Giáo án toán cao cấp C - GV. Nguyễn Đức Phương

Chia sẻ: Hoang Quang Dat | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:35

Thêm vào BST

Báo xấu

686
lượt xem 126
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo Giáo án toán cao cấp C hệ cao đẳng. Tài liêu "Giáo án toán cao cấp C" thuộc trường Đại học Công Nghiệp Tp.HCM do giảng viên Nguyễn Đức Phương biên soạn. Tài liệu dành cho học sinh sinh viên của các trường giúp các bạn ôn tập...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo án toán cao cấp C - GV. Nguyễn Đức Phương

BỘ CÔNG NGHIỆP TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP TP.HCM ----------∆0---------- GIÁO ÁN TOÁN CAO CẤP C (HỆ CAO ĐẲNG) Niên khóa : 2005-2006 Giảng viên : NGUYỄN ĐỨC PHƯƠNG Khoa : KHOA HỌC CƠ BẢN
BỘ CÔNG NGHIỆP ĐT 04 TRƯỜNG ĐH CÔNG NGHIỆP TP . HCM KHOA : KHOA HỌC CƠ BẢN LỊCH GIẢNG DẠY MÔN HỌC: Toán cc C… SỐ TIẾT…60 LỚP: CĐ.HỌC KỲ:I,NĂM HỌC:2005-2006 SỐ TIẾT/TUẦN: 05 SỐ TUẦN : 12 SỐ TIẾT TUẦN SỐ NỘI DUNG BÀI GIẢNG-BÀI TẬP-THÍ NGHIỆM -THẢO LUẬN ĐỒ DÙNG HỌC TẬP SÁCH THAM KHẢO Lý thuyết Thực hành Bài tập Kiểm tra 1 1.Số phức: Các phép tính cơ bản và dạng lương giác Giáo trình toán cao cấp của trường Từ ngày: 3/10 2. Đạo hàm và vi phân hàm 1 biến 3 2 biên soạn đến: 9/10/05 3. Đạo hàm và vi phân hàm 2 biến 2 1. Cực trị hàm 1 biến Từ ngày:10/10 2. Cực trị tự do và cực trị có điều kiện của hàm 2 biến 3 2 đến :16/10/05 3. Ứng dụng cực trị để giải các bài toán trong kinh tế 3 1. Tích phân xác định Từ ngày:7/11 2. Hai công thức tính tích phân 3 2 đến :13/11/05 3. Tích phân suy rộng loại 1 4 1. Tích phân suy rông loại 2 Từ ngày:14/11 2. Phương trình vi phân cấp 1: Biến phân ly, đảng cấp 3 2 đến :20/11/05 3. Phưonh trính tuyến tính cấp 1, Bernully 5 1. Phưong trình vi phân cấp 2. Từ ngày:21/11 2. Hệ phương trình vi phân với hệ số hằng 3 2 đến :27/11/05 3. Định thức: Định nghĩa và công thức Laplace 6 1. Công thức Sarus Từ ngày:28/11 2. Các tính chất của định thức 3 2 đến:4/12/05 3. Ma trận: Định nghĩa và các phép toán căn bản 7 1. các phép biến đổi sơ cấp Từ ngày:5/12 2. Kiểm tra giữa kỳ 2 2 1 đến:11/12/05 3, Ma trận bậc thang 8 1. Ma trận nghịch đảo. Từ ngày:12/12 2. Không gian véc tơ: Định nghĩa, độc lập và phụ thuộc t.tính 3 2 đến: 18/12/05 3. Cơ sở của không gian véc tơ n chiều 9 1. Hệ phương trình tuyến tính: Tính chất nghiệm Từ ngày:19/12 2. Phương pháp ma trận nghịch đảo 2 3 đến:25/12/05 3. Phương pháp Cramer
10 1. Phương pháp Gauss Từ ngày:26/12 2. Biến đổi tọa độ khi đổi cơ sở 3 2 đến:1/1/06 3. Phép biến đổi tuyến tính 11 1. Phép quay, phép tịnh tiến Từ ngày:2/1 2. Đa thức đặc trưng 3 2 đến:8/1/06 3. Trị riêng và véc tơ riêng 12 1. Cách tìm véc tơ riêng ứng với trị riêng Từ ngày:9/1 2.Thuật toán chéo hóa ma trận. 3 2 đến:15/1/06 3. Ôn tập 13 Từ ngày: đến: 14 Từ ngày: đến: 15 Từ ngày: đến: 16 Từ ngày: đến: 17 Từ ngày: đến: Khoa Trưởng bộ môn Ngày 05 tháng 09 năm 2005 Giảng viên
