Toán cao cấp C1 - Chương 2 Phép tính vi phân hàm một biến

Chia sẻ: Tung Bach | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:62

Thêm vào BST

Báo xấu

795
lượt xem 186
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo sách 'giáo trình toán cao cấp c1 - chương 2', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Toán cao cấp C1 - Chương 2 Phép tính vi phân hàm một biến

Chương 2 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM M T BI N §1. GI I H N – LIÊN T C I. Dãy s - Gi i h n dãy s . 1. Dãy s 1.1 nh nghĩa nh: { x1 , x2, x3 ,..., xn ,...} . Dãy s là m t t p h p các s ư c vi t theo m t th t xác ∞ ch dãy s ó, ngư i ta thư ng dùng kí hi u { xn }n =1 hay g n hơn { xn } . Trong chương này, ta ch xét các dãy s th c. Dãy s th c là m t ánh x : f :» → » f ( n ) = xn n Kí hi u { xn }n∈» hay { xn } . Lúc ó: • n ư c g i là ch s . • xn ư c g i là s h ng t ng quát c a dãy. x1 = 1, x2 = 2   nh b i công th c t ng quát  Chú ý: Dãy s còn có th xác   xn = 2 xn−1 + xn−2 , ∀n ≥ 3   Ghi chú: Ta thư ng xét dãy s th c là ánh x t »* vào » . Ví d 1. ∞ 1  11 1 a )   = 1, , ,..., ,... ;  n n =1  2 3 n { } = {−1,1, −1,1,..., ( −1) ,...} ; n n b) ( −1) c) {n 2 } = {1, 4,9,..., n 2 ,...} ;  n  1 2 3 n  ,... . d)   =  , , ,...,  n + 1  2 3 4 n +1  Dãy s { xn } g i là tăng n u xn < xn +1, ∀n ∈ »* , g i là gi m n u xn > xn +1 , ∀n ∈ »* . Trong ví d 1, dãy a) là dãy s gi m, dãy c) là dãy s tăng. Dãy s tăng và dãy s gi m ư c g i là dãy s ơn i u. Dãy s { xn } g i là b ch n trên n u t n t i m t s M sao cho xn ≤ M , ∀n ∈ »* ; g i là b ch n dư i n u t n t i m t s m sao cho xn ≥ m, ∀n ∈ »* ; g i là b ch n n u nó v a b ch n trên v a b ch n dư i. Ví d 2. Trong ví d 1 Dãy a) là dãy s gi m, nó b ch n dư i b i 0 và b ch n trên b i 1; Dãy b) không ph i là dãy s ơn i u, nó b ch n dư i b i -1 và b ch n trên b i 1; 1 B môn Tóan- Th ng kê Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
Dãy c) là dãy tăng, nó b ch n dư i b i 1 nhưng không b ch n trên, do ó nó không b c h n; Dãy d) là dãy s tăng, nó b ch n dư i b i 0 và b ch n trên b i 1. 2. Các dãy s c bi t 2.1 Dãy s c ng 2.1.1 nh nghĩa Là m t dãy s tho mãn i u ki n: hai ph n t liên ti p nhau sai khác nhau m t h ng s . Ch ng h n, dãy s 3, 5, 7, 9, 11, ... là m t c p s c ng v i các phân t liên ti p sai khác nhau h ng s 2. H ng s sai khác chung ư c g i là công sai c a c p s c ng. Các ph n t c a nó cũng ư c g i là các s h ng. 2.1.2 S h ng t ng quát N u c p s c ng kh i u là ph n t u1 và công sai là d, thì s h ng th n c a c p s c ng ư c tính theo công th c: u n = u1 + (n −1)d 2.1.3 T ng T ng c a n s h ng u c a c p s c ng ư c g i là t ng riêng th n. Ta có: n(a1 + a n ) n [ 2a1 + (n −1)d ] Sn = a1 + a 2 + ... + a n = = 2 2 2.2 Dãy s nhân 2.2.1 nh nghĩa Là m t dãy s tho mãn i u ki n t s c a hai ph n t liên ti p là h ng s . T s này ư c g i là công b i c a c p s nhân. Các ph n t c a c p s nhân còn ư c g i là các s h ng.Như v y, m t c p s nhân có d ng a,ar,ar 2 ,ar 3 ,... Trong ó r ≠ 0 là công b i và a là s h ng u tiên 2.2.2 S h ng t ng quát S h ng th n c a c p s nhân ư c tính b ng công th c a n = ar n-1 trong ó n là s nguyên th a mãn n>1 Công b i khi ó là 1  a n−1 a r =  n  , r = n−1 n trong ó n là s nguyên th a mãn n ≥ 1   a  a 2.2.3 T ng T ng các ph n t c a c p s nhân : 2 B môn Tóan- Th ng kê Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
n Sn = ∑ ar k = ar 0 + ar1 + ar 2 + ... + ar n k =0 a(1− r n+1 ) Hay Sn = 1− r 2.3 Dãy Fibonacci Dãy Fibonacci là dãy vô h n các s t nhiên b t u b ng hai ph n t 0 và 1, các ph n t sau ó ư c thi t l p theo quy t c m i ph n t luôn b ng t ng hai ph n t trư c nó. Công th c truy h i c a dãy Fibonacci là: 0 , khi n = 0    Fn := F(n) :=  1 , khi n = 1   F(n −1) + F(n − 2) , khi n > 1    3. Gi i h n c a dãy s Tr l i dãy d) c a ví d 1. Bi u di n hình h c c a nó ư c cho hình sau: 2 34 1 0 1 3 45 2 Ta nh n th y r ng khi n càng l n thì xn càng g n 1, t c là kho ng cách xn − 1 càng nh , nó có th nh bao nhiêu cũng ư c mi n là n l n. Ta nói r ng dãy { xn } g n t i 1 ( hay có gi i h n là 1) khi n d n t i vô cùng. Ta có nh nghĩa sau: nh nghĩa: S a g i là gi i h n c a dãy s { xn } n u v i m i s ε dương bé tùy ý cho trư c, t n t i m t s t nhiên n0 sao cho v i m i n > n0 thì xn − a < ε . Ta vi t: lim xn = a hay xn → a khi n → ∞ . n →∞ Khi ó, dãy s { xn } ư c g i là h i t . Dãy s không h i t ư c g i là phân kì. Chú ý: Ch s n0 ph thu c vào ε , nên ta có th vi t n0 = n0 ( ε ) . Ví d 3. 1 a) Ch ng minh lim = 0. n →∞ 2 n ư c n0 ( ε ) ∈ »* Th t v y, cho trư c ε > 0 , ta s ch ra r ng tìm cho 1 1 1 1 < ε , ∀n > n0 . Ta có, n < ε khi 2n > , t c là khi n > log 2 . xn − 0 = n 2 2 ε ε 1 V y ch c n ch n n0 ( ε ) = log 2 thì v i n > n0 ta có xn − 0 < ε . ε 3 B môn Tóan- Th ng kê Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
4n − 3 b) Dùng nh nghĩa ch ng minh r ng lim n +1 n →∞ 4. Các Tính ch t và nh lý v gi i h n dãy s Dùng nh nghĩa gi i h n c a dãy s , có th ch ng minh ư c các nh lý sau: nh lý 1. a) N u m t dãy s có gi i h n thì gi i h n ó là duy nh t. b) N u m t dãy s có gi i h n thì nó b ch n. Chú thích: M nh b) c a nh lý 1 là i u ki n c n c a dãy s h i t . T ó suy ra r ng n u m t dãy s không b ch n thì nó không có gi i h n. Ch ng h n, dãy c) trong ví d 1 không có gi i h n vì nó không b ch n. nh lý 2. N u các dãy s { xn } và { yn } u có gi i h n ( lim xn → a; lim yn → b ) thì n →∞ n →∞ i) lim ( xn ± yn ) = lim xn ± lim yn = a ± b n →∞ n →∞ n →∞ ii) lim ( xn . yn ) = lim xn .lim yn = a.b n →∞ n →∞ n →∞ xn lim xn a iii) lim ( v i i u ki n lim yn ≠ 0 ). = n→∞ = yn lim yn b n →∞ n →∞ n →∞ Ví d 4. Tính gi i h n các dãy s sau 1 1 a a) {a n } = 2 , {b n } = ⇒ lim n n n n→∞ b n 1 1 b b) {a n } = , b = ⇒ lim n 2 { n} n n n →∞ a n 1 1 a c) {a n } = , b = ⇒ lim n 2 { n} n n n →∞ b n n−1 (−1) 1 a d) {a n } = , {b n } = ⇒ lim n n n n→∞ b n Chú ý: Trong tính toán v gi i h n, có khi ta g p các d ng sau ây g i là d ng vô nh 0∞ , 0.∞, ∞ − ∞,... . Khi ó không th dùng các k t qu c a nh lý 2, mà ph i dùng , 0∞ các phép bi n i kh các d ng vô nh ó. 11 2+ + 2n 2 + n + 1 2n 2 + n + 1 n n2 = 2 . ∞ Ch ng h n, lim có d ng . Ta bi n i: lim = lim 5 n →∞ 3n 2 + 5 n →∞ 3n 2 + 5 3 ∞ n →∞ 3+ 2 n 4.1 Tiêu chu n t n t i gi i h n nh lý 3. Cho 3 dãy s { xn } , { yn } , { zn } . N u: a) ∀n ∈ »* , xn ≤ yn ≤ zn ; b) lim xn = lim zn = a n →∞ n →∞ thì dãy { yn } có gi i h n và lim yn = a . n →∞ nh lý 4. a) N u dãy s tăng và b ch n trên thì nó có gi i h n. 4 B môn Tóan- Th ng kê Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
b) N u dãy s gi m và b ch n dư i thì nó có gi i h n. nh lý 5. Dãy s {x n } ư c g i là dãy cơ b n ( hay dãy Cauchy) n u v i m i ε > 0 t n t i s n0 >0 sao cho x n − x m < ε v i m i ch s n, m > n0. Ý nghĩa: K t m t lúc nào ó tr i hai ph n t b t kỳ c a dãy s g n nhau bao nhiêu cũng ư c. 4.2 Các ví d v gi i h n c a dãy s 3n − 5 1 Ví d 5. Cho dãy s { xn } v i. Ch ng minh lim xn = . V i k nào thì xk n m xn = 9n + 4 3 n →∞ 1 11 1 ngoài kho ng L =  − . ;+  3 1000 3 1000  Ta có 5  5 n3−  3− 3n − 5 n =1. n = lim  lim = lim 43 4  n →∞ n →∞  n →∞ 9n + 4 9+ n9 +  n n  1 1 3n − 5 1 19 19 Kho ng cách t xn n b ng xn − = ; − =− = 3 ( 9n + 4 ) 3 ( 9 n + 4 ) 3 3 9n + 4 3 19 1 1 1 x n m ngoài kho ng L khi và ch khi x − hay . > > 3 ( 9n + 4 ) 1000 3 1000 18988 7 Do ó n < = 703 . V y các s c a dãy n m ngoài kho ng L là x1, x2, …, x703. 27 27 2n Ví d 6. Ch ng minh r ng lim = 0. n →∞ n ! n −3 2n 2.2...2 22 2 2 1 1 1 41 Ta có . = 2.1. . ... < 2.1. . . ... =   = n ! 1.2.3...n 34 n 3 2 2 2 3 2 ( n −3) sô n −3 2n 1 Vì lim   = 0 nên lim = 0. n →∞ 2 n →∞ n !  Ví d 7. Tính các gi i h n sau: 3  3n 2 + n − 2  3n 2 + 5n + 4 a) lim b) lim  2  2 + n2 n →∞ 4n + 2 n + 7 n →∞   Gi i. 54 3+ + 3n 2 + 5n + 4 n n2 = 3 . a) Ta có lim = lim 2 2 + n2 n →∞ n →∞ +1 n2 5 B môn Tóan- Th ng kê Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
12    3 + n − n2 3   3 3 27  3n 2 + n − 2  b) Ta có lim  2 .  = lim  =  =  n→∞  4 + 2 + 7 n →∞ 4n + 2 n + 7   4  64  n n2   Ví d 8. Tìm gi i h n c a các dãy s { xn } sau: n2 + 1 + n b) xn = 3 n 2 − n3 + n a) xn = 2n + 3 − n − 1 c) xn = . 4 n3 + n − n Gi i. a) Khi n → ∞ , xn = 2n + 3 − n − 1 có d ng vô nh ∞ − ∞ . Mu n kh d ng vô nh y, ta nhân t và m u c a xn v i lư ng liên h p 2n + 3 + n − 1 , ta ư c: ( )( ) = lim ( 2n + 3) − ( n − 1) 2n + 3 − n − 1 2n + 3 + n − 1 lim xn = lim 2n + 3 + n − 1 2n + 3 + n − 1 n →∞ n →∞ n →∞ 4 1+ n+4 n = lim = lim = +∞ 2n + 3 + n − 1 n →∞ 23 11 n →∞ + 2+ − n n2 nn 1   b) Ta có n 2 − n3 = n3  − 1 → −∞ khi n → ∞ , vì v y xn = 3 n 2 − n3 + n có d ng n   2 (n − n3 ) − n 3 n 2 − n3 + n 2 , ta ư c: ∞ − ∞ . Nhân t và m u c a xn v i lư ng liên h p 2 3   ) ( 2 n 2 − n3 + n  3 ( n 2 − n3 ) − n 3 n 2 − n3 + n 2  3   lim xn = lim 2 n →∞ n →∞ (n − n3 ) − n 3 n 2 − n3 + n 2 2 3 n2 1 1 = lim = lim = 3 32 2 n →∞ n →∞ (n ) 1  1 2 − n 3 n 2 − n3 + n 2 −n 3  − 1 − 3 − 1 + 1 3 n  n  1 1 1 1 n  1+ 2 +  1+ 2 + n n 4 2 n +1 + n = 3 n n. c) Ta có xn = 4 3 = n.  1 1 41 1 n +n − n 4 1+ n4  4 1+ 2 − 4  − n2 n n n  1 1 1+ + 2 n n = +∞ . Do ó lim xn = lim 4 n . 1 41 n →∞ n →∞ 4 1+ − n2 n Ví d 9. Tìm gi i h n c a các dãy s { xn } sau: sin n a) lim n →∞ n 6 B môn Tóan- Th ng kê Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
1  4  b) lim 2 − 3 + 2       n →∞  n  n  (2n −1)(n 2 + 3n − 2) c) lim 4n 3 − n 2 + 1 n →∞ ( ) d) lim n n +1 − n n →∞ 4.3 Gi i h n m r ng lim x n = +∞ n →∞ lim x n = −∞ n →∞ lim x n = ∞ n →∞ Ví d 10. a) lim n 2 n →∞ b) lim (−n 2 + 5) n→∞ c) lim (−n 2 + 5n ) n→∞ n d) lim (−1) n 2 n→∞ Gi i. a) Ta có lim n 2 = +∞ n →∞ 4.4 M t s gi i h n c bi t n 1 + 1  = e    lim   n →∞   n 1 lim = 0 (α > 0) n →∞ n α lim n n = 1 n →∞ lim n a = 1(a > 0) n →∞  0 ,0 < q < 1    n lim q = ∞ ,q > 1  n →∞ 1 ,q = 1    Ngoài ra n u q =-1 thì gi i h n không t n t i Ví d 11. Tính gi i h n các dãy s sau 3n − 2.4n a) lim n →∞ 5.4 n − 2 n ( ) 2 4 2 8 2...2n 2 b) lim n →∞ 7 B môn Tóan- Th ng kê Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
II. Gi i h n c a hàm s x2 − 4 Ví d 12. Cho hàm s f (x) = . Khi gán cho x l n lư t các giá tr càng d n v 1 x−2 t 2 phía ( 1) nhưng r t g n 1 thì f(x) càng d n v 3 x 0.8 0.9 0.99 0.999 1 1.000001 1.0001 1.001 1.05 1.1 f (x) 2.8 2.9 2.99 2.999 3.000001 3.0001 3.01 3.05 3.1 Tương t khi gán cho x các giá tr d n v 2 t 2 phía ( 2) nhưng r t g n 2 thì f(x) càng d n v 4 x 1.8 1.9 1.99 1.9999 2 2.000001 2.00001 2.001 2.05 2.1 f (x) 3.8 3.9 3.99 3.9999 4.000001 4.00001 4.001 4.05 4.1 Nh n xét r ng f(x) không t n t i giá tr t i 2 nhưng các giá tr c a f(x) khi x d n v 2 cho ta c m nh n r ng f(x) s có giá tr x p x là 4 khi x ti n v 2 t c hai phía 1. nh nghĩa Gi s hàm s f ( x ) xác nh lân c n i m a (có th tr t i a ). Ta nói hàm s f ( x ) có gi i h n là A khi x d n t i a n u v i m i s ε > 0 cho trư c, ut ntim ts δ > 0 sao cho khi x − a < δ thì f ( x ) − A < ε , kí hi u là lim f ( x ) = A hay f ( x ) → A x →a khi x → a . Ví d 13. Ch ng minh r ng lim ( 2 x + 1) = 3 . x →1 Ta c n ch ra r ng n u cho trư c s ε > 0 , thì tìm ư c s δ > 0 sao cho 2 x + 1 − 3 < ε ε hay 2 ( x − 1) < ε n u x − 1 < δ . Ta có 2 ( x − 1) = 2 x − 1 < ε ⇔ x − 1 < . 