intTypePromotion=3

Giáo trình Hàm phức và Phép biến đổi Laplace

Chia sẻ: Tonghoang Duy | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:29

3
1.854
lượt xem
425
download

Giáo trình Hàm phức và Phép biến đổi Laplace

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Chú ý Số chỉ mục và thứ tự ví dụ được giữ nguyên như trong Bài giảng. Chương 3. TÍCH PHÂN HÀM PHỨC §2. ĐỊNH LÝ CAUCHY 2.1. Định lý Cauchy cho miền đơn liên a) Định lý Nếu hàm f (z ) giải tích trên miền đơn liên D và liên tục trên biên C ≡ ∂D thì: VD 1. Hàm f (z ) = ∫ f (z )dz = 0. C z giải tích trong D : | z | ≤ 1 và liên tục trên biên ∂D nên z +4 2 zdz = 0. z +4 |z | =1 ∫ 2 b) Hệ quả •...

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Giáo trình Hàm phức và Phép biến đổi Laplace

  1. Trường ĐH Nghiệp TP HCM GIÁO TRÌNH HÀM PHỨC VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE ĐẠI HỌC Biên soạn: Ths Đoàn Vương Nguyên
  2. ĐH Công nghi p Tp.HCM Saturday, October 23, 2010 dvntailieu.wordpress.com HÀM PH C Tài liệu tham khảo VÀ 1. Nguyễn Kim Đính – Hàm phức và ứng dụng (ĐH Kỹ thuật TP.HCM – 1998) PHÉP BI N Đ I LAPLACE LAPLACE 2. Nguyễn Kim Đính – Phép biến đổi Laplace Đ IH C (NXB Khoa học và Kỹ thuật – 1998) 3. Võ Đăng Thảo – Hàm phức và Toán tử Laplace PHÂN PH I CHƯƠNG TRÌNH PHÂN CH (ĐH Kỹ thuật TP.HCM – 2000) S ti t: 30 ti t : 4. Phan Bá Ngọc – Hàm biến phức và phép biến đổi ----- (NXB Giáo dục – 1996) Laplace Chương 1. Số phức 5. Trương Văn Thương – Hàm số biến số phức Chương 2. Hàm biến phức (NXB Giáo dục – 2007) Chương 3. Tích phân hàm phức 6. Đậu Thế Cấp – Hàm biến phức và phép tính Chương 4. Chuỗi và Thặng dư Toán tử (NXB ĐH Quốc gia – 2006) Chương 5. Phép biến đổi Laplace Chương 1. S ph c 1. ph 7. Nguyễn Văn Khuê – Lê Mậu Hải – Hàm biến phức §1. Số phức và các phép toán. (NXB Đại học Quốc gia Hà Nội – 2006) §2. Dạng lượng giác của số phức, công thức Moivre, công thức Euler. 8. Theodore. W. Gamelin – Complex Analysis §3. Đường và miền trong mặt phẳng phức. (Department of Mathematics UCLA) ……………………………………………… §1. SỐ PHỨC VÀ CÁC PHÉP TOÁN 9. Trương Thuận – Tài liệu Hàm phức và 1.1. Các định nghĩa phép biến đổi Laplace (ĐH Công nghiệp TP.HCM) • Số phức là số có dạng z = x + iy , trong đó x , y ∈ ℝ . Số i thỏa i 2 = −1 được gọi là đơn vị ảo. Biên so n: ThS. Đoàn Vương Nguyên n: x được gọi là phần thực của số phức z , ký hiệu Re z . Download Slide bài gi ng Hàm ph c và Phép bi n đ i Laplace Đ i h c t i Laplace y được gọi là phần ảo của số phức z , ký hiệu Im z . dvntailieu.wordpress.com Đặc biệt z = x + i 0 là số thực, z = iy (y ≠ 0) là số thuần ảo. Chương 1. S ph c Chương 1. S ph c 1. ph 1. ph VD 1. Re(2 − 3i ) = 2 ; Im(2 − 3i ) = −3 . • Tập hợp tất cả các số phức được ký hiệu là ℂ . { } ℂ = z = x + iy x , y ∈ ℝ . − 3 = −3 + i 0 ; i 2 = 0 + i 2 . Chú ý • Hai số phức z 1 = x 1 + iy1 và z 2 = x 2 + iy2 được gọi là ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ ⊂ ℂ. bằng nhau nếu x 1 = x 2 và y1 = y2 . z ∈ ℝ ⇔ Im z = 0 . x = −2   VD 2. 2x + i 3 = −4 − iy ⇔  Khi x = ∞ hoặc y = ∞ , ta ký hiệu z = x + iy = ∞ . y = − 3.    Tập ℂ = ℂ ∪ {∞} được gọi là tập số phức mở rộng. • Số phức z = x − iy được gọi là số phức liên hợp của 1.2. Các phép toán trên số phức số phức z = x + iy , nghĩa là x + iy = x − iy . Cho hai số phức z1 = x 1 + iy1 và z 2 = x 2 + iy2 , ta định VD 3. −2 − 3i = −2 + 3i ; i 2 = −i 2 ; −1 = −1 . nghĩa các phép toán như sau: Hàm ph c & Phép bi n đ i Laplace Đ ih c 1
  3. ĐH Công nghi p Tp.HCM Saturday, October 23, 2010 dvntailieu.wordpress.com Chương 1. S ph c Chương 1. S ph c 1. ph 1. ph a) Phép cộng và trừ số phức Chú ý • Do (x 1 + iy1 )(x 2 + iy2 )= x1x 2 + ix 1y2 + ix 2y1 + i 2y1y2 (x 1 + iy1 ) + (x 2 + iy2 ) = (x 1 + x 2 ) + i(y1 + y2 ), = (x 1x 2 − y1y2 ) + i(x 1y2 + x 2y1 ), (x 1 + iy1 ) − (x 2 + iy2 ) = (x 1 − x 2 ) + i(y1 − y 2 ). nên ta nhân như hai đa thức và chú ý i 2 = −1. • Phép nhân số phức có các tính chất như nhân số thực. Chú ý. Phép cộng số phức có tính giao hoán và kết hợp. VD 5. −i 2(−1 + i ) = i 2 − i 2 2 = 2 + i 2 ; VD 4. (2 + i ) + (−1 − i ) = 1; −3i − (−1 + 5i ) = 1 − 8i . (1 − i )(−2 + 3i ) = −2 + 3i + 2i − 3i 2 = 1 + 5i ; b) Phép nhân số phức (x 1 + iy1 )(x 2 + iy2 ) = (x 1x 2 − y1y2 ) + i(x 1y2 + x 2y1 ). (1 − 2i )(1 + 2i ) = 1 − 4i 2 = 5 . Chương 1. S ph c Chương 1. S ph c 1. ph 1. ph d) Lũy thừa bậc n của số phức c) Phép chia số phức Giả sử z 2 ≠ 0 , khi đó ta có: z n = z .z ...z (n soá z ). (x 1 + iy1 )(x 2 − iy2 ) z1 z1z 2 z1 : z 2 = = = . i 2 = −1; i 3 = −i ; i 4 = (i 2 )2 = 1; VD 7. x 2 + y2 2 2 z2 z 2z 2 (1 − i )3 = 1 − 3i + 3i 2 − i 3 = −2 − 2i . e) Căn bậc n của số phức 1−i (1 − i )(2 − i ) 1 − 3i 13 = = = − i; VD 6. 2 + i (2 + i )(2 − i ) 5 55 w = n z ⇔ z = wn. 3 + 2i (3 + 2i )(−i ) 2 − 3i VD 8. Tính 3 + 4i . = = = 2 − 3i . i(−i ) 1 i VD 9. Tính 3 1 . Chương 1. S ph c Chương 1. S ph c 1. ph 1. ph 1.3. Định lý §2. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC Cho z = x + iy , z 1 = x 1 + iy1 , z 2 = x 2 + iy2 , ta có: CÔNG THỨC MOIVRE, CÔNG THỨC EULER 1) z = z ; z 1 + z 2 = z1 + z 2 ; z 1.z 2 = z 1.z 2 . 2.1. Dạng lượng giác của số phức 2) z + z = 2 Re z = 2x ; z − z = 2i Im z = 2iy . a) Mặt phẳng phức • Về mặt hình học, số phức z = x + iy được biểu diễn 3) z .z = (x + iy )(x − iy ) = x 2 + y 2 ≥ 0 . bằng điểm M (x ; y ) trong mặt phẳng tọa độ Descartes z  z 4)  1  = 1 (z 2 ≠ 0).  vuông góc Oxy . z  z  2  2 Khi đó, mặt phẳng Oxy được gọi là mặt phẳng phức. VD 10. Cho Pn (z ) = a 0 + a1z + ... + an z n là đa thức bậc n theo z với hệ số ai ∈ ℝ (i = 0, 1,..., n ). • Trong mặt phẳng phức, ta có: Im z = 0 ⇔ z ∈ Ox ; Re z = 0 ⇔ z ∈ Oy . Giả sử Pn (2 + 3i ) = 1 − i , tính Pn (2 − 3i ). Hàm ph c & Phép bi n đ i Laplace Đ ih c 2