BỘ CÔNG NGHIỆP TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP TP. HỒ CHÍ MINH KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN TỔ TOÁN --------------o0o-------------- CHƯƠNG TRÌNH MÔN TOÁN CAO CẤP C BẬC CAO ĐẲNG KINH TẾ NĂM HỌC 2005 – 2006
CHƯƠNG TRÌNH TOÁN CAO CẤP C (Mã môn học: 004DC210) DÙNG CHO SINH VIÊN CAO ĐẲNG KINH TẾ THỜI GIAN : 60 TIẾT NỘI DUNG TỔNG QUÁT VÀ PHÂN BỐ THỜI GIAN STT CHƯƠNG MỤC THỜI GIAN Chương I Bổ túc số phức 2 tiết Chương II Phép tính vi phân 8 tiết Chương III Phép tính tích phân 6 tiết Chương IV Phương trình vi phân 8 tiết Chương V Định thức 5 tiết Chương VI Ma trận 7 tiết Chương VII Không gian tuyến tính 3 tiết Chương VIII Hệ phương trình tuyến tính 7 tiết Chương IX Phép biến đổi tuyến tính 6 tiết Chương X Chéo hóa ma trận 8 tiết Cộng 60 tiết NỘI DUNG CHI TIẾT 1
CHƯƠNG I BỔ TÚC SỐ PHỨC (2 tiết) ♦ Định nghĩa. ♦ Phép tính. ♦ Dạng lượng giác. CHƯƠNG II PHÉP TÍNH VI PHÂN (6 tiết) ♦ Đạo hàm cấp một và cấp cao của hàm một biến. ♦ Đạo hàm riêng cấp một và cấp cao, đạo hàm hợp của hàm hai biến. ♦ Vi phân của hàm một biến. ♦ Vi phân toàn phần của hàm hai biến. ♦ Ứng dụng Cực trị của hàm một biến. Cực trị tự do, cực trị có điều kiện của hàm hai biến. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm. Tính gần đúng. Ứng dụng vào bài toán kinh tế. CHƯƠNG III PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN (6 tiết) ♦ Tích phân bất định Định nghĩa. Tính chất. ♦ Hai phương pháp tính tích phân. ♦ Công thức đạo hàm cận trên, công thức Newton – Leibnitz. ♦ Tính chất và hai phương pháp tính tích phân xác định. ♦ Tích phân suy rộng. CHƯƠNG IV PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN (8 tiết) ♦ Phương trình vi phân cấp một 2
Định nghĩa, điều kiện tồn tại nghiệm. Phương trình có biến phân ly được. Phương trình đẳng cấp. Phương trình tuyến tính cấp một. Phương trình Bernoulli. ♦ Phương trình vi phân cấp hai Định nghĩa, điều kiện tồn tại nghiệm. Phương trình giảm cấp được. Phương trình tuyến tính cấp hai hệ số hằng. ♦ Hệ phương trình vi phân, vi phân tuyến tính. CHƯƠNG V ĐỊNH THỨC (5 tiết) ♦ Định nghĩa và tính chất Hoán vị và nghịch thế. Định thức cấp n. ♦ Định lý Laplace. ♦ Cách tính. CHƯƠNG VI MA TRẬN (7 tiết) ♦ Định nghĩa. ♦ Phép tính. ♦ Định thức của ma trận vuông. ♦ Hạng của ma trận. CHƯƠNG VII KHÔNG GIAN TUYẾN TÍNH (3 tiết) ♦ Vector n chiều Định nghĩa. Sự phụ thuộc tuyến tính. Hạng của vector. ♦ Không gian vector n chiều Định nghĩa. Định lý. 3
CHƯƠNG VIII HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH (6 tiết) ♦ Khái niệm Hệ phương trình tuyến tính. Tính chất nghiệm. Định lý Kronecker – Capelli. ♦ Phương pháp giải Phương pháp ma trận nghịch đảo. Phương pháp Cramer. Phương pháp Gauss. CHƯƠNG IX PHÉP BIẾN ĐỔI TUYẾN TÍNH (6 tiết) ♦ Biến đổi tọa độ khi cơ sở thay đổi. ♦ Biến đổi tuyến tính. ♦ Phép biến đổi tuyến tính. ♦ Phép quay. ♦ Phép tịnh tiến. ♦ Liên hệ giữa các ma trận của phép biến đổi tuyến tính. CHƯƠNG X DẠNG SONG TUYẾN TÍNH – DẠNG TOÀN PHƯƠNG (8 tiết) ♦ Giá trị riêng, vector riêng Định nghĩa. Phương trình đặc trưng. Giá trị riêng của ma trận đồng dạng. ♦ Chéo hóa ma trận Chéo hóa ma trận vuông cấp n khi có n vector riêng đltt. Chéo hóa trực giao ma trận đối xứng. ------------------ TÀI LIỆU THAM KHẢO 4
1. G. N. Phichtengon, Cơ sở giải tích toán học, tập I – II – III, NXB Giáo dục, 1977. 2. Hoàng Hữu Đường – Võ Đức Tôn – Nguyễn Thế Hoàn, Phương trình vi phân, tập I – II, NXB ĐH và THCN, 1979. 3. Hoàng Xuân Sính, Đại số cao cấp, tập I, NXB Giáo dục, 1977. 4. Nguyễn Đình Trí và nhiều tác giả khác, Toán cao cấp, tập I, NXB ĐH và THCN, 1984. 5. Nguyễn Thế Hoàn – Trần Văn Nhung, Bài tập phương trình vi phân, NXB ĐH và THCN, 1979. 6. Tạ Văn Đỉnh – Vũ Long – Dương Thụy Vỹ, Bài tập toán cao cấp, NXB ĐH và THCN. 7. Trần Văn Hạo, Đại số cao cấp, tập II, NXB Giáo dục, 1977. Tp. HCM …/…/2005 Tp. HCM …/…/ 2005 Phê duyệt BGH Khoa Cơ Bản TS. Nguyễn Phú Vinh 5
TOÁN C: HỆ CAO ĐẲNG • GIÁO ÁN SỐ: 1 SỐ TIẾT: 5 • TÊN BÀI GIẢNG: Số phức, đạo hàm và vi phân hàm số thực. • MỤC ĐÍCH: _ Tính toán được các phép tính cơ bản, lũy thừa và căn số của số phức. _ Tính được đạo hàm riêng và vi phân cấp hai hàm hai biến. • NỘI DUNG CHI TIẾT: TT Nội dung giảng dạy T.g Phương Pháp §1 SỐ PHỨC 5’ Nêu và I Định nghĩa: Tập hợp các số phức là: C = { z = a + ib : a, b ∈ R }, giải quyết 2 vấn đề với i là đơn vị ảo cho bởi: i = -1 _ a: gọi là phần thực, ký hiệu là Re(z) _ b: gọi là phần ảo, ký hiệu là Im(z) _ Số phức liên hợp với z = a + ib là z = a − ib _ Mô đun của z = a + ib là z = a 2 + b 2 II Các phép toán trên số phức: Cho z1 = a1 + ib1; z2 = a2 + ib2 10’ Nêu và giải quyết i) Phép cộng : z1 ± z2 = a1 ± a2 + i ( b1 ± b2 ) vấn đề ii) Phép nhân với số thực: cz1 = ca1 + icb1; c ∈R iii) Phép nhân: z1.z2 = ( a1a2 − b1b2 ) + i ( a1b2 + a2b1 ) z z1.z2 iv) Phép chia: = ; ( z2 ≠ 0 ) z z2 2 Ví dụ: Cho z = 3 + 4i; z = 5 − i . z1 11 23 z1 + z2 = 8 + 3i; z1 − z2 = −2 + 5i; z1.z2 = 19 + 17i; = + i z2 26 26 III Biễu diễn hình học và lượng giác của số phức: 15’ Đối thoại Cho số phức z = a + ib , đặt tương ứng z y giữa sinh với véc tơ OM = ( a, b ) gọi là biễu diễn viên và giảng viên hình học của số phức z. _ Góc ϕ được gọi là Argument của z b M _ z = r ( cos ϕ + i sin ϕ ) gọi là biễu diễn r ϕ lượng giác của số phức z. 0 a x ⎛ π π⎞ Ví dụ: z = 1 − i 3 = 2 ⎜ cos− + i sin − ⎟ ⎝ 3 3⎠ IV Định lý: z1 = r1 ( cos ϕ1 + i sin ϕ1 ) ; z2 = r2 ( cos ϕ2 + i sin ϕ2 ) . 15’ Giảng giãi và đối z1.z2 = r1r2 ⎡cos (ϕ1 + ϕ2 ) + i sin (ϕ1 + ϕ2 ) ⎤ ⎣ ⎦ thoại
z1 r1 = ⎡cos (ϕ1 − ϕ2 ) + i sin (ϕ1 − ϕ2 ) ⎤ z2 r2 ⎣ ⎦ n Hệ quả: z n = ⎡ r ( cos nϕ + i sin nϕ ) ⎤ = r n ( cos nϕ + i sin nϕ ) ⎣ ⎦ Ví dụ: i) (1 + i ) = 212 (1 + i ) . 25 ( ) 12 ii) ⎡ 1 + i 3 ( 2 − 2i ) ⎤ = −230. ⎣ ⎦ V Căn bậc n của số phức z: 15’ Giảng giãi Định nghĩa: ω được gọi là 1 căn bậc n của số phức z nếu ω n = z . và đối thoại Định lý: Cho z = r ( cos ϕ + i sin ϕ ) . Khi đó n ⎧ ⎛ ϕ + 2 kπ ϕ + 2 kπ ⎞ ⎫ z = ⎨ n r ⎜ cos + i sin ⎟ : k = 0, n − 1⎬ ⎩ ⎝ n n ⎠ ⎭ ⎧ ⎪1 3 1 3⎫ ⎪ Vídụ: 3 −1 = ⎨ + i ; −1; − i ⎬ ⎪2 ⎩ 2 2 2 ⎪ ⎭ Công thức nghiệm của phương trình bậc hai: Xét phương trình: ax + bx + c = 0; ( a ≠ 0; a, b, c ∈ C ) . Khi đó −b + Δ Nghiệm của phương trình: x = ( Δ là căn phức) 2a Ví dụ: x 2 + 2 (1 + i ) x − 2i + 3 = 0 ⎡ −1 − 2i ⎡ x = −2 − 3i Δ = 4i − 3 = ⎢ ⇒⎢ ⎣1 + 2i ⎣x = i Bài tập giáo trình 30’ §2 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN I Định nghĩa: (đạo hàm cấp 1) 10’ Đối thoại Cho hàm số y = f ( x) có miền xác định D ⊆ R; xo ∈ D. f được f ( x ) − f ( xo ) gọi là có đạo hàm tại điểm xo nếu lim tồn tại hữu x→ x0 x − xo hạn và ký hiệu giá trị giới hạn trên là f ' ( x ) . _ Ký hiệu Δy = f ( x ) − f ( xo ) là số gia của y. Δy _ Ký hiệu Δx = x − xo là số gia của x. Khi đó: f x' ( xo ) = lim Δx→0 Δx Các công thức đạo hàm: i) ( f ± g ) = f ' ± g ' . ' ii) ( f .g ) = f ' g + g ' f '
' ⎛ f ⎞ f ' g − fg ' iii) ⎜ ⎟ = ⎝g⎠ g2 II Đạo hàm cấp cao: 10’ Giảng giải ( ) (n ∈N và đối ' Định nghĩa: f ( ) = f ( ) n −1 n ) thoại n (n) Công thức Leibnitz: ( fg ) = ∑ Cnk f ( k ) g ( n−k ) k =0 Ví dụ: f = e x ; g = x 2 + 4 x. ( fg ) (10 ) ( = e x x 2 + 22 x + 126 . ) Bài tâp giáo trình 25’ §3.HÀM HAI BIẾN III Hàm hai biến 15’ Nêu và Định nghĩa 1: Hàm số hai biến thực là một qui tắc tương ứng mỗi giải quyết cặp ( x; y ) ∈ D ⊆ R 2 với duy nhất số thực z ∈ R . Ký hiệu vấn đề z = f ( x; y ) ( ∀ ( x;y ) ∈ D ) . D được gọi là tập xác địh của hàm hai biến f. Ví dụ: i) z = f ( x; y ) = 1 − x 2 − y 2 . D là hình tròn tâm 0 bán kính 1. ii) z = f ( x; y ) = 1 − x − y .D là hình vuông tâm 0, các cạnh song song với các trục tọa độ và chiều dài là 2. Định nghĩa 2: Cho hàm số z = f ( x; y ) có miền xác định D ⊆ R2 ( xo ; yo ) ∈ D. f được gọi là có đạo hàm riêng theo biến x (t.ư y) tại điểm ( xo ; yo ) nếu: f ( xo + h; yo ) − f ( xo ; yo ) ⎛ f ( xo ; yo + h ) − f ( xo ; yo ) ⎞ lim ⎜ t.u lim ⎟ h →0 h ⎝ h →0 h ⎠ tồn tại hữu hạn và ký hiệu giá trị giới hạn trên là : ∂f ⎛ ∂f ⎞ f x' ( xo ; yo ) = ( xo ; yo ) ⎜ t.u f y' ( xo ; yo ) = ( xo ; yo ) ⎟ ∂x ⎝ ∂y ⎠ Chú ý: Nếu các biến x và y không có quan hệ với nhau khi lấy đạo 5’ Đối thoại hàm riêng theo biến nào thì coi biến còn lại như là hằng số. Ví dụ: 10’ Sinh viên 3 h3 lên giải i) f ( x; y ) = 3 x3 + y 3 ; f x' ( 0;0 ) = lim = 1. h →0 h ii) f ( x; y ) = e xy ; f x' = xe xy ; f y' = ye xy . Định nghĩa 3: 10’ Giảng giãi 2 và đối ∂ f ∂ ⎛ ∂f ⎞ i) Đạo hàm riêng cấp 2 theo biến x: f x''2 = = ⎜ ⎟. thoại ∂x 2 ∂x ⎝ ∂x ⎠
