Giải tích C1

Chia sẻ: Huỳnh Tiến | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:122

Thêm vào BST

Báo xấu

486
lượt xem 120
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu giảng dạy tại trường Đại học khoa học tự nhiên. Phép toán cơ bản của giải tích là "phép lấy giới hạn". Để nghiên cứu giới hạn của một dãy số, hàm số,... ta phải "đo" được "độ xa gần" giữa các đối tượng cần xét giới hạn đó. Do vậy, những khái niệm như là mêtric, tôpô được tạo ra để mô tả một cách chính xác, đầy đủ việc đo độ xa, gần ấy.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giải tích C1

Giải tích C1
Gi i Tích C1 Nguy n Th Thu Vân Đ i h c Khoa H c T Nhiên 2009 - 2010 TVNguyen (Đ i h c Khoa H c T Nhiên) Gi i Tích C1 2009 - 2010 1 / 122
Cách Tính Đi m Môn H c Ki m tra gi a h c kỳ : 30% (xem thông báo) Ki m tra cu i kỳ : 70% M t S Ph n M m H Tr Tính Toán Maxima - Mathematica - Maple - Matlab TVNguyen (Đ i h c Khoa H c T Nhiên) Gi i Tích C1 2009 - 2010 2 / 122
Tài Li u Tham Kh o 1 Dương Minh Đ c: Giáo Trình Toán Gi i Tích 1, NXB Th ng Kê (2004) 2 Nguy n Qu c Hưng: Toán Cao C p C1 và M t S ng D ng Trong Kinh Doanh, NXB ĐHQG Tp.HCM (2009) 3 Phan Qu c Khánh: Phép Tính Vi Tích Phân (t p 1), NXB Giáo D c (1998) 4 Nguy n Thành Long và Nguy n Công Tâm: Toán Cao C p C1, Khoa Kinh T ĐHQG TpHCM (2004) 5 Stewart J.: Calculus - Concepts and Contexts, Brooks-Cole (2002) TVNguyen (Đ i h c Khoa H c T Nhiên) Gi i Tích C1 2009 - 2010 3 / 122
Chương 0. S Ph c 1. D ng đ i s c a s ph c Đ nh nghĩa: D ng đ i s c a s ph c : z = a + ib a g i là ph n th c c a s ph c z, ký hi u là Re (z ) b g i là ph n o c a s ph c z, ký hi u là Im (z ) T p h p s ph c ta ký hi u là C hay còn g i là m t ph ng ph c p Modul c a s ph c: jz j = a2 + b2 : kho ng cách t z t i O z =a ib : s ph c liên h p c a z TVNguyen (Đ i h c Khoa H c T Nhiên) Gi i Tích C1 2009 - 2010 4 / 122
Các phép toán: Cho 2 s ph c z1 = a1 + ib1 ; z2 = a2 + ib2 . Khi đó: 1 z1 = z2 , a1 = a2; b1 = b2 2 z1 + z2 = (a1 + a2 ) + i (b1 + b2 ) 3 z1 .z2 = (a1 + ib1 )(a2 + ib2 ) TVNguyen (Đ i h c Khoa H c T Nhiên) Gi i Tích C1 2009 - 2010 5 / 122
Chương 0. S Ph c 2. D ng lư ng giác Đ nh nghĩa: Cho s ph c z = a + ib, z 6= 0. G i r là kho ng cách t z t i g c O và ϕ là góc gi a hư ng dương c a tr c th c v i bán kính vector c a đi m z. Khi đó, d ng lư ng giác c a s ph c z đư c vi t như sau: z = a + ib = r (cos ϕ + i sin ϕ) Khi z = 0 ta l y r = 0, còn ϕ không xác đ nh Công th c chuy n t d ng đ i s sang lư ng giác như sau: p b r = a2 + b2 ; tg ϕ = a c n ch n ϕ sao cho b và sinϕ cùng d u TVNguyen (Đ i h c Khoa H c T Nhiên) Gi i Tích C1 2009 - 2010 6 / 122
Cho 2 s ph c z1 = r1 (cos ϕ1 + i sin ϕ1 ); z2 = r2 (cos ϕ2 + i sin ϕ2 ). Khi đó: 1 S b ng nhau: z1 = z2 , r1 = r2; ϕ1 = ϕ2 + k2π, k 2 Z 2 Phép nhân/chia 2 s ph c: z1 r1 = (cos( ϕ1 ϕ2 ) + i sin( ϕ1 ϕ2 )) z2 r2 z1 z2 = r1 r2 (cos( ϕ1 + ϕ2 ) + i sin( ϕ1 + ϕ2 )) 3 Công th c Moivre: (cos ϕ + i sin ϕ)n = cos nϕ + i sin nϕ 8n 2 Z 4 Công th c Euler (thư ng đư c g i là d ng mũ c a s ph c) re i ϕ = r (cos ϕ + i sin ϕ) TVNguyen (Đ i h c Khoa H c T Nhiên) Gi i Tích C1 2009 - 2010 7 / 122
Chương 0. S Ph c 3. D ng lũy th a, khai căn Bài toán: Cho α 2 C . Tìm z 2 C th a phương trình z n = α? Gi s α = r (cos ϕ + i sin ϕ). Đ t: z = ρ(cos θ + i sin θ ), ta có: zn = ρn (cos nθ + i sin nθ ) = r (cos ϕ + i sin ϕ) p ϕ + k2π , ρ = n r; θ = ,k 2 Z n V y các nghi m c a phương trình z n = α là: p n ϕ + k2π ϕ + k2π zk = r cos + i sin ,k 2 Z n n Chú ý: th c s k ch c n cho các giá tr k = 0, 1, 2, ..., n 1 là ta có đ m i nghi m c a phương trình TVNguyen (Đ i h c Khoa H c T Nhiên) Gi i Tích C1 2009 - 2010 8 / 122
Thí d : 1 Tìm các căn b c n c a đơn v ? p 2 Bi u di n d ng lư ng giác và d ng mũ c a s ph c z = 2 + 2 3i p 3 Tìm các căn b c 3 c a s ph c z = 2 + 2 3i p 20 1+i 3 4 S d ng công th c Moivre tính bi u th c 1 i TVNguyen (Đ i h c Khoa H c T Nhiên) Gi i Tích C1 2009 - 2010 9 / 122
Chương 0. S Ph c 4. Đa Th c Đ nh lý 1: Phương trình b c n an x n + an 1x n 1 + + a1 x + a0 = 0 ( an 6 = 0 ) có đúng n nghi m k c nghi m th c, ph c và b i c a nó Đ nh lý 2: Cho phương trình b c n v i h s th c: f ( x ) = an x n + an 1x n 1 + + a1 x + a0 = 0 (ai 2 R; i = 1, , n; an 6= 0) N u x = α là nghi m c a phương trình thì x = α cũng là nghi m c a nó Thí d : Phương trình b c 5: (x 1)3 (x 2 + 1) = 0 có đúng 5 nghi m TVNguyen (Đ i h c Khoa H c T Nhiên) Gi i Tích C1 2009 - 2010 10 / 122
Chương 1. S Th c 1.1. T p h p - T p h p các s nguyên - T p h p các s h u t - S th c T p h p các s nguyên dương: N = f1, 2, 3, g T p h p các s nguyên Z = f , 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, g m T p h p các s h u t Q= n jm 2 Z và n 2 N T p h p các s th c R T p h p các s ph c C TVNguyen (Đ i h c Khoa H c T Nhiên) Gi i Tích C1 2009 - 2010 11 / 122
Các phép toán đ i v i t p h p: 1 H p: A [ B = x : x 2 A ho c x 2 B 2 Giao: A \ B = x : x 2 A và x 2 B 3 Hi u: AnB = x : x 2 A và x 2 B / 4 Bù: Ac = X nA TVNguyen (Đ i h c Khoa H c T Nhiên) Gi i Tích C1 2009 - 2010 12 / 122
Chương 1. S Th c 1.2. Ánh x Đ nh nghĩa: Cho X và Y là hai t p h p khác tr ng và D là m t t p con khác tr ng c a X . Gi s v i m i x trong D ta đ nh nghĩa đư c m t ph n t f (x ) trong Y , ta nói ta xác đ nh đư c m t ánh x f :D!Y và ta nói r ng hàm s f xác đ nh trên D và nh n giá tr trong Y . Khi đó D đư c g i là mi n xác đ nh và f (D ) = fy = f (x )jx 2 D g đư c g i là t p nh c a f Đ th hàm s : G (f ) = f(x, y ) jf (x ) = y 8x 2 D g TVNguyen (Đ i h c Khoa H c T Nhiên) Gi i Tích C1 2009 - 2010 13 / 122
Các hàm s sơ c p cơ b n: Hàm lũy th a x α v i α là s th c: mi n xác đ nh ph thu c vào α Hàm mũ f (x ) = ax (a > 0 và a 6= 1) : a đư c g i là cơ s . f (x ) xác đ nh t i m i x, luôn luôn dương và tăng n u a > 1; gi m n u 0 1 và gi m n u 0 < a < 1. Đ th c a hàm y = loga x đ i x ng c a đ th c a hàm y = ax qua đư ng phân giác th nh t π Các hàm lư ng giác cos x, sin x, tgx (x 6= 2 + kπ, k 2 Z ), cot gx (x 6= kπ, k 2 Z ) TVNguyen (Đ i h c Khoa H c T Nhiên) Gi i Tích C1 2009 - 2010 14 / 122
Các hàm lư ng giác ngư c: x = arcsin y π π y = sin x, x () x = arcsin y 2 2 x = arccos y y = cos x, 0 x π () x = arccos y Ta có đ ng th c: π arcsin x + arccos x = 2 x = arctgy π π y = tgx, < x < () x = arctgy 2 2 x = arccot gy y = cot gx, 0 < x < π () x = arccot gy TVNguyen (Đ i h c Khoa H c T Nhiên) Gi i Tích C1 2009 - 2010 15 / 122
Đ nh nghĩa: Cho X và Y là hai t p h p khác tr ng, f là m t ánh x t X vào Y. Ta nói: f là m t đơn ánh n u và ch n u f (a) 6= f (b ) khi a 6= b f là toàn ánh n u và ch n u f (X ) = Y f là song ánh n u và ch n u f đơn ánh và toàn ánh Nh n xét: N u phương trình f (x ) = y có nhi u nh t là m t nghi m thì f là m t đơn ánh ít nh t m t nghi m thì f là toàn ánh có duy nh t m t nghi m thì f là song ánh Exs: Stewart J. : Chapter 1, page 66, 3-14 - page 68, 63-68 TVNguyen (Đ i h c Khoa H c T Nhiên) Gi i Tích C1 2009 - 2010 16 / 122
Chương 1. S Th c 3. Dãy s Cho hàm s x : N ! R. Các giá tr c a x t i n = 1, 2, ...l p thành m t dãy s (g i t t là dãy) x (1), x (2), x (3), ... N u đ t xn = x (n ), ta có th vi t dãy s đó như sau x1 , x2 , ..., xn , ... hay fxn g Các s x1 , x2 , ..., xn , ...đư c g i là các s h ng c a dãy, xn đư c g i là các s h ng t ng quát c a dãy, còn n đư c g i là ch s c a nó 1 Ví d : Cho xn = n , xn = ( 1)n , thì các dãy tương ng s là 1 1 1 1, , , ..., , ... 2 3 n 1, 1, 1, ..., ( 1)n , ... TVNguyen (Đ i h c Khoa H c T Nhiên) Gi i Tích C1 2009 - 2010 17 / 122
Đ nh nghĩa: Cho dãy s fxn g.Ta nói fxn g h i t n u, t n t i m t s th c a sao cho, v i m i ε > 0 cho trư c, t n t i s t nhiên N sao cho 8n N =) jxn aj < ε Ta g i a là gi i h n c a dãy fxn g và ký hi u nó là a = lim xn hay xn ! a khi n ! ∞ n!∞ Dùng các ký hi u logic ta có th di n đ t đ nh nghĩa trên như sau: lim xn = a , 8ε > 0, 9N 2 N : 8n 2 N, n N =) jxn aj < n!∞ TVNguyen (Đ i h c Khoa H c T Nhiên) Gi i Tích C1 2009 - 2010 18 / 122
Chú ý: 1 N t n t i trên nói chung ph thu c vào ε, do đó ta có th vi t N = N (ε). Hơn n a N không c n thi t ph i là s t nhiên 2 N u dãy fxn g h i t thì s th c a trong đ nh nghĩa trên là duy nh t 3 Dãy không h i t đư c g i là phân kỳ 1 Ví d : Cho fxn g, v i xn = n . Ta có lim xn = 0.Th t v y n!∞ 1 1 jxn 0j = 0 = n n 1 1 jxn 0j < ε () < ε () n > n ε Rõ ràng, n u ch n N (ε) = [1/ε] + 1, ta có 8n N (ε) =) jxn 0j < ε TVNguyen (Đ i h c Khoa H c T Nhiên) Gi i Tích C1 2009 - 2010 19 / 122