ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM
NGUYỄN ĐỨC THẮNG
ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG ĐỐI VỚI CÁC ÁNH XẠ DÃN TRONG KHÔNG GIAN
b-METRIC VÀ KHÔNG GIAN b-METRIC NÓN
Ngành: Toán giải tích Mã số: 8460102
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Cán bộ hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Phạm Hiến Bằng
THÁI NGUYÊN - 2020
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự
hướng dẫn của PGS.TS Phạm Hiến Bằng. Các tài liệu trong luận văn là trung
thực. Các kết quả chính của luận văn chưa từng được công bố trong các luận
văn Thạc sĩ của các tác giả khác.
Tôi xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện Luận văn này
đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong Luận văn đã được chỉ rõ
nguồn gốc.
Tác giả
Nguyễn Đức Thắng
i
LỜI CẢM ƠN
Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học
Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Phạm Hiến Bằng. Nhân dịp này
tôi xin cám ơn Thầy về sự hướng dẫn hiệu quả cùng những kinh nghiệm trong
quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Xin chân thành cảm ơn Phòng Đào tạo- Bộ phận Sau Đại học, Ban chủ
nhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái
Nguyên, Viện Toán học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy và
tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học.
Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì
vậy rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn
học viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn.
Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi
trong thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Tháng 04 năm 2020
Tác giả
ii
MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN
i
LỜI CẢM ƠN
ii
MỤC LỤC
iii
MỞ ĐẦU
1
Chƣơng 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
3
1.1. Không gian
metric
3
1.2. Điều kiện
thác triển
7
1.3. Không gian
metric nón
9
Chƣơng 2. ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG ĐỐI VỚI CÁC ÁNH XẠ DÃN
16
TRONG KHÔNG GIAN METRIC VÀ KHÔNG GIAN METRIC NÓN
2.1. Điểm bất động chung đối với ánh xạ dãn trong không gian
16
metric
thác triển trong không gian
22
metric
25
thác triển cho ánh xạ dãn
32
2.2. Điểm bất động đối với điều kiện 2.3. Điểm bất động chung đối với ánh xạ dãn trong không gian metric nón 2.4. Điểm bất động đối với điều kiện metric nón trong không gian
36
KẾT LUẬN
37
TÀI LIỆU THAM KHẢO
iii
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Năm 1922, Banach đã chứng minh một định lý nổi tiếng về điểm bất
động trong không gian metric, gọi là nguyên lý ánh xạ co Banach, từ đó đã thiết
lập sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình toán tử Tx x . Đã có nhiều mở rộng của nguyên lý ánh xạ co Banach về điểm bất động. Sự mở rộng
được thiết lập cho nhiều loại ánh xạ khác nhau trên các không gian kiểu metric.
Năm 2007, Huang và Zhang đã giới thiệu không gian metric nón và chứng minh
định lí điểm bất động đối với ánh xạ co trong không gian đó. Năm 2012, Stanic,
Cvetkovic, Simic và Dimitrijevic đã đạt được một số kết quả về điểm bất động
chung dưới điều kiện co kiểu Ciric trên không gian metric nón, Tương tự, năm
1989, Bakhtin đã giới thiệu không gian b metric, là sự mở rộng khác của không gian metric. Năm 1993, Czerwik đã mở rộng định lý điểm bất động
Banach trong không gian b metric. Không gian b metric nón là sự mở rộng của cả không gian metric nón và không gian b metric.
Việc nghiên cứu về ánh xạ giãn cũng là lĩnh vực nghiên cứu rất thú vị
trong lý thuyết điểm bất động. Điều này đã được phát triển vào năm 1984 từ
công trình của Wang, Li, Gao và Iseki bằng cách giới thiệu các khái niệm về
ánh xạ dãn trong không gian metric đầy đủ. Daffer và Kaneko sử dụng hai tự
ánh xạ trong không gian metric đầy đủ, để tổng quát kết quả của Wang và các
cộng sự. Kể từ đó, các định lý điểm bất động và điểm bất động chung đã được
nhiều tác giả chứng minh cho ánh xạ giãn trong các không gian khác nhau,
chẳng hạn: không gian G-metric, không gian d metric, không gian b metric, không gian b metric riêng, không gian metric nón, không gian b metric nón, … Một số kết quả về không gian b metric nón sử dụng ánh xạ kiểu giãn đã được thiết lập bởi Huang, Zhu và Xi-Wen vào năm 2012. Gần đây, năm
2016, P.K Verma đã thiết lập một số kết quả về điểm bất động chung đối với
1
các ánh xạ giãn trong không gian b metric nón.
Theo hướng nghiên cứu này, chúng tôi chọn đề tài: “Điểm bất động chung
đối với các ánh xạ giãn trong không gian b metric và không gian b metric nón”.
Ý nghĩa thời sự: Đề tài có ý nghĩa thời sự, đã và đang được nhiều nhà toán học
trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
Mục đích của luận văn là nghiên cứu và trình bày một số kết quả về Điểm
bất động chung đối với các ánh xạ giãn trong không gian b metric và không gian b metric nón. 3. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng các phương pháp của giải tích hàm.
4. Bố cục luận văn
Nội dung đề tài được viết dựa trên các tài liệu [8] và [9] gồm 37 trang,
trong đó có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận và danh mục tài
liệu tham khảo.
Chương 1: Trình bày một số khái niệm và tính chất cơ bản của không
gian b metric và không gian b metric nón. Chương 2: Là nội dung chính của đề tài, trình bày một số kết quả về
điểm bất động chung đối với các ánh xạ giãn trong không gian b metric và không gian b metric nón. Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được.
2
CHƯƠNG 1
1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
E E
)
:
k là số thực cho trước. được gọi là một b metric nếu với mọi
, ,u v w E các điều kiện sau được thỏa mãn:
0
v ; u ;
v u ( , )
1.1. Không gian b metric Định nghĩa 1.1.1. ChoE là một tập khác rỗng và Hàm số [0,
)
k
u w ( ,
k . 1
( , ) w v được gọi là không gian b metric với hệ số
. )a ( , ) u v )b ( , ) u v )c ( , ) u v
E k , )
1
k , nhưng là ánh xạ xác )
E E
[0,
:
Bộ ba ( ,
u v ( , )
với mọi 2 |
u
v
|
,u v E .
Ví dụ 1.1.2. Mỗi không gian metric là không gian b metric với ngược lại không đúng. Ví dụ lấy E và định bởi
2
k . Nhưng ( , )E không
E k , )
là không gian b metric với hệ số
Khi đó ( , phải là không gian metric.
E
{
1, 0,1}
d E E là ánh xạ xác định bởi
[0,
)
Ví dụ 1.1.3. Cho và
: ,u v E ,
v u ( , )
0,
u E
,
với mọi ( , ) u v
3, ( 1,1)
. 1
( , ) u u
(0,1)
( 1, 0)
k , nhưng không là không
E k , )
3 2
Khi đó ( , là không gian b metric với
gian metric vì bất đẳng thức tam giác không thỏa mãn. Thật vậy, ta có
(1, 0)
2
( 1, 0)
3
1
1
. ( 1,1)
3
. 0
là
u u , ) n
n
hoặc
u
u khi n .
hội tụ đến u khi và chỉ khi lim ( Định nghĩa 1.1.4. Cho ( , )E là không gian b metric, u E và { }nu một dãy trong E . Khi đó ( )i { }nu
nu
n
Kí hiệu lim n u
( )ii { }nu
:T E
E .
)iii ( , )E là đầy đủ khi và chỉ khi mọi dãy Cauchy trong E đều hội tụ. ( Định nghĩa 1.1.5.Cho ( , )E là không gian b metric và ánh xạ
u khi
là dãy Cauchy khi và chỉ khi ) . 0 u u , n m lim ( n m ,
E nếu với mọi dãy { }nu
0u
nu
0
E thì
n thì
Tu khi n . Nếu T liên tục tại mỗi điểm
0
0u
nTu ta nói T liên tục trên E .
Ta nói rằng T liên tục tại trong E ,
E k , )
Mệnh đề 1.1.6. Cho ( , là không gian b metric, giả sử { }nu và { }nv
,u v E tương ứng. Khi đó
2
là các dãy hội tụ đến
)
)
k
( , ) u v
u v ( , )
u v , n
n
u v , n n
lim inf (
n
lim sup (
n
1 2 k
)
0
. Ngoài ra, với mỗi w E , ta có
.
v thì lim (
u v , n n
n
Đặc biệt, nếu u
u w ( ,
)
)
)
k u w ( ,
)
u w , n
u w , n
lim inf (
n
lim sup (
n
.
E k , )
u và
1 k Bổ đề 1.1.7. Cho ( , là không gian b metric với hệ số k và { }nu là dãy
v . Khi đó u
v .
nu
nu
u và
v
trong E sao cho
0
. Khi đó theo giả thiết
nu
nu
Chứng minh. Giả sử ( , ) u v
n
n thì (
0n
0
nu u , )
nu v , )
2 k
2 k
nên sao cho với mọi . Suy ra và (
k
u u
)
, ))
k
( , ) u v
( ( ,
( u v n
n
2 k
2 k
0
4
n
n . Điều này mâu thuẫn với ( , ) u v
0
.
0
với mọi
E k , )
E
{ }n ku k
0
n
1
n
1
. Khi đó
Bổ đề 1.1.8. Cho ( , là không gian b metric với hệ số k và
)
k u u (
,
)
k
u (
,
u
)
k
u (
,
u
)
u u ( , n
0
0
1
n
2
n
1
n
n
1
.
)
k
)
)]
,
)
,
)
[ (
( k u u
( k u u
( u u , n
0
u u , 0
1
( u u , 1
2
0
1
1
n
2
,
)
k
)
( k u u 1
0
[ ( , u u 1 2
( u u , 2
)]n
2
2
,
)
k
)
k
( k u u 0 1
( , u u 1 2
( u u , 2
)n
Chứng minh. Ta có
n
n
…
,
)
k
,
)
k
)
1 ( u
1 ( u
( k u u 1
0
u n
1
n
2
, 1
u n
n
.
E k , )
1
với hệ số
)
u (
,
u
)
u u ( , n
n
1
n
n
1
Bổ đề 1.1.9. Cho { }nu là dãy trong không gian b metric ( , k sao cho
1 / k
E k , )
. với n và 0
Chứng minh. Cho . Khi đó { }nu là dãy Cauchy trong ( , ,m n và m n . Áp dụng bất đẳng thức kiểu tam giác
,
,
u
}
u u { , m m
, 1
u n
u },{ m
, 1
u m
u n
u },...,{ n
2
u n
, 1
n
2
)
k
)
u
))
( (
( u u , m n
u u , m
m
1
( u m
, 1
n
2
,
)
k
)
,
u
))
( u
k u u ( m
m
1
( ( m
, 1
u m
2
m
2
n
2
...
)
k
...
)
( k u u , m m
1
( u m
, 1
u m
2
n m
1
k
,
)
u
))
( ( u n
u n
2
( u n
, 1
n
1
2
)
k
...
)
( u
k u u ( , m m
1
, 1
u m
m
2
n m
n m
vào bộ ba ta có
k
,
)
k
)
1 ( u n
u n
2
1
( u n
, 1
u n
.
)
u (
,
u
)
k suy ra 1
u u ( , n
n
1
n
n
1
Bây giờ từ và
5
m
m
1
1
)
k (
k
...
k
)
2
n m n
) (
( u u , m
n
u u , 0 1
m
1
k
(1
k (
)
...
k (
n m )
)
) (
u u , 0 1
)
0
( u u , 0 1
mk k 1 là dãy Cauchy.
khi m .
Vậy { }nu
Năm 2016, Daheriya, Likhitker và Ughade ([2]) đã chứng minh định lý
sau đây về điểm bất động đối với một ánh xạ với điều kiện kiểu giãn cho không
là một không gian b metric đầy đủ với hệ
1
E k , ) k và T là ánh xạ liên tục thỏa mãn điều kiện:
v Tv ( ,
u Tu ( ,
)
gian b metric: Định lý 1.1.10 ([2]) Cho ( , số
Tu Tv ,
u v ( , )
1
,
0
,u v E , u
1
k
k
) 1 ( , ) u v là các hằng số thực với v ; trong đó , . Khi đó T có một điểm bất động trong E . và Kết quả sau đây đã được chứng minh bởi Mohanta (Th.3.3 [5]) đối với
k và 1
với mọi
, ) E k E là ánh xạ liên tục thỏa mãn điều kiện sau:
:T E
. ( ,
u Tv
v Tv ( ,
)
)
u Tv ( ,
v Tu
u v ( , )
( Tu Tv ,
max .
), ( ,
)
1
) 1 ( , ) u v
2
là không gian b metric với hệ số ánh xạ liên tục trong không gian b metric: Định lý 1.1.11. [5] Cho ( ,
k
(1
k )
k
,
u v E u
,
,
,trong đó
v
, , 0
1
. Khi đó T có một điểm bất động trong E .
Định nghĩa 1.1.12. Cho S và T là các ánh xạ từ không gian metric ( , )E vào S T được gọi là tương thích nếu chính nó. Cặp ánh xạ ( ,
)
với ,
)
0
E sao cho
STu TSu ( , n
n
n
, với mọi dãy { }nu
lim
6
Su
lim
Tu
t
với t nào đó thuộc E .
n
n
n
n
S T E
,
:
lim
Định nghĩa 1.1.13. Cho S và T là các ánh xạ từ không gian metric ( , )E vào với u E thì u được gọi là điểm trùng của S và chính nó. Nếu v Su Tu T , v được gọi là giá trị trùng của S và T . E Định nghĩa 1.1.14. Cho ( , )E là không gian metric. Cặp ánh xạ gọi là tương thích yếu nếu chúng giao hoán tại những điểm trùng, tức là nếu
S T E
,
:
Su Tu
Su Tu Mệnh đề 1.1.15. Cho ( , )E là không gian metric và E là các ánh xạ tương thích yếu. Nếu S và T có một điểm trùng duy nhất, tức là thì v là điểm bất động chung duy nhất của S và T .
v 1.2. Điều kiện T thác triển
. với u E thì STu TSu
:S E
Ozturk và Kaplan [6] đã chỉ ra rằng tồn tại ánh xạ
:T E
E không E được chọn phù hợp thì nó xảy ra “điều kiện co”, còn được gọi là điều kiện T co. Ở đây, lưu ý rằng S có một điểm bất động. Điều này cho thấy sự quan trọng của điều kiện T co trong lý thuyết điểm bất động. Điều kiện T co được định nghĩa như sau:
F
:T E E
.
thỏa mãn điều kiện co, nhưng nếu một ánh xạ
(0,1)
,
,u v E
sao cho
)
Tu Tv ,
u v ( , )
.
k Tu Tv
TSu TSv ,
)
)
(
[1,
]
: E E
E là ánh xạ xác định
:S E
sao cho
u
|
|
Định nghĩa 1.2.1. Cho ( , )E là một không gian metric và Khi đó T được gọi là co Banach nếu với ( Định nghĩa 1.2.2. Cho S và T là hai ánh xạ từ không gian metric ( , )E vào chính nó. Ánh xạ S được gọi là T co nếu tồn tại số (0,1) k , với mọi ( ,u v E . , E với metric cảm sinh trong và Ví dụ 1.2.3. Cho . Lấy v là hàm số xác định bởi ( , ) u v
Su
8 /
u
bởi , với mọi u E . Khi đó S không thỏa mãn điều kiện co
7
Su Sv ,
)
u v ( , ),
, vì 1
8
8
u v 8 ( , )
Banach (
)
xy
x
. 8
y
( Su Sv ,
là co
u
v
uv u (
v
)
Tu
1
ln
u
:T E E xác định bởi
Bây giờ, lấy ánh xạ , với u E
)
1
ln
Su
1
ln
Sv
( TSu TSv ,
8
8
ln
ln
u
v
ln
u
ln
v
Tu Tv ,
1 2
1 2
4
. Khi đó S là một ánh xạ T co, thỏa mãn:
E k , )
là không gian b metric với hằng số
:S E
:T E
Tu Tv ,
)
)
k và 1 E . Ánh xạ S được gọi là thỏa mãn T thác triển trong không E , nếu bất đẳng , trong đó
u v E u
v
,
,
Như vậy, S là một ánh xạ T co, nhưng nó không phải là ánh xạ co. Ngoài ra u là điểm bất động chung duy nhất trong E . Lấy ý tưởng bởi Ozturk và Kaplan [6], chúng ta định nghĩa khái niệm T thác triển trong không gian b metric như sau: Định nghĩa 1.2.3. Cho ( , ánh xạ
( TSu TSv ,
. k Sau đây là ví dụ về ánh xạ T thác triển trong không gian b metric: Ví dụ 1.2.4. Cho
: E E
E và
[1,
)
là ánh xạ xác định bởi
gian b metric, đối với ánh xạ đơn ánh và liên tục thoả mãn với mọi thức: (
|
u
v
2 | ,
u v E
,
( , ) u v
.
2
E k , )
:S E
E xác định bởi
k . Lấy ánh xạ . Khi đó S là ánh xạ co. Thật vậy, với
Su
2 /
u
v ta có
u
là không gian b metric với hệ số Khi đó ( ,
8
2
2
2
4 u v 4 u v ) ( Su Sv , uv v
uv u (
)
4
u v ( , )
u v ( , )
. ( , ) u v
2
v
uv u (
)
4
,u v E , trong đó
1 ,
2
v
)
uv u ( . Do đó S là co.
v
u v E u
,
,
với mọi . Ở đây chú ý rằng
:T E
E là ánh xạ xác định bởi
Tu
1
4 ln
u
2
2
Bây giờ lấy . Khi đó ta có
)
16 ln
u
ln
v
)
4 ln
u
ln
v
( Tu Tv ,
TSu TSv ( ,
và .
Do đó
Tu Tv ,
k TSu TSv
,
4.
.
TSu TSv ,
TSu TSv ,
.
2
. k
Ở đây 4
E k , )
1 3
(4)
. Chú ý rằng Như vậy, S là T thác triển trong không gian b metric ( ,
là một điểm bất động của S .
là quan hệ được xác định trong
u 1.3. Không gian b metric nón Định nghĩa 1.3.1 Cho E là tập khác rỗng và nó. Khi đó (
,E ) là phản xạ, tức là u
được gọi là tập sắp thứ tự bộ phận nếu
u
)i với mọi u E ,
,u v E .
)ii
v , với mọi
và v là phản đối xứng, tức là u u
v có tính chất bắc cầu, tức là u
u và v
, ,u v w E
w u
w
. )iii v Định nghĩa 1.3.2. Cho E là không gian tuyến tính định chuẩn đầy đủ và C là tập con khác rỗng của E . Khi đó, C được gọi là một nón khi và chỉ khi )i C đóng và
},{
C
,
ở đó là phần tử không của E .
9
a b au 0
, bv C
)ii )iii
C
(
C
và , ,u v C ) .
v
v
u C
,
v và
u
u
v
v
với mọi C
u
v tức là
K v ||
||
||
||
u
v
,u v C . 0K sao cho: ,u v C . với mọi
;
u
Sử dụng định nghĩa trên của nón C , ta định nghĩa quan hệ thứ tự bộ phận trong C thỏa mãn: )i u )ii u )iii u v Nón C được gọi là chuẩn tắc, nếu )iv
)iv gọi là hằng số chuẩn tắc của C .
Số thực dương bé nhất thỏa mãn
Nón C gọi là chính qui nếu mỗi dãy tăng và bị chặn trên đều hội tụ. Tương đương, nón C gọi là chính qui nếu mỗi dãy giảm và bị chặn dưới đều hội tụ. Mỗi nón chính qui đều chuẩn tắc, nhưng tồn tại nón chuẩn tắc mà không chính
: E E
là ánh xạ F
qui.
Định nghĩa 1.3.3. Cho E là tập khác rỗng và thỏa mãn các điều kiện sau
,u v E
u
v u v E , ,
;
( , )u v
và ( , )u v
v u ( , ),
u v E
,
;
)i )ii ( , ) u v
với
v u ( ,
w
)
),
u v ,
,
w E
)iii ( , ) u v
w v ( ,
1
: E E
F
k là hằng số. Cho (hay gọn là ( , )E ) được
,x y X
,
y với
.
u v E
u v ( , ),
,
x
v u ( , ),
u v E
,
,
)ii ( , ) u v
Khi đó ( , )E được gọi là không gian metric nón. Định nghĩa 1.3.4. Giả sử E là tập khác rỗng và là một ánh xạ. Khi đó bộ ba ( , E k , ) gọi là không gian b metric nón với hệ số k nếu: )i và ( , ) x y
10
)
k
u w
w v ( , )]
, ,u v w E
.
[ ( ,
k ), 1
)iii ( , ) u v Chú ý rằng không gian metric nón là không gian b metric nón (với nhưng ngược lại không đúng. Xét ví dụ sau:
2
với
E
, {1,2, 3, 4}
F
,
C
v
)
F
:
x
0,
y
u ( ,
0
Ví dụ 1.3.5. Lấy .
: E E
xác định bởi
F
1
v
(|
1 | )
v
Xét ánh xạ
v ,
,| u v .
u | nếu u
k
6 / 5
. Nhưng
1
( , ) u v ( , )u v Khi đó ( , )E là một không gian b metric nón có hệ số bất đẳng thức tam giác không thỏa mãn.
nếu u
1,1) (
(1, 2)
(1, 4)
(4, 2)
1 1 ( , ) 3 3
1 1 ( , ) 2 2
5 5 ( , ) 6 6
,
1, ) ( 1
(3, 4)
(3,1)
(1, 4)
1 1 ( , ) 2 2
1 1 ( , ) 3 3
5 5 ( , ) 6 6
.
1
Do đó ( , )E không là không gian metric nón. Ví dụ 1.3.6. Cho E là tập hợp các hàm đo được Lebesgue trên [0,1] sao cho
:
E E
[0,
]
2 s u | ( ) |
du
0
1
s t ( , )
s u | ( )
2 t u ( ) |
du
0
. Xét ánh xạ xác định bởi
,
s
t
)i ( , ) s t
Khi đó, thỏa mãn các tính chất sau: 0
t s ( , )
)ii ( , ) s t
t , )] ,
r
s t , ,
. E
)iii
( , ) s t
[ ( , ) s r 2
( r
k . 2
,
2
2
C
u v {( , )
F u v :
,
} 0
và ánh
Vì vậy, ( , )E là không gian b metric nón có hằng số
F ,
Ví dụ 1.3.7. Cho E ,
: E E
xác định bởi
F
xạ
11
(|
|)
u
u
v
|
, ( , ) u v
0
|, v là hằng số. Khi đó( , )E là một không gian metric nón.
trong đó
:
i
{
B
1, 2,..., }
n
n với tích
Ví dụ 1.3.8. Cho là cơ sở trực giao của
ie p . Xét không gian
0
1
n
trong (.,.) và
u x e | ( ( ),
1,2,...,
p ) |
dx
n
j
E
: [0,1]
,
với
j
p
i
0
,
[ u u ] | ]u là lớp tương đương của u đối với quan hệ của các hàm bằng nhau
n
trong đó [
F R và
n
hầu khắp nơi. Lấy
C
v e : ( ,
)
0,
j
B
j
v
1,2,...
là một nón đặc.
n
1
Định nghĩa
u v ( , )
u | ((
p )( ), ) |
dx u v E ,
,
v x e i
p
0
e i
i
1
.
, )
p thì ( 1
k
12p
pE là không gian metric nón với
pE , )
. Nếu Khi đó (
}nu
c
là
, tồn tại N sao cho
}nu
c
u khi
với mọi n N . Ký hiệu
limn
hoặc u
nu
nu
là không gian b metric nón. Định nghĩa 1.3.9. Cho ( , )E là không gian b metric nón, u E và { một dãy trong E . Khi đó )i { hội tụ đến u nếu với mỗi c E ,
c
( nu u , ) n . )ii {
, tồn tại một số tự
}nu
,n m N .
)
c
với mọi
là một dãy Cauchy nếu với mỗi c E với
u u , n
m
int
C
a
nhiên N sao cho (
là một dãy trong E . Nếu
a .
)iii ( , )E d là một không gian b metric nón đầy đủ nếu mỗi dãy Cauchy trong E đều hội tụ. Bổ đề 1.3.10. Cho C là một nón và { }nu và
nu
nu
khi n , thì N sao cho với mọi n N , ta có
12
w , thì u
v
a
u
w . . Khi đó u
a
C
Bổ đề 1.3.11. Cho
int với một số 0
. 1
u
.
và v với
C
c b
:T E E
F
1
,u v E , tồn tại
b . , sao cho
. Khi đó a với mỗi c
Tu Tv ,
u v ( , )
, ,u v w E , nếu u Bổ đề 1.3.12. Cho C là một nón và Bổ đề 1.3.13. Cho C là một nón. Nếu u C và u nào đó, thì u Bổ đề 1.3.14. Cho C là một nón và a int Định nghĩa 1.3.15. Cho ( , )E là một không gian metric và Khi đó T được gọi là ánh xạ dãn nếu với mọi ( ) Tương tự, trong không gian b metric ta có khái niệm T thác triển như sau:
.
:S E
1
Định nghĩa 1.3.16. Cho
E là tự ánh xạ của không gian b metric k . Ánh xạ S được gọi là thỏa mãn T thác triển E , nếu bất đẳng thức sau thỏa mãn:
:T E
nón ( , )E d với hằng số đối với ánh xạ đơn ánh liên tục
Tu Tv ,
TSu TSv ,
)
. (
,
u v E u
v
,
,
) . k
với mọi ( , ở đây
[0,
]
: E E
E với metric cảm sinh trong ,
Ví dụ 1.3.17. Cho
với mọi | v
u
|
,u v E và
:S E
E là
là ánh xạ xác định bởi ( , ) u v
4 ánh xạ xác định bởi Su với mọi u E . Ta sẽ chỉ ra rằng S không thỏa u
Su Sv ,
)
u v ( , )
. Ta có 1
4
4
u v 4 ( , )
, ở đó mãn điều kiện (
)
( Su Sv ,
d u v 4 ( , ) 3/4 uv )] [2(
u
v
uv
(
u
v
)
với mọi
3/4 )
uv (
1
)
Su Sv ,
. v
,
,
u v E u . Mặt khác, lấy ánh
vì
2 , thì ta có
1
4 ln
Tu
u
:T E E xác định bởi
TSu TSv ,
)
| 1
4 ln
Su
1
ln
Sv
|
( 2 ( , ) u v Như vậy S không thỏa mãn điều kiện thác triển với xạ
(
13
4
4
)
4 ln
ln
| 4 ln
u
4 ln |
v
1 2
1 Tu Tv ( , 2
u
Tu Tv ,
)
TSu TSv ,
)
v . Do đó S là T thác triển với
. Đồng 2
2 (
.
u là điểm bất động chung duy nhất trong E .
2
Suy ra ( thời
Năm 2012, Huang và Wen [3], sử dụng điều kiện thác triển, đã chứng
:T E
E là
minh các định lí sau:
1
sao cho
Định lí 1.3.18. Cho ( , )E là không gian metric nón đầy đủ và toàn ánh. Giả sử rằng tồn tại
Tu Tv ,
u v ( , )
)
,u v E .
:T E
E là
với mọi
( Khi đó T có một điểm bất động duy nhất. Định lí 1.3.19. Cho ( , )E là không gian metric nón đầy đủ và
0
,
,
thỏa mãn điều 1
với
1
2
3
1
3
2
toàn ánh. Giả sử rằng tồn tại
)
u v ( , )
u Tu ( ,
)
v Tv ( ,
)
( Tu Tv ,
1
2
3
kiện:
,u v E , u
v . Khi đó T có một điểm bất động duy nhất.
với mọi
Bây giờ, ta sẽ trình bày việc tổng quát hóa kết quả trên cho hai tự ánh xạ.
Trước tiên ta chứng minh Bổ đề sau sẽ sử dụng trong kết quả chính.
là một dãy
k sao cho
1
(0,1 / )k
, ở đó Bổ đề 1.3.20. Cho ( , )E là không gian b metric nón và { }nu trong E . Nếu tồn tại số
n
1, 2,...
u
)
,
)
( u n
, 1
n
u ( n
u n
1
với
là dãy Cauchy trong E .
n
thì { }nu Chứng minh. Bằng qui nạp ta có
)
)
u
)
)
( u
2 ( u
, 1
u n
n
( u u , n n
1
n
2
u u ( , 1
0
n
, 1
...
.
m
p 1,
, suy ra
1
)
k
)
)]
( u
[ ( u
( u
u , m p m
u , m p m p
1
, 1
m p
u m
Từ đó với các số nguyên
14
)
u
)
( k u
( k u
u , m p m p
1
, 1
m p
m
2
)
k
,
u
)
,
u
)]
,
u
( k u
[ ( u
( u
m p
m p
1
m p
1
m p
2
m p
2
m
2
2
)
k
u
)
k
,
u
)
,
u
( k u
u (
( u
m p
m p
1
, 1
m p
m p
2
m
m p
2
2
,
u
)
k
u
)
3 k d u (
,
u
)
...
( k u
( u
m p
m p
1
, 1
m p
m p
2
m p
2
m p
3
p
p
k
,
u
)
k
u
)
1 ( u
1 ( u
m
2
m
1
, 1
m
m
m p
m p
2
k
)
k
)
1
u u ( , 1
0
m
p
0 ...
k
)
k
)
2 1 p
1 m
u u ( , 1 1 ( , u u 1
0
u u ( , 1
0
m p
1
m p
2
m
1
p
p
k [
k
...
k
)
k
)
2
1
1 m
] ( , u u 1
0
u u ( , 1
0
m p
p
...
)
k
)
( / ) k
p ( / ) k
1 m
( , u u 1
0
u u ( , 1
0
2
1
m p
p
1 1
)
k
)
1 m
u u ( , 1
0
u u ( , 1
0
1
k k
p ( / ) k k ( / ) 1 p
1
/
m p
p
k
k
)
k
)
1 m
( , u u 1
0
u u ( , 1
0
k
p
m
1
1
p
1
p
(1
k
)
k
)
p
) (
u u , 1
0
1 m u u ( , 1
0
1
p
m
)
k
)
1
( u u , 1
0
( u u , 1
0
k p m
k k k
khi m với tùy ý.
c
đã cho, khi đó theo Bổ đề 1.3.10 tồn tại
0m sao cho
1
p
m
Giả sử
m m
)
k
)
c
với mỗi
1
0
( u u , 1
0
u u ( , 1
0
p m
k k
.
1
p
m
,
u
)
)
k
)
c
( u
1
m
m
p
( u u , 1
0
u u , ( 1
0
p m
k k
Như vậy
m m
0
với mọi là dãy và mỗi p bất kì. Do đó theo Bổ đề 1.3.11, { }nu
Cauchy trong ( , )E . Bổ đề được chứng minh.
15
ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG ĐỐI VỚI CÁC ÁNH XẠ DÃN TRONG
KHÔNG GIAN b METRIC VÀ KHÔNG GIAN b METRIC NÓN
CHƯƠNG 2
2.1. Điểm bất động chung đối với ánh xạ dãn trong không gian b metric Trước tiên, trong không gian metric, Daffer và Kaneko [1] đã chứng
:S E
E là
minh kết quả về điểm bất động chung sau đây:
1
E là toàn ánh, đồng thời tồn tại một số
sao cho
Định lý 2.1.1 [1]. Cho ( , )E là một không gian metric đầy đủ, đơn ánh và
,u v E .
Tu Tv ,
)
Su Sv ( ,
:T E (
) Khi đó S và T có một điểm bất động chung duy nhất . Sử dụng khái niệm ánh xạ tương thích cho một cặp ánh xạ, Rhoades [7]
, với mỗi
S T E
,
:
E
đã tổng quát hóa kết quả trên của Daffer và Kaneko, như sau:
Định lý 2.1.2 ([7]). Cho ( , )E là một không gian metric đầy đủ, là các ánh xạ tương thích thỏa mãn điều kiện
Tu Tv ,
)
)
,u v E ,
Su Sv ( ,
T E ( )
, với mỗi
trong đó T liên tục. Khi đó S và T có một điểm bất động
( và ( ) S E chung duy nhất.
Đối với không gian b metric, kết quả sau là tổng quát hóa của Định lý 1.14 ([1]) cho một cặp ánh xạ đã làm yếu đi điều kiện về tính liên tục và tính
k và 1
đầy đủ:
E k , ) E là các ánh xạ thỏa mãn
, : S T E )i ( ) S E
T E ( )
)]
là một không gian b metric với hệ số Định lý 2.1.3. Cho ( ,
)ii
)
)
( Tu Tv ,
( Su Sv ,
, (2.1)
,
v
u v E u
,
k
Su Tu )[1 ( ( Sv Tv , , , 1 Su Sv ) ( , ; ở đó 0
và k 1
.
với mọi
16
S E hoặc ( )T E là đầy đủ, thì S và T có S T là tương thích yếu, thì S và T có
)
E và chọn
E sao cho
Su
Tu
0u
1u
0
1
Nếu một trong các không gian con ( ) một điểm trùng. Hơn nữa, nếu cặp ( , một điểm bất động chung duy nhất trong E . Chứng minh. Lấy . Điều này là có
S E
( )
T E
( )
thể vì . Tiếp tục quá trình này, ta xây dựng được một dãy
E sao cho
Su
Tu
n
1, 2, 3, ...
{ }nu
1
n
n
, với mọi Để chỉ ra rằng { }nu
u
u và
v
n
u 1n
Su
Su
, 1
n
n
n
1
là một dãy Cauchy, ta đặt trong điều kiện (1.1), ta có
Tu Tu , n
n
n
n
1
Su Tu , n
1
Su Su , n n
1
1
Su Tu , 1 1 Su Tu , n n
.
)[1
Su
)]
Su Su ( , n
n
Su
)
)
Su (
, 1
n
n
Su Su ( , n
n
1
,
, 1 n )
n
1
Su ( 1 v Su Su ( n n
1
Suy ra
)
)
Su Su ( , n n
( Su Su , n n
1
1
.
Do đó
(1
Su
Su
)
)
) (
, 1
n
n
( Su Su , n
n
1
.
Từ đó suy ra
)
Su
)
( Su
( Su Su , n
n
1
, 1
n
n
, trong đó .
(0,1 / )k
k
1
và
1 . Theo Bổ đề 1.3.13, { }nu là
Dễ thấy , vì k
một dãy Cauchy. Mặt khác, bằng quy nạp, ta có
n . (2.2)
0
)
n . (
Su Su ( , n
n
) 1
Su Su , 0 1
, với mọi
,m n N ,m n , theo (2.2) ta có
)
k
)
Su
Su (
( Su Su , n
m
( Su Su , n
n
1
, 1
m
n
)
Khi đó với
17
2
,
)
)
...
Su
(
k Su Su n
n
1
n
k
2 Su ,
)
Su
( Su
, 1 n ( Su m
2
, 1
m
m
m
1
Su k ( m n 1
)
n
n
1
m n
m
2
m n
m
1
k
...
k
k
)
2
1
1
Su Su ( , 0
1
k
n
n
1
m n
m
2
1
2
1
m n m
1
n
2
1
k
k (
)
k (
...
k (
2 )
m n )
k (
m n )
)
( Su Su , 0 1
1
k ... k k ) ( Su Su , 0 k
)
0
,n m .
. (
Su Su , 0 1
nk k
khi
1 là dãy Cauchy trong ( )S E .
}nSu
Vì vậy, {
( )S E là không gian con đầy đủ của E . Khi đó tồn tại
Bây giờ giả sử
v và cả
v . Trong trường hợp, ( )T E
y
S E ( )
T E ( )
nSu
nTu
sao cho
v T E ( )
v T E ( )
}nSu
v . Nếu Su
v , thì đặt
u
đầy đủ, điều này cũng xảy ra với hội tụ đến . . Vậy {
u , v
u trong
n
(1.1), ta có
)
)
( Su Tu , 1
n
Tu Tu ( , n
Su Su ( , n
( Su Tu , n
)
Bây giờ, lấy u E sao cho Tu
)
( Su Su , n
n 1
)
1
) 1 ( Su Su , n
.
( Su u , )
Cho n , ta được
0
u Su ( ,
)
u Su ( ,
)
1
u Su ( ,
)
u u ( , ) 1
v
Tz
w
v là một với z E nào đó. Khi đó
,
Sz Tz ( ,
( Su Tu ,
)
w v ( , )
)
)
( Tz Tu ,
Sz Su ( ,
)
1
) 1 Sz Su ( ,
Từ đó, Su Tu . Do đó, v là một điểm trùng của S và T . Đối với tính duy nhất của điểm trùng, giả sử ngược lại tồn tại w điểm trùng khác của S và T , tức là Sz sử dụng điều kiện (1.1), ta có
18
w v ( , )
( , ) w v điều này là mâu thuẫn. Do đó w v . Do đó, S và T có một điểm trùng duy nhất trong E . Hơn nữa, nếu S và T là tương thích yếu, thì từ Mệnh đề 1.3.10, S và T có một điểm bất động chung duy nhất trong E . Do đó v là một điểm bất động chung duy nhất trong E . Định lí được chứng minh. Chú ý 2.1.4. Nếu đặt S I (ánh xạ đồng nhất) trong Định lý 2.1.3 ở trên, thì ta sẽ nhận được kết quả chính của Mohanta (ĐL 3.1 [5]).
k và 1
,
E k , )
S T E
,
:
E là các ánh xạ thỏa mãn các điều kiện sau đây:
i S E ) ( )
T E ( )
ii
)
)
.max
( Tu Tv ,
), (
)
Định lý 2.1.5. Cho ( , là một không gian b metric với hệ số
( Sv Tv ,
Sv Tu , )
)
( Su Sv ,
(2.3)
Su Tv , ( ( Su Tu ) 1 , 1 ( Su Sv , ) , trong đó
,
v
u v E u
,
0
,
là các hằng số thực sao cho ,
2
với mọi
k
(1
k )
k
(1
S E hoặc ( )T E là đầy đủ.
S T là tương thích yếu thì S và T có một điểm bất động chung duy
)iii Một trong các không gian con ( ) Nếu cặp ( , ) nhất trong E . Chứng minh. Lấy
và ).
E và chọn
E sao cho
Su
Tu
0u
1u
0
1
. Điều này là có
T E ( )
thể vì ( ) S E
1,2, 3,...
n
Tu
, với mọi
Su
v
1
n
n
n
. Tiếp tục quá trình này, ta xây dựng được một dãy { }nu là trong E sao cho Để chỉ ra { }nv
u
u
v , n
u 1 n
)
)}
.max{ (
), (
( Tu Tu , n n
1
Su Tu , n n
Su Tu , 1 n
n
1
Su Tu ( , n
n
n
1
)
một dãy Cauchy, ta đặt trong điều kiện (2.3), ta có
)
Su Su ( , n
n
1
Su Tu , ( 1 )
n
1
) 1 Su Su ( , n
1
n
.
19
)
Su
Su
)}
.max{ (
), (
( Su n
, 1
Su n
Su Su , n
n
, 1
n
n
1
Su
Su Su ( , n
n
)
Từ đó
)
Su Su ( , n
n
1
( Su , 1 n )
n 1
1
) 1 ( Su Su , n n
1
.
)
k
Su
Su
)
( Su n
, 1
Su n
, 1
n
n
( Su Su , n
n
1
.max 0, (
)
Suy ra
)
)
Su Su ( , n n
1
Su Su ( , n n
1
.
,
Su
)
k
Su
Su
)
)]
( Su
[ (
n
, 1
n
n
( Su Su , n
n
1
n
1
Do đó
)
)
( Su Su , n
n
1
( Su Su , n
n
1
.
Điều này kéo theo
(1
Su
,
Su
)
(
k
)
k
). (
). (
n
n
1
Su Su , n
n
1
,
1
suy ra
)
Su
Su
)
Su
Su
)
. (
. (
( Su Su , n
n
1
, 1
n
n
, 1
n
n
k k
2
1
;
k
(1
k )
k
.
1
1 k
k k
ở đây , vì và
(0,1 / )k
Hiển nhiên . Vì thế
(0,1 / )k
n
1, 2, 3...
)
,
Su
)
Su (
( Su Su , n
n
1
n
n
1
, với mọi , .
Bằng quy nạp ta nhận được
n . 0
)
( Su Su , n n
) 1
n Su Su ( , 0 1
với mọi
,m n N và m n , ta có
)
k
)
Su
Su (
( Su Su , n
m
( Su Su , n
n
1
, 1
n
m
)
2
,
)
)
...
Su
(
k Su Su n
n
1
n
k
2 Su ,
)
Su
, 1 n ( Su m
2
( Su m
, 1
m
m
1
Su k ( m n 1
)
Khi đó với
20
n
2
n
1
m n
1
m
2
m n
m
1
1
1
n
2
1
m n
m
2
1
, k ... k k ) ( Su Su , 0 k
k
...
k
k
)
k 1
n
1
m n m
( Su Su , 0
1
k
n
2
1
,vì
2 )
m n )
m n )
k k ( ... k ( k ( ) k ( Su Su , 0 1 1
)
( Su Su , 0 1
nk k
1
.
}nSu
là một dãy Cauchy trong ( )S E . Giả sử ( )S E là không gian Từ đó suy ra {
v và cả
v
S E ( )
T E ( )
nSu
v . Trong trường hợp ( )T E đầy đủ, điều này cũng xảy ra với
v T E ( )
nTu
sao cho con đầy đủ của E . Khi đó tồn tại
v . Nếu Su
v
v T E ( )
}nSu
hội tụ đến . Do đó { . Lấy u E sao cho Tu
)
max
Su Tu ,
), (
( Tu Tu , n
n
Su Tu ( , n
)
( Su Tu ,
( Su Tu , n
n
)
, thì sử dụng (2.3), ta có
Su Tu , n
)
1
) 1 ( Su Su , n
.
Su v ( , )
Cho n , ta được
v v ( , )
Su Tv ,
v Su ( ,
)
)
max 0, (
1
)
.
0
)
Su
v
( Su v , ) v Su ( , v . Như vậy, Tu
Tz
w
v v ( , ) 1 ( , v Su . , với mọi là mâu thuẫn vì 1 , Vậy Su và v là một điểm trùng của S và T . Đối với tính duy nhất của điểm trùng, ta giả sử ngược lại w là một điểm trùng với z E nào đó. Sử dụng điều kiện khác của S và T , tức là Sz (2.3), ta có
)
max
Su Tz ,
( Tz Tu ,
), (
( Sz Tu ,
)
( Sz Tz ,
( Su Tu ,
)
Do đó
)
( Sz Su ,
)
1
) 1 Sz Su ( ,
.
21
w w ( ,
v v ( , )
Suy ra
w v ( , )
max
w v ( , ), ( ,
v w
w v ( , )
)
w v ( , )
) 1
w v ( , )
1 , điều này là mâu thuẫn vì 1
, với mọi
v .
.
Do đó (1 w v ) ( , ) . Do đó w , 0 Vậy S và T có một điểm trùng duy nhất trong E . Hơn nữa, nếu S và T là tương thích yếu, thì theo Mệnh đề 1.3.10, S và T có một điểm bất động chung duy nhất trong E . Định lí được chứng minh. I (ánh xạ đồng nhất) trong Định lý 2.1.5 ở trên, thì Chú ý 2.1.6. Nếu đặt S ta sẽ nhận được kết quả chính của S. K. Mohanta (Định lý 3.1 [5]).
Chú ý 2.1.7. Trong Định lí trên chúng ta đã loại bỏ tính liên tục của ánh xạ.
Hơn nữa, tính đầy đủ của toàn bộ không gian E được thay thế bằng tính đầy đủ của một trong các không gian con. Định lý được chứng minh cho một cặp
ánh xạ, thay vì một ánh xạ.
2.2. Điểm bất động đối với điều kiện T thác triển trong không gian b metric
E k , )
:T E
E được gọi là hội
Định nghĩa 2.2.1 [4]. Cho ( , là một không gian b metric với hằng số
k và { 1
}nu
là một dãy tùy ý trong E . Ánh xạ
}nTu
}nu
cũng hội tụ. tụ theo dãy nếu dãy { hội tụ thì dãy {
Sau đây là kết quả chính thứ ba đối với ánh xạ T thác triển trong không
E k , )
:S E
E là ánh xạ liên tục thỏa mãn điều kiện T thác triển: (2.4)
gian b metric: Định lý 2.2.2. Cho ( , là một không gian b metric đầy đủ với hằng số
Tu Tv ,
)
)
, ở đây
u v E u
v
,
,
, k
k . Cho 1 ( trong đó
:T E
( TSu TSv , E là đơn ánh, liên tục và hội tụ theo dãy. Khi đó S có một
z
,
, với mọi u E .
n n T u
điểm bất động duy nhất z E và lim
22
0u là một điểm tùy ý của không gian b metric đầy đủ E . trong
Chứng minh. Lấy
E và
( )T E
E , nên có thể xây dựng hai dãy { }nu
E , được xác định bởi
Vì ( ) S E và { }nv
Su
u Su ,
u
,...,
0
u Su , 1 1
2
2
3
Su n
u n 1
Tu
v Tu ,
v
,...,
Tu
,... v
0
0
1
v Tu , 1
2
2
n
n
,…
u
v
trong (2.4),
u
u 1, n
n
là một dãy Cauchy trong E . Đặt
Ta sẽ chỉ ra { }nv ta có
)
,
)
. (
( Tu Tu , 1
n
n
TSu TSu 1
n
n
,
v
)
)
. n m
),
( v
. (
, 1
n
n
Tu Tu , n
n
1
( v v , n
n
1
suy ra
Do đó
)
s
v
)
. ( v
( v v , n
n
1
, 1
n
n
, (2.5)
s
0,1 /
k
s
1 /
trong đó , với .
là một dãy Cauchy trong E . Vì E đầy đủ, nên tồn tại
lim
lim
Tu
lim
n TS u
. w
n
v n
n
n
0
n
Theo Bổ đề 1.3.13, { }nv một điểm w E sao cho
S u {
}n
nu { }
0
Vì T là hội tụ theo dãy, nên hội tụ đến một điểm z E . Do
w . Vì TS liên tục, nên ta cũng có .
TSu
TSz
w
lim
lim
n
v 1
n
n
n
z .
0
)
w . Khi đó, (
z và Sw
,z w
Tz Tw ,
tính liên tục của T , ta có Tz
) w trong (2.4), ta có
z và v
Như vậy, ta được TSz Tz . Vì T là đơn ánh nên Sz Cuối cùng, ta sẽ chỉ ra z là điểm bất động duy nhất của S . Giả sử ngược lại, tồn tại w E sao cho w và vì T là đơn . ánh nên ( 0 Đặt u
23
)
Tz Tw ,
)
k Tz Tw
)
)
,
. k
( Tz Tw ,
. ( z . Điều này chỉ ra z là điểm bất động duy
, vì
( , ( TSz TSw Điều này là mâu thuẫn. vậy w nhất của S , trong đó
z
lim
n S u
lim
n T u
n
0
n
.
E và ánh xạ )
[1,
:d E E xác định bởi:
.
2 |
u
v
|
( , ) u v
Định lí được chứng minh. Ví dụ 2.2.3. Lấy
Su
2 /
u Tu ,
1
4 ln
xu
E k , )
1/3
Chọn . Khi đó ( , là không gian b metric
u
(4)
là điểm trùng, nếu
E
k . Điểm 2
2
với
TSu
STu
1.58...
u
=1.58...
Tu
Su
1
4 ln
u
u
[ , 1
(
)
S T là tương thích yếu. Ở đây
)
T E là đầy đủ. )
và
2
2
Do đó cặp ( , Bây giờ, kiểm tra điều kiện (2.4). Ta có
)
16 ln
u
ln
v
)
4 ln
u
ln
v
( Tu Tv ,
TSu TSv ( ,
và .
2
2
Như vậy bất đẳng thức T thác triển
u 16 ln - ln
v
)
TSu TSv ,
)
v
( Tu Tv ,
. (
4 . ln - ln u
.
2
k
u v E , vớiu ,
v . Ở đây4
. Do đó tất cả các
1/3
thỏa mãn với mọi
u
(4)
. 1.58. .
điều kiện của Định lý 2.2.1 được thỏa mãn và là điểm bất
[1,
: E E
u
v
|
|
bởi ( , ) u v
E với metric cảm sinh trong . Định nghĩa metric ) . Khi đó ( , )E là một không gian metric.
động chung duy nhất của S và T . Ví dụ 2.2.4. Lấy
Su
4 /
u
,
. Ta sẽ chỉ ra S là ánh xạ không dãn. Thật vậy, ta u E
Lấy
có
24
4
4
u v 4 ( , )
)
( Su Sv ,
u v 4 ( , ) 3/4 2.( uv )
u
v
uv
(
u
v
)
khi và chỉ khi
uv (
3/4 )
1,
u v E u
,
,
. v
Su Sv ,
)
u v 2 ( , )
. 2 1
, với (
E xác định bởi
:T E
Tu
1
4 ln
u
TSu TSv ,
)
1
4 ln(
Su
)
1
4 ln(
Tv
)
Do đó S là ánh xạ không dãn đối với Mặt khác, lấy , thì ta có
4
4
4 ln
ln
4
ln
u
ln
v
1 2
1 2
u
v
(
4 ln
u
4 ln
v
1
4 ln
u
1
4 ln
v
Tu Tv ( ,
)
1 2
1 2
1 2
)
)
Tu Tv ,
2 (
.
2
. Suy ra S là T thác triển. Vậy S là ánh xạ u là điểm bất động
k . Giả 1
do đó ( TSu TSv , không dãn nhưng nó là ánh xạ T thác triển. Ngoài ra chung duy nhất của S và T trong E . 2.3.Điểm bất động chung đối với ánh xạ dãn trong không gian b metric nón
E k , )
là không gian b metric nón với hệ số
S T E
,
E là hai ánh xạ thỏa mãn bất đẳng thức dãn:
Định lí 2.3.1. Cho ( , sử
Tu Tv ,
)
)
Su Tu ,
)
)]
: (
( Su Sv ,
[ (
( Sv Tv ,
(2.6)
1
2
u v E u
,
,
v
0,
, 0
và
1 k
, trong đó 1
1
0
T E ( )
với mọi ;
. Nếu ( ) S E
)S T là tương thích yếu thì S và
và một trong ( )S E hoặc ( )T E là đầy đủ thì S
T E ( )
E . Vì ( ) S E
E sao cho
0u
1u
và T có một điểm trùng. Hơn nữa nếu cặp ( , T có một điểm bất động chung duy nhất trong E . Chứng minh. Chọn , nên tồn tại
Su
Tu
Su
Tu
. Khi đó với
v
0
1
1v , tức là
0
1
1
1u
. Gọi giá trị chung này là
25
E sao cho
Su
Tu
. Tiếp tục lập luận như trên, ta được
v
2u
1
2
2
tồn tại
v
Su n
Tu n
1
n
1
. (2.7)
u
u v ,n
u 1 n
v n
v 1 n
( , v v n n
) 1
u Tu ,
)
)
)
) ]
( T
[
n
n
1
( Su Su , n n
( Su Tu , n n
( Su T , 1 n
u n
1
1
Chọn , thì . Đặt trong (2.6), ta có
)
)
)
,
v
) ]
[
v (
( v v , n n
1
( v n
, 1
v n
2
, 1
v n
n
( v n
2
n
1
tức là
hay
(1
)
)
v v ) ( , n n
1
) ( v n
, 1
v n
2
(
(2.8)
u
v
trong (2.7), ta nhận được bất đẳng thức giống
1, u n
u n
Tương tự, đặt
,
v
)
)
như trong (2.8). Như vậy, ta có
v (
n
2
n
1
( v v , n
n
1
1
với mọi n . (2.9)
0
0
và 1
, nên ta có 1
k
(1
)
1 k
Vì ; Mặt khác ta có
k
k
k
k , 0
1
0,
1 k
có hiệu lực. điều này là đúng. Như vậy 1
,
y
)
,
)
s
0,
( y
n
2
n
1
( s y y n
n
1
1 k
1
, ta có Đặt với mọi n .
là dãy Cauchy trong E . Hơn nữa, nếu
S E ( )
T E ( )
z T E ( )
nv
hội tụ đến . Khi đó theo Bổ đề 1.3.25, { }nv , mà ( ) S E
T E ( )
z T E ( )
nv
Tương tự, nếu hội tụ đến . , ( )T E đầy đủ thì { }nv và ( )T E là đầy đủ thì { }nv
26
z T E ( )
hội tụ đến .
Tu
Su
v
z Tu T E ( )
n
n
n
lim n
lim n
n
u
u trong (2.6), ta
0
Như vậy, trong cả hai trường hợp đều có { }nv với u X . Ta có Lấy z Tu . (2.10) lim
z . Thật vậy, giả sử ( ,
d z Su . Đặt )
n
Ta sẽ chỉ ra Su
có
u
)
u
,
S
u
)
Su
T ,
u
)
u Tu ,
)
( S
[ (
( S
Tu T , n
n
n
n
. (
)
z z [ ( , )
, )]
( , z Su
( Su z
Cho n và sử dụng (2.10) ta được
) ( ,
z Su
)
z . Như vậy u
( là điểm trùng của ( ,
)S T .
tức là , điều này là mâu thuẫn. Do đó Su
z
S E ( )
S X là đầy đủ. Khi đó { }nv
hội tụ đến và Lập luận tương tự, nếu ( )
Su
Su . Vậy trong cả hai trường hợp, u E đều là điểm trùng
như trong (2.10). Bất đẳng thức , thay cho z Tu
)S T . Điều này đã chứng minh phần đầu tiên của định lí.
trong (2.6), ta có
z u ,
u
y
ta có thể sử dụng z (2.6) sẽ cho z của ( ,
d z Sz
)
. Khi đó đặt
n
Hơn nữa, nếu cặp ( , )S T là tương thích yếu, thì STu TSu , hoặc Sz Tz . Ta sẽ chỉ ra rằng z là điểm bất động chung của S và T . Thật vậy, giả sử ngược lại ( ,
z
)
u
,
S
z
)
Su
T ,
z
)
z Tu ,
)
( S
[ (
( S
Tu T , n
n
n
n
. (
z Sz
)
)
z Sz
)
z , )]
( , z S z
[ ( ,
Sz (
,
Cho n và sử dụng (2.10) ta được ( , tức là
(1
Sz
)
)
z ) ( ,
) (z S z ,
(
,
z Sz
)
1
, 0
hay
vì ( , 1
27
z . Do đó z là điểm bất
1
z . Khi đó ( , ) w z
. Như vậy Sz điều này mâu thuẫn với 1
động chung của S và T . Đối với tính duy nhất của z , ta giả sử tồn tại w là một điểm bất động chung khác của S và T , w . Đặt 0 z trong (2.6), ta có
Tw Tz ,
)
w Sz ,
)
Sw Tz ,
)
)]
( S
[ (
( T , Sz w
w và v u ( tức là
w z [ ( , )
( w z , )
w z ( , )]
1
, 0
,
vì ( , ) w z ( , ) w z hay 1
z . Do đó z là điểm bất
1
I thì Định lí 2.3.1 trở thành hệ quả sau đây: k . 1
. Như vậy w điều này mâu thuẫn với 1
là không gian b metric nón với hằng số
, ) E k E là ánh xạ thỏa mãn:
:T E
động chung duy nhất của S và T . Định lí được chứng minh. Nếu S là ánh xạ đồng nhất, S Hệ quả 2.3.2. Cho ( , Giả sử
)
u v ( ,
)
[ ( ,
u Tu
)
)]
u v E u
,
,
, (2.11)
v
( Tu Tv ,
( v Tv ,
,
2
1
1
0,
, 0
và
. Nếu T là toàn ánh
1 k
; ở đó 1
0
k . 1
ta nhận được hệ quả sau: là không gian b metric nón với hằng số
E k , )
và ( )T E là đầy đủ, thì T có một điểm bất động duy nhất trong E . Thay đổi S và T lẫn nhau và lấy
S T E
:
,
E là các ánh xạ thỏa mãn:
Hệ quả 2.3.3. Cho ( , Giả sử
u v E u
,
,
, (2.12)
v
S v
)
)
( Su ,
( Tu , T v . Nếu
,
1, 1 /
(0,1 / )k
T E ( )
S E ( )
ở đó và một trong các không gian
con ( )T E hoặc ( )S E là đầy đủ, thì S và T có một điểm trùng. Hơn nữa, nếu
28
)S T là tương thích yếu, thì S và T có một điểm bất động chung duy
)S T là cần thiết trong Định lí 2.3.1,
cặp ( , nhất trong E . Chú ý. Tính tương thích yếu của cặp ( , như chỉ ra trong ví dụ sau đây:
F C
1([0,1],
C
F
:
)
0 ,
t
[
1 0, ] }
, )
{
( t
Ví dụ 2.3.4. Lấy ,
: E E
xác định bởi
F
E
[0,1]
và
| u
v
2 |
( , ) u v
t
,
e
C là hàm cố định cho bởi ( ) t
.
t
trong đó
1
e
t
[0,1]
te với mọi
1
. Ta có
| u
u | (
w (
w
)
v
2 ) |
u v ( , )
2 v |
{
|
u w
|
w
v
2 |
u
w
| . |
w
v
|
2 |
2 |
}
{
|
u
w
|
w
v
(|
u w
|
w v
2 |
2 |
2 |
2 |
}
2 (|
u w
2 |
|
w
v
2 | )
w
)
,
v
( w
2 ( , u
) .
Vì , nên là b metric với ( ) t
k . 2
là không gian b metric nón với hằng số
, ) E k E là các ánh xạ xác định bởi
S T E
,
:
Su và 1
Tu
với mọi u E .
u
1
u 2
Như vậy ( , Lấy
S E ( )
T E (
)
[0,1]
.
)S T có điểm trùng
u vì 0
1 2
,1
. Nhưng nó không là tương thích yếu vì
1
Su Tu
STu
1 S
1 / 2
TSu T
1
. 0
v .
Ta có Cặp ( ,
Ta sẽ kiểm tra bất đẳng thức trên cơ sở điều kiện , và b ; đối với u Chú ý rằng,
29
)
| u
v
Su Sv ,
)
2 |
|
u v -
2 |
Tu Tv ( ,
, (
,
1 4
)
|
u
2 |
)
|
v
2 |
Su Tu ( ,
( Sv Tv ,
1 4
1 4
và .
|
u
v
2 |
|
u
v
2 |
(|
u
2 |
|
v
2 | )
.
.
,
1 4
1 4
Do đó, bất đẳng thức (2.6) cho ta
tức là
(1
) |
u
v
2 |
(|
u
2 |
|
v
2 | )
0
1 4
1 4
vì
(|
u
2 |
|
v
2 |
2 |
u
| . |
v
|)
1 4
.
(1
) |
u
v
2 |
|
u
. (2.13)
2 |
v
1 4
1 4
Do đó
Xét ba trường hợp sau đây:
u
|
0, |
v
|
. Khi đó (2.13) trở thành
0
u
v 0,
, tức là |
0
. |
v
2 |
v
4.
2 |
. . |
1 4
1 4
1
Trường hợp 1.
u
|
v 0,|
|
. Khi đó (2.13) trở thành
0
u
v 0,
, tức là |
0
u
2 |
. |
u
|
2 |
4.
.
1 4
1 4
1 v . Giả sử ngược lại u
v với u E nào đó, khi đó sử
Trường hợp 2.
Trường hợp 3. u dụng (2.6), ta được
|
u
v
2 |
|
u
v
2 |
(|
u
2 |
|
v
2 |
.
.
)
1 4
1 4
,
suy ra
30
0
|
v
u
2 |
(|
2 | )
.
,
1 4 ,u v E bất kì. Như vậy với mọi u
v , bất
điều này không đúng đối với
)
S T không tương thích yếu. Do đó điều kiện tương Bây giờ, chú ý rằng cặp ( , thích yếu trong Định lí 2.3.1 là không thể bỏ qua. Đó là điều kiện cần trong
đẳng thức (2.6) đều xảy ra.
định lí này.
Ví dụ 2.3.5. Cho ( , )E là không gian b metric nón như trong Ví dụ 2.3.4.
u E
[0,1]
S T E
:
,
E xác định bởi
Su ,
u 4
u Tu với mọi 2
Giả sử .
Khi đó
0,
S E ( )
T E ( )
0,
1 4
1 2
u , ở đó nó có một điểm trùng. S T là tương thích yếu tại
)
u Cặp ( , 0 0 là điểm bất động chung duy nhất của S và T . Xét các trường hợp sau đây: Trường hợp 1. u
v , ta có
2
)
u v ( , ),
( Tu Tv ,
u 2
v 2
1 4
2
)
( Su Sv ,
. ( , ), u v
u 4
v 4
1 16
2
)
u ( , 0),
( Su Tu ,
u 2
u 4
1 16
2
.
)
v ( , 0)
( Sv Tv ,
v 2
v 4
1 16
.
Do đó từ (2.6), ta có
( , ) u v
.
( , ) u v
( , 0) u
( , 0) v
1 6 1
1 1 6
1 4
,
31
t
tức là
u v ( , )
u ( , 0)
t , 0
( , 0) , v
u v . ( , )
,
.
u 2 ( , 0)
vì ( ) 4 ( , ) u v
u v ( , ) 2 Suy ra 2
8.
