Biến phức định lý và áp dụng P4

Chia sẻ: Trần Bá Trung1 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:50

Thêm vào BST

Báo xấu

223
lượt xem 90
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Biến phức định lý và áp dụng P4 Biến phức là hàm số mà miền xác định và miền giá trị đều nằm trong tập hợp các số phức. Việc cho HBP w = f(z) tương đương với việc cho hai hàm biến thực u = u(x, y) và v = v(x,y), trong đó w = u + iv, z = x + iy. Hàm u gọi là phần thực của hàm w, kí hiệu Re w; hàm v gọi là phần ảo của w, kí hiệu Im w. Lớp HBP quan trọng nhất là lớp...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Biến phức định lý và áp dụng P4

152 Chương 3. M t s ng d ng c a s ph c trong đ i s c u đó đư c xác đ nh theo công th c w − w1 w3 − w2 z − z1 z3 − z2 · = · · (3.50) w − w2 w3 − w1 z − z2 z3 − z1 Ch ng minh 1.Tính duy nh t. Gi s ta có hai đ ng c u w1 (z) và w2(z) th a mãn các đi u ki n c a đ nh lí. Gi s ζ2 (w) là ánh x ngư c c a w2(z). Ta xét ánh x ζ2 [w1(z)]. đó là m t đ ng c u phân tuy n tính. đ ng c u này có ba đi m b t đ ng z1 , z2 và z3 vì w1(zk ) = wk , k = 1, 2, 3, ζ2 (wk ) = zk , k = 1, 2, 3. az + b Do đó n u đ t ζ2 [w1 (z)] = thì cz + d azk + b = zk , k = 1, 2, 3, czk + d hay là 2 czk + (d − a)zk − b = 0, k = 1, 2, 3. Đa th c b c hai v trái ch có th có ba nghi m khác nhau (z1 = x2 = z3 ) khi m i h s c a nó đ u b ng 0, t c là a = d, b = c = 0 và ζ2 [w1(z)] ≡ z hay là w1 (z) ≡ w2 (z). 2. S t n t i. Đ ng c u phân tuy n tính th a mãn đi u ki n c a đ nh lí đư c xác đ nh theo công th c (3.50). Th t v y, gi i phương trình (3.50) đ i v i w ta thu đư c hàm phân tuy n tính. Ngoài ra khi th c p z = z1 và w = w1 vào eq3.50 thì c hai v c a (3.50) đ u b ng 0. Th c p z = z3 và w = w3 vào (3.50) ta thu đư c c hai v đ u b ng 1 và cu i cùng, th c p z = z2 và w = w2 ta thu đư c c hai v đ u b ng ∞. Trong hình h c, bi u th c z − z1 z3 − z1 λ= : z − z2 z3 − z2
3.3. Phương trình hàm v i bi n đ i phân tuy n tính 153 đư c g i là t s phi đi u hòa c a b n đi m z, z1, z2 và z3. N u b n đi m z1 , z2, z, z3 n m trên m t đư ng tròn (ho c đư ng th ng) thìt s phi đi u hòa là m t s th c. Th t v y a) N u các đi m z1, z2, z, z3 n m trên đư ng th ng ζ = ζ0 + teiα, −∞ < t < ∞ ta có: z1 = ζ0 + t1 eiα, z2 = ζ0 + t2eiα , z = ζ0 + t0eiα , z3 = ζ0 + t3 eiα và t đó z − z1 z3 − z1 t 0 − t 1 t3 − t1 (z1 , z2, z, z3) = : = : ∈ R. z − z2 z3 − z2 t0 − t2 t3 − t2 b) N u các đi m z, z1, z2, z3 n m trên đư ng tròn ζ = ζ0 + reit , r > 0, 0 t 2π, ta có z1 = ζ0 + reiϕ1 , z2 = ζ0 + reiϕ2 , z3 = ζ0 + reiϕ3 và t đó ta có eiϕ0 − eiϕ1 eiϕ3 − eiϕ1 (z1 , z2, z, z3) = : eiϕ0 − eiϕ2 eiϕ3 − eiϕ2 ϕ0 +ϕ1 ϕ0 −ϕ1 ϕ0 −ϕ1 ϕ2 +ϕ1 ϕ3 −ϕ1 ϕ3 −ϕ1 ei 2 ei 2 − e−i 2 ei 2 ei 2 − e−i 2 = ϕ0 +ϕ2 ϕ0 −ϕ1 ϕ0 −ϕ1 : ϕ1 +ϕ3 ϕ3 −ϕ2 ϕ3 −ϕ2 ei 2 ei 2 − e−i 2 ei 2 ei 2 − e−i 2 ϕ0 − ϕ1 ϕ0 − ϕ1 sin sin 2 2 = ϕ0 − ϕ2 : ϕ3 − ϕ2 ∈ R. sin sin 2 2 T đ nh lí 3.11 ta rút ra m t tính ch t quan tr ng n a c a đ ng c u phân tuy n tính. H qu 3.2. T s phi đi u hòa là m t b t bi n c a nhóm các đ ng c u phân tuy n tính. Đ nh nghĩa 3.2. 1. Hai đi m z và z ∗ đư c g i là đ i x ng v i nhau qua đư ng tròn Γ = {|z − z0 | = R} ⊂ C n u chúng có các tính ch t sau: a) z và z ∗ cùng n m trên m t tia đi t z0; b) |z − z0 | · |z ∗ − z0| = R2 .
