Đề thi và đáp án kỳ thi olympic toán

Chia sẻ: Trần Bá Trung | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:11

Thêm vào BST

Báo xấu

141
lượt xem 24
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề thi thử sẽ cung cấp những câu hỏi hay thú vị, mang tính chất tham khảo, rất có ích cho các bạn.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi và đáp án kỳ thi olympic toán

SÔÛ GIAÙO DUÏC & ÑAØO TAÏO ANGIANG COÄNG HOAØ XAÕ HOÄI CHUÛ NGHÓA VIEÄT NAM Tröôøng THPT Chuyeân Thoaïi Ngoïc Haàu Ñoäc laäp – Töï do – Haïnh phuùc --------------------------------- ÑEÀ THI HOÏC SINH GIOÛI OLYMPIC ÑOÀNG BAÈNG SOÂNG CÖÛU LONG Naêm hoïc 2005 – 2006 Moân TOAÙN ( Thôøi gian laøm baøi : 180 phuùt ) Baøi 1 : ( 4 ñieåm ) Haõy tìm taát caû nhöõng ña thöùc P(x) sao cho thoaû maõn ñaúng thöùc sau : x P(x – 1) = (x – 26) P(x) Baøi 2 : ( 4 ñieåm ) Tìm taát caû caùc nghieäm nguyeân cuûa phöông trình : x3 + (x + 1)3 + ... + (x + 7)3 = y3 (1) Baøi 3 : ( 4 ñieåm )   u0  1 Cho soá a > 2 vaø daõy soá (u n) xaùc ñònh bôûi : u1  a   u   un  2  u 2 (n  1)  n 1  un 1   2  n  Chöùng minh raèng : vôùi moïi k  N 1 1 1    u0 u1 u2 1 uk  1 2  2  a  a2  4 
Baøi 4 : ( 4 ñieåm ) Cho hình bình haønh ABCD coù AB = a , AD = 1 , BAD   , tam giaùc ˆ ABD coù taát caû caùc goùc ñeàu nhoïn . Haõy chöùng minh raèng caùc hình troøn baùn kính baèng 1 coù taâm laàn löôït laø A , B , C , D seõ phuû kín hình bình haønh naøy neáu : cos   3 sin   a Baøi 5 : ( 4 ñieåm ) Goïi r vaø R laàn löôït laø baùn kính cuûa hình caàu noäi tieáp vaø ngoaïi tieáp moät hình choùp R töù giaùc ñeàu . Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa tæ soá r ------------------------------------------------ Baøi 1 : ( 4 ñieåm ) Haõy tìm taát caû nhöõng ña thöùc P(x) sao cho thoaû maõn ñaúng thöùc sau : x P(x – 1) = (x – 26) P(x) Ñaùp aùn Cho P(x) laø ña thöùc thoaû ñieàu kieän baøi toaùn . Hieån nhieân noù chia heát cho x . Nghóa laø : P(x) = x P1(x) , ôû ñaây P1(x) laø moät ña thöùc . (0,5ñ)
Khi ñoù , P(x – 1) = (x – 1) P1(x – 1) , nghóa laø : x (x – 1) P1(x – 1) = x P(x – 1) = (x – 26) P(x) (0,5ñ) Töø ñaây suy ra P(x) chia heát cho caû (x – 1) , nghóa laø P(x) = x (x – 1) P2(x) (0,5ñ) Töø ñaây ta laïi nhaän ñöôïc : P(x – 1) = (x – 1) (x – 2) P2(x – 1) (0,5ñ) Hoaëc laø x (x – 1) (x – 2) P2(x – 1) = (x – 26) . P(x) (0,5ñ) Töø ñaây ta suy ra P(x) chia heát cho (x – 2) . Tieáp tuïc theo tinh thaàn ñoù , cuoái cuøng ta nhaän ñöôïc : P(x) = x (x – 1) (x – 2) ... (x – 25) . P26(x) (0,5ñ) Khi ñoù , töø ñieàu kieän baøi toaùn suy ra : x (x – 1) (x – 2) ....(x – 26) . P26(x – 1) = (x – 26) x (x – 1)...(x – 25) . P26(x) Suy ra : P26(x – 1) = P26(x) (0,5ñ) Vaø vaäy P26(x) = c ( c : haèng soá ) Vaäy P(x) = c . x (x – 1) (x – 2) ... (x – 25) (0,5ñ)
