇔ A = − 4 3 ⇒ x1( r2 ) = − et 4 1 7 3t x1( r ) = x1( r1 ) + x1( r2 ) = t+ −e 10 100 4 1 7 3t x1 = x1( 0) + x1( r ) = C1.e 2t + C2 .e5t + t + −e 10 100 4 Thay vào pt (1) của hệ ⇒ x2 = x1 '− 3 x1 − et  13  7 3 t 1 =  2C1.e 2t + 5C2 .e5t + − et  − 3  C1.e 2t + C2 .e5t + t + − e  − tet  10 4   10 100 4  3 3 1 = −C1e5t + 2C2 e 2t − tet + et − t + 2 10 10
Kết luận:  1 7 3t  x1 = C1.e + C2 .e + 10 t + 100 − 4 e 2t 5t    x = −C e5t + 2C e 2t − tet + 3 et − 3 t + 1 2 1 2  2 10 10 * Cách 2:  3 1 A=   2 4 3−λ 1 A − λI = 0 ⇔ =0 4−λ 2 ⇔ (3 − λ )(4 − λ ) − 2 = 0 ⇔ λ 2 − 7λ + 10 = 0 λ = 2 ⇔ λ = 5 α   1 1   x1  λ = 2:  2 2   x  = 0 ⇔ X =  −α    2   1 Chọn vectơ riêng là X =   1 α   −2 1   x1  λ = 5:  x  = 0 ⇔ X =     2α   2 −1   2  1 Chọn vectơ riêng là X =   2 1 1  ⇒ P=  1 2   2 −1  ⇒ P −1 =    −1 1   2 0 D=   0 5 Hệ ⇔ X ' = P.D.P −1. X + F ⇔ P −1 X ' = P.D.P −1. X + F
Đặt Y = P −1. X ⇔ Y ' = D.Y + P −1.F  y '   2 0   y1   2 −1  et  ⇔ 1 =   +     y 2 '   0 5   y 2   −1 1   t   y1 ' = 2 y1 + ( 2et − t )  ⇔  y2 ' = 5 y2 + ( −e + t ) t   y1 = e ∫  ∫ ( 2et − t ) .e ∫ dt + C1  − 2 dt 2 dt       ⇔  y = e ∫ 5 dt  ( −et + t ) .e − ∫ 5 dt dt + C  ∫ 1 2    _ Giải y1 1  y1 = e −5t  ∫ (8t 2 − 3t − 2).e5t dt + C1   16  = e ( I + C1 ) −5 t .Giải I  3 1 u= (8t 2 − 3t − 2) ⇒ du =  t −  dt  16  16 e 5t dv = e5t dt ⇒ v = 5 e5t 3  et  1 I = (8t − 3t − 2). − ∫  t −  dt 2  16  5 16 5 Kết luận:nghiệm của hệ X=P.Y  x   1 1   y1  ⇔ 1=    x2   1 2   y2   x = y1 + y2 ⇔ 1  x2 = y1 + 2 y2 Câu 3:
1 1 Tử = (1 + 3x ) 5 .(1 + 2 x) 4 − 1 3  1  =  1 + x + o( x)  . 1 + .2 x + o( x)  − 1 5  4   1 3 =  +  .x + o( x )  2 5 11 = x + o( x ) 10  (2 x) 2  Mẫu = x. 1 − + o( x 2 )  − x 2 2   = x + o( x ) 11 ⇒I = 10 Câu 4: Đặt x = 3sin t → dx = 3cos tdt 3 (3sin t ) 2 .3cos tdt I =∫ 9 − (3sin t ) 2 0 π 9.sin 2 t.3cos tdt 2 =∫ 3cos t 0 π 2 = ∫ 9sin 2 tdt 0 π 1 − cos 2t 2 = ∫ 9( )dt 2 0 π 1 1 sin 2t  2 =  9. .t − 9. .  2 2 2 0 1π 1 sin(π )  1 1 sin 0  = 9. . − 9. . −  9. .0 − 9. .  2 2 2 22 2 2 9 =π 4 Câu 5:
Bx + C 1 A = +2 ( x + x + 1)( x + 2) x + 2 x + x + 1 2 1 1 1 ⇒ A = , B = − ,C = 3 3 3 +∞ 1 dx I= ∫ 3 0 x+2 +∞ +∞ +∞ 2x +1 1 dx 1 1 dx ∫ ∫ ∫x = − dx + x+2 6 x + x +1 + x +1 2 2 3 2 0 0 0 +∞ +∞ 1  1 1 dx ∫ =  ln x + 2 − ln x 2 + x + 1  + 2 3 0 6 2 1 3 x+  + 0  2 4 1 x+ +∞ 1  x+2 11 2 =  ln  +. .arctan 3  23 3 x + x +1  0 2  2 2 1 π π  1 = 0 − .ln 2 + − 3 2 6 3 1 π = ln  3  +  2 3 3 Câu 6: y = x 3 .e − x TXĐ: ¡ y ' = 3x 2 .e − x − e − x .x 3 = e − x .(3x 2 − x 3 ) = e − x .x 2 .(3 − x) y' = 0 ⇔ x = 0∨ x = 3 + lim y = lim x 3 .e − x = 0 x →+∞ x →+∞ lim y = lim x 3 .e − x = −∞ x →−∞ x →−∞ ⇒ y = 0 là TCN bên phải y 2 −x + a = lim = lim x .e = +∞ x →−∞ x x →−∞ ⇒ không TCX Bảng biến thiên:
x -∞ 0 3 +∞ y' + | + 0 - y 27 0 0 e3 -∞ Điểm đặc biệt: x 0 1 -1 −e y 0 1 e Câu 7: pt hoành độ giao điểm của y = − x 2 và y = x 2 − 2 x − 4 là − x2 = x2 − 2 − 4 ⇔ x2 − x − 2 = 0 ⇔ x = 2 ∨ x = −1 2 ∫ −x SD = − ( x 2 − 2 x − 4) dx 2 −1 Vì y=-x2 và y=x2-2x-4 không cắt nhau trong (-1,2) 2 ∫ (−2 x ⇒ SD = − 2 x − 4)dx 2 −1 2 x3 2 =− − x 2 − 4 x −1 3 = −21
= 21 ĐỀ 2 Câu 1: Nghiệm tổng quát: − 3 x 2 dx  dx + C  y=e ∫ (3 x 2 + 3 x 5 ).e ∫ 3 x 2 dx ∫    ( ∫ (3x ) 3 3 = e− x + 3x 5 ).e x dx + C 2 Đặt t = x 3 → dt = 3x 2 dx ( ∫ (1 + t ).e dt + C ) 3 y = e− x t 3 = e − x (tet + C ) 3 3 = e − x ( x 3 .e x + C ) Câu 2: pt đặc trưng: k 2 + 3k + 2 = 0 ⇒ k = −1, k = −2 ⇒ y0 = C1.e − x + C2 .e −2 x yr = yr1 + yr2 + yr1 là nghiệm của pt y"+3y'+2y=(2x+3)e0x (1) yr = x .e ( Ax + B ) S 0x α = 0 không là nghiệm của pt đặc trưng → S = 0 yr1 = Ax + B y 'r1 = A y "r1 = 0 (1) ⇔ 0 + 3 A + 2( Ax + B ) = 2 x + 3  A =1 ⇒ B = 0 ⇒ yr1 = x + yr2 là nghiệm của pt y"+3y'+2y=6ex (1) ⇒ yr2 = x .e . A S x α = 1 không là nghiệm của pt đặc trưng → S = 0 yr1 = Ae x y 'r1 = Ae x y "r1 = Ae x (2) ⇔ Ae x + 3 Ae x + 2 Ae x = 6e x ⇒ A =1 Vậy ytq = y0 + yr1 + yr2
= C1.e − x + C2 .e −2 x + x + e x Câu 3: 1 1  − I = lim  x →0  arctan x x  x − arctan x  = lim    x.arctan x  x→0   x3 x −  x − + o( x 3 )  = 3   lim x2 x→0 x3 + o( x 3 ) = 3 lim x2 x→0 =0 Câu 4 : 1 1 Đặt t = ⇒ dt = − 2 dx x x −∞ ⇒ I = − ∫ t.et dt −1 −1 ∫ t.e dt = t −∞ −1 = (t − 1).et −∞ t −1 = −2.e −1 − lim e−t t →−∞ 2 =− e Câu 5: u = cos 2 x → du = −2sin 2 xdx dv = e − x dx → v = −e − x +∞ +∞ − 2 ∫ e − x .sin 2 xdx −x I = −e .cos 2 x 0 0 = 0 +1− 2J = 1− 2J + Giải J
u = sin 2 x → du = 2 cos 2 x dv = e − x dx → v = −e − x +∞ +∞ + 2 ∫ e − x .cos2 xdx J = −e − x sin 2 x 0 0 = 0 + 0 + 2I = 2I ⇒ I = 1 − 4I 1 ⇒I = 5 Câu 6: 1 y = x .e 2 x TXĐ: x ≠ 0 1 1 21 y ' = 2 x.e − 2 .x .e x x x 1 = e (2 x − 1) x 1 y'= 0 ⇔ x = 2 1 1 et (t = + lim x 2 .e x = lim = +∞ ) x t →+∞ t 2 + x →0 1 et lim x 2 .e x = lim =0 t →−∞ t 2 − x →0 ⇒ x = 0 là TCĐ về bên phải 1 + lim x 2 .e x = +∞ x →+∞ 1 lim x .e = +∞ 2 x x →−∞ ⇒ không TCN