  4. ĐH Công nghi p Tp.HCM Saturday, October 23, 2010 dvntailieu.wordpress.com Chương 1. S ph c Chương 1. S ph c 1. ph 1. ph ( ) y Do đó: • Góc định hướng ϕ = Ox , OM có tia đầu Ox và tia z = x + iy y Trục hoành Ox • M cuối OM , được gọi là argument của z . được gọi là trục thực. y • Argument ϕ của z thỏa mãn Trục tung Oy x x O M• −π < ϕ ≤ π được gọi là trục ảo. ϕ được gọi là argument chính, b) Modul và argument của số phức ký hiệu là arg z . x y O • Trong mặt phẳng phức, • Nếu z là số thực dương thì arg z = 0 , khoảng cách r từ gốc tọa độ •M y r O đến điểm M được gọi là z là số thực âm thì arg z = π. modul của z , ký hiệu là | z |. x z = 0 thì argument của z không xác định. O x Modul của z được xác định bởi: • Ký hiệu tập hợp tất cả argument của z là Argz . | z | = r = OM = x 2 + y 2 . Vậy Argz = arg z + k 2π, k ∈ ℤ. Chương 1. S ph c Chương 1. S ph c 1. ph 1. ph c) Dạng lượng giác của số phức Quy ước • Cho số phức z = x + iy có | z | = r và arg z = ϕ . Khi không nói rõ ϕ thuộc khoảng nào thì ta hiểu ϕ là x y Ta có: z = r  + i  = r ( cos ϕ + i sin ϕ ) . argument chính.   r   r  • Cách xác định argument chính của z = x + iy Vậy dạng lượng giác của số phức z là: z = r (cos ϕ + i sin ϕ). Bước 1. Xác định điểm M biểu diễn z trên mpOxy . VD 2. Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác: x y Bước 2. arg z = ϕ thỏa mãn cos ϕ = , sin ϕ = , a) z = −4 ; b) z = 1 − i 3 ; c) z = − 2 + i 2 . r r −π < ϕ ≤ π và phụ thuộc vào vị trí của M . Nhận xét Nếu z = r (cos ϕ + i sin ϕ) thì: z = r (cos ϕ − i sin ϕ ) = r [cos(−ϕ ) + i sin(−ϕ )]. VD 1. Xác định modul và argument của các số phức: b) z = − 3 − i . a) z = i ; Nếu z ∈ ℝ , z = x + i 0 thì | z | = x 2 + 0 2 = | x |. Chương 1. S ph c Chương 1. S ph c 1. ph 1. ph 2.2. Công thức Moivre 2.3. Công thức Euler • Cho số phức z = cos ϕ + i sin ϕ . Ta có: i n = i 4k +r = (i k )4 .i r = i r (0 ≤ r ≤ 3) . Do đó: Khi đó: z = cos nϕ + i sin nϕ (n ∈ ℤ, n ≥ 1). n = 1 nếu r = 0 , nghĩa là n ⋮ 4 ; • in = i nếu r = 1, nghĩa là n : 4 dư 1; • in • Tổng quát, cho số phức z = r (cos ϕ + i sin ϕ). = −1 nếu r = 2 , nghĩa là n : 4 dư 2; • in Khi đó: = −i nếu r = 3 , nghĩa là n : 4 dư 3. • in 1) z n = r n (cos nϕ + i sin nϕ), n ∈ ℤ.  ϕ + k 2π  Khai triển Maclaurin hàm e iϕ (ϕ ∈ ℝ) , ta được: ϕ + k 2π  2) n z = wk = n r cos + i sin     (iϕ)n  ϕ2 ϕ 4     ∞   3 n n − ... + i  −  ϕ ϕ + ...  e iϕ = ∑   = 1 − + (n ∈ ℤ, n ≥ 2, k = 0, n − 1).    1! 3!         n =0 n ! 2! 4! = cos ϕ + i sin ϕ. VD 3. Tính a) (1 − i )100 ; b) 3 8 . Hàm ph c & Phép bi n đ i Laplace Đ ih c 3
  5. ĐH Công nghi p Tp.HCM Saturday, October 23, 2010 dvntailieu.wordpress.com Chương 1. S ph c Chương 1. S ph c 1. ph 1. ph 2) Với mọi z 1 = x 1 + iy1, z 2 = x 2 + iy2 , ta gọi Công thức Euler e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ. | z1 − z 2 | = (x 1 − x 2 )2 + (y1 − y2 )2 • Dựa vào công thức Euler, số phức z có | z | = r và là khoảng cách giữa z1 và z 2 . Khi đó | z − a | = r hay z = a + re iϕ (ϕ ∈ [0; 2π ]) arg z = ϕ có thể được viết dưới dạng mũ: z = re iϕ . là phương trình đường tròn tâm a , bán kính r . Đặc biệt, | z | = 1 hay z = e iϕ là phương trình của VD 4. Viết các số phức sau dưới dạng mũ: đường tròn đơn vị. a) z = −3 ; c) z = − 3 + i . b) z = −i ; • Công thức cần nhớ Với z = re iϕ , z 1 = r1e = r1(cos ϕ1 + i sin ϕ1 ), Nhận xét iϕ1 1) Nếu z = re iϕ thì z = re −iϕ . z 2 = r2e = r2 (cos ϕ2 + i sin ϕ2 ), ta có: iϕ2 Chương 1. S ph c Chương 1. S ph c 1. ph 1. ph i (ϕ1 +ϕ2 ) 1) z 1z 2 = r1r2e §3. ĐƯỜNG VÀ MIỀN TRONG MẶT PHẲNG PHỨC = r1r2 [cos(ϕ1 + ϕ2 ) + i sin(ϕ1 + ϕ2 )]. 3.1. Đường trong mặt phẳng phức z1 r1 i (ϕ1 −ϕ2 ) = e 2) a) Phương trình tham số z2 r2 • Giả sử x (t ), y(t ) là các hàm thực, xác định và liên tục r1 trên [a; b ] của đường thẳng thực. Khi đó phương trình: = [cos(ϕ1 − ϕ2 ) + i sin(ϕ1 − ϕ2 )]. r2 z = z (t ) = x (t ) + iy(t ), a ≤ t ≤ b 3) z n = r ne inϕ , n ∈ ℤ . biểu diễn tham số một đường cong L trong mp phức. ϕ +k 2 π (n ≥ 2, k = 0, n − 1). i 4) z = wk = r .e n n n • Các điểm z (a ), z (b) ∈ L lần lượt được gọi là điểm đầu và điểm cuối của đường cong L . ………………………………………………………… Chương 1. S ph c Chương 1. S ph c 1. ph 1. ph VD 1. a)Đường tròn tâm O bán kính r có phương trình: b) Phân loại đường cong z = r (cos t + i sin t ) = r cos t + i.r sin t, t ∈ [0; 2π ]. • Đường cong có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau b) Đoạn thẳng nối điểm O và điểm (1 + i ) có phương được gọi là đường cong đóng (khép kín). trình là z = t + it, t ∈ [0; 1]. • Đường cong không có điểm tự cắt được gọi là đường VD 2. Xác định đường cong có phương trình: cong Jordan. Đường cong Jordan đóng còn được gọi i là chu tuyến. z = t + (0 < t < +∞). t 1 i • Đường cong L được gọi là trơn nếu các hàm số x (t ) và Giải. Từ z = t + , ta suy ra x = t > 0 và y = . t t y(t ) có đạo hàm liên tục và khác 0 trên đoạn [a; b ], có 1 Khử t , ta được y = (x > 0). nghĩa là mọi điểm của L đều có tiếp tuyến. x 1 Vậy đường cong đã cho là nhánh hyperbol y = nằm • Đường cong tạo bởi một số hữu hạn các đường cong x trơn được gọi là đường cong trơn từng khúc. ở góc phần tư thứ nhất của mặt phẳng phức. Hàm ph c & Phép bi n đ i Laplace Đ ih c 4
  6. ĐH Công nghi p Tp.HCM Saturday, October 23, 2010 dvntailieu.wordpress.com Chương 1. S ph c Chương 1. S ph c 1. ph 1. ph { } VD 3. a) Tập D = z ∈ ℂ :| z − 2 − i | < 1 là 1 miền. 3.2. Miền trong mặt phẳng phức a) Lân cận và miền { } b) Tập D = z ∈ ℂ :| z − i | < 1 ∪ {z ∈ ℂ : Im(z ) < 0} • Lân cận ε > 0 của z 0 (≠ ∞) là hình tròn mở tâm tại z 0 : không là miền vì với a, b ∈ D , ta có thể chỉ ra được { } U ε (z 0 ) = z ∈ ℂ | z − z 0 |< ε . đường cong L có điểm đầu là a , điểm cuối là b , nhưng Lân cận ε của điểm z = ∞ là | z |> ε . L không nằm trong D . b) Biên và chiều của biên • Tập D ⊂ ℂ được gọi là một miền trong mặt phẳng • Điểm z 0 được gọi là điểm biên của miền D nếu trong phức nếu thỏa hai điều kiện sau: 1) Với mọi z 0 ∈ D , tồn tại lân cận U ε (z 0 ) ⊂ D . lân cận bất kỳ của z 0 đều có chứa điểm thuộc D và điểm không thuộc D . 2) Với mọi a, b ∈ D , tồn tại đường cong L ⊂ D có • Tập hợp các điểm biên của miền D được gọi là biên điểm đầu là a , điểm cuối là b . của D , ký hiệu là ∂D . Chương 1. S ph c Chương 1. S ph c 1. ph 1. ph • Nếu D là một miền thì D = D ∪ ∂D được gọi là miền D γ đóng (hay miền kín). γ2 • Quy ước chiều dương của biên ∂D là chiều mà khi ta γ1 đi dọc theo biên sẽ thấy miền D nằm về phía tay trái. c) Miền đơn liên, miền đa liên γ ≡ ∂D Nhận xét ∂ D = γ ∪ γ1 ∪ γ 2 • Xét miền D giới hạn bởi chu • Nếu ta bổ sung vào miền D tuyến γ . Miền này được gọi là đa liên các đoạn thẳng miền đơn liên, γ chính là ∂D . l1, l2 ,... thì miền sẽ thành γ D • Nếu D được giới hạn bởi hai chu tuyến γ1, γ2 không l1 miền đơn liên. Mỗi đoạn γ2 l giao nhau, thì miền D được gọi là miền nhị liên. Khi thẳng được tính hai lần γ1 2 đó, ∂D = γ1 ∪ γ2 . Tương tự, ta có thể định nghĩa miền theo chiều ngược nhau. ……………………………………………………… tam liên, tứ liên,... Chương 2. Hàm bi n ph c Chương 2. Hàm bi n ph c 2. ph 2. ph • Nếu mỗi z ∈ A ứng với một giá trị w = f (z ) ∈ ℂ thì f Hàm biến phức. §1. Hàm giải tích. §2. được gọi là hàm đơn trị, nếu mỗi z ∈ A ứng với nhiều Quan hệ giữa hàm giải tích và hàm điều hòa. §3. giá trị w = f (z ) ∈ ℂ thì f được gọi là hàm đa trị. hàm số sơ cấp. §4. Các ……………………………………………………… §1. HÀM BIẾN PHỨC 1 là hàm đơn trị có MXĐ D = ℂ \ {0}. VD 1. f (z ) = (Complex variable function) z 1.1. Hàm biến phức Trong D = ℂ \ {0}, w = f (z ) = z là hàm hai trị. a) Định nghĩa • Quy tắc f cho tương ứng mỗi z ∈ A ⊂ ℂ với một hay VD 2. Cho f (z ) = z − 3 Im z . Tính: nhiều giá trị w = f (z ) ∈ ℂ được gọi là một hàm biến f (1), f (−2i ), f (1 − 2i). phức z . • Tập A được gọi là miền xác định (MXĐ) của f . VD 3. Cho f (z ) = 3z + z 2 . Tính f (−1 + 3i ). { } Tập B = w w = f (z ), z ∈ A tập giá trị của f . Hàm ph c & Phép bi n đ i Laplace Đ ih c 5
  7. ĐH Công nghi p Tp.HCM Saturday, October 23, 2010 dvntailieu.wordpress.com Chương 2. Hàm bi n ph c Chương 2. Hàm bi n ph c 2. ph 2. ph c*) Phép biến hình thực hiện bởi hàm biến phức b) Phần thực và phần ảo của hàm biến phức Để biễu diễn hình học một hàm số thực biến số thực, ta • Với mỗi z ∈ A, w = f (z ) ∈ ℂ nên ta có thể viết: vẽ đồ thị của hàm số đó. Để biễu diễn hình học một hàm số phức, ta không thể dùng phương pháp đồ thị w = f (z ) = u(x , y ) + iv(x , y ). được nữa. Ta thực hiện như sau: Các hàm u(x , y ) = Re w và v(x , y ) = Im w lần lượt • Cho hàm biến phức w = f (z ), z ∈ A . Xét hai mặt phẳng phức Oxy (mpz ) và O ′uv (mpw ). Ứng với mỗi được gọi là phần thực và phần ảo của hàm f (z ). điểm z 0 ∈ A , hàm w = f (z ) xác định điểm w 0 = f (z 0 ) trong mặt phẳng w . VD 4. Xác định phần thực và ảo của w = z 2 + (1 − i )z . Về mặt hình học, ta nói hàm w = f (z ) xác định một 1 phép biến hình từ mpz vào mpw . VD 5. Xác định phần thực và ảo của f (z ) = z − . z Điểm w 0 được gọi là ảnh của điểm z 0 và điểm z 0 được gọi là nghịch ảnh của điểm w 0 . Chương 2. Hàm bi n ph c Chương 2. Hàm bi n ph c 2. ph 2. ph arg w y v • Đường cong L : z (t ) = x (t ) + iy(t ) có ảnh qua phép arg z biến hình w = f (z ) = u(x , y ) + iv(x , y ) là tập hợp điểm w = z2 2ϕ ϕ trong mpw với tọa độ: O′ O x u u = u(x (t ), y(t )); v = v(x (t ), y(t )). Hình câu 3) VD 6. Cho hàm f (z ) = z 2 . Tìm ảnh của: 1) Điểm z 0 = 3 + 2i ; 2) Đường tròn | z | = 2 ; w = z2 π 3) Tia arg z = ϕ , 0 < ϕ < ; Hình câu 4) 2 { } VD 7. Tìm nghịch ảnh của đường tròn: 4) Miền A = z ∈ ℂ 0 < Re z < 1 . 1 (u − 1)2 + (v + 1)2 = 2 qua phép biến hình w = . z Chương 2. Hàm bi n ph c Chương 2. Hàm bi n ph c 2. ph 2. ph • Các giới hạn lim f (z ) = a , lim f (z ) = ∞ được định Từ đây về sau, ta chỉ xét trường hợp hàm f(z) đơn trị. z →∞ z →∞ 1.2. Tính liên tục của hàm biến phức nghĩa tương tự. a) Giới hạn hàm biến phức Định lý Định nghĩa Nếu hàm phức f (z ) = u(x , y ) + iv(x , y ), z 0 = x 0 + iy 0 • Cho hàm biến phức f (z ) xác định trong lân cận của z 0 và a = α + i β thì: (có thể trừ điểm z 0 ). Số phức a ≠ ∞ được gọi là giới lim f (z ) = a ⇔ lim u(x , y ) = α, lim v(x , y ) = β . hạn của f (z ) khi z → z 0 , ký hiệu lim f (z ) = a , nếu: z →z 0 x →x 0 x →x 0 z →z 0 y →y0 y →y 0 ∀ ε > 0, ∃ δ > 0 : | z − z 0 | < δ ⇒ f (z ) − a < ε . b) Hàm số liên tục • Hàm phức f (z ) được gọi là có giới hạn ∞ khi z → z 0 , Định nghĩa ký hiệu lim f (z ) = ∞ , nếu: • Cho hàm f (z ) xác định trong miền chứa z 0 . Hàm f (z ) z →z 0 được gọi là liên tục tại điểm z 0 nếu lim f (z ) = f (z 0 ). ∀M > 0, ∃δ > 0 : | z − z 0 |< δ ⇒ f (z ) > M . z →z 0 Hàm ph c & Phép bi n đ i Laplace Đ ih c 6
  8. ĐH Công nghi p Tp.HCM Saturday, October 23, 2010 dvntailieu.wordpress.com Chương 2. Hàm bi n ph c Chương 2. Hàm bi n ph c 2. ph 2. ph §2. HÀM GIẢI TÍCH • Hàm f (z ) được gọi là liên tục trong miền B nếu f (z ) liên tục tại mọi điểm z ∈ B . 2.1. Đạo hàm của hàm biến phức Nhận xét a) Định nghĩa • Nếu f (z ) = u(x , y ) + iv(x , y ) liên tục tại z 0 = x 0 + iy 0 Cho hàm w = f (z ) xác định trong miền D chứa điểm z = x + iy . Cho z một số gia ∆z = ∆x + i∆y . Gọi thì u(x , y ) và v(x , y ) liên tục tại (x 0 , y 0 ) . ∆w = f (z + ∆z ) − f (z ) là số gia tương ứng của f (z ). • Các tính chất và phép tính giới hạn tương tự như hàm ∆w thực hai biến. Nếu tỉ số dần tới một giới hạn xác định khi VD 8. a) lim (z 2 + i ) = (1 + i)2 + i = 3i . ∆z z →1+i ∆z → 0 (theo mọi cách) thì giới hạn đó được gọi là −y 1 1 x b) Hàm phức f (z ) = = =2 +i 2 đạo hàm của w = f (z ) tại điểm z . Ký hiệu f ′(z ). x + iy x +y x + y2 2 z ∆w f (z + ∆z ) − f (z ) liên tục trên ℂ \ {0}. Ta có: f ′(z ) = ∆z →0 = lim lim . ……………………………………………………… ∆z ∆z ∆z → 0 Chương 2. Hàm bi n ph c Chương 2. Hàm bi n ph c 2. ph 2. ph VD 2. Xét hàm f (z ) = z , ta có: Chú ý ∆f (z ) = f (z + ∆z ) − f (z ) = z + ∆z − z f (z ) có đạo hàm tại điểm z thì khả vi tại điểm z . = ∆z = ∆x + i∆y = ∆x − i∆y . f (z ) có đạo hàm tại điểm z thì liên tục tại điểm z . • Nếu ∆z → 0 theo trục thực thì ∆y = 0, ∆z = ∆x Đạo hàm của hàm biến phức có các tính chất và quy tắc tính tương tự hàm biến số thực. ∆f (z ) ∆x ⇒ lim = lim = 1. ∆z ∆z → 0 ∆x ∆z → 0 VD 1. Xét hàm f (z ) = z , ta có: 2 • Nếu ∆z → 0 theo trục ảo thì ∆x = 0, ∆z = i∆y ∆f (z ) = f (z + ∆z ) − f (z ) = 2z .∆z + (∆z )2 ∆f (z ) −i∆y ⇒ lim = lim = −1. ∆f (z ) ∆z ∆z → 0 i ∆y ∆z → 0 = lim (2z + ∆z ) = 2z ⇒ f ′(z ) = 2z . ⇒ lim ∆z → 0 ∆z ∆z →0 Vậy hàm f (z ) = z không khả vi tại mọi điểm z ∈ ℂ . Chương 2. Hàm bi n ph c Chương 2. Hàm bi n ph c 2. ph 2. ph Nhận xét b) Điều kiện khả vi Cauchy – Riemann (C – R) z +z z −z Định lý Do x = ,y= nên ta có: 2 2i • Nếu hàm f (z ) = u(x , y ) + iv(x , y ) khả vi tại z = x + iy 1 1 fz′ = fx′.x z′ + fy′.yz′ = fx′ − fy′ thì các hàm hai biến thực u(x , y ) và v(x , y ) có các đạo 2 2i hàm riêng tại (x , y ) và thỏa điều kiện C – R: 1 = [(ux′ + ivx′ ) + i(uy + ivy′ )] ′ ux′ = vy′ vaø uy′ = −vx′ . 2 1 = [(ux′ − vy′ ) + i(uy′ + vx′ )]. • Ngược lại, nếu các hàm hai biến thực u(x , y ) và v(x , y ) 2 có các đạo hàm riêng liên tục tại (x , y ) và thỏa điều Vậy điều kiện C – R tương đương với: kiện C – R thì hàm f (z ) = u(x , y ) + iv(x , y ) khả vi tại z = x + iy và: ∂f = fz′ = 0. f ′(z ) = ux′ + ivx′ . ∂z Hàm ph c & Phép bi n đ i Laplace Đ ih c 7
  9. ĐH Công nghi p Tp.HCM Saturday, October 23, 2010 dvntailieu.wordpress.com Chương 2. Hàm bi n ph c Chương 2. Hàm bi n ph c 2. ph 2. ph VD 3. Xét hàm w = z 2 , ta có: u = x 2 − y 2 , v = 2xy . c) Hàm giải tích u ′ = 2x = v ′  Định nghĩa Do  x nên w = z 2 khả vi trên ℂ . y ′ • Hàm w = f (z ) khả vi trong một lân cận của z được uy = −2y = −vx′   gọi là giải tích (còn gọi là chỉnh hình) tại z . VD 4. Xét hàm f (z ) = z .Re z , ta có: Điểm z mà tại đó hàm w = f (z ) không giải tích đượ c f (z ) = x 2 + ixy ⇒ u = x 2 , v = xy . gọi là điểm bất thường của f (z ). u ′ = v ′ 2x = x x = 0    • Hàm w = f (z ) khả vi tại mọi điểm z thuộc miền D thì Điều kiện C – R:  x ⇔ ⇔ y ′   . uy = −vx′ 0 = −y y = 0 được gọi là giải tích trong miền D .       Vậy f (z ) = z .Re z khả vi tại z = 0 và Chú ý f ′(0) = ux′ (0, 0) + ivx′ (0, 0) = 0 . Hàm w = f (z ) giải tích tại điểm z 0 thì khả vi tại z 0 , ngược lại nói chung là không đúng. VD 5. Xét tính khả vi của hàm w = 3 Re z − z . Chương 2. Hàm bi n ph c Chương 2. Hàm bi n ph c 2. ph 2. ph §3. QUAN HỆ GIỮA HÀM GIẢI TÍCH Chẳng hạn, hàm f (z ) = z .z khả vi tại z = 0 nhưng VÀ HÀM ĐIỀU HÒA không giải tích tại điểm đó. 3.1. Hàm điều hòa Hàm w = f (z ) giải tích trên miền mở D khi và chỉ • Định nghĩa khi f (z ) khả vi trên D . Hàm hai biến thực u(x , y ) được gọi là hàm điều hòa trong miền D nếu u(x , y ) thỏa phương trình Laplace: VD 6. a) Hàm w = z không giải tích tại ∀z ∈ ℂ . ∆u ≡ ux′′2 + uy′′2 = 0. b) Hàm w = z n khả vi tại ∀z ∈ ℂ nên giải tích trong ℂ . z VD 1. a) Hàm u = x 2 − y 2 là hàm điều hòa vì: c) Hàm w = 2 giải tích tại ∀z ∈ ℂ \ {±i}. z +1 u ′′2 + u ′′2 = 2 − 2 = 0 . Hai điểm z = ±i là điểm bất thường của hàm w . x y b) Hàm u = ln(x + y 2 ) là hàm điều hòa trong 2 ……………………………………………… toàn mặt phẳng trừ gốc tọa độ. Chương 2. Hàm bi n ph c Chương 2. Hàm bi n ph c 2. ph 2. ph • Định lý 3.2. Điều kiện để hàm biến phức giải tích Nếu hàm f (z ) = u(x , y ) + iy(x , y ) là hàm giải tích trong • Nếu u(x , y ) và v(x , y ) là hai hàm điều hòa liên hợp miền D thì u(x , y ) và y(x , y ) là các hàm điều hòa trong (nghĩa là thỏa điều kiện Cauchy – Riemann) trong D miề n D . thì hàm f (z ) = u(x , y ) + iv(x , y ) giải tích trong D . VD 2. Hàm w = e x (cos y + i sin y ) giải tích trong ℂ . Nhận xét Ta có: u = e x cos y, v = e x sin y • Cho trước một hàm điều hòa, ta có thể tìm được hàm điều hòa liên hợp với nó (sai khác 1 hằng số). Vì vậy, ⇒ ux′′2 = e cos y, uy′′2 = −e cos y ; x x khi cho trước phần thực hoặc phần ảo của một hàm vx′′2 = e x sin y, vy′′2 = −e x sin y giải tích, ta có thể tìm được hàm giải tích đó (sai khác 1 hằng số). ⇒ u x′′2 + uy′′2 = 0; vx′′2 + vy′′2 = 0 . VD 3. Tìm hàm giải tích f (z ). Cho biết phần thực u = x 2 − y 2 + 2x và f (0) = 0 . Vậy u = e x cos y, v = e x sin y là các hàm điều hòa. Hàm ph c & Phép bi n đ i Laplace Đ ih c 8
  10. ĐH Công nghi p Tp.HCM Saturday, October 23, 2010 dvntailieu.wordpress.com Chương 2. Hàm bi n ph c Chương 2. Hàm bi n ph c 2. ph 2. ph §4. CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP 4.2. Hàm mũ và Logarit a) Hàm mũ 4.1. Hàm hữu tỉ e z = e x +iy = e x (cos y + i sin y ). a 0z n + a1z n −1 + ... + an f (z ) = . • Tính chất b0z m + b1z m −1 + ... + bm Nếu z = x thì e z = e x . Các trường hợp riêng của hàm hữu tỉ | e z | = | e x | > 0, ∀z ∈ ℂ . Hàm tuyến tính: f (z ) = az + b , D = ℂ . Hàm lũy thừa: f (z ) = z n , n ∈ ℤ , D = ℂ . z1 +z2 e 1 .e 2 = e z z . n −1 + ... + an , D = ℂ . Hàm đa thức: f (z ) = a 0z + a1z n Hàm w = e tuần hoàn với chu kỳ 2πi . z  d  az + b , D = ℂ \ −  . Hàm w = e z khả vi với mọi z ∈ ℂ và (e z )′ = e z . Hàm phân tuyến tính: f (z ) =   c cz + d   Chương 2. Hàm bi n ph c Chương 2. Hàm bi n ph c 2. ph 2. ph 4.3. Các hàm lượng giác và hyperbol b) Hàm logarit w = Lnz 1 • Định nghĩa Hàm cosin: cos z = (e iz + e −iz ). Với z = r (cos ϕ + i sin ϕ) = r .e iϕ , ta có: 2 1 iz Hàm sin: sin z = (e − e −iz ) . lnz = ln r + i(ϕ + k 2π), (0 ≤ ϕ ≤ 2π). 2i Chọn k = 0 và ký hiệu Lnz , ta được: e z + e −z Hàm cosin hyperbolic: chz = = cos(iz ). Lnz = ln r + iϕ, (0 ≤ ϕ ≤ 2π). 2 e z − e −z • Tính chất Hàm sin hyperbolic: shz = = −i sin(iz ) . Hàm Lnz là hàm đơn trị xác định trên ℂ \ {0}. 2 Ln(z 1.z 2 ) = Lnz 1 + Lnz 2 . • Tất cả các tính chất và công thức lượng giác đã biết cũng đúng với các hàm lượng giác phức. 1 Hàm w = Lnz khả vi ∀z ∈ ℂ \ {0} và (Lnz )′ = . Các hàm hyperbol xác định và liên tục trên ℂ . z ………………………………………………… Chương 3. Tích phân hàm ph c Chương 3. Tích phân hàm ph c 3. 3. Tích phân đường của hàm phức. §1. Trên mỗi cung z k −1z k ta chọn tùy ý điểm tk (k = 1, n ) Định lý Cauchy. §2. Tích phân bất định. Công thức Newton – Leibnitz. §3. n và lập tổng S n = ∑ f (tk )(z k − z k −1 ). Công thức tích phân Cauchy. §4. ………………………………………… k =1 §1. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG CỦA HÀM PHỨC 1.1. Định nghĩa • Nếu khi ∆z k = z k − z k −1 → 0 , tổng S n dần đến giới y • Cho đường cong định hướng zn C hạn là I ∈ ℂ (không phụ thuộc vào cách chia và chọn • Jordan C , trơn từng khúc, có ∆k điểm tk ), thì I được gọi là tích phân của f (z ) dọc theo phương trình: • zk ∫ f (z )dz . z (t ) = x (t ) + iy (t ), t : a → b C hướng từ z 0 đến z n . Ký hiệu •• tk • z k −1 z0 và hàm phức f (z ) xác định C liên tục trên C . Chia C thành n ∑ f (t )(z − z k −1 ). x O ∫ f (z )dz = lim Vậy n điểm chia liên tiếp: k k max ∆zk → 0 k =1 z (a ) = z 0 , z 1,..., z n = z (b ). 1≤k ≤n C Hàm ph c & Phép bi n đ i Laplace Đ ih c 9
  11. ĐH Công nghi p Tp.HCM Saturday, October 23, 2010 dvntailieu.wordpress.com Chương 3. Tích phân hàm ph c Chương 3. Tích phân hàm ph c 3. 3. • Nếu đường cong có điểm đầu và cuối lần lượt là A, B Nếu C = C 1 ∪ C 2 và C 1 ∩ C 2 = ∅ thì: thì ta ký hiệu ∫ f (z )dz . ∫ f (z )dz = ∫ f (z )dz + ∫ f (z )dz . AB C C1 C2 • Nếu đường cong C có điểm đầu và cuối trùng nhau thì ta ký hiệu ∫ f (z )dz với chiều của C là chiều dương. ∫ f (z )dz = −∫ f (z )dz . C AB BA 1.2. Tính chất Gọi L là độ dài của đường C và M = max f (z ) , ta z ∈ℂ Tích phân đường hàm phức dọc theo C có các tính chất có công thức ước lượng tích phân: như tích phân đường loại 2: ∫ f (z )dz ≤ ∫ f (z ) dz ≤ ML. ∫ [af (z ) + bg(z )]dz = a ∫ f (z )dz + b ∫ g(z )dz . C C C C C Chương 3. Tích phân hàm ph c Chương 3. Tích phân hàm ph c 3. 3. 1.3. Phương pháp tính b) Biểu diễn tích phân theo phần thực và ảo của f(z) a) Đưa về tích phân xác định Thay f (ξk ) = u(ξk ) + iv(ξk ) và ∆z k = ∆x k + i ∆yk vào Nếu phương trình của C : z (t ) = x (t ) + iy(t ), t : a → b tổng S n , ta được: b n n S n = ∑ f (ξk )∆z k = ∑ [u(ξk ) + iv(ξk )](∆x k + i ∆yk ) ∫ ∫ f (z (t )).z ′(t )dt. f (z )dz = thì: k =1 k =1 C a VD 1. Tính tích phân I = ∫ (z ) dz , trong đó n n 2 = ∑ [u(ξk )∆x k − v(ξk )∆yk ] + i ∑ [v(ξk )∆x k + u(ξk )∆yk ]. k =1 k =1 C C là đoạn thẳng nối từ gốc tọa độ O đến điểm 1 + i . Qua giới hạn, ta có: ∫ (z ) dz , trong đó C VD 2. Tính tích phân I = 2 l à nử a ∫ f (z )dz =∫ udx − vdy + i ∫ vdx + udy. C dưới của đường tròn đơn vị nối từ z = −1 đến z = 1. C C C Chương 3. Tích phân hàm ph c Chương 3. Tích phân hàm ph c 3. 3. §2. ĐỊNH LÝ CAUCHY ∫ z dz , trong đó VD 3. Tính tích phân I = 2.1. Định lý Cauchy cho miền đơn liên C C là đoạn thẳng nối từ điểm z = 2 + i đến điểm z = 0 . a) Định lý Nếu hàm f (z ) giải tích trên miền đơn liên D và liên tục ∫ (1 + i − 2z )dz , trong đó VD 4. Tính tích phân I = trên biên C ≡ ∂D thì: ∫ f (z )dz = 0. C C là cung parapol y = x 2 nối z = 0 với z = 1 + i . C z VD 1. Hàm f (z ) = giải tích trong D : | z | ≤ 1 dz z +4 2 VD 5. Tính tích phân I = ∫ , trong đó z −a zdz và liên tục trên biên ∂D nên ∫ 2 = 0. C C là đường tròn tâm a , bán kính r . z +4 |z | =1 Hàm ph c & Phép bi n đ i Laplace Đ ih c 10
  12. ĐH Công nghi p Tp.HCM Saturday, October 23, 2010 dvntailieu.wordpress.com Chương 3. Tích phân hàm ph c Chương 3. Tích phân hàm ph c 3. 3. b ) Hệ q u ả Do f (z ) = 2z giải tích trong ℂ nên: • Nếu hàm f (z ) giải tích trong miền đơn liên D và C là 1 ∫ 2z dz = ∫ 2(t − 2it )(1 − 2i)dt = −3 − 4i. I= đường cong kín nằm trong D thì ∫ f (z )dz = 0 . 0 OA C • Nếu hàm f (z ) giải tích trong miền đơn liên D , thì tích 2.2. Định lý Cauchy cho miền đa liên phân ∫ f (z )dz với mọi đường cong C nằm trong D a) Định lý 1 C Cho miền D − n liên (n > 1) có biên ∂D gồm có cùng điểm đầu và điểm cuối nhận giá trị như nhau. C 1,C 2 ,...,C n , trong đó C 1 bao các chu tuyến khác và ∫ 2z dz , trong đó VD 2. Tính tích phân I = các chu tuyến C 2,...,C n nằm ngoài nhau. Nếu f (z ) giải C tích trong D và liên tục trong D = D ∪ ∂D thì: C là cung y = x 3 − 3x 2 nối z = 0 với z = 1 − 2i . ∫ f (z )dz = ∫ f (z )dz + ... + ∫ f (z )dz . Giải. Đoạn thẳng OA nối z = 0 với z = 1 − 2i có phương trình: z (t ) = t − 2it, t : 0 → 1. C1 C2 Cn Chương 3. Tích phân hàm ph c Chương 3. Tích phân hàm ph c 3. 3. dz VD 3. Khảo sát tích phân I n = ∫ b) Định lý 2 , trong đó (z − a )n Với giả thiết như trong định lý 1, ta có: C C là đường cong kín không đi qua điểm a và n ∈ ℤ . ∫ f (z )dz = 0. G i ải ∂D • Trường hợp 1: điểm a nằm ngoài C . 1 Do hàm f (z ) = giải tích trong miền đóng D Hệ quả (tính bất biến khi biến dạng chu tuyến) (z − a )n Nếu chu tuyến C 1 có thể biến dạng liên tục mà không y có biên C nên I n = 0 (định lý 2). C vượt qua bất kỳ điểm kỳ dị nào của f (z ) để trở thành • Trường hợp 2: điểm a nằm trong C . chu tuyến C 2 thì: r• a Ta chọn r đủ bé để đường tròn ∫ f (z )dz = ∫ f (z )dz. C r tâm a , bán kính r nằm x O C1 C2 trong C . Chương 3. Tích phân hàm ph c Chương 3. Tích phân hàm ph c 3. 3. Phtrình tham số của C r là: z = a + re iϕ (ϕ ∈ [0;2π ]). §3. TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH CÔNG THỨC NEWTON – LEIBNITZ Áp dụng hệ quả, ta được: 2π 2π ire iϕdϕ dz i In = ∫ =∫ ∫e 3.1. Tích phân bất định i (1−n )ϕ = n −1 dϕ . (z − a )n iϕ n (re ) r • Hàm giải tích F (z ) được gọi là nguyên hàm của hàm 0 0 C r giải tích f (z ) trong miền D nếu F ′(z ) = f (z ). 2π Với n = 1 thì I 1 = i ∫ dϕ = 2πi . Khi đó, F (z ) + C (với C là hằng số phức) cũng là 0 nguyên hàm của f (z ). 2π e i (1−n )ϕ Với n ≠ 1 thì I n = n −1 = 0. • Tập tất cả nguyên hàm của f (z ) có dạng F (z ) + C và r (1 − n ) 0 được gọi là tích phân bất định của f (z ). 2πi, n = 1 vaø a naèm trong C  Ký hiệu là ∫ f (z )dz . dz = Vậy ∫   0, caùc tröôøng hôïp coøn laïi. (z − a )n   C Hàm ph c & Phép bi n đ i Laplace Đ ih c 11
  13. ĐH Công nghi p Tp.HCM Saturday, October 23, 2010 dvntailieu.wordpress.com Chương 3. Tích phân hàm ph c Chương 3. Tích phân hàm ph c 3. 3. 3.2. Công thức Newton – Leibnitz ∫ 3z dz , trong đó • Nếu hàm f (z ) giải tích trong miền đơn liên D và F (z ) VD 1. Tính tích phân I = 2 là một nguyên hàm của f (z ) trong D thì: C C là đường cong nối điểm z = i và z = 2 . z2 z2 ∫ f (z )dz = F (z ) = F (z 2 ) − F (z 2 ), ∀z1, z 2 ∈ D. z1 1+i z1 ∫ z (z − 1) VD 2. Tính tích phân I = 100 dz . Chú ý 1 • Tích phân hàm f (z ) dọc theo đường cong C chỉ được áp dụng công thức Newton – Leibnitz nếu C nằm iπ trong miền đơn liên D và hàm f (z ) giải tích trong D . ∫ ze dz . VD 3. Tính tích phân I = z • Các phương pháp tính tích phân đổi biến và từng phần 0 đã biết vẫn đúng cho tích phân phức. Chương 3. Tích phân hàm ph c Chương 3. Tích phân hàm ph c 3. 3. e izdz §4. CÔNG THỨC TÍCH PHÂN CAUCHY ∫ VD 2. Tính tích phân I = , trong đó: 4z 2 − π 2 4.1. Định lý (công thức tích phân Cauchy) C a) C : | z − 1 | = 1; b) C : | z − i | = 3 . Giả sử hàm f (z ) giải tích trong miền giới nội D và liên tục trong miền D = D ∪ ∂D . Khi đó, giá trị f (z 0 ) tại y C điểm bất kỳ z 0 ∈ D được biễu diễn qua giá trị trên biên ∂D theo công thức tích phân Cauchy: i• 1 f (z ) C1 C2 ∫ z −z f (z 0 ) = dz . 2πi • ∂D • 0 x π Oπ − dz VD 1. Tính tích phân I = ∫ 2 . 2 2 z +1 |z −i| =1 Chương 3. Tích phân hàm ph c Chương 3. Tích phân hàm ph c 3. 3. z4 4.2. Hệ quả 1 ∫ VD 4. Tính tích phân I = dz . (công thức Cauchy cho đạo hàm của hàm giải tích) (z − i )3 |z | =2 Giả sử hàm f (z ) giải tích trong miền giới nội D và liên tục trong miền D = D ∪ ∂D . Khi đó, hàm f (z ) có đạo 4.3. Hệ quả 2 (Định lý Liouville) hàm mọi cấp tại điểm z 0 bất kỳ trong miền D và được Nếu hàm f (z ) giải tích và bị chặn trên toàn mặt phẳng biễu diễn qua công thức tích phân Cauchy: phức ℂ thì f (z ) là hàm hằng. VD 5. Chứng minh hàm f (z ) = sin z không bị chặn. n! f (z )dz ∫ (z − z ) f (n ) (z ) = , n = 1, 2,... n +1 2πi π ∂D Giải. Do f (0) = 0, f   = 1 nên f (z ) = sin z không là 0   2 sin πz ∫ VD 3. Tính tích phân I = dz . hàm hằng. Vậy hàm f (z ) = sin z không bị chặn. (z 2 − 1)2 |z −1| =1 …………………………………………………………… Hàm ph c & Phép bi n đ i Laplace Đ ih c 12
  14. ĐH Công nghi p Tp.HCM Saturday, October 23, 2010 dvntailieu.wordpress.com Chương 4. Chu i và Th ng dư Chương 4. Chu i và Th ng dư 4. ng 4. ng ∞ §1. Chuỗi hàm phức. ∑ fn (z 0 ) hội tụ (phân kỳ) thì • Nếu tại z = z 0 , chuỗi số §2. Thặng dư. n =1 §3. Ứng dụng của thặng dư. ……………………………………… z 0 được gọi là điểm hội tụ (phân kỳ) của chuỗi (1). §1. CHUỖI HÀM PHỨC • Tập hợp các điểm hội tụ z 0 của chuỗi (1) được gọi là 1.1. Khái niệm chung miền hội tụ của chuỗi (1). a) Các định nghĩa • Cho dãy hàm phức f1(z ), f2 (z ),..., fn (z ),... cùng xác • Tổng riêng thứ n của chuỗi (1), ký hiệu Sn (z ), là: định trên miền D ⊂ ℂ . Tổng hình thức: Sn (z ) = f1(z ) + f2 (z ) + ... + fn (z ). ∞ f1(z ) + f2 (z ) + ... + fn (z ) + ... = ∑ fn (z ) (1) • Trong miền hội tụ của chuỗi (1), ∃ lim Sn (z ) = f (z ). n =1 n →∞ được gọi là chuỗi hàm phức. Chương 4. Chu i và Th ng dư Chương 4. Chu i và Th ng dư 4. ng 4. ng b*) Tính chất của chuỗi hội tụ đều Hàm f (z ) xác định trong miền hội tụ của chuỗi (1) • Định lý 1 (tiêu chuẩn Cauchy) ∞ ∑ fn (z ) = f (z ). được gọi là tổng của chuỗi (1), ta viết Chuỗi (1) hội tụ đều trong miền D khi và chỉ khi: ∀ε > 0, ∃N = N (ε) : ∀n > N , ∀z ∈ D, ∀p ∈ ℕ n =1 Khi đó, Rn (z ) = f (z ) − S n (z ) được gọi là phần dư của ⇒ fn +1(z ) + fn +2 (z ) + ... + fn +p (z ) < ε. chuỗi (1). Tại mọi z thuộc miền hội tụ thì lim Rn = 0 . n →∞ • Định lý 2 (tiêu chuẩn Weierstrass) ∞ ∑a Nếu fn (z ) ≤ an , an ∈ ℝ + , ∀z ∈ D và chuỗi số • Chuỗi (1) được gọi là hội tụ đều trong miền D nếu: n ∀ε > 0, ∃N = N (ε) : ∀n > N , ∀z ∈ D ⇒ | Rn (z ) | < ε. n =1 hội tụ thì chuỗi (1) hội tụ đều trong miền D . • Định lý 3 • Chuỗi (1) được gọi là hội tụ tuyệt đối trong miền D Nếu tất cả các số hạng fn (z ) của chuỗi (1) liên tục ∞ ∑ fn (z ) hội tụ. nếu chuỗi trong miền D và chuỗi (1) hội tụ đều thì tổng f (z ) n =1 cũng là hàm liên tục trong D . Chương 4. Chu i và Th ng dư Chương 4. Chu i và Th ng dư 4. ng 4. ng 1.2. Chuỗi lũy thừa • Định lý 4 a) Định nghĩa Nếu tất cả các số hạng fn (z ) của chuỗi (1) liên tục Chuỗi lũy thừa là chuỗi hàm phức có dạng: trong miền D và chuỗi (1) hội tụ đều thì với mọi ∞ ∑ c (z − a ) =c đường cong C nằm trong D , ta có: + c1(z − a ) + ... + cn (z − a )n +...(2) n 0 n ∫ f (z )dz = ∫ f (z )dz + ... + ∫ f (z )dz + ... n =0 1 n trong đó a và cn là các số phức. C C C b) Định lý Abel • Định lý 5 Nếu chuỗi (2) hội tụ tại điểm z 0 ≠ a thì chuỗi hội tụ Nếu tất cả các số hạng fn (z ) của chuỗi (1) giải tích tuyệt đối tại mọi điểm thỏa | z − a | < | z 0 − a | và trong miền D và chuỗi (1) hội tụ đều thì tổng f (z ) giải hội tụ đều trong | z − a | ≤ r , với 0 < r < | z 0 − a |. tích trong D và: Nếu chuỗi (2) phân kỳ tại điểm z 1 thì chuỗi phân kỳ f (k ) (z ) = f1(k )(z ) + f2(k )(z ) + ... + fn(k ) (z ) + ... mọi điểm thỏa | z − a | > | z 1 − a |. Hàm ph c & Phép bi n đ i Laplace Đ ih c 13
  15. ĐH Công nghi p Tp.HCM Saturday, October 23, 2010 dvntailieu.wordpress.com Chương 4. Chu i và Th ng dư Chương 4. Chu i và Th ng dư 4. ng 4. ng c) Bán kính hội tụ Nhắc lại ∞ • Miền hội tụ của chuỗi lũy thừa (2) luôn là hình tròn ∑u Tiêu chuẩn hội tụ đối với chuỗi (*). | z − a | < R với 0 ≤ R ≤ +∞ . n n =1 • Số thực R được gọi là bán kính hội tụ của chuỗi (2). Tiêu chuẩn hội tụ d’Alembert: • Tại điểm z thỏa | z − a | = R , chuỗi (2) có thể hội tụ D < 1 ⇒ (*) hoäi tuï,  un +1 = D thì   Nếu lim hoặc phân kỳ. D > 1 ⇒ (*) phaân kyø. n →∞ un   Công thức tính bán kính hội tụ • Ta sử dụng các tiêu chuẩn d’Alembert hoặc Cauchy để Tiêu chuẩn hội tụ Cauchy: tìm bán kính hội tụ của chuỗi với cn ≠ 0, ∀n > N . C < 1 ⇒ (*) hoäi tuï,  Nếu lim n un = C thì  • Trong trường hợp ∃n > N , cn = 0 thì ta sử dụng trực  C > 1 ⇒ (*) phaân kyø. n →∞   tiếp tiêu chuẩn hội tụ d’Alembert hoặc Cauchy. Chương 4. Chu i và Th ng dư Chương 4. Chu i và Th ng dư 4. ng 4. ng 1.3. Chuỗi Taylor cn Tiêu chuẩn d’Alembert: R = n →∞ lim . a) Định lý cn +1 • Nếu hàm f (z ) giải tích trong hình tròn | z − a | < R thì 1 với mọi z trong hình tròn đó, f (z ) được khai triển thành Tiêu chuẩn Cauchy: R = n →∞ lim . ∞ chuỗi lũy thừa f (z ) = ∑ cn (z − a )n . Trong đó: cn n n =0 VD 1. Tìm bán kính hội tụ và hình tròn hội tụ của: (n ) (a ) 1 f (z )dz f ∫ cn = = , 0 < r < R (*). n2 ∞ 1 ∞ n −1 b) ∑ 1 +  (z − i )n . (z − a )n +1 a) ∑ n (z + 1)n ; n! 2πi   n z −a =r   n =1   2 n =1 ∞ • Chuỗi ∑ cn (z − a )n với cn xác định theo (*) được gọi VD 2. Tìm miền hội tụ của: ∞ ∞ (z + i )2n n =0 n! a) ∑ 2 (z − 2i )n ; b) ∑ . là chuỗi khai triển Taylor của f (z ) quanh điểm a . n = 0 (n + 1) .4 2n n n =1 3 Chương 4. Chu i và Th ng dư Chương 4. Chu i và Th ng dư 4. ng 4. ng Chú ý Khai triển Taylor của các hàm cơ bản quanh z = 0 • Hàm f (z ) giải tích tại điểm a nếu f (z ) có thể khai triển ∞ ∞ 1 = ∑ z n = 1 + z + z 2 + ... + z n + ..., | z | < 1. ∑ c (z − a ) n 1) quanh điểm a . thành chuỗi lũy thừa 1−z n n =0 n =0 • Hàm f (z ) xác định trong lân cận vô cùng | z | > R ∞ z2 zn zn z 2) e z = ∑ = 1 + + + ... + + ... được gọi là giải tích tại ∞ nếu f (z ) có thể khai triển n =0 n ! 1! 2! n! ∞ c c c thành chuỗi dạng ∑ n = c0 + 1 + 2 + ... z 2n +1 ∞ z3 z5 z7 3) sin z = ∑ (−1)n = z − + − + ... z2 n z n =0 z (2n + 1)! 3! 5! 7 ! n =0 b) Phương pháp khai triển Taylor ∞ z 2n z2 z4 z6 Áp dụng công thức (*) để tìm hệ số cn . 4) cos z = ∑ (−1) = 1 − + − + ... n (2n )! 2 ! 4 ! 6! Dựa vào tính chất của f (z ) để thực hiện các phép n =0 biến đổi đồng nhất và áp dụng các khai triển đã biết. Hàm ph c & Phép bi n đ i Laplace Đ ih c 14
  16. ĐH Công nghi p Tp.HCM Saturday, October 23, 2010 dvntailieu.wordpress.com Chương 4. Chu i và Th ng dư Chương 4. Chu i và Th ng dư 4. ng 4. ng 1 VD 3. Khai triển Taylor của hàm f (z ) = 1 quanh: b) Đặt t = , ta có: 2−z z b) điểm a = ∞ . a) điểm a = i ; ∞ 1 t = −t ∑ (2t )n , với | 2t | < 1. f (z ) = = −t. Giải 2t − 1 1 − 2t a) Đặt t = z − i , ta có: n =0 ∞ 2n Vậy f (z ) = −∑ n +1 , với | z | > 2 . 1 1 1 f (z ) = = . n =0 z 2 −i −t 2−i t 1− 2 −i 2 VD 4. Khai triển Taylor của f (z ) = e z −2z quanh z = 1. 1 ∞ t   n t ∑  2 − i  , với 2 − i < 1. = Giải. Đặt t = z − 1, ta có:     2 − i n =0   1 ∞ (t 2 )n 1 ∞ (z − 1)2n f (z ) = e t −1 = ∑ =∑ 2 ∞ . 1 Vậy f (z ) = ∑ (z − i )n , với | z − i | < 5 . e n =0 n ! n! e n =0 (2 − i)n +1 n =0 Chương 4. Chu i và Th ng dư Chương 4. Chu i và Th ng dư 4. ng 4. ng 3 1 quanh z = 1. quanh z = 1. VD 5. Khai triển Taylor f (z ) = VD 6. Khai triển Taylor f (z ) = 3z − z 2 (z − 3)2 3 1 1 Giải. Ta có: f (z ) = =+ . z (3 − z ) z 3 − z Giải. Ta có: ∞ (z − 1)n ∞ 1 1 1 = −∑ n +1 , | z − 1 | < 2 . 1 1 = ∑ [−(z − 1)]n , với | z − 1 | < 1. =− . •= z −3 z −1 1 − [−(z − 1)] n =0 2 2 z n =0 1− 2 1 ∞  z − 1 n 1 1 1 = ∑ =.  , | z − 1 | < 2.  • z − 1 2 n =0  2    3−z  2 Đạo hàm từng số hạng của chuỗi, ta được: 1−  1 ′ 2 n(z − 1)n −1 ∞ = ∞ 1 f (z ) = −  ∑ 2n +1 , | z − 1 | < 2 .   Vậy f (z ) = ∑ (−1)n + n +1  (z − 1)n , | z − 1 | < 1. z − 3      2  n =0 n =0  Chương 4. Chu i và Th ng dư Chương 4. Chu i và Th ng dư 4. ng 4. ng +∞ ∑ c (z − a ) 1.4. Chuỗi Laurent n • Chuỗi Laurent được chia thành 2 phần: n a) Định lý n =−∞ • Nếu hàm phức f (z ) giải tích trong hình vành khăn Phần đều: G : 0 ≤ r < | z − a | < R ≤ ∞ thì với mọi z thuộc G , +∞ f1(z )=∑ cn (z − a )n =c0 +c1(z − a )+c2 (z − a )2 +... ta có khai triển f (z ) thành chuỗi Laurent: n =0 hội tụ trong miền | z − a | < R . +∞ ∑ c (z − a ) . f (z ) = n n n =−∞ Phần chính: −∞ Trong đó: c−1 c−2 ∑ c (z − a ) f2 (z ) = = + + ... n 1 f (z )dz z −a (z − a )2 n ∫ (z − a )n +1 (r < q < R, n ∈ ℤ). cn = n =−1 2πi hội tụ trong miền | z − a | > r . z −a =q Hàm ph c & Phép bi n đ i Laplace Đ ih c 15
  17. ĐH Công nghi p Tp.HCM Saturday, October 23, 2010 dvntailieu.wordpress.com Chương 4. Chu i và Th ng dư Chương 4. Chu i và Th ng dư 4. ng 4. ng b) Phương pháp khai triển chuỗi Laurent Chú ý • Cách 1. Tìm hệ số cn từ công thức trong định lý trên. • Chuỗi Taylor là trường hợp riêng của chuỗi Laurent, trong y Tuy nhiên, cách này dẫn đến tính toán phức tạp. đó phần chính bị triệt tiêu. • Cách 2. Đưa về khai triển Taylor để áp dụng các khai G triển của các hàm sơ cấp đã biết. Giả sử hàm f (z ) giải tích trong r < | z − a | < R và r a• • Khai triển Laurent của f (z ) f (z ) = f1(z ) + f2 (z ) hoặc f (z ) = f1(z ).f2 (z ). Trong đó, R trong hình vành khăn cho f1(z ) và f2 (z ) lần lượt giải tích trong | z − a | < R và x O trước là duy nhất. Tuy nhiên | z − a | > r thì ta khai triển: trong các hình vành khăn f1(z ) thành chuỗi lũy thừa của (z − a ) ; khác nhau thì khai triển 1 Laurent có thể khác nhau. f2 (z ) thành chuỗi lũy thừa của . z −a Chương 4. Chu i và Th ng dư Chương 4. Chu i và Th ng dư 4. ng 4. ng  1 1 2n +1 − 1 ∞ ∞ Vậy f (z ) = ∑ 1 − n +1  z n = ∑ n +1 z n , | z | < 1. VD 7. Khai triển f (z ) = trong các miền:    (z − 1)(z − 2)   n =0  2 2 n =0 a) | z | < 1; b) 1 < | z | < 2 ; c) | z | > 2 . 1 b) Hàm f1(z ) = giải tích trong | z | < 2 nên: 1 1 z −2 Giải. Ta có: f (z ) = − . z − 2 z −1 +∞ zn z 11 = −∑ n +1 , f1(z ) = − . < 1. a) Trong miền | z | < 1, hàm f (z ) giải tích. 2 2 z n =0 2 1− 2 z Do | z | < 1 ⇒ < 1 nên ta có khai triển Taylor: 1 Hàm f2 (z ) = − giải tích trong | z | > 1 nên: 2 z −1 1 ∞ zn ∞ 1 1 1 1 +∞ 1 −∞ = − ∑ n + ∑ zn . 11 1 f (z ) = − . + = − ∑ n = −∑ zn , f2 (z ) = − . < 1. 1−z 2 2 n =0 2 z n =0 1 1− z z n =0 z z n =−1 1− 2 z Chương 4. Chu i và Th ng dư Chương 4. Chu i và Th ng dư 4. ng 4. ng 2z − 1 −∞ +∞ zn Vậy f (z ) = − ∑ z − ∑ n +1 , 1 < | z | < 2 . VD 8. Khai triển f (z ) = n trong các miền: z −z −2 2 n =0 2 n =−1 a) 0 < | z − 2 | < 3 ; b) | z − 2 | > 3 . 2 1 < 1 và < 1 nên: c) Trong miền | z | > 2 , ta có 1 z z VD 9. Khai triển f (z ) = e z trong miền 0 < | z | < +∞ . +∞ 2n 1 11 = ∑ n +1 . f1(z ) = =. Nhận xét z −2 z 2 n =0 z c−1 1 1− = ⇒ c−1 = 1. Từ khai triển trên, ta có: z 1! z z +∞ 1 11 1 = −∑ n +1 . 1 f2 (z ) = − =− . 1 ∫e = dz (0 < q < +∞). z −1 z Mặt khác, c−1 1 z n =0 z 1− 2πi z =q z −∞   +∞ n 1 2 −1 1 Vậy f (z ) = ∑ n +1 = ∑  n +1 − 1 z n , | z | > 2 . ∫e dz = 2πi , với mọi C bao quanh gốc O .   z Vậy    n =−1  2  n =0 z C Hàm ph c & Phép bi n đ i Laplace Đ ih c 16
  18. ĐH Công nghi p Tp.HCM Saturday, October 23, 2010 dvntailieu.wordpress.com Chương 4. Chu i và Th ng dư Chương 4. Chu i và Th ng dư 4. ng 4. ng §2. THẶNG DƯ 2.1.2. Phân loại các điểm bất thường cô lập Giả sử z = a ≠ ∞ là điểm bất thường cô lập của f (z ). 2.1. Điểm bất thường cô lập của hàm giải tích Khi đó, hàm f (z ) có khai triển Laurent trong hình vành 2.1.1. Định nghĩa +∞ Điểm z = a ≠ ∞ được gọi là điểm bất thường cô lập ∑ c (z − a ) khăn 0 < | z − a | < R là f (z ) = n (*). của hàm f (z ) nếu tồn tại một lân cận của a trong đó chỉ n n =−∞ có z = a là điểm bất thường. Nếu trong khai triển (*) không chứa lũy thừa âm nào của (z − a ), nghĩa là: VD 1 1 f (z ) = c0 + c1(z − a ) + c2 (z − a )2 + ... • Hàm f (z ) = có z = 0 là điểm bất thường cô lập. z2 thì z = a được gọi là điểm bất thường bỏ được. 1 • Hàm f (z ) = 2 có hai điểm bất thường cô lập là z +1 Nếu trong khai triển (*) có chứa hữu hạn các lũy z = ±i . thừa âm của (z − a ), nghĩa là: Chương 4. Chu i và Th ng dư Chương 4. Chu i và Th ng dư 4. ng 4. ng c−m +1 c−m f (z ) = +...+c0 +c1(z − a )+... sin z + VD 2. Hàm f (z ) = có khai triển Laurent: (z − a )m (z − a )m −1 z thì z = a được gọi là cực điểm của f (z ). 1  z3 z5 z2 z4 f (z ) = z − + − ... = 1 − + − ...   Nếu (z − a )−m , m ∈ ℕ * , là lũy thừa âm cao nhất của  z     3! 5! 3! 5! (*) thì z = a được gọi là cực điểm cấp m của f (z ). Vậy z = 0 là không điểm của f (z ). Nếu trong khai triển (*) có chứa vô số lũy thừa âm của (z − a ) thì z = a được gọi là điểm bất thường ez VD 3. Hàm f (z ) = có khai triển Laurent: cốt yếu của f (z ). z2 1  z2 1 1 1 f (z ) = 2 1 + z + + ... = 2 + + + + ... z Chú ý     z z   • Điểm bất thường bỏ được còn được gọi là cực điểm 2! z 2 ! 3! cấp 0 hay không điểm. Vậy z = 0 là cực điểm cấp 2. • Cực điểm cấp 1 (m = 1) còn được gọi là cực điểm đơn. Chương 4. Chu i và Th ng dư Chương 4. Chu i và Th ng dư 4. ng 4. ng Nếu lim f (z ) không tồn tại thì z = a là điểm bất 1 VD 4. Hàm f (z ) = e có khai triển Laurent: z z →a thường cốt yếu. 1 1 n +∞ 1 1 1 f (z ) = ∑   = 1 + + + + ...  VD 5. Tìm và phân loại điểm bất thường cô lập của:  n ! z    z 2! z 2 3! z 3 sin2 z n =0 f (z ) = 2 . Vậy z = 0 là điểm bất thường cốt yếu. z (z − 1)3 2.1.3. Cách tìm cực điểm cấp m VD 6. Xác định điểm bất thường cô lập của: Cho z = a ≠ ∞ là điểm bất thường cô lập của f (z ). 1 f (z ) = cos . Nếu lim f (z ) = L ≠ ∞ thì z = a là cực điểm cấp 0. z −i z →a lim f (z ) = ∞  2.1.4. Điểm bất thường cô lập tại vô cùng Nếu  z →a  lim[(z − a )m f (z )] = L ∈ ℂ \ {0} • Giả sử hàm f (z ) giải tích trong miền r < | z | < +∞  z →a   với r > 0 và không giải tích tại z = ∞ . thì z = a là cực điểm cấp m . Hàm ph c & Phép bi n đ i Laplace Đ ih c 17
  19. ĐH Công nghi p Tp.HCM Saturday, October 23, 2010 dvntailieu.wordpress.com Chương 4. Chu i và Th ng dư Chương 4. Chu i và Th ng dư 4. ng 4. ng 1 2.2. THẶNG DƯ 1 f   = g(t ). Đặt t = thì f (z ) =   t   2.2.1. Định nghĩa z 1 1 trong khai triển Laurent hàm f (z ) Khi đó g(t ) giải tích trong miền 0 < | z | < • Hệ số c−1 của nên có z −a r quanh điểm bất thường cô lập z = a ≠ ∞ được gọi là khai triển Laurent. thặng dư của f (z ) tại điểm z = a . • Trong khai triển Laurent của g(t ), tùy theo t = 0 là cực Ký hiệu là Res[ f (z ), a ]. điểm bỏ được, cực điểm cấp m hay điểm bất thường cốt yếu ta có z = ∞ là cực điểm tương ứng của f (z ). Vậy ta có: VD 7. Xác định điểm bất thường cô lập z = ∞ của: 1 ∫ f (z )dz . Res[ f (z ), a ] = 1 b) g(z ) = e z ; a) f (z ) = cos ; 2πi C z Trong đó, C : | z − a | = r . c) Pm (z ) = a 0z m + a1z m −1 + ... + am , a 0 ≠ 0 . Chương 4. Chu i và Th ng dư Chương 4. Chu i và Th ng dư 4. ng 4. ng • Nếu hàm f (z ) giải tích trong miền | z | > r và z = ∞ 1 Res[ f (z ), ∞] = −c−1 (hệ số của trong khai triển z là điểm bất thường cô lập thì thặng dư tại vô cùng f (z ) quanh điểm z = ∞ ). được định nghĩa là: 1 2πi ∫ Res[ f (z ), ∞] = − f (z )dz . Cách 2. Dùng cực điểm. C Nếu a ≠ ∞ là cực điểm đơn thì: Trong đó, C là đường tròn | z | = R > r . Res[ f (z ), a ] = lim[(z − a )f (z )]. z →a 2.2.2. Phương pháp tính thặng dư Nếu a ≠ ∞ là cực điểm cấp m (m ≥ 2) thì: Cách 1. Dùng định nghĩa, ta có: 1 1 Res[ f (z ), a ] = c−1 (hệ số của lim[(z − a )m f (z )](m −1). Res[ f (z ), a ] = trong khai triển (m − 1)! z →a z −a f (z ) quanh điểm z = a ). Chương 4. Chu i và Th ng dư Chương 4. Chu i và Th ng dư 4. ng 4. ng 1 Chú ý VD 9. Tính Res[ f (z ), 1] của f (z ) = . z (z − 1)2 h(z ) 1) Nếu a ≠ ∞ là cực điểm đơn và f (z ) = với g(z ) VD 10. Tính Res[ f (z ), ∞] của các hàm: g(a ) = 0 , h(a ) ≠ 0, g ′(a ) ≠ 0 thì: 2 3z 15 b) g(z ) = a) f (z ) = e z ; h(a ) . Res[ f (z ), a ] = . z8 +1 g ′(a ) ez VD 11. Tìm thặng dư của f (z ) = 0 tại các điểm 2) Khi tính giới hạn có dạng , ta có thể dùng quy tắc z +1 2 0 bất thường cô lập hữu hạn. L’Hospital. sin z + 1 z 2 − 2z + 3 VD 12. Tìm thặng dư của f (z ) = tại các điểm VD 8. Tính Res[ f (z ), 2] của f (z ) = . z4 z −2 bất thường cô lập hữu hạn. Hàm ph c & Phép bi n đ i Laplace Đ ih c 18
  20. ĐH Công nghi p Tp.HCM Saturday, October 23, 2010 dvntailieu.wordpress.com Chương 4. Chu i và Th ng dư Chương 4. Chu i và Th ng dư 4. ng 4. ng §3. ỨNG DỤNG CỦA THẶNG DƯ Định lý 2 3.1. Tính tích phân dọc theo đường cong kín Nếu f (z ) giải tích trong toàn mặt phẳng phức trừ một Định lý 1 số hữu hạn điểm a1, a2 ,..., an bất thường cô lập thì: Nếu hàm f (z ) giải tích trong miền đóng D giới hạn bởi n đường cong Jordan kín C trừ một số hữu hạn điểm ∑ Res[ f (z ), a ] + Res[ f (z ), ∞] = 0. a1 , a2 , …, an bất thường cô lập nằm trong D thì: k k =1 n f (z )dz = 2πi.∑ Res[ f (z ), ak ]. ∫ dz ∫ VD 3. Tính tích phân I = . k =1 C z4 +1 z e |z |=2 ∫ VD 1. Tính tích phân I = dz . z +1 2 z4 |z |=2 ∫ 2z 5 − 1 dz . VD 4. Tính tích phân I = z +2 VD 2. Tính tích phân I = ∫ dz . |z |=1 (z − 1)2 (z + 1) |z −1|=1 Chương 4. Chu i và Th ng dư Chương 4. Chu i và Th ng dư 4. ng 4. ng • Khi t biến thiên từ 0 đến 2π (hoặc từ −π đến π ) thì z 3.2. Tính tích phân hàm lượng giác biến thiên trên đường tròn đơn vị | z | = | e it | = 1. Dạng tích phân: Suy ra, các tích phân trên có dạng: 2π π I = ∫ R(cos t, sin t )dt hoaëc I = ∫ R(cos t, sin t )dt. n f (z )dz = 2πi ∑ Res[ f (z ), ak ]. ∫ I= −π 0 k =1 |z |=1 Trong đó, R(cos t, sin t ) là hàm hữu tỉ theo sin và cosin. ( ) Trong đó ak k = 1, n là các điểm bất thường cô lập Phương pháp giải dz • Đặt z = e it , ta có: dz = ie itdt ⇒ dt = , nằm trong hình tròn | z | < 1. iz 2π dt e it + e −it (e it )2 + 1 z 2 + 1 VD 5. Tính tích phân I = ∫ . cos t = = = , 2 + sin t 2e it 2 2z 0 π dt e it − e −it (e it )2 − 1 z 2 − 1 VD 6. Tính tích phân I = ∫ . sin t = = = . 3 − cos t 2ie it 2i 2iz 0 Chương 4. Chu i và Th ng dư Chương 4. Chu i và Th ng dư 4. ng 4. ng y 3.3. Tính tích phân suy rộng • Ta vẽ nửa trên của đường tròn +∞ D C (R) : | z | = R với R đủ lớn ∫ 3.3.1. Dạng suy rộng f (x )dx .a2 sao cho các điểm a1, a2 ,..., an −∞ .an a) Bổ đề Jordan 1 . a1 thuộc miền D giới hạn bởi Giả sử hàm f (z ) liên tục trong lân cận của điểm ∞ và x C (R) với đoạn [−R; R ]. −R thỏa mãn lim zf (z ) = 0 . Khi đó lim ∫ f (z )dz = 0 , R O • Áp dụng thặng dư, ta có: z →∞ R →∞ C (R ) R n với C (R) là nửa trên của đường tròn | z | = R . f (z )dz = 2πi ∑ Res[ f (z ), ak ]. ∫ ∫ f (x )dx + b) Ứng dụng k =1 −R C (R ) +∞ Tính tích phân I = ∫ f (x )dx với f (z ) giải tích trong Cho R → +∞ và áp dụng bổ đề 1, ta được: +∞ −∞ n f (x )dx = 2πi ∑ Res[ f (z ), ak ]. ∫ nửa mặt phẳng trên (trừ một số hữu hạn điểm bất thường cô lập a1, a2 ,..., an ) và thỏa bổ đề 1. k =1 −∞ Hàm ph c & Phép bi n đ i Laplace Đ ih c 19

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản