Së gi¸o dôc - ®µo t¹o
Nam ðÞnh
§Ò chÝnh thøc
ðÒ thi tuyÓn sinh n¨m häc 2009 – 2010
M«n : To¸n - §Ò chung
Thêi gian lµm bµi 120 phót, kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò
Bµi 1 (2,0 ®iÓm)Trong mçi C©u tõ 1 ®Õn C©u 8 ®Òu cã bèn ph−¬ng ¸n tr¶ lêi A, B, C, D; Trong ®ã chØ cã
mét ph−¬ng ¸n ®óng. H·y chän ph−¬ng ¸n ®óng ®Ó viÕt vµo bµi lµm.
C©u 1. Trªn mÆt ph¼ng täa ®é Oxy, ®å thÞ c¸c hµm sè y = x
2
vµ y = 4x + m c¾t nhau t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt
khi vµ chØ khi
A. m > 1. B. m > - 4. C. m < -1. D. m < - 4
C©u 2. Cho ph−¬ng tr×nh3x – 2y + 1 = 0. Ph−¬ng tr×nh nµo sau ®©y cïng víi ph−¬ng tr×nh ®· cho lËp thµnh
mét hÖ ph−¬ng tr×nh v« nghiÖm
A. 2x – 3y – 1 = 0 B. 6x – 4y + 2 = 0 C. -6x + 4y + 1 = 0 D. -6x + 4y – 2 = 0
C©u 3. Ph−¬ng tr×nh nµo sau ®©y cã Ýt nhÊt mét nghiÖm nguyªn ?
A.
2
( 5) 5
x
− =
B . 9x
2
- 1 = 0 C. 4x
2
– 4x + 1 = 0 D. x
2
+ x + 2 = 0
C©u 4. Trªn mÆt ph¼ng täa ®é Oxy gãc t¹o bëi ®−êng th¼ng y =
3
x + 5 vµ trôc Ox b»ng
A. 30
0
B. 120
0
C. 60
0
D.150
0
C©u 5. Cho biÓu thøc P = a
5
, víi a < 0. §−a thõa sè ë ngoµi dÊu c¨n vµo trong dÊu c¨n, ta ®−îc P b»ng:
A.
2
5
a
B. -
5
a
C.
a
D. -
2
5
a
C©u 6. Trong c¸c ph−¬ng tr×nh sau ®©y ph−¬ng tr×nh nµo cã hai nghiÖm d−¬ng:
A. x
2
- 2
2
x + 1 = 0 B. x
2
– 4x + 5 = 0 C. x
2
+ 10x + 1 = 0 D.x
2
-
5
x – 1 = 0
C©u 7. Cho ®−êng trßn (O; R) ngo¹i tiÕp tam gi¸c MNP vu«ng c©n ë M . Khi ®ã MN b»ng:
A. R B. 2R C.2
2
R D. R
2
C©u 8.Cho h×nh ch÷ nhËt MNPQ cã MN = 4cm; MQ = 3 cm. Khi quay h×nh ch÷ nhËt ®· cho mét vßng quanh
c¹nh MN ta ®−îc mét h×nh trô cã thÓ tÝch b»ng
A. 48 cm
3
B. 36
π
cm
3
C. 24
π
cm
3
D.72
π
cm
3
Bµi 2 (2,0 ®iÓm)
1) T×m x biÕt :
2
(2 1) 1 9
x
− + =
2) Rót gän biÓu thøc : M = 4
12
3 5
++
3) T×m ®iÒu kiÖn x¸c ®Þnh cña biÓu thøc: A =
2
6 9
x x
− + −
Bµi 3 (1,5 ®iÓm) Cho ph−¬ng tr×nh: x
2
+ (3 - m)x + 2(m - 5) = 0 (1), víi m lµ tham sè.
1) Chøng minh r»ng víi mäi gi¸ trÞ cña m ph−¬ng tr×nh (1) lu«n cã nghiÖm x
1
= 2.
