Slide bài giảng toán A 3 Đại học

Chia sẻ: Nguyen Thi Gioi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:19

Thêm vào BST

Báo xấu

2.629
lượt xem 1.170
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Giáo trình Toán cao câp A3 – Nguyen Phú Vinh – ðHCN TP. HCM. 2. Ngân hàng câu hỏi Toán cao câp – Nguyen Phú Vinh – ðHCN TP.HCM. 3. Giảii tích hàm nhiêu biên (Toán 3) – Đỗ Công Khanh (chủ biên) – NXBĐHQG TP. HCM. 4. Giải tích hàm nhiêu biên (Toán 4) – Đỗ Công Khanh (chủ biên) – NXBĐHQG TP. HCM. 5. Phép tính Vi tích phân (tap 2) – Phan Quôc Khánh – NXB Giáo d c. 6. Phép tính Giải tích hàm nhiều biến– Nguyễn Đình Trí (chủ biên) – NXB Giáo dục. 7. Tích phân hàm nhiêu biên – Phan...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Slide bài giảng toán A 3 Đại học

ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A3DH TOÁN CAO C P A 3 ð I H C Tài li u tham kh o: 1. Giáo trình Toán cao c p A3 – Nguy n Phú Vinh – ðHCN TP. HCM. 2. Ngân hàng câu h i Toán cao c p – Nguy n Phú Vinh – ðHCN TP.HCM. 3. Gi i tích hàm nhi u bi n (Toán 3) – ð Công Khanh (ch biên) – NXBðHQG TP. HCM. 4. Gi i tích hàm nhi u bi n (Toán 4) – ð Công Khanh (ch biên) – NXBðHQG TP. HCM. 5. Phép tính Vi tích phân (t p 2) – Phan Qu c Khánh – NXB Giáo d c. 6. Phép tính Gi i tích hàm nhi u bi n – Nguy n ðình Trí (ch biên) – NXB Giáo d c. 7. Tích phân hàm nhi u bi n – Phan Văn H p, Lê ðình Th nh – NXB KH và K thu t. 8. Bài t p Gi i tích (t p 2) – Nguy n Th y Thanh – NXB Giáo d c. Chương 1. HÀM S NHI U BI N S §1. KHÁI NI M CƠ B N 1.1. ð nh nghĩa • Cho D ⊂ ℝ 2 . Tương ng f : D → ℝ , ( x, y ) ֏ z = f ( x, y ) duy nh t, ñư c g i là hàm s 2 bi n x và y. • T p D ñư c g i là MXð c a hàm s và f ( D ) = {z ∈ ℝ z = f ( x, y ), ∀( x, y ) ∈ D} là mi n giá tr . Hình b Hình a – N u M(x, y) thì D là t p h p ñi m M trong ℝ 2 sao cho – N u M(x, y) thì D là t p h p ñi m M trong ℝ 2 sao cho f(M) có nghĩa, thư ng là mi n liên thông (n u M, N thu c f(M) có nghĩa, thư ng là t p liên thông. (T p liên thông D mi n D mà t n t i 1 ñư ng n i M v i N n m hoàn toàn là t n t i ñư ng cong n i 2 ñi m b t kỳ trong D n m hoàn trong D thì D là liên thông-Hình a)). toàn trong D). – Tr trư ng h p D = ℝ 2 , D thư ng ñư c gi i h n b i 1 VD 1. ñư ng cong kín ∂D (biên) ho c không. Mi n liên thông D Hàm s z = f(x, y) = x3y + 2xy2 – 1 xác ñ nh trên ℝ 2 . là ñơn liên n u D ñư c gi i h n b i 1 ñư ng cong kín (Hình VD 2. Hàm s z = f ( x, y ) = 4 − x 2 − y 2 có MXð là hình a); ña liên n u ñư c gi i h n b i nhi u ñư ng cong kín r i tròn ñóng tâm O(0; 0), bán kính R = 2. nhau t ng ñôi m t (Hình b). – D là mi n ñóng n u M ∈ ∂D ⇒ M ∈ D , mi n m VD 3. Hàm s z = f ( x, y ) = ln(4 − x 2 − y 2 ) có MXð là n u M ∈ ∂D ⇒ M ∉ D . hình tròn m tâm O(0; 0), bán kính R = 2. Chú ý • Khi cho hàm s f(x, y) mà không nói gì thêm thì ta hi u VD 4. Hàm s z = f ( x, y ) = ln(2 x + y − 3) có MXð là n a MXð D là t p t t c (x, y) sao cho f(x, y) có nghĩa. • Hàm s n bi n f(x1, x2,…, xn) ñư c ñ nh nghĩa tương t . mp m biên d: 2x + y – 3 không ch a O(0; 0). 1.2. Gi i h n c a hàm s hai bi n – Hàm s liên t c Nh n xét • N u khi M n → M 0 trên 2 ñư ng khác nhau mà dãy • Dãy ñi m Mn(xn; yn) d n ñ n ñi m M0(x0; y0) trong ℝ 2 , ký hi u M n → M 0 hay ( xn ; yn ) → ( x0 ; y0 ) , khi n → +∞ {f(xn, yn)} có hai gi i h n khác nhau thì ∃ lim f ( M ) . M →M0 n u lim d ( M n , M 0 ) = lim ( xn − x0 ) + ( yn − y0 ) = 0 . 2 2 n →∞ n →∞ 2 x 2 y − 3x − 1 VD 5. Cho f ( x, y ) = lim f ( x, y ) . , tính • Cho hàm s f(x, y) xác ñ nh trong mi n D (có th không xy 2 + 3 ( x , y ) → (1, −1) ch a M0), ta nói L là gi i h n c a f(x, y) khi ñi m M(x, y) d n ñ n M0 n u m i dãy ñi m Mn (Mn khác M0) thu c D xy VD 6. Cho f ( x, y ) = d n ñ n M0 thì lim f ( xn , yn ) = L . lim f ( x, y ) . , tính x + y2 ( x , y ) → (0,0) n →∞ 2 f ( x, y ) = lim f ( M ) = L . lim Ký hi u: ( x , y ) →( x0 , y0 ) M →M0 • Hàm s f(x, y) liên t c trong D n u liên t c t i m i ñi m 3xy f ( x, y ) = VD 7. Cho hàm s . M thu c D. Hàm s f(x, y) liên t c trong mi n ñóng gi i n i x + y2 2 D thì ñ t giá tr l n nh t và nh nh t trong D. lim f ( x, y ) không t n t i. Ch ng t ( x , y ) → (0,0) VD 8. Xét tính liên t c c a hàm s :  xy • Hàm s f(x, y) xác ñ nh trong D ch a M0, ta nói f(x, y) , ( x, y ) ≠ (0, 0)  f ( x, y ) =  x 2 + y 2 lim f ( x, y ) và liên t c t i M0 n u t n t i . ( x , y ) → ( x0 , y0 )  0, ( x, y ) = (0,0)  f ( x , y ) = f ( x0 , y 0 ) . lim ( x , y ) → ( x0 , y0 ) Trang 1
ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A3DH §2. ð O HÀM RIÊNG – VI PHÂN 2.1. ð o hàm riêng • Tương t ta có ñ o hàm riêng theo y t i (x0, y0) là: f ( x0 , y0 + ∆y ) − f ( x0 , y0 ) a) ð o hàm riêng c p 1 f y/ ( x0 , y0 ) = lim . ∆y ∆y →0 • Cho hàm s f(x, y) xác ñ nh trên D ch a M0(x0, y0). N u VD 1. Tính các ñ o hàm riêng c a z = x4 – 3x3y2 + 2y3 – hàm s 1 bi n f(x, y0) (y0 là h ng s ) có ñ o hàm t i x = x0 3xy t i (–1; 2). thì ta g i ñ o hàm ñó là ñ o hàm riêng theo bi n x c a f(x, VD 2. Tính các ñ o hàm riêng c a f(x, y) = xy (x > 0). y) t i (x0, y0). x ∂f VD 3. Tính các ñ o hàm riêng c a z = cos t i (π ; 4) . Ký hi u: f x ( x0 , y0 ) hay f x/ ( x0 , y0 ) hay ( x0 , y0 ) . y ∂x • V i hàm n bi n ta có ñ nh nghĩa tương t . f ( x0 + ∆x, y0 ) − f ( x0 , y0 ) V y f x/ ( x0 , y0 ) = lim . VD 4. Tính các ñ o hàm riêng c a f ( x, y , z ) = e x y sin z . 