Ụ Ụ M C L C
Ở Ầ 1. M Đ U 1
ề ọ 1.1. Lý do ch n đ tài 1
ụ ứ 1.2. M c đích nghiên c u 1
ố ượ ứ 1.3. Đ i t ng nghiên c u 2
ươ ứ 1.4. Ph ng pháp nghiên c u 2
Ộ Ế Ệ 2. N I DUNG SÁNG KI N KINH NGHI M 3
ậ ủ ơ ở ế ệ 2.1. C s lý lu n c a sáng ki n kinh nghi m
3
ề ướ ự ấ ụ ế ệ ạ 2.2 . Th c tr ng v n đ tr c khi áp d ng sang ki n kinh nghi m
4
ế ủ ụ ữ ế ệ ắ ạ ọ 2.3. Sáng ki n kinh nghi m kh c ph c nh ng h n ch c a h c sinh.
4
ộ ố ề ươ 2.3.1. M t s bài toán v ph ng trình vô t . ỉ 4
ư ạ ự ệ 2.3.2. Th c nghi m s ph m 17
ả 2.4. ệ Hi u qu ủ c a sáng ế ki n kinh nghi m ệ .
18
Ậ Ả 18 3. BÀI T P THAM KH O
1
Ậ Ế Ế Ị 20 4. K T LU N VÀ KI N NGH
Ệ Ả 21 5. TÀI LI U THAM KH O
1. M Đ UỞ Ầ
ọ ề 1.1. Lý do ch n đ tài
ả ụ ể Qua quá trình công tác gi ng d y ạ ở ườ tr ng THPT , mà c th là phân môn
ạ ố ọ ượ ế ậ ớ ươ Đ i s 10 các em h c sinh đã đ c ti p c n v i ph ng trình ch a n d ứ ẩ ướ ấ i d u
ỉ ượ ộ ố ớ ả ườ căn, tuy nhiên các em ch đ c làm quen v i m t s cách gi i thông th ơ ng, đ n
ồ ưỡ ệ ậ ấ ả ọ ọ gi n. Tôi nh n th y vi c h c toán nói chung và b i d ng h c sinh khá, gi ỏ i
ệ ố ọ ệ ạ ọ toán nói riêng, mu n h c sinh rèn luy n đ ượ ư c t duy sáng t o trong vi c h c và
ả ề ả ầ ả ỗ ươ gi ầ i toán thì b n thân m i th y, cô c n ph i có nhi u ph ề ng pháp và nhi u
ướ ế ậ ẫ ọ ả ừ ỏ cách h ế ng d n cho h c sinh ti p thu và ti p c n bài gi i. T đó đòi h i ng ườ i
ầ ầ ứ ừ ề ả ươ th y c n ph i không ng ng tìm tòi nghiên c u tìm ra nhi u ph ng pháp và cách
ả ể ừ ộ ạ ộ ự ệ ọ ư gi i qua m t bài toán đ t đó rèn luy n cho h c sinh năng l c ho t đ ng, t duy
ể ề ặ ự ể ạ ấ ươ sáng t o, phát tri n bài toán và có th đ xu t ho c t làm các bài toán t ng t ự
ượ ồ ưỡ đã đ ứ c nghiên c u, b i d ng.
ữ ế ắ ạ ả ả ọ ộ ỗ ạ ọ ứ ơ ả D y cho h c sinh n m v ng ki n th c c b n, đ m b o trình đ thi đ đ i h c
ấ ầ ế ư ủ ư ạ đã là khó và r t c n thi t nh ng ch a đ . Là giáo viên d y toán ở ườ tr ng THPT
ố ượ ề ề ọ ọ ai cũng mong mu n mình có đ c nhi u h c sinh yêu quý, có nhi u h c sinh đ ỗ
ọ ỏ ệ ượ ề ườ ầ ầ ề ạ đ t, có nhi u h c sinh gi ể ự i. Song đ th c hi n đ c đi u đó ng i th y c n có
ề ự ụ ề ệ ặ ự s say mê chuyên môn, đ t ra cho mình nhi u nhi m v , truy n s say mê đó
2
ệ ầ ọ ộ ộ cho h c trò. Khai thác sâu m t bài toán cũng là m t ph n vi c giúp ng ườ i
ệ ủ ự ể ầ ớ ế ủ ỏ th y thành công trong s nghi p c a mình. V i chút hi u bi t nh bé c a mình
ề ọ ế ề cùng ni m say mê toán h c tôi vi ế t đ tài sáng ki n kinh nghi m: “ ệ M t s gi ộ ố ả i
ọ ỹ ả ươ ố ỉ” mong mu n đ ượ c pháp giúp h c sinh có k năng gi i ph ng trình vô t
ớ ạ ệ ẻ ạ ổ ọ chia s , trao đ i kinh nghi m làm toán, h c toán và d y toán v i b n bè trong
ề ầ ầ ọ ộ ỏ ỉ t nh. Hy v ng đ tài giúp ích m t ph n nh bé cho quý th y cô trong công tác
ạ ả gi ng d y.
ụ ứ 1.2. M c đích nghiên c u
ụ ệ ệ ằ Nh m nâng cao nghi p v chuyên môn, rút kinh nghi m trong quá trình
ể ư ạ ả ủ ệ ạ ạ ọ gi ng d y, phát tri n t ồ duy linh ho t, sáng t o c a h c sinh, phát hi n và b i
ưỡ ọ ỏ d ng h c sinh gi i Toán.
ệ ề ả ọ Thông qua đ tài này, là tài li u tham th o cóích cho giáo viên và h c
ặ ệ ố ớ ọ ọ ỏ ấ sinh, đ c bi t làđ i v i h c sinh tham gia các kì thi h c sinh gi ỉ i c p T nh, thi
ẳ ạ ọ đ i h c, cao đ ng.
ố ượ ứ 1.3. Đ i t ng nghiên c u
ứ ươ ả ề Nghiên c u ph ng pháp gi ạ ọ i các bài toán thi Đ i h c theo nhi u cách
ướ ớ ố ượ ớ ọ ng t i các đ i t ọ ọ ng h c sinh l p ch n, chuyên Toán, h c ề Đ tài h
ỏ ạ ọ ấ ọ ọ sinh gi i và h c sinh ôn thi Đ i h c,nh t là h c sinh kh i ố 10 .
ươ ứ 1.4. Ph ng pháp nghiên c u
ớ ề ả ử ụ ủ ế ươ V i đ tài này, tác gi s d ng ch y u là ph ự ố ng pháp th ng kê, l a
ữ ộ ọ ươ ả ch n nh ng bài toán hay, đ c đáo, có cùng ph ng pháp gi isau đó phân tích, so
ặ ệ ổ ậ ể ươ ế ậ sánh, khái quát hóa, đ c bi t hóa đ làm n i b t ph ng pháp rút ra k t lu n
Ộ Ệ Ế 2. N I DUNG SÁNG KI N KINH NGHI M
ậ ủ ơ ở ế ệ 2.1.C s lý lu n c a sáng ki n kinh nghi m
ầ ộ ọ ọ ế ố ớ ọ ố t đ i v i h c sinh. Mu n Môn toán h c là b môn quan tr ng và c n thi
ả ắ ọ ở ứ ữ ữ ọ ố h c t t môn toán các em ph i n m v ng nh ng tri th c khoa h c môn toán
3
ệ ố ộ ế ậ ụ ừ ế ạ ạ m t cách có h th ng, bi ậ t v n d ng lý thuy t linh ho t vào t ng d ng bài t p.
ể ệ ở ệ ỏ ọ ề ả ọ ớ ư Đi u đó th hi n vi c h c đi đôi v i hành, đòi h i h c sinh ph i có t duy
ế ầ ổ ị ướ ọ ọ logic và cách bi n đ i. Giáo viên c n đ nh h ng cho h c sinh h c và nghiên
ệ ố ọ ộ ươ ọ ổ ứ c u môn toán h c m t cách có h th ng trong ch ậ ng trình h c ph thông, v n
ậ ồ ổ ế ậ ợ ạ ụ d ng lý thuy t vào làm bài t p, phân d ng các bài t p r i t ng h p các cách
gi i.ả
ư ụ ế ệ ậ ạ ạ ớ Do v y, tôi m nh d n đ a ra sáng ki n kinh nghi m này v i m c đính
ụ ậ ọ ươ ả ặ giúp cho h c sinh THPT v n d ng và tìm ra ph ng pháp gi i khi g p các bài
ả ươ ứ ẩ ướ ấ toán gi i ph ng trình ch a n d i d u căn.
f (x) = g(x)và trình
ạ ố ỉ ươ ạ Trong sách giáo khoa Đ i s 10 ch nêu ph ng trình d ng
ươ ả ướ ổ ệ ả ằ ả ng pháp gi ế i b ng cách bi n đ i h qu , tr c khi gi
ư ể ề ệ ằ ỉ ề ỉ ặ bày ph i ch đ t đi u ki n ệ f (x) ‡ 0. Nh ng chúng ta nên đ ý r ng đây ch là đi u ki n đ đ th c ủ ể ự
ượ ế ổ ả ọ ễ ắ ệ hi n đ c phép bi n đ i cho nên trong quá trình gi
ạ ỏ ệ ệ ấ ạ ầ ưở khi l y nghi m và lo i b nghi m ngo i lai vì nh m t ầ i h c sinh d m c sai l m ệ f (x) ‡ 0 là ề ng đi u ki n
ệ ầ ủ ủ ề ươ đi u ki n c n và đ c a ph ng trình.
ặ ả ươ ề ỉ Tuy nhiên khi g p bài toán gi i ph ng trình vô t , có nhi u bài toán đòi
ả ế ậ ụ ế ợ ứ ề ỏ ọ h i h c sinh ph i bi ế ế t v n d ng k t h p nhi u ki n th c kĩ năng phân tích bi n
ươ ừ ạ ứ ạ ề ạ ả ơ ổ ể ư đ i đ đ a ph ng trình t d ng ph c t p v d ng đ n gi n
ớ ạ ỉ ướ ủ ẫ ạ ọ Trong gi i h n c a SKKN tôi ch h ng d n h c sinh hai d ng ph ươ ng
ườ ổ ơ ả ộ ố ạ ậ ụ ộ ố ế ặ trình th ng g p m t s bài toán v n d ng bi n đ i c b n và m t s d ng bài
ẫ ạ ườ ự (d ng không t ng minh) toán không m u m c nâng cao.
f (x) = g(x) (1)
ươ ng trình * D ng 1ạ : ph
f (x) = g(x) (cid:219)
g(x) ‡ 0 f (x) = g2 (x)
(cid:236) (cid:237) ươ ề ề ệ Ph ng trình đi u ki n ệ g(x) ‡ 0 là đi u ki n c n ầ (cid:238)
f (x) = g2(x) ch c n so
4
ươ ả ươ ỉ ầ ủ ủ và đ c a ph ng trình (1) sau khi gi i ph ng trình
ừ ậ ượ ớ ể ế ệ ậ ệ sánh các nghi m v a nh n đ ề c v i đi u ki n ệ g(x) ‡ 0đ k t lu n nghi m mà
ầ ươ ể ử ể ấ ệ ầ ả không c n ph i thay vào ph ng trình ban đ u đ th đ l y nghi m.
f (x) = g(x)(2)
ươ ph ng trình ạ * D ng 2:
)
f (x) = g(x) (cid:219)
( f (x) ‡ 0 g(x) ‡ 0 f (x) = g(x)
( f (x) ‡ 0 g(x) ‡ 0
(cid:236) (cid:237) ươ Ph ng trình (cid:238)
) là đi u ki n c n và đ c a ph ầ
ề ệ ủ ủ ề ệ ươ Đi u ki n ng trình (2).
ở ấ ế ả ặ ề ồ Chú ý đâykhông nh t thi ệ t ph i đ t đi u ki n đ ng th i c ờ ả f(x) và g(x)
không âm vì f (x) = g(x).
f (x) -
g(x) = h(x) (3) .
(cid:0) ạ ươ ph ng trình D ng 3:
ướ ệ ề ặ B c 1: Đ t đi u ki n
f (x) = g(x) + h(x) .
ế ề ươ ế ể ướ ể B c 2: Chuy n v đ 2 v đ u d ng
ướ ươ ế B c 3: Bình ph ng 2 v
ự ạ ẫ *D ng bài toán không m u m c:
ượ ự ệ ạ Lo i này đ ụ ụ ể c th c hi n qua các ví d c th .
ề ướ ự ấ ụ ế ệ ạ 2.2. Th c tr ng v n đ tr c khi áp d ng sang ki n kinh nghi m
ọ ườ ở ặ ớ ệ ứ ậ ớ H c sinh tr ng THPT DTNT các l p đ c bi ậ t là l p 10 nh n th c còn ch m,
ượ ề ươ ứ ế ư ệ ố ch a h th ng đ ặ c ki n th c. Khi g p các bài toán v ph ỉ ư ng trình vô t ch a
ạ ị ượ ả ề ệ ặ phân lo i và đ nh hình đ c cách gi ế i, lúng túng khi đ t đi u ki n và bi n
ươ ư ạ ạ ấ ạ ổ đ i,trong khi đó ph ề ng trình lo i này có r t nhi u d ng. Nh ng bên c nh đó
ươ ạ ố ả ổ ừ ạ ch ng trình đ i s 10 không nêu cách gi ờ i t ng quát cho t ng d ng, th i
5
ượ ấ l ầ ng dành cho ph n này là r t ít.
ọ ậ ệ ể ệ ả ậ ị ỳ Qua vi c kh o sát ki m tra đ nh k và vi c h c t p, làm bài t p hàng
ậ ọ ườ ặ ỏ ặ ấ ngày nh n th y h c sinh th ng b qua ho c không gi ả ượ i đ c ho c trình bày
ả ặ ề ệ ệ ấ ở ầ cách gi i đ t đi u ki n và l y nghi m sai ph n này.
ả ề ư ế K t qu đi u tra nh sau:
ổ ố ủ ệ ầ ố ố ố T ng s HS Quan ni m sai l m c a HS S HS có S không S HS
quan HS có quan không
ệ ệ ni m sai ni m sai bi tế
l mầ 100 l mầ 59 20 179
ế ủ ọ ụ ữ ế ệ ắ ạ 2.3. Sáng ki n kinh nghi m kh c ph c nh ng h n ch c a h c sinh.
ế ủ ọ ụ ữ ể ắ ả ươ ỉ ạ Đ kh c ph c nh ng h n ch c a h c sinh khi gi i ph ng trình vô t , tôi đã
ư làm nh sau:
ữ ư ầ ấ ả ọ ọ ơ + Đ u tiên tôi đ a ra cho h c sinh nh ng bài toán đ n gi n nh t mà h c sinh gi ả i
ế ủ ư ấ ạ ọ ỉ theo cách sách giáo khoa đ a ra và ch ra cho h c sinh th y h n ch c a cách
gi i.ả
ứ ạ ể ọ ữ ụ ư ế ế ọ ấ ằ + Ti p đ n tôi đ a cho h c sinh nh ng ví d ph c t p và đ h c sinh th y r ng
ả ườ ể ả ượ ể ử ụ không th s d ng cách gi i thong th ư ậ ng nh v y đ gi i đ c.
ộ ố ề ươ ỉ. 2.3.1. M t s bài toán v ph ng trình vô t
2x - 3 = x - 1(1)[1]
ư ả ộ ả ươ ơ M t bài toán đ n gi n nh : Gi i ph ng trình
ả ẽ ả ủ ọ ế N u gi i theo cách c a sách giáo khoa, h c sinh s gi i
(
(1) (cid:222)
2x - 3 = x - 1
2x - 3 = x 2 - 2x + 1
ề Đi u ki n . ệ x ‡ 3 2
x 2 - 4x + 4 = 0 (cid:222)
) 2 (cid:222) x = 2
(cid:222)
ệ ề ươ ệ ả Sau đó so sánh đi u ki n và thay vào ph ng trình xem nghi m có tho mãn
6
không.
ả ứ ạ ở ệ ừ ệ ấ Theo tôi cách gi i v a nêu trên r t ph c t p ị ủ vi c thay giá tr c a nghi m vào
ươ ể ử ạ ỏ ễ ẫ ế ệ ầ ạ ph ng trình ban đ u đ th sau đó lo i b nghi m ngo i lai và d d n đ n sai
ộ ố ọ ủ ệ ầ ố ưở ệ ấ ầ l m c a m t s h c sinh khi l y nghi m cu i cùng vì nh m t ề ng đi u ki n
x ‡ 3 2
ứ ạ ủ ề ệ ầ ơ ữ là đi u ki n c n và đ . Trong nh ng bài toán ph c t p h n thì cách gi ả i
ẽ ấ trên s r t khó khăn.
5x2 + 6x - 7 = x + 3[1]
ư ả ươ Hay nh bài toán gi i ph ng trình
5x2 + 6x - 7 ‡ 0 x + 3 ‡ 0
(cid:236) (cid:237) ọ ườ ệ ặ ươ H c sinh th ề ng đ t đi u ki n sau đó bình ph ng 2 v đ gi ế ể ả i (cid:238)
ư ậ ầ ố ế ỉ ầ ề ệ ươ ng trình. Cách làm nh v y là r i và không c n thi t, vì ch c n đi u ki n
ph x + 3 ‡ 0 là đ .ủ
ụ ư ể ả Ví d nh các bài toán sau thì chúng ta không th gi i theo cách thông th ườ ng
ư ượ ượ ư ộ ố ả ố ư nh trên đ c. Tôi xin đ c đ a ra m t s cách gi ư i u nh sau: i t
2
ạ ọ ố D năm 2006 có bài toán sau. ề Bài toán 1.Trong đ thi Đ i h c kh i
x
- + 2x 1
+ = 3x 1 0
- ả ươ Gi i ph ng trình: . (1)[2]
ờ ả L i gi i :
f (x) = g(x). Tuy nhiên tôi s đ a ra m t s cách gi ả
ạ ộ ố ẽ ư ớ i m i D ng :
x (cid:0)
2x - 1 - 2x + 1+ x 2 - x = 0
Cách 1:
) (cid:219) 1( . Khi đó:
1 2
ượ
ừ
ệ
ả
Bài toán 1 đ
c trích t
tài li u tham kh o [2]
ĐK
- = 2x 1 t
Đ t ặ ,
- + 2 t
t
- = 2 x
x
0
ươ ở Ph ng trình đã cho tr thành:
x
=(cid:0) x t (cid:0) = - t 1
7
(cid:0) (cid:0)
ở ạ Tr l ặ i phép đ t ta có.
x
- = 2x 1
x
- = - 2x 1 1
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
=
ả ươ ề ệ ượ ủ ệ ươ Gi i ph ng trình, so sánh đi u ki n ta đ c nghi m c a ph ng trình là:
x
x
1 = - 2
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
ậ ươ ặ ẩ ụ Nh n xét: Cách 1 là ph ớ ng pháp đ t n ph không hoàn toàn, v i
ớ ề ấ cách làm này ta khai thác r t nhi u bài v i cách gi ả ươ i t ng t ự .
x (cid:0)
Cách 2.
1 2
2
ĐK
�
x -
x+
2x 1
- + 2x 1
1 = 4
1 4
- - PT
x
- = 2x 1
2
= 2
�
x -
(
)
( 2x 1
)
1 2
1 2
x
- = - 2x 1 1
(cid:0) (cid:0) - - (cid:0) (cid:0) (cid:0)
=
ả ươ ề ệ ượ ủ ệ ươ Gi i ph ng trình, so sánh đi u ki n ta đ c nghi m c a ph ng trình là:
x
x
1 = - 2
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
ậ ươ ế ệ ặ Nh n xét: Cách 2 là ph ổ ề ổ ng pháp bi n đ i v t ng ho c hi u hai
ươ ấ ề ớ ớ bình ph ng, v i cách làm này ta khai thác r t nhi u bài v i cách gi ả i
ươ t ng t ự .
=
ề ệ ậ ặ ươ ế ả ươ ng hai v , gi i ph ng trình ứ Cách 3. Cô l p căn th c, đ t đi u ki n, bình ph
x
x
1 = - 2
2
8
(cid:0) (cid:0) ượ ậ ố b c b n ta cũng tìm đ ệ c nghi m là: (cid:0)
ị ỉ ươ ẹ ệ ng trình có nghi m đ p, do Tuy nhiên Cách 3 không thú v , ch nên làm khi ph
ế ẹ ệ ể ươ ể ấ ợ có nghi m đ p nên có th suy nghĩ đ n ph ệ ng pháp nhân liên h p đ xu t hi n
ử nhân t chung.
ế ụ ế ớ ỏ ươ ặ ẩ Không th a mãn v i 3 cách trên tôi ti p t c suy nghĩ đ n ph ng án đ t n ph ụ
ạ ư ề ệ ố ứ đ a v h đ i x ng lo i II và tôi đã tìm ra Cách 4.
x (cid:0)
Cách 4.
(1- x)2 - x = -
- (1- x) + x
(1) (cid:219)
1 2
- =
ĐK .
x u
1
v
(1
+ = x x )
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) Đ t ặ - - (cid:0) (cid:0)
u
v
2
v
- = - x - = - x
u
(cid:0) (cid:0) (cid:0) Theo bài ra ta có: (cid:0) (cid:0)
=
ế ố ứ ạ ả ệ ượ Đ n đây ta đ ượ ệ ươ c h ph ng trình đ i x ng lo i II, gi i h ta đ c
u
u
v
v = - 1
=
(cid:0) (cid:0) ở ạ ặ ; tr l i phép đ t, (cid:0)
x
x
1 = - 2
2
(cid:0) (cid:0) ả ươ ượ ủ ệ ươ Gi i ph ng trình, ta đ c nghi m c a ph ng trình là: (cid:0)
ậ Nh n xét:
2
ề ậ ớ ạ ổ i d ng t ng quát
)
+ mx n
+ = b
b
.
- ủ ộ ) + Trong Cách 4 Tôi đã ch đ ng đ c p t ( ( a a mx n
ả ắ ớ ả ộ Đây là m t cách gi i mà tôi khá tâm đ c, v i cách gi ở ế i này khi n tôi m
ề ề ị ộ r ng bài toán trên thành nhi u bài toán thú v , nhi u bài không làm theo cách này
ư ế ắ ầ g n nh b t c.
ớ ướ ư ệ ề ầ ươ ệ V i xu h ng ra đ thi nh hi n nay thì ph n ph ng trình, h ph ươ ng
ể ặ ầ ạ ộ ọ ươ ỷ trình là m t câu ch n đi m. Do đó khi d y h c ph n ph ng trình vô t không
ế ấ ạ ọ ỉ ứ ơ ả ch cung c p cho h c sinh ki n th c c b n, kĩ năng thành th o còn ph i h ả ướ ng
9
ọ ừ ộ ế ẫ d n h c sinh đào sâu suy nghĩ t m t bài toán và quan tâm đ n các bài toán khó.
ế ệ ậ ổ Trong khuôn kh Sáng ki n kinh nghi m này, tôi t p trung khai thác sâu
ừ ạ Cách 4, t ị đó sáng t o ra các bài toán thú v .
2
2
Bài toán 2. [3]
)
x
x
x
x
8
( + = - x 1 11 1
4
+ 6
5
.
- - ả ươ Gi i ph ng trình
ệ ẹ ệ ợ Bài toán 2 không có nghi m đ p do đó vi c nhân liên h p hay bình ậ Nh n xét:
ươ ế ấ ặ ẩ ụ ả ơ ph ng hai v r t khó khăn; Đ t n ph không hoàn toàn cũng không đ n gi n,
ờ ả i gi ư i nh sau:
2
2
ươ ươ
x R(cid:0) . ng trình đã cho t ( )
(
(
x
x
x
x
x
x
1
) 3 .
) = - 3
2 3
1
- - - - ng đ ( ) ư ớ Cách 4 ta có l nh ng v i ờ ả i L i gi ề ệ Đi u ki n ươ Ph ( ớ ng v i: ) ) ( - + + x 2 3
- + 2 x = x u
2 3
2
x
4
+ = x 5
6
2
2
- (cid:0) (cid:0) (cid:0) Đ t ặ - (cid:0) (cid:0)
v =
u
) x v
2
) (
)
�
u
v
x
v u
( = - 2 1
2
v
( - + + - x 3 1 ) - + + 2 x x u x
x ( = - 1
3
=
v
u
(
�
) ( u v u v
x
) + - + = 1
0
� (cid:0)
+ - + = x
u v
1 0
(cid:0) (cid:0) - - (cid:0) (cid:0) (cid:0) ượ ta thu đ ệ sc h (cid:0) - (cid:0)
=
ườ ợ ả
x
- + 2 x 6
4
2 3
5
Xét hai tr � v u ng h p x y ra - = x
x
3
14
=
�
�
x
.
2 3
5
2
x
- = x
5
6
1 0
2
(cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0)
�
+ - + = x
u v
x
x
1 0
4
+ = x 6 5
4
3
- -
+
x
9
33
=
�
�
x
.
3 4
12
2
2
x
+ = x
x
4
5 16
6
+ x 24
9
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - - (cid:0)
33
S
+ 14 9 ;
2
12
� � . � �
� 3 � = � � �
- ậ ậ ệ ế K t lu n t p nghi m
10
ậ ứ ộ ứ ạ ự ự ạ Nh n xét: M c đ ph c t p đã tăng th c s , nguyên do d ng ổ t ng quát
2
+
(
)
) +
- = b
( a a mx n
+ mx n ứ ự
2
2
ị ứ ậ ứ ậ Trong đó a; b lúc này theo th t . b ấ là nh th c b c nh t và tam th c b c hai
(
)
(
)
(
(
(
x
- + 2 x
x
x
) - + x
x
x
x
2 3
) = - 3
1
1
) ( + 2 3
) 3 .
ượ
ừ
ệ
ả
Bài toán 2 đ
c trích t
tài li u tham kh o [3]
- - - -
ể ặ ẩ ụ ượ ế Ngoài cách làm trên, có th đ t n ph không hoàn toàn cũng thu đ c k t qu ả
ấ ấ ả ở ộ ể ượ ế ữ tuy nhiên r t v t v . Sau đây chúng ta m r ng ti p đ đ c nh ng bài toán
2
ứ ạ ơ ph c t p h n.
2
+ x 16 1 = - - ả ươ i ph ng trình x x 4 18 4. Bài toán 3 [3]. Gi + - + x x 11 4
2
ờ ả L i gi i. (cid:0) (cid:0) x 4 (cid:0) ệ ề Đi u ki n - - (cid:0) (cid:0) 9
2
2
ươ ớ Ph 2 0 ng đ ng v i
x x 2 ươ ng trình đã cho t + - - x x 16 x 11 4) 4 4 18
2
- - - - - � x x - + x x x ươ + = - + x 1 ( = - + x 3 ( 4) ( 4 1)( 4) 3 ( 4
v
4
- - ta thu đ ượ ệ ươ c h ph ng trình + 2 x 1) - = x 18
x ; 4 v 4)
2
2
- = u x 1 4 = - + x x ( 3 = - + x (
2
(cid:0) Đ t ặ + 2 (cid:0) u - - (cid:0) � u v v u = - + 2 x ( 4)( ) + (cid:0) (cid:0) v x 3 u 4)
2
(cid:0) = - - - (cid:0) v u x x - = x 1 4 4 18 4(1) (cid:0) � � (cid:0) (cid:0) (cid:0) + - + = x u v 4 0 - - (cid:0) x x 4 18 - = x 4 5 3(2)
ườ ợ Xét các tr ng h p
+
4
13
109
= -
�
�
x
� � (1)
x 2
2
1 0 +
+ =
(cid:0) - - (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0)
12
x
x
x
x
� 16
8
1 4
18
4
2
+ =
1 4 +
x
x
26
5 0
x � 12
- - (cid:0) (cid:0) (cid:0)
x
3 0
�
� � (2)
2
2
(cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
x
- = x
x
x
5 � 4
18
4 25
+ 30
9
3 5 2
+ x
12
= 13 0
x � x 21
- - (cid:0) (cid:0) - (cid:0)
ệ ệ ( H vô nghi m)
11
+ 13 109 = - ế ươ ệ ầ ấ ậ K t lu n: Ph ng trình ban đ u có duy nh t nghi m . x 12
ả ươ i ph
ng trình ể ứ ẽ ả ứ i theo công th c
2(x 2 - x + 6) = 5 x3 + 8. Bài toán 4 [4]. Gi ậ ụ ớ Khác v i các ví d trên bi u th c trong căn là b c 3, ta s gi A = Bđ thu đ ể
ậ ố ươ ượ ng trình b c b n. c ph
ượ
ừ
ệ
ả
Bài toán 3 đ
c trích t
tài li u tham kh o [3]
ờ ả L i gi i 1
- 2
) (cid:219)
*(
x ‡ 4 x 4 - 33x 3 + 52x2 - 48x - 56 = 0
x 3 + 8 ‡ 0 4(x 2 - x + 6)2 = 25(x 3 + 8)
(cid:236) (cid:236) (cid:239) (cid:219) (cid:237) (cid:237) (cid:239) (cid:238) (cid:238)
- 2
- 2
x = 3 –
13
x ‡ (x 2 - 6x - 4)(4x 2 - 9x + 14) = 0
x ‡ x 2 - 6x - 4 = 0 4x 2 - 9x + 14 = 0 VN
(cid:236) (cid:236) (cid:239) (cid:219) (cid:219) (cid:219) (cid:237) (cid:237) (cid:238) (cid:239) (cid:238)
ể ả ằ ươ ặ ẩ ụ i b ng ph ụ ư ng pháp đ t n ph nh các ví d trên sau ờ ả : Ta có th gi L i gi i 2
khi
)
x + 2
( ) x 2 - 2x + 4
(1)
ng trình v d ng ( ươ ( ổ ế bi n đ i ph ) + 2 x 2 - 2x + 4 ( 2 x + 2 ề ạ ) = 5
2(
)2 - 5
+ 2 = 0
3 u v
u v
Đ tặ u = x + 2 ‡ 0,v = x2 - 2x + 4 ‡ ) (cid:219) 1( 2u 2 + 2v2 = 5uv (cid:219)
= 2
u = 2v 2u = v
x + 2 = 2 x2 - 2x + 4 2 x + 2 = x2 - 2x + 4
= 1 2
Ø Ø Œ Ø Œ (cid:219) (cid:222) (cid:219) Œ Œ Œ º Œ º Œ º
u v u v x = 3 –
13
12
(cid:219)
2
2
- - x x 2 3 = - ả ươ i ph ng trình x + x 5 7 Bài toán 5 [4]. Gi - 2 + x 3 2
ờ ả L i gi i.
2
2 +
ệ ề x (cid:0) . Đi u ki n 3 2 ươ ươ ng trình đã cho t ớ ng v i Ph ươ 2 ng đ + 2 - - x x x x + 3 ( 2 3) 5 7 2 2
(
2
- = - 2 + - � - + x x x x x - = - x ) 1 + 4 ( 2 3) + ( 2 - + - x 3)( 1) 4.
;
+ = x 5 7
> v v ,(
0)
- ta thu đ cượ
- + = u x 1 - = - 2
2
2
x + x 4 ( 2 + x 4 ( 2 ợ ườ ng h p
(cid:0) Đ t ặ + 2 (cid:0) u v 3) = - 2 - - (cid:0) � � u v v u + x ( 2 3)( ) (cid:0) x 2 + - = - (cid:0) (cid:0) =(cid:0) u v + - u v + = x 3 0 2 (cid:0) x v u 3)
ượ
ừ
ệ
ả
Bài toán 5 đ
c trích t
tài li u tham kh o [4]
2
Xét các tr
= � � u v
x
- + = x 1
+ x 5
7
-
1
�
�
� �� x .
2
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
x � = x
1 2
x � x
x
+ = x 1
2
+ x 5
7
2
- - (cid:0) (cid:0)
�
+ - � u v
+ = x
x
x
3 0
2
3
4
- -
+ = x 7 5 +
x
3
4
19
73
=
�
�
x
2
16
x
+ = x
8
19
9 0
(cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0)
2
+
(
)
) +
+ mx n
- = b
( a a mx n
b
+ 19 73 = ế ươ ệ ậ K t lu n: Ph ầ ng trình ban đ u có nghi m . x 16
ế ề ắ ổ
ạ ể ượ ạ c a, b, m, n” ?
2
+ 2
ậ Nh n xét. ể ắ Đ n đây nhi u b n có th th c m c: d ng t ng quát: “ Làm th nào đ tìm đ Câu tr l
x
x
x
x
3)
2
2
5
7
2 +
+ 2
- +
+ = -
+ 2
- -
(
�
x
x n
x
x n
x
a x b .
+ x ( 2
3)
+ ( 2
- + 3)(
+ )
(
a x b .
).
13
- - ế ả ờ ư i nh sau: + - = - x 3 ( 2 )
2
(cid:0) 3 (cid:0) (cid:0) 1
2
0 ồ ấ ệ ố Đ ng nh t h s - 2 (cid:0) = n � =� a � � = - b 4 (cid:0) - - (cid:0) n a + = - b n - =� n b 7 3 � + = - n a 2 � - = 3 2 5
x (cid:0)
0.
ả ươ x + + x 5 2 1 i ph ng trình Bài toán 6 [3]. Gi 3 + = x
2
ng trình đã cho t 2 - ươ ng đ ( + � x x + + x x x x - + 2 x x ờ ả i L i gi ệ ề Đi u ki n ươ Ph + = 3 5 1 2 ươ ớ ng v i ) 2 + - = 2 x 1 2 + x x x ( + 2) 1.
2
2
+ + = > cượ x x x ; 2 1 v v ,( 0) Đ t ặ 2 (cid:0) - (cid:0) u xv = 2 - - (cid:0) � � u v x v u ( ) (cid:0) + + = - (cid:0) (cid:0) ta thu đ =(cid:0) u v u v x 0 (cid:0) v x
ượ
ừ
ệ
ả
Bài toán 6 đ
c trích t
tài li u tham kh o [3]
+ = u 2 + - = 2 x x 1 + - = 2 xu x 1 ợ ườ ng h p Xét các tr
x
2
2
� (cid:0)
= � � u v
x
x
+ + x
+ = 2
2
1
2
2
+
+ =
(cid:0) - (cid:0)
x
x
x
+ + x
4
4 2
1
(cid:0)
21
�
� � x
+ 21 3 ;
2
(cid:0) - (cid:0) -
2
2
x � x
2 - = x
3
3 0
� � . � �
� � 3 � � �
- (cid:0)
x
2
+ + =
+ + = -
�
� (cid:0)
� u v
x
x
x
x
0
2
1
2
2
2
2
1 + + =
+
+
x
x
x
x
2
1 4
8
4
(cid:0) - (cid:0) - (cid:0)
x
= -
�
�
x
3.
2
1 +
+ =
x
x
2
7
3 0
(cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0)
- 21 x + 21 3 ; ế ươ ệ ầ ậ ậ K t lu n: Ph ng trình ban đ u có t p nghi m 2 2 � �- ; 3 . � � � 3 � �� � �
+ 2
+ 2
ị ứ ậ ạ ấ ạ
) 2
(
�
+ + x
+ x n
x
x
x
+ x x x n (
+ a x b .
+ a x b .
= )
+ )
5
2
1
(
.
14
- ậ Nh n xét. ố ớ ứ Đ i v i bài toán này ,phía ngoài căn th c có d ng nh th c b c nh t nên t m ờ ử ụ : th i s d ng + = 2 x x 3
2
(cid:0) + = b 3 (cid:0) (cid:0)
2
� 1 1 ồ ấ ệ ố Đ ng nh t h s (cid:0) = n 2 � = - a � � = b 1 (cid:0) (cid:0) - = n a n =� b 1 � + = n a � 2 5
+ - � x x - + 2 x x ( 2) + - = 2 x 1 + x x x ( + 2) 1
7 - x 2 + x x + 5 = 3- 2x - x 2
ả ươ i ph Bài toán 7 [4]. Gi
) *(
ng trình
ờ ả L i gi i:
ươ Ph ng trình có d ng
A = B (cid:219)
(cid:236) Ø (cid:239) Œ (cid:237) º (cid:239) (cid:238) ạ A ‡ 0 B ‡ 0 A = B
ượ
ừ
ệ
ả
Bài toán 17đ
c trích t
tài li u tham kh o [4]
Khi đó ta có:
) *(
3- 2x - x 2 ‡ 0 7 - x 2 + x x + 5 = 3- 2x + x2
- 3 £ x £ 1 x + 5 = - x + 2 x
(cid:236) (cid:236) (cid:239) (cid:239) (cid:219) (cid:219) (cid:237) (cid:237) (cid:239) (cid:239) (cid:238) (cid:238)
‡ 0
x = - 1
- 3 £ x £ 1 - x + 2 2
(cid:236) (cid:236) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:219) (cid:219) (cid:219) (cid:237) (cid:237)
- 3 £ x £ 1 - 2 £ x < 0 x 3 + x2 - 16x - 16 = 0
x2(x + 5) = (x + 2)2
15
(cid:239) (cid:239) (cid:238) (cid:239) (cid:238)
= + x 2 1 ả ươ i ph ng trình Bài toán 8 [3]. Gi - - + x x 3 1)(4 (2 3) 6
L i gi ờ ả i
(cid:0) (cid:0) (cid:0) x (cid:0) (cid:0) 1 2 (cid:0) (cid:0) - (cid:0) ề ệ (cid:0) Đi u ki n (cid:0) x (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) x
3 4 1)(4 (2 ng trình đã cho t
+ - - -
(
2
2
ớ ng v i ) � x x + x 3) 36 ươ ươ ng đ + x + = x + 2 x x ươ Ph = 3 (2 1) (2 1)(4 3) 6 12 + x 9 (2 1) 8 2 3
2
2
+ + - + 2 + 2 - - � x x x + = x + x x + + x x x 4 8 4 4 5 (2 4 1) 4 2 4 6 4 5
2
+ 2 + - - - � x x + x + x + x x x 4 (2 1) (2 1)(2 + 2) 4 4 5
2
2
+ = x 4 + (cid:0) ta thu đ cượ x x 5 (2 - = 3 2 v v ,( 0) Đ t ặ 2 (cid:0) 2) + = 2 + 2 - (cid:0) u v 4 5 (2 4 1) = 2 - - (cid:0) � � u v + x v u (2 1)( ) (cid:0) + = x + 2 - (cid:0) (cid:0) =(cid:0) v u + + u v x 2 1 0 (cid:0) v 2 + x + x u 4 1)
2
+
�
�
= � � u v
x
x
x
2
+ = 2
8
2
3
2
2
2
1 +
+ =
+
x
x
x
x
x
8
4 8
2
3
1 - = x 6
7 0
x � � 4 �
x � � 4 �
37
4
� � � �
(cid:0)� � 3 � �� x � �
5 (2 ợ x Xét các tr x u ; 8 + = x + = x 4 ườ ng h p (cid:0) - (cid:0) - - - -
2
ượ
ừ
ệ
ả
Bài toán 8 đ
c trích t
tài li u tham kh o [3]
(cid:0) (cid:0) - (cid:0) = - 3 4 x (cid:0) + + + = + - (cid:0) � � � � u v x x x x 2 1 0 8 2 - = - 3 4 3 x 2 (cid:0) + + (cid:0) x x 8 22 = 12 0 = - (cid:0) x 3 4 2
(cid:0) 3 37 - x ; 2; ế ươ ệ ậ K t lu n. Ph ng trình đã cho có nghi m 4 � � . � � � 3 � -�� 4 � �
x - 1 = 2 2x - 1
ả ươ i ph Bài toán 9 [4]. Gi
) *(
2 3x + 1 - ng trình
f (x) -
g(x) = h(x) .