2) T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó ph−¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm x
2
= 1 + 2
2
Bµi 4. ( 3,0 ®iÓm) Cho ®−êng trßn (O; R) Vµ ®iÓmA n»m ngoµi (O; R) .§−êng trßn ®−êng kÝnh AO c¾t
®−êng trßn (O; R) T¹i M vµ N. §−êng th¼ng d qua A c¾t (O; R) t¹i B vµ C ( d kh«ng ®i qua O; ®iÓm B n»m
gi÷a A vµ C). Gäi H lµ trung ®iÓm cña BC.
1) Chøng minh: AM lµ tiÕp tuyÕn cña (O; R) vµ H thuéc ®−êng trßn ®−êng kÝnh AO.
2) §−êng th¼ng qua B vu«ng gãc víi OM c¾t MN ë D. Chøng minh r»ng:
a) Gãc AHN = gãc BDN
b) §−êng th¼ng DH song song víi ®−êng th¼ng MC.
c) HB + HD > CD
Bµi 5 (1,5 ®iÓm)
1) Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh: 2 2 2
2 0
( 1) 1
x y xy
x y x y xy
+ − =
+ − = − +
2) Chøng minh r»ng víi mäi x ta lu«n cã:
2 2
(2 1) 1 (2 1) 1
x x x x x x
+ − + > − + +
Së gi¸o dôc - ®µo t¹o
Nam ðÞnh
§Ò chÝnh thøc
ðÒ thi tuyÓn sinh n¨m häc 2009 – 2010
M«n : To¸n - §Ò chung
Thêi gian lµm bµi 120 phót, kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò
H−íng dÉn chÊm thi
i. H−íng dÉn chung
1) Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong ñáp án mà vẫn ñúng thì cho ñủ ñiểm từng phần
như hướng dẫn quy ñịnh .
2) Việc chi tiết hoá thang ñiểm ( nếu có ) so với thanng ñiểm trong hướng dẫn chấm phải ñảm bảo
không sai lệch với hướng dẫn chấm, không chia nhỏ dưới 0,25 ñiểmvà ñược thống nhất trong Hội
ñồng chấm thi.
3) ðiểm toàn bài không làm tròn.
II. ðÁP ÁN VÀ THANG CHẤM
Bài Câu ðáp án ðiểm
Bài 1
(2,0
ñiểm)
Câu 1 : B, Câu 2 : C, Câu 3 : A, Câu 4 : C
Câu 5 : D, Câu 6 : A, Câu 7 : D, Câu 8 : B
(Mỗi câu trả lời ñúng ñược 0,25 ñiểm)
2,00
2
(2 1) 9 2 1 9
x x
− = ⇔ − =
0,50
Câu 1
0,75 Giải phương trình trên ñược x =5, x = -4
0,25
M=
4( 5 3)
2 3
5 3
−
+−
0,50
Câu 2
0,75
= 2
5
0,25
ðiều kiện xác ñinh của A là :
2
x 6x 9 0
− + − ≥
0,25
Bài 2
(2,0
ñiểm)
Câu 3
0,50
2
(x 3) 0 x 3
⇔ − − ≥ ⇔ =
0,25
Thay x = 2 vào phương trình (1) ta ñược : 4 + 2(3 – m) +2(m – 5) = 0
0,25
Câu 1
0,5 ðẳng thức trên luôn ñúng với mọi m , suy ra ñiều phải chứng minh
0,25
Phương trình (1) là phương trình bậc hai. Theo chứng minh trên,
phương trình luôn có nghiệm, trong ñó x
1
= 2. Từ ñịnh lý Viét suy ra
nghiệm còn lại của phương trình là x
2
= m - 5
0,5
Bài 3
(1,5
ñiểm)
Câu 2
1,0
Vậy phương trình (1) có nghiệm x
2
= 1 + 2
2
khi và chỉ
khi
m – 5 = 1 + 2
2
m 6 2 2
⇔ = +
0,5
d
h
e
c
b
n
m
o
a
Chú ý: - Nếu bài làm không
có hình vẽ thì không cho ñiểm
cả bài 4.
- Hình vẽ sai ở phần nào thì
chỉ không chấm ñiểm của
phần ñó.
Xét ñường tròn ñường kính AO có
0
AMO 90
=
( góc nội tiếp chắn nửa
ñường tròn)
0,50
AM OM
⇒ ⊥
. Mà OM là bán kính của ñường tròn(O;R), nên AM là
tiếp tuyến của ñường tròn (O;R).
0,25
H là trung ñiểm của dây BC của (O;R) và BC không ñi qua tâm O nên
OH BC
⊥
0,50
Bài 4
(3,0
ñiểm)
Câu 1
1,5
0
AHO 90
⇒ =
. Vậy H thuộc ñường tròn ñường kính AO.
0,25
a) ( 0,50ñiểm)
Xét ñường tròn ñường kính AO có
AHN AMN
=
(1) ( hai góc nội tiếp
cùng chắn cung AN)
0,25
Theo giả thiết
BD OM
⊥
và
AM OM
⊥
suy ra BD // AM suy ra
AMN BDN
=
(2) ( hai góc ñồng vị)
Từ (1), (2) suy ra
AHN BDN
=
0,25
b) (0,50 ñiểm)
Theo chứng minh trên ta có
BHN BDN
=
. Mặt khác , D và H cùng
thuộc nửa mặt phẳng bờ BN nên 4 ñiểm H,D,B,N cùng thuộc một
ñường tròn. Xét trên ñường tròn này ta có
BHD BND
=
(3) ( hai góc nội
tiếp cùng chắn cung BD)
0,25
Xét trên ñường tròn (O) có
BND MCD
=
(4) ( hai góc nội tiếp cùng
chắn cung BM).
Từ (3),(4) suy ra
BHD MCD
=
, mà hai góc này ở vị trí ñồng vị ñối với
hai ñường thẳng DH và MC bị cắt bởi ñường thẳng BC,
suy ra DH // MC
0,25
Câu 2
(1,5ñ)
c) (0,50 ñiểm)
Xét
DHC
∆
có DH + HC > CD ( bất ñẳng thức trong tam giác)
Mà HC = BC ( vì H là trung ñiểm của BC)
Suy ra HB + HD > CD (ñpcm)
0,5
Với mọi x, y ta có (xy – 1)
2
+1
≥
1 (*) nên hệ phương trình ñã cho xác
ñịnh với mọi x, y
0,25
Từ phương trình ñầu của hệ ta có x + y = 2xy , thay vào phương trình
thứ hai của hệ ta ñược: 2xy – x
2
y
2
=
2
(x y) 1
− +
(**)
Nếu hệ có nghiệm thì từ (*),(**) suy ra 2xy – x
2
y
2
≥
1
2
(xy 1) 1 xy 1
⇒ − ≤ ⇒ =
0,25
Câu 1
0,75ñ
Thay xy = 1vào hệ ñã cho ta có :
x y 2
xy 1
+ =
=
Giải hệ trên ñược
x 1
y 1
=
=
Vậy hệ ñã cho có một nghiệm x = y = 1.
0,25
Xét
2 2
(2x 1) x x 1 (2x 1) x x 1
+ − + > − + +
(1)
Khi thay x bởi –x ta thấy (1) không thay ñổi, nên chỉ cần chứng minh
(1) ñúng với mọi x
≥
0.
0,25
Với mọi x ta có
2 2
1 3
x x 1 (x ) 0
2 4
− + = − + >
và
2 2
1 3
x x 1 (x ) 0
2 4
+ + = + + >
Vậy :
Nếu
1
0 x
2
≤ ≤
thì (1) luôn ñúng.
0,25
Bài 5
1,5
ñiểm
Câu 2
0,75ñ
Nếu x >
1
2
thì (1) tương ñương
2 2 2 2
(2x 1) (x x 1) (2x 1) (x x 1)
+ − + > − + +
4 2 4 2
4x x 3x 1 4x x 3x 1
⇔ + + + > + − +
( luôn ñúng với x >
1
2
)
Vậy ta có ñiều phải chứng minh.
0,25