2 ∆x ∆x → 0 b) ð o hàm riêng c p cao VD 5. Tính các ñ o hàm riêng c p hai c a z = x 3e y + x 2 y 3 − y 4 t i ( −1; 1) . • Các hàm s fx, fy có các ñ o hàm riêng (fx)x, (fy)y, (fx)y, (fy)x ñư c g i là các ñ o hàm riêng c p hai c a f. −y VD 6. Tính các ñ o hàm riêng c p hai c a f ( x, y ) = xe x 2 . ∂ ∂f ∂2 f ( f x ) x = f xx = f x/2/ =   = 2 , Ký hi u:  ∂x  ∂x  ∂x • Các ñ o hàm riêng c p hai c a hàm n bi n và ñ o hàm ∂  ∂f  ∂ 2 f (f ) riêng c p cao hơn ñư c ñ nh nghĩa tương t . = f yy = f =  = 2 , // ∂y  ∂y  ∂y y2 y y ð nh lý (Schwarz) ∂  ∂f  ∂ 2 f ( fx )y = f xy = f xy =  = // , ∂y  ∂x  ∂y∂x • N u hàm s f(x, y) có các ñ o hàm riêng fxy và fyx liên t c ∂  ∂f  ∂ 2 f trong mi n D thì fxy = fyx. (f ) = f yx = f =  = // . ∂x  ∂y  ∂x∂y y yx x • Hàm s f(x, y) kh vi trên mi n D n u f(x, y) kh vi t i 2.2. Vi phân m i (x, y) thu c D. a) Vi phân c p 1 • Cho hàm s f(x, y) xác ñ nh trong D ⊂ ℝ 2 và M 0 ( x0 , y 0 ) ∈ D , M ( x0 + ∆ x , y 0 + ∆ y ) ∈ D . Nh n xét N u s gia ∆f ( x0 , y0 ) = f ( x0 + ∆x, y0 + ∆y ) − f ( x0 , y0 ) có • N u f(x, y) kh vi t i M0 thì f(x, y) liên t c t i M0. th bi u di n dư i d ng: • T ∆f ( x0 , y0 ) = A.∆x + B.∆y + α∆x + β∆y , ta suy ra: ∆f ( x0 , y0 ) = A.∆x + B.∆y + α∆x + β∆y , f ( x0 + ∆x, y0 ) − f ( x0 , y0 ) = A.∆x + α∆x trong ñó A, B là nh ng s không ph thu c ∆x, ∆y và f ( x0 + ∆ x , y 0 ) − f ( x0 , y 0 ) α , β → 0 khi ( ∆x, ∆y ) → (0, 0) , ta nói f kh vi t i M0. = A, ⇒ lim ∆x ∆x →0 • Bi u th c A.∆x + B.∆y ñư c g i là vi phân c p 1 (toàn f ( x0 , y 0 + ∆ y ) − f ( x0 , y 0 ) =B. ph n) c a f(x, y) t i M0(x0, y0) ng v i ∆x, ∆y . tương t lim ∆y ∆y → 0 Ký hi u df(x0, y0). V y df ( x0 , y0 ) = f x/ ( x0 , y0 ).∆x + f y/ ( x0 , y0 ).∆y hay b) Vi phân c p cao df ( x0 , y0 ) = f x/ ( x0 , y0 )dx + f y/ ( x0 , y0 )dy . T ng quát: • Vi phân c p 2: d 2 f ( x, y ) = d ( df ( x, y ) ) df ( x, y ) = f x/ ( x, y )dx + f y/ ( x, y )dy , ( x, y ) ∈ D . . = f x/2/ ( x, y )dx 2 + 2 f xy ( x, y )dxdy + f y// ( x, y )dy 2 VD 7. // 2 Tính vi phân c p 1 c a z = x 2 e x − y + xy 3 − y 5 t i (–1; 1). −y VD 8. Tính vi phân c p 1 c a f ( x, y ) = e x 2 sin( xy 2 ) . • Vi phân c p n: n d n f ( x, y ) = d n −1 ( df ( x, y ) ) = ∑ Cn f x(kny)n −k ( x, y )dx k dy n − k . k ð nh lý k =0 • N u hàm s f(x, y) có các ñ o hàm riêng liên t c t i M0 trong mi n D ch a M0 thì f(x, y) kh vi t i M0. Trang 2
ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A3DH VD 9. Tính vi phân c p 2 c a f ( x, y ) = x 2 y 3 + xy 2 − 3x 3 y 5 2.3. ð o hàm c a hàm s h p • Cho hàm s f(u, v), trong ñó u = u(x) và v = v(x) là nh ng t i (2; –1). hàm s c a x. N u f(u, v) kh vi c a u, v và u(x), v(x) kh VD 10. Tính vi phân c p 2 c a f ( x, y ) = ln( xy 2 ) . df du dv df du dv = f u/ . + f v/ . . V i , , vi c a x thì là các dx dx dx dx dx dx ng d ng vi phân c p 1 vào tính g n ñúng giá tr hàm c) ñ o hàm toàn ph n theo x. s • N u hàm s f(x, y) kh vi c a x, y và y = y(x) là hàm s df dy = f x/ + f y/ . . f ( x0 + ∆ x , y 0 + ∆ y ) ≈ kh vi c a x thì dx dx . ≈ f ( x0 , y0 ) + f x/ ( x0 , y0 ).∆x + f y/ ( x0 , y0 ).∆y dz VD 12. Cho z = u 2 − uv + 2v 2 , u = e − x , v = sin x . Tính . 1,02 dx VD 11. Tính g n ñúng arctg . df 0,97 VD 13. Cho f ( x, y ) = ln( x 2 + y 2 ), y = sin 2 x . Tính . dx 2.4. ð o hàm c a hàm s n y . Tính y ′ . VD 17. Cho ln x 2 + y 2 = arctg • Cho hai bi n x, y th a phương trình F(x, y) = 0 (*). x N u y = y(x) là hàm s xác ñ nh trong 1 kho ng nào ñó sao • Cho hàm s n hai bi n z = f(x, y) xác ñ nh b i cho khi th y(x) vào (*) ta ñư c ñ ng nh t th c thì y = y(x) F(x, y, z)) = 0, v i Fz/ ( x, y , z ) ≠ 0 ta có: là hàm s n xác ñ nh b i (*). • Fx/ ( x, y , z ) + Fz/ ( x, y , z ). z x ( x, y ) = 0 / VD 14. Fx/ ( x, y, z ) ⇒ z x ( x, y ) = − / Xác ñ nh hàm s n y(x) trong phương trình x2 + y2 – 4 = 0. , Fz/ ( x, y, z ) • ð o hàm hai v (*) theo x, ta ñư c: • Fy/ ( x, y , z ) + Fz/ ( x, y , z ). z y ( x, y ) = 0 / F / ( x, y ) Fx/ ( x, y ) + Fy/ ( x, y ). y ′ = 0 ⇒ y ′ = − x/ , Fy/ ( x, y ) ≠ 0 . Fy/ ( x, y , z ) Fy ( x, y ) ⇒ z y ( x, y ) = − / . VD 15. Cho xy − e x + e y = 0 . Tính y ′ . Fz/ ( x, y , z ) VD 18. Cho xyz = cos( x + y + z ) . Tính z x , z y . VD 16. Cho y 3 + ( x 2 + 1) y + x 4 = 0 . Tính y ′ . / / §3. C C TR C A HÀM HAI BI N S Chú ý. ði m M0 th a f x/ ( x0 , y0 ) = f y/ ( x0 , y0 ) = 0 ñư c g i 3.1. ð nh nghĩa • Hàm s z = f(x, y) ñ t c c tr (ñ a phương) t i ñi m là ñi m d ng, có th không là ñi m c c tr c a z. M0(x0; y0) n u v i m i ñi m M(x, y) khá g n nhưng khác b) ði u ki n ñ . Gi s f(x, y) có ñi m d ng là M0 và có M0 thì hi u f(M) – f(M0) có d u không ñ i. ñ o hàm riêng c p hai t i lân c n ñi m M0. • N u f(M) – f(M0) > 0 thì f(M0) là c c ti u và M0 là ñi m ð t A = f x// ( x0 , y0 ), B = f xy/ ( x0 , y0 ), C = f y// ( x0 , y0 ) . / c c ti u; f(M) – f(M0) < 0 thì f(M0) là c c ñ i và M0 là ñi m 2 2 c c ñ i. C c ñ i và c c ti u g i chung là c c tr . Khi ñó: VD 1. Hàm s f(x, y) = x2 + y2 – xy ñ t c c ti u t i O(0; 0). + N u AC – B2 > 0 và A > 0 thì hàm s ñ t c c ti u t i ñ i m M 0; 3.2. ð nh lý AC – B2 > 0 và A < 0 thì hàm s ñ t c c ñ i t i ñi m M0. a) ði u ki n c n + N u AC – B2 < 0 thì hàm s không có c c tr (ñi m M0 • N u hàm s z = f(x, y) ñ t c c tr t i M0(x0, y0) và t i ñó ñư c g i là ñi m yên ng a). + N u AC – B2 = 0 thì chưa th k t lu n hàm s có c c tr hàm s có ñ o hàm riêng thì: f x/ ( x0 , y0 ) = f y/ ( x0 , y0 ) = 0 . hay không (dùng ñ nh nghĩa ñ xét). + N u ∆ < 0 thì k t lu n hàm s không ñ t c c tr . 3.3. C c tr t do + N u ∆ = 0 thì không th k t lu n (trong chương trình h n Cho hàm s z = f(x, y). ð tìm c c tr c a f(x, y) trên MXð D, ta th c hi n các bư c sau: ch lo i này). Bư c 1. Tìm ñi m d ng M0(x0; y0) b ng cách gi i h :  f x/ ( x0 , y0 ) = 0 VD 2.  / . Tìm ñi m d ng c a hàm s z = xy(1 – x – y).  f y ( x0 , y0 ) = 0  Bư c 2. Tính A = f x// ( x0 , y0 ), B = f xy/ ( x0 , y0 ) , VD 3. / 2 Tìm c c tr c a hàm s z = x2 + y2 + 4x – 2y + 8. C = f y/2/ ( x0 , y0 ) ⇒ ∆ = AC − B 2 . VD 4. Bư c 3. Tìm c c tr c a hàm s z = x3 + y3 – 3xy – 2. + N u ∆ > 0 và A > 0 thì k t lu n hàm s ñ t c c ti u t i M0 và c c ti u là f(M0); + N u ∆ > 0 và A < 0 thì k t lu n hàm s ñ t c c ñ i t i VD 5. Tìm c c tr c a hàm s z = 3x2y + y3 – 3x2 – 3y2 + 2. M0 và c c ñ i là f(M0). Trang 3
ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A3DH 3.4. C c tr có ñi u ki n VD 7. Tìm c c tr c a hàm s f(x, y) = xy v i ñi u ki n: • Cho hàm s z = f(x, y) xác ñ nh trên lân c n c a ñi m 2x + 3y – 5 = 0. M0(x0; y0) thu c ñư ng cong ϕ ( x, y ) = 0 . N u t i ñi m M0 Phương pháp nhân t Lagrange hàm s f(x, y) ñ t c c tr thì ta nói ñi m M0 là ñi m c c tr c a f(x, y) v i ñi u ki n ϕ ( x, y ) = 0 . Bư c 1. L p hàm Lagrange: • ð tìm c c tr có ñi u ki n c a hàm s f(x, y) ta dùng L( x, y , λ ) = f ( x, y ) + λϕ ( x, y ) , λ là nhân t Lagrange. phương pháp kh ho c nhân t Lagrange. Bư c 2. Gi i h : Phương pháp kh T phương trình ϕ ( x, y ) = 0 , ta rút x ho c y th vào f(x, y)  L'x = 0 '  Ly = 0 ⇒ ñi m d ng M0(x0; y0) ng v i λ0. và tìm c c tr hàm 1 bi n. VD 6. Tìm c c tr c a hàm s f(x, y) = x2 + y2 – xy + x + y '  Lλ = 0 v i ñi u ki n x + y + 3 = 0. Bư c 3 Bư c 4 T ñi u ki n (1) và (2), ta có: + N u d 2 L( x0 , y0 ) > 0 thì hàm s ñ t c c ti u t i M0. Tính d 2 L( x0 , y0 ) + N u d 2 L( x0 , y0 ) < 0 thì hàm s ñ t c c ñ i t i M0. = L''x 2 ( x0 , y0 )dx 2 + 2 L''xy ( x0 , y0 )dxdy + L''y 2 ( x0 , y0 )dy 2 . + N u d 2 L( x0 , y0 ) = 0 thì ñi m M0 không là ñi m c c tr . ði u ki n ràng bu c: VD 9. dϕ ( x0 , y0 ) = 0 ⇒ ϕ x/ ( x0 , y0 )dx + ϕ y ( x0 , y0 )dy = 0 (1) Tìm c c tr c a hàm s z = 2x + y v i ñi u ki n x2 + y2 = 5. / VD 10. và x2 y2 (dx)2 + (dy)2 > 0 (2). + = 1. Tìm c c tr c a hàm s z = xy v i ñi u ki n 8 2 Chương 2. TÍCH PHÂN B I §1. TÍCH PHÂN B I HAI (KÉP) 1.1. Bài toán m ñ u (th tích kh i tr cong) • Xét hàm s z = f(x, y) liên t c, không âm và m t m t tr có các ñư ng sinh song song Oz, ñáy là mi n ph ng ñóng D trong Oxy. ð tính th tích kh i tr , ta chia mi n D thành n ph n không d m lên nhau, di n tích m i ph n là ∆Si (i=1,2,…,n). Như v y kh i tr cong ñư c chia thành n kh i tr nh . Trong m i ∆Si ta l y ñi m Mi(xi; yi) tùy ý. Ta có th tích ∆Vi c a G i d i = max {d ( A, B ) A, B ∈ ∆Si } là ñư ng kính c a ∆Si . kh i tr nh là: n ∆Vi ≈ f ( xi ; yi )∆Si ⇒ V ≈ ∑ f ( xi , yi )∆Si . n ∑ f ( x , y ) ∆S Ta có: V = lim i =1 . i i i max d i →0 i =1 1.2. ð nh nghĩa Ký hi u I = ∫∫ f ( x, y )dS . D • Cho hàm s z = f(x, y) xác ñ nh trên mi n ñóng gi i n i, ð nh lý. Hàm f(x, y) liên t c trong mi n b ch n, ñóng D thì ño ñư c D trong Oxy. Chia mi n D m t cách tùy ý thành n kh tích trong D. ph n không d m lên nhau, di n tích m i ph n là ∆Si • N u t n t i tích phân, ta nói f(x, y) kh tích; f(x, y) là hàm (i=1,2,…,n). Trong m i ∆Si ta l y ñi m Mi(xi; yi) tùy ý. Khi dư i d u tích phân; x, y là các bi n tích phân. n ñó I n = ∑ f ( xi , yi )∆Si ñư c g i là t ng tích phân c a hàm Chú ý i =1 1) N u chia D b i các ñư ng th ng song song v i các tr c f(x, y) trên D ( ng v i phân ho ch ∆Si và các ñi m Mi). t a ñ thì ∆Si = ∆xi.∆yi hay dS = dxdy. n ∑ f ( x , y ) ∆S N u I = lim V y I = ∫∫ f ( x, y )dS = ∫∫ f ( x, y )dxdy . t n t i h u h n, không ph i i i max d i →0 i =1 D D thu c vào phân ho ch ∆Si và cách ch n ñi m Mi thì s I ∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫∫ f (u, v )dudv . 2) ñư c g i là tích phân b i hai c a f(x, y) trên D. D D Trang 4
ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A3DH Nh n xét • Tính ch t 3 ∫∫ dxdy = S ( D ) (di n tích mi 1) n D). D ∫∫ f ( x, y )dxdy 2) f(x, y) > 0, liên t c ∀(x, y) ∈ D thì là th D tích hình tr có các ñư ng sinh song song v i Oz, hai ñáy gi i h n b i các m t z = 0 và z = f(x, y). 1.3. Tính ch t c a tích phân kép • Tính ch t 1. Hàm s f(x, y) liên t c trên D thì f(x, y) kh N u chia D thành D1 và D2 b i ñư ng cong có di n tích tích trên D. b ng 0 thì: • Tính ch t 2. Tính tuy n tính: ∫∫ [ f ( x, y ) ± g ( x, y )]dxdy = ∫∫ fdxdy ± ∫∫ gdxdy ; ∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫∫ f ( x, y )dxdy + ∫∫ f ( x, y )dxdy . D D D D D1 D2 ∫∫ kf ( x, y )dxdy = k ∫∫ f ( x, y )dxdy, k ∈ ℝ . D D Tương t , D = {( x, y ) : x1 ( y ) ≤ x ≤ x2 ( y ), c ≤ y ≤ d } thì: 1.4. Phương pháp tính tích phân kép 1.4.1. ðưa v tích phân l p d  x2 ( y )  x2 ( y ) d ð nh lý (Fubini) ∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫  ∫ f ( x, y )dx  dy = ∫ dy ∫ f ( x, y )dx .   ∫∫ f ( x, y )dxdy c  x1 ( y )  • Gi s tích phân t n t i, v i D c x1 ( y ) D D = {( x, y ) : a ≤ x ≤ b, y1 ( x ) ≤ y ≤ y2 ( x )} và v i m i Chú ý 1) Khi D = {( x, y ) : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d } = [a , b] × [c, d ] y2 ( x ) ∫ x ∈ [a, b] c ñ nh f ( x, y )dy t n t i thì: (hình ch nh t) thì: y1 ( x ) b d d b ∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫ dx ∫ f ( x, y )dy = ∫ dy ∫ f ( x, y )dx   y2 ( x ) y2 ( x ) b b ∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫  ∫ f ( x, y )dy  dx = ∫ dx ∫ f ( x, y )dy . D a c c a   (hoán v c n).  y1 ( x )  D a a y1 ( x ) 2) D = {( x, y ) : a ≤ x ≤ b, y1 ( x ) ≤ y ≤ y2 ( x )} và VD 1. Xác ñ nh c n tích phân l p khi tính tích phân I = ∫∫ f ( x, y )dxdy trong các trư ng h p sau: f(x, y) = u(x).v(y) thì: y2 ( x ) b D ∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫ u( x )dx ∫ v ( y )dy . 1) D gi i h n b i các ñư ng y = 0, y = x và x = a. D a y1 ( x ) 2) D gi i h n b i các ñư ng y = 0, y = x2 và x + y = 2. Tương t , D = {( x, y ) : x1 ( y ) ≤ x ≤ x2 ( y ), c ≤ y ≤ d } thì: VD 2. x2 ( y ) d ∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫ v ( y )dy ∫ Tính I = ∫∫ xydxdy v i D gi i h n b i y = x – 4, y2 = 2x. u( x )dx . D c x1 ( y ) D 3) N u D là mi n ph c t p thì ta chia D ra thành nh ng mi n ñơn gi n như trên. ð i th t l y tích phân x2 ( y ) d y2 ( x ) I = ∫ dy ∫ b f ( x, y )dx I = ∫ dx ∫ f ( x, y )dy c x1 ( y ) a y1 ( x ) Trang 5
ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A3DH 1.4.2. Phương pháp ñ i bi n a) Công th c ñ i bi n t ng quát VD 3. ð i th t l y tích phân trong các tích phân sau: ð nh lý. Gi s x = x(u, v), y = y(u, v) là hai hàm s có các ñ o hàm riêng liên t c trên mi n ñóng gi i n i Duv trong mp 2 − x2 1 1) I = ∫ dx ∫ Ouv. G i Dxy = {( x, y ) : x = x (u, v ), y = y (u, v ), (u, v ) ∈ Duv } . f ( x, y )dy ; 0 x N u hàm f(x, y) kh tích trên Dxy và ñ nh th c Jacobi 2y 3 ∂ ( x, y ) 2) I = ∫ dy ∫ f ( x, y )dx ; J= ≠ 0 trong Duv thì: ∂ (u, v ) 1 0 1 x 3 1 ∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫∫ f ( x(u, v ), y (u, v )) 3) I = ∫ dx ∫ f ( x, y )dy + ∫ dx ∫ f ( x, y )dy . J dudv . Dxy Duv 2 2 0 1 x x 9 9 ∂ ( x, y ) xu xv / / 1 1 Trong ñó: J = =/ = =/ /. ∂ (u, v ) yu yv/ ∂ (u, v ) u x u y ∂ ( x, y ) / / vx v y b) ð i bi n trong t a ñ c c VD 4. Cho mi n Duv là hình tam giác O(0;0), A(2;0), B(0;2) trong mpOuv. G i mi n Dxy là nh c a Duv qua phép bi n hình g: (x, y) = g(u, v) = (u+v, u2–v). 1 Tính tích phân c a hàm f ( x, y ) = trên mi n 1+ 4x + 4 y bi n hình Dxy = g(Duv). VD 5. Cho mi n Duv là ph n tư hình tròn ñơn v trong mpOuv. G i mi n Dxy là nh c a Duv qua phép bi n hình g: (x, y) = g(u, v) = (u2–v2, 2uv). Tính tích phân c a hàm 1 f ( x, y ) = trên mi n bi n hình Dxy. x + y2  x = r cos ϕ 2 , v i r ≥ 0, 0 ≤ ϕ ≤ 2π • ð i bi n:   y = r sin ϕ VD 6. Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i b n Parapol: y = x2, y = 2x2, x = y2 và x = 3y2. ho c −π ≤ ϕ ≤ π . Khi ñó, mi n Dxy tr thành: Chú ý Drϕ = {( r, ϕ ) : ϕ1 ≤ ϕ ≤ ϕ 2 , r1 (ϕ ) ≤ r ≤ r2 (ϕ )} 1) ð i bi n trong t a ñ c c thư ng dùng khi biên D là cos ϕ − r sin ϕ ∂ ( x , y ) xr / / xϕ ñư ng tròn ho c elip. và J = =/ = =r. sin ϕ r cos ϕ ∂ ( r, ϕ ) yr  x = r cos ϕ / yϕ 2) ð tìm r1 (ϕ ), r2 (ϕ ) ta thay  vào phương  y = r sin ϕ V y ta có: trình c a biên D. 3) N u c c O n m trong D và m i tia t O c t biên D không ∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫∫ f ( r cosϕ , r sin ϕ )rdrdϕ quá 1 ñi m thì: r (ϕ ) 2π Dxy Drϕ f ( r cos ϕ , r sin ϕ )rdrdϕ = ∫ dϕ f ( r cos ϕ , r sin ϕ ) rdr . ∫∫ ∫ . ϕ2 r2 (ϕ ) = ∫ dϕ f ( r cos ϕ , r sin ϕ )rdr ∫ Drϕ 0 0 ϕ1 r1 (ϕ ) 4) N u c c O n m trên biên D thì: VD 9. Tính tích phân I = ∫∫ e − ( x + y2 ) 2 dxdy v i D là hình tròn ϕ2 r (ϕ ) ∫∫ f (r cos ϕ , r sin ϕ )rdrdϕ = ϕ∫ dϕ ∫ f ( r cos ϕ , r sin ϕ ) rdr . D x2 + y 2 ≤ R2 . Drϕ 0 1 VD 10. Tính di n tích mi n D gi i h n b i: 5) N u biên D là elip thì ñ t: y = –x, x 2 + y 2 = 3 x 2 + y 2 − 3x và y ≥ 0 .  x = r a cos ϕ ⇒ Drϕ = {( r , ϕ ) : 0 ≤ ϕ ≤ 2π , 0 ≤ r ≤ 1} .   y = r b sin ϕ Công th c Walliss ∫∫ f ( x, y )dxdy trong t a ñ c c. VD 7. Bi u di n tích phân  (n − 1)!!  n !! , n leû π π D  2 2 2 2 Bi t mi n D là mi n ph ng n m ngoài (C1): (x – 1) + y = 1 ∫ sin n xdx = ∫ cos n xdx =  .  π . (n − 1)!! , n chaün và n m trong (C2): (x – 2)2 + y2 = 4. 0 0  x2 y2 2 n !! VD 8. Tính di n tích hình ellip: 2 + 2 ≤ 1 . a b Trang 6
ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A3DH M T S M T B C HAI TRONG KHÔNG GIAN Oxyz • Trong không gian Oxyz, m t b c hai là t p h p t t c các x2 y 2 z2 + − = 0 (nón eliptic); 5) ñi m M(x; y; z) có t a ñ th a phương trình: a 2 b2 c 2 Ax2 + 2Bxy + 2Cxz+ Dy2 + 2Eyz + Fz2 + 2Gx + 2Hy+ 2Kz x2 y2 6) 2 + 2 = 2 z (parabolit eliptic); + L = 0. a b Trong ñó A, B, C, D, E, F không ñ ng th i b ng 0. x2 y2 • Các d ng chính t c c a m t b c hai: 7) 2 − 2 = 2 z (parabolit hyperbolic – yên ng a); 1) x 2 + y 2 + z 2 = R 2 (m t c u); a b x2 y2 x2 y2 z2 8) 2 + 2 = 1 (m t tr eliptic); + + = 1 (m t elipxoit); 2) a 2 b2 c 2 a b x2 y2 x2 y2 z2 9) 2 − 2 = 1 (m t tr hyperbolic); 3) 2 + 2 − 2 = 1 (hyperboloit 1 t ng); a b a b c 10) y 2 = 2 px (m t tr parabolic). 2 2 z2 x y 4) 2 + 2 − 2 = −1 (hyperboloit 2 t ng); a b c Trang 7
ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A3DH §2. TÍCH PHÂN B I BA 2.1. Bài toán m ñ u (kh i lư ng v t th ) 2.2. ð nh nghĩa • Gi s ta c n tính kh i lư ng c a v t th V không ñ ng • Cho hàm s f(x, y, z) xác ñ nh trong mi n ño ñư c V c a ch t, bi t m t ñ (kh i lư ng riêng) t i P(x, y, z) là không gian Oxyz. Chia mi n V m t cách tùy ý thành n ph n ρ = ρ ( P ) = ρ ( x, y , z ) . Ta chia V tùy ý thành n ph n không không d m lên nhau, th tích m i ph n là ∆Vi (i=1,2,…,n). Trong m i ∆Vi ta l y Pi(xi; yi; zi) tùy ý và l p t ng tích phân d m lên nhau, th tích m i ph n là ∆Vi (i=1,2,…,n). Trong m i ∆Vi ta l y ñi m Pi(xi; yi; zi) và ñư ng kính c a ∆Vi là n I n := ∑ f ( xi , yi , zi ) ∆Vi . di. Kh i lư ng V x p x : i =1 n n m ≈ ∑ ρ ( Pi ) ∆Vi = ∑ ρ ( xi , yi , zi ) ∆Vi . n ∑ f ( x , y , z )∆V t N u I = lim n t i h u h n, không i i i i max d i → 0 i =1 i =1 i =1 n ph thu c vào cách chia V và cách ch n ñi m Pi thì s th c ∑ ρ ( x , y , z )∆V thì ñó là kh i lư ng m lim N ut nt i i i i i I ñư c g i là tích phân b i ba c a f(x, y, z) trên V. max d i →0 i =1 Ký hi u I = ∫∫∫ f ( x, y , z )dV . c a v t t h V. V ð nh lý. Hàm f(x, y, z) liên t c trong mi n b ch n, ñóng V 3) Tích phân b i ba có các tính ch t như tích phân kép. thì kh tích trong V. 2.3. Phương pháp tính tích phân b i ba • N u t n t i tích phân, ta nói f(x, y, z) kh tích; f(x, y, z) là 2.3.1. ðưa v tích phân l p hàm dư i d u tích phân; x, y, z là các bi n tích phân. a) Gi s mi n V có gi i h n trên b i m t z = z2(x, y), gi i Nh n xét h n dư i b i z = z1(x, y), gi i h n xung quanh b i m t tr 1) N u chia V b i các ñư ng th ng song song v i các tr c t a ñ thì ∆Vi = ∆xi.∆yi.∆zi hay dV = dxdydz. có ñư ng sinh song song v i tr c Oz. G i D là hình chi u c a V trên mpOxy. V y I = ∫∫∫ f ( x, y , z )dV = ∫∫∫ f ( x, y , z )dxdydz . Khi ñó: V V  z2 ( x , y )  2) N u f ( x, y , z ) ≥ 0 trên V thì I = ∫∫∫ f ( x, y , z )dxdydz là ∫∫∫ f ( x, y , z )dxdydz = ∫∫  ∫ f ( x, y , z )dz  dxdy   D  z1 ( x , y )  V V . kh i lư ng v t th V, v i kh i lư ng riêng v t ch t chi m z2 ( x , y ) = ∫∫ dxdy ∫ th tích V là f(x, y, z). f ( x, y , z )dz N u f(x, y, z) = 1 thì I là th tích V. D z1 ( x , y ) • N u D = {( x, y ) : a ≤ x ≤ b, y1 ( x ) ≤ y ≤ y2 ( x )} thì:  y2 ( x , z )  ∫∫∫ f ( x, y , z )dxdydz = ∫∫  ∫ f ( x, y , z )dy  dxdz y2 ( x ) z2 ( x , y )   b ∫∫∫ f ( x, y , z )dxdydz = ∫ dx ∫ ∫ D  y1 ( x , z )  dy f ( x, y , z )dz . V . y2 ( x , z ) V a y1 ( x ) z1 ( x , y ) = ∫∫ dxdz ∫ • N u D = {( x, y ) : x1 ( y ) ≤ x ≤ x2 ( y ), c ≤ y ≤ d } thì: f ( x, y , z )dy D y1 ( x , z ) x2 ( y ) z2 ( x , y ) d • N u D = {( x, z ) : a ≤ x ≤ b, z1 ( x ) ≤ z ≤ z2 ( x )} thì: ∫∫∫ f ( x, y , z )dxdydz = ∫ dy ∫ ∫ dx f ( x, y , z )dz . z2 ( x ) y2 ( x , z ) b V c x1 ( y ) z1 ( x , y ) ∫∫∫ f ( x, y , z )dxdydz = ∫ dx ∫ ∫ dz f ( x, y , z )dy . b) G i D là hình chi u c a V trên mpOxz. V a z1 ( x ) y1 ( x , z ) • N u D = {( x, z ) : x1 ( z ) ≤ x ≤ x2 ( z ), e ≤ z ≤ f } thì: Gi s mi n V có gi i h n (theo chi u ngư c v i tia Oy) b i hai m t y = y2(x, z) và m t y = y1(x, z), gi i h n xung x2 ( z ) y2 ( x , z ) f ∫∫∫ f ( x, y, z )dxdydz = ∫ dz ∫ ∫ quanh b i m t tr có ñư ng sinh song song Oy. dx f ( x, y , z )dy . Khi ñó: V e x1 ( z ) y1 ( x , z ) Trang 8
ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A3DH • N u D = {( y , z ) : y1 ( z ) ≤ y ≤ y2 ( z ), e ≤ z ≤ f } c) G i D là hình chi u c a V trên mpOyz. Gi s mi n V có gi i h n (theo chi u ngư c v i tia Ox) thì: b i hai m t x = x2(y, z) và m t x = x1(y, z), gi i h n xung y2 ( z ) x2 ( y , z ) f ∫∫∫ f ( x, y , z )dxdydz = ∫ dz ∫ ∫ quanh b i m t tr có ñư ng sinh song song Ox. dy f ( x, y , z )dx . Khi ñó: V e y1 ( z ) x1 ( y , z )  x2 ( y , z )  ∫∫∫ f ( x, y , z )dxdydz = ∫∫  ∫ f ( x, y , z )dx  dydz   D  x1 ( y , z )  V ð c bi t . D = {( x, y , z ) : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d , e ≤ z ≤ f } x2 ( y , z ) = ∫∫ dydz ∫ •N u f ( x, y , z )dx = [a, b] × [c, d ] × [e, f ] D x1 ( y , z ) thì: • N u D = {( y , z ) : c ≤ y ≤ d , z1 ( y ) ≤ z ≤ z2 ( y )} thì: f b d ∫∫∫ f ( x, y , z )dxdydz = ∫ dx ∫ dy ∫ f ( x, y , z )dz . z2 ( y ) x2 ( y , z ) d ∫∫∫ f ( x, y, z )dxdydz = ∫ dy ∫ ∫ dz f ( x, y , z )dx . V a c e V c z1 ( y ) x1 ( y , z ) 2.3.2. ð i bi n t ng quát  x = x (u, v , w) VD 1. Tính tích phân I = ∫∫∫ 8 xyzdxdydz v i xu xv/ xw / / ∂ ( x, y , z )  • ð t  y = y (u, v, w) và J = = yu yv y w . / / / V ∂ (u, v , w) V = [1, 2] × [–1, 3] × [0, 2].  z = z ( u , v , w) zu zv/ z w / /  Gi s các hàm x, y, z có ñ o hàm riêng liên t c trong mi n 1 1 2 VD 2. Tính tích phân l p I = ∫ dx ∫ dy ∫ (4 + z )dz và d ng ñóng, gi i n i ño ñư c Vuvw trong không gian Ouvw và J ≠ 0 thì: −1 x2 0 mi n l y tích phân V. ∫∫∫ f ( x, y, z )dxdydz V VD 3. Tính tích phân I = ∫∫∫ ydxdydz v i V gi i h n b i . = ∫∫∫ f ( x (u, v, w), y (u, v, w), z (u, v, w)). J .dudvdw V Vuvw x + y + z – 1 = 0 và 3 m t ph ng t a ñ . Ta có: VD 4. Tính tích phân I = ∫∫∫ ( x + y + z )dxdydz v i xr/ / xθ/ xϕ V ∂ ( x, y, z ) yθ/ = r 2 sin θ . J= = yr/ / yϕ ∂( r , ϕ , θ ) V : −x + y + z + x − y + z + x + y − z ≤ 2 . zr/ / zθ/ zϕ x2 y 2 z 2 + + ≤ R2 . Khi ñó ta có: VD 5. Tính th tích c a kh i elipxoit V : a 2 b2 c 2 ∫∫∫ f ( x, y, z )dxdydz = ∫∫∫ f (r cosϕ , r sin ϕ , z ).r.drdϕ dz . 