ờ ả i L i gi Bài này có d ng ạ
16
ệ ề Đi u ki n:
x ‡
x ‡ 1
3x + 1 ‡ 0 x - 1 ‡ 0 2x - 1 ‡ 0
- 1 3 x ‡ 1 x ‡ 1 2
(cid:236) (cid:239) (cid:236) (cid:239) (cid:239) (cid:219) (cid:219) (cid:237) (cid:237) (cid:239) (cid:239) (cid:238) (cid:239) (cid:238)
4(3x + 1) = x - 1+ 4(2x - 1) + 4 (x - 1)(2x - 1)
Khi đó : ) (cid:219) *(
4 2x 2 - 3x + 1 = 3x + 9 (cid:219)
x = 5(x = 5 ‡ 1)
2 3x + 1 = x - 1 + 2 2x - 1 (cid:219) x ‡ 1 23x2 - 102x - 65 = 0
(cid:236) (cid:219) (cid:219) (cid:237) (cid:238)
2
2
ậ ậ ủ ủ
(
x
x
x
x
4
+ = - x 1
9
4
) 1
+ 8
3
1
ả - - - i ph ng trình ệ V y nghi m c a pt là x=5 ệ V y nghi m c a pt là x=5. ươ Bài toán 10[4]. Gi .
L i gi ờ ả . i
ả ạ
x+ 3
2
- (cid:0) ệ
x
28 x 1 0. ươ ng trình đã cho t ) ) ( ( 1 1
= - x 5
x 5 .
2
4
+ 2
- - - - - - ề ươ + x ế ế Bài này n u chia c 2 v cho 4x1 thì có d ng: f (x) = g(x) Đi u ki n Ph ( 2 ươ ng đ ) ( + + x 4 1 ớ ng v i ) x 1
x
v
u
- = x 1
3
2
- ta thu đ ượ ệ ươ c h ph ng trình
x
v
5
4
2
= - 2
(
)
�
�
u
v
x
v u
4
) ( 1
2
= + = +
v u u v
x
1 4
+ = x 2 1 ( = - x ( = - x
v
; 8 ) 1 ) 1
4 ườ
u ợ
(cid:0) - - (cid:0) (cid:0) Đ t ặ u - - - (cid:0) (cid:0) - - (cid:0) (cid:0) (cid:0)
5 Xét hai tr
x ng h p x y ra
•u = v (cid:219)
- 2x + 1 = 8x 2 + 3x - 1 (cid:219)
- 2x + 1 ‡ 0 4x 2 - 4x + 1 = 8x 2 + 3x - 1
ả (cid:236) (cid:237) (cid:238)
x ˛
;- 2
.
x £ 1 2
1 4
4x 2 + 7x - 2 = 0
ượ
ừ
ệ
ả
Bài toán 9,10 đ
c trích t
tài li u tham kh o [4]
(cid:236) (cid:236) (cid:252) (cid:239) (cid:219) (cid:219) (cid:237) (cid:237) (cid:253) (cid:238) (cid:254) (cid:239) (cid:238)
x
2
+ = +
=
+
�
�
� (cid:0)
u v
x
x
x
x
1 4
6
8
3
1
0 2
2
=
+
x
x
x
36
8
3
1
(cid:0) (cid:0) - - (cid:0)
x
0 2
x
+ = x
28
1 0
3
17
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ệ ệ (H vô nghi m). - (cid:0)
=
= -
x
x
;
2.
1 4
2
2
+
ế ươ ệ ậ K t lu n ph ng trình đã cho có hai nghi m
x
x
x
x
+ x
4
19
+ = 6
2
4
3
- ả ươ i ph ng trình
+ (cid:0) x
4
2
+
+
-
)
(
)
x
x
x x
+ x
2
3
7
- = 3
2
3
+ x 7
3.
3 0. ươ
22 x ng trình đã cho t
2
- ươ ng đ
x
x
+ = 3
u ; 2
2
4 2
- Bài toán 11 [4]. Gi ờ ả i. L i gi ề ệ Đi u ki n ươ Ph Đ t ặ ớ ( ng v i ượ ệ ươ c h ph ta thu đ
+ = x 3 +
x
u
xv
7
2
= 2
)
�
�
u
v
( x v u
2
v + = -
+
u v
x
xu
v - = 3 - = 3
7
(cid:0) (cid:0) ng trình =(cid:0) u - - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
u x ng h p x y ra
+ (cid:0)
x
2
2
� (cid:0)
= � � v
u
x
x
+ x
2
+ = 3
2
4
3
2
2
3 0 +
x
x
x
+ x
4
12
+ = 9
2
4
3
ườ ả ợ Xét hai tr (cid:0) - - (cid:0)
x
�
�
x
= - + 4
13.
2
+
+ =
x
x
3 2 16
2
6 0
(cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
x
11
79
2
+ = -
�
�
�
= �
u v
x
x
x
x
2
+ = x 4
3
+ 3
3
.
2
1 +
7
x
x
0
22 ư
7 ệ
(cid:0) - (cid:0) - - - - (cid:0) (cid:0)
+ = 6 ng trình đã cho có hai nghi m nh trên.
ậ ươ V y ph
ể ả ằ ạ ươ ặ Các bài toán trên các b n có th gi i b ng ph ng pháp đ t ậ Nh n xét.
ẩ ư ụ ặ ả ơ ỏ ợ n ph không hoàn toàn ho c nhân liên h p, nh ng cũng không đ n gi n đòi h i
ậ ố ệ ề ả ả ế ượ ph i có nhi u kinh nghi m và kĩ năng th t t ớ t m i gi i quy t đ c.
ẽ ế ụ ứ ạ ế Sau đây chúng ta s ti p t c làm ph c t p hóa bài toán lên, khi n cho các
2
3
2
=
+
+
ươ ph
x
x
x
2
7
4
.
2
+ 10 + 3
2
2
x x 2 + =
x x 3 + 2
+
+
+
+
+
+
ươ ả ng trình i ph Bài toán 12 [5]. Gi ả ự ng pháp khác ph i c c kì khó khăn. + 9 +
x
x
x
x
x
x
x
+ x
3
(
2)
5
6 (2
3)
(2
3
3)(
2)
(5
6)
- ề ạ ế ổ Bi n đ i PT v d ng:
x
u
+ = 2
2
+
+
+
x
x
x
+ x
v
(2
3
3)(
2)
(5
= 6)
ượ
ừ
ệ
ả
ượ
ừ
ệ
ả
Bài toán 11 đ
c trích t
tài li u tham kh o [4], bài toán 12 đ
c trích t
tài li u tham kh o [5]
18
(cid:0) (cid:0) (cid:0) Đ t: ặ - (cid:0) (cid:0)
2
2
+
+ =
+
+
u
x
x
v
5
6 (2
3
3)
2
x 2
+
+ =
+
+
v
x
x
x
5
6 (2
3
u 3)
=
(cid:0) (cid:0) (cid:0) ượ ệ Ta thu đ c h : (cid:0) (cid:0)
u
v + +
+
+ =
u v
x
22 x
3
3 0
(cid:0) (cid:0) ả ệ ượ Gi i h ta đ c: (cid:0)
= -
ở ạ ế ặ ả ươ ế ề ệ ố Đ n đây tr l i phép đ t, gi i ph ng trình, đ i chi u đi u ki n ta tìm đ ượ c
x
x
1 = - + 1
3
2
+
x
9
3
2
=
+
+
+
(cid:0) (cid:0) nghi m: ệ (cid:0)
x
x
x
3
8
15
14
2
x
26 3
2
+
ả ươ i ph ng trình Bài toán 13[6]. Gi
x
x
+ + 2 x
+ x
x
+ x 29 + + x + + 2 x
x
(3
5)
+ - = x 1
3)
(
3)(3
5)
(1
)
(
- - ề ạ ế ổ Bi n đ i PT v d ng:
x
u
3
+ = 5
2
+
x
+ + x
x
v
(
3)(3
5)
(1
= x )
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) Đ t: ặ - - (cid:0) (cid:0)
u
v
(
3)
2
v
+ + 2 x x + + 2 x
x
+ - = x 1 + - = x 1
(
u 3)
=
(cid:0) (cid:0) (cid:0) ượ ệ Ta thu đ c h : (cid:0) (cid:0)
u
2
v + +
+ + =
u v
x
x
3 0
(cid:0) (cid:0) ả ệ ượ Gi i h ta đ c: (cid:0)
= -
ở ạ ế ặ ả ươ ế ề ệ ố Đ n đây tr l i phép đ t, gi i ph ng trình, đ i chi u đi u ki n
x
1
2
37
=
x
3
2
3
2
=
+
+
+
(cid:0) (cid:0) (cid:0) ượ ệ ta tìm đ c nghi m: (cid:0) (cid:0) (cid:0)
x
x
x
2
7
4
16
2
2
+
+
ả ươ i ph ng trình Bài toán 14 [7]. Gi
x
x
x
x
+ x
x
+ + x 4 - + x 1 - + 2 x
(
4)
7
1)
- + 2 x (2
+ 1)(
4)
(7
12)
x x 2 = 12 (2
- - ề ạ ế ổ Bi n đ i PT v d ng:
x
u
+ = 4
2
x
- + x
+ x
+ x
v
(2
1)(
+ 4)
(7
= 12)
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) Đ t: ặ (cid:0) (cid:0)
u
x
x
v
7
1)
2
v
x
- + 2 x - + 2 x
x
7
= 12 (2 = 12 (2
u 1)
=
(cid:0) - - (cid:0) (cid:0) ượ ệ Ta thu đ c h : - - (cid:0) (cid:0)
u
v + +
u v
- + = x
22 x
1 0
19
(cid:0) (cid:0) ả ệ ượ Gi i h ta đ c: (cid:0)
=
ở ạ ế ặ ả ươ ề ệ ế ố Đ n đây tr l i phép đ t, gi i ph ng trình, đ i chi u đi u ki n
x
0
3
17
=
x
2
2
+
x
3
2
=
+
+
(cid:0) (cid:0) - (cid:0) ượ ệ ta tìm đ c nghi m: (cid:0) (cid:0) (cid:0)
x
x
4
9
2
x
2
+
+
- =
ả ươ i ph ng trình Bài toán 15 [8]. Gi
x
x
x
+ + 2 x
+ x
x
+ x 10 3 + + x 1 + + 2 x
x
(
3)
4
6 (
1)
(
1)(
3)
(4
6)
- - ề ạ ế ổ Bi n đ i PT v d ng:
x
u
+ = 3
2
+
x
+ + x
x
x
v
(
1)(
3)
(4
= 1)
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) Đ t: ặ - - (cid:0) (cid:0)
+
- =
u
x
v
4
1 (
1)
2
+
- =
v
x
+ + 2 x x + + 2 x
x
4
1 (
u 1)
=
(cid:0) (cid:0) (cid:0) ượ ệ Ta thu đ c h : (cid:0) (cid:0)
u
2
v + +
+ + =
u v
x
x
1 0
(cid:0) (cid:0) ả ệ ượ Gi i h ta đ c: (cid:0)
=
ở ạ ế ặ ả ươ ệ ề ế ố Đ n đây tr l i phép đ t, gi i ph ng trình, đ i chi u đi u ki n
x
0 - + 3
33
=
x
2
(cid:0) (cid:0) ượ ệ ta tìm đ c nghi m: (cid:0) (cid:0) (cid:0)
ư ạ ự ệ 2.3.2. Th c nghi m s ph m
ư ạ ụ ủ ệ ự * M c đích c a th c nghi m s ph m:
ơ ộ ả ủ ụ ế ệ ệ ắ ạ ọ ữ S b đánh giá hi u qu c a ti n trình d y h c trong vi c kh c ph c nh ng
ế ủ ọ ạ h n ch c a h c sinh.
ố ượ ư ạ ự * Đ i t ệ ng th c nghi m s ph m:
ọ ố ườ ộ ỉ H c sinh kh i 10 tr ộ ng THPT Dân T c N i Trú t nh Thanh Hoá
ư ạ ị ự ệ ể ẩ ờ ị * Th i gian, đ a đi m và công tác chu n b th c nghi m s ph m
ư ạ ự ệ ệ ượ ự ệ ọ Vi c th c nghi m s ph m đ c th c hi n trong năm h c 20162017
ự ư ạ ượ ế ộ ỉ ệ Th c nghi m s ph m đ c ti n hành ở ườ tr ộ ng THPT Dân T c N i Trú t nh
Thanh Hoá
20
ả ế * K t qu :
ượ
ừ
ệ
ả
Bài toán 15 đ
c trích t
tài li u tham kh o [8]
ọ ượ ở ộ ứ ế ề ươ H c sinh đ c m r ng thêm ki n th c v ph ỉ ng trình vô t . Qua theo dõi
ạ ộ ứ ự ự ệ ạ ấ ọ ơ các tiét d y tôi th y h c sinh h ng thú, tích c c ho t đ ng th c nghi m h n.
ề ượ ệ ụ ể ủ ọ ể ệ ụ ể ể Đi u này đ c th hi n c th qua các bi u hi n c th c a h c sinh qua các
ế ọ ư ti t h c nh sau:
ụ ể ả ự ệ ệ ệ ẵ + S n sàng cho vi c th c hi n các nhi m v đ gi ề ế ấ i quy t v n đ .
ư ưở ả ả + Hăng hái tham ra, đ a các ý t ng, các gi i pháp gi ề ế ấ i quy t v n đ .
ể ự ớ ạ ệ ệ ợ ụ + H p tác v i b n bè đ th c hi n các nhi m v
ứ ử ỡ ạ ủ ữ ữ ệ ả ử + Có ý th c s a ch a nh ng quan ni m sai c a b n than, giúp đ b n bè s a
ữ ữ ệ ch a nh ng quan ni m sai.
ể ị ượ ề ệ ụ ệ ầ ắ ơ ậ Đ có nh n xét đ nh l ủ ọ ng h n v vi c kh c ph c quan ni m sai l m c a h c
ạ ề ớ ả ề ư ế sinh, tôi l ọ i đi u tra 179 h c sinh l p 10. K t qu đi u tra nh sau:
ố ổ ủ ệ ầ ố ố ố T ng s HS Quan ni m sai l m c a HS S HS có S không S HS
quan HS có quan không
ệ ệ ni m sai ni m sai bi tế
l mầ 23 l mầ 149 7 179
T b ng k t qu cho th y s h c sinh có quan ni m sai l m là 23/179.
ừ ả ố ọ ệ ế ả ầ ấ
ấ ố ọ ế ề ệ ả ả ướ K t qu này cho th y s h c sinh có quan ni m sai gi m nhi u ( tr c là
100/ 179).
ố ọ ế ướ S h c sinh không bi t là 7/179 ( tr c là 20/ 179).
ả ủ ệ ế 2.4. Hi u qu c a sáng ki n kinh nghi m ệ :
ươ ổ ứ ế ậ ọ ọ ộ ớ V i ph ng pháp trên tôi đã t ch c cho h c sinh ti p nh n bài h c m t cách
ủ ộ ự ấ ả ự ự ứ ề ch đ ng, tích c c, t ọ ậ t c các em đ u h ng thú h c t p th c s và hăng hái làm
ề ậ ươ ự ươ ự ạ ọ bài t p giao v nhà t ng t . Ph ng pháp d y h c trên đây d a vào các nguyên
21
t c:ắ
ả ả ọ (cid:0) Đ m b o tính khoa h c chính xác
ả (cid:0) Đ m b o tính lôgic ả
ư ạ ả ả (cid:0) Đ m b o tính s ph m
ệ ả ả (cid:0) Đ m b o tính hi u qu ả
ế ươ Khi trình bày tôi đã chú ý đ n ph ệ ng di n sau:
(cid:0) ứ ủ ọ ậ ớ ợ ộ Phù h p v i trình đ nh n th c c a h c sinh
(cid:0) ượ ự ư ọ ủ ọ Phát huy đ c năng l c t duy toán h c c a h c sinh
+
x
3
2
x
Ả Ậ 3. BÀI T P THAM KH O.
2
+ = x 4
2
+
+ =
+
ả ươ 1. Gi i ph ng trình:
x
x
24 x
7
1 2
2
ả ươ 2. Gi i ph ng trình:
2
= + x 1 ả ươ 3. Gi i ph ng trình: - - x 3 + x 1)(2 ( 3) 6
(
x
x
- + 2 x
x
= + 3
) 1
3
- + x
1
=
2
- ả ươ 4. Gi i ph ng trình:
x
22 x 6
5
2
2
ả ươ 5. Gi i ph ng trình: -
(
)
x
= x
x
x
x
9
5
2
3
+ 8
3
2
2
+
+
+
+
(
x
x
x
x
- - - ả ươ 6. Gi i ph ng trình:
8
x 11
+ = 1
) 1
4
6
5
2
+
=
+
ả ươ 7. Gi i ph ng trình:
x
x
x
2(2
)
2 2
7
9
5 x
2
=
+
- ả ươ 8. Gi i ph ng trình:
x
x
x
2(2
+ + 3
)
2
9
11
5 x
2
+ =
+
+
- ả ươ 9. Gi i ph ng trình:
x
x
x
9
5 2 2
3
9
10 x
2
+
=
- ả ươ 10.Gi i ph ng trình:
x
x
9
+ 18 9
1
13 x
2
+ 2
- ả ươ 11.Gi i ph ng trình:
(
)
x
- + x
+ x
x
x
4(
= 12)
3
2
10
48
22
- ả ươ 12.Gi i ph ng trình:
+
(
x
x
x
(
1)(
= + 2) 18
+ x 3
) 1
(
2)(3x 10)
2
=
+
- - - ả ươ 13.Gi i ph ng trình:
x
x
18
+ 18 9 4
1
13 x 2
- ả ươ 14.Gi i ph ng trình:
+ x
28 x
1
=
2
2 x
12
5
+
+
- ả ươ 15.Gi i ph ng trình: -
x
x
x
2
= 13 (2
4) 2(2
+ 1)(2x 3)
- ả ươ 16.Gi i ph ng trình:
2
+
+
=
+
= + x 5 1 ả ươ 17.Gi i ph ng trình: - - + x x 3 1)(10 (5 3) 6
(
)
x
x
x
(
1)
27
3
(
+ 2)(x 9)
+
=
- ả ươ 18.Gi i ph ng trình:
x
x
x
11
(
+ 1)(2x 7)
+
+
- ả ươ 19.Gi i ph ng trình:
x
x
x
= 13 (
4) 2(
+ 1)(x 3)
- ả ươ 20.Gi i ph ng trình:
Ậ Ế Ế Ị 4. K T LU N VÀ KI N NGH
ế ượ ế ươ ệ ả ớ ọ N u h c sinh đ c bi ộ t m t ph ng pháp m i có hi u qu thì các em s t ẽ ự
ơ ả ế ạ ạ ươ ự tin h n trong gi i quy t các bài toán d ng này và d ng t ng t ỗ . Tuy nhiên m i
ề ả ươ ả ể ơ bài toán có nhi u cách gi i , ph ng pháp gi i này có th dài h n các ph ươ ng
ư ạ ườ ố ế ễ ế ậ ơ pháp khác nh ng nó l i có đ ng l ậ i nh n bi t rõ ràng d ti p c n h n các
ươ ộ ạ ề ề ặ ạ ậ ph ng pháp khác. Ho c là ti n đ cho ta sáng t o m t d ng bài t p khác. T ừ
ạ ọ ư ộ ượ ề ả m t bài toán thi đ i h c tôi đã đào sâu suy nghĩ đ a ra đ c nhi u cách gi i và
ở ộ ề ệ ộ m r ng thành nhi u bài toán khác đ khó tăng lên rõ r t. Đó chính là cái hay, cái
ế ọ ườ ọ ẹ ủ đ p c a toán h c, khi n ng i ta say mê toán h c.
ề ệ ụ ự ổ ồ V phía giáo viên : Tích c c trau d i chuyên môn nghi p v , trao đ i kinh
ứ ệ ươ ỉ ở ườ ế nghi m, ki n th c, ph ng pháp không ch trong tr ụ ở ộ ng mà m r ng ra c m
ườ ề ổ ỉ ỉ tr ng trong t nh và các t nh xung quanh, càng trao đ i nhi u thì mình càng thu
23
ượ ề đ c nhi u.
ề ạ ườ ườ ộ ệ ưở V phía lãnh đ o nhà tr ng: Tăng c ng đ ng viên, khích l , khen th ố ng đ i
ự ữ ồ ố ự ế ẻ ớ v i nh ng đ ng chí GV tr , có năng l c chuyên môn t t tích c c vi ế t sáng ki n ,
ệ ầ ớ ổ ướ ể ưở trao đ i kinh nghi m v i các th y cô đi tr c đ nhanh chóng tr ng thành.
Ậ Ủ ƯỞ
ệ Ủ NG Thanh Hoá ngày 15 tháng 5 năm 2017 XÁC NH N C A TH TR ế Ơ Ị Đ N V Tôi xin cam đoan đây là sáng ki n t, không sao kinh nghi m c a mình vi
ộ ườ ủ ủ chép n i dung c a ng ế i khác.
Ng ườ ế i vi t SKKN
ị Bùi Th Bích
Ả Ệ TÀI LI U THAM KH O.
ạ ố [1]. Sách giáo khoa Đ i s 10
ề ể ạ ừ [2]. Đ thi tuy n sinh vào Đ i H c ọ các năm t ế 2001 đ n 2015 .
ề ươ ệ ươ ủ Nhà [3]. Chuyên đ ph ng trình, h ph ạ ỹ ng trình c a th c s Lê Văn Đoàn.
ấ ả ạ ọ ố ộ xu t b n Đ i H c Qu c Gia Hà N i
ủ ử ề ề ườ ố [4]. Đ thi th THPT Qu c gia năm 2015 c a nhi u tr ng THPT .
ệ ậ ấ ả ụ Nhà xu t b n Giáo d c ấ [5]. Tài li u t p hu n sách giáo khoa
ệ ả ấ ả ụ Nhà xu t b n giáo d c [6]. Các bài gi ng luy n thi môn toán
ươ ụ ứ ấ ố (TG: Phan Đ c Chính Vũ D ng Th y Đào Tam Lê Th ng Nh t)
ạ ố Phan Huy Kh iả [7]. Toán nâng cao đ i s 10
24
ấ ả ọ ụ ổ ẻ Nhà xu t b n giáo d c [8]. Báo Toán h c tu i tr
25