2 ε V y l y δ = , ta có lim ( 2 x + 1) = 3 . 2 x →1 Chú ý: Trong nh nghĩa trên, khi nói x d n t i a, có th x > a, cũng có th x < a. N u khi x d n t i a v phía trái (t c là x d n t i a và x luôn nh hơn a) mà f ( x ) d n t i gi i h n A thì A g i là gi i h n trái t i a, kí hi u là: lim f ( x ) . x →a − Tương t , ngư i ta nh nghĩa gi i h n ph i t i a, kí hi u là: lim f ( x ) . x →a + Hàm s f ( x ) có gi i h n A khi x → a khi và ch khi nó gi i h n trái t i a và gi i h n ph i t i a và hai gi i h n y u b ng A: lim f ( x ) = lim f ( x ) = A . x →a − x →a + x ,x0 Ta th y lim f ( x ) = 0 và lim f ( x ) = 1 . x → 0− x → 0+ Do ó f ( x ) không có gi i h n khi x → 0 . Ví d 15. Tính gi i h n các hàm s sau khi x → 0 : 8 B môn Tóan- Th ng kê Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
x a) f (x) = x 1 b) f (x) = x Ví d 16. Tính gi i h n 1 phía, 2 phía các hàm s sau: 2x − 3 1 1 d) lim g) lim 2 x−1 a) lim x →+∞ 2 x + 3 x →+∞ x 2 + x →1 1 1 4x −1 e)lim h) lim 2 b) lim x−1 x →0 x x →+∞ 2x + 5 − x→1 x x>2 x  −1 l) f (x) =  c) lim  f ) lim 3x x≤2 x →−∞ x + 1 2  (x − 3)  x →3 Nh n xét: Hàm s có th có gi i h n m t phía nhưng không ph i lúc nào cũng có gi i h n 2 phía suy ra gi i h n không ph i t n t i i v i m i hàm s 2. Các phép toán v gi i h n nh lý 5. Gi s lim f ( x ) = A , lim g ( x ) = B . Khi ó: x →a x →a i) lim ( f ( x ) ± g ( x ) ) = A ± B x →a ii) lim ( f ( x ) .g ( x ) ) = A.B x →a f ( x) A iii) lim , n u B ≠0. = g ( x) B x→a iv) lim n f(x) = n lim f(x) = n A; A > 0 , n ch n x →a x →a k v) lim f (x) k =  lim f (x) = A k , k ∈ » .  x →a  x→ a lim f (x ) vi) lim b f (x ) = b x→a = bA , b > 0 . x→ a ( ) vii) lim [ log b f (x) ] = lo g b lim f (x) = lo g b A(A > 0,0 < b < 1or b>1) . x→ a x→ a Chú ý: Trong quá trình tìm gi i h n c a hàm s ta n u g p m t s các d ng vô nh 0∞ 0 ∞ sau: ∞ −∞;0.∞; ; ; ; ;1∞ ;00 , ∞0 ,... . thì ph i tìm cách bi n i kh 0∞ 1 1 ∞0 chúng. Ví d 17. lim sin x lim sin x π π sin x 1 4 x→ x→ a) lim 2 2 2 = = == =2 lim ( 3 x + x − 1) lim 3 x + lim x − lim1 2 2 2 π 3x + x + 1 3π + 2π − 4 π  π x→ 3  + −1 2 π π π π x→ x→ x→ x→ 2 2 2 2 2 2 2 lim( x 2 − 3).lim ( x 2 − 3) (x − 3) 2 1.1 1 b) lim x→2 x →2 = = = lim ( 5 x ) − lim 2 5x − 2 10 − 2 8 x→2 x→2 x→2 9 B môn Tóan- Th ng kê Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
3 lim ( x − 3) 3 ( x − 3) c) lim x →3 =0 = lim ( x − 2 ) x−2 x →3 x →3 Ví d 18. x2 −1 0 a) Xét lim ây ta g p d ng vô nh . Khi x → 1, có th xem x ≠ 1, . x −1 0 x →1 x 2 − 1 ( x − 1) ( x + 1) Ta khai tri n = x +1 . = x −1 x −1 x2 − 1 Do ó lim = lim ( x + 1) = 2 . x − 1 x →1 x →1 x3 − 8 b) Tính lim . x−2 x→2 x3 − 8 = lim ( x 2 + 2 x + 4 ) = 12 Vì x3 − 8 = ( x − 2 ) ( x 2 + 2 x + 4 ) nên lim x − 2 x→2 x→2 Ví d 19. Tính các gi i h n sau: a) lim (7x 5 − 4x 3 + 2x − 9) x→+ ∞ b) lim (−x 4 − 4x 3 + 2x − 9) x→ + ∞  4x 2 − x   c) lim  3   x→−∞  2x − 5     3x + 5 d) lim 3 6x − 8 x→+ ∞ x2 + 2 e) lim x →−∞ 3x − 6 ( ) x6 + 5 − x3 f ) lim x→ + ∞  2x 2 + 5 x
a) N u lân c n i m a, hàm s f ( x ) tăng và b ch n trên b i s M thì t n t i gi i h n c a f ( x ) khi x → a và lim f ( x ) ≤ M . x →a b) N u lân c n i m a, hàm s f ( x ) gi m và b ch n dư i b i s m thì t n t i gi i h n c a f ( x ) khi x → a và lim f ( x ) ≥ m. x →a sin x Hai nh lý này cho phép ta tìm m t gi i h n quan tr ng, ch ng h n như: lim =1, x x →0 x  1 lim  1 +  = e , …T ó d a vào nh ng gi i h n này ta có th gi i ư c nhi u bài  x x →∞ toán tính gi i h n khác. Ví d 20. Tính các gi i h n sau: sin x 1 sin x 1 tgx a) lim = lim . = lim .lim = 1.1 = 1 x cos x x → 0 cos x x x x →0 x →0 x →0 arcsin x b) Xét lim t arcsin x = t , ta có x = sin t. Khi x → 0 thì t → 0 . . x x →0 arcsin x 1 1 t V y lim = lim = lim =1 = t → 0 sin t sin t t → 0 sin t x x →0 lim t t t →0 arctgx c) Tương t , lim = 1. x x →0 Ví d 21. Tính các gi i h n sau: x +3 x  3+ x   x+2 a) lim  b) lim    x →∞ x − 1 x   x →∞ Gi i. x x  3+ x   3  a)   =  1 +  có d ng 1 khi x → ∞ . t x = 3t, khi x → ∞ thì t → ∞ . V y ∞  x   x 3  1 t  x t  3  3   lim  1 +  = lim  1 +  = lim  1 +   = e3 .  x  t  t   x →∞ t →∞ t →∞   x +3 x +3 x +3  x+2  x+2 3  b)  có d ng 1 khi x → ∞ . Ta có  ∞ = 1 + .     x −1   x −1   x −1  t x − 1 = 3t , ta có x = 3t + 1 . Khi x → ∞ thì t → ∞ . V y x +3 3t + 4 3t 4 3  1  1  1  = lim  1 +  .lim  1 +  = e3 .1 = e3 . lim  1 + = lim  1 +    x −1   t  t  t x →∞ t →∞ t →∞ t →∞ Ví d 22. Tính các gi i h n sau: 11 B môn Tóan- Th ng kê Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
1 a) lim x sin   x   x →0 1 1 b) lim cos x x x→ + ∞ 2 + 3x n n, m ∈ »* c) lim ; x →−∞ 1 − x m d) lim x − 4 + x→4 1 e)lim x →0 x 2 4 . M t s g i i h n cơ b n s inx lim =1 x x →0 tgx lim =1 x →0 x e x −1 lim =1 x x→ 0 ln(1 + x) lim =1 x x→ 0 1 lim α = 0(α > 0) x→ 0 x  1 1 lim 1 +  = e; lim (1 + x )x = e    x x→+∞   x →0 x  1 1 lim 1 −  =  x   e x→+∞   Ví d 23. Tính các gi i h n sau: sin 5x 1 e) lim cos   a) lim  x 7x  x →0 + x →0 sinx 1 b) lim f ) lim sin   x →0 5 x x +  + x →0 x x 2 − 3sin x c)lim g)lim x→0 tgx x x →0 x2 2x + s inx d)lim h) lim x →0 1 − cosx x x→ 0 5. Vô cùng bé và vô cùng l n 5.1 nh nghĩa • Hàm s f ( x ) g i là m t vô cùng bé ( vi t t t là VCB ) khi x → a n u lim f ( x ) = 0. x →a 12 B môn Tóan- Th ng kê Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
Trong ó a có th là h u han hay vô cùng. T nh nghĩa gi i h n c a hàm s , ta có th suy ra r ng n u f ( x ) → A khi x → a thì f ( x ) = A + α ( x ) , v i α ( x ) là m t VCB khi x → a . • Hàm s F ( x ) g i là m t vô cùng l n ( vi t t t là VCL) khi x → a n u lim F ( x ) = +∞. x →a 1 Có th d dàng th y r ng n u f ( x ) là m t VCB khi x → a thì là m t VCL và f ( x) ngư c l i. Ví d 24. Tính các gi i h n sau: g) lim (3x 4 + x ) a) lim(1 − cosx) e)lim ln(1 + x) c)lim(s inx) x →0 x →0 x →0 x →0 (3x 4 + x ) b) lim x 2 f)lim e x −1 d) lim x h) lim x →0 x →0 x →0 5x 4 x→ 0 5.2 Tính ch t N u f ( x ) , g ( x ) là hai VCB khi x → a thì f ( x ) ± g ( x ) , f ( x ) .g ( x ) cũng là nh ng VCB khi x → a . N u f ( x ) , g ( x ) là hai VCL cùng d u khi x → a thì f ( x ) ± g ( x ) cũng là m t VCL khi x → a . Tích c a hai VCL khi x → a cũng là m t VCL khi x → a . Ví d 25. Tình gi i h n sau lim(x10 -7x 8 +x 2ln(1+2x 2 )(1− cos3x) x→ 0 5.3 So sánh các VCB a) B c c a các VCB nh nghĩa. Gi s α ( x ) , β ( x ) là hai VCB khi x → a . α ( x) N u lim = 0 , ta nói r ng α ( x ) VCB b c cao hơn β ( x ) hay β ( x ) là VCB b c β ( x) x →a th p hơn α ( x ) α ( x) N u lim = ∞ , ta nói r ng α ( x ) VCB b c th p hơn β ( x ) hay β ( x ) là VCB b c β ( x) x →a cao hơn α ( x ) α ( x) N u lim = A ( ≠ 0, ≠ ∞ ) , ta nói r ng α ( x ) và β ( x ) là hai VCB cùng b c. c bi t x→a β ( x ) khi A =1 ta nói α ( x ) , β ( x ) là tương ương v i nhau, ký hi u là α ( x) ~ β(x) N u α ( x ) là VCB ngang c p v i β k ( x ) (k > 0) thì ta nói α ( x ) là VCB c p k so v i VCB β ( x ) 13 B môn Tóan- Th ng kê Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
α ( x) N u lim không t n t i, ta nói r ng không th so sánh hai VCB α ( x ) và β ( x ) . β ( x) x →a Ví d 26. a) 1 − cos x và 2x u là nh ng VCB khi x → 0 . Vì x x sin 2 sin 1 − cos x 2 = lim sin x .lim 1 . 2 =0 lim = lim x 2x 2 x →0 2 x x →0 x →0 x →0 2 Nên 1 − cos x là VCB b c cao hơn 2x. 1 1 x sin sin x = 1 lim sin 1 1 x = lim b) x.sin và 2x là nh ng VCB khi x → 0, Vì lim 2x 2 2 x →0 x x x →0 x→0 1 1 nhưng không t n t i lim sin nên x sin và 2x là hai VCB khi x → 0 không so sánh x x x →0 ư c v i nhau. c) 1 –cosx và x2 là hai VCB ngang c p khi x → 0, và do ó 1 – cosx cũng là VCB c p x 2sin 2 1 − cosx 2 =1 hai so v i x2 , vì lim = lim x2 2 x 2 x→ 0 x →0 s inx x 1 d) sinx và x2 u là nh ng VCB khi x → 0, vì lim = lim 2 = lim = +∞ nên 2 x x→ 0 x x →0 x + + + x →0 2 2 sinx là VCB c p th p hơn x hay x là VCB c p cao hơn sinx. b) Vô cùng bé tương ương nh nghĩa: Hai VCB khi x → a g i là tương ương v i nhau n u α ( x) =1 , lim x→a β ( x ) Kí hi u : α ( x ) ∼ β ( x ) . N u α ( x ) → 0 khi x → a thì : sin α ( x ) ∼ α ( x ) , tgα ( x ) ∼ α ( x ) ,      acr sin α ( x ) ∼ α ( x ) ,  arctgα ( x ) ∼ α ( x )    2 1 − cosα (x) ~ α (x)   [1 + α (x) ]k −1 ~ kα (x)   2        ln(1 + α (x)) ~ α (x) α ( x)  e −1 ~ α (x)    2   nh lý 8: N u α ( x ) và β ( x ) là hai VCB khi x → a, α ( x ) ∼ α1 ( x ) , β ( x ) ∼ β1 ( x ) khi α ( x) α ( x) x → a thì lim = lim 1 . x →a β ( x ) x→a β ( x ) 1 Th t v y, vì α ( x ) ∼ α1 ( x ) , β ( x ) ∼ β1 ( x ) , ta có 14 B môn Tóan- Th ng kê Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
α ( x) β ( x) lim = 1, lim =1 α1 ( x ) x→a β ( x ) x →a 1  α ( x ) α1 ( x ) β1 ( x )  α ( x) Do ó : lim = lim  . .  x→a  α ( x ) β ( x ) β ( x )  x →a β ( x ) 1  1 α ( x) α ( x) β ( x) α ( x) .lim 1 .lim 1 = lim 1 = lim . x→a α ( x ) x→a β ( x ) x→a β ( x ) x→a β ( x ) 1 1 1 nh lý 9: (quy t c ng t b các VCB b c cao). N u α ( x ) , β ( x ) là các VCB khi x → a, β ( x ) là VCB b c cao hơn α ( x ) thì khi x → a α ( x) + β ( x) ∼ α ( x).  β ( x)  α ( x) + β ( x) β ( x) Th t v y, ta có lim = lim  1 +  = 1 + lim =1 x →a   α ( x)  α ( x)  x→a α ( x ) x →a Ví d 27. Ch ng minh r ng sin x x ∼ x 2 + x3 khi x → 0 . 3 3 Khi x → 0 thì sin x x = sin x 4 ∼ x 4 ; 3 3 3 x 2 + x3 = x 2 + x 2 ∼ x 2 = x 4 . 3 Vì b c c a x cao hơn b c c a x . Do ó sin x x ∼ x 2 + x3 khi x → 0 . 2 2 Ví d 28. Tính các gi i h n sau: s in2x + arcsin 2 x − arctg 2 x a) lim ; 3x x →0 1 − cos x + 2sin x − sin 3 x − x 2 + 3x 4 b) lim tg 3 x − 6sin 2 x + x − 5 x 3 x →0 Gi i. a) Ta có s in2x + arcsin 2 x − arctg 2 x ∼ 2x + x 2 − x 2 = 2 x khi x → 0 s in2x + arcsin 2 x − arctg 2 x 2x 2 Do ó lim = lim = 3x x →0 3 x 3 x →0 b) Ta bi n it s : x 1 − cos x + 2sin x − sin 3 x − x 2 + 3x 4 = 2sin 2 + 2sin x − sin 3 x − x 2 + 3x 4 ∼ 2 2 x ∼ 2   + 2 x − x3 + 3 x 4 ∼ 2 x khi x → 0 2 Còn m u s tương ương v i x 3 − 6 x 2 + x − 5 x 3 ∼ x khi x → 0 2x V y ta ư c: lim = 2. x→0 x Ví d 29. Tính các gi i h n sau s d ng các VCB tương ương 15 B môn Tóan- Th ng kê Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
ln(1 + x − 3x 2 + 2x 3 ) a) lim x →1 ln(1 + 3x − 4x 2 + x 3 ) e 2x −1 b)lim x→0 ln(1 − 4x) sin 2 3x c)lim x→0 ln 2 (1 + 2x) 1 + 2x −1 d)lim tg3x x →0 x10 − 7x 8 + x 2 ln(1 + 2x 2 )(1 − cos4x) e)lim 2 sin 3 x.(e x −1).arctg(3x)+x 7 − x 8 x→0 (x −1)3 sin 4 (x −1).(e x−1 −1) f )lim (1 + (x −1)  −1)arcsin (x-1) + (x −1) 23 6 9 x→1 c) So sánh các VCL Gi s F ( x ) và G ( x ) là hai VCL khi x → a . F ( x) N u lim = ∞ , ta nói F ( x ) là VCL b c cao hơn G ( x ) khi x → a x→a G ( x ) F ( x) N u lim = 0 , ta nói F ( x ) là VCL b c th p hơn G ( x ) khi x → a G ( x) x→a F ( x) = A ( ≠ 0, ≠ ∞ ) , ta nói F ( x ) và G ( x ) là nh ng VCL cùng b c. N u lim x→a G ( x ) F ( x) N u lim = 1 , ta nói F ( x ) và G ( x ) là hai VCL tương ương khi x → a kí h u x→a G ( x ) F ( x ) ∼ G ( x ) khi x → a . Cũng như i v i các VCB, ta d dàng ch ng minh ư ccác nh lý sau. nh lý 10: N u F ( x ) và G ( x ) là hai VCL khi x → a , F ( x ) ∼ F1 ( x ) , G ( x ) ∼ G1 ( x ) khi x → a thì : F ( x) F ( x) = lim 1 lim x→a G ( x ) x→ a G ( x ) 1 nh lý 11: N u F ( x ) và G ( x ) là hai VCL khi x → a , G ( x ) là VCL b c th p hơn F ( x ) thì khi x → a , F ( x ) + G ( x ) ∼ F ( x ) (Quy t c ng t b các VCL). Ví d 30. Tính các gi i h n sau 7 x3 − x5 + 6 x a ) lim x →∞ 12 x 3 + x 2 − 6 x 7 x 23 − x 5 + 6 x + 4 x10 − 8 x 30 b) lim x →∞ 12 x13 + x 2 − 6 x + x 25 − 1000 x 30 16 B môn Tóan- Th ng kê Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
) ( x 4 + 3x 2 − x 4 − 1 c) lim x →∞ ) ( x2 + 1 − x d ) lim x x →∞ Gi i. a) Ta có 7 x 3 − x5 + 6 x ∼ 7 x 3 khi x → ∞ 12 x3 + x 2 − 6 x ∼ 12 x3 khi x → ∞ . 7 x3 − x 5 + 6 x 7 x3 7 V y lim =. = lim x →∞ 12 x 3 12 x →∞ 12 x 3 + x 2 − 6 x III. Hàm s liên t c 1. nh nghĩa nh nghĩa 1. Cho f là m t hàm s liên t c trong kho ng (a, b ), x0 là m t i m thu c ( a, b). Ngư i ta nói r ng hàm s f liên t c t i x0 n u: lim f ( x ) = f ( x0 ) . (1) x → x0 N u hàm s f không liên t c t i x0, ta nói r ng nó gián o n t i x0. N u t: x = x0 + ∆x, ∆y = f ( x ) − f ( x0 ) , thì ng th c (1) có th vi t là: lim  f ( x ) − f ( x0 )  = 0 hay lim ∆y = 0 .   ∆x → 0 x → x0 Ví d 31. Ch ng minh hàm s y = x 2 liên t c t i m i x0 ∈ » . 2 2 t x = x0 + ∆x thì y0 = x0 , ∆y = x 2 − x0 = ( x0 + ∆x ) − x0 = 2 x0 ∆x + ( ∆x ) ; 2 2 Ta có: ∀x ∈ » lim ∆y = 2 x0 . lim ∆x + lim ∆x. lim ∆x = 0 ( pcm). ∆x → 0 ∆x → 0 ∆x → 0 ∆x →0 Ví d 32. Ch ng minh hàm s y = sin x liên t c t i m i x0 ∈ » . Ta có: x0 ∈ » , t x = x0 + ∆x thì y0 = sin x0 , ∆y = sin x − sin x0 = sin ( x0 + ∆x ) − sin x0 = ∆x ∆x  ∆x  . = 2 sin cos  x0 +  ≤ 2 sin 2 2 2  Do ó lim ∆y = 0 . ∆x → 0 Tương t như v y, có th ch ng minh ư c r ng m i hàm s sơ c p cơ b n u liên t c t i nh ng i m thu c mi n xác nh c a nó. d dàng trong tính tóan ngư i ta thư ng phát bi u nh nghĩa 1 dư i Nh n xét: d ng sau: i) f(x0) ph i xác nh ii) lim f (x) ph i t n t i x→ x 0 iii) lim f (x) = f (x 0 ) x→ x 0 Ví d 33. Xét s liên t c c a các hàm s sau 17 B môn Tóan- Th ng kê Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
a) f (x) = x 2 − 2x + 3 x2 −9 b)g(x) = x 2 − 5x + 6 Gi i. a) Ta có f (x) = x 2 − 2x + 3 là m t hàm s sơ c p nên xác nh, có gi i h n ∀x ∈ Df . Nên hàm s liên t c t i m i x thu c t p xác nh D f x2 − 9 b) Ta có g(x) = là m t phân th c h u t ( là m t d ng c a hàm s sơ c p) x 2 − 5x + 6 nh, có gi i h n ∀x ∈ Df = » \ {2,3} . Nên hàm s cũng liên t c t i nên hàm s xác m i x thu c Df. Riêng t i x=2, 3 ta nghi ng r ng hàm s có ho c không liên t c nên ta làm như sau: * Khi x= 3 thì ta ki m tra 3 i u ki n c a hàm liên t c: x2 − 9 0 i) g(x) = ⇒ g(3) = không xác nh nên ta có th b qua 2 i u ki n kia 2 x − 5x + 6 0 và k t lu n hàm s không liên t c t i x=3. * Tương t khi x=2. Ví d 34. Xét tính liên t c c a hàm s f (x) = x . nh nghĩa 2. (Liên t c trái, ph i) * Liên t c trái M t hàm s f ư c g i là liên t c trái t i m t i m x =c thu c Df n u th a mãn 3 i u ki n sau - f(c) ư c nh nghĩa ( xác nh). - lim f (x) ph i t n t i. x→ c− - lim f (x) = f (c) . x→ c− Ta phát bi u tương t cho trư ng h p liên t c ph i. nh nghĩa 2. Hàm s f ư c g i là liên t c trong kho ng m ( a, b) n u nó liên t c t i m i i m c a kho ng ó; ư c g i là liên t c trong kho ng óng [a, b] n u nó liên t c t i m i i m c a kho ng m (a, b), liên t c ph i t i a và liên t c trái t i b. Ví d 35. Tìm t t c các giá tr c a x mà t i ó hàm s f(x) không liên t c 18 B môn Tóan- Th ng kê Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
 x +1 x 3    x b)g(x) = 2 x +1 x +3 c) k(x) = 2 x + 3x 2. Các phép toán v hàm s liên t c T các nh lý v gi i h n c a t ng, tích, thương và t nh nghĩa c a hàm s liên t c t i m t i m, có th d dàng suy ra: nh lý 12. N u f và g là hai hàm s liên t c t i x0 thì: a) f + g liên t c t i x0. b) f.g liên t c t i x0. f c) liên t c t i x0 n u g ( x ) ≠ 0 . g nh lý 13.N u hàm s u = ϕ ( x ) liên t c t i x0, hàm s y = f ( u ) liên t c t i u0 = ϕ ( x0 ) thì hàm s h p y = ( f g ) ( x ) = f ϕ ( x )  liên t c t i x0.   Ví d 36. Xét tính liên t c c a các hàm s sau: 1 + cosx  , khi x ≠ π    s inx  ( x-π)2  , khi x ≠ 0   c)f (x) =   a)f (x) =  x 1   , khi x = π  1 2 , khi x = 0      1  ln(1 + 2x)   sin , khi x ≠ 0  −1 + e3x , khi x > 0  x b)f (x) =   d)f (x) =   a , khi x = 0 2    , khi x ≤ 0  3   2.1 Tính ch t c a hàm s liên t c Các nh lý sau ây nêu lên nh ng tính ch t cơ b n c a hàm s liên t c. nh lý 14. N u hàm s f ( x ) liên t c trên o n [a, b] thì nó b ch n trong o n ó, t c là t n t i hai s m và M sao cho ∀x ∈ [ a, b ] . m ≤ f ( x) ≤ M nh lý 15. N u hàm s f ( x ) liên t c trên o n [a, b] thì nó t giá tr nh nh t m và giá tr l n nh t M c a nó trên o n ó, t c là t n t i hai i m x1 , x2 ∈ [ a, b ] sao cho: ∀x ∈ [ a, b] ; f ( x1 ) = m ≤ f ( x ) ∀x ∈ [ a, b ] . f ( x2 ) = M ≥ f ( x ) 19 B môn Tóan- Th ng kê Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
nh lý 16. ( nh lý v giá tr trung gian) N u hàm s f ( x ) liên t c trên o n [a, b], m và M là các giá tr nh nh t và l n nh t c a nó trên o n ó thì m i s µ n m gi a m và M, luôn t n t i i m ξ ∈ [ a, b ] sao cho: f (ξ ) = µ . H qu . N u f ( x ) liên t c trên [a, b], f ( a ) . f ( b ) < 0 thì trong kho ng (a, b) t n t i m t i m ξ sao cho f (ξ ) = 0 . Chú ý: Dùng tính ch t c a hàm s liên t c, ta ch ng minh ư c các công th c sau: ln (1 + α ) eα − 1 aα − 1 = 1 ; lim = 1 ; lim = ln a . T ó ta có th suy ra r ng n u lim α α →0 α α α →0 α →0 α ( x ) → 0 khi x → a thì khi x → a : ln (1 + α ( x ) ) ∼ α ( x ) ; eα ( x ) − 1 ∼ α ( x ) ; aα ( x ) − 1 ∼ α ( x ) ln a . 2.2 Các ví d 2 x2 + 3 Ví d 37. Tính lim 4x + 2 x →±∞ Khi x → ±∞ , các t s và m u s u là các VCL. Theo nguyên t c ng t b các VCL x2 2x2 + 3 2x2 lim = lim = lim . 4x + 2 x →±∞ 4 x x →±∞ 4 x x →±∞ 2x2 + 3 2 x2 + 3 2 2 V y lim , lim = =− 4x + 2 4 4x + 2 4 x →+∞ x →−∞ 2x Ví d 38. Tìm lim 5 x +3 . x →±∞ 2x 2x lim Ta có lim 5 = 5 x→±∞ x +3 = 52 = 25 x +3 x →±∞ 2x − 2 Ví d 39. Tìm lim 3 . 26 + x − 3 x →1 0 Ta ph i kh d ng vô nh . t 26 + x = z 3 , suy ra x = z 3 − 26 . 0 Khi x → 1 thì z 3 → 27 hay z → 3 . Ta có 2 ( z 3 − 26 ) − 2 2 z 3 − 54 2 ( z 3 − 27 ) 2 ( z − 3) ( z 2 + 3 z + 9 ) 2x − 2 = 2 ( z 2 + 3z + 9 ) = = = = z −3 z −3 z −3 z −3 3 26 + x − 3 khi z ≠ 3. 2x − 2 = lim 2 ( z 2 + 3 z + 9 ) = 54 V y lim 3 26 + x − 3 z →3 x →1  π sin  x −  6  Ví d 40. Tìm lim . 3 − 2 cos x π x→ 6 20 B môn Tóan- Th ng kê Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM