Định giá p-adic và ứng dụng

Chia sẻ: AtaruMoroboshi _AtaruMoroboshi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:14

Thêm vào BST

Báo xấu

32
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết "Định giá p-adic và ứng dụng" xem xét một số ứng dụng của định giá p-adic vào giải quyết các bài toán số học liên quan và định giá p−adic của số tự nhiên n. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Định giá p-adic và ứng dụng

Hội thảo khoa học, Ninh Bình 15-16/09/2018 ĐỊNH GIÁ p-ADIC VÀ ỨNG DỤNG Phan Ngọc Toàn Trường THPT Số 1 An Nhơn Bình Định Tóm tắt nội dung Trong bài viết này, ta xem xét một số ứng dụng của định giá p-adic vào giải quyết các bài toán số học liên quan. 1 Kiến thức cơ sở Định nghĩa 1. Số v p (n) được ký hiệu cho số mũ của p trong phân tích tiêu chuẩn của n và quy ước v p (n) = 0 khi p không là ước của n. Số v p (n) được gọi là định giá p − adic của số tự nhiên n. Tính chất 1. Cho x, y, z là các số nguyên. Khi đó (1) v p ( xy) = v p ( x ) + v p (y) . (2) v p ( x n ) = n.v p ( x ) . (3) v p ( x + y) > min { v p ( x ) , v p (y) } . Dấu “=” xảy ra⇔ v p ( x ) 6= v p (y) . (4) v p (gcd (| x | , |y| , |z|)) = min { v p ( x ) , v p (y) , v p (z) } . (5) v p (lcm (| x | , |y| , |z|)) = max { v p ( x ) , v p (y) , v p (z) } . (6) x = y khi và chỉ khi υ p ( x ) = υ p (y), ∀ p ∈ ℘. Bổ đề 1. Cho x, y là các số nguyên (không nhất thiết nguyên dương) và n là một số nguyên dương. Cho p là số nguyên tố bất kỳ (đặc biệt, có thể p = 2) sao cho p| x − y và (n, p) = ( x, p) = (y, p) = 1. Khi đó v p ( x n − yn ) = v p ( x − y) . 152
Hội thảo khoa học, Ninh Bình 15-16/09/2018 Bổ đề 2. Cho x, y là các số nguyên (không nhất thiết nguyên dương) và n là một số nguyên dương lẻ. Cho p là số nguyên tố bất kỳ (đặc biệt, có thể p = 2) sao cho p| x + y và (n, p) = ( x, p) = (y, p) = 1. Khi đó v p ( x n + yn ) = v p ( x + y) . Định lý 1. Cho x và y là các số nguyên (không nhất thiết phải nguyên dương), n là một số nguyên dương và p là một số nguyên tố lẻ sao cho p| x − y và ( x, p) = (y, p) = 1. Khi đó v p ( x n − yn ) = v p ( x − y) + v p (n) . Định lý 2. Cho x, y là hai số nguyên, n là một số nguyên dương lẻ và p là số nguyên tố lẻ sao cho p| x + y và ( x, p) = (y, p) = 1. Khi đó v p ( x n + yn ) = v p ( x + y) + v p (n) . Định lý 3. Cho x và y là hai số nguyên lẻ sao cho 4|( x − y). Khi đó v2 ( x n − y n ) = v2 ( x − y ) + v2 ( n ) . Định lý 4. Cho x, y là hai số nguyên lẻ và n là một số nguyên dương chẵn. Khi đó v2 ( x n − yn ) = v2 ( x − y) + v2 ( x + y) + v2 (n) − 1. Hệ quả 1. Cho x và n là các số nguyên dương. Khi đó (1) Nếu p > 2 là số nguyên tố sao cho v p ( x − 1) = α ∈ N∗ thì với mọi β ∈ N, ta có v p ( x n − 1) = α + β ⇔ v p (n) = β. (2) Nếu n chẵn sao cho v2 x2 − 1 = α ∈ N thì với mọi β ∈ N∗ , ta có v2 ( x n − 1) = α + β ⇔ v2 (n) = β + 1. Định lý 5 (Legendre). Cho p nguyên tố. Khi đó, ta có công thức: +∞ n − s p (n) n v p (n!) = ∑ i = . i =1 p p − 1 j k j k n n Chứng minh. Trong đẳng thức đầu tiên, ta thấy rằng có đúng pi − p i +1 số m thỏa s mãn điều kiện v p (m) = i, còn trong đẳng thức thứ hai, ta viết lại n = ∑ ni pi thì dễ i =0 j k s n thấy p j = ∑ ni p .i − j i= j 153
Hội thảo khoa học, Ninh Bình 15-16/09/2018 Khi đó ta có ! s s s s i −1 n ∑ pj = ∑ ∑ ni pi − j = ∑ ni ∑ p j j =1 j =1 i = j i =1 j =0 s pi −1 n − s p (n) = ∑ ni p − 1 = p−1 . i =1 Định lý được chứng minh. Định lý 6. Với p là số nguyên tố và n ∈ Z+ thỏa mãn điều kiện pm ≤ n < pm+1 với m ∈ N. Giả sử k ∈ N thỏa mãn điều kiện k ≤ n. Khi đó m n−k n n k vp =∑ j − j − j . k j =1 p p p Định lý 7(Kummer). Cho 1 ≤ k ≤ n là 2 số nguyên dương, p là một số nguyên tố. n Khi đó v p k bằng số lần nhớ khi thực hiện phép cộng k và n − k trong hệ cơ số p. Chứng minh. Ta có s p (k) + s p (n − k) − s p (n) n vp k = v p ( n! ) − v p ( k! ) − v p (( n − k ) ! ) = . p−1 m Đặt s p (n) = ∑ at . Do n > n − k, n > k nên ta hoàn toàn có thể biểu diễn s p (k ) = t =0 m m ∑ bt và s p (n − k ) = ∑ ct . Ta sẽ thể hiện các lần nhớ bằng các αi ∈ {0, 1} như sau: t =0 t =0 b0 + c0 = a0 + α1 p, bi + ci + αi = ai + αi+1 p, bm + cm + αm = am . m Từ đó dễ thấy s p (k ) + s p (n − k ) − s p (n) = ( p − 1) ∑ αi / Suy ra i =1 s p (k) + s p (n − k) − s p (n) m n vp k = p−1 = ∑ αi . i =1 Chứng minh hoàn tất. n Nhận xét 1. Dạng tương đương của định lý Kummer: v p k bằng số lần thực hiện nhớ khi thực hiện phép trừ n trừ đi k trong hệ cơ số p. 154
Hội thảo khoa học, Ninh Bình 15-16/09/2018 2 Các ví dụ minh họa Trước hết ta ứng dụng định giá p − adic vào giải một số ví dụ đặc trưng cho phương pháp này. Bài toán 1. Cho a, b, c là ba số nguyên dương thỏa mãn điều kiện c(ca + 1)2 = (2c + b) (3c + b) . Chứng minh rằng c là một số chính phương. Lời giải. Điều kiện bài toán tương đương với c(ca + 1)2 = 6c2 + 5bc + b2 . Suy ra c|b2 . Gọi p là ước nguyên tố của c ta có c|b2 ⇒ v p (c) 6 v p b2 ⇒ v p (c) 6 2v p (b) (1). Giả sử rằng v p (c) 6 v p (b). Do gcd (ca + 1, c) = 1 nên v p (ca + 1) = 0. Suy ra v p (c) = v p (2c + b) + v p (3c + b) > 2v p (c) , vô lý. Do đó v p (b) < v p (c). Điều này dẫn đến v p (c) = v p (2c + b) + v p (3c + b) > 2v p (b) (2). Từ (1) và (2), suy ra v p (c) = 2v p (b). Như vậy, mọi lũy thừa trong khai triển c đều là số chẵn hay c là một số chính phương. Bài toán 2. Giả sử a, b ∈ N∗ thỏa mãn điều kiện a
b2 , b3
a4 , a5
b6 , b7
a8 , . . . Chứng
minh rằng a = b. Lời giải. Từ giả thiết suy ra a4n+1
b4n+2 , ∀n ∈ N và b4n+3
a4n+4 , ∀n ∈ N. Ta sẽ chứng
minh υ p ( a ) = υ p ( b ). Từ giả thiết a4n+1
b4n+2 , ∀n ∈ N, ta thu được
4n + 2 υ p ( a) ≤ υ p (b), ∀n ∈ N, 4n + 1 155
Hội thảo khoa học, Ninh Bình 15-16/09/2018 suy ra 4n + 2 υ p ( a) ≤ lim υ p (b) ⇒ υ p ( a) ≤ υ p (b)(1) n→+∞ 4n + 1 Tương tự, từ b4n+3
a4n+4 , ∀n ∈ N suy ra