Giải bài tập Dãy số SGK Đại số và giải tích 11

Để nắm phương pháp giải bài tập hiệu quả, mời các em cùng tham khảo đoạn trích Giải bài tập Dãy số SGK Đại số và giải tích 11 dưới đây. Ngoài ra, các em có thể xem lại bài tập Giải bài tập Phương pháp quy nạp toán học SGK Đại số và giải tích 11

A.Tóm tắt kiến thức bài Dãy số

1. Định nghĩa

a) Mỗi hàm số u xác định trên tập số nguyên dương N* được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số). Kí hiệu:

u: N* → R

n → u(n)

Dãy số thường được viết dưới dạng khai triển u₁, u₂,u₃, ….,u_n,….,

trong đó u_n = u(n) là số hạng thứ n và gọi nó là số hạng tổng quát, u1 là số hạng đàu của dãy số (un )

b) Mỗi hàm số u xác định trên tập M = {1, 2, 3, …, m}, với m ε N* được gọi là một dãy số hữu hạn

Dạng khai triển của nó là: u₁, u₂,u₃, ….,u_m, trong đó u₁ là số hạng đầu, U_m là số hạng cuối.

2. Cách cho một dãy số

a) Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát.

Khi đó U_n = f(n), trong đó f là một hàm số xác định trên N* .

Đây là cách khá thông dụng (giống như hàm số) và nếu biết giá trị của n (hay cúng chính là số thứ tự của số hạng) thì ta có thể tính ngay được U_n.

b) Dãy số cho bằng phương pháp mô tả

Người ta cho một mệnh đề mô tả cách xác định các số hạng liên tiếp của dãy số. Tuy nhiên, thường thì không tìm ngay được Un với n tuỳ ý.

c) Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi (hay quy nạp)

– Cho số hạng thứ nhất (hoặc một vài số hạng đầu).

– Với n ≥ 2, cho một công thức tính Un nếu biết U_n-1 (hoặc một vài số hạng đứng trước đó)

Chẳng hạn, các công thức có thể là:

3) Dãy số tăng, dãy số giảm

– Dãy số Un được gọi là dãy số tăng nếu u_n+1 > u_n với mọi n ∈ N* ;

– Dãy số Un được gọi là dãy số giảm nếu u_n+1 < u_n với mọi n ∈ N* .

Phương pháp khảo sát tính đơn điệu của dãy số (U_n):

Phương pháp 1: Xét hiệu H = u_n+1 – u_n.

– Nếu H > 0 với mọi n ∈ N* thì dãy số tăng

– Nếu H < 0 với mọi n ∈ N* thì dãy số giảm.

Phương pháp 2:

4. Dãy số bị chặn

– Dãy số Un được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho

U_n ≤ M, với mọi n ∈ N*.

– Dãy số Un được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho

U_n ≥ m, với mọi n ∈ N*.

– Dãy số U_n được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trêm vừa bị chặn dưới tức là tồn tại hai số m, M sao cho:

m ≤ U_n ≤ M, với mọi n ∈ N*.

B. Đáp án và hướng dẫn giải bài kiến thức bài Dãy số trang 92.

Bài 1 Dãy số trang 92 SGK đại số và giải tích 11

Bài 1. Viết năm số hạng đầu của các dãy số có số hạng tổng quát u_n cho bởi công thức:

Đáp án và Hướng dẫn giải bài 1:

a) Năm số hạng đầu của dãy số là u₁ = 1; u₂ = 2/3, u₃ = 3/7; u₄ =4/15; u₅ =5/31

b) Năm số hạng đầu của dãy số là

u₁ = 1/3; u₂ = 3/5, u₃ = 7/9; u₄ =15/17; u₅ =31/33

c) Năm số hạng đầu của dãy số là

u₁ = 2; u₂ = 9/4, u₃ = 64/27; u₄ = 625/256; u₅ = 7776/3125

d) Năm số hạng đầu của dãy số là

u₁ = 1/√2; u₂ = 2/√5, u₃ = 3/√10; u₄ =4/√17; u₅ =5/√26

---

Bài 2 Dãy số trang 92 SGK đại số và giải tích 11

Cho dãy số U_n , biết:

u₁ = -1; u_n+1 = u_n +3 với n ≥ 1.

a) Viết năm số hạng đầu của dãy số

b) Chứng minh bằng phương pháp quy nạp: u_n = 3n -4.

Đáp án và Hướng dẫn giải bài 2:

b) Chứng minh un = 3n – 4 bằng phương pháp quy nạp:

Với n =1 thì u₁ 3.1 – 4 = -1, đúng.

Giả sử hệ thức đúng với n = k ≥ 1, tức là u_k = 3k -4. Ta chứng minh hệ thức cũng đúng với n = k + 1.

Thật vậy, theo công thức của dãy số và giả thiết quy nạp, ta có:

u_k+1 = u_k + 3 = 3k – 4 + 3 = 3(k + 1) – 4.

Vậy hệ thức đúng với mọi n ∈ N^* , tức là công thức đã được chứng minh.

---

Bài 3 Dãy số trang 92 SGK đại số và giải tích 11

Dãy số u_n cho bởi: u₁ = 3; , n ≥ 1.

a) Viết năm số hạng đầu của dãy số.

b) Dự đoán công thức số hạng tổng quát và chứng minh côngt hức đó bằng phương pháp quy nạp

Đáp án và Hướng dẫn giải bài 3:

a) Năm số hạng đầu của dãy số là 3, √10, √11, √12, √13.

b) Ta có: u₁ = 3 = √9 = √(1 + 8)

u₂ = √10 = √(2 + 8)

u₃ = √11 = √(3 + 8)

u₄ = √12 = √(4 + 8)

………..

Từ trên ta dự đoán u_n = √(n + 8), với n ∈ N^* (1)

Chứng minh công thức (1) bằng phương pháp quy nạp:

– Với n = 1, rõ ràng công thức (1) là đúng.

– Giả sử (1) đúng với n = k ≥ 1, tức là có u_k = √(k + 8) với k ≥ 1.

Theo công thức dãy số, ta có: 

Như vậy công thức (1) đúng với n = k + 1.

Vậy công thức (1) được chứng minh.

---

Bài 4 Dãy số trang 92 SGK đại số và giải tích 11

Xét tính tăng, giảm của các dãy số u_n biết:


Đáp án và Hướng dẫn giải bài 4:

a) 

Vậy dãy số đã cho là dãy số giảm.

b) Xét hiệu 

Vậy u_n+1 > u_n với mọi n ε N^* hay dãy số đã cho là dãy số tăng.

c) Các số hạng ban đầu vì có thừa số (-1)ⁿ, nên dãy số dãy số không tăng và cũng không giảm.

d) Làm tương tự như câu a) và b) hoặc lập tỉ số u_{n+1 /} u_n
(vì u_n > 0 với mọi n ε N^* ) rồi so sánh với 1.

Ta có với mọi n N^*

Vậy dãy số đã cho là dãy số giảm dần.