Đề thi tuyển sinh lớp 10 môn Toán năm 2016-2017 - Sở GD&ĐT Hà Nam

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> HÀ NAM<br /> ĐỀ CHÍNH THỨC<br /> <br /> KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT<br /> <br /> Năm học 2016 – 2017<br /> Môn: Toán<br /> Thời gian làm bài: 120 phút<br /> (Đề thi có 01 trang)<br /> <br /> Câu I (2,0 điểm).<br /> 1) Rút gọn biểu thức: A  32  72  2 3  2 2 ;<br /> <br /> 1 <br /> x<br />  1<br /> 2) Cho biểu thức B  <br /> với 0  x  4 ;<br /> :<br /> <br /> <br /> x 2<br /> x 2 x4<br /> <br /> Rút gọn biểu thức B và tìm x để B  12 .<br /> Câu II (1,5 điểm).<br /> 1) Giải phương trình: x 2  3x  2  0<br /> x  y  1<br /> 2) Giải hệ phương trình: <br /> 2x  3y  17<br /> Câu III (1,5 điểm).<br /> Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P) có phương trình y  2x 2 .<br /> 1) Tìm tọa độ các giao điểm của đường thẳng (d): y  3x  2 và parabol (P);<br /> 2) Chứng tỏ rằng đường thẳng (dm): y  mx  1 luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt<br /> 2<br /> 2<br /> có hoành độ x1, x2. Tìm m để 4  x1  x 2    2x1  1 2x 2  1  9 .<br /> <br /> Câu IV (4,0 điểm).<br /> Cho đường tròn (O), đường kính AB cố định, điểm D cố định thuộc đoạn AO (D<br /> không trùng với A, O). Kẻ dây MN vuông góc với AB tại D. Gọi C là điểm tùy ý<br /> thuộc cung lớn MN sao cho C không trùng với M, N và B. Gọi E là giao điểm của<br /> AC với MN.<br /> 1) Chứng minh tứ giác DECB nội tiếp;<br /> 2) Chứng minh CA là tia phân giác của góc MCN ;<br /> 3) Chứng minh AB2  AE.AC  BD.AB ;<br /> 4) Hãy xác định vị trí của điểm C sao cho khoảng cách từ N đến tâm đường tròn<br /> ngoại tiếp tam giác CME nhỏ nhất.<br /> Câu V (1,0 điểm).<br /> Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện: a  b  c  3 .<br /> bc<br /> ca<br /> ab<br /> Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P <br /> .<br /> <br /> <br /> 3a  bc<br /> 3b  ca<br /> 3c  ab<br /> --- HẾT --Họ và tên thí sinh.................................................Số báo danh................................<br /> Người coi thi số 1....................................Người coi thi số 2....................................<br /> <br /> HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT<br /> <br /> Năm học 2016 - 2017<br /> Câu<br /> Câu I<br /> <br /> Nội dung đáp án<br /> <br /> Điểm<br /> <br /> 1) Rút gọn biểu thức: A  32  72  2 3  2 2 ;<br /> <br />  <br />  2  1<br /> <br />  16.2  36.2  2<br /> 4 2 6 2 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br />  2. 2.1  12<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 2<br /> <br /> 0,25<br /> <br />  2 2  2. 2  1  2 2  2<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 2  1  2 .<br /> <br /> Vậy A  2 .<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> 1 <br /> x<br />  1<br /> 2) Cho biểu thức B  <br /> <br />  : x  4 với 0  x  4 ;<br /> x 2<br />  x 2<br /> Rút gọn biểu thức B và tìm x để B  12 .<br /> Với 0  x  4 thì B <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 4<br /> <br /> x 2<br /> <br /> <br /> <br /> x 2<br /> <br /> <br /> <br /> x 2 x 2<br /> <br />  x  2 <br />  x  2 x  2 <br /> .<br /> <br /> <br /> x 2<br /> <br /> x<br /> <br /> :<br /> <br /> x<br /> x4<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 4<br /> x<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 4<br /> 1<br /> 1<br />  12  x   x  (nhận).<br /> 3<br /> 9<br /> x<br /> 1) Giải phương trình: x 2  3x  2  0<br /> Ta có a  b  c  1   3  2  0<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> Suy ra phương trình có hai nghiệm là: x1  1 , x 2  2 .<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> Để B  12 thì<br /> <br /> Câu II<br /> <br /> x  y  1<br /> 2) Giải hệ phương trình: <br /> 2x  3y  17<br /> 3x  3y  3<br /> 5x  20<br /> <br /> <br /> 2x  3y  17<br /> y  x  1<br /> x  4<br /> <br /> y  3<br /> Vậy hệ phương trình có nghiệm là (x; y) = (4; 3).<br /> Câu III 1) Tìm tọa độ các giao điểm của đường thẳng (d): y  3x  2 và<br /> parabol (P);<br /> Phương trình hoành độ giao điểm của parabol (P) và đường thẳng<br /> (d) là 2x 2  3x  2  2x 2  3x  2  0<br /> Có   (3)2  4.2.(2)  9  16  25  0<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> 1<br /> Phương trình có hai nghiệm phân biệt là x1  2 , x 2   .<br /> 2<br /> Với x1  2  y1  8 .<br /> 1<br /> 1<br /> Với x 2    y2  .<br /> 2<br /> 2<br />  1 1<br /> Vậy tọa độ các giao điểm của (P) và (d) là: (2; 8);   ;  .<br />  2 2<br /> 2) Chứng tỏ rằng đường thẳng (dm): y  mx  1 luôn cắt (P) tại<br /> hai điểm phân biệt có hoành độ x1, x2. Tìm m để<br /> 2<br /> 2<br /> 4  x1  x 2    2x1  1 2x 2  1  9 .<br /> Phương trình hoành độ giao điểm của parabol (P) và đường thẳng<br /> (dm) là 2x 2  mx  1  2x 2  mx  1  0 (1)<br /> Có   m2  8  0 , với mọi m.<br /> Nên phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt với mọi m.<br /> Do đó parabol (P) và đường thẳng (dm) cắt nhau tại hai điểm phân<br /> biệt có hoành độ x1, x2 với mọi m.<br /> m<br /> 1<br /> Áp dụng định lý Vi-et ta có x1  x 2  , x1x 2   (2)<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> Theo bài ra ta có 4  x1  x 2    2x1  1 2x 2  1  9<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 2<br /> 2<br />  4  x1  2x1x 2  x 2   4x1x 2  2  x1  x 2   1  9<br /> <br />  4  x1  x 2   4x1x 2  2  x1  x 2   1  9 (3)<br /> 2<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> m  2<br /> Từ (2) và (3) suy ra m 2  m  6  0  <br />  m  3<br /> Vậy m  2 , m  3 .<br /> <br /> Câu IV<br /> <br /> M<br /> <br /> C<br /> <br /> E<br /> <br /> A<br /> <br /> D<br /> <br /> O<br /> <br /> B<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> N<br /> <br /> 1) Chứng minh tứ giác DECB nội tiếp;<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> Xét (O) có ACB  900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn<br /> đường kính AB) hay ECB  900 ; EDB  900 (giả thiết).<br /> Xét tứ giác DECB có ECB  EDB  1800 ; mà góc này ở vị trí<br /> đối diện nên tứ giác DECB nội tiếp.<br /> 2) Chứng minh CA là tia phân giác của góc MCN ;<br /> Xét (O) có AB  MN  D nên D là trung điểm của MN.<br /> Suy ra AB là đường trung trực của MN.<br /> Nên AM  AN suy ra hai cung AM, AN bằng nhau.<br /> Do đó ACM  ACN (hệ quả góc nội tiếp) (1) hay CA là tia<br /> phân giác của góc MCN .<br /> 3) Chứng minh AB2  AE.AC  BD.AB ;<br /> Xét tam giác ADE và tam giác ACB có ADE  ACB  900 ;<br /> chung CAB .<br /> Suy ra hai tam giác ADE và tam giác ACB đồng dạng.<br /> AD AE<br /> Suy ra<br /> <br />  AD.AB  AC.AE<br /> AC AB<br />   AB  BD  .AB  AC.AE  AB2  AC.AE  BD.AB<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> 4) Hãy xác định vị trí của điểm C sao cho khoảng cách từ N đến<br /> tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CME nhỏ nhất.<br /> M<br /> C<br /> K<br /> <br /> E<br /> <br /> A<br /> <br /> D<br /> <br /> H<br /> <br /> O<br /> <br /> B<br /> <br /> x<br /> <br /> 0,5<br /> N<br /> <br /> Kẻ NH  MB  H  MB , gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam<br /> giác CME. Kẻ Mx là tiếp tuyến của (K). Suy ra<br /> xME  xMN  MCE  MCA (góc tạo bởi tia tiếp tuyến<br /> và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung ME của (K)) (2)<br /> Mà AMN  ACN (cùng chắn cung AN của (O)) (3)<br /> Từ (1), (2), (3) suy ra xMN  AMN suy ra MA  Mx .<br /> Do đó MA là tiếp tuyến của (K) suy ra MA  MK .<br /> <br /> Mà AMB  900 hay MA  MB .<br /> Do đó MK  MB .<br /> Khi C di chuyển trên cung lớn MN (C không trùng với M, N và<br /> B) thì K di chuyển trên MB.<br /> Để NK nhỏ nhất khi và chỉ khi NK  NH . Khi đó giao điểm của<br /> (O) và (K) là vị trí của C (khác M).<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> M<br /> <br /> K<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> H<br /> D<br /> <br /> A<br /> <br /> B<br /> <br /> O<br /> <br /> E<br /> <br /> x<br /> <br /> C<br /> N<br /> <br /> Câu V<br /> <br /> Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện:<br /> a  b  c  3 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức<br /> bc<br /> ca<br /> ab<br /> .<br /> P<br /> <br /> <br /> 3a  bc<br /> 3b  ca<br /> 3c  ab<br /> Ta có<br /> 3a  bc  (a  b  c)a  bc  a 2  ab  ca  bc  a(a  b)  c  a  b <br />  (a  b)(a  c) .<br /> Tương tự 3b  ca  (a  b)(b  c) ; 3c  ab  (c  a)(c  b) .<br /> <br /> Khi đó P <br /> <br />  bc <br /> <br /> 2<br /> <br /> (a  b)(a  c)<br /> <br /> <br /> <br />  ca <br /> <br />  ab <br /> <br /> 2<br /> <br /> (a  b)(b  c)<br /> <br /> <br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 2<br /> <br /> (b  c)(c  a)<br /> <br /> Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương, ta có<br /> <br />  bc <br /> <br /> 2<br /> <br /> (a  b)(a  c)<br /> <br /> bc<br /> bc<br /> 1  bc<br /> bc <br /> .<br />  <br /> <br />  (1);<br /> a b a c 2a b a c <br /> <br />  ca <br /> <br /> 2<br /> <br /> 1  ca<br /> ca <br />  <br /> <br />  (2);<br /> (a  b)(b  c) 2  a  b b  c <br /> <br /> Tương tự<br /> <br />  ab <br /> <br /> <br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 2<br /> <br /> 1  ab<br /> ab <br />  <br /> <br />  (3);<br /> (b  c)(c  a) 2  b  c c  a <br /> Cộng các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được<br /> <br /> 0,25<br /> <br />