'' ∂2 f ∂ ⎛ ∂f ⎞ ii) Đạo hàm riêng cấp 2 theo biến y: f y 2 = = ⎜ ⎟. ∂y 2 ∂y ⎝ ∂y ⎠ iii) Đạo hàm riêng cấp 2 theo biến x, y (t.ư y, x): '' ∂2 f ∂ ⎛ ∂f ⎞ ⎛ '' ∂2 f ∂ ⎛ ∂f ⎞ ⎞ f xy = = ⎜ ⎟ ⎜ t.u f yx = = ⎜ ⎟ ⎟ ∂x∂y ∂y ⎝ ∂x ⎠ ⎜ ⎝ ∂y∂x ∂x ⎝ ∂y ⎠ ⎟ ⎠ '' '' Chú ý: f xy ≠ f yx . Nhưng trong trường hợp các đạo hàm riêng của '' '' chúng liên tục thì ta có f xy = f yx . IV Vi phân hàm một biến: 10’ Nêu và Định nghĩa: Cho hàm y = f ( x ) , với miền xác định D. f được gọi giải quyết vấn đề là khả vi tại xo ∈ D. Nếu: Δy = AΔx + 0(Δx) . Trong đó A = f ' ( xo ) 0(Δx) lim = 0; AΔx = dy gọi là vi phân của f tại điểm xo Δx→0 Δx Định lý: f khả vi tại điểm xo ⇔ A = f x' ( xo ) Ta viết: dy = f ' ( x)dx cho mọi x thuộc miên xác định của y’ V Vi phân hàm hai biến: 10’ Nêu và Định nghĩa 1: Cho hàm z = f ( x; y ) , với miền xác định D. f được giải quyết vấn đề gọi là khả vi tại ( xo ; yo ) ∈ D. Nếu: Δz = AΔx + BΔy + 0(Δx; Δy ) . 0(Δx; Δy ) Trong đó : lim = 0; AΔx + BΔy = df gọi là vi ( Δx;Δy )→(0;0) Δ 2 x + Δ 2 y phân cấp 1 của f tại điểm ( xo ; yo ); A = f x' ( xo ; yo ); B = f y' ( xo ; yo ); Ta có: df ( xo ; yo ) = f x' ( xo ; yo ) dx + f y ( xo ; yo )dy ' Ví dụ: f ( x; y ) = 2 x 2 + 4 xy; df = (4 x + 4 y )dx + 4 xdy; df (0;1) = 4dx. Vi phân cấp cao: d n f = d (d n−1 f ) (∀n ∈ N ) . Đặc biệt d 2 f = f x''2 dx 2 + f xy dxdy + f y 2 dy 2 '' '' Bài tập giáo trình 30’ • TỔNG KẾT BÀI: _ Các phép tính trên số phức. _ Đạo hàm và vi phân hàm hai biến. • RÚT KINH NGHIỆM: ………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... Ngày ... tháng ... năm 200 KHOA BỘ MÔN GIẢNG VIÊN
TOÁN C: HỆ CAO ĐẲNG • GIÁO ÁN SỐ: 2 SỐ TIẾT: 5 • TÊN BÀI GIẢNG:Cực trị hàm số. • MỤC ĐÍCH: _ Tính toán và xác định được các điểm cực trị của hàm hai biến. _Lập được mô hình toán trong bài toán kinh tế va tìm được sự tối ưu hóa.. • NỘI DUNG CHI TIẾT: TT Nội dung giảng dạy T.g Phương Pháp I Ứng dụng cực trị hàm một biến trong bài toán kinh tế: 15' Đối thoại Bài toán: Tìm sản lượng cần sản xuất để xí nghiệp có lợi nhuận tối đa khi biết hàm cầu QD và hàm tổng chi phí C.(Trang 58;59 Giáo trình ) Bài tập luyện tập: Giáo trình. 30' Hướng dẫn II Cực trị hàm hai biến: 5' nêu và giải 2.1 Cực trị không điều kiện: quyết vấn đề Định lý 1 (Điều kiện cần) :Hàm số f ( x; y ) đạt cực trị tại điểm ( xo ; yo ) thì ( xo ; yo ) là nghiệm của hệ phương trình: ⎧∂f ∂f ⎨ = 0; = 0 (1) ⎩ ∂x ∂y Điểm ( xo ; yo ) được gọi là điểm dừng của hàm f Định lý 2(Điều kiện đủ): Giả sử ( xo ; yo ) là nghiệm của (1). Đặt 10' nêu và giải quyết vấn đề ∂2 f ∂2 f ∂2 f A= ;B = ; C = 2 ; Δ = B 2 − AC. Khi dó: ∂x 2 ∂x∂y ∂y ⎧Δ < 0; ⎨ ⇒ ( xo ; yo ) là điểm cực tiểu của hàm f . ⎩ A( xo ; yo ) > 0 ⎧Δ < 0; ⎨ ⇒ ( xo ; yo ) là điểm cực đại của hàm f . ⎩ A( xo ; yo ) < 0 ⎧Δ < 0; ⎨ ⇒ ( xo ; yo ) không là điểm cực trị của hàm f ⎩ A( xo ; yo ) < 0 Trong trường hợp Δ = 0; ta phải dùng định nghĩa cực trị để xét điểm ( xo ; yo ) có phải là điểm cực trị của hàm f hay không.
Ví dụ: Xét tính cực trị của các hàm số sau: 30' Đối thoại i ) f ( x; y ) = x 3 + y 3 + 3 xy. ii ) f ( x; y ) = x 4 + y 4 + 4 x 2 y 2 . Giải i): Giải hệ phương trình ⎧ ∂f ⎪ ∂x = 0 ⎪ ⎧ 2 ⎪3 x + 3 y = 0 ⎧ x = 0 ⎧ x = −1 ⎨ ∂f ⇔⎨ ⇔⎨ ∨⎨ ; ⎪3 x + 3 y = 0 ⎩ y = 0 ⎩ y = −1 ; 2 ⎪ =0 ⎩ ⎪ ∂y ⎩ Δ = 9 − 18 xy; A = 3 x; Δ(0;0) > 0 ⇒ (0;0) không là điểm cực trị. Δ(−1; −1); A(−1; −1) = −3 < 0 ⇒ (−1; −1) là điểm cực đại ii) Giải hệ phương trình: ⎧ ∂f ⎪ ∂x = 0 ⎪ ⎧ 3 ⎪4 x + 8 xy = 0 2 ⎧x = 0 ⎨ ∂f ⇔⎨ 3 ⇔⎨ ; Δ (0;0) = 0; ⎪4 y + 8 x y = 0 ⎩y = 0 2 ⎪ =0 ⎩ ⎪ ∂y ⎩ ∀( x; y ), x 2 + y 2 < 1; f ( x; y ) − f ( x0 ; y0 ) = ( x 2 + y 2 ) 2 + 2 x 2 y 2 ≥ 0 Vậy điểm (0;0) là điểm cực tiểu. 2.2 Cực trị có điểu kiện: 5' Nêu và giải Tìm cực trị của hàm f (x;y), trong đó (x;y) bị rảng buộc điều quyết vấn đề kiện ϕ ( x; y ) = 0. Định lý 3 (Điều kiện cần) :Hàm số f ( x; y ) đạt cực trị tại điểm ( xo ; yo ) thì ( xo ; yo ) là nghiệm của hệ phương trình: ⎧ ∂f ∂ϕ ⎪ ∂x +λ =0 ∂x ⎪ ⎪ ∂f ∂ϕ ⎨ +λ =0 (2) ⎪ ∂y ∂y ⎪ϕ ( x; y ) = 0 ⎪ ⎩ Điểm ( xo ; yo ) được gọi là điểm dừng của hàm f. Định lý 4: Giả sử ( x0 ; y0 ; λ ) là một nghiệm của (2): Đặt 10' Nêu và giải L( x; y ) = f ( x; y ) + λϕ ( x, y ); quyết vấn đề d 2 L = Adx 2 + 2 Bdxdy + Cdy 2 Với ϕ x dx + ϕ y dy = 0. Nếu , , _ d 2 L( x0 ; y0 ) > 0 ⇒ ( x0 ; y0 ) là điểm cực tiểu.
_ d 2 L( x0 ; y0 ) < 0 ⇒ ( x0 ; y0 ) là điểm cực đại _ d 2 L( x0 ; y0 ) đổi dấu thì ( x0 ; y0 ) không là điểm cực trị. Ví dụ: Xét tính cực trị của các hàm số sau: 30' Đối thoại i ) f ( x; y ) = 4 x − 3 y + 6; x 2 + y 2 = 1. ii ) f ( x; y ) = x 2 y; x + y = 1. Giải: i) Hệ phương trình (2) có nghiệm: ⎡ 4 3 5 ⎢x = 5 ; y = − 5 ;λ = − 2 ⎢ ⎢x = − 4 ; y = 3 ;λ = 5 ⎢ ⎣ 5 5 2 ⎛ 4 3 5⎞ 5 • ⎜ x = ; y = − ; λ = − ⎟ ; L( x; y ) = 6 + 4 x − 3 y − ( x 2 + y 2 − 1) ; ⎝ 5 5 2⎠ 2 5 ⎛ 4 3⎞ d 2 L = − (( dx 2 + dy 2 ) < 0 ⇒ ⎜ x = ; y = − ⎟ là điểm cực đại 2 ⎝ 5 5⎠ của hàm f . ⎛ 4 3 5⎞ 5 • ⎜ x = − ; y = ; λ = ⎟ ; L( x; y ) = 6 + 4 x − 3 y + ( x 2 + y 2 − 1) ; ⎝ 5 5 2⎠ 2 5 ⎛ 4 3⎞ d 2 L = (( dx 2 + dy 2 ) > 0 ⇒ ⎜ x = − ; y = ⎟ là điểm cực tiểu 2 ⎝ 5 5⎠ của hàm f . ii) Hệ phương trình (2) có nghiệm: ⎡ x = 0; y = 1; λ = 0 ⎢ ⎢x = 2 ; y = 3 ;λ = 5 ⎣ 3 5 2 ⎛ 2 3 5⎞ 4 • ⎜ x = ; y = ; λ = ⎟ ; L( x; y ) = x 2 y − ( x + y − 1) ; ⎝ 3 5 2⎠ 9 ϕ x dx + ϕ y dy = 0 ⇔ dx = − dy; , , ⎛ 2 3⎞ 2 8 d 2 L ⎜ ; ⎟ = dx 2 + dy 2 = −2dx 2 < 0. ⎝ 3 5⎠ 3 3 ⎛ 2 3⎞ ⇒ ⎜ ; ⎟ là điểm cực đại của hàm f. ⎝ 3 5⎠ • ( x = 0; y = 1; λ = 0 ) ; L( x; y ) = x 2 y; d 2 L ( 0;1) = 2dx 2 > 0. ⇒ (0;1) là điểm cực tiểu của hàm f.
2.3 Ứng dụng vào bài toán kinh tế: 40' Cho sinh viên i) Bài toán cho xí nghiệp sản xuất nhiều sản phẩm trong điều đọc giáo trình kiện cạnh tranh hoàn hảo (trang 166, giáo trình) giảng viên ii) Bài toán cho xí nghiệp sản xuất nhiều sản phẩm trong điều hướng dẫn kiện sản xuất độc quyền.(trang 167; 168; 169; giáo trình). Bài tập luyện tập: Giáo trình. • TỔNG KẾT BÀI:(5') _Các bước tìm cực trị tự do và cực trị ràng buộc. _Cách thành lập hàm trong bài toán kinh tế. • RÚT KINH NGHIỆM:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................................................................ Ngày ... tháng ... năm 200 KHOA BỘ MÔN GIẢNG VIÊN
TOÁN C: HỆ CAO ĐẲNG • GIÁO ÁN SỐ: 3 SỐ TIẾT: 5 • TÊN BÀI GIẢNG:Tích phân xác định và tích phân suy rộng • MỤC ĐÍCH: _ Tính được tích phân xác định bằng hai phương pháp từng phần và đổi biến, _ Xác định được bản chất tích phân suy rộng loại 1. • NỘI DUNG CHI TIẾT: TT Nội dung giảng dạy T.g Phương Pháp I Tích phân xác định: 5' Đối thoại 1.1 Định nghĩa: F được gọi là một nguyên hàm của hàm f nếu: F ' ( x) = f ( x); ∀x ∈ D . Ký hiệu ∫ f ( x)dx = F ( x). 1.2 Bảng nguyên hàm: Giáo trình 5' Đối thoại 1.3 Hai phương pháp tính nguyên hàm: 15' Đối thoại i) Đổi biến số: ∫ f ( x)dx = F ( x) ⇒∫ f [u( x)]u ( x)dx = ∫ f (u )du =F (u ). , Ví dụ: Tính ∫ (4 x 2 + 1)10 xdx. Chú ý: Nếu x = ϕ (t ) có đạo hàm liên tục và có hàm ngược là t = ϕ −1 ( x). Khi đó ∫ f ( x)dx = ∫ f [ϕ (t )]ϕ (t )dt. , dx Ví dụ: I = ∫ ( x 1+ 3 x ) Giải: Đặt t = 6 x ⇔ x = t 6 ; I = 6 6 x − 6arctg 6 x + C ii) Tích phân từng phần: 45' Đối thoại và ∫ udv = uv − ∫ vdu. hướng dẫn sinh viên giải Ví dụ: i ) ∫ ( x + 3)e − x dx. ii ) ∫ 2 x sin xdx. ln x iii ) ∫ dx. x2 iv) ∫ e 2 x sin xdx. 1.4 Tích phân xác định: 10' Đối thoại Định nghĩa: (Sinh viên đọc trong giáo trình). Công thức Newton-Leibnitz: Cho f khả tích trên [a; b], và F là một nguyên hàm của f . Khi đó b ∫ f ( x)dx = F (a) − F (b). a
Ví dụ: 40' Đối thoại và 1 dx hướng dẫn i) I = ∫ sinh viên giải (x + 3x + 2 ) 2 2 0 π 4 sin2 x ii ) I = ∫ 1 = sin 0 4 dx; u = sin 2 x ⇒ du = 2sin x cos xdx. x x 0 π 4 y 0 12 1 2 du 1 I= ∫ 1+ u 0 2 = arctg 2 π 4 ⎧u = x x ⎪ ⎧du = dx iii ) J = ∫ dx; ⎨ dx ⇒⎨ ⎪ cos 2 x = dv ⎩v = tgx 2 0 cos x ⎩ π 4 π 4 π 2 J = xtgx o − ∫ tgx = 4 − ln o 2 II Tích phân suy rộng loai 1: 10' Nêu và giải 2.1 Định nghĩa: Cho hàm số f xác định trên [a; ∞](t.u [−∞; b]), khả quyết vấn đề ⎛ b b ⎞ tích trên [a; b]; ∀b > a. Nếu lim ∫ f ( x)dx ⎜ t.u lim ∫ f ( x)dx ⎟ tồn b →∞ a →−∞ a ⎝ a ⎠ tại hữu hạn thì ta nói giới hạn đó là tích phân suy rộng loại 1 của f trên [a; ∞] ( t.u [−∞; b]) .Ký hiệu: ∞ ⎛ b b b ⎞ ∫ a f ( x)dx = lim ∫ f ( x)dx ⎜ t.u ∫ f ( x)dx = lim ∫ f ( x)dx ⎟ . b →∞ a ⎝ −∞ a →−∞ a ⎠ Khi này ta nói tích phân hội tụ, trong trường hợp ngược lại ta nói tích phân phân kỳ. Ví dụ: 15' Đối thoại ∞ 1 i ) ∫ e −2 x dx = 0 2 ∞ dx ii ) ∫ (a > 0). a xα Tích phân hội tụ khi α > 1 . phân kỳ khi α < 1. 2.2 Định lý: 15' Nêu và giải i) Cho f là hàm liên tuc trên [a; ∞](t.u [−∞; b]), khi đó nếu quyết vấn đề ∞ ⎛b ⎞ ∞ ⎛b ⎞ ∫ f ( x) dx ⎜ −∞ f ( x) dx ⎟ hôi tụ thì ∫ f ( x)dx ⎜ −∞ f ( x)dx ⎟ hội tụ a ⎝ ∫ ⎠ a ⎝ ∫ ⎠ ii) Cho f, g là hai hàm không âm liên tuc trên [ a; ∞](t.u [ −∞; b]), với 0 ≤ f ≤ g , khi đó:
∞ ⎛b ⎞ ∞ ⎛b ⎞ ∫ a f ( x)dx ⎜ ∫ f ( x)dx ⎟ phân kỳ ⇒ ∫ g ( x)dx ⎜ ∫ g ( x)dx ⎟ phân kỳ ⎝ −∞ ⎠ a ⎝ −∞ ⎠ ∞ ⎛ b ⎞ ∞ ⎛ b ⎞ ∫ a g ( x) dx ⎜ ∫ g ( x)dx ⎟ hội tụ ⇒ ∫ f ( x)dx ⎜ ∫ f ( x)dx ⎟ hội tụ ⎝ −∞ ⎠ a ⎝ −∞ ⎠ iii)Cho f, g là hai hàm không âm liên tuc trên [ a; ∞](t.u [−∞; b]), với 0 ≤ f ≤ g . Đặt f ( x) ⎛ f ( x) ⎞ k = lim ⎜ xlim ⎟. x →∞ g ( x) ⎝ →−∞ g ( x) ⎠ ∞ ⎛b ⎞ _ k = 0: ∫ a g ( x)dx ⎜ ∫ g ( x)dx ⎟ hội tụ ⎝ −∞ ⎠ ∞ ⎛ b ⎞ ⇒ ∫ f ( x)dx ⎜ ∫ f ( x)dx ⎟ hội tụ a ⎝ −∞ ⎠ ∞ ⎛b ⎞ ∞ ⎛b ⎞ _ 0 < k < ∞ : ∫ g ( x)dx ⎜ ∫ g ( x)dx ⎟ và ∫ f ( x)dx ⎜ ∫ f ( x)dx ⎟ a ⎝ −∞ ⎠ a ⎝ −∞ ⎠ cùng bản chất ∞ ⎛b ⎞ _ k = ∞ : ∫ g ( x)dx ⎜ ∫ g ( x)dx ⎟ phân kỳ a ⎝ −∞ ⎠ ∞ ⎛ b ⎞ ⇒ ∫ f ( x)dx ⎜ ∫ f ( x)dx ⎟ phân kỳ a ⎝ −∞ ⎠ Ví dụ: Xét tính hội tụ của các tích phân sau: 15' Hướng dẫn ∞ 2x +1 ∞ dx sinh viên giải I =∫ 4 dx; J = ∫ 0 x − 3x + 5 0 x + sin x + 1 Bài tập luyện tập: Sách giáo trình 45' Hướng dẫn • TỔNG KẾT BÀI:(5') _Hai phương pháp tính tích phân. _ Cách áp dụng định lý tích phân suy rộng. • RÚT KINH NGHIỆM: ………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………... Ngày ... tháng ... năm 200 KHOA BỘ MÔN GIẢNG VIÊN