1 y + a = lim = lim x.e x = ∞ x →∞ x x →∞ ⇒ không TCX Bảng biến thiên: x -∞ 0 +∞ 1 2 y' - - 0 + y +∞ +∞ +∞ e2 4 0 Điểm đặc biệt: x 1 2 e y 42 Câu 7: x pt hoành hộ giao điểm giữa y = và y=0 là 1 + x3 x =0⇒ x =0 1 + x3
x ∀x ∈ [0,1]; y = ≥0 1 + x3 1 x SD = ∫ dx 1 + x3 0 Đặt t = x ⇒ x = t 2 ⇒ dx = 2tdt 1 t.2tdt SD = ∫ 1+ t6 0 1 2 d (t 3 ) =∫ 3 0 1 + (t 3 ) 2 1 2 = .arctan t 3 3 0 2π =. 36 π = 9 Đề 16 Câu 1: Chia 2 vế cho ydy dx  y 2 − 6 x  + =0 dy  2 y  3 y ⇒ x ' ( y ) − .x = − y 2 x'+p(y)x=q(y) là pt vi phân tuyến tính với x là hàm, y là biến Nghiệm tổng quát:
− p ( y ) dy  ∫ q( y ) dy .dy + C  x=e ∫  ∫ q( y ).e    ∫  y −∫  3 dy 3 dy ⇒ x = e y  ∫ .e y .dy + C  2    y  = e3ln y  − ∫ .e −3ln y .dy + C  2   y1  = y 3  − ∫ . 3 .dy + C   2y  1  = y3  +C  2y  1 1 y (1) = 1 ⇒ 1 = 1( + C ) ⇒ C = 2 2 y 2 y3 Kết luận:nghiệm của pt là x = + 2 2 Câu 2: * Cách 1: Khử x2 từ hệ 4 x1 '+ x2 ' = 20 x1 + 4t 2 + 3t + 2 (*) Đạo hàm 2 vế pt (1) x1 " = 3 x1 '+ x2 '+ 2t ⇒ x2 ' = x1 "− 3x1 '− 2t Thế vào (*) (*) ⇔ x1 "+ x1 '− 20 x1 = 4t + 5t + 2 2 pt đặc trưng : k + k − 20 = 0 ⇒ k = −5 ∨ k = 4 2 ⇒ x1(0) = C1.e −5t + C2 .e 4t x1( r ) là nghiệm của pt x1 "+ x1 '− 20 x1 = 4t 2 + 5t + 2 (1) ⇒ x1( r ) = t S .e0t .( At 2 + Bt + C )
α = 0 không là nghiệm pt đặc trưng ⇒ S = 0 ⇒ x1( r ) = At 2 + Bt + C ⇒ x1( r ) ' = 2 At + B ⇒ x1( r ) " = 2 A  1  A=−5 −20 A = 4     27 (1) ⇔  2 A − 20.B = 5 ⇔  B = − 100  2 A + B − 20.C = 2    267 C = − 2000  2 t 27 267 ⇒ x1( r ) = − − t− 5 100 2000 t 2 27 267 x1 = x1( 0) + x1( r ) = C1.e −5t + C2 .e 4t − − t− 5 100 2000 Thay vào pt (1) của hệ ⇒ x2 = x1 '− 3 x1 − t 2 27   267  2 t 2 27  2 =  −5.C1.e −5t + 4.C2 .e 4t − t − − 3  C1.e −5t + C2 .e 4t − − t− −t   5 100   5 100 2000  2 41 261 = −8C1e −5t + C2 e 4t − t 2 + t+ 5 100 2000 Kết luận:  t 2 27 267 x1 = C1.e −5t + C2 .e 4t − − t−   5 100 2000   x = −8C e −5t + C e 4t − 2 t 2 + 41 t + 261 2 1 2  5 100 2000
3 1  A=    8 −4 3− λ 1 A− λ I = 0 ⇔ =0 8 −4 − λ ⇔ (3 − λ )(− 4 − λ ) − 8 = 0 ⇔ λ 2 + λ − 20 = 0 λ = −5 ⇔ λ=4 α   8 1  x1  λ = −5 :   x  = 0 ⇔ X =    − 8α   8 1  2  1 Chọn vectơ riêng là X =    −8  α   −8 1   x1  λ = −5 :  x  = 0 ⇔ X =     8α   8 −1  2  1 Chọn vectơ riêng là X =   8  1 1 ⇒ P=   −8 8  1  8 −1  ⇒ P −1 =   16  8 1   −5 0  D=   0 4 Hệ ⇔ X ' = P.D.P −1. X + F ⇔ P −1 X ' = P.D.P −1. X + F Đặt Y = P −1. X
⇔ Y ' = D.Y + P −1.F  y1 '   −5 0   y1  1  8 −1  t 2  ⇔ =   +     y2 '   0 4   y2  16  8 1   3t + 2   1  y1 ' = −5 y1 + 16 ( 8t − (3t + 2) ) 2  ⇔  y ' = 4 y + 1 ( 8t 2 + 3t + 2 ) 2 2  16  − ∫ 5 dt   1 ∫ 5dt  ∫ (8t − 3t − 2).e dt + C1   y1 = e 2   16  ⇔  y = e ∫ 4 dt  1 (8t 2 + 3t + 2).e − ∫ 4 dt dt + C  ∫ 1 2  16   _ Giải y1 1  y1 = e −5t  ∫ (8t 2 − 3t − 2).e5t dt + C1   16  = e ( I + C1 ) −5 t .Giải I  3 1 u= (8t 2 − 3t − 2) ⇒ du =  t −  dt  16  16 e 5t dv = e dt ⇒ v = 5t 5 e5t 3  et  1 I = (8t 2 − 3t − 2). − ∫  t −  dt  16  5 16 5 Kết luận:nghiệm của hệ X=P.Y  x   1 1   y1  ⇔ 1=    x2   8 −8   y2   x = y1 + y2 ⇔ 1  x2 = 8 y1 − 8 y2 Câu 3:
(3x ) 2 + 3 x 2 I = lim x → 0 ln(1 + (cos x − 1)) + sin 2 x 12 x 2 = lim x → 0 cos x − 1 + sin 2 x 12 x 2 = lim x2 x →0 − + x2 2 = 24 Câu 4: +∞ 1 ln(1 + x 5 ) ln(1 + x 5 ) I =∫ ∫ dx + dx x+ x x+ x 0 1 1 ln(1 + x 5 ) + Xét I1 = ∫ dx x+ x 0 1 − sinh x x →0 1 f= : 2 phân kỳ x.sinh x x +∞ ln(1 + x 5 ) ∫ + Xét I1 = dx x+ x 1 1 − sinh x f= x.sinh x e x − e− x 1− 2 = e − e− x x x. 2 2 − e + e− x x =x x.e − x.e − x −e − x 1 x →+∞ = − phân kỳ : x x.e x Câu 5:* 1 1 dt Đặ t t = → x = 1 + → dx = − 2 x −1 t t
0 dt ∫ I= − 2  1   1 1 t 2 .  1 + − 1 .  1 +  − 2 2 −1  t   t 1 2 −1 dt ∫ = 2 1  t +1  0  −2 t2. .  t t 1 2 −1 dt ∫ = 1 −t 2 + 2t + 1 ( u = t − 1 ⇒ du = dt ) 0 t2. . t2 t 1 2 −1 dt ∫ = −t 2 + 2t + 1 0 1 2 −1 dt ∫ = −(t − 1) 2 + 2 0 2− 2 2 −1 du ∫ = −u 2 + 2 −1 Câu 6: TXĐ: R x +1 y' = x + 2x +1 2 y = 0 ⇔ x = −1 ' + lim y = +∞ ⇒ không TCN x →±∞ x2 + 2 x + 2 y + a = lim = lim = ±1 x →∞ x x x →∞ .Xét x → +∞ :
a =1 ) ( b = lim x2 + 2 x + 2 − x x →+∞ 2x + 2 = lim x + 2x + 2 + x x →+∞ 2 =1 ⇒ y = x + 1 là TCX về bên phải .Xét x → −∞ : a = −1 ) ( b = lim x2 + 2 x + 2 + x x →+∞ 2x + 2 = lim x + 2x + 2 − x x →+∞ 2 = −1 ⇒ y = − x − 1 là TCX về bên trái Bảng biến thiên: x -∞ -1 +∞ y' - 0 + y +∞ +∞ 1 Điểm đặc biệt: x -2 -1 0 y 1 2 2
Câu 7: x y= > 0∀x ≥ 1 ( x + 1) 2 x ⇒y= nằm trên Ox ( x + 1) 2 +∞ xdx ∫ ( x + 1) SD = 2 1 Đặt t = x ⇔ x = t 2 ⇒ dx = 2tdt +∞ t.2tdt ∫ (t SD = + 1) 2 2 1 du Đặt t = tan u ⇒ dt = cos 2 u