Đề thi và đáp án kỳ thi olympic toán Cao lãnh

Chia sẻ: Trần Bá Trung | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:8

Thêm vào BST

Báo xấu

137
lượt xem 23
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'đề thi và đáp án kỳ thi olympic toán cao lãnh', tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi và đáp án kỳ thi olympic toán Cao lãnh

SÔÛ GD-ÑT ÑOÀNG THAÙP KYØ THI HOÏC SINH GIOÛI OLIMPIC ÑBSCL TRÖÔØNG THPT THÒ XAÕ CAO LAÕNH NAÊM HOÏC 2005-2006 ÑEÀ THI ÑEÀ NGHÒ MOÂN TOAÙN Thôøi gian : 180 phuùt ----------***---------- Baøi 1: (Soá hoïc) Tìm taát caû caùc soá töï nhieân x vaø y thoaû maõn phöông trình : ( x  y )4  3361  11296320 Baøi 2: (Ñaïi soá ) Cho caùc soá x,y,z thoûa maõn: x 2  xy  y 2  2 . Tìm GTNN vaø GTLN cuûa bieåu thöùc: A  x 2  2 xy  3 y 2 Baøi 3: (Daõy soá ) Cho daõy soá thöïc ( xn ) , n=1,2,3,...xaùc ñònh bôûi  x1  2   x n1  x n  3xn  3 3 2 Tìm soá haïng toång quaùt cuûa xn Baøi 4: (Hình hoïc phaúng) Cho tam giaùc ABC noäi tieáp trong moät voøng troøn. Goïi AA ',BB',CC' laø ba trung tuyeán . AA',BB',CC' laàn löôït caét voøng troøn ngoaïi tieáp taïi A1 , B1 , C1 . Tìm GTLN cuûa: AA ' BB ' CC ' T   AA1 BB1 CC1 Baøi 5: (Hình hoïc khoâng gian) Cho töù dieän ABCD. Giaû söû töù dieän naøy ñöôïc chia thaønh hai phaàn bôûi moät maët phaúng song song vôùi AB vaø CD, khoaûng caùch töø maët phaúng naøy ñeán AB baèng 2 laàn khoaûng caùch ñeán CD.Tính tyû soá theå tích cuûa hai phaàn ñoù. -----------------Heát----------------
Sôû GD – ÑT Ñoàng Thaùp KYØ THI HSG ÑOÀNG BAÈNG SOÂNG CÖÛU LONG TRÖÔØNG THPT TX CAO LAÕNH NAÊM HOÏC : 2005 – 2006 *********** *********** ÑAÙP AÙN ÑEÀ THI ÑEÀ NGHÒ MOÂN : TOAÙN THÔØI GIAN : 180 PHUÙT ----------*****---------- Baøi 1: (4 ñieåm) Tìm taát caû caùc soá töï nhieân x vaø y thoaû maõn phöông trình : ( x  y )4  3361  11296320 Höôùng daãn giaûi: Nhaän thaáy x vaø y laø caùc soá nguyeân khoâng aâm vaø 11296320  23.41. 105 laø soá voâ tæ. Phöông trình ñaõ cho coù theå vieát laïi : ( x  y)2  4 xy  3361  4( x  y) xy  328 105 (1) (1ñ) Veá traùi cuûa (1) laø soá höõu tæ neân ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå phöông trình coù nghieäm nguyeân laø caû hai veá cuûa (1) ñeàu baèng khoâng . Khi ñoù ta coù heä phöông trình: ( x  y)2  4 xy  3361  0   (1ñ) 4( x  y) xy  328 105  0  Ñaët : S=x+y, P=xy ta ñöôïc heä: S 2  4P  3361  0  (2)  S P  82 105  (3) 82 .105 2 Töø (3) ta ruùt ra ñöôïc : P  Thay vaøo (2) vaø thu goïn ñöôïc : S2 S 4  3361.S 2  4.822.105  0  S2 = 1681 hoaëc S2 =1680 = 412 (1ñ) Töø ñoù ta ñöôïc : S=41 vaø P=420. Suy ra x, y laø nghieäm cuûa phöông trình : t2 –42t+420=0  t=20 hoaëc t=21. (1ñ) Vaäy phöông trình coù hai nghieäm laø (20;21); (21;20).
Baøi 2: (4 ñieåm) Cho caùc soá x,y,z thoûa maõn: x 2  xy  y 2  2 . Tìm GTNN vaø GTLN cuûa bieåu thöùc: A  x 2  2 xy  3 y 2 Höôùng daãn giaûi: Xeùt tröôøng hôïp y=0 thì x 2  2 vaø ta coù A=2 (0,5 ñ) x Xeùt tröôøng hôïp y  0 , ñaët t  . Ta coù: y A x 2  2 xy  3 y 2 t 2  2t  3  2  2  f (t ) (0,5 ñ) 2 x  xy  y 2 t  t 1 (2t  2)(t 2  t  1)  (2t  1)(t 2  2t  3) 3t 2  4t  5 f (t )  '  2 (0,5 ñ) (t 2  t  1) 2 (t  t  1) 2 2  19 2  19 f ' (t )  0  3t 2  4t  5  0   t1  t  t 2  (0,5 ñ) 3 3 Töø ñoù ta coù baûng bieán thieân sau: Vì lim f (t )  lim f (t )  1 neân töø baûng bieán thieân ta suy ra: (0,5 ñ) t  t  t  t1 t2 + ' f (t) + 0 - 0 + f(t) f(t1) 1 f(t2) 1 38  2 19 38  2 19 Maxf (t )  f (t1 )  & min f (t )  f (t i ' )  (1 ñ) 38  7 19 38  7 19 Do ñoù: max A  2 f (t1 ) vaø minA  2f(t 2 ) 76  4 19 76  4 19 Keát luaän: MaxA  & min A  (0,5 ñ) 38  7 19 38  7 19
Baøi 3: (4 ñieåm) Cho daõy soá thöïc ( xn ) , n=1,2,3,...xaùc ñònh bôûi  x1  2   x n1  x n  3xn  3 3 2 Tìm soá haïng toång quaùt cuûa xn Höôùng daãn giaûi: Ñaët: y n  xn  1, n  1 (0,5 ñ)  y1  3 Töø daõy ( xn ) ta coù daõy ( y n ) ñöôïc xaùc ñònh nhö sau:  (0,5 ñ)  y n1  y n  3 y n n  1 3 Xeùt phöông trình : x 2  3x  1  0 (1) .  x  x2  3 Deå thaáy (1) coù hai nghieäm phaân bieät x 1, x2 vaø  1 (0,5 ñ)  x1 .x 2  1 n 1 n 1 Ta seõ chöùng minh baèng quy naïp theo n raèng: y n  x1 3  x2 3 (2) n  1 (0,5 ñ) Vôùi n=1: hieån nhieân coù (2) k 1 k 1 Giaû söû ñaõ coù (2) vôùi n=k ( k  1). Töùc laø : y k  x1 3  x2 3 Ta chöùng minh (2) cuõng ñuùng khi n=k+1. Thaät vaäy: Ta coù: k 1 k 1 k 1 k 1 y k 1  y k  3 y k  ( x1 3 3  x2 3 ) 3  3( x1 3  x2 3 ) k k k 1 k 1 k 1 k 1 k 1  x1  x2  3( x1 x2 ) 3 3 3 3 .( x1  x2 3 )  3( x1 3  x2 3 ) (1 ñ) k k  x1  x2 3 3 vì x1 .x2  1 n 1 n 1 Neân (2) ñuùng n  1. Töø ñoù ta coù: xn  x1 3  x2 3  1, 3 5 deå thaáy (1) coù hai nghieäm x1, 2  (0,5 ñ) 2 3n 1 3n 1 3 5  3 5  Vaäy soá haïng toång quaùt cuûa daõy soá thöïc ( xn ) laø xn    2     2   1 . (0,5 ñ)    
Baøi 4: (4 ñieåm) Cho tam giaùc ABC noäi tieáp trong moät voøng troøn. Goïi AA',BB',CC' laø ba trung tuyeán . AA',BB',CC' laàn löôït caét voøng troøn ngoaïi tieáp taïi A1 , B1 , C1 . Tìm GTLN cuûa: AA ' BB ' CC ' T   AA1 BB1 CC1 A B1 C1 B' C' c b B a A' C A1 Höôùng daãn giaûi: AA ' A' B a2 Do ABA ' ~ CA1 A' neân   AA ' . A ' A1  A ' B. A ' C  (0,5 ñ) CA ' A1 A' 4 a2 Suy ra: AA ' . AA1  AA ' ( AA '  A' A1 )  ma  2 (0,5 ñ) 4 AA ' AA '2 1 2b 2  2c 2  a 2 1 a2 Töø ñoù:   .  1 . 2 (0,5 ñ) AA1 AA ' . AA1 2 b2  c2 2 b  c2 Baèng caùch tính töông töï ta ñöôïc: AA ' BB ' CC ' 1 a2 b2 c2    3 ( 2   ) (0,5 ñ) AA1 BB1 CC1 2 b  c2 c2  a2 a2  b2 Ta coù: a2 b2 c2 a2 b2 c2  2  2  2 1 2 1 2 1 3 b2  c2 c  a2 a  b2 b  c2 c  a2 a  b2 1 1 1  (a 2  b 2  c 2 )( 2  2  2 )3 a b 2 b c 2 c  a2  (a 2  b 2 )  (b 2  c 2 )  (c 2  a 2 ).( 2 1 1 1 1  2  2 )3 2 a b 2 b c 2 c  a2 (0,5 ñ) AÙp duïng bñt Cauchy ta coù:
(a 2  b 2 )  (b 2  c 2 )  (c 2  a 2 )  3.3 (a 2  b 2 )(b 2  c 2 )(c 2  a 2 ) 1 1 1 1 1 1 (0,5 ñ)  2  2  3.3 2 . 2 . 2 a b 2 2 b c 2 c a 2 a  b b  c c  a2 2 2 töø ñoù ta suy ra: a2 b2 c2 9 3  2  2  3  (0,5 ñ) b c 2 2 c a 2 a b 2 2 2 Daáu "=" xaûy ra khi a=b=c   ABC ñeàu 9 Vaäy: maxT= , giaù trò naøy ñaït ñöôïc khi tam giaùc ABC ñeàu. (0,5 ñ) 4
Baøi 5: (4 ñieåm) Cho töù dieän ABCD. Giaû söû töù dieän naøy ñöôïc chia thaønh hai phaàn bôûi moät maët phaúng song song vôùi AB vaø CD, khoaûng caùch töø maët phaúng naøy ñeán AB baèng 2 laàn khoaûng caùch ñeán CD.Tính tyû soá theå tích cuûa hai phaàn ñoù. C N D L J P G I E K B X F M Y A Höôùng daãn giaûi: Ta giaû söû AB vaø CD laàn löôït coù ñoä daøi laø a vaø b, khoaûng caùch hai ñöôøng thaúng cheùo nhau AB vaø CD laø d. Goïi (P) laø maët phaúng song song vôùi hai caïnh ñoái AB vaø CD.Giaû söû (P) caét töù dieän theo thieát dieän laø töù giaùc EFGL. Deã thaáy EFGL laø hình bình haønh. Goïi MN laø ñöôøng vuoâng goùc chung cuûa AB vaø CD, giao ñieåm cuûa MN vôùi (P) laø I. Maët phaúng qua I vaø AB seõ caét maët phaúng (P) theo giao tuyeán JK // AB. Deã thaáy raèng B, J, N thaúng haøng vaø N, K, A thaúng haøng. Ta coù hai tam giaùc JNK vaø BNA ñoàng daïng nhau, vôùi NI vaø NM laø hai ñöôøng cao cuûa tam giaùc ñoù. Ta xeùt baøi toaùn toång quaùt hôn laø "khoaûng caùch töø maët phaúng naøy ñeán AB baèng k laàn khoaûng caùch ñeán CD" .Töø giaû thieát ta coù: NI 1  vôùi NM = NI + IM; IM k NM AB a NI  IM IM a     1  1 k  NI KJ KJ NI NI KJ a Suy ra KJ  . (0,5 ñ) k 1 GL BJ IM k Maët khaùc ta laïi coù    . (0,5 ñ) DC BN MN k  1 kb kd Töø ñoù ta ñöôïc GL  vaø IM  . (0,5 ñ) k 1 k 1
Döïng JX vaø KY song song vôùi IM; vôùi X, Y naèm treân AB, suy ra caùc maët phaúng (XGL) vaø (YEF) vuoâng goùc vôùi (P).Deã thaáy raèng khoái XGL.YEF laø laêng truï ñöùng, do ñoù: 1 V AEF.BGL  V XGL.YEF  V AEFY  VBGLX , V XGL.YEF  SYEF .JK  EF .YK .JK (0,5 ñ) 2 1 kb kd a abdk 2 V XGL.YEF  . .  , (0,5 ñ) 2 k  1 k  1 k  1 2(k  1) 3 1 1 1 V AEFY  VBGLX  SYEF . AY  S XGL .BX  YK .EF ( AY  BX ) 3 3 6 1 1 kd kb a abdk 3  IM .GL( AB  JK )  . (a  ) (0,5 ñ) 6 6 k 1 k 1 k  1 6(k  1) 3 abdk 2 abdk 3 abdk 2 Nhö vaäy: V AEF .BGL    (3  k ) . (0,5 ñ) 2(k  1) 3 6(k  1) 3 6(k  1) 3 abd (1  3k ) Chöùng minh töông töï ta ñöôïc: VCEL.DGF  . 6(k  1) 3 Vaäy tæ soá theå tích cuûa hai phaàn do maët phaúng (P) chia töù dieän ABCD laø: V AEF .BGL k 2 (k  3) V 20  . Vôùi k = 2 thì AEF .BGL  (0,5 ñ) VCEL.DGF 3k  1 VCEL.DGF 7 --------------------Heát------------------