intTypePromotion=1

Đồ án tốt nghiệp: Hệ mật đường cong elliptic

Chia sẻ: Le Thuy Duong | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:33

0
386
lượt xem
121
download

Đồ án tốt nghiệp: Hệ mật đường cong elliptic

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Kỹ thuật mật mã là một trong những giải pháp của an toàn truyên thông. Kỹ thuật này có từ ngàn xưa nhưng nó đơn giản, ngày nay khi có mạng máy tính người ta dùng mật mã hiện đại. Các nhà khoa học đã phát minh ra những hệ mật mã nhằm che dấu thông tin cũng như là làm rõ chúng để tránh sự giòm ngó của những kẻ cố tình phá hoại như các hệ mật: RSA, Elgamal… mặc dù cũng rất an toàn nhưng có độ dài khoá lớn nên trong một số lĩnh...

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Đồ án tốt nghiệp: Hệ mật đường cong elliptic

  1.   Luận văn Hệ mật đường cong elliptic ..........., tháng ... năm ........
  2. Đồ án tốt nghiệp Hệ mật đường cong elliptic MỤC LỤC MỤC LỤC ........................................................................................................ 1 LỜI CẢM ƠN ................................................................................................... 2 MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 3 CHƢƠNG 1....................................................................................................... 5 CƠ SỞ TOÁN HỌC.......................................................................................... 5 1.1. Phƣơng trình đồng dƣ bậc hai và thặng dƣ bậc hai................................ 5 1.2. Nhóm ...................................................................................................... 9 1.3. Trƣờng .................................................................................................. 10 1.4. Trƣờng hữu hạn .................................................................................... 11 CHƢƠNG 2..................................................................................................... 12 ĐƢỜNG CONG ELLIPTIC ........................................................................... 12 2.1. Mở đầu và đặt bài toán ......................................................................... 12 2.2. Đƣờng cong elliptic trên trƣờng hữu hạn ............................................. 14 2.3. Các phép toán trên đƣờng cong Elliptic ............................................... 15 2.4. Đếm số điểm trên đƣờng cong elliptic trên trƣờng Fq ......................... 17 2.5. Phƣơng pháp chọn đƣờng cong Elliptic phù hợp và điểm cơ sở ......... 18 2.5.1. Trƣờng K ....................................................................................... 18 2.5.2. Dạng của đƣờng cong elliptic ....................................................... 19 2.5.3. Phƣơng pháp lựa chọn................................................................... 19 CHƢƠNG 3..................................................................................................... 21 HỆ MẬT ĐƢỜNG CONG ELLIPTIC ........................................................... 21 3.1. Mở đầu và đặt bài toán ......................................................................... 21 3.2. Nhúng bản rõ lên đƣờng cong .............................................................. 22 3.3. Logarit rời rạc trên đƣờng cong Elliptic( Discrete logarithm on Elliptic) ........................................................................................................ 24 3.4. Vấn đề trao đổi khoá Diffie- Hellman(D- H) trên Elliptic .................. 24 3.5. Hệ mât mã hoá Elgamal trên đƣờng cong Elliptic .............................. 25 CHƢƠNG 4..................................................................................................... 27 MỘT VÀI ỨNG DỤNG ................................................................................. 27 4.1. Lƣợc đồ chữ ký số trên đƣờng cong elliptic (Elliptic Curve Signature Algorithm ) - ECDSA ................................................................................ 27 4.1.1. Lƣợc đồ ký ECDSA ...................................................................... 27 4.1.2. Độ an toàn của sơ đồ chữ ký ECDSA ........................................... 28 4.2. Một số chuẩn sử dụng hệ mật ECC...................................................... 29 KẾT LUẬN ..................................................................................................... 32 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 33 Phan Thị Thu Hiền Lớp CT702 -1-
  3. Đồ án tốt nghiệp Hệ mật đường cong elliptic LỜI CẢM ƠN Em xin bày tỏ lòng biết ơn tới TS Hồ Văn Canh đã tận tình hƣớng dẫn và cung cấp những tài liệu quý báu để em hoàn thành luận văn này. Em xin chân thành cảm ơn các Thầy cô giáo khoa công nghệ thông tin trƣờng Đại Học Dân Lập Hải Phòng đã nhiệt tình giảng dạy chúng em trong 4 năm học. Tôi cũng xin chân thành cảm ơn các bạn bè đồng nghiệp đã giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và hoàn thành tốt luận văn này! Phan Thị Thu Hiền Lớp CT702 -2-
  4. Đồ án tốt nghiệp Hệ mật đường cong elliptic MỞ ĐẦU Ngày nay với sự phát triển mạnh mẽ của công nghệ thông tin, truyền thông nói chung và Internet nói riêng đã giúp cho việc trao đổi thông tin nhanh chóng, dễ dàng, E-mail cho phép ngƣời ta nhận hay gửi thƣ ngay trên máy tính của mình, E-business cho phép thực hiện các giao dịch trên mạn. Do vậy một vấn đề phát sinh là thông tin có thể bị trộm cắp, có thể là sai lệch, có thể giả mạo. Điều đó có thể ảnh hƣởng tới các tổ chứa, các công ty hay cả một quốc gia. Những bí mật kinh doanh, tài chính là mục tiêu của các đối thủ cạnh tranh. Những tin tức về an ninh quốc gia là mục tiêu của các tổ chức tình báo trong và ngoài nƣớc. Để giải quyết tình hình trên an toàn thông tin đƣợc đặt ra cấp thiết. Kỹ thuật mật mã là một trong những giải pháp của an toàn truyên thông. Kỹ thuật này có từ ngàn xƣa nhƣng nó đơn giản, ngày nay khi có mạng máy tính ngƣời ta dùng mật mã hiện đại. Các nhà khoa học đã phát minh ra những hệ mật mã nhằm che dấu thông tin cũng nhƣ là làm rõ chúng để tránh sự giòm ngó của những kẻ cố tình phá hoại nhƣ các hệ mật: RSA, Elgamal… mặc dù cũng rất an toàn nhƣng có độ dài khoá lớn nên trong một số lĩnh vực không thể ứng dụng đƣợc. Chính vì vậy ngƣời ta đã phát minh một hệ mật đó là hệ mật trên đƣờng cong elliptic, hệ mật này đƣợc đánh giá là hệ mật có độ bảo mật an toàn cao và hiệu quả hơn nhiều so với hệ mật công khai khác, nó đã đƣợc ứng dụng trên nhiều lĩnh vực và đƣợc sử dụng nhiều nơi trên thế giới tuy nhiên còn mới mẻ ở Việt Nam. Trong tƣơng lai gần Hệ mật trên đƣờng cong Elliptic sẽ đƣợc sử dụng một cách phổ biến và thay thế những hệ mật trƣớc nó. Phan Thị Thu Hiền Lớp CT702 -3-
  5. Đồ án tốt nghiệp Hệ mật đường cong elliptic Vì lý do đó, em đã chọn đề tài “Hệ mật đƣờng cong elliptic” để nghiên cứu, tìm hiểu nhằm tiến tới khai thác hệ mật này phục vụ cho bảo mật thông tin trong thực tế. Luân văn này gồm 4 chƣơng  Chƣơng 1: Cơ sở toán học  Chƣơng 2: Hệ mật mã  Chƣơng 3: Đƣờng cong Elliptic  Chƣơng 4: Hệ mật đƣờng cong Elliptic  Chƣơng 5: Một vài ứng dụng Nhƣng trong báo cáo này em trình bày tóm tắt nội dung chính trong đề tài:”Hệ mật đƣờng cong elliptic”. Phan Thị Thu Hiền Lớp CT702 -4-
  6. Đồ án tốt nghiệp Hệ mật đường cong elliptic CHƢƠNG 1 CƠ SỞ TOÁN HỌC 1.1. Phƣơng trình đồng dƣ bậc hai và thặng dƣ bậc hai Ta xét phƣơng trình đồng dƣ bậc hai có dạng nhƣ sau: x2 ≡ a (mod n) Trong đó n là số nguyên dƣơng, a là số nguyên với gcd(a, n) ≡ 1, và x là ẩn số. Phƣơng trình đó không phải bao giờ cũng có nghiệm, khi nó có nghiệm thì ta gọi a là thặng dƣ bậc hai mod n. Ngƣợc lại thì a gọi là một bất thặng dƣ bậc hai mod n. Tập các số nguyên nguyên tố với n đƣợc phân hoạch thành hai tập con. Tập Qn các thặng dƣ bậc hai mod n, và tập các bất thặng dƣ bậc hai mod n. Tiêu chuẩn Euler Khi p là số nguyên tố, số a là thặng dƣ bậc 2 mod p nếu và chỉ nếu a(p- 1)/2 ≡ 1 (mod p) Ký hiệu Legendre Cho p là số nguyên tố, với p >2, số a ≥ 0 là số nguyên. Ta định nghĩa a   nhƣ sau:  p  0, khi, a  0 (mod p) a    = 1, khi, a  Qp;  p  1, khi, a  Qp.  Chú ý: a + Từ định nghĩa suy ra a là thặng dƣ bậc hai mod p khi và chỉ khi   = 1  p   + Theo tiêu chuẩn Euler nói trên, với mọi a ≥ 0 ta có: Phan Thị Thu Hiền Lớp CT702 -5-
  7. Đồ án tốt nghiệp Hệ mật đường cong elliptic a (p-1)/2   ≡a (mod p) .  p  Legendre Symbol thoả mãn các tính chất sau: a 1.   chỉ phụ thuộc vào đồng dƣ của a theo mod p.  p   ab  ab   =    ; 2.     p  p  p     ab 2  a 3. b nguyên tố với p thì   =  ;  p    p  1  1 4.   =1 và    = (-1)(p-1)/2.  p  p    Định lý 1: 1 p   1 mod 8 2 2 (p – 1)/8   = (-1)  =  p 1 p   3 mod 8  Định lý: Gọi là luật thuận nghịch bình phƣơng. Cho p, q là 2 số nguyên tố lẻ, khi đó:   p    neu p  q  3 mod 4 q  p   q   = (-1)(p-1)(q-1)/4 .   =   p q    p    q  trong truong hop khac   Định lý 2 a b Nếu a ≡ b mod p →   =    p  p   Định lý 3 2  = 1 p ≡ 1 mod 8 hay p ≡ 7 mod 8  p  -1 p ≡ 3 mod 8 hay p ≡ 5 mod 8 Ví dụ: Cho a = 186, p= 401 (p là số nguyên) Phan Thị Thu Hiền Lớp CT702 -6-
  8. Đồ án tốt nghiệp Hệ mật đường cong elliptic Tìm a có là thặng dƣ bậc hai không nghĩa là a  Q401? Và tìm x? với x2 ≡ a mod 401 a  186   2.93   2   93   = = =  .  p  401   401   401   401   Theo định lý 3: Vì 401 ≡ 1 mod 8   2  =1 vậy   401  a  3  31   3   31   186   93   = = = =    p  401   401   401   401   401   2.400 3  401  2 Nhƣng   =   = -1 (định lý 1)  = (-1) 4 .   401  3 3 30.400 Và  31  = (-1) 4  401   401   29  2    =  =   =   =-1.  401  3  3   31   29  a Vậy   = 1.(-1).(-1) = 1 Do đó a  Q401  p   Tiếp theo ta cần tìm x: x2 ≡ 186 mod 401. Lấy n =3 rõ ràng 3 không là đồng dƣ toàn phƣơng của 186 theo mod 401 (nhƣ trên ta đã chứng minh đƣợc  3   = -1).  401  Ta có p-1 = 400 = 24.   → b = nS = 18625 mod 401 = 286 mod 401. 25  3 S 1 Còn r = a 2 mod 401 = 186 mod 401 = 103. Tính a-1 mod 401 = 186-1 mod 401 = 235 (thuật toán ơclit mở rộng). Tính a-1. r2 = 1032 . 235 mod 401 = 98 vì  -2 = 4-2 =2 do đó ta nâng luỹ thừa 22 = 4 = của 98 và có 984 ≡ -1 mod 401 = -1 (984 mod 401 = (982 mod 401)( 982 mod 401) mod 401 = 3812 mod 401 = -1)  đặt j0 = 1 tiếp theo, ta có (br)2/a = -1  luỹ thừa bậc 2 của nó là 1  đặt j1 =0, cứ thế j2 =1(2 = K =  ) Vậy j =5 vì 1.22 +1 = 5 5  Căn bậc 2 của 186 là b r mod 401 = 304 Thử lại 3042 ≡ 186 mod 401? Phan Thị Thu Hiền Lớp CT702 -7-
  9. Đồ án tốt nghiệp Hệ mật đường cong elliptic Ta có 3042 = 92416 vậy 3042 = 186 = 92230 ≡ 0 mod 401  x= 304 Ký hiệu Jacobi Symbol Bây giờ ta mở rộng ký hiệu Legendre để đƣợc ký hiệu Jacobi đối với mọi số nguyên lẻ n ≥ 1 và mọi số nguyên a ≥ 0. Giả sử a có khai triển chính tắc thành thừa số là n = pa11, pa22,……, pann thì ak a1 a2 a a a a   =     ………   n  p1   p2   pk  với a1, a2, ….., ak  1 P1, P2, ….Pk là những số nguyên tố. Khi n = p là số nguyên tố thì giá trị của các ký hiệu Legendre và Jacobi là nhƣ nhau. Việc tính ký hiệu Legendre có thể phức tạp khi p rất lớn, trong khi việc tính ký hiệu Jacobi có thể thuận lợi hơn do có thể sử dụng các tính chất 1- 4 sau đây: 1. Nếu m1 ≡ m2 mod n thì  1  =  2  . m m  n n 1, khi a   1(mod8) 2.   =  2  1 khi a   3(mod8) n 3.  1 2  =  1   2  . mm m m      n nn 4. Nếu m và n đều là số là thì:  n   m  khi m  3 mod 4 & n  3mod 4   m  = n  n  khi m 1mod 4  n 1mod 4  m    Bây giờ xét việc giải phƣơng trình đồng dƣ bậc hai: x2 ≡ a (mod n) (*) Phan Thị Thu Hiền Lớp CT702 -8-
  10. Đồ án tốt nghiệp Hệ mật đường cong elliptic Trong một trƣờng hợp đặc biệt khi n = p là số nguyên tố có dạng p = 4m + 3 tức là p đồng dƣ với 3 theo mod 4, và a là một số nguyên nguyên tố với p. Theo tiêu chuẩn Euler ta biết phƣơng trình (*) có nghiệm khi và chỉ khi a(p-1)/2 ≡ 1 (mod p). Khi đó ta có: p 1 1 ≡ a (mod p), a 2 a 2( m1) ≡ a (mod p). 1.2. Nhóm Định nghĩa: Nhóm là một tập hợp G ≠  cùng với phép toán hai ngôi * trên G. Với a, b  G, a * b =  G thoả mãn tính chất sau: 1. Tính kết hợp: (a * b) * c = a * (b * c) với mọi a, b, c  G. 2. Phần tử đồng nhất: Tồn tại e  G thoả mãn e * a = a *e = a với mọi a  G (e đƣợc gọi là phần tử trung hoà). 3. Phần tử nghịch đảo: với mỗi a  G, tồn tại một phần tử b  G thoả mãn b * a = a * b = e (b là duy nhất và đƣợc gọi là phần tử nghịch đảo của a). Và ngƣời ta ký hiệu của a bởi a-1. - Ký hiệu là nhóm nhân và G là nhóm cộng. Trong đó nhóm cộng, phần tử trung hoà là 0 và phần tử nghịch đảo của a là –a. Trong nhóm nhân, phần tử trung hoà là 1 và phần tử nghịch đảo của a là a-1. đ ƣơc gọi là một nhóm giao hoán (nhóm Abelian) nếu b * a = a * b với a, b  G. - Một nhóm có cấp hữu hạn đƣợc gọi là nhóm hữu hạn Nếu là nhóm hữu hạn thì số các phần tử của đƣợc gọi là bậc của G và ký hiệu là |G| . Nếu là nhóm nhân hữu hạn, bậc của một phần tử a  G kà số nguyên dƣơng nhỏ nhất m thoả mãn am = 1. Trong nhóm có cấp hữu hạn, với mọi phần tử thuộc nhóm, m luôn tồn tại. Nhóm Cylic Phan Thị Thu Hiền Lớp CT702 -9-
  11. Đồ án tốt nghiệp Hệ mật đường cong elliptic Là nhóm mà mọi phần tử của nó đƣợc sinh ra từ một phần tử đặc biệt g  G. Phần tử này đƣợc gọi là phần tử sinh (nguyên thuỷ) tức là: Với  x  G(G là nhóm với toán tử * ):  n  N mà gn = x Ví dụ: (Z+, *) là nhóm Cylic có phần tử sinh là 1. 1.3. Trƣờng Giả sử F là một tập hợp khác rỗng, trên đó có hai phép toán cộng và phép nhân. Khi đó F là một trƣờng nếu và chỉ nếu: 1. (F, +) là nhóm giao hoán với phần tử đơn vị là “0”. 2. (F\{0}, .) là nhóm giao hoán với phần tử đơn vị là “1”. 3. Các phép toán cộng và nhân có tính chất phân bố: a.(b.c) = (a.b) + (a.c) Trƣờng có thể định nghĩa nhƣ là vành giao hoán với phần tử đơn vị (trừ phần tử 0) đều có phần tử nghịch đảo cùng thuộc trƣờng. p Ví dụ: Q = { p, q là số nguyên: (p, q) = 1} trên Q có 2 phép toán cộng q và nhân thông thƣờng là một trƣờng. Định nghĩa Cho F là một trƣờng. Tập con K của F cũng là một trƣờng với các toán tử của F, đƣợc gọi là trƣờng con của F, hay F là một trƣờng mở rộng của K. Nếu K≠ F thì K đƣợc gọi là một trƣờng con hợp lệ của F. Trƣờng là tối giản nếu có không có trƣờng con hợp lệ nào. Với trƣờng F bất kỳ, giao F0 của tất cả các trƣờng con hợp lệ là trƣờng tối giản. Trƣờng F đƣợc gọi là có đặc số 0 nếu F0  Q nghĩa là F chứa Q nhƣ một trƣờng con. Trƣờng F đƣợc gọi là đặc số p nếu F0  Zp. Trƣờng hữu hạn là trƣờng chứa hữu hạn các phần tử. Đối với một trƣờng hữu hạn thì  a  F luôn luôn tồn tại một số nguyên dƣơng n sao cho: n a  .......  a = 0 Định nghĩa Phan Thị Thu Hiền Lớp CT702 - 10 -
  12. Đồ án tốt nghiệp Hệ mật đường cong elliptic Trƣờng K với phần tử đơn vị nhân là 1. Với p dƣơng nhỏ nhất thoả mãn 1 1 = 0 đƣợc gọi là đặc số của K.  1........   p (Các trƣờng hữu tỷ Q, số thực R, số thực C có đặc số là 0). Ngƣời ta chứng minh đƣợc rằng đặc số của trƣờng hữu hạn là số nguyên tố. Với p là nguyên tố thì GF (pn) có đặc số p. 1.4. Trƣờng hữu hạn Trƣờng hữu hạn là trƣờng có hữu hạn các phần tử ký hiệu là Fq hoặc GF(q) với q là số các phần tử. Trƣờng hữu hạn không có đặc số 0. Ta gọi p là đặc số của Fq khi đó Fq khi đó Fq chứa trƣờng nguyên tố Fp = Z/ pZ vì vậy một không gian vector( không cần thiết phải có chiều hữu hạn) trên trƣờng Fp. Lấy f ký hiệu là chiều của nó coi Fp nhƣ là một không gian vector đó. Bằng cách chọn cơ sở cho phép chúng ta lập nên một tƣơng ứng 1-1 giữa không gian vector f chiều với tập hợp tất cả bộ f phần tử trong Fp nghĩa là q là luỹ thừa của đặc số p. Đối với mỗi lũy thừa nguyên tố q = pf có tồn tại một trƣờng q phần tử và đó là trƣờng duy nhất (theo nghĩa đẳng cấu). Cấp của các phần tử trong F*q theo nghĩa đối với phép nhân với F*q là tập hợp tất cả các phần tử khác không của trƣờng Fq (q hữu hạn) Chú ý rằng đối với mọi nhóm nhân hữu hạn, cấp của bất cứ một số phần tử khác không nào cũng là ƣớc của số các phần tử trong nhóm. Cụ thể ta có định lý Định nghĩa Giả sử phần tử g  Fq nếu cấp của g là q-1 tức là {g1, g2,……, gq-1 = 1} = F*q Phan Thị Thu Hiền Lớp CT702 - 11 -
  13. Đồ án tốt nghiệp Hệ mật đường cong elliptic CHƢƠNG 2 ĐƢỜNG CONG ELLIPTIC 2.1. Mở đầu và đặt bài toán Lý thuyết đƣờng cong Elliptic đƣợc xác định trên trƣờng số hữu hạn đã có địa chỉ ứng dụng trong lĩnh vực mật mã đáng lƣu ý. Lý do cơ bản của nó là đƣờng cong Elliptic trên trƣờng hữu hạn đã cung cấp cho chúng ta một cơ sở xây dựng thuật toán không thể dùng thuật toán vét cạn để thám mã của nhóm Abelian ngay cả khi nhóm đó có cấp không lớn lắm. Đƣờng cong elliptic là tập hợp các điểm có toạ độ (x, y) thoả mãn phƣơng trình có dạng sau đây: y2 + a1xy + a3y = x3 + a2x2 +a4x + a6. Trên trƣờng F biểu diễn bằng phƣơng trình Weiretrass: y2 + a1xy + a3y = x3 + a2x2 +a4x + a6 2 (*) Xét đƣờng cong E trên trƣờngnguyên tố hữu hạn Fp (p nguyên tố, p>3 ) với công thức biến đổi nhƣ sau: a1X  a3 a2 X→X − , Y→ Y − 3 2 Khi đó phƣơng trình Weierstrass có dạng: X3 + aX +b. Vậy trong trƣờng Fp (*) trở thành: Y2 = X3 + aX + b Định nghĩa: Giả sử K là một trƣờng có đặc số khác 2 và khác 3 và xét đa thức X3 + aX + b(với a, b  K) Khi đó đƣờng cong elliptic trên trƣờng K: Y2 = X3 + aX + b (1) là tập hợp tất cả các điểm (x, y) với x, y  K sao cho (1) không có các nghiệm bội Phan Thị Thu Hiền Lớp CT702 - 12 -
  14. Đồ án tốt nghiệp Hệ mật đường cong elliptic tức là 4a3 + 27b2 ≠ 0 mod p cùng với phần tử O - điểm O này đƣợc gọi là điểm vô hạn. Tức là đƣờng cong Elliptic là tập hợp S: S = { (x, y) : y2 = x3 + ax +b, x, y  K }  {O} . Với a, b  K cho trƣớc sao cho 4a3 + 27b2 ≠ 0 theo mod p. Nếu K là trƣờng đặc số 2 thì ta định nghĩa: S = { (x, y) : y-2 + y= x3 + ax +b }  {O} (2)  Nếu K là trƣờng đặc số 3 thì ta định nghĩa: S = { (x, y) : y2 = x3 + ax +bx + c }  {O} (3) * Tính chất của đường cong elliptic:  Nếu hai điểm P1 (x1, y1 ) và P2 (x2, y2) với x1 ≠ x2 nằm trên đƣờng cùng một đƣờng cong elliptic E, thì đƣờng thẳng qua hai điểm P1 và P2 sẽ cắt một điểm duy nhất P3 ( x3, y3) có thể xác định thông qua P1 và P2 nằm trên đƣờng cong E.  Tiếp tuyến của đƣờng cong tại điểm bất kỳ P(x, y) trên đƣờng cong E cũng cắt đƣờng cong elliptic E tại một điểm duy nhất nằm trên đƣờng E, điểm này cũng có thể xác định đƣợc thông qua P. Dựa vào những tính chất đó ngƣời ta đã nghiên cứu và phát hiện ra một khả năng mới cho kỹ thuật mã hoá nói chung và chứng thực nói riêng, k ỹ thuật mã hoá dựa trên đƣờng cong elliptic. Ngƣời ta đã chỉ ra rằng các hệ mã hoá bằng đƣờng cong elliptic có độ bảo mật cao hơn nhiều so với các hệ mã hoá công khai khác nhƣ RSA, Elgamal. Độ bảo mật dựa trên độ khó phân tích số nguyên thành các thừa số nguyên tố cũng nhƣ bài toán logarit rời rạc, độ dài khoá giảm đi nhiều lần và do đó tốc độ thực hiện cũng sẽ nhanh hơn rất nhiều. Chính vì vậy ta áp dụng kỹ thuật mã hoá bằng đƣờng cong elliptic vào nhiều lĩnh vực khác nhau. Các kỹ thuật mã hoá bằng phƣơng pháp đƣờng cong elliptic đƣợc sử dụng hiệu quả nhất trong việc xây dựng các giải pháp bảo mật thông tin cho Phan Thị Thu Hiền Lớp CT702 - 13 -
  15. Đồ án tốt nghiệp Hệ mật đường cong elliptic các thẻ thông minh(Smart Card), các thiết bị điện tử có khả năng tính toán và không gian bộ nhớ hạn chế. 2.2. Đƣờng cong elliptic trên trƣờng hữu hạn Xét trƣờng hữu hạn Fq của q = pr phần tử trên trƣờng hữu hạn K. Giả sử E là đƣờng cong elliptic đƣợc định nghĩa trên Fq. Nếu đặc số của trƣờng p=2 hoặc p=3 thì E đƣợc cho bởi phƣơng trình ở (2) và (3) . Dễ dàng thấy rằng một đƣờng cong nhƣ vậy có thể có nhiều nhất là 2p+1 điểm trong Fq, nghĩa là điểm vô cùng với 2q cặp (x, y) trong đó x, y  Fq thoả mãn (1) (2) (3) (nếu p=2 hoặc 3), tức là với mỗi q giá trị x có thể có tồn tại nhiều nhất 2 giá trị y thoả mãn (1). Nhƣng vì chỉ có một nửa các phần của F*q có căn bậc 2 ngƣời ta kỳ vọng (nếu x3 + ax +b là các phần tử ngẫu nhiên của trƣờng ) chỉ có khoảng một nửa số các điểm của Fq. Chính xác hơn, giả sử  đặc trƣng toàn phƣơng của Fq (lấy  (0) = 0). x Ví dụ: Nếu q = p là 1 số nguyên tố thì  (x) =( ) là ký hiệu Legedre p Symbol). Do đó trong tất cả mọi trƣờng hợp số các nghiệm y  Fq thoả mãn phƣơng trình y2 = u là bằng 1 +  (u). Vì vậy số các nghiệm ở phƣơng trình 1 và điểm vô hạn là:   (1+  (x3 + ax + b)) = q + 1 + (1+  (x3 + ax + b)) (6) 1+ xFq xFq Ta hy vọng rằng  ( x3 + ax + b) bằng +1 và -1. Lấy tổng ngẫu nhiên: tung đồng xu q lần. Ngƣời ta thấy rằng  (x3 + ax + b) bị chặn bởi 2 q đó chính là định lý Hasses đƣợc phát triển xFq nhƣ sau: Định lý: Gọi N là số các điểm trên đƣờng cong elliptic đƣợc định nghĩa trên Fq. Khi đó | N−(q + 1) | ≤ 2 q Phan Thị Thu Hiền Lớp CT702 - 14 -
  16. Đồ án tốt nghiệp Hệ mật đường cong elliptic 2.3. Các phép toán trên đƣờng cong Elliptic Giả sử p là một số nguyên tố >3. Ngƣời ta chứng minh đƣợc rằng bằng phép biến đổi tuyến tính, ta có thể quy phƣơng trình đƣờng cong elliptic về dạng Weierstrass nhƣ sau: Y2 = X3 + aX + b Đƣờng cong elliptic Y2 = X3 + aX + b trên Zp đƣợc định nghĩa là tập hợp tất cả các điểm (x, y)  Zp  Zp thoả mãn phƣơng trình: Y2 = X3 + aX + b (mod p), Cùng với một phần tử đặc biệt ký hiệu là O là phần tử trung hoà. Tập hợp đó đƣợc ký hiệu là E. 23.1. Phép cộng Giả sử P= (x1, y1) và Q (x2, y2) là hai điểm của E. Nếu x1 = x2 và y1 = - y2 thì ta định nghĩa P + Q = O Ngƣợc lại th ì P + Q = (x3, y3)  E trong đó x3 =  2 - x1 – x2 , y3 =  (x1 – x3 ) –y1, Với = (y2 – y1 ) / (x2 – x1), khi P ≠ Q( nếu x1 = x2 th ì  là hệ số góc đƣờng thẳng qua P và Q) (*) (3x2 + a) / 2 y1, khi P = Q (  là đạo hàm của đƣờng cong tại P) (**) Vậy nếu P ≠ Q tức là x1 ≠ x2 2 y y  x3 =  2 1  - x1 – x2 (*)  x x   2 1  y 2  y1  y3 =   ( x1 – x3) - y1    x2  x1  N ếu P =Q Phan Thị Thu Hiền Lớp CT702 - 15 -
  17. Đồ án tốt nghiệp Hệ mật đường cong elliptic  3x  a 2  x3 =  1  – 2x2 (**)  2y    1  3x 2  a  y3 =  1  ( x1 – x3) - y1     2 y1 2 1 R Q P R 2P P P+ Q -1 -2 Hình 2.6.1 Phép cộng trên đường cong Elliptic Chú ý rằng các điểm (x3, y3), (x3, -y3) cũng nằm trên đƣờng cong E và xét về mặt hình học, thì các điểm (x1, y1), (x2, y2), (x3, -y3) cũng nằm trên một đƣờng thẳng. Ngoài ra ta định nghĩa thêm: P + O = O + P = P. Tính chất Dễ thấy rằng tập E với phép toán cộng đó tạo thành một nhóm Abelian: Phan Thị Thu Hiền Lớp CT702 - 16 -
  18. Đồ án tốt nghiệp Hệ mật đường cong elliptic  Tính đóng: Nếu P, Q  E thì P + Q  E.  Tính kết hợp: Nếu P, Q, R  E thì P + ( Q + R ) = R + ( Q + P ).  Tồn tại phần tử trung hoà O: với mọi P  E thì P + O = O + P = P (theo định nghĩa).  Tồn tại phần tử nghịch đảo: với mỗi P(x, y)  E thì luôn tồn tạ phần tử -P(x, -y)  E để P + (-P) = O.  Tính chất giao hoán Nếu P, Q  E thì P + Q = Q + P. Ví dụ: Xét đƣờng cong elliptic y2 = x3 – 36x Lấy P =(-3, 9), Q = (-2, 8). Hãy tìm P + Q và 2P? Với x1 = -3, y1 = 9, x2 = -2 , y2 = 8. Do đó áp dụng công thức(*) ta có: (8  9) 2 x3 = +3 + 2 = 1+ 3 +2 = 6. 23 89  y3 = -9    (-3-6) = -9 + (-1)(-9) =0.   2  3 Vậy P +Q = (6, 0). Bây giờ ta tính 2P áp dụng (**) ta có: x1= -3, y1 = 9  35 25  35 25 và do đó y3= . Vậy 2P = ( , x3 = ) 4 8 4 8 2.3.2. Phép nhân Phép nhân một số nguyên k với một điểm P thuộc đƣờng cong elliptic E là điểm Q đƣợc xác định bằng cách cộng k lần điểm P và dĩ nhiên Q  E: k  P = P + P + P……+ P ( k phép cộng điểm P). Vì vậy nếu G là một điểm thuộc đƣờng cong elliptic E thì với mỗi số nguyên dƣơng k luôn dễ dàng xác định đƣợc điểm Q = k  G 2.4. Đếm số điểm trên đƣờng cong elliptic trên trƣờng Fq Việc xây dựng các hệ mật mã trên đƣờng cong elliptic bao gồm việc lựa chọn đƣờng cong E thích hợp và một điểm G trên E gọi là điểm cơ sở. Xét trƣờng K là Fq. Định lý Hasse Phan Thị Thu Hiền Lớp CT702 - 17 -
  19. Đồ án tốt nghiệp Hệ mật đường cong elliptic N là số điểm của E trên trƣờng Fq (trƣờng hữu hạn q phần tử). Khi đó: |N – (q +1)| ≤ 2 q .Từ định lý Hasse suy ra #E(Fq) = q +1 – t trong đó |t| ≤ 2 q. Định nghĩa Bậc của điểm G thuộc E là số k dƣơng bé nhất sao cho kG = O; khi k = #E(Fq) thì G là điểm cơ sở của E. 2.5. Phƣơng pháp chọn đƣờng cong Elliptic phù hợp và điểm cơ sở Việc chọn một đƣờng cong elliptic thế nào ảnh hƣởng đến tốc độ, tính hiệu quả, độ dài khoá và tính an toàn của hệ mật mã trên đƣờng cong này. Dù E, K và điểm cơ sở B  E cố định và công khai nhƣng việc chọn các tham số này phù hợp là bƣớc quan trọng nhất. 2.5.1. Trƣờng K Trƣớc hết chúng ta xem xét sự ảnh hƣởng của trƣờng K đến cấu trúc nhóm của E(K) và các hệ mật mã trên E (K). Một đƣờng cong elliptic trên một trƣờng hữu hạn tạo thành nhóm Abelian đƣợc sử dụng trong mật mã học. Một ví dụ là việc chọn trƣờ ng F2r giúp thực hiện các phép tính nhanh và dễ dàng triển khai đƣợc trên các thiết bị cứng. Tuy nhiên, các đƣờng cong trên trƣờng F2r có thể bị tấn công bởi MOV, trong khi các đƣờng cong trên trƣờng Fp (p là số nguyên tố lớn) lại chống lại đƣợc kiểu tấn công này. Rõ ràng, các đƣờng cong elliptic trên trƣờng số nguyên tố Fp và trên trƣờng Fqn có các tính chất giúp chúng có thể thực thi đƣợc trên các thiết bị mà vẫn đảm bảo an toàn. Một chú ý nữa là việc tính số điểm trên # E (K). Với # E (K) thích hợp có thể là điều kiện cho phép thực hiện tấn công Pohlig – Hellman. Có thể dùng thuật toán đơn định thời gian đa thức Shoof để tính trên trƣờng hữu hạn Fq với đặc số khác 2 hoặc 3. Tốc độ của thuật toán Shoof phụ thuộc vào kích thƣớc và đặc số của trƣờng K. Ví dụ với r nhỏ, tính # E (F2r) có thể nhanh hơn Phan Thị Thu Hiền Lớp CT702 - 18 -
  20. Đồ án tốt nghiệp Hệ mật đường cong elliptic một chút so với tính # E(Fp), trong đó p lớn hơn đáng kể so với 2r, nhƣng khi r tăng thì tính # E (F2r) mất nhiều thời gian hơn tính # E (Fp). 2.5.2. Dạng của đƣờng cong elliptic Trƣớc hết, chúng ta cần xem các dạng đƣờng cong elliptic. Trên trƣờng Fq có hai lớp đƣờng cong elliptic đƣợc dùng trong các hệ mã hoá là supersinggular. Xét Fq có đặc số là 2 (g = 2m). Khi đó:  Tập tất cả các cặp nghiệm (x, y) của phƣơng trình y2 +ax = x3 + bx + c với a, b, c  Fq và a = 0 (mod q) cùng với điểm trung hoà O tạo thành một đƣờng cong elliptic dạng supersingular.  Tập tất cả các cặp nghiệm (x, y) của phƣơng trình y2 + ax = x3 + bx + c với a, b, c  Fq và b = 0 (mod q) cùng với điểm trung hoà O tạo thành một đƣờng cong elliptic dạng non-supersingular. Supersingular Curve: Menezes và Vanstone đã tìm ra các ƣu điểm của các đƣờng cong elliptic supersingular cho các hệ mật mã, đặc biệt trên trƣờng F2r. Tuy nhiên, các đƣờng cong supersingular có thể bị tấn công bằng MOV. Nonsupersingular Curve: Ƣu điểm của các đƣờng cong nonsupersingular là nó cung cấp độ bảo mật tƣơng đƣơng nhƣ các đƣờng cong supersingular nhƣng với các trƣờng nhỏ hơn. Độ dài khoá ngắn giúp chúng có thể triển khai trên các thiết bị nhƣ smart card. Hơn nữa, các đƣờng cong nonsupersingular có thể chống lại tấn công MOV, ví dụ nhóm con cylic cỡ 2160. 2.5.3. Phƣơng pháp lựa chọn Có nhiều cách chọn các đƣờng cong elliptic và điểm cơ sở B thuộc đƣờng cong đó. Một cách chọn điển hình là: Phương pháp- Phương pháp chọn ngẫu nhiên Kobliz: Sơ đồ 3.8. Phương pháp chọn ngẫu nhiên Kobliz 1. Chọn ngẫu nhiên 3 phần tử từ Fq là x, y, a 2. Tính b = y2 – (x3 + ax) Phan Thị Thu Hiền Lớp CT702 - 19 -
ADSENSE
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2