Định lý và áp dụng biến phức

Chia sẻ: Up Up | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:415

Thêm vào BST

Báo xấu

261
lượt xem 86
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nội dung được biên soạn trình bày về: số phức và biến phức, lịch sử và các dạng biểu diễn, tính toán trên số phức và biến phức, một số ứng dụng của số phức trong đại số, số phức trong các bài Toán số học và tổ hợp, số phức và ứng dụng trong hình học, số phức và lời giải của phương trình sai phân.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Định lý và áp dụng biến phức

Đ I H C QU C GIA HÀ N I TRƯ NG Đ I H C KHOA H C T NHIÊN ============================= Nguy n Văn M u (Ch biên), Tr n Nam Dũng Đinh Công Hư ng, Nguy n Đăng Ph t T Duy Phư ng, Nguy n Th y Thanh BI N PH C Đ NH LÝ VÀ ÁP D NG HÀ N I 2009
Đ I H C QU C GIA HÀ N I TRƯ NG Đ I H C KHOA H C T NHIÊN ============================= Nguy n Văn M u (Ch biên), Tr n Nam Dũng Đinh Công Hư ng, Nguy n Đăng Ph t T Duy Phư ng, Nguy n Th y Thanh BI N PH C Đ NH LÝ VÀ ÁP D NG HÀ N I 2009
M cl c L i nói đ u 8 1 S ph c, bi n ph c l ch s và các d ng bi u di n 11 1.1 L ch s hình thành khái ni m s ph c . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2 Các d ng bi u di n s ph c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.2.1 Bi u di n s ph c dư i d ng c p . . . . . . . . . . . . . 17 1.2.2 Bi u di n s ph c dư i d ng đ i s . . . . . . . . . . . . 21 1.2.3 Bi u di n hình h c c a s ph c . . . . . . . . . . . . . . 22 1.2.4 Bi u di n s ph c nh ma tr n . . . . . . . . . . . . . . 24 1.2.5 D ng lư ng giác và d ng mũ c a s ph c . . . . . . . . . 25 1.2.6 Bi u di n các s ph c trên m t c u Riemann . . . . . . . 27 Kho ng cách trên C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.2.7 1.3 Bài t p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2 S ph c và bi n ph c trong lư ng giác 36 2.1 Tính toán và bi u di n m t s bi u th c . . . . . . . . . . . . . 36 2.2 Tính giá tr c a m t s bi u th c lư ng giác . . . . . . . . . . . 43 2.3 D ng ph c c a b t đ ng th c Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.4 T ng và tích sinh b i các đa th c lư ng giác . . . . . . . . . . . 54 2.4.1 Ch ng minh công th c lư ng giác . . . . . . . . . . . . . 56 2.4.2 T ng và tích các phân th c c a bi u th c lư ng giác . . 64 4
M CL C 5 2.5 B t đ ng th c lư ng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 2.6 Đ c trưng hàm c a hàm s lư ng giác . . . . . . . . . . . . . . 76 2.7 Bài t p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 3 M ts ng d ng c a s ph c trong đ i s 88 3.1 Phương trình và h phương trình đ i s . . . . . . . . . . . . . . 88 3.1.1 Phương trình b c hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 3.1.2 Phương trình b c ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 3.1.3 Phương trình b c b n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 3.1.4 Phương trình b c cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 3.1.5 Các bài toán v phương trình, h phương trình đ i s . . 109 3.2 Các bài toán v đa th c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 3.2.1 Phương trình hàm trong đa th c . . . . . . . . . . . . . 111 3.2.2 Các bài toán v đa th c b t kh quy . . . . . . . . . . . 120 3.2.3 Bài toán v s chia h t c a đa th c . . . . . . . . . . . . 135 3.2.4 Quy t c d u Descartes trong ng d ng . . . . . . . . . . 136 3.3 Phương trình hàm v i bi n đ i phân tuy n tính . . . . . . . . . 144 3.3.1 M t s tính ch t c a hàm phân tuy n tính . . . . . . . . 145 3.3.2 Đ ng c u phân tuy n tính. . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 3.3.3 Phương trình hàm sinh b i hàm phân tuy n tính . . . . 160 3.4 Bài t p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 4 S ph c trong các bài toán s h c và t h p 166 4.1 Gi i phương trình Diophant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 4.2 Rút g n m t s t ng t h p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 4.3 Các bài toán đ m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 4.4 S ph c nguyên và ng d ng trong lí thuy t s . . . . . . . . . . 172 4.4.1 Tính ch t chia h t trong t p các s ph c nguyên . . . . 174
6 M CL C 4.4.2 S nguyên t Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 4.4.3 M t s áp d ng s ph c nguyên . . . . . . . . . . . . . . 185 4.5 Bài t p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 5 M ts ng d ng c a s ph c trong hình h c 192 5.1 Mô t m t s k t qu c a hình h c ph ng b ng ngôn ng s ph c193 5.1.1 Góc gi a hai đư ng th ng . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 5.1.2 Tích vô hư ng c a hai s ph c . . . . . . . . . . . . . . . 194 5.1.3 Tích ngoài c a hai s ph c. Di n tích tam giác . . . . . . 195 5.1.4 Đư ng tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 5.1.5 Mô t các phép bi n hình ph ng b ng ngôn ng s ph c 196 5.1.6 Đi u ki n đ ng quy, th ng hàng, vuông góc và cùng n m trên m t đư ng tròn (đ ng viên) . . . . . . . . . . . . . 198 5.2 M t s ví d áp d ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 5.3 Ch ng minh b t đ ng th c hình h c . . . . . . . . . . . . . . . 212 5.4 Các bài toán hình h c ch ng minh và tính toán . . . . . . . . . 214 5.4.1 S ph c và đa giác đ u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 5.4.2 Đ ng th c lư ng giác trong tam giác . . . . . . . . . . . 222 5.5 B ng các công th c cơ b n ng d ng s ph c vào gi i toán hình h c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 5.6 Bài t p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 6 Kh o sát dãy s và phương trình sai phân 231 6.1 M t s khái ni m cơ b n và tính ch t c a sai phân . . . . . . . 231 6.2 Tính t ng b ng phương pháp sai phân . . . . . . . . . . . . . . 239 6.3 Phương trình sai phân tuy n tính v i h s h ng . . . . . . . . . 257 6.4 H phương trình sai phân tuy n tính thu n nh t v i h s h ng 271 6.5 H phương trình sai phân tuy n tính v i h s h ng . . . . . . . 279
M CL C 7 6.6 M t s l p phương trình sai phân phi tuy n có ch m . . . . . . 291 7 Kh o sát các phương trình đ i s 376 7.1 Nh c l i các ki n th c cơ b n v s ph c và hàm ph c . . . . . 375 7.2 S nghi m c a phương trình đa th c trên m t kho ng . . . . . . 409 7.3 Đánh giá kho ng nghi m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442 7.4 Gi i g n đúng phương trình đa th c . . . . . . . . . . . . . . . 481 Ph l c A. Hàm sinh và áp d ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517 P-1 Ví d minh h a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517 P-2 Khái ni m v hàm sinh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518 P-3 M t s ví d áp d ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525 Ph l c B. H h i quy và h tu n hoàn . . . . . . . . . . . . . 538 Q-1 Ma tr n lũy linh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539 Q-2 Ma tr n tu n hoàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542 Tài li u tham kh o 551
L i nói đ u Chuyên đ "Bi n ph c, đ nh lý và áp d ng" đóng vai trò như là m t công c đ c l c nh m gi i quy t hi u qu nhi u bài toán c a hình h c, gi i tích, đ i s , s h c và toán t h p. Ngoài ra, các tính ch t cơ b n c a s ph c và hàm bi n ph c còn đư c s d ng nhi u trong toán hi n đ i, các mô hình toán ng d ng, ... Trong các kỳ thi Olympic toán sinh viên qu c t và qu c gia, thì các bài toán liên quan đ n bi n ph c thư ng đư c đ c p dư i nhi u d ng phong phú thông qua các đ c trưng và các bi n đ i khác nhau c a phương pháp gi i, v a mang tính t ng h p cao v a mang tính đ c thù sâu s c. Chương trình toán h c b c Trung h c ph thông c a h u h t các nư c đ u có ph n ki n th c s ph c. nư c ta, sau nhi u l n c i cách, n i dung s ph c cu i cùng cũng đã đư c đưa vào chương trình Gi i tích 12, tuy nhiên còn r t đơn gi n. Vì nhi u lý do khác nhau, r t nhi u h c sinh, th m chí là h c sinh khá, gi i sau khi h c xong ph n s ph c cũng ch hi u m t cách r t đơn sơ: s d ng s ph c, có th gi i đư c m i phương trình b c hai, tính m t vài t ng đ c bi t, ... Vi c s d ng s ph c và bi n ph c trong nghiên c u, kh o sát hình h c (ph ng và không gian) t ra có nhi u ưu vi t, nh t là trong vi c xem xét các v n đ liên quan đ n các phép bi n hình, qu tích và các d ng mi n b o giác. Nhìn chung, hi n nay, chuyên đ s ph c và bi n ph c (cho b c trung h c ph thông và đ i h c) đã đư c trình bày d ng giáo trình, trình bày lý thuy t 8
L i nói đ u 9 cơ b n và có đ c p đ n các áp d ng tr c ti p theo cách phân lo i phương pháp và theo đ c thù c th c a các d ng ví d minh h a. Đ đáp ng nhu c u b i dư ng nghi p v sau đ i h c cho đ i ngũ giáo viên, các h c viên cao h c, nghiên c u sinh chuyên ngành Gi i tích, Phương trình vi phân và tích phân, Phương pháp toán sơ c p và b i dư ng h c sinh gi i v chuyên đ s ph c, bi n ph c và áp d ng, chúng tôi vi t cu n chuyên đ nh này nh m trình bày đ y đ các ki n th c t ng quan, các k thu t cơ b n v phương pháp s d ng s ph c và bi n ph c đ ti p c n các d ng toán khác nhau c a hình h c, s h c, toán r i r c và các lĩnh v c liên quan. Đây là chuyên đ b i dư ng nghi p v sau đ i h c mà các tác gi đã gi ng d y cho các l p cao h c, cho đ i tuy n thi olympíc toán sinh viên qu c gia và qu c t và là n i dung b i dư ng giáo viên các trư ng đ i h c, cao đ ng và trư ng chuyên trong c nư c t nhi u năm nay. Trong tài li u này, chúng tôi đã s d ng m t s n i dung v lý thuy t cũng như bài t p mang tính h th ng đã đư c các Th c sĩ và h c viên cao h c th c hi n theo m t h th ng lôgíc nh t đ nh dư i d ng các chuyên đ nghi p v b c sau đ i h c. Nh ng d ng bài t p khác là m t s đ thi c a các kì thi h c sinh gi i và các bài toán trong các t p chí Toán h c và tu i tr , Kvant, Mathematica, các sách giáo khoa, chuyên đ và chuyên kh o, ... hi n hành trong nư c. Cu n sách đư c chia thành 5 chương. Chương 1. S ph c và bi n ph c, l ch s và các d ng bi u di n Chương 2. Tính toán trên s ph c và bi n ph c Chương 3. M t s ng d ng c a s ph c trong đ i s Chương 4. S ph c trong các bài toán s h c và t h p
10 L i nói đ u Chương 5. S ph c và ng d ng trong hình h c Chương 6. S ph c và l i gi i c a phương trình sai phân Các tác gi xin chân thành c m ơn lãnh đ o B Giáo D c và Đào t o, trư ng ĐHKHTN, ĐHQGHN đã ng h và đ ng viên đ các trư ng hè b i dư ng nâng cao ki n th c chuyên môn nghi p v sau đ i h c các năm t 2002 đ n 2009 đã thành công t t đ p. C m ơn các giáo viên t 64 t nh thành trong c nư c đã nghe gi ng, trao đ i semina và đ c b n th o, đã g i nhi u ý ki n đóng góp quan tr ng cho n i dung cũng như cách trình bày th t các chuyên đ . Cu n sách đư c hoàn thành v i s giúp đ nhi t tình v m t n i dung c a các thành viên trong semina liên trư ng-vi n Gi i tích - Đ i s c a Trư ng Đ i H c Khoa H c T Nhiên, ĐHQGHN. Các tác gi xin bày t lòng bi t ơn t i đ ng nghi p và đ c gi có ý ki n đóng góp đ cu n sách chuyên đ này đư c hoàn thi n. Hà N i ngày 02 tháng 06 năm 2009 Các tác gi
Chương 1 S ph c, bi n ph c l ch s và các d ng bi u di n 1.1 L ch s hình thành khái ni m s ph c L ch s s ph c b t đ u t th k XVI. Đó là th i kỳ Ph c hưng c a toán h c châu Âu sau đêm dài trung c . Các đ i lư ng o1 √ √ √ −1, b −1, a + b −1 xu t hi n đ u tiên t th k XVI trong các công trình c a các nhà toán h c Italy "Ngh thu t vĩ đ i hay là v các quy t c c a đ i s " (1545) c a G.Cardano (1501 - 1576) và "Đ i s " (1572) c a R.Bombelli (1530 - 1572). Nhà toán h c Đ c Felix Klein (1849 - 1925) đã đánh giá công trình c a G.Cardano như sau: "tác ph m quý giá đ n t t đ nh này đã ch a đ ng nh ng m m m ng c a đ i s hi n đ i và nó vư t xa t m c a toán h c th i c đ i". Khi gi i phương trình b c hai Cardano và Bombelli đã đưa vào xét kí hi u √ √ −1 là l i gi i hình th c c a phương trình x2 + 1 = 0, xét bi u th c b −1 là nghi m hình th c c a phương trình x2 + b2 = 0. Khi đó bi u th c t ng quát hơn d ng (x − a)2 + b2 = 0 1 Tên g i " o" là d ch t ti ng Pháp "imaginaire" do R.Descates đ xu t năm 1637. 11
12 Chương 1. S ph c, bi n ph c l ch s và các d ng bi u di n có th xem là nghi m hình th c c a phương trình (x − a)2 + b2 = 0. V sau bi u th c d ng √ a + b −1, b = 0 xu t hi n trong quá trình gi i phương trình b c hai và b c ba (công th c Cardano) đư c g i là đ i lư ng " o" và sau đó đư c Gauss g i là s ph c2 và thư ng đư c kí hi u là a + bi, trong đó kí hi u √ i := −1 đư c L.Euler3 đưa vào 1777 g i là đơn v " o". Quá trình th a nh n s ph c như m t công c quý giá c a toán h c đã di n √ ra r t ch m ch p. Ngay tên g i và kí hi u i := −1 là đơn v " o" cũng đã gây nên nhi u n i băn khoăn, th c m c t đó d n đ n kh ng ho ng ni m tin vì nó không có gì chung v i s - m t công c c a phép đ m, m c dù ngư i ta v n xem đó là m t kí hi u tr u tư ng tho mãn đ nh nghĩa i2 = −1. S kh ng ho ng ni m tin càng tr nên sâu s c hơn b i vi c chuy n m t cách thi u cân nh c và thi u th n tr ng m t s quy t c c a đ i s thông thư ng cho các s ph c đã s n sinh ra nh ng ngh ch lí khó ch u. Ch ng h n như ngh ch √ lí sau đây: vì i = −1 nên i2 = −1, nhưng đ ng th i b ng cách s d ng các quy t c thông thư ng c a phép toán khai căn b c hai l i thu đư c √ √√ i2 = (−1)2 = −1 −1 = (−1)(−1) = 1 = 1. Hóa ra −1 = 1! Ta nh n m nh l i r ng h th c i2 = −1 2 Thu t ng "s ph c" là do nhà toán h c Pháp N.Carnot (1753-1823) đưa vào đ u tiên (1803) 3 L. Euler (1707-1783) là nhà toán h c Th y sĩ
13 1.1. L ch s hình thành khái ni m s ph c là đ nh nghĩa s m i i cho phép ta đưa vào xét s ph c. Đi u đó có nghĩa r ng h th c đó không th ch ng minh, nó ch là quy ư c. Tuy v y, cũng có ngư i mu n ch ng minh h th c đó. Trong cu n sách "Phương pháp to đ " c a mình, Vi n s L.S. Pointriagin đã mô t l i ch ng minh đó như sau: Đ u tiên ngư i ta l y n a đư ng tròn v i đư ng kính AB . T đi m R tuỳ ý c a n a đư ng tròn h đư ng vuông góc RS . Theo m t đ nh lí c a hình h c sơ c p, đ dài đư ng vuông góc RS là trung bình nhân gi a các đ dài c a các đo n th ng AS và SB . Vì nói đ n đ dài nên s không sai sót l n khi nói r ng bình phương đo n th ng RS b ng tích các đo n th ng AS và BS . Bây gi , tr v v i m t ph ng ph c. kí hi u đi m −1 là A ; đi m +1 là B và đi m i là R. Khi đó S s là đi m 0. Tác gi c a phép ch ng minh đã l p lu n như sau: Đo n th ng RS là i, đo n th ng AS là −1 và SB là +1. Như v y, theo đ nh lí v a nh c l i trên ta có i2 = (−1)(+1) = −1. Th t đáng ti c là phép ch ng minh kỳ l này v n đư c vi t trong sách và gi ng dy m t s trư ng ph thông trư c th chi n th II. L ch s toán h c cũng ghi l i r ng Cardano cũng đã nh c đ n các nghi m ph c nhưng l i g i chúng là các nghi m "ngu bi n". Ch ng h n, khi gi i h phương trình x + y = 10 xy = 40 √ √ Cardano đã tìm đư c nghi m 5 + −5 và 5 + −5 và ông đã g i nghi m này là "âm thu n tuý" và th m chí còn g i là "nghi m âm ngu bi n". Có l tên g i " o" là di s n vĩnh c u c a "m t th i ngây thơ đáng trân tr ng c a s h c".
14 Chương 1. S ph c, bi n ph c l ch s và các d ng bi u di n Th m chí đ i v i nhi u nhà bác h c l n th k XVIII b n ch t đ i s và b n ch t hình h c c a các đ i lư ng o không đư c hình dung m t cách rõ ràng mà còn đ y bí n. Ch ng h n, l ch s cũng ghi l i r ng I.Newton đã không th a nh n các đ i lư ng o và không xem các đ i lư ng o thu c vào các khái ni m s , còn G.Leibniz thì th t lên r ng: "Các đ i lư ng o - đó là nơi n náu đ p đ huy n di u đ i v i tinh th n c a đ ng t i cao, đó dư ng như m t gi ng lư ng cư s ng m t ch n nào đ y gi a cái có th t và không có th t". Ngư i đ u tiên nhìn th y l i ích do đưa s ph c vào toán h c mang l i chính là nhà toán h c Italy R. Bombelli. Trong cu n "Đ i s " (1572) ông đã đ nh nghĩa các phép tính s h c trên các đ i lư ng o và do đó ông đã sáng t o nên lí thuy t các s " o". Thu t ng s ph c đư c dùng đ u tiên b i K.Gauss4 (năm 1831). Vào th k XVII - XVIII nhi u nhà toán h c khác cũng đã nghiên c u các tính ch t c a đ i lư ng o (s ph c!) và kh o sát các ng d ng c a chúng. Ch ng h n L.Euler m r ng khái ni m logarit cho s ph c b t kì (1738), còn A.Moivre5 nghiên c u và gi i bài toán căn b c t nhiên đ i v i s ph c (1736). S nghi ng đ i v i s o (s ph c!) ch tiêu tan khi nhà toán h c ngư i Nauy là C.Wessel đưa ra s minh ho hình h c v s ph c và các phép toán trên chúng trong công trình công b năm 1799. Đôi khi phép bi u di n minh ho s ph c cũng đư c g i là "sơ đ Argand" đ ghi nh n công lao c a nhà toán h c Thu S R.Argand - ngư i thu đư c k t qu như c a Wessel m t cách đ c l p. Lí thuy t thu n tuý s h c đ i v i các s ph c v i tư cách là các c p s th c có th t (a; b), a ∈ R, b ∈ R đư c xây d ng b i nhà toán h c Ailen là W.Hamilton (1837). đây đơn v " o" i ch đơn gi n là m t c p s th c có th t - c p (0; 1), t c là đơn v " o" đư c lí gi i m t cách hi n th c. 4 C.Gauss (1777-1855) là nhà toán h c Đ c 5 A.Moivre (1667-1754) là nhà toán h c Anh
15 1.1. L ch s hình thành khái ni m s ph c Cho đ n th k XIX, Gauss m i thành công trong vi c lu n ch ng m t cách v ng ch c khái ni m s ph c. Tên tu i c a Gauss cũng g n li n v i phép ch ng minh chính xác đ u tiên đ i v i Đ nh lí cơ b n c a Đ i s kh ng đ nh r ng trong trư ng s ph c C m i phương trình đa th c đ u có nghi m. B n ch t đ i s c a s ph c th hi n ch s ph c là ph n t c a trư ng m r ng (đ i s ) C c a trư ng s th c R thu đư c b ng phép ghép đ i s cho R nghi m i c a phương trình x2 + 1 = 0 . V i đ nh lí cơ b n c a đ i s , Gauss đã ch ng minh đư c trư ng C tr thành trư ng đóng đ i s . Đi u đó có nghĩa là khi xét các nghi m c a phương trình đ i s trong trư ng này ta không thu đư c thêm s m i. Đương nhiên trư ng s th c R (và do đó c trư ng s h u t Q) không có tính ch t đóng đ i s . Ch ng h n, phương trình v i h s th c có th không có nghi m th c. Nhìn l i hơn 2500 năm t th i Pythagor đ n gi , con đư ng phát tri n khái ni m v s có th tóm t t b i N → Z → Q → R → C v i các bao hàm th c: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C. B ng các k t qu sâu s c trong các công trình c a các nhà toán h c K.Weierstrass, G.Frobenius, B.Peirce ngư i ta m i nh n ra r ng m i c g ng m r ng t p s ph c theo con đư ng trên đ u không có k t qu kh quan. K.Weierstrass đã ch ng minh t p h p s ph c C không th m r ng thành t p h p r ng hơn b ng cách ghép thêm s m i đ trong t p h p s r ng hơn thu đư c v n b o toàn m i phép tính và m i quy lu t c a các phép toán đã đúng trong t p h p s ph c. Như v y, các t p h p s m i ch a t p s ph c ch có th thu đư c b ng vi c t b m t s tính ch t thông thư ng nào đó c a các s ph c. Ch ng h n nhà toán h c Ailen là W.Hamilton (1805 - 1865) đã b t phá ra kh i ph m vi s ph c và thu đư c các quatenion là trư ng h p đơn gi n nh t c a h siêu
16 Chương 1. S ph c, bi n ph c l ch s và các d ng bi u di n ph c nhưng đành ph i t b tính ch t giao hoán c a phép nhân. H th ng các quatenion là h không giao hoán và các quatenion th hi n đư c trong không gian b n chi u R4. D ng t ng quát c a quatenion là a + bi + cj + dk ; a, b, c, d ∈ R, trong đó 1; i; j ; k đư c Hamilton ch ra là các đơn v siêu ph c và đư c Hamilton g i là các quatenion. đây i2 = j 2 = k 2 = ijk = −1 và chính Hamilton đã l p ra b ng nhân sau đây: x ij k i −1 k −j j −k −1 i k j −i −1 Đ d nh b ng nhân này ta lưu ý hình v b tr sau. Ta bi u di n các quatenion i, j, k b i ba đi m trên đư ng tròn theo th t cùng chi u kim đ ng h. Tích c a hai s b t kì trong b ba i, j, k b ng s th ba n u phép vòng quanh t th a s th nh t đ n th a s th hai là theo chi u kim đ ng h và b ng s th ba và v i d u tr n u phép vòng quanh đó ngư c chi u kim đ ng h . Rõ ràng là phép nhân không có tính ch t giao hoán. Đ i v i toán h c ngày nay các s ph c và siêu ph c là nh ng ch nh th hoàn toàn t nhiên, nó không " o" hơn chút nào so v i chính các s th c. Nhìn l i l ch s lâu dài c a s phát tri n khái ni m s ta th y r ng c m i l n khi đưa vào nh ng s m i các nhà toán h c cũng đ ng th i đưa vào các quy t c th c hi n các phép toán trên chúng. Đ ng th i v i đi u đó các nhà toán h c luôn luôn c g ng b o toàn các quy lu t s h c cơ b n (lu t giao hoán c a
17 1.2. Các d ng bi u di n s ph c phép c ng và phép nhân, lu t k t h p và lu t phân b , lu t s p x p tuy n tính c a t p h p s ). Tuy nhiên s b o toàn đó không ph i khi nào cũng th c hi n đư c. Ví như khi xây d ng trư ng s ph c ngư i ta đã không b o toàn đư c lu t s p x p tuy n tính v n có trong trư ng s th c, hay khi xây d ng t p h p các s quatenion ta cũng không b o toàn đư c lu t giao hoán c a phép nhân. T ng k t l ch s toàn b quá trình phát tri n khái ni m s , nhà toán h c Đ c L.Kronecker (1823 - 1891) đã vi t: "Thư ng đ đã t o ra s t nhiên, còn t t c các lo i s còn l i đ u là công trình sáng t o c a con ngư i". Có th nói r ng v i kh ng đ nh b t h này L.Kronecker đã xác đ nh n n móng v ng ch c cho toà lâu đài toán h c tráng l mà con ngư i đang s h u. 1.2 Các d ng bi u di n s ph c 1.2.1 Bi u di n s ph c dư i d ng c p M i s ph c a + bi hoàn toàn đư c xác đ nh b i vi c cho hai s th c a và b thông thư ng (a, b ∈ R) g i là các thành ph n c a chúng. Ngư i đ u tiên c g ng nêu rõ đ c trưng quy lu t c a các phép tính b ng ngôn ng các thành ph n không c n nh c đ n kí hi u "nghi v n" i là Hamilton. C th , ông đã di n t m i s ph c b i m t c p s th c (có th t ) thông thư ng. Vì t p h p s th c là t p h p con c a t p h p s ph c C nên khi xác đ nh các phép tính s h c cơ b n trên các s ph c ta c n đòi h i r ng khi áp d ng cho các s th c các phép toán đó đưa l i k t qu như k t qu thu đư c trong s h c các s th c. M t khác, n u ta mong mu n các s ph c có nh ng ng d ng trong các v n đ c a gi i tích thì ta c n đòi h i r ng các phép toán cơ b n đư c đưa vào đó ph i tho mãn các tiên đ thông thư ng c a s h c các s th c. Đ nh nghĩa 1.1. M t c p s th c có th t (a; b), a ∈ R, b ∈ R, đư c g i
18 Chương 1. S ph c, bi n ph c l ch s và các d ng bi u di n là m t s ph c n u trên t p h p các c p đó quan h b ng nhau, phép c ng và phép nhân đư c đưa vào theo các đ nh nghĩa (tiên đ ) sau đây: a=c i) Quan h đ ng nh t trong t p s ph c: (a; b) = (c; d) ⇔ b = d. Chú ý r ng đ i v i hai s ph c b ng nhau (a; b) và (c; d) ta có th vi t (a; b) ≡ (c; d) (n u mu n nh n m nh đây là quan h đ ng nh t gi a hai c p s th c s p th t ) ho c (a; b) = (c; d) (n u mu n nói r ng đây là quan h b ng nhau gi a hai s ph c). ii) Phép c ng trong t p s ph c: (a; b) + (c; d) := (a + c; b + d) và c p (a + c; b + d) đư c g i là t ng c a các c p (a; b) và (c; d). iii) Phép nhân trong t p s ph c: (a; b)(c; d) := (ac − bd; ad + bc) và c p (ac − bd; ad + bc) đư c g i là tích c a các c p (a; b) và (c; d). iv) S th c trong t p s ph c: C p (a; 0) đư c đ ng nh t v i s th c a, nghĩa là (a; 0) := a hay là (a; 0) ≡ a. T p h p các s ph c đư c kí hi u là C. Như v y, m i ph n c a đ nh nghĩa s ph c đ u đư c phát bi u b ng ngôn ng s th c và các phép toán trên chúng. Trong đ nh nghĩa này ba tiên đ đ u th c ch t là đ nh nghĩa khái ni m b ng nhau, khái ni m t ng và khái ni m tích c a các s ph c. Do đó vi c đ i chi u các tiên đ đó v i nhau s không d n đ n b t c mâu thu n nào. Đi u duy nh t có th gây ra đôi chút lo ng i là tiên đ iv). V n đ là ch v n dĩ các khái ni m b ng nhau, t ng và tích các s th c có ý nghĩa hoàn toàn xác đ nh và do đó n u các khái ni m này không tương thích v i nh ng khái ni m đư c đ c p đ n trong các tiên đ i) - iii) khi xét các s th c v i tư cách là các c p d ng đ c bi t thì bu c ph i lo i tr tiên đ iv). Do đó ta c n đ i chi u tiên đ iv) v i các tiên đ i), ii) và iii).
19 1.2. Các d ng bi u di n s ph c 1) i) - iv). Gi s hai s th c a và b b ng nhau như nh ng c p d ng đ c bi t đ ng nh t v i chúng: (a; 0) = (b; 0). Khi đó theo tiên đ i), ta có (a; 0) = (b; 0) ⇔ a = b, t c là chúng b ng nhau theo nghĩa thông thư ng. 2) ii) - iv). Theo tiên đ ii), t ng hai s th c a và c đư c xét như nh ng c p (a; 0) và (c; 0) là b ng c p (a + c; 0 + 0) = (a + c; 0). Nhưng theo tiên đ iv) thì (a + c; 0) ≡ a + c. Như v y (a; 0) + (c; 0) = (a + c; 0 + 0) = (a + c; 0) ≡ a + c, t c là đ ng nh t b ng t ng a + c theo nghĩa thông thư ng. 3) iii) - iv). Theo tiên đ iii), tích các s th c a và b đư c xét như nh ng c p (a; 0) và (c; 0) là b ng c p (ac − 0 · 0; a · 0 + 0 · c) = (ac; 0) và theo tiên đ iv) ta có (ac; 0) ≡ ac. Như v y (a; 0)(c; 0) = (ac; 0) ≡ ac, t c là đ ng nh t b ng tích a v i c theo nghĩa thông thư ng. Như v y tiên đ iv) tương thích v i các tiên đ i), ii) và iii). Ta cũng lưu ý các công th c sau đây đư c suy tr c ti p t iii) và iv): λ(a; b) = (λa; λb), λ ∈ R. Th t v y, t iv) và iii) ta có: λ(a; b) = (λ; 0)(a; b) = (λa − 0 · b; λb + 0 · a) = (λa; λb). N u λ = m ∈ N thì theo ii) ta có (a; b) + (a; b) = (2a; 2b);
20 Chương 1. S ph c, bi n ph c l ch s và các d ng bi u di n (2a; 2b) + (a; b) = (3a; 3b), . . . t c là (ma; mb) là k t qu phép c ng liên ti p m s h ng b ng (a; b). Đi u đó phù h p v i bi u tư ng thông thư ng là phép nhân v i s t nhiên tương ng v i phép c ng m s h ng b ng nhau. D dàng th y r ng các tiên đ ii) và iii) là tương thích v i nhau và các quy lu t thông thư ng c a các phép tính th c hi n trên các s v n đư c b o toàn khi chuy n sang s ph c (đương nhiên ph i c t b các quy lu t có quan h t i tính ch t s p đư c tuy n tính). T đ nh nghĩa suy ra trong t p h p C phép c ng và phép nhân có tính ch t k t h p và giao hoán ; phép nhân liên h v i phép c ng theo lu t phân b ; phép c ng có phép tính ngư c là phép tr và do đó t n t i ph n t 0 là c p (0 ; 0) vì (a; b) + (0; 0) = (a; b), ∀a, b ∈ R. Vai trò đơn v trong t p h p s ph c C là c p (1; 0) vì theo tiên đ iii) (a; b)(1; 0) = (a; b). Hai s ph c z = (a; b) và z = (a; −b) đư c g i là liên h p v i nhau. Ta có ¯ z z = (a; b)(a; −b) = a2 + b2 ≥ 0. ¯ T tính ch t này suy ra r ng v i m i (a; b) = (0; 0) t n t i c p ngh ch đ o (a; b)−1, c th là c p 1 a b (a; −b) = 2 ,− 2 . a2 2 2 a + b2 +b a +b Như v y ta đã ch ng minh r ng t p h p các s ph c C l p thành m t trư ng. Trư ng đó có tính ch t : (a) R ⊂ C. (b) Phương trình x2 + 1 = 0 có nghi m trong C. Đó là c p (0 ; 1) và (0 ; -1). Dư i d ng c p các phép toán trên C đư c th c hi n theo các quy t c
21 1.2. Các d ng bi u di n s ph c (i). (a1; b1)+(a2 ; b2 ) = (a1 + a2; b1 + b2 ) ; (a1; b1) − (a2 ; b2) = (a1 − a2; b1 − b2) ; (ii). (a1 ; b1)(a2; b2) = (a1a2 − b1 b2; a1 b2 + a2b1 ); (a1; b1) a1a2 + b1 b2 a1b2 − aq2b1 (iii). = ; , trong đó (a2 ; b2) = (0; 0). a2 + b2 a2 + b2 (a2; b2) 2 2 2 2 1.2.2 Bi u di n s ph c dư i d ng đ i s Như v y, ta đã đ nh nghĩa và di n đ t m i quy t c tính th c hi n trên các s ph c b ng ngôn ng các thành ph n t c là b ng ngôn ng các s th c. Đi u này r t quan tr ng vì v i cách đó ngư i ta không b ám nh b i "cái o"c a kí hi u i mang l i (m c dù nó r t th c vì i là c p (0 ; 1).) Bây gi ta tr v v i cách vi t thông thư ng (hay dư i d ng Descartes) đ i v i s ph c. Rõ ràng là m i s ph c (a; b) ∈ C đ u bi u di n đư c dư i d ng (a; b) = (a; 0) + (0; b) = (a; 0) + (b; 0)(0; 1) = a + bi, trong đó c p (0; 1) đư c kí hi u b i ch i. T tiên đ iii), suy r ng i2 = (0; 1)(0; 1) = (0 · 0 − 1 · 1; 0 · 1 + 1 · 0) = (−1; 0) = −1. Như v y ta đã tr v v i cách vi t thông thư ng đ i v i s ph c (a; b) dư i d ng a + bi nhưng gi đây đơn v o i có ý nghĩa hoàn toàn hi n th c vì nó là m t trong các c p s th c mà các phép tính trên chúng đư c đ nh nghĩa b i các tiên đ i), ii), iii) và iv), đó chính là c p (0; 1). Th m chí, có th xem nhân t i bên c nh s th c b như m t d u hi u ch rõ s th c b là thành ph n th hai c a s ph c (a; b). Thành ph n th nh t c a s ph c z = a + bi đư c g i là ph n th c c a s đó và đư c kí hi u Re z, thành ph n th hai đư c g i là ph n o và đư c kí hi u là Im z . C n nh n m nh r ng ph n o cũng như ph n th c c a s ph c là nh ng s th c.