154 Chương 3. M t s ng d ng c a s ph c trong đ i s 2. M i đi m trên đư ng tròn Γ đư c xem là đ i x ng v i chính nó qua Γ. T đ nh nghĩa 3.2 suy ra r ng các đi m đ i x ng qua đư ng tròn Γ liên h v i nhau b i h th c R2 w = z0 + · z − z0 Th t v y, t bi u th c v a vi t suy ra |w − z0| |z − z0| = R2 và arg(w − z0) = arg(z − z0). Trong hình h c sơ c p ta bi t r ng hai đi m z và z ∗ đ i x ng v i nhau qua đư ng tròn Γ khi và ch khi m i đư ng tròn γ ⊂ C đi qua z và z ∗ đ u tr c giao v i Γ. Ta có đ nh lí sau. Đ nh lý 3.12. Tính đ i x ng tương h gi a các đi m là m t b t bi n c a nhóm các đ ng c u phân tuy n tính. Ch ng minh. K t lu n c a đ nh lí đư c suy t đ nh lí 3.7 và 3.9. T s b t bi n c a tính đ i x ng gi a các đi m suy ra r ng trong trư ng h p khi đư ng tròn bi n thành đư ng th ng, tính đ i x ng trùng v i khái ni m đ i x ng thông thư ng. Ta minh h a vi c áp d ng tính b t bi n c a các đi m đ i x ng qua đ ng c u phân tuy n tính b ng các đ nh lí sau đây. Đ nh lý 3.13. Đ ng c u phân tuy n tính b t kỳ bi n n a m t ph ng trên lên hình tròn đơn v đ u có d ng z−α w = eiλ , Im α > 0, (3.51) z−α trong đó λ ∈ R là s th c tùy ý.
3.3. Phương trình hàm v i bi n đ i phân tuy n tính 155 Ch ng minh. Gi s đ ng c u phân tuy n tính w = w(z) ánh x n a m t ph ng trên Im z > 0 lên hình tròn {|w| < 1} sao cho w(α) = 0 (Im α > 0). Ta nh n xét r ng đi m w = 0 và w = ∞ s tương ng v i các giá tr liên h p c a z, do đó c = 0 (vì n u c = 0 thì đi m ∞ s tương ng v i đi m ∞). b d Các đi m w = 0, w = ∞ s tương ng v i các đi m − và − . Do đó có th a c b d az −α vi t − = α, − = α và w = · a c cz−α Vì các đi m c a tr c th c có nh n m trên đư ng tròn đơn v , t c là |w| = 1 khi z = x ∈ R, cho nên a x−α a = =1 c x−α c z−α và a = ceiλ. Như v y w = eiλ · z−α Ta ch ng minh r ng đó là đ ng c u ph i tìm. Th t v y, n u z = x ∈ R thì hi n nhiên |w| = 1. N u Im z > 0 thì z g n α hơn so v i α (t c là |z − α| < |z − α|) và do đó |w| < 1. Nh n xét 3.3. Trong ánh x (3.51) góc quay c a các đư ng cong t i đi m α π là b ng λ − vì t (3.51) ta có 2 π arg w (α) = λ − · 2 Đ nh lý 3.14. M i đ ng c u phân tuy n tính bi n hình tròn {|z| < 1} lên hình tròn {|w| < 1} đ u có d ng z−α w = eiλ , (3.52) 1 − αz trong đó |α| < 1, λ ∈ R là s th c tùy ý. Ch ng minh. Gi s đ ng c u phân tuy n tính w = w(z) bi n hình tròn {|z| < 1} lên hình tròn {|w| < 1} sao cho w(α) = 0 (|α| < 1). Theo tính ch t b o toàn đi m đ i x ng, các đi m w = 0, w = ∞ tương ng v i các đi m liên
156 Chương 3. M t s ng d ng c a s ph c trong đ i s 1 h p z = α và z = , |α| < 1. Do đó α b d 1 − = α, − = , |α| < 1, a c α và a z−α aα z − α aα z − α w= = · =− · c 1 c αz − 1 c 1 − αz z− α Vì các đi m c a đư ng tròn đơn v ph i bi n thành các đi m c a đư ng tròn đơn v nên |w| = 1 khi |z| = 1. Vì z · z = |z|2 nên zz = 1 khi |z| = 1. Vì s 1 − αz và 1 − αz liên h p v i nhau và |1 − αz| = |1 − αz| nên n u |z| = 1 thì |1 − αz| = |1 − αz| · |z| = |z − αzz| = |z − α|. Do đó khi |z| = 1 thì ta có: z−α = 1. 1 − αz aα aα Nhưng khi đó |w| = 1 cho nên = 1 và = eiλ, λ ∈ R. Như v y ta thu c c đư c (3.52). Ta c n ch ng minh r ng đó là đ ng c u mu n tìm. Th t v y n u z = eiθ và α = r1 eiβ thì eiθ − r1eiβ 1 − r1 eiβ e−iθ |w| = = = 1. 1 − r1 e−iβ · eiθ 1 − r1 e−iβ eiθ N u z = reiθ (r < 1) thì |z − a|2 − |1 − αz|2 = r2 − 2rr1 cos(θ − β) + r1 − (r1 r2 − 2r1 r cos(θ − β) + 1) 2 2 = (r2 − 1)(1 − r1 ) < 0 2 và do đó |z − α|2 − |1 − αz|2 < 0 và |w| < 1.
3.3. Phương trình hàm v i bi n đ i phân tuy n tính 157 Nh n xét 3.4. Vì dw 1 = eiλ , |α| < 1, dz z=α 1 − |α|2 cho nên v m t hình h c λ b ng góc quay c a ánh x (3.52) t i đi m α: dw λ = arg . dz z=α T công th c (3.52) ta còn rút ra h th c dw 1 = dz z=α 1 − |α|2 và do đó đ giãn d n đ n ∞ khi đi m α d n đ n biên c a hình tròn đơn v . Nh n xét 3.5. Phép đ ng c u bi n hình tròn {|z| < R} lên hình tròn {|w| < R } có d ng z−α w = RR eiλ , |α| < R, λ ∈ R. αz − R2 Ví d 3.52. Gi s U1 = {|z| < 1}, U2 = {|z − 1| < 1} và D = U1 ∩ U2 . Tìm đ ng c u bi n mi n D lên n a m t ph ng trên. L i gi i. Giao đi m c a các cung tròn gi i h n mi n D là các đi m sau: √ √ 1 3 1 3 a= +i , a∗ = − i · 2 2 2 2 Gi s cung tròn đi qua đi m z = 1 đư c kí hi u là δ1 và cung tròn đi qua đi m z = 0 là δ2 . Ta áp d ng các ánh x trung gian sau 1. Ánh x √ 1 3 z− −i 2 2 z1 = √ , 1 3 z− +i 2 2
158 Chương 3. M t s ng d ng c a s ph c trong đ i s bi n mi n đã cho D thành m t góc trong m t ph ng z1 v i đ nh là z1 = 0. Vì 2π góc gi a hai cung tròn δ1 và δ2 t i các đi m a cũng như a∗ đ u b ng nên 3 2π đ m c a góc v a thu đư c b ng . D dàng th y r ng 3 √ 1 3 1− −i √ 2 2 1 3 z1(1) = √ =− +i 1 3 2 2 1− +i 2 2 √ 1 3 z1(0) = − − i 2 2 và do đó góc - nh thu đư c có c nh đi qua đi m z1(1) và z1 (0). Ta kí hi u góc đó là D(z1 ). −2πi 2. Ánh x quay z2 = e z1 bi n góc D(z1 ) thành góc có m √ c nh trùng 3 t 1 3 v i ph n dương c a tr c th c, còn c nh kia đi qua đi m − + i · 2 2 3 2 2π 3 3. Ánh x c n tìm có d ng w = z2 góc có đ m · =π! . 3 2 H p nh t 1) - 3) ta thu đư c √ 3 2 2z − 1 + i 3 w=− √ 2z − 1 − i 3 và hi n nhiên đó ch là m t trong các hàm th c hi n ánh x ph i tìm. Ví d 3.53. Ánh x mi n D là góc {0 < arg z < πβ, 0 < β < 2} v i nhát c t theo m t cung c a đư ng tròn đơn v t đi m z = 1 đ n đi m z = eiαπ , 0 < α < β (hãy v hình). L i gi i. Ta s d ng các ánh x trung gian sau đây 1 1. Ánh x z1 = z β bi n góc đã cho thành góc D(z1 ) có đ m b ng π v i α nhát c t thu c đư ng tròn đơn v đi t đi m z = 1 đ n đi m z = ei β π . 2. Ánh x phân tuy n tính z1 − 1 z2 = z1 + 1
3.3. Phương trình hàm v i bi n đ i phân tuy n tính 159 bi n mi n D(z1 ) thành n a m t ph ng trên v i nhát c t theo tr c o t g c α t a đ đ n đi m i tan π. Ta kí hi u mi n nh đó là D(z2 ). 2β 2 3. Ánh x z3 = z2 bi n mi n D(z2 ) thành m t ph ng v i nhát c t theo α − tan2 π; ∞ ⊂ R. Ta kí hi u mi n thu đư c là D(z3 ). 2β Hi n nhiên hàm c n tìm có d ng 1 2 α2 zβ − 1 α w= z3 + tan π= 1 + tan2 π. 2β z +1 β 2β Đ k t thúc ph n này, ta ch ng minh r ng ánh x phân tuy n tính (3.48) az + b w = , ad − bc = 0 bi n n a m t ph ng trên lên chính nó khi và ch cz + d khi m i h s a, b, c, d đ u là nh ng s th c th a mãn đi u ki n ad − bc > 0. Gi s ánh x (3.48) bi n n a m t ph ng trên lên chính nó. Ta xét ba đi m khác nhau z1, z2 và z3 c a tr c th c trong m t ph ng z. nh c a ba đi m này là nh ng đi m biên c a n a m t ph ng Im w > 0, t c là các s wk = w(zk ), k = 1, 2, 3 là nh ng s th c. T đó, ta thu đư c h phương trình v i các h s th c đ xác đ nh a, b, c, d. Do đó v i s chính xác đ n m t th a s nào đó t h phương trình tuy n tính v a thu đư c d dàng suy ra r ng các h s c a (3.48) đ u là th c. Vì w = u + iv, z = x + iy nên khi y > 0 ta có v > 0. Thay w = u + iv, z = x + iy vào (3.48) ta có y(ad − bc) v= · (cx + d)2 + (cy 2) T đó suy ra ad − bc > 0. Ngư c l i, n u các h s a, b, c và d đ u th c thì tr c th c c a m t ph ng (z) đư c ánh x lên tr c th c c a m t ph ng (w) và vì ad − bc > 0 nên n a m t ph ng trên đư c ánh x lên n a m t ph ng trên.
160 Chương 3. M t s ng d ng c a s ph c trong đ i s 3.3.3 Phương trình hàm sinh b i hàm phân tuy n tính Bài toán t ng quát 3.1. Xác đ nh các hàm s f (x) th a mãn đi u ki n sau αx + β f = af (x) + b, ∀x ∈ R \ {−γ}, (3.53) x+γ trong đó α, β, γ; a, b là các h ng s th c, a = 0, αγ − β = 0. Ta kh o sát bài toán t ng quát (3.53) trong ba trư ng h p đ c trưng đi n hình sau đây: (i) Phương trình ω(x) = x có hai nghi m th c phân bi t. (ii) Phương trình ω(x) = x có 1 nghi m kép (th c). (iii) Phương trình ω(x) = x không có nghi m th c. Nh n xét r ng, phương trình trong trư ng h p (iii) tương đương v i phương trình ω(x) = x có hai nghi m (ph c) là các s liên h p ph c c a nhau. Ta chuy n bài toán t ng quát 3.1 v bài toán t ng quát sinh b i hàm b c nh t quen bi t mà cách gi i đã bi t Bài toán t ng quát 3.2. Xác đ nh các hàm s f (x) th a mãn đi u ki n sau f (αx + β)) = af (x) + b, ∀x ∈ R, (3.54) trong đó α, β, a, b là các h ng s th c, a = 0, α = 0. ho c v d ng bài toán t ng quát sinh b i phép đ i h p b c n d ng sau đây. Bài toán t ng quát 3.3. Xác đ nh các hàm s f (x) th a mãn đi u ki n sau αx + β f = af (x) + b, ∀x ∈ R \ {−γ}, (3.55) x+γ trong đó α, β, γ, a, b là các h ng s th c, a = 0, αγ − β = 0, và ωn (x) ≡ x, ωk+1 := ω(ωk (x)), ω0 (x) := x.
3.3. Phương trình hàm v i bi n đ i phân tuy n tính 161 Ti p theo, ta minh h a cách gi i ng v i các trư ng h p thông qua các bài toán c th sau đây. T k t qu kh o sát c a ph n trư c, ta ch c n xét các phương trình hàm sinh b i ω(x) có d ng m ω(x) = , m = 0· x+γ Ví d 3.54. Xác đ nh các hàm s f (x) th a mãn đi u ki n sau 1 f = 2f (x) − 1, ∀x ∈ R \ {2}. (3.56) 2−x L i gi i. Nh n xét r ng phương trình 1 =x 2−x có hai nghi m th c x = 1 và x = 2. S d ng phép đ i bi n x−1 = t, x−2 ta thu đư c 3 1 3 x=2+ , =2+ 1 · t−1 2−x 2 t−1 V y (3.56) có d ng 3 3 f 2+ 1 = 2f 2+ − 1, ∀t ∈ R \ {2 ; 1}, 2 t −1 t−1 hay 1 g t = 2g(t) − 1, ∀t ∈ R \ {2 ; 1}, (3.57) 2 trong đó 3 g(t) = f 2+ . t−1 Ví d 3.55. Xác đ nh các hàm s f th a mãn đi u ki n sau 2 f = 3f (x) + 2, ∀x ∈ R \ {3}. (3.58) 3−x
162 Chương 3. M t s ng d ng c a s ph c trong đ i s L i gi i. Phương trình 2 =x 3−x có m t nghi m (th c) kép x = 1. S d ng phép đ i bi n 1 = t, x−1 ta thu đư c 1 2 1 x=1+ , =1+ · t 3−x t−1 V y (3.58) có d ng 1 1 f 1+ = 3f 1+ + 2, ∀t ∈ R \ {0 ; 1}, t−1 t hay g(t − 1) = 3g(t) + 2, ∀t ∈ R \ {2 ; 1}, trong đó 1 g(t) = f 1+ . t Ví d 3.56. Xác đ nh các hàm s f th a mãn đi u ki n sau 2 f = 2f (x) + 5, ∀x ∈ R \ {2}. (3.59) 2−x L i gi i. Đây là trư ng h p phương trình hàm v i nghi m đ c trưng c a 2 phương trình sinh ω(x) = x không có nghi m th c. Phương trình sinh = 2−x x, có nghi m z1,2 = 1 ± i. S d ng phép đ i bi n x − 1 = t, ta thu đư c 2 1+t x = 1 + t, =1+ 2−x 1−t và vi t phương trình (3.59) dư i d ng 1+t f 1+ = 2f (1 + t) + 5, ∀t ∈ R \ {1}. 1−t hay 1+t g = 2g(t) + 5, ∀x ∈ R \ {1}, (3.60) 1−t
3.4. Bài t p 163 trong đó g(t) = f (1 + t). (3.61) 1+t Xét phương trình hàm (3.60) ng v i trư ng h p ω(t) = và phương trình 1−t sinh tương ng ω(t) = t có hai nghi m thu n o ±i. Ta vi t 1+t 1 + t tan2 π 4 ω(t) = = , 1−t 1 − t tan2 π 4 do đó ω(t) có tính tu n hoàn (đ i h p) b c b n, nghĩa là ω(ω(ω(ω(t)))) ≡ t. Vì v y, phương trình hàm (3.60)-(3.61) đưa v h phương trình tuy n tính và có nghi m duy nh t g(t) ≡ −5 ⇒ f (x) = −5, ∀x ∈ R \ {2}. 3.4 Bài t p Bài 3.1. Xác đ nh c (c ∈ C) sao cho phương trình 2002 1 + ix =c 1 − ix có các nghi m đ u th c. Bài 3.2. Cho đa th c P (x) ≡ const. Ch ng minh r ng h phương trình sau ch có không quá h u h n s nghi m th c x   P (t) sin tdt =  0 0 x  P (t) cos tdt =  0.  0 Bài 3.3. Cho s nguyên dương n và các s ak , bk ∈ R. Ch ng minh r ng phương trình n x+ (ak sin kx + bk cos kx) = 0 k=1 có nghi m trong kho ng (−π ; π).
164 Chương 3. M t s ng d ng c a s ph c trong đ i s Bài 3.4. Cho M > 0 và cho tam th c b c hai f (x) = x2 + bx + c có các h s n m trong [−M ; M]. G i x1 , x2 là hai nghi m th c ho c ph c c a f (x). Ch ng minh r ng √ (1 + |x1|)(1 + |x2 |) ≤ 4 3M. Bài 3.5. Cho tam th c b c hai f (x) = ax2 + bx + c có các nghi m đ u th c và đa th c P (x) = a0 + a1x + · · · + an xn ∈ R[x] có 3 nghi m th c. Ch ng minh r ng khi đó đa th c Q(x) = aP (x) + bP (x) + cP (x) cũng có ít nh t ba nghi m th c. Bài 3.6. Cho các s th c a, b, c, d, e, r tho mãn đi u ki n abcder = 0, ar + be + cd = 0. Gi i h phương trình ( n x, y, z, u, v): xz − y 2 xu − yz xv − yu yu − z 2 xu − yv zv − u2 = = = = = . a b c d e r Bài 3.7. Cho s t nhiên p = a0a1 . . . an là m t s nguyên t . Ch ng minh r ng đa th c tương ng P (x) = a0xn + a1 xn−1 + · · · + an s không có nghi m h ut .
3.4. Bài t p 165 Bài 3.8. Ch ng minh r ng m i nghi m c a phương trình n 1 + ix 1 + ia = , 1 ≤ n ∈ N, a ∈ R. 1 − ix 1 − ia Bài 3.9. Gi i phương trình n i−x cot α + i = , 1 ≤ n ∈ N, α ∈ R. i+x cot α − i Bài 3.10. Gi i các phương trình sau : 1. xn − naxn−1 − Cn a2xn−2 − · · · − an = 0. 2 2. x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1 = 0. 3. x5 + αx4 + α2 x3 + α3 x2 + α4 x + α5 = 0, 0 = α ∈ C. Bài 3.11. Gi i các h phương trình sau trong C : z 3 + w7 =0 z 5 w7 =1 1. 2. z 5w11 =1; z 2 − w3 = 0 ;  13 19 z w =1 z 3 + w5 =0 5 7 3. 4. z w =1 z 2w4 ¯ =1;  2 z + w2 = −2. Bài 3.12. Gi i h phương trình sau  x + 3x − y = 3  x2 + y 2 y − x + 3y = 0.  x2 + y 2 Bài 3.13. Gi i h phương trình sau  √  x 1 − 12  =2 3x + y  y 1 + 12 √  = 6. 3x + y Bài 3.14. Gi i h phương trình sau x3 − 3xy 2 = 1 √ 3x2y − y 3 = − 3.
Chương 4 S ph c trong các bài toán s h c và t h p 4.1 Gi i phương trình Diophant Vành các s ph c nguyên Z[i] và nói chung là các vành s nguyên đ i s có nh ng ng d ng khá hi u qu trong vi c gi i các bài toán v phương trình Diophant. đây ta thư ng dùng đ n tính ch t quen thu c sau đây: n u a, b là các s nguyên (nguyên đ i s ) nguyên t cùng nhau và tích a.b là lu th a đúng b c n thì a, b k t h p v i m t lu th a đúng b c n. Ví d 4.1. Tìm t t c các nghi m nguyên dương c a phương trình x2 +1 = y 3. L i gi i. Ta có (x + i)(x − i) = y 3. Ta s ch ng minh hai s x + i và x − i là nguyên t cùng nhau. Gi s trái l i có s nguyên t Gauss π sao cho π | x + i và π | x − i. Suy ra π | 2i do đó π | 2. V y N (π)|N (2) = 4, suy ra N (π) ch n. Vì N (π)|N (x + i) = x2 + 1 = y 3 nên y ch n do đó x l và x2 + 1 = y 3 chia h t cho 8. Nhưng x2 + 1 = 2(mod 4). Ta có mâu thu n. V y (x + i, x − i) = 1. Như th x + i k t h p v i m t l p phương nào đó. Vì −1 = (−1)3 , i = (−i)3, (−i) = i3 166
4.2. Rút g n m t s t ng t h p 167 nên chính x + i là m t l p phương. Ta có x + i = (a + ib)3 = (a3 − 3ab2) + i(3a2b − b3), suy ra x = a(a2 − 3b); 1 = b(3a2 − b2 ) hay |b| = 1; |3a2 − b2 | = 1. Ta thu đư c |3a2 − 1| = 1 hay a = 0, b = −1. Do đó x = 0, y = 1 là nghi m duy nh t c a phương trình đã cho. Ví d 4.2. Ch ng minh r ng v i m i s t nhiên n, t n t i các s nguyên (a, b, c) v i (a ; b) = 1 sao cho a2 + b2 = cn. L i gi i. L y x, y là hai s nguyên dương nguyên t cùng nhau và gi s (x + iy)n = a + ib. Khi đó a2 + b2 = N (a + ib) = N ((x + iy)n) = (N (x + iy))n = (x2 + y 2)n . Đ t x2 + y 2 = c, ta có ngay h th c a2 + b2 = cn . 4.2 Rút g n m t s t ng t h p Căn nguyên thu b c n c a đơn v v i tính ch t cơ b n là 1 + εk + · · · + εk(n−1) = 0 v i (k, n) = 1 có ng d ng khá hi u qu trong vi c rút g n các t ng t h p. Ngoài ra công th c Euler eiα = cos α + i sin α có th đưa các t ng lư ng giác thành các c p s nhân ho c công th c khai tri n nh th c. Dư i đây chúng ta xem xét hai ví d tiêu bi u Ví d 4.3. Tính t ng [n/3] 3k Cn . k=0
168 Chương 4. S ph c trong các bài toán s h c và t h p L i gi i. Xét đa th c n P (x) = (1 + x)n = Cn xk . k k=0 Xét ε là căn nguyên thu b c ba c a đơn v , t c là ε2 + ε + 1 = 0 thì ta có ε2k + εk + 1 = 0 khi k không chia h t cho ba và b ng ba n u k chia h t cho ba. Vì th n [n] 3 P (1) + P (ε) + P (ε2 ) = Cn (1 + εk + ε2k ) = 3 k 3k Cn . k=0 k=0 Cu i cùng, do P (1) = (1 + 1)n = 2n , √ n √ n 1 3 1 3 nπ nπ P (ε) = 1 + − +i = +i = cos + i sin , 2 2 2 2 3 3 √ n √ n 1 3 1 3 nπ nπ P (ε2 ) = 1 + − −i = −i = cos − i sin , 2 2 2 2 3 3 1 n nπ nên ta đư c t ng c n tìm b ng 2 + cos . 3 3 Ví d 4.4. Tính t ng n k Cn cos kx. k=0 L i gi i. Xét các t ng n n k k C= Cn cos kx, S = Cn sin kx. k=0 k=0 Ta có n n k C + iS = Cn (cos kx + i sin kx) = Cn eikx = (1 + eix )n k k=0 k=0 n x n x x n = (1 + cos x + i sin x) = 2 cos cos + i sin 2 2 2 x n nx nx = 2 cos cos + i sin . 2 2 2
4.3. Các bài toán đ m 169 T đó x n nx C = 2 cos cos , 2 2 hay n k x n nx Cn cos kx = 2 cos cos · 2 2 k=0 Ví d 4.5. Ch ng minh r ng m 2m 2m k 2 cos x= C2m cos 2(m − k)x. k=0 ix eix + e−ix L i gi i. Ta có e = cos x + i sin x và cos x = · Do đó 2 2m 2m 22m cos2m x = (eix + e−ix )2m = C2m (eix)k (e−ix )2m−k = k C2m e2(k−m)ix k k=0 k=0 m−1 m−1 = C2m e2(k−m)ix + k C2m e2(k−m)ix + C2m k m k=0 k=m+1 m−1 k m = C2m cos 2(m − k)x + C2m cos 2(m − m)x k=0 m k = C2m cos 2(m − k)x. k=0 4.3 Các bài toán đ m S ph c có nh ng ng d ng r t hi u qu trong các bài toán đ m. Và vai trò trung tâm trong k thu t ng d ng s ph c vào các bài toán đ m ti p t c l i là căn nguyên thu c a đơn v . Chú ý là n u ε là căn nguyên thu b c n c a đơn v thì ta có i) 1 + ε + · · · + εn−1 = 0, ii) 1 + εk + · · · + εk(n−1) = 0 v i (k ; n) = 1. Đây chính là tính ch t quan tr ng c a căn nguyên thu thư ng đư c s d ng.
170 Chương 4. S ph c trong các bài toán s h c và t h p Ví d 4.6 (PTNK 2009). Tìm s t t c các s có n ch s l p t các ch s 3, 4, 5, 6 và chia h t cho 3. L i gi i. G i cn là s các s có n ch s th a mãn yêu c u đ bài. G i α là m t nghi m c a phương trình x2 + x +1 = 0. Khi đó α3 = 1 và α2k + αk +1 = 0 n u k không chia h t cho 3, α2k + αk + 1 = 3 n u k chia h t cho 3. Xét đa th c P (x) = (x3 + x4 + x5 + x6)n . D th y cn chính là b ng t ng các h s c a các s mũ chia h t cho 3 trong khai tri n c a P (x). Nói cách khác, n u 6n P (x) = ak xk k=0 2n thì cn = a3k . M t khác ta có k=0 6n 2n 2 k 2k P (1) + P (α) + P (α ) = ak (1 + α + α ) = 3a3k . k=0 k=0 Cu i cùng, do P (1) = 4n , P (α) = P (α2 ) = 1 nên ta có 2n 4n + 2 cn = a3k = · k=0 3 Ví d 4.7 (IMO 1995). Cho p là m t s nguyên t l . Tìm s các t p con A c a t p h p {1, 2, . . . , 2p}, bi t r ng (i) A ch a đúng p ph n t ; (ii) T ng các ph n t c a A chia h t cho p. L i gi i. Xét đa th c P (x) = xp−1 + xp−2 + · · · + x + 1. Đa th c này có p − 1 nghi m ph c phân bi t. G i α là m t nghi m b t kì c a P (x). Chú ý r ng α, α2 , . . . , αp−1 là p − 1 nghi m phân bi t c a P (x) và αp = 1. Do đó, theo đ nh lí Viète, xp−1 − 1 = (x − α)(x − α2 ) · · · (x − αp−1 ).
4.3. Các bài toán đ m 171 Xét đa th c Q(x) = (x − α)(x − α2 ) · · · (x − α2p ) và g i H = {A ⊂ {1, 2, . . . , 2p} : |A| = p}. Gi s 2p Q(x) = ak xk . k=0 Khi đó ap = − αS(A) , S(A) = x. A∈H x∈A Vì n u S(A) = j(mod p) thì αS(A) = αj nên p−1 ap = nj α j , j=0 trong đó nj là s các A ∈ H sao cho S(A) = j(mod p). M t khác Q(x) = (xp − 1)2 , suy ra ap = −2. Thành th p−1 nj αj = 2. (4.1) j=0 Xét đa th c p−1 R(x) = nj xj + n0 − 2. j=0 T đ ng th c (4.1), suy ra α là m t nghi m c a R(x). Vì deg P = deg R và α là m t nghi m b t kì c a P (x) nên P (x) và R(x) ch sai khác nhau h ng s nhân. T đó np−1 = np−2 = · · · = n1 = n0 − 2, suy ra p np−1 + np−2 + · · · + n1 + n0 − 2 C2p − 2 n0 − 2 = = . p p