Kieåm tra laïi ta thaáy nhaän . ------------------------------------------------- Baøi 2 : ( 4 ñieåm ) Tìm taát caû caùc nghieäm nguyeân cuûa phöông trình : x3 + (x + 1)3 + ... + (x + 7)3 = y3 (1) Ñaùp aùn Ñaët P(x) = x3 + (x + 1)3 + ... + (x + 7)3 = 8x3 + 84x2 + 420x + 784 Xeùt x  0 , ta coù : (2x + 7)3 = 8x3 + 84x2 + 294x + 343 < P(x) < 8x 3 + 120x2 + 600x + 1000 = (2x + 10)3 (0,5ñ)  2x + 7 < y < 2x + 10  y = 2x + 8 hoaëc y = 2x + 9 (0,5ñ) Vì caû hai phöông trình : P(x) – (2x + 8)3 = 0  – 12x2 + 36x + 272 = 0 P(x) – (2x + 9)3 = 0  – 24x2 – 66x + 55 = 0 ñeàu khoâng coù nghieäm nguyeân . Vaäy phöông trình ñaõ cho khoâng coù nghieäm nguyeân vôùi x0 (0,5ñ) Laïi coù P(– x – 7) = – P(x) . Vaäy (x ; y) laø nghieäm cuûa (1)  (– x – 7 ; y) cuõng laø nghieäm . (0,5ñ) Do ñoù khoâng toàn taïi nghieäm vôùi x  – 7 . Vaäy neáu (x ; y) laø nghieäm thì ta phaûi coù -6  x  -1 (0,5ñ)
Vôùi -3  x  -1 , ta coù : P(-1) = 440 khoâng phaûi laø soá laäp phöông , P(-2) = 216 = 63 , P(-3) = 64 = 43  (-2 ; 6) vaø (-3 ; 4) laø caùc nghieäm vôùi -3  x  -1 (0,5ñ) Do tính chaát P(– 7 – x) = – P(x)  (-5 ; -6) vaø (-4 ; -4) laø nghieäm cuûa (1) vôùi -6  x  -1 (0,5ñ) Vaäy caùc nghieäm cuûa (1) laø : (-2 ; 6) , (-3 ; 4) , (-4 ; -4) , (-5 ; -6) (0,5ñ) ------------------------------------------------- Baøi 3 : ( 4 ñieåm )   u0  1 Cho soá a > 2 vaø daõy soá (u n) xaùc ñònh bôûi : u1  a   u   un  2  u 2 (n  1)  n 1  un 1   2  n  Chöùng minh raèng : vôùi moïi k  N 1 1 1    u0 u1 u2 1 uk  1 2  2  a  a2  4  Ñaùp aùn 1 a > 2   b  R ,b  0 : a  b  b (0,5ñ)
u0  1 1 u1  a  b  b  u12   1 2  1  1  1 u2   2  2  u1    b    2   b     b 2  2  b    b  b  b  b  u0    (0,25ñ)  u2   1  2   1  1  1 u3   2  2  u2    b2  2   2  u2   b 4  4  b 2  2  b   2  b    b  b  b  u1    (0,25ñ) Töông töï :  u2   k 1 1  k  2 1   2 1  1 uk   k 1  2  uk 1   b 2  2k 1  b 2  2k  2  b  b2  b  b   b      2  uk  2  b (0,25ñ) Do ñoù : 1 1 1 1    k  u0 u1 u2 u 1 2 2  a  a2  4   (1) b 2 1 1  k 2  1 2 b  b3  2  2  b  1  b  1   4    b  1 (b 2  1)(b 4  1) (b  1) (b2  1) 2  b  k b   (0,5ñ) b 2 1 k b b3 1  1 2  2  2  1 b  1 (b  1)(b  1) (b  1) (b2  1) 4 k b (0,5ñ) k b2 b4 b2  2  2  2  1 b  1 (b  1)(b4  1) (b  1) (b2  1) k (0,5ñ)  1   1 1   1 1   1  2   2  2    2  2  (b  1) (b2k 1  1) (b  1) (b2k  1)  
(0,5ñ) 1  1  1 (2) (b  1) (b 2  1) k 2 (0,5ñ) (2) ñuùng vôùi moïi k  N vaø moïi b > 0 . Vaäy (1) ñuùng vôùi moïi k  N vaø a > 2 (0,25ñ) ------------------------------------------------- Baøi 4 : ( 4 ñieåm ) Cho hình bình haønh ABCD coù AB = a , AD = 1 , BAD   , tam giaùc ˆ ABD coù taát caû caùc goùc ñeàu nhoïn . Haõy chöùng minh raèng caùc hình troøn baùn kính baèng 1 coù taâm laàn löôït laø A , B , C , D seõ phuû kín hình bình haønh naøy neáu : cos   3 sin   a . Ñaùp aùn  Böôùc 1 : * Boå ñeà : Goïi O laø taâm vaø R laø baùn kính ñöôøng troøn ngoaïi tieáp  ABC . Khi ñoù , caùc hình troøn taâm A , B , C vôùi baùn kính x seõ phuû kín  ABC  x  R . (1ñ) * Chöùng minh boå ñeà : 1) Ñieàu kieän caàn : A Caùc hình troøn taâm A ,B ,C baùn kính x phuû kín  ABC  caùc hình troøn naøy phaûi phuû O  x  R (0,25ñ)