2.3.3. ð i bi n trong t a ñ tr V Vrϕ z  x = r cos ϕ VD 6. Tính th tích kh i V gi i h n b i các m t  ð t  y = r sin ϕ , v i x 2 + y 2 = 4 − z , x 2 + y 2 ≥ 2 và z = 0. z = z  VD 7. Tính tích phân I = ∫∫∫ z x 2 + y 2 dxdydz v i V là r ≥ 0, 0 ≤ ϕ ≤ 2π ho c V −π ≤ ϕ ≤ π . mi n hình tr gi i h n b i: x 2 + y 2 = 2 y , z = 0 và z = 1. Ta có: VD 8. Tính tích phân I = ∫∫∫ ( x 2 + y 2 + z 2 )dxdydz v i V là cos ϕ − r sin ϕ xr/ / x z/ xϕ 0 V ∂ ( x, y, z ) mi n hình nón gi i h n b i các m t: x + y = z và z = 1. y = sin ϕ r cos ϕ J= = yr/ 0 =r. 2 2 2 / / yϕ ∂(r,ϕ , z ) z zr/ / / zϕ z 0 0 1 z 2.3.3. ð i bi n trong t a ñ c u  x = r sin θ cos ϕ Khi ñó ta có:  ð t  y = r sin θ sin ϕ , v i ∫∫∫ f ( x, y, z )dxdydz  z = r cos θ  V . r ≥ 0, 0 ≤ ϕ ≤ 2π , 0 ≤ θ ≤ π ho c = ∫∫∫ f ( r sin θ cos ϕ , r sin θ sin ϕ , r cos θ ).r 2 sin θ .drdϕ dθ −π ≤ ϕ ≤ π . Vrϕθ Trang 9
ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A3DH §3. NG D NG C A TÍCH PHÂN B I 3.1. Di n tích, th tích (xem nh n xét tích phân b i hai, ba). 1 VD 9. Tính tích phân I = ∫∫∫ dxdydz v i V là 3.2. Giá tr trung bình c a hàm s trên mi n ñóng x + y2 + z2 2 V • Giá tr trung bình c a hàm s f(x, y) trên mi n ñóng D là: mi n gi i h n b i các m t c u: 1 S ( D ) ∫∫ f= x 2 + y 2 + z 2 = 1 và x 2 + y 2 + z 2 = 4 . f ( x, y )dxdy . D VD 1. Tính giá tr trung bình c a f(x, y) = xcosxy trong VD 10. Tính tích phân I = ∫∫∫ ( x 2 + y 2 )dxdydz v i V là hình ch nh t 0 ≤ x ≤ π , 0 ≤ y ≤ 1 . • Giá tr trung bình c a hàm s f(x, y, z) trên mi n ñóng Ω V mi n gi i h n b i: x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4 và z ≥ 0 . 1 V (Ω) ∫∫ f= f ( x, y , z )dxdydz . là: Ω VD 2. Tính giá tr trung bình c a f(x, y, z) = xyz trong hình l p phương [0, 2] × [0, 2] × [0, 2]. 3.3. Kh i lư ng 3.4. Momen tĩnh ð nh nghĩa • Cho m t b n ph ng chi m mi n D ñóng trong Oxy có kh i lư ng riêng (m t ñ kh i lư ng) t i ñi m M(x, y) thu c D là • Momen tĩnh c a m t ch t ñi m có kh i lư ng m ñ t t i hàm ρ ( x, y ) liên t c trên D. Kh i lư ng c a b n ph ng là: ñi m M(x, y) trong Oxy ñ i v i tr c Ox, Oy theo th t là: My=0 = my, Mx=0 = mx. m = ∫∫ ρ ( x, y )dxdy . • Momen tĩnh c a m t ch t ñi m có kh i lư ng m ñ t t i D ñi m M(x, y, z) trong Oxyz ñ i v i các m t ph ng t a ñ • Cho m t v t th chi m mi n V ñóng trong Oxyz có kh i Oxy, Oyz, Oxz theo th t là: lư ng riêng t i ñi m M(x, y, z) thu c V là hàm ρ ( x, y , z ) Mz=0 = mz, Mx=0 = mx, My=0 = my. liên t c trên V. Kh i lư ng c a v t th là: Công th c tính m = ∫∫∫ ρ ( x, y , z )dxdydz . • Momen tĩnh c a b n ph ng chi m di n tích D trong Oxy có kh i lư ng riêng t i ñi m M(x, y) là hàm ρ ( x, y ) liên V VD 3. Tính kh i lư ng b n ph ng chi m mi n D gi i h n t c trên D là: b i x 2 + y 2 ≤ 4 , x ≥ 0 và y ≥ 0 . Bi t kh i lư ng riêng là M y = 0 = ∫∫ y ρ ( x, y )dxdy , M x = 0 = ∫∫ x ρ ( x, y )dxdy . hàm ρ ( x, y ) = xy . D D 3.5. Tr ng tâm • Momen tĩnh c a v t th chi m mi n V trong Oxyz có kh i • Cho b n ph ng chi m di n tích D trong Oxy có kh i lư ng lư ng riêng t i ñi m M(x, y, z) là hàm ρ ( x, y , z ) liên t c riêng t i ñi m M(x, y) là hàm ρ ( x, y ) liên t c trên D. Khi ñó, t a ñ tr ng tâm G c a b n ph ng là: trên V là: ∫∫ xρ ( x, y )dxdy M z = 0 = ∫∫∫ z ρ ( x, y , z )dxdydz , 1 x ρ ( x, y )dxdy , m ∫∫ xG = = D V ∫∫ ρ ( x, y )dxdy M x = 0 = ∫∫∫ x ρ ( x, y , z )dxdydz, D D V ∫∫ y ρ ( x, y )dxdy M y =0 = ∫∫∫ y ρ ( x, y , z )dxdydz. 1 y ρ ( x, y )dxdy. m ∫∫ yG = = D V ∫∫ ρ ( x, y )dxdy D D Khi b n ph ng ñ ng ch t thì ρ ( x, y ) là h ng s nên: Khi v t th ñ ng ch t thì ρ ( x, y , z ) là h ng s nên: 1 1 1 S ( D ) ∫∫ S ( D ) ∫∫ xG = ∫∫∫ xdxdydz , xG = xdxdy, yG = ydxdy . VV D D • Cho v t th chi m th tích V trong Oxyz có kh i lư ng 1 ∫∫∫ ydxdydz, . yG = riêng t i ñi m M(x, y, z) là hàm ρ ( x, y , z ) liên t c trên V. V V Khi ñó, t a ñ tr ng tâm G c a v t th là: 1 V ∫∫∫ zG = zdxdydz. 1 xG = ∫∫∫ x ρ ( x, y , z )dxdydz , V mV a ñ tr ng tâm hình ph ng D gi i h n b i VD 4. Tìm t 1 x + y ≤ 1 . Bi t ρ ( x, y ) = 2 x + y . x ≥ 0, y ≥ 0, y ρ ( x, y , z )dxdydz , m ∫∫∫ yG = a ñ tr ng tâm c a v t th ñ ng ch t chi m th VD 5. Tìm t V n b i m t nón z 2 = x 2 + y 2 , z ≥ 0 và m t c u 1 tích V gi i h z ρ ( x, y , z )dxdydz. m ∫∫∫ zG = x2 + y2 + z2 = 1 . V Trang 10
ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A3DH 3.4. Momen quán tính ð nh nghĩa Công th c tính • Momen quán tính c a m t ch t ñi m có kh i lư ng m ñ t t i ñi m M(x, y) ñ i v i tr c Ox, Oy và g c t a ñ O theo • Cho b n ph ng chi m di n tích D trong mpOxy có kh i lư ng riêng t i ñi m M(x, y) là hàm ρ ( x, y ) liên t c trên D. th t là: Ix = my2, Iy = mx2 và IO = Ix + Iy = m(x2 + y2). Khi ñó: • Momen quán tính c a m t ch t ñi m có kh i lư ng m ñ t I x = ∫∫ y 2 ρ ( x, y )dxdy , t i ñi m M(x, y, z) ñ i v i tr c Ox, Oy, Oz và g c t a ñ O D theo th t là: I y = ∫∫ x 2 ρ ( x, y )dxdy , Ix = m(y2 + z2), Iy = m(x2 + z2), Iz = m(x2 + y2) IO = Ix + Iy + Iz = m(x2 + y2 + z2). và D I O = ∫∫ ( x 2 + y 2 ) ρ ( x, y )dxdy. • Momen quán tính c a m t ch t ñi m có kh i lư ng m ñ t t i ñi m M(x, y, z) ñ i v i các m t ph ng t a ñ Oxy, Oyz, D Oxz th t là: Iz=0 = mz2, Ix=0 = mx2, Iy=0 = my2. • Cho v t th chi m mi n V trong Oxyz có kh i lư ng riêng I z = 0 = ∫∫∫ z 2 ρ ( x, y , z )dxdydz , t i ñi m M(x, y, z) là hàm ρ ( x, y , z ) liên t c trên V. Khi V ñó: I x = 0 = ∫∫∫ x 2 ρ ( x, y , z )dxdydz , và I x = ∫∫∫ ( y 2 + z 2 ) ρ ( x, y , z )dxdydz, V I y = 0 = ∫∫∫ y 2 ρ ( x, y , z )dxdydz. V I y = ∫∫∫ ( x + z ) ρ ( x, y, z)dxdydz, 2 2 V V I z = ∫∫∫ ( x 2 + y 2 ) ρ ( x, y, z )dxdydz , VD 6. Tính Ix, Iy c a hình D gi i h n b i y2 = 1 – x, x = 0, y = 0. Bi t kh i lư ng riêng là ρ ( x, y ) = y . V I O = ∫∫∫ ( x 2 + y 2 + z 2 ) ρ ( x, y , z )dxdydz VD 7. Tính IO c a hình tròn x 2 + y 2 − 2 Rx ≤ 0 . Bi t ρ ( x, y ) = x 2 + y 2 . V Chương 3. TÍCH PHÂN ðƯ NG – TÍCH PHÂN M T §1. TÍCH PHÂN ðƯ NG LO I I n ∑ f ( x , y )∆s t n t i ñư c g i là tích lim Gi i h n 1.1. ð nh nghĩa i i i max ∆si → 0 i =1 phân ñư ng lo i 1 c a f(x, y) trên ñư ng cong L. • Gi s ñư ng cong L trong m t ph ng Oxy có phương ∫ f ( x, y )ds . trình tham s x = x (t ) , y = y (t ) v i a ≤ t ≤ b và f(x, y) là Ký hi u là L hàm s xác ñ nh trên L. Chia L thành n cung không d m lên Nh n xét nhau b i các ñi m chia ng v i a = t0 < t1 < ... < tn = b . 1) Tích phân ñư ng lo i 1 có t t c các tính ch t c a tích G i ñ dài cung th i là ∆si . Trên cung th i l y ñi m phân xác ñ nh. 2) Tích phân ñư ng lo i 1 không ph thu c vào chi u c a n M i ( xi , yi ) . T ng I n = ∑ f ( xi , yi ) ∆si ñư c g i là t ng tích ∫ ∫ f ( x, y )ds = f ( x, y )ds . L: i =1 phân ñư ng (lo i 1) c a hàm f(x, y) trên ñư ng cong L. AB BA 1.2. Phương pháp tính b) ðư ng cong L trong Oxy có phương trình t ng quát a) ðư ng cong L có phương trình tham s • N u L có phương trình y = y ( x ) v i a ≤ x ≤ b thì: • N u L có phương trình x = x (t ) , y = y (t ) v i a ≤ t ≤ b b f ( x, y )ds = ∫ f ( x, y ( x )) 1 + ( y x ) dx . 2 ∫ / thì: L a b ( xt/ ) + ( yt/ ) dt . 2 2 ∫ f ( x, y )ds = ∫ f ( x (t ), y (t )) • N u L có phương trình x = x ( y ) v i a ≤ y ≤ b thì: L a • N u L trong không gian có phương trình x = x (t ) , b (x ) /2 ∫ f ( x, y )ds = ∫ f ( x ( y ), y ) + 1dy . y = y (t ) , z = z (t ) v i a ≤ t ≤ b thì: y L a b ( x ) + ( y ) + ( z ) dt . /2 /2 /2 ∫ f ( x, y , z )ds = ∫ f ( x (t ), y (t ), z (t )) t t t L a Trang 11
ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A3DH ð c bi t • N u L có phương trình y = α (h ng s ) v i a ≤ x ≤ b thì: ∫ zds v i L là ñư ng xo n c tr tròn xoay có VD 1. Tính b L ∫ f ( x, y )ds = ∫ f ( x, α )dx . phương trình x = a cos t , y = a sin t , z = bt , 0 ≤ t ≤ 2π . L a • N u L có phương trình x = α (h ng s ) v i a ≤ y ≤ b thì: ∫ ( x + y )ds v i L là tam giác có các ñ nh VD 2. Tính b f ( x, y )ds = ∫ f (α , y )dy . ∫ L O(0; 0), A(1; 0), B(0; 1). L a c) ðư ng cong L trong t a ñ c c • N u L ñư c cho trong t a ñ c c r = r (ϕ ) v i α ≤ ϕ ≤ β ∫ xyds VD 3. Tính v i L là ph n giao tuy n gi a m t thì ta xem ϕ là tham s . Khi ñó, phương trình c a L là L z = 2 − x 2 − 2 y 2 và z = x 2 n m trong góc ph n tám th x = r (ϕ ) cos ϕ , y = r (ϕ ) sin ϕ , α ≤ ϕ ≤ β và: nh t t ñi m A(0; 1; 0) ñ n B(1; 0; 1). β f ( x, y )ds = ∫ f ( r (ϕ ) cos ϕ , r (ϕ ) sin ϕ ) r 2 + ( rϕ/ ) dϕ . 2 ∫ α L Tr ng tâm G c a L là: 1.3. ng d ng ∫ ds , v 1 1 xG = ∫ x ρ ( x, y , z )ds , yG = ∫ y ρ ( x, y , z )ds , 1) ð dài cung L là i f(x, y) = 1 ho c f(x, y, z) = 1. mL mL L 2) N u dây v t d n có hình d ng L và hàm m t ñ kh i 1 zG = ∫ z ρ ( x, y, z )ds . lư ng ρ ( x, y ) ph thu c vào ñi m M(x, y) trên L thì kh i mL lư ng c a dây v t d n là m = ∫ ρ ( x, y )ds . VD 4. Tính ñ dài cung tròn x 2 + y 2 − 2 x = 0 n m trong L 1 3 Tr ng tâm G c a L là: góc th nh t t A(2; 0) ñ n B  ; . 1 1 2 2  xG = ∫ x ρ ( x, y )ds , yG = ∫ y ρ ( x, y )ds . mL mL VD 5. Cho m t dây thép d ng n a ñư ng tròn trong mpOyz v i phương trình y 2 + z 2 = 1 , z ≥ 0 . Bi t m t ñ kh i lư ng 3) N u dây v t d n có hình d ng L và hàm m t ñ kh i lư ng ρ ( x, y , z ) ph thu c vào ñi m M(x, y, z) trên L thì ρ ( x, y , z ) = 2 − z . kh i lư ng c a dây v t d n là m = ∫ ρ ( x, y , z )ds . Tìm kh i lư ng và tr ng tâm c a dây thép. L §2. TÍCH PHÂN ðƯ NG LO I II 2.1. Bài toán m ñ u • Tính công sinh ra do l c F = F ( M ) tác d ng lên ch t Khi ñó, công W sinh ra: n n W ≈ ∑Wi = ∑ F ( M i ) Ai −1 Ai ñi m M(x, y) di chuy n d c theo ñư ng cong L. N u L là ño n th ng AB thì công sinh ra là i =1 i =1 ( ) W = F . AB = F AB cos F , AB . n = ∑ [ P (ξi ,ηi )∆xi + Q (ξi ,ηi ) ∆yi ]. i =1 Chia L thành n cung nh b i các ñi m chia A0 , A1 ,..., An . Vy Trên m i cung Ai −1 Ai l y ñi m Mi(xi, yi) tùy ý. Chi u n ∑ [ P(ξ ,η )∆x + Q (ξi ,ηi ) ∆yi ] . W= lim i i i F ( M i ) và Ai −1 Ai lên tr c Ox, Oy ta ñư c: max Ai −1 Ai → 0 i =1 F ( M i ) = P(ξi ,ηi ).i + Q (ξi ,ηi ). j và Ai −1 Ai = ∆xi .i + ∆yi . j . 2.2. ð nh nghĩa ∫ P( x, y )dx + Q ( x, y )dy . Ký hi u là • Cho hai hàm P(x, y), Q(x, y) xác ñ nh trên ñư ng cong L. L Chia L thành n cung nh b i các ñi m chia A0 , A1 ,..., An . Nh n xét Trên m i cung Ai −1 Ai l y ñi m Mi(xi, yi) tùy ý. G i Ai −1 Ai = ( ∆xi , ∆yi ) . T ng 1) Tích phân ñư ng lo i 2 có t t c các tính ch t như tích phân xác ñ nh. n I n = ∑ [ P (ξi ,ηi )∆xi + Q (ξi ,ηi )∆yi ] ñư c g i là t ng tích i =1 2) Tích phân ñư ng lo i 2 ph thu c vào chi u c a L vì khi phân ñư ng (lo i 2) c a hàm P(x, y) và Q(x, y) trên ñư ng thay ñ i chi u thì Ai −1 Ai = ( ∆xi , ∆yi ) ñ i d u, do ñó khi vi t cong L. tích phân ta c n ghi rõ ñi m ñ u và cu i: lim I n t n t i ñư c g i là tích phân ñư ng Gi i h n max Ai−1 Ai → 0 ∫ P( x, y )dx + Q ( x, y )dy = − ∫ P( x, y )dx + Q ( x, y )dy . lo i 2 c a P(x, y) và Q(x, y) trên ñư ng cong L. AB BA Trang 12
ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A3DH 2.3. Phương pháp tính 3) T ñ nh nghĩa t ng tích phân, ta có th vi t: a) ðư ng cong L có phương trình tham s ∫ P( x, y )dx + Q ( x, y )dy = ∫ P( x, y )dx + ∫ Q ( x, y )dy . • N u L có phương trình x = x (t ) , y = y (t ) thì: AB AB AB ∫ P( x, y )dx + Q ( x, y )dy AB • N u L là ñư ng cong ph ng, kín l y theo chi u dương tB = ∫  P( x (t ), y (t )) xt/ + Q ( x(t ), y (t )) yt/  dt. (ngư c chi u kim ñ ng h ) thì ta dùng ký hi u:   ∫ P( x, y )dx + Q ( x, y )dy . tA • N u L trong không gian có pt x = x (t ) , y = y (t ) , z = z (t ) : L ∫ P( x, y, z )dx + Q( x, y, z)dy + R( x, y, z )dz • ð nh nghĩa tương t : AB ∫ P( x, y, z )dx + Q( x, y, z)dy + R( x, y, z)dz .  P ( x(t ), y (t ), z (t )) xt/ + Q ( x (t ), y (t ), z (t )) yt/  tB = ∫  dt. L + R( x (t ), y (t ), z (t )) zt/  tA    b) ðư ng cong L trong Oxy có phương trình t ng quát ð c bi t • N u L có phương trình y = α (h ng s ) thì: • N u L có phương trình y = y ( x ) thì: xB ∫ P( x, α )dx . ∫ P( x, y )dx + Q ( x, y )dy = xB ∫ ∫  P( x, y ( x )) + Q ( x, y ( x)). y x  dx . Pdx + Qdy = /   xA AB • N u L có phương trình x = α (h ng s ) thì: xA AB yB ∫ Q (α , y )dy . ∫ P( x, y )dx + Q ( x, y )dy = • N u L có phương trình x = x ( y ) thì: yA AB yB ∫ Pdx + Qdy = ∫  P( x( y ), y ). x + Q ( x ( y ), y )  dy . / x2 y2   ∫ xdy − ydx v i L là elip + = 1 l y theo y VD 1. Tính yA a 2 b2 AB L chi u dương. 2.4. Công th c Green (liên h v i tích phân kép) ∫ ( x − y )dx + ( x + y )dy v i L là ñư ng n i VD 2. Tính • Cho mi n D là mi n liên thông, b ch n, có biên L Jordan L kín trơn t ng khúc. Chi u dương c a L là chi u mà khi di ñi m O(0; 0) v i A(1; 1) trong các trư ng h p: chuy n ta th y mi n D n m v phía tay trái. a) ñư ng th ng y = x; b) ñư ng y = x2; c) ñư ng y = x . ∫ dx − ydy + dz v i L là ñư ng xo n c tr tròn VD 3. Tính • N u các hàm s P(x, y) và Q(x, y) có các ñ o hàm riêng L xoay có phương trình x = cos t , y = sin t , z = 2t t ñi m c p 1 liên t c trên D thì: ∫∫ (Q − Py/ )dxdy = A(1; 0; 0) ñ n B(0; 1; π ) . ∫ P( x, y )dx + Q( x, y )dy . / x D L 2.5. ði u ki n tích phân ñư ng không ph thu c ñư ng H qu l y tích phân 1 S ( D ) = ∫ xdy − ydx . ð nh lý 2 ∂D • Gi s các hàm s P(x, y), Q(x, y) và các ñ o hàm riêng c p 1 c a chúng liên t c trong mi n ñơn liên D. Khi ñó, b n x2 y2 m nh ñ sau tương ñương: + = 1. VD 4. Tính di n tích c a elip a 2 b2 1) Py/ = Qx/ , ∀( x, y ) ∈ D . ∫ P( x, y )dx + Q ( x, y )dy = 0 d c theo m i ñư ng kín L 2) )dx + ( x + 2 xy + y 2 e − y )dx , v i L ∫ ( xarctgx + y 2 VD 5. Tính L L n m trong D. là x 2 + y 2 − 2 y = 0 . ∫ P( x, y )dx + Q ( x, y )dy , trong ñó 3) n m trong D, ch AB xdy − ydx VD 6. Tính ∫ 2 trong các trư ng h p: AB x + y2 ph thu c vào hai mút A, B mà không ph thu c vào ñư ng L n i A v i B. a) L là ñư ng cong kín không bao g c O; 4) Bi u th c P(x, y)dx + Q(x, y)dy là vi phân toàn ph n c a b) L là ñư ng cong kín bao g c O. hàm u(x, y) nào ñó trong mi n D. Trang 13
ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A3DH §3. TÍCH PHÂN M T LO I I 3.1. ð nh nghĩa H qu • Cho hàm s f(x, y, z) xác ñ nh trên m t S. Chia S m t cách • N u P(x, y)dx + Q(x, y)dy là vi phân toàn ph n c a hàm u(x, y) nào ñó trong mi n D, nghĩa là Py/ = Qx/ , ∀( x, y ) ∈ D tùy ý thành n ph n không d m lên nhau, di n tích m i ph n là ∆Si (i=1,2,…,n). Trong m i ∆Si ta l y ñi m M i (ξi ,ηi , ζ i ) thì: n ∫ P( x, y )dx + Q ( x, y )dy = u( B) − u( A) . tùy ý và l p t ng tích phân I n = ∑ f (ξi ,ηi , ζ i ) ∆Si . i =1 AB n ∑ f (ξ ,η , ζ )∆S Nu I= lim t n t i h u h n, không x− y x+ y i i i i max d ( ∆Si ) →0 ∫ x 2 + y 2 dx + x 2 + y 2 dy v i L là ñư ng trơn VD 7. Tính i =1 ph thu c vào cách chia S và cách ch n ñi m Mi thì s I L t ng khúc n i A(1; 1) và B(2; 2) n m trong mi n D không ñư c g i là tích phân m t lo i 1 c a f(x, y, z) trên S. ch a g c t a ñ O. Ký hi u I = ∫∫ f ( x, y , z )dS . S 3.2. Phương pháp tính c) Chi u S lên Oyz • N u S có phương trình x = x(y, z) và S có hình chi u trên a) Chi u S lên Oxy • N u S có phương trình z = z(x, y) và S có hình chi u trên Oyz là D thì: 1 + ( x y ) + ( xz/ ) dydz . Oxy là D thì: 2 2 ∫∫ f ( x, y, z )dS = ∫∫ f ( x( y, z ), y, z ) / 1+ (z ) + ( z ) dxdy . /2 /2 ∫∫ f ( x, y, z )dS = ∫∫ f ( x, y, z( x, y )) S D x y S D VD 1. Tính I = ∫∫ zdS , trong ñó S là ph n m t nón b) Chi u S lên Oxz S • N u S có phương trình y = y(x, z) và S có hình chi u trên z = x + y v i 0 ≤ z ≤1. 2 2 2 Oxz là D thì: VD 2. Tính I = ∫∫ z 2 ( x 2 + y 2 )dS , trong ñó S là ph n m t f ( x, y , z )dS = ∫∫ f ( x, y ( x, y ), z ) 1 + ( y x ) + ( y z/ ) dxdz . 2 2 ∫∫ / S S D c u x2 + y2 + z2 = 4 v i x ≥ 0 , y ≥ 0 . §4. TÍCH PHÂN M T LO I II 4.1. ð nh nghĩa 3.3. ng d ng c a tích phân m t lo i 1 4.1.1. M t ñ nh hư ng ∫∫ dS . 1) Di n tích m t S là • M t trơn S ñư c g i là m t ñ nh hư ng n u pháp vector S 2) N u m t S có hàm m t ñ kh i lư ng là ρ ( x, y , z ) thì ñơn v n xác ñ nh t i m i ñi m M thu c S (có th tr biên S) bi n ñ i liên t c khi M ch y trên S. M t ñ nh hư ng có kh i lư ng c a m t S là: m = ∫∫ ρ ( x, y, z )dS . hai phía, phía mