Giáo án Hình học 12: Chuyên đề 7 bài 3 - Phương trình đường thẳng

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:45

Thêm vào BST

Báo xấu

16
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Giáo án "Hình học 12: Chuyên đề 7 bài 3 - Phương trình đường thẳng" được biên soạn nhằm giúp các em học sinh nắm vững khái niệm vectơ chỉ phương của đường thẳng, góc giữa hai đường thẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Trình bày và vận dụng được các công thức tính khoảng cách, góc. Biết cách xét vị trí tương đối của hai đường thẳng, vị trí tương đối của đường thẳng với mặt phẳng và vị trí tương đối của đường thẳng với mặt cầu. Mời quý thầy cô và các em cùng tham khảo giáo án tại đây.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo án Hình học 12: Chuyên đề 7 bài 3 - Phương trình đường thẳng

CHUYÊN ĐỀ 7. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Oxyz BÀI 3. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Mục tiêu  Kiến thức + Nắm vững khái niệm vectơ chỉ phương của đường thẳng, góc giữa hai đường thẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. + Trình bày và vận dụng được các công thức tính khoảng cách, góc. + Trình bày được cách viết phương trình tham số của đường thẳng. + Trình bày được các vị trí tương đối của hai đường thẳng, của đường thẳng và mặt phẳng và của đường thẳng với mặt cầu. Vận dụng được các công thức để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng; của đường thẳng với mặt phẳng và của đường thẳng với mặt cầu.  Kĩ năng + Biết cách viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng. + Biết cách tính khoảng cách, tính góc. + Biết cách xét vị trí tương đối của hai đường thẳng, vị trí tương đối của đường thẳng với mặt phẳng và vị trí tương đối của đường thẳng với mặt cầu. TOANMATH.com Trang 1
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM 1. Phương trình đường thẳng Vectơ chỉ phương của đường thẳng Chú ý:    Cho đường thẳng . Vectơ u  0 gọi là vectơ chỉ phương của + Nếu u là vectơ chỉ phương của   đường thẳng  nếu giá của nó song song hoặc trùng với . thì k .u  k  0  cũng là vectơ chỉ Cho đường thẳng  đi qua M  x0 ; y0 ; z0  và có vectơ chỉ phương của .  phương là u   a; b; c  . + Nếu đường thẳng  đi qua hai điểm  A, B thì AB là một vectơ chỉ phương. Phương trình tham số của đường thẳng Cho đường thẳng  có phương trình Phương trình tham số của đường thẳng  có dạng (1) thì   x  x0  at + u   a; b; c  là một vectơ chỉ   y  y0  bt , t   (1)  z  z  ct phương của .  0 + Với điểm M  thì M  x0  at; y0  bt ; z0  ct  trong đó t là một giá trị cụ thể tương ứng với từng điểm M. Phương trình chính tắc Nếu a, b, c  0 thì phương trình chính tắc của đường thẳng  có dạng x  x0 y  y0 z  z0    2 a b c 2. Khoảng cách Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng  Cho đường thẳng  đi qua M 0 , có vectơ chỉ phương u và điểm M   . Khi đó để tính khoảng cách từ M đến  ta có các cách sau:    MM 0 , u    Cách 1: Sử dụng công thức: d  M , d    . u Cách 2: + Lập phương trình mặt phẳng  P  đi qua M vuông góc với . + Tìm giao điểm H của  P  với . + Khi đó độ dài MH là khoảng cách cần tìm. Cách 3: + Gọi N  d , suy ra tọa độ N theo tham số t . TOANMATH.com Trang 2
+ Tính MN 2 theo t . + Tìm giá trị nhỏ nhất của tam thức bậc hai. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau  Cho hai đường thẳng chéo nhau  đi qua M 0 có vectơ chỉ phương u và  đi qua M 0 có vectơ chỉ  phương u . Khi đó khoảng cách giữa hai đường thẳng  và  được tính theo các cách sau:    u , u  .M 0 M 0   Cách 1: Sử dụng công thức: d  ,      . u , u     Cách 2: Tìm đoạn vuông góc chung MN . Khi đó độ dài MN là khoảng cách cần tìm. Cách 3: Lập phương trình mặt phẳng  P  chứa qua  và song song với  . Khi đó khoảng cách cần tìm là khoảng cách từ một điểm bất kì trên  đến  P  . 3. Vị trí tương đối Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng Trong không gian Oxyz, hai đường thẳng x  x0 y  y0 z  z0 d1 :   đi qua M 1  x0 ; y0 ; z0  có a b c  vectơ chỉ phương u1   a; b; c  , và x  x0 y  y0 z  z0 d2 :   đi qua M 2  x0 ; y0 ; z0  có a b c  vectơ chỉ phương u2   a; b; c  . Để xét vị trí tương đối của d1 và d 2 , ta sử dụng phương pháp sau: Phương pháp hình học    a1 a2 a3 Ta có thể dùng phương pháp đại số để xét vị u1 / / u2    + d1 trùng d 2     b1 b2 b3 trí tương đối: Dựa vào số nghiệm của hệ  M 1  d 2  M1  d 2 phương trình các đường thẳng.     u1 , u2   0 Chú ý trường hợp vô nghiệm     + d1 / / d 2      hoặc + Nếu u1 ; u2 cùng phương thì d1 //d 2 .  u1 , M 1M 2   0   + Nếu u1 ; u2 không cùng phương thì d1 ; d 2    a1 a2 a3 u1 || u2    chéo nhau.    b1 b2 b3  M 1  d 2  M1  d2     u1 , u2   0   + d1 cắt d 2       u1 , u2  .M 1M 2  0 TOANMATH.com Trang 3
   + d1 chéo d 2  u1 , u2  .M 1M 2  0 Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng Phương pháp đại số   : Ax  By  Cz  D  0 có vectơ pháp tuyến Xét hệ phương trình  x  x0  at  x  x0  at 1    n   A; B; C  và đường thẳng d :  y  y0  bt đi qua  y  y0  bt  2  z  z  ct   0  z  z0  ct  3   Ax  By  Cz  D  0   4 M  x0 ; y0 ; z0  có vectơ chỉ phương ud   a; b; c  . Để xét vị trí tương đối của d và   ta sử dụng phương Thay (1), (2), (3) vào (4), ta được pháp sau: A  x0  at   B  y0  bt   C  z0  ct   D  0 * Phương pháp hình học   u  n +) Nếu phương trình (*) vô nghiệm t thì  Nếu  d thì d    .  M  x0 ; y0 ; z0     d //   .   +) Nếu phương trình (*) có nghiệm t duy ud  n  Nếu  thì d //   .  M  x0 ; y0 ; z0     nhất thì d cắt   .      Nếu ud và n cùng phương  ud  k .n với k  0 +) Nếu phương trình (*) có vô số nghiệm t thì d    . thì d    .     Chú ý: Để tìm điểm chung của đường thẳng  Nếu ud .n  0 ; ud và n không cùng phương thì d d và mặt phẳng   ta giải phương trình (*), cắt   . sau đó thay giá trị t vào phương trình tham số của d để tìm  x; y; z  Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt cầu Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng và mặt cầu  x  x0  at  có phương trình lần lượt là: d :  y  y0  bt , t   và  z  z  ct  0  S  :  x  a    y  b   z  c  2 2 2  R2 . Để xét vị trí tương đối của d và   ta sử dụng phương pháp sau: Phương pháp hình học Phương pháp đại số Bước 1: Tìm khoảng cách từ tâm I của  S  đến d . thay x, y, z từ phương trình tham số của d vào Bước 2: phương trình  S  , khi đó ta được phương trình TOANMATH.com Trang 4
+ Nếu d  I , d   R thì d không cắt  S  . bậc hai theo t . Biện luận số giao điểm của + Nếu d  I , d   R thì d tiếp xúc  S  . d  và  S  theo số nghiệm của phương trình bậc hai theo t . + Nếu d  I , d   R thì d cắt  S  . Chú ý: Để tìm điểm chung của đường thẳng và mặt cầu ta giải phương trình bậc hai theo t , sau đó thay giá trị của t vào phương trình tham số của d để tìm  x; y; z  . 4. Góc Chú ý: Góc giữa hai đường thẳng là góc nhọn. Góc giữa hai đường thẳng Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d1 , d 2   lần lượt có các vectơ pháp tuyến là u1 , u2 .  Góc giữa d1 và d 2 bằng hoặc bù với góc giữa u1 và  u2 .     u1.u2   Ta có: cos  d1 , d 2   cos u1 , u2    . u1 . u2 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng Chú ý: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d có vectơ góc nhọn.  chỉ phương ud và mặt phẳng   có vectơ pháp tuyến  n . Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng   bằng góc giữa đường thẳng d với hình chiếu d  của nó trên   .     ud .n   Ta có: sin  d ,     cos ud , n    . ud . n TOANMATH.com Trang 5
SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA Đi qua M 0  x0 ; y0 ; z0  và có  vectơ chỉ phương là u  a; b; c    u   Tham số: Chính tắc: Phương trình  x  x0  at Nếu a, b, c  0 thì  x  x0 y  y0 z  z0 đường thẳng  y  y0  bt , t      z  z  ct a b c  0 ĐƯỜNG THẲNG Khoảng cách từ điểm Hai đường thẳng d1 , d 2 M đến đường thẳng        u1 / / u2 u1 / / u2  MM 0 , u  d1  d 2   ; d1 / / d 2   ;    M 1  d 2  M 1  d 2 d M ,    u      Khoảng d1 cắt d 2  u1 , u2   0; u1 , u2  .M 1M 2  0 Khoảng cách 2 đường cách    thẳng chéo nhau ,  d1 chéo d 2  u1 , u2  .M 1M 2  0    u , u   .M 0 M 0   Đường thẳng d và mặt phẳng   d   ,      Vị trí u , u       tương d     ud  n ; M  x0 ; y0 ; z0     đối   d //    ud  n ; M  x0 ; y0 ; z0     Giữa hai đường thẳng     d và d  d cắt    ud .n  0 , ud , n    cos  d1 , d 2   cos u1 , u2  không cùng phương Góc Đường thẳng d và mặt cầu S  I , R  Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng   d không cắt  S   d  I , d   R   d tiếp xúc  S   d  I , d   R  sin  d ,     cos ud , n  d cắt  S   d  I , d   R TOANMATH.com Trang 6
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến và viết phương trình mặt phẳng Bài toán 1: Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, vectơ nào là một vectơ chỉ phương của đường thẳng có x 1 3y 3  z phương trình   ? 3 2 1   3      2  A. a   3; ;1 . B. a   9; 2; 3 . C. a   3; 2;1 . D. a   3; ;1 .  2   3  Hướng dẫn giải x 1 3y 3  z x 1 y z  3 Ta có      . 3 2 1 9 2 3  Vậy một vectơ chỉ phương của đường thẳng là a   9; 2; 3 . Chọn B. Ví dụ 2. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng  vuông góc với mặt phẳng   có phương trình x  2 z  3  0 . Một vectơ chỉ phương của  là:     A. a 1; 0; 2  . B. b  2; 1;0  . C. v 1; 2;3 . D. u  2;0; 1 . Hướng dẫn giải Vì  vuông góc với mặt phẳng   nên vectơ chỉ phương của  là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng   . Chọn A.        Ví dụ 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho OA  2i  3 j  5k ; OB  2 j  4k . Tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB .     A. u  2;5; 1 . B. u  2;3; 5  . C. u  2; 5; 1 . D. u  2;5; 9  . Hướng dẫn giải     Ta có OA  2i  3 j  5k  A  2;3; 5  ;    OB  2 j  4 k  B  0; 2; 4  .  Suy ra AB   2; 5;1 .  Suy ra đường thẳng AB có một vectơ chỉ phương là u  2;5; 1 . Chọn A. Bài toán 2: Viết phương trình đường thẳng khi tìm được một vectơ chỉ phương và điểm thuộc đường thẳng Phương pháp giải TOANMATH.com Trang 7
  Đường thẳng d đi qua điểm M 0  x0 ; y0 ; z0  và có vectơ chỉ phương a   a1 ; a2 ; a3  có phương trình  x  x0  a1t  tham số là  y  y0  a2t  t    . z  z  a t  0 3   Đường thẳng d đi qua hai điểm A, B: Một vectơ chỉ phương của d là AB .  Đường thẳng d đi qua điểm M 0  x0 ; y0 ; z0  và song song với đường thẳng  cho trước: Vì d // nên vectơ chỉ phương của  cũng là vectơ chỉ phương của d .  Đường thẳng d đi qua điểm M 0  x0 ; y0 ; z0  và vuông góc với mặt phẳng  P  cho trước: Vì d   P  nên vectơ pháp tuyến của  P  cũng là vectơ chỉ phương của d . Đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng  P  ,  Q  . Cách 1: Tìm một điểm và một vectơ chỉ phương  Tìm toạ độ một điểm A  d bằng cách giải hệ phương trình mặt phẳng của  P  ,  Q  với việc chọn giá trị cho một ẩn.     Tìm một vectơ chỉ phương của d : a   nP , nQ  . Cách 2: Tìm hai điểm A, B thuộc d rồi viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm đó.  Đường thẳng d đi qua điểm M 0  x0 ; y0 ; z0  và vuông góc với hai đường thẳng d1 , d 2 : Vì d  d1 , d  d 2    nên một vectơ chỉ phương của d là: u  ud1 , ud2  . Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Trong không gian Oxyz, phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm M  2; 1;3 và có  vectơ chỉ phương u 1; 2; 4  là x 1 y  2 z  4 x 1 y  2 z  4 A.   . B.   . 2 1 3 2 1 3 x  2 y 1 z  3 x  2 y 1 z  3 C.   . D.   . 1 2 4 1 2 4 Hướng dẫn giải  Phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm M  2; 1;3 và có vectơ chỉ phương u 1; 2; 4  là x  2 y 1 z  3   . 1 2 4 Chọn D. Ví dụ 2. Trong không gian Oxyz, cho điểm A 1; 2;3 và mặt phẳng  P có phương trình 3x  4 y  7 z  2  0 . Đường thẳng đi qua A và vuông góc với mặt phẳng  P  có phương trình là TOANMATH.com Trang 8
x  3  t  x  1  3t   A.  y  4  2t  t    . B.  y  2  4t  t    .  z  7  3t  z  3  7t    x  1  3t  x  1  4t   C.  y  2  4t  t    . D.  y  2  3t  t    .  z  3  7t  z  3  7t   Hướng dẫn giải  Gọi u là vectơ chỉ phương của đường thẳng    thỏa mãn yêu cầu bài toán.  Ta có vectơ pháp tuyến của mặt phẳng  P  : nP   3; 4;7  .    x  1  3t    P  u  nP   3; 4; 7   Vì   nên phương trình tham số của  là  y  2  4t  t    .  A    A 1; 2;3      z  3  7t  Chọn B. Ví dụ 3. Cho điểm A 1; 2;3 và hai mặt phẳng  P  : 2 x  2 y  z  1  0,  Q  : 2 x  y  2 z  1  0 . Phương trình đường thẳng d đi qua A song song với cả  P  và  Q  là x 1 y  2 z  3 x 1 y  2 z  3 A.   . B.   . 1 1 4 1 2 6 x 1 y  2 z  3 x 1 y  2 z  3 C.   . D.   . 1 6 2 5 2 6 Hướng dẫn giải  Mặt phẳng  P  có một vectơ pháp tuyến là n P    2; 2;1 .  Mặt phẳng  Q  có một vectơ pháp tuyến là nQ    2; 1; 2   Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là ud . Do đường thẳng d song song với  P  và  Q  nên   ud  n P          ud   n P  , nQ     5; 2; 6  . ud  n Q   Suy ra đường thẳng d đi qua A 1; 2;3 và có vectơ chỉ phương ud   5; 2; 6  . x 1 y  2 z  3 Phương trình chính tắc của d là   . 5 2 6 Chọn D. Ví dụ 4. Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC với A 1; 4; 1 , B  2; 4;3 , C  2; 2; 1 . Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A và song song với BC là TOANMATH.com Trang 9
x  1 x  1 x  1 x  1     A.  y  4  t B.  y  4  t C.  y  4  t D.  y  4  t  z  1  2t  z  1  2t  z  1  2t  z  1  2t     Hướng dẫn giải Gọi  là đường thẳng đi qua điểm A và song song với BC .  Ta có: BC   0; 2; 4  .  Do  song song với BC nên một vectơ chỉ phương của  là u   0;1; 2  . x  1  Vậy phương trình tham số của đường thẳng  là  y  4  t .  z  1  2t  Chọn A. Ví dụ 5. Đường thẳng  là giao tuyến của hai mặt phẳng x  z  5  0 và x  2 y  z  3  0 thì  có phương trình là x  2 y 1 z x  2 y 1 z A.   . B.   . 1 3 1 1 2 1 x  2 y 1 z  3 x  2 y 1 z  3 C.   . D.   . 1 1 1 1 2 1 Hướng dẫn giải  Mặt phẳng  P  có vectơ pháp tuyến là n1  1; 0;1 .  Mặt phẳng  Q  có vectơ pháp tuyến là n2  1; 2; 1 .   Ta có  n1 , n2    2; 2; 2  .      Gọi u là một vectơ chỉ phương của  thì u  n1 và u  n2 .     Suy ra u cùng phương với  n1 , n2  . Chọn u  1;1; 1 Lấy M  2;1;3 thuộc mặt phẳng  P  và  Q  .  Đường thẳng  đi qua M  2;1;3 có một vectơ chỉ phương u  1;1; 1 . x  2 y 1 z  3 Vậy phương trình  là:   . 1 1 1 Chọn C. Ví dụ 6. Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có A  2;1; 1 , B  2;3;1 và C  0; 1;3 . Gọi d là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng  ABC  . Phương trình đường thẳng d là x 1 y 1 z  2 x 1 y z A.   . B.   . 1 1 1 1 1 1 TOANMATH.com Trang 10
x y2 z x 1 y z C.   . D.   . 2 1 1 1 1 1 Hướng dẫn giải  Ta có AB   4; 2; 2   AB  16  4  4  2 6 .  AC   2; 2; 4   AC  4  4  16  2 6 .  BC   2; 4; 2   BC  4  16  4  2 6 . Vậy tam giác ABC đều nên tâm đường tròn ngoại tiếp là trọng tâm G  0;1;1 .   Ta có  AB, AC   12;12;12   12 1;1;1 .   Đường thẳng d đi qua G  0;1;1 và có vectơ chỉ phương cùng phương với  AB, AC  , do đó chọn  u  1;1;1 . x  t  Phương trình đường thẳng d là  y  1  t . z  1 t  Với t  1 , ta có điểm A  1; 0; 0   d .  Vậy đường thẳng d đi qua A  1;0; 0  và có vectơ chỉ phương u  1;1;1 . Chọn B. Ví dụ 7. Trong không gian Oxyz, cho hai M 1; 2;3 , N  3; 4;5 và mặt phẳng  P  : x  2 y  3 z  14  0 . Gọi  là đường thẳng thay đổi nằm trong mặt phẳng  P  , các điểm H , K lần lượt là hình chiếu vuông góc của M , N trên . Biết rằng khi MH  NK thì trung điểm của HK luôn thuộc một đường thẳng d cố định, phương trình của đường thẳng d là x  t x  t x  t x  1     A.  y  13  2t . B.  y  13  2t . C.  y  13  2t . D.  y  13  2t .  z  4  t  z  4  t  z  4  t  z  4  t     Hướng dẫn giải Gọi I là trung điểm của HK . Do MH  NK nên HMI  KNI  IM  IN . Khi đó I thuộc mặt phẳng  Q  là mặt phẳng trung trực của đoạn MN .  1  Ta có  Q  đi qua trung điểm của MN là điểm J  2;3; 4  và nhận n  MN  1;1;1 làm vectơ pháp 2 tuyến nên có phương trình là  Q  : x  y  z  9  0 . x  y  z  9  0 Mà I  A   P  . Suy ra I  d   P    Q  :   x  2 y  3 z  14  0 Tìm được  0;13; 4   d và vectơ chỉ phương của d là 1; 2;1 . TOANMATH.com Trang 11
x  t  Vậy d :  y  13  2t .  z  4  t  Chọn A. Ví dụ 8. Trong không gian Oxyz. Cho điểm E 1;1;1 , mặt cầu  S  : x2  y2  z2  4 và mặt phẳng  P  : x  3 y  5 z  3  0 . Gọi  là đường thẳng đi qua E , nằm trong  P  và cắt  S  tại hai điểm A, B sao cho OAB là tam giác đều. Phương trình tham số của  là  x  1  2t  x  1  4t  x  1  2t x  1 t     A.  y  1  t . B.  y  1  3t . C.  y  1  t . D.  y  1  t . z  1 t z  1 t z  1 t  z  1  2t     Hướng dẫn giải  Gọi u   a; b; c  là một vectơ chỉ phương của  với a 2  b 2  c 2  0 .  Ta có nP  1; 3;5 .     Vì    P  nên u  nP  u.nP  0  a  3b  5c  0  a  3b  5c . (1) Mặt cầu  S  có tâm O  0;0;0  và bán kính R  2 . Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên AB R 3 Ta có OAB là tam giác đều cạnh R nên OH   3. 2 Suy ra khoảng cách từ O đến đường thẳng  bằng OH  3 .   u , OE    Khi đó   3 u   a  b    b  c    c  a   3  a2  b2  c 2  2 2 2  a  b  c  0  a  b  c  0 2 (2) Thay (1) vào (2) ta được: 3b  5c  b  c  0  b  c  a  2c . Thay c  1 thì b  1 và a  2 .  Ta được một vectơ chỉ phương của  là u   2; 1; 1 TOANMATH.com Trang 12
 x  1  2t  Vậy phương trình của đường thẳng  là  y  1  t . z  1 t  Chọn C. Bài toán 3: Viết phương trình đường thẳng bằng phương pháp tham số hóa Phương pháp giải  Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M 0  x0 ; y0 ; z0  , vuông góc và cắt đường thẳng .   Cách 1: Gọi H là hình chiếu vuông góc của M 0 trên đường thẳng . Khi đó H  , M 0 H  u . Khi đó đường thẳng d là đường thẳng đi qua M 0 , H . Cách 2: Gọi  P  là mặt phẳng đi qua M 0 và vuông góc với d .  Q  là mặt phẳng đi qua M 0 và chứa d . Khi đó d   P    Q   Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M 0  x0 ; y0 ; z0  và cắt hai đường thẳng d1 , d 2 . Cách 1: Gọi M 1  d1  d , M 2  d 2  d . Suy ra M 0 , M 1 , M 2 thẳng hàng. Từ đó tìm được M 1 , M 2 và suy ra phương trình đường thẳng d . Cách 2: Gọi  P  là mặt phẳng đi qua M 0 và chứa d1 ;  Q  là mặt phẳng đi qua M 0 và chứa d 2 .    Khi đó d   P    Q  . Do đó một vectơ chỉ phương của d có thể chọn là u   nP , nQ  .  Đường thẳng d nằm trong mặt phẳng P và cắt cả hai đường thẳng d1 , d 2 : Tìm các giao điểm A  d1   P  , B  d 2   P  . Khi đó d chính là đường thẳng AB .  Đường thẳng d song song với  và cắt cả hai đường thẳng d1 , d 2 : Viết phương trình mặt phẳng  P  song song với  và chứa d1 , mặt phẳng  Q  song song với  và chứa d 2 . Khi đó d   P    Q  .  Đường thẳng d là đường vuông góc chung của hai đường thẳng d1 , d 2 chéo nhau:  MN  d1 Cách làm: Gọi M  d1 , N  d 2 . Từ điều kiện  , ta tìm được M , N . Viết phương trình đường  MN  d 2 thẳng MN chính là đường vuông góc chung của d1 , d 2 . Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P  : x  y  z  1  0 và đường thẳng x  4 y  2 z 1 d:   . Phương trình đường thẳng d  là hình chiếu vuông góc của d trên mặt phẳng 2 2 1 P là x y  2 z 1 x y  2 z 1 A.   . B.   . 5 7 2 5 7 2 TOANMATH.com Trang 13
x y  2 z 1 x y  2 z 1 C.   . D.   . 5 7 2 5 7 2 Hướng dẫn giảii  x  4  2t  Đường thẳng d có phương trình tham số là  y  2  2t  t    .  z  1  t  Lấy điểm M  d   P   M  4  2t ; 2  2t ; 1  t   d . Thay đổi tọa độ điểm M vào phương trình mặt phẳng  P  ta được: 4  2t  2  2t  1  t  0  t  2 . Suy ra M  0; 2;1 . Do đó d   P   M  0; 2;1 . Lấy A  4; 2; 1  d . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng  P  .  Đường thẳng AH đi qua A  4; 2; 1 và nhận n P   1;1; 1 làm vectơ chỉ phương nên AH có  x  4  t1  phương trình là  y  2  t1  t1    .  z  1  t  1 Suy ra H  4  t1 ; 2  t1 ; 1  t1  . Thay tọa độ H vào phương trình mặt phẳng  P  được 2  10 8 1  4  t1  2  t1  1  t1  1  0  t1    H  ;  ;   . 3  3 3 3 MH là hình chiếu của d lên mặt phẳng P , MH đi qua M  0; 2;1 và nhận   10 14 4  2 x y  2 z 1 MH   ;  ;      5; 7; 2  là vectơ chỉ phương nên có phương trình là   .  3 3 3 3 5 7 2 Chọn B. x 1 y 1 z x2 y z3 Ví dụ 2. Cho các đường thẳng d1 :   và đường thẳng d 2 :   . Phương trình 1 2 1 1 2 2 đường thẳng  đi qua A 1; 0; 2  , cắt d1 và vuông góc với d 2 là x 1 y z  2 x 1 y z  2 A.   . B.   . 2 2 1 4 1 1 x 1 y z  2 x 1 y z  2 C.   . D.   . 2 3 4 2 2 1 Hướng dẫn giải  Gọi I  d1   , I 1  t , 1  2t , t   AI   t ; 2t  1; t  2  là một vectơ chỉ phương của .  Do u d2  1; 2; 2  là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d 2 và   d 2 .   Suy ra AI .u d2  0  t  2  2t  1  2  t  2   0  3t  6  0  t  2 . TOANMATH.com Trang 14
 x 1 y z  2 Vậy AI   2;3; 4  . Phương trình đường thẳng  cần tìm là   . 2 3 4 Chọn C. Ví dụ 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P  : 3 x  y  2 z  0 và hai đường thẳng x 1 y  6 z x 1 y  2 z  4 d1 :   và d 2 :   . 1 2 1 3 1 4 Đường thẳng vuông góc với  P  cắt cả hai đường thẳng d1 và d 2 có phương trình là x  2 y 1 z x5 y z 4 A.   . B.   . 3 1 2 3 1 2 x  2 y  8 z 1 x 1 y  2 z  2 C.   . D.   . 3 1 2 3 1 2 Hướng dẫn giải  x  1  t x 1 y  6 z  d1 :     y  6  2t , t   1 2 1 z  t  M  d1  M  1  t ; 6  2t ; t  .  x  1  3t  x 1 y  2 z  4  d2 :     y  2  t , t   3 1 4  z  4  4t   N  d1  N 1  3t ; 2  t ; 4  4t   .  MN   2  t  3t ; 4  2t  t ; 4  t  4t   .   P  : 3 x  y  2 z  0 có vectơ pháp tuyến n  3;1; 2  . Đường thẳng  d  vuông góc với  P  cắt cả hai đường thẳng d1 tại M và cắt d 2 tại N suy ra 2  t  3t   3k t  2     MN  k n  4  2t  t   k  t   1 4  t  4t   2k  k  1   t  2  M 1; 2; 2    Do  d    P  nên ud  n P  .  x  1  3s  Phương trình đường thẳng d là  y  2  s ; s   .  z  2  2 s  x  2 y 1 z Chọn s  1  A  2;1; 0   d  d :   . 3 1 2 Chọn A. TOANMATH.com Trang 15
x y z2 Ví dụ 4. Viết phương trình đường thẳng d qua A 1; 2;3 cắt đường thẳng d1 :   và song 2 1 1 song với mặt phẳng  P  : x  y  z  2  0 . x  1 t x  1 t x  1 t x  1 t     A.  y  2  t . B.  y  2  t . C.  y  2  t . D.  y  2  t . z  3  t z  3 z  3 z  3  t     Hướng dẫn giải  Do d  d1  B  B  2m; m; m  2   AB   2m  1; m  2; m  1 . d song song với mặt phẳng  P  nên    AB.n  P   0  1 2m  1  1.  m  2    m  1  0  m  1  AB  1; 1; 0  . x  1 t  Vậy phương trình đường thẳng  y  2  t . z  3  Chọn C. Ví dụ 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P  : 2 x  y  z  10  0 , điểm A 1;3; 2  và x  2 y 1 z  1 đường thẳng d :   . 2 1 1 Tìm phương trình đường thẳng  cắt  P  và d lần lượt tại M và N sao cho A là trung điểm của MN . x  6 y 1 z  3 x  6 y 1 z  3 A.   . B.   . 7 4 1 7 4 1 x  6 y 1 z  3 x  6 y 1 z  3 C.   . D.   . 7 4 1 7 4 1 Hướng dẫn giải Ta có N    d  N  2  2t ;1  t;1  t  . A là trung điểm của MN  M  4  2t ;5  t ;3  t  . Mà M   P  nên tọa độ M thỏa phương trình  P  , ta được: 2  4  2t    5  t    3  t   10  0  t  2  N  6; 1;3 , M  8;7;1 .  Suy ra MN  14;8; 2  .  1  Đường thẳng  đi qua hai điểm M và N nên có một vectơ chỉ phương u  NM   7; 4; 1 nên có 2 x  6 y 1 z  3 phương trình là   . 7 4 1 Chọn A. TOANMATH.com Trang 16
Ví dụ 6. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A  3;3; 3 thuộc mặt phẳng   : 2 x  2 y  z  15  0 và mặt cầu  S  :  x  2    y  3   z  5   100 . 2 2 2 Đường thẳng  qua A , nằm trên mặt phẳng   cắt  S  tại M , N . Để độ dài MN lớn nhất thì phương trình đường thẳng  là x3 y 3 z 3 x3 y 3 z 3 A.   . B.   . 1 4 6 16 11 10  x  3  5t  x3 y 3 z 3 C.  y  3 . D.   .  z  3  8t 1 1 3  Hướng dẫn giải Mặt cầu  S  có tâm I  2;3;5 và bán kính R  10 .  Mặt phẳng   có vectơ pháp tuyến n   2; 2;1 . Gọi H , K lần lượt là hình chiếu vuông góc của I lên  và mặt phẳng   .  IK    nên phương trình đường thẳng IK đi qua I và vuông góc với mặt phẳng   là  x  2  2t   y  3  2t . z  5  t   x  2  2t  y  3  2t  Tọa độ điểm K là nghiệm hệ phương trình   K  2;7;3 . z  5  t 2 x  2 y  z  15  0 Vì     nên IH  IK . Do đó IH nhỏ nhất khi H trùng với K . Để MN lớn nhất thì IH phải nhỏ nhất.  Khi đó đường thẳng  cần tìm đi qua A và K . Ta có AK  1; 4; 6  . x3 y 3 z 3 Đường thẳng  có phương trình là:   . 1 4 6 Chọn A. Ví dụ 7. Trong không gian Oxyz, cho ABC có A  2;3;3 , phương trình đường trung tuyến kẻ từ B là x 3 y 3 z 2 x2 y4 z2 d:   , phương trình đường phân giác trong của góc C là  :   . 1 2 1 2 1 1 Đường thẳng AB có một vectơ chỉ phương là     A. u  2;1; 1 . B. u 1; 1;0  . C. u  0;1; 1 . D. u 1; 2;1 . Hướng dẫn giải TOANMATH.com Trang 17
 x  2  2t  Ta có phương trình tham số của  là:  y  4  t  C  2  2t ; 4  t ; 2  t  . z  2  t   7 t 5t  Gọi M là trung điểm của AC nên M   2  t ; ; .  2 2   7t  5t    3  2 Vì M  d nên  2 t 3  2     2   t 1 1 t 1  t    t  1. 1 2 1 1 4 2 Suy ra C  4;3;1 . Phương trình mặt phẳng  P  đi qua A và vuông góc với  là: 2 x  y  z  2  0 . Gọi H là giao điểm của  P  và   H  2; 4; 2  . Gọi A là điểm đối xứng với A qua đường phân giác , suy ra H là trung điểm AA  A  2;5;1 .  Do A  BC nên đường thẳng BC có vectơ chỉ phương là CA   2; 2;0   2  1;1; 0  . x  4  t  Suy ra phương trình của đường thẳng BC là  y  3  t . z  1  Vì B  BM  BC  B  2;5;1  A .  Đường thẳng AB có một vectơ chỉ phương là AB   0; 2; 2   2  0;1; 1 . Chọn C. x 1 y  2 z Ví dụ 8. Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng  :   và hai điểm 2 1 1 A  4; 2; 4  , B  0;0; 2  . Gọi d là đường thẳng song song và cách  một khoảng bằng 5 , gần đường thẳng AB nhất. Đường thẳng d cắt mặt phẳng  Oxy  tại điểm nào dưới đây?  2 14  A.  2;1; 0  . B.   ;  ; 0  . C.  3; 2; 0  . D.  0;0; 0  .  3 3  Hướng dẫn giải  x  4t  Phương trình tham số của đường thẳng AB có dạng:  y  2t .  z  2  6t  Để đường thẳng d thỏa mãn bài toán thì ta có hình vẽ tương ứng TOANMATH.com Trang 18
Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng AB và  là MN với M  0; 5;1 , N  3;1;1 . Để d gần đường thẳng AB nhất thì d phải đi qua điểm D nằm trên đoạn MN mà   DN  d  d ,    5, MN  3 5 . Do đó MN  3DN  D   2; 1;1 .  Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là u d    2; 1;1 .  x  2  2t  Suy ra phương trình tham số của d là  y  1  t z  1 t  x  0 Đường thẳng d cắt  Oxy  tại điểm có z  1  t  0  t  1   . y  0 Vậy giao điểm của d và  Oxy  là  0;0; 0  . Chọn D. Ví dụ 9. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn đường thẳng x  2 y  2 z 1 x 1 y 1 z 1 :   ; 2 :   1 1 1 1 2 1 x y  2 z 1 x 5 y a z b 3 :   ; 4 :   1 1 1 1 3 1 Biết không tồn tại đường thẳng nào trong không gian mà cắt được đồng thời cả bốn đường thẳng trên. Giá trị của biểu thức T  a  2b bằng A. 2. B. 3. C. 2. D. 3. Hướng dẫn giải Ta có: 1 // 3 . Gọi  P  là mặt phẳng chứa 1 và  3   P  : x  2 y  z  3  0 . Gọi I   2   P   I  0; 1;1 .  2a  b  22 3b  24 2a  7b  8  Gọi J   4   P   J  ; ; .  6 6 6    2a  b  22 3b  18 2a  7b  14   IJ   ; ; .  6 6 6    Để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì IJ phải cùng phương với u1  1; 1; 1 . 2a  b  22 3b  18 2a  7b  14 Suy ra    a  2b  2 . 6 6 6 Chọn A. TOANMATH.com Trang 19
Bài tập tự luyện dạng 1 Bài tập cơ bản Câu 1: Trong không gian Oxyz, vectơ nào sau đây là vectơ chỉ phương của đường thẳng x 1 y  2 z :   1 1 2     A. u  1; 2; 0  . B. u   2; 2; 4  . C. u  1;1; 2  . D. u   1; 2; 0  . Câu 2: Trong không gian Oxyz, đường thẳng qua hai điểm M  2;1; 2  , N  3; 1; 0  có vectơ chỉ phương là     A. u  1; 0; 2  . B. u   5; 2; 2  . C. u   1; 0; 2  . D. u   5;0; 2  . x 1 y  2 z  1  Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :   nhận vectơ u là 2 1 2 vectơ chỉ phương. Giá trị a  b bằng A. 8. B. 8. C. 4. D. 4. Câu 4: Trong không gian Oxyz, đường thẳng d đi qua điểm E  1; 0; 2  và có vectơ chỉ phương  a   3;1; 7  . Phương trình của đường thẳng d là x 1 y z  2 x 1 y z  2 A.   . B.   . 3 1 7 3 1 7 x 1 y z  2 x 1 y z  2 C.   . D.   . 1 1 3 1 1 3 Câu 5: Trong không gian Oxyz, cho E  1; 0; 2  và F  2;1; 5 . Phương trình đường thẳng EF là x 1 y z  2 x 1 y z  2 A.   . B.   . 3 1 7 3 1 7 x 1 y z  2 x 1 y z  2 C.   . D.   . 1 1 3 1 1 3 x 1 y  2 z  2 Câu 6: Trong hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :   . Phương trình nào sau đây là 1 2 3 phương trình tham số của d ? x  1 x  1 t x  1 t x  1     A.  y  2  t . B.  y  2  2t . C.  y  2  2t . D.  y  2  t .  z  2  3t  z  1  3t  z  2  3t z  1 t     Câu 7: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P  : 2 x  y  2 z  9  0 và đường thẳng x 1 y  3 z  3 d:   . 1 2 1 Phương trình tham số của đường thẳng  đi qua A  0; 1; 4  vuông góc với d và nằm trong  P  là  x  5t  x  2t x  t  x  t     A.  y  1  t . B.  y  t . C.  y  1 . D.  y  1  2t .  z  4  5t  z  4  2t z  4  t z  4  t     TOANMATH.com Trang 20