I K (hình veõ 0,25ñ) O B C J 2) Ñieàu kieän ñuû : Ñaûo laïi , giaû söû x  R vôùi (O ,R) laø ñöôøng troøn ngoaïi tieáp  ABC . Ta xeùt caùc voøng troøn taâm A ,B ,C coù baùn kính R . Khi ñoù , goïi I ,J ,K laàn löôït laø hình chieáu cuûa O xuoáng AB , BC , CA thì hình troøn taâm A baùn kính R seõ phuû kín töù giaùc OIAK . Töông töï hình troøn taâm B , C baùn kính R laàn löôït phuû kín töù giaùc OIBJ , OJCK . Do ñoù caùc hình troøn taâm A ,B ,C baùn kính R phuû kín  ABC . (0,25ñ) Theo giaû thieát ta coù x  R neân hieån nhieân caùc hình troøn taâm A , B,C baùn kính x phuû kín  ABC . Ñieàu kieän ñuû ñöôïc chöùng minh . (0,25ñ)  Böôùc 2 : Chöùng minh baøi toaùn : B C Caùc hình troøn taâm A ,B ,C ,D baùn kính baèng 1 phuû H kín hình bình haønh ABCD  3 hình troøn taâm A ,B ,D
a baùn kính baèng 1 phuû kín  ABD (0,5ñ)  1 (hình veõ 0,25ñ) A D Goïi R laø baùn kính ñöôøng troøn ngoaïi tieáp  ABD , aùp duïng boå ñeà treân ta coù ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå 3 hình troøn ñôn vò taâm A ,B ,D phuû kín  ABD laø : 1  R (0,5ñ) Ta coù : BD = 2R sin  (ñònh lyù haøm soá sin) BD2 = a2 + 1 – 2a cos  (ñònh lyù haøm soá cosin) neân 4R2 sin2  = a2 + 1 – 2a cos  (0,25ñ) Do ñoù 4 sin2   a2 + 1 – 2a cos  (vì 1  R) 2 2 2  3 sin   a + 1 – 2a cos  + cos  – 1 2 2 2  3 sin   a – 2a cos  + cos  (0,25ñ)  3 sin   a  cos  , (do  ABD nhoïn neân coù AB > AH = cos   a > cos  )  3 sin   a – cos   cos  + 3 sin   a (ñpcm) (0,25ñ) -------------------------------------------------------------------- Baøi 5 : ( 4 ñieåm ) Goïi r vaø R laàn löôït laø baùn kính cuûa hình caàu noäi tieáp vaø ngoaïi tieáp hình choùp moät
R töù giaùc ñeàu . Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa tæ soá . r Ñaùp aùn A Giaû söû hình choùp ñeàu S.ABCD coù caïnh ñaùy 2a ñöôøng cao SO = h caïnh beân SC = SO2  OC 2  h2  2a 2 1 ( OC = AC  a 2 ) 2 D C M O N A B R cuõng laø baùn kính ñöôøng troøn ngoaïi tieáp  SAC SC SC SC 2 h 2  2a 2 R   (vì SA = SC)  R 2sin A 2. SO 2.SD 2h SA (1ñ) r cuõng laø baùn kính ñöôøng troøn noäi tieáp  SMN vôùi M ,N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AD ,BC dt (SMN )  r p dt (  SMN) = ½ MN . SO = ah p = ½ (MN + SM + SN) = a  a 2  h2
 r  ah a h a 2 2  a h  a 2  h2  a  (1ñ) 2 h 2  R 2a 2  h 2 a Suy ra :   r 2a ( a 2  h 2  a )  2  2  1   h   1    a    2 R h Ñaët k  0 , x     0 , ta ñöôïc : r a 2 x k 2 ( 1  x  1) (1ñ)  x  2  2k  2k 1  x  ( x  2  2k ) 2  4k 2 (1  x) 2 2  x + 4 (1 + k – k ) x + 8k + 4 = 0 (1) (1) coù nghieäm x khi  ’ = 4k2 (k2 – 2k – 1)  0  k  2 1 . Do ñoù : Min    2  1 R   r (1ñ) -------------------------------------------------