Trường hợp 2.
u
v 0,
( , 0) . v , ta có
0
2
2
)
x
Su Sv ,
)
x
,
( Tu Tv ,
, (
16
2
)
x
Sv Tv ,
)
0.
( Su Tu ,
, (
4 16
vì ( , ) u v
u
4.
2 u . 16
Do đó từ (2.6), ta có
v
u 0,
2 2 u . 4 16 , ta có
0
v
)
Su Sv ,
)
,
( Tu Tv ,
, (
2 v 16
)
Sv Tv ,
)
0.
( Su Tu ,
, (
2 4 2 v 16
Trường hợp 3.
v
4.
2 4
2 v 16
2 v 16 Do đó Định lí 2.3.1 có hiệu lực.
Do đó từ (2.6), ta có
là một không gian b metric nón đầy đủ với hằng 2.4. Điểm bất động đối với điều kiện T thác triển cho ánh xạ dãn trong không gian b metric nón Định lí 2.4.1. Cho ( ,
k và 1
E k , ) E là một ánh xạ liên tục thỏa mãn điều kiện T thác
:S E
số
triển:
(2.14)
:T E
) E là ánh xạ đơn ánh liên
k
,u v E , u
( Tu Tv , ) ( TSu TSv , , trong đó v ,
với mọi
32
tục và hội tụ theo dãy. Khi đó S có điểm bất động duy nhất z X và
n
lim n T u với mọi u E . z
E tùy ý. Ta xây dựng hai dãy {
0u
}nu
Chứng minh. Lấy trong E , và { }nv
xác định bởi:
Su
,...,
0
u Su , 1 1
u 2
Su n
u n 1
,…
và
v
Tu
v
Tu
0
Tu v , 0
1
,..., 1
n
n
,…
v
Tu
Tu
với r , thì
v 1r
r
1r
r
Su
u .
r
r
u r
1
u r
Su r
1
u r
Chú ý rằng, nếu . Vì T là đơn ánh, nên
ru là điểm bất động của S . Vì thế ta giả sử
v 1n
, với n .
v n
Như vậy
u
v
trong (2.14), ta có
u
1, u n
n
Đặt
,
)
)
( Tu Tu 1
n
n
( TSu TSu , 1
n
n
,
)
)
),
n m
,
( v
, 1
v n
n
( Tu Tu , n
n
1
( v v , n
n
1
tức là
hay
)
s
)
s
(0,1)
s
( , v v n n
1
. ( v n
, 1
v n
1 với
, ở đó
là dãy Cauchy trong E .
2
n
Bây giờ ta sẽ chỉ ra rằng { }nv Bằng qui nạp với điều kiện (2.14), ta có
)
,
)
s
s
)
)
( v n
, 1
v n
( s v v n
n
1
( v n
, 1
( , v v 1
0
v n
.
2 , ta có
1
m
p 1,
)
k
)
)]
( v v , m p m
[ ( v v , m p m p
1
v ( m p
, 1
v m
)
k
)
vk (
v , m p m p
1
( v m p
, 1
v m
Khi đó với các số nguyên dương
33
2
k
)
k
)
,
)
]
v (
( v
v , m p m p
1
[ ( v m p
, 1
v m p
2
m p
2
v m
2
2
k
)
k
v
)
k
,
)
v (
( v
( v
v , m p m p
1
, 1
m p
m p
2
m p
2
v m
3
2
k
)
k
v
)
k
,
v
)
v (
( v
( v
v , m p m p
1
, 1
m p
m p
2
m p
2
m p
3
p
p
1
k
,
v
)
k
v
)
( v
1 ( v m
2
m
1
, 1
m
m
m p
m p
2
m p
3
ks
,
v
)
2 k s
v
)
3 k s
v
)
( v
1 ( v 1
0
( v , 1
0
, 1
0
p
m
1
m
p
k
1 s
,
v
)
k
1 s
v
)
( v 1
0
( v , 1
0
m p
1
m p
2
m p
3
ks [
2 k s
3 k s
+
p
m
1
m
p
k
1 s
v
)
k
1 s
v
)
]
v ( , 1
0
v ( , 1
0
p
1
)
m
p
m
p
ks
/
s
k
1 s
)
vv ( , 1
0
v v ( , 1 0 k s
k
1 .
)
p m
1
p
m
k s
k
1 s
v
)
.
( , v 1
0
( , v v 1 0 s k
)
1
p
m
.
k
p m s
.
k
1 s
v
)
c
. Chú ý rằng
v ( , 1
0
( , v v 1 0 s k
Lấy khi n
0m sao cho
)
p
m
1
p m
k
1 s
v
)
.
k s
c
v ( , 1
0
v v ( , 1 0 k s . Như vậy, ta có
với k bất kì. Theo Bổ đề 1.3.10, tồn tại
m m
0
p m
1
m
p
)
)
k
1 s
v
)
c
v (
v , m p m
. ( , v v 1
0
( , v 1
0
k s k
với mọi
m m
s và p tùy ý.
0
với mọi
E k , )
là dãy Cauchy trong ( , . Hơn nữa, vì E
Do đó theo Bổ đề 1.3.11, { }nv là không gian đầy đủ, nên tồn tại một điểm w E sao cho
n
0
n
Tu lim n TS u . w v n lim n lim n
34
S u {
}n
nu { }
0
w . vì TS liên tục , nên ta có
hội tụ đến một điểm z E . Do tính Vì T hội tụ theo dãy, nên
w
v
TSu
TSz
.
n
1
n
lim n
lim n
0
)
. Khi đó
w w ,
Sw
z
z . Ta sẽ chỉ ra Như vậy ta được TSz Tz . Vì T là đơn ánh nên suy ra Sz rằng z là điểm bất động duy nhất của S . Giả sử ngược lại, tồn tại w E sao . Vì T là đơn ánh nên ta có cho
z w ( ,
)
. 0
( Tz Tw ,
liên tục của T , ta có Tz
u
z v ,
trong (2.14), ta có
w
Tz Tw ,
TSz TSw ,
Tz TSw ,
Đặt
. 1
Tz Tw ,
Tz Tw , z . Vậy z là điểm bất động duy nhất của điều này là mâu thuẫn. Như vậy w
S , trong đó
z
n S u
n T u
, vì
0
lim n
lim n
. Định lí được chứng minh đầy đủ.
35
KẾT LUẬN
Luận văn đã trình bày:
- Một số khái niệm và tính chất cơ bản của không gian b metric và không gian b metric nón, khái niệm về ánh xạ dãn, ánh xạ thỏa mãn điều kiện T thác triển.
- Một số kết quả về điểm bất động chung đối với các ánh xạ dãn trong
không gian b metric (Định lí 2.1.3 và Định lí 2.1.5). - Kết quả về điểm bất động đối với điều kiện T thác triển trong không gian b metric (Định lí 2.2.2). - Một số kết quả về điểm bất động chung đối với ánh xạ dãn trong không gian b metric nón (Định lí 2.3.1, Hệ quả 2.3.2, Hệ quả 2.3.3). - Kết quả về điểm bất động đối với điều kiện T thác triển cho ánh xạ dãn trong không gian b metric nón (Định lí 2.4.1).
36
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. Daffer P.Z., Kaneko H., (1992), “On expansive mappings”, Math.
Japonica, 37, 733-735.
[2]. Daheriya R.D., Likhitker M.R., Ughade M. (2016), “Some theorems on
fixed points & common fixed points of expansive type mappings in b-
metric spaces”, Open Journal of Applied & Theor. Math. (OJATM) 2(2),
65-78, ISSN: 2455-7102
[3]. Huang X., Zhu C., Wen X., (2012), “Fixed point theorems for expanding
mappings in cone metric spaces”, math. reports 14(64), 2, 141–148.
[4]. Lukarevski M., Malčeski S., (2016), “Sequentially convergent mapping
and common fixed foint of mapping in 2-Banach spaces”, Математички
Билтен Vol. 40(LXVI) No. 3, 13-22.
[5]. Mohanta S.K. (2016), “Coincidence points and common fixed points for
expansive type mappings in b-metric spaces”, Iran. Jour. Math. Scien &
Informat. 11(1), 101-113, DOI: 10.7508/ijmsi.2016.01.009
[6]. Öztürk M., Kaplan N. (2014), “Common fixed points of f-contraction
mappings in complex valued metric spaces”, Math. Sci. 8.129.
doi:10.1007/s40096-014-0129-2.
[7]. Rhoades B.E. (1993), “An expansion mapping theorem”, Jnanabha 23,
151- 152.
[8]. Verma R.K., (2016), “Fixed point for expansion mappings in cone b metric space”, Mayfeb. Jour. Math. - ISSN 2371-6193.Vol 3, 37-47.
[9]. Verma R.K., (2016), “Common fixed point for expansion type mappings
in cone b metric space”, Mayfeb. Jour. Math. - ISSN 2371-6193.Vol 3, 37-47.
37
