Giáo trình Mở đầu về giải tích phức trong không gian Banach: Phần 1

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:92

Thêm vào BST

Báo xấu

9
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Phần 1 giáo trình "Mở đầu về giải tích phức trong không gian Banach" cung cấp cho người đọc các nội dung: Đa thức và chuỗi lũy thừa; ánh xạ chỉnh hình - các tính chất cơ bản, hàm đa điều hòa dưới và định lý Hartogs về ánh xạ chỉnh hình theo từng biến. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình Mở đầu về giải tích phức trong không gian Banach: Phần 1

Ê - LÊ MẬU HẢI - PHẠM HOÀNG HIỆP MỞĐẦU VÉ GIẢI TÍCH PHÚC £ TRONG I NGUYÊN iỌC LIỆU
G S . TSK H . NGUYẼN VĂN KHUÉ - G S . T SK H . LẺ MẬU HẢI P G S . T S . PHẠM H O À N G H IỆP MỞ ĐÀU VÈ GIẢI TÍCH PHỨC TRONG KHÔNG GIAN BANACH NHÀ XƯẨT BẢN ĐẠI HỌC s ư PHẠM
Mã số: 01.01.332/1001 - ĐH 2013
Muc lục Trang Lòi nói đ ầu 5 1 Đ a th ứ c và chuỗi lũy th ừ a 6 1 . 1 . Ánh xạ đa tuyến tính ........................................................................................ 6 1.2. Đa t h ứ c ...............................: .............................................................................. 14 1.3. Đa thức của một và nhiều b i ế n ....................................................................... 18 1.4. Chuỗi lũy thừa ................................................................................................... 25 2 Á n h xạ chinh h ìn h C ác tín h ch ất cơ b ản 30 2.1. Ánh xạ chỉnh h ìn h ............................................................................................... 30 2.2. Tích phân Riemann của hàm giá trị Banach .............................................. 36 2.3. Các công thức tích phân C a u c h y ................................................................... 37 2:4. Ánh xạ G - chỉnh hình .................................................................................... 48 2.5. Tính chình hình và tính c - khả vi ............................................................... 55 2.6. Tôpô com pact m ở .............................................................................................. 61 3 H àm đ a điều hòa dưới và Đ ịnh lí H arto g s về án h xạ ch in h hình theo từng biến 66 3.1. Hàm đa điều hòa d ư ớ i......................................................................................... 66 3.2. Chính quy hóa hàm đa điều hòa d ư ớ i ............................................................. 77 [33. Ánh xạ chỉnh hình theo từng b i ế n .................................................................... 85 4 D ạng vi p h ân song bậc và Bô đề D olbeaut trong đa diện da th ứ c 92 4.1. Dạng đa tuyến tính thay dấu ............................................................................ 92 3
4.2. Phân hoạch đơn v ị ................................................................................................. 97 4.3. Dạng vi p h â n ....................................................................................................... 100 4.4. Bổ đề P o i n c a r e .................................................................................................... 109 4.5. Dạng vi phân song b ậ c ...................................................................................... 110 4.6. d - phương trình đối với dạng vi phân có giá bị c h ặ n .................................. 114 4.7. ở - phương trình trong đa đĩa. Bổ đề D o lb e a u t............................................ 120 4.8. Tập compact lồi đa thức - Bổ đề Dolbeaut trong đa diện đa th ứ c ............. 125 4.9. Xấp xỉ đa thức trong không gian B a n a c h .......................................................130 5 M ột số loại m iền tro n g k h ô n g gian B a n ach 135 5.1. Miền chình h ìn h .........................1 ........................................................................ 135 5.2. Miền lồi chỉnh h ì n h ............................................................................................. 139 5.3. Miền giả l ồ i ...........................................................................................................143 5.4. Hàm đa điều hòa dưới trên miền giả l ồ i .......................................................... 148 6 0 - phương trìn h tro n g m iền giả lồi và vấn dề Levi 153 6.1. Toán tử xác định trù mật trong không gian Hilbert . . . ... ....................... 153 6.2. Hàm t h ử ................................................................................................................. 156 6.3. Phân b ố ................................................................................................................. 161 6.4. â - toán tử đối với L 2 - dạng vi p h â n ............................................................. 170 6.5. L 2 - nghiệm của d - phương t r ì n h .................................................................... 177 6.6. c x - nghiệm của ỡ - phương t r ì n h .................................................................183 6.7. Vấn đề Levi trong C " ......................................................................................... 185 6.8. Xấp xỉ chình hình trong c n ...............................................................................187 6.9. Vấn đề Levi trong không gian B a n a c h ..........................................................192 Tài liệu th a m khảo 196 4
Lời nói đầu G iáo irình được biên soạn dựa trên một số sách chuyên khảo về Giải tích phức hữu hạn và vô hạn chiều, trong đó cuốn "Complex Analysis on Banach spaces" của J.M ujica[5] đóng vai trò cốt lõi. G iáo trình có 6 chương. Hai chương đầu trình bày các khái niệm cơ bản: đa thức, chuỗi lũy thừa, ánh xạ chỉnh hình và G - chinh hình. Chương 3 chủ yếu trình bày về hàm da điều hòa dưới, một lớp hàm quan trọng luôn gắn liền với hàm chỉnh hình. Một áp dụng của Bổ đề Hartogs về dãy các hàm đa điều hòa dưới cũng được đưa ra. Đó là định lí sâu sắc cùa H artogs về tính chính hình của ánh xạ chỉnh hình theo từng biến. Đé mỏ rộng định lí này tới trường hợp Banach, định lí Zorn về tính chỉnh hình của hàm G - chỉnh hình bị chặn địa phương tại ít nhất một điểm cũng được đề cập tới. Chương 5 trình bày 4 loại miền quan trọng của Giải tích phức. Đó là miền tồn tại, miền chỉnh hình, miền lồi chỉnh hình và miền giả lồi. Mối liên hệ giữa 4 loại miền này luôn là một trong các vấn đề trung tâm của G iải tích phức. Trường hợp trong C " hay tổng quát hơn trong không gian Banach có cơ sỏ Schauder, sự tương đương của 3 loại miền đầu tiên được chứng minh dựa trên định lí Cartan - Thullen. Trong khi đó sự tương đương của 3 loại miền đó với miền giả lồi ngay cả trong C" cũng chì được giải quyết sau công trình lớn của H ơrm ander về 'ỏ - phương trình. 'Đây là' một loại phướng trình đặc biệt trong Giải tích phức. Việc giải phương trình ihàỹ trên đa diện đa thức được đưa ra ở chương 4. M ột trong các ứng dụng của nó lấ Định lí Oka - Weil về xấp xỉ hàm chỉnh hình bởi đa thức được trình bày ở cuối chuơng này. Cuối cùng, chương 6 nói đền giải phương trình ở trong miền giả lồi và vấn đề Levi về sự tương đương của 4 loại miền trên trong lóp không gian Banach có cơ sở Schauder. Giáo trình được chúng tôi biên soạn sau nhiều năm giảng dạy môn học này cho các học viên Cao học chuyên ngành Toán Giải tích tại khoa Toẩn - Tin Trường Đại học Sư phạm Hà Nội. Tuy nhiên trong quá trình biên soạn việc sai sót là không thể tránh khỏi. Chúng tôi mong nhận được sự góp ý của quý đọc giả. C ác tác giả 5
Chương 1 Đa thức và chuỗi lũy thừa 1.1. Ánh xạ đa tuyến tính Trong mục này, chúng ta sẽ trình bày khái niệm ánh xạ đa tuyến tính cùng một số kết quả ban đầu của nó. Trưóc hết ta đưa ra một số kí hiệu sau. Kí hiệu K là trưòng số thực R hay tníòng số phức c và N, N 0 lần lượt là tập các số nguyên dương và số nguyên không âm. Các chữ E , F , . . . dùng để chi các không gian Banach. Nếu E là không gian Banach và vói m > 1, không gian tích E m = E X E X ■■• X E là không gian Banach với chuẩn cho bởi S— V" — ^ m ||x || = m ax ||TjỊ|, Xj € E, 1 < j < m. 1.1.1 Đ ịnh nghĩa. G iả sử E, F là các không gian Banach còn m € N. Ánh xạ A : E m -* F gọi là m - tuyến tính nếu nó tuyến tính theo từng biến. Nghĩa là với mọi a — (a i, C2, . . . , am ) e E™ và mọi 1 < j < m , các ánh xạ Í ^ 1 ^ ( a l ; . . . Ị U j - 1, X j , U j + 1, ■ ■ ■1 U m ) là tuyến tính. Kí hiệu Ca(m E, F ) và £ ( mE, F) lần lượt là không gian vectơ các ánh xạ m - tuyến tính và m - tuyến tính liên tục từ E m vào F tương ứng. Với A € Ca(m F, F ), xác định ||.4|| = sup{||v4(ari, . . . , x m)|| : Xj e E, ||x j|| < 1 . 1 < j < m ). và gọi là chuẩn (suy rộng) của A. Khi m = 1, ta viết £ a( ‘£;, F) = Ca{E. F) và £ ( 'E , F) = £ ( £ . F). Khi F = K viết C„(mE, K ) = Ca(mE ) và C(mE. K) = C(mE). Cuối cùng khi rn = 1, sẽ viết như thông thường Ca(E ) = E :, C (E ) = E*. 6
ịã .2 M ệnh đề. Đối với A 6 Ca(m E, F) các điều kiện sau hì tương đương: ị a) A liên tục. b) A liên tục tại O e E m. Ị c) ||,4|| < + 00. L minh, ựluíng a) => b) là hiến nhiên. b) => c): Giả sử có giả thiết b) nhưng c) không xảy ra. Vậy tồn tại dăy ị . r \ , X*,) c E ’n sa o cho ỉ' nhưng đối với mọi k > l. Suy ra max j và Tk Tk * í .. f ' > 1 với mọi ki ta gặp mâu thuẫn. c) =* a): Giả sử a = (« 1 . . . . . a m) e E m và I = (T i,. . . . x m) e E m. Chọn c > 0 sao cho m ax 1a j 1 < c và m ax ||x ,|| < c. Khi đó 1 1 j ì ||/l(x i, . . . ,.T m ) - . , a m)|| rn = II ^ ^ Ị ^ .4 ( a i,. . . . 1, X j , * * * } X n ì ) Ả { ( ỉ \ , . . . , (ỉj. X 1 , . . . , x m ) J j| j =1 m < • •■rtm ) - 4 { « t....... .. . ,.Tm)|| >=1 < ^ ||/ 4 ||c m - 1 ||x j - f i j l l —> 0 khi X j —> « j , 1 < 1 < tu. 3=1 Vậy c) => a) là đúng. □ 1.1.3 M ệnh đề. C(m E, F ) lù không gian Banach vái chuẩn A I > I i 4 j — Chứng minh. Dễ thấy rằng ánh xạ A I ị ||.4(ị là một chuần trên C(mẸ. F). Giả sử — {A j } là một dãy Cauchy trong C('nE. F). Khi đó, với mọi Ị.ỈÍ1 ........x m ) € E m ta có ........rm) - A k(x 1.......... II < ||/lj - A l l l k i H í ■■| | j m ||- (1 1 ) 7
Suy ra dãy { .4 j(j !___, x m)} c F là dãy Cauchy. Vì F là không gian Banach nêi tồn tại A ( x i ........ x m) = lim ..... t:m). ( 1.2 Dễ thấy ánh xạ A : E m — F là m - tuyến tính. Ngoài ra do { A j} là dãy Cauch) > trong C(mE , F ) nên tồn tại c sao cho 1yij 1 < c với mọi j > 1. Khi đó từ (1.2 1 1 suy ra ỊỊv4|| < c. Cuối cùng từ ( 1 . 1 ) ta có ||.4j - ,4II -> 0 khi j -* + 00. c 1.1.4 M ệnh đề. Tồn tại đẳng cấu chính tắc giữa không gian vectơ Ca(m+nE , F và Ca(mE , C a(nE, F)). Đẳng cấu này sinh ra đẳng cự giũa C (ìn+nE, F) V I C(m E , C { nE , F ) ị Chứng minh. Dễ dàng kiểm tra ánh xạ Ca(m+nE , F ) 3 A \ — > Ã e Ca(mE. Ca{n E , F)) xác định bởi Á (X Ị. . . . , 1 ’ Vi l) A ( x ‘i , . . . , *t’m , y ì : ■ • • , ị j n ) thỏa mãn các yêu cầu đặt ra. □ Đối với mỗi VI € N, kí hiệu S m là nhóm đối xứng tất cả các hoán vị của in phần tử. Nếu ơ e s m thì ( - l ) ơ kí hiệu dấu của hoán vị ơ. 1.1.5 Đ ịnh nghĩa. Đối với mỗi m € N, kí hiệu C3 (m E, F) là không gian vectơ con a của Ca(mE , F ) gồm các ánh xạ m - tuyến tính đối xứng, nghĩa là •• • 1 ^-ơ(m)) ' *■■í ^m) với mọi ( x i , . . . , x m) € E m và mọi a e S m . Tương tự ta kí hiệu £ “(mE . F ) là không gian vectơ con của Caựn E , F ) gồm các ánh xạ m - tuyến tính thay phiên hay phản đối xứng, nghĩa là với mọi ( x i , . . . , x m) 6 E 'n và mọi ơ € s m . Các không gian Cs(m E , F ) và Ca(mE , F) được xác định tương tự. Đó là C3(mE , F ) = C’ (mE , F) n C{mE , F) a và £ a(mE , F ) = Ca {mE . F ) n C (mE , F). n Trường hợp F = K ta viết £ ị ( m E , K ) = C ị ( m E ) và £ “(mE , K ) = Ca{mE). a 8
1.1.6 Mệnh đề. Đối với mỗi A £ C a{mE. F) giả sử A s và A a xúc định bài A (.7’ X Tn) — - ^ ^ . .., ơeSni và l 'V : •• - ~-ị Y ] ( - 1 r ^ ' ( Jg(l)........ ĩq{n,))- ' ơ€S„, Khi đo a Ánh xạ ,4 I 4 ỳĩf là một phép chiều từ Ca{mĩỉ. F) lên C"{mF. F ) với — II/ls II ||.4|| xảy ra cho mọi A e CaựnE, F). Ánh xạ này cảm sinh một phép chiếu liên tụ: từ £ ( " • £ , F) lên ừ { m E„ F). b Ánh xạ .4 I » A a Ici một phép chiếu từ ũ a(mE , F) lên Ca{mE, F ) vói — a IM "II •' I III xảy ra cho mọi A € Ca('nE, F). Anh xạ nàV cảm sinh một pliép chiếu liên tụ; từ £ { m É, F ) lên c a(m E. F). Chứng minh mệnh đề này dành cho độc giả. Đ ể rõ :àng, ta đặt (đối với m = 0) £ „ ( UE , F ) = ^ ( 0£ , F ) = £ “( ° /? .F ) = C (°E , F ) = CS{°E. F ) = C a{°E, F) = F. Đối vớ mỗi ra 6 N và mỗi đa chi số a = ( « 1, • • • , Qn) € Nỏ* , ta đặt: |a | = «1 + • ■■+ a „ , a! = «i! ■• 1.1.7 flinh nghĩa. Giả sử A e Ca(m E. F). Khi đó với mỗi ( x \ , ____x n) Ç E n và . vói mồ C— ( c t i , , a n) Ễ Ng với |q | = m ta xác định ĩ AãỆ1 ■ ■■x“ " — A{x 1 , ............. V i , x n) nếu ru > 1 . S ■“V“ ■ *' ■ s V ^ C*1 Ckrt và A r "1 ■■• .r“ n — A nếu m, = 0. 1.1.8 Dinh lí. Giả sử A 6 C ị ( mE. F). Khi dó đối với mọi X i ........... cn Ç E ta có công tỉức Leibniz A(*x + ■■■+■r „ r = E S A r >‘ • |o | = m 9
Chứng minh. Ta chứng minh bằng quy nạp theo m . Khi ni = 0 và m = 1 công thức hiển nhiên đúng. Giả sử công thức đúng cho m > 1 nào đó. Ta chứng minh công thức đúng cho m + 1. Thật vậy, giả sử A s C a(m+lE, F ). Viết Ấ (.T i + • • • + .En ) m+1 = A (xi + ■ ■■ + .Tn)(x i + • • ■+ X n )m và áp dụng giả thiết quy nạp tới y4(.Ti + • ■• + x„) € C ị ( mE, F) ta c ó A{xi + ■■■+ .T„ ) m + 1 = V ^r/l(.Ti + • • • + ;rI1).r“1 •••a-“" ' a! |a |= m |a |= m j =l ịaị=TO+l 1.1.9 Hệ quả. Giả sử A € C ị ( mE, F). Khi đó, với mọi X. y 6 E ta có khai triển nhị thức Newton sau: A (x + y)m = ( m \ A x m- j yi . j= u VJ / 1.1.10 Định lí. Giả sử A € £ ị ( mE. F). Khi đó, với mọi X(ì, . . . , x m € E ta củ công thức nội suy Á (X1. . . . , .cm) — ĩọm “ỉ" - 1 1 H • ' * "í" ~rri‘VtnJ • “ £j = ± l Chứng minh. Theo công thức Leibniz 1.1.8 ta có A ( x0 + eiTị + • • • + £m.Tm)m = V — — ---- • • •.t“"% ' rt0 ! • • - « m ! ở đây tổng lấy theo tất cả n o , , a m e No sao cho cv0 + • • • + a m = m . Suy ra C 1 • • • £ m /4 (.To + ĩ i X i + • • • + s m x m ) m Sj=±l — I Y " A x T • • • :rmm ST' .« 1+1 _.am+ l 4 - • O* £ j= ± l 10
Tüy nhiên E Í ,=±1 =?1+ 1 - - - C '+1 = 0. nếu có một 1 < j < m để Uj — 0 và do / , 1 m £j = ± l ta có kết luận của định lí. □ Một trong các dạng quan trọng của ánh xạ VI - tuyến tính là các ánh xạ sinh bởi tích ỉcác phiếm hàm tuyến tính / i . . . , f m € £ ” : (xu •■ I ■ /i(.ỉ-i) . — > Định nghĩa sau là sự mở rộng cho các dạng m - tuyến tính. 1.1.11 Đ ịnh nghĩa. Giả sử A G L a(m E) và B e C,t(,lE). Tích tensor A ß e g jCu(m+nE ) của chúng được xác định bởi (-4 ® ß ) (.£ Ị, . . . . ) .¿4(Tị , . . . , x ni) fí{.ì 1. . . . , .Tni +T) ■ i Các tính chất sau của tích tensor là rõ ràng: (a) Nếu .4 và D là liên tục thì A ® B là liên tục. (b) Ánh xạ (/1, B) I > A ® B là song tuyến tính. — (c) (A ® B ) ® c = A ® ( B ® C). Cho đến lúc này ta đã nghiên cứu các ánh xạ m - tuyến tính trên các không gian Banach trên trường K thực hay phức. Bây giò ta sẻ nghiên cứu sự liên hệ giưa hai khái niệm R - đa tuyến tính và c - đa tuyến tính. Giả sử E và F là các không gian Banach phức (không gian Banach trên C ) và giả sử E r và F r là kí hiệu khong gian Banach E và F tương ứng nhưng chỉ xét trên trường R. Mệnh đề sau là hiển nhiên. 1.1.12 M ệnh đề. Giả sử E và F là các không gian Banach phức. Khi đó mọi .1 6 Ca{Eỵ. F r) có thê viết duy nhắt dưới dạng A — Á + a ", à đăv A là c - tuyến tính và A là c - phản tuyến tính. Các ánh xạ Á và Á ' được chu bời Á ( x ) = ị[A (x) - vả A "(x ) = + I-Mir)} dối với .r 6 E. Nếu /1 liên tục thì A vả . r cũiiịi liên tục. 1i
Để suy rộng mệnh đề trên tới các ánh xạ III - tuyến tính liên tục ta đưa vào địn nghĩa sau. 1.1.13 Đ ịnh nghĩa. Già sử E và F là các không gian Banach phức và eiả sử ì> q i . N|, với p + q > 1. Kí hiệu Ca(pqE. F) là không gian con các A e Ca(p+qE R. sao cho _ -4 (A.C1, . . . . Xxp+q) AA . . . . Xp-ị-q') đối với mọi A € c và .T]. . . . . x p+q 6 E. Ta kí hiệu C(pqE , F) là không gian con các ánh xạ liên tục của Ca(p< F). Nhi iE. thông thường ta viết £ a(pqE, C ) = Ca(pqE) và C(pqE, C) = C{pqE). Đ ể thuận lợ: ta col Ca{00E. F) = C( E. F ) = r . 1.1.14 Ví dụ . Giả sử E là không gian Banach phức, ý>i! • • ■I^p+Ọ € K ' ■ Khi đc ánh xạ ự> ® i ® ■ p ® ^p+1 ® • • • ® J p+Ọ. P ở đây dấu • kí hiệu liên hợp phức, thuộc vào Ca(pqE). Nếu E. F là các không gian Banach phức, thì hiển nhiên £ a(mE. F) c Caự’+qEn. F r ) đối với mọi m 6 Nu. Định lí sau là suy rộng Mệnh đề 1.1.12 tới các ánh xạ đa tuyến tính. 1.1.15 Đ ịnh lí. Giả sử E vù F là cúc khổng gian Banciclĩ pliúc. Klii đó: (a) £ „("‘/Ĩr, F r) là tổng trực tiếp đại số của các không gian con L„(vqK. F) với p + q = m. Ngocii ra Ca{mữE. F) = Ca(mE . F). (b) £ ( mE r . F r) là tổng trực tiếp tôpô của các không gian con C(P IE , F ) với < p + q = rù. Ngoài ra £ ( m0E, F ) = Ca( E , F). Chứng minh. Ta chứng minh bằng quy nạp theo m. Định lí hiển nhiên đúng với m = 0. Theo Mệnh đề 1.1.12, định lí cũng đúng khi m = 1. Giả sứ định lí đúng cho m > 1 nào đó. Ta chứng minh nó đúng cho m + 1. Theo giả thiết quy nạp tồn tại các phép chiếu v k -.Ca(m E R . F R ) ^ C a ( ' n - k 'k E , F ) sao cho Vfí + ----- b vm là ánh xạ dồng nhất. Xét ánh xạ A € £ a(m+1E R, F R) = Ca(E RX a ( mE R. F R)). Với dồng nhất này A r e £ n(mEm, F r) với :r € E và khi đó ta có: rn A r = y ^ v t-(A r). k=0 12
v hư vậy i vk o A e C a( E R, C a(m- k k E. F)) /ới k = ü. ■• ■ , m. riếp theo, bởi trường hợp m = 1, đối với mỗi k = 0. • • • , m tồn tại các phép chiếu u) : Ca( E RX a ( m~k k F)) -+ CaC~j í E, c a(m~k k ỉĩ, F)) /di j = 0,1 sao cho Uq + Uị là ánh xạ đồng nhất. Vậy vk o A = v n {vk o A) 4- Itj(vk o A). k 'íhư vậy m m l ni A = 22 > ° A = ’k u} ( vk ° A ì = k=o k=O j =0 7=0 < Uq(A) = ^ 2 U j( V k ° A ). ] +k=q Hiển nhiên Uj(vk ° A) e C a(E R, £ a(mE R, Fr)) = A,(m+1£ R, F„)) bởi vì: Uj(vk o i4)(A.r0)(A;r1. . . . , A.rm) = Xl~j Xj Uị(vk ° i4 )(x o )(A ii,. ■., Axm) = Ằm~k\ kUj(vk o i4 )(lo )(* l, ■• • , *m) lèn ta có U € Ca(m+1~q'vE , F )) đối với q = 0, • ■• , m + 1. Như vậy ta tìm được )q :ác ánh xạ tuyến tính w, : A,(m+1ER, Fr ) -4 Ca(m+l~™E, F) :hỏa mãn w0 + • • • + w,n là ánh xạ đồng nhất. Mặt khác do Ca(m- i J E, F) n Ca{m- k kE } F) = {0 } viW Ả Ỷ < suy ra mỗi Ug là một phép chiếu. Như vậy £ a(m+1 ER, F r) là tổng trực : 1 :iếp đại số của các Ca(p qE , F ) với p 4- q — m 4- 1. Bởi vì Wo(-'l) = Uo(t>o o A ) suy ra từ giả thiết quy nạp và từ trường hợp 77 = 1, uJo{A) € Cn(m+l E, F). Vậy » Ca(m+1,0E , F) = Ca(m+iE, F) m (a) được chứng minh. Cách chứng minh cho (b) !à tương tự. □ 13
Bài tậ p 1.1.1. Giả sử .4 € C a(m E , F) là ánh xạ m - tuyến tính liên tục theo từng biến. D ù n | nguyên lí bị chặn đều, chứng tỏ A là liên tục. ị 1.1.2. Giả sử {Ạj} c Ca(mE. F ) sao cho tồn tại A x = lim A jX với mỗi X e E m. I j (a) Chứng minh A € £ a(m E, F). (b) Nếu các A j là đối xứng (tương ứng phản đối xứng) thì A cũng như vậy. (c) Nếu mọi A] là liên tục thì A là liên tục. 1.1.3. Giả sử E , F là các không gian Banach trên trường K với E là hữu hạn chiều. Giả sử e l t . .. ,e„ là cơ sở của /ĩ và £ là các phiếm hàm tọa độ tương ứng. Chứng minh rằng mọi A € £.a(m E , F ) được viết duy nhất dưới dạng ỏ đây C jv ..j 6 F và tổng lấy theo mọi 1 < j ì , . . . , j m < n. Từ đó suy ra £ a(m£ , F ) = C{m E , F). 1.1.4. Giả sử E , F là các không gian Banach hữu hạn chiều. Nếu d im E = n và d im F = ¡J thì d irn £ (m/7, F) = n mp. 1.1.5. Giả sử A € C ị ( m E, F ) và giả sử Xo,. . . : x m € E. Nếu m < n thì chứng minh rằng y i -I ■■■ + =1-1'1 + • ■• + e„xn)m = 0 . ej=±l 1.2. Đa thức Mục này dành cho việc nghiên cứu các đa thức trong không gian Banach. Đa thức được áp dụng để định nghĩa chuỗi lũy thừa và chuỗi lũy thừa sẽ được áp dụng để xác định ánh xạ chính hình. 1.2.1 Đ ịnh nghĩa. Ánh xạ p : E — F gọi là đa thức m - thuần nhất (thuần nhất » bậc m ) nếu tồn tại A € Ca(m B. F) sao cho P (x ) = A x m với mọi X e E. Ta kí hiệu V a{m E , F ) không gian vectơ các đa thức m - thuần nhất từ E tới F và V ( mE, F ) là không gian con gồm các đa thức m - thuần nhất liên tục của V a(mE , F ). Đối với mỗi p € P a(m E, F ), đặt Ị|P || = s u p { ||r ( a : ) || : X e E , ||x|| < 1} và gọi là chuẩn (suy rộng) của p . Khi F = K ta viết V a(m E, K) = V a{m E ) v'a T {niE. K) = V { m E). 14
1.2.2 Đ ịnh lí. Với mỗi A 6 Ca(m E , F ) giả sử Â e V a(mlĩ, F) được xác định bởi A t = Ar"1, X 6 E. Khi đó: (a) Ánh xạ A I » A cảm sinh đẳng cấu giữa Cị("'E. F) và V a{m E, F). — (b) Ta có bất đẳng thức IIẦII < II.4II < ^ | | Ẩ | | với mọi A € Ca(mIĨ, F). Chứng minh. Cho p € VaựnE . F ). Giả sử A € Ca(mE , F) sao cho p = A. Khi đó P = A = ( a °j với A ’ € C ị ( mE , F). Bằng cách áp dụng định lí nội suy 1.1.10 với To = 0 tới A ’ ta nhận được kết luận của định lí. □ 1.2.3 Hệ qu ả. (a) Đa thức p 6 V a(mE , F ) là liên tục khi và chì khi ||P || < +30. (b) V ( mE , F ) là không gian Banach với chuẩn p I > ||P ||. — (c) Ánh xạ A I > A ” cảm sinh đẳng cấu tôpô giữa ữ ( mE , F ) và V ( m E , F). — ■ 1.2.4 M ệnh đề. Đối với mọi p G V a(mE, F ) các kliẳng định sau là tương đương. (a) p liên tục. (b) p bị chặn trên mọi hình cầu có bán kính hữu hạn. (c) p bị chặn trên một hình cầu nào đó. Để chứng minh mệnh đề trên ta cần kết quả sau. 1.2.5 Bổ đề. Giá sử p € V a(m E , F). Nếu p bị chặn bởi c > 0 trên hình cầu mở B(a, r) = {x € E : ||x — a|| < r} thì p bi chăn bởi f1- - trên hình cáu B(0, r) mĩ Cliứng minh. Lấy -4 6 ữ a(mE , F ) sao cho p = A. Áp đụng công thức nội suy 1.1.10 cho A và :r0 = a vằ Xi = ■■ = ,rm e B(0. —) ta được kết luận cùa ■ m bổ đề. □ C h ứ n g m inh M ệnh đề 1.2.4 (n) => ( 6) do hệ quả 1.2.3, (b) => (r) là hiển nhiên. Còn (c) => (a) suy từ bổ đề 1.2.5. Bây giờ ta sẽ mở rộng nguyên lí bị chặn đều tới các đa thức thuần nhất. 15
1.2.6 Đ ịnh lí. Một tập con của P ( m ỉĩ. F) lù bị cliặn nếu và chỉ nếu nó bị chặn theo điểm. Đ ể chứng minh định lí trên, ta cần bổ đề sau. 1.2.7 Bổ đề. Già sử ư là tập m ỏ trong E, vù giả sử {/ i } lù họ các ánh xạ liên tục từ ư vào F. Nếu họ { fi} bị chặn điểm trên u thì tồn tại tập mở 0 V c ư mà trên đó họ {/, } bị chận đều. Chứng minh. Đặt / 1„ = {x 6 u : ||/i( x ) || < n với mọi i} và mọi n e N. Khi đó u = u và A n đóng trong u . Do u là không gian Baire n=l tồn tại n e N để Int,4„ / 0 . Khi đó họ {/¡} là bị chặn trên tập mở 0 Ỷ V = IntẨ„. □ C h ứ n g m inh Đ ịnh lí 1.2.6: Chỉ cần chứng minh nếu họ {Pj} c V ( mE , F ) bị chặn điểm thì nó bị chặn trên hình cầu đơn vị. Do bổ đề 1.2.7 họ {P¡} bị chặn đều trên hình cầu nào đó B (n .r) bởi r. > 0. Khi đó theo bổ đề 1.2.5 họ {P,} bị chặn trên hình cầu B (o .r) bởi Do đó ho {Pi} bi chăn trong V ự nE, F). 7/1 ! 1.2.8 Đ ịnh nghĩa. Ánh xạ p : lĩ — F gọi là da thức bậc < III nếu nó có thê viết > như tổng p = Po + Pi + • • ■+ Pm trong đó Pj 6 v a(j E, F) với j = 0 , . . . , m . Kí hiệu V a( E , F ) không gian vectơ tất cả các ánh xạ đa thức từ E tới F. Cũng như vậy V ( E , F ) là kí hiệu không gian con các đa thức liên tục của P a(E , F). Khi F = K viết V a{E, K ) = V a{E ) và P ( E , K ) = V { E ) . 1.2.9 M ệnh đề. (a) V „ { E ,F ) là tổng trực tiếp đại số của các không gian con V a(mE , F ) vói mọi rn 6 N0. (b) V { E , F ) là tổng trực tiếp đại số của các không gian con V ( mE , F) với mọi m 6 N0. Clìứng minh, (a) Chỉ cần chứng minh nếu Po + Pi + - ' ' + Pm = Q với Pj 6 V a ự E . F), ] = Oị. . . , m thì 16
Pfí — Pi — ••• — Pm — 0. Ịrhật vậy, đối vói X € E cố định ta có ¿ V r j (x) = ¿ P , ( A . r ) = ü j= 0 j=0 với mọi A € K. Sau khi chia cho Am, A ^ 0 và cho IAI —> + x ta được Pm[x) — 0. VậyPm= 0. Bằng cách dùng quy nạp ta có Pu = P\ = •• • = Pm- 1 = 0. (b) Chỉ cần chứng minh nếu p e V ( E , F) và p = Po + P\ + • • • + p,n với Pj € v a(j lĩ, F ) , j — 0 , . . . , III thì mọi Pj là liên tục. Ta chứng minh quy nạp theo rn. Hiển nhiên khắng định đúng với Til = Ü. N thì với mọi X € E và A 6 K ta có P (X x) - \ m P ( x ) = ¿ ' ( V - Xm)Pj(x). 3=0 Chọn A € K sao cho \ j - x m ^ 0 đối với j = 0 , . . . , 7 7 - 1. Bởi đa thức 7 X P(Aar) - \ m P{x) là liên tục và có bậc < m - 1, do giả thiết quy nạp mọi Pj, j = 0 . . . . , m - 1 là liên tục. Từ đó suy ra p m là liên tục. □ Bài tậ p 1.2.1. G iả sử { Pj} là dãy đa thức tiong v a(m E, F) sao cho tồn tại giới hạn P (x ) = lim Pj(ar), X e E. Chứng minh (a) p 6 V a{m E , F). (b) Nếu mọi Pj liên tục thì p liên tục khi {Pj} hội tụ đều tới p trẽn mọi com pact trong É. 1.2.2. Giả sử p là ánh xạ sao cho p IA/ € V a(m M , F ) với mọikhông gian con M cùa E vối dim M < m + 1. Chứng tỏ rằng p 6 V a(m E, F). 1.2.3. Chứng minh nếu p e T a{E, F ) thỏa mãn Pịx.v) = Amp ( x ) đối với mọi A Ễ K v à mọi X € E thì p 6 V a{m E, F). 1.2.4. G iả sử E , F, G H là các không gian Banach, s € C±(E, F). T e Ca(G, / / ) , và p € r a{mF, Ờ). Chứng minh P o S e V a(m E. G) và T o p é r a{mF. H). 2 MỎĐẮUVỂ... 17
1.2.5. Chứng minh rằng II/4II < em ||Ẩ || đối với mọi A 6 C(mE. F). 1.2.6. G ià sử G E' với ll^ll = 1 và p G V(Fj) được cho bởi p = ọ m. (a) Chứng minh ||P || = 1. (b) Chứng minh p = A , ở đó A 6 £ s(m£ ) với .4 = tp ® ^ ip. (c) Chứng minh II ,4II = 1. 1.2.7. Giả sử (ỉn) là dãy các phiếm hàm tọa độ trên E = Ị 1. Giả sử p £ được xác định bằng công thức p — ■■■ím- Chứng minh rằng wn =^- »ỉ (b) p = Ẩ, ở đây A € c s(mt l ) được cho bởi A (x\, . . . , x m) = - ^ ' íl(^ ơ (l)) • • •^m(^ơ(m))* ơ65m 1.2.8. Chứng minh đa thức p € V a{ E , F) là liên tục khi và chỉ khi các đa thức lịi o p Ễ V a{E) là liên tục với mọi x 6 F ’. j> 1.3. Đa thức của một và nhiều biến Bởi nhị thức Newton (Hệ quả 1.1.9) dễ thấy rằng nếu p 6 V a{E, F ) là đa thức có bậc < rri thì P (a + Ab) là đa thức của A có bậc < m với mọi a, b € E. Trong phần này, ta sẽ chứng minh khẳng định ngược lại. Trước hết ta chứng minh một số kết quả về nội suy đa thức trong không gian Banach. 1.3.1 M ện h đề. Giả sử Ao, A i,. . . , \ m là m + 1 điểm khác nhau trong K và giả sử bo,. . . . bm là m + 1 điểm tùy ý trong F. Khi đó tồn tại duy nliất L € V ( K , F) có bậc < m sao cho L(Xj) = bj đối với j = 0 ___, TO. (3.1) Đa thức L gụi là đa thức nội suy Lagrange. Chứng minh. Ta tìm L dưới dạng m L (\) = k=0 18
với ck € F thỏa mãn (3.1). Như vậy Ck, k = 0 , ___ni là nghiệm của hệ phương trình tuyến tính m = bj, j ■ 0........m. k=0 Do định Ihức của hệ đối với các ẩn \ k là định thức Vandermonde khác không do các \ k là khác nhau nên hệ có nghiệm duy nhất. □ 1.3.2 Hệ q uả. Giả sử Ao, A1 , - - ., Am là ìn + 1 điểm khác nhau trong K. Giá sử L*. € V ( K ) là đa thức duy nhất thỏa mãn Lk{Aj) = íSitj đối với j = 0........771. Khi đó mọi đa thức p G P (K , F) có bậc < m có thê viết như sau m P ( A) = ^ P (A t)M A ): a € K. k= 0 Chứng minh. Xác định m Q { \) = Y i P { \ k) L k( \ ) . A € K. k=0 Khi đó p và Q là các đa thức có bậc < m và Q( Ằj ) = P (A j), J = 0 . . . . ,rn. Do Mệnh đề 1.3.1 ta có p = Q. □ 1.3.3 Bổ đề. Nếu p : K " F ỉủ đa thức theo từng biến thì p là đa tlĩức. Chứng minh. Chứng minh bằng quy nạp theo n. Trường hợp n = 1 là hiển nhiên. Giả sử bổ đề đã chứng minh cho n nào đó, n > 1, ta chứng minh nó đúng cho n + 1. Như vậy giả sử p : K n+1 -> F là đa thức theo từng biến. Với mỗi m s N già sử Am là tập các /í e K sao cho P( A]........\ n , n) là đa thức bậc < rn theo từng biến 30 X), . . . , An. Khi đó dãy {Am} là dãy tăng và theo già thiết quy nạp K = u A m. m= 1 Như vậy Am là vô hạn với rn > 1 nào đó. Chọn m + 1 điểm khác nhau Ço,. . . , uong K. Đối với mỗi k — 0 ___, m, giả sử Lk 6 V ( K ) là đa thức duy nhất thỏa mãn Lk{ỉ,j) = 6kj, với 7 = 0 . . . . , m . (3.2) Xác định Q : K n+1 — F là đa thức cho bởi > Q(\.ịi) = ' £ ' L kl(\1) ...L kn(\ n)r{Skl......skn,n) (3.3) ở đây tổng lấy theo mọi 0 < ___, k n < ru. Hiển nhiên Q e p ( K '1+1, F). Vậy thì chi cần chứng minh P{X. /() = Ọ(A, /¿) với mọi A € K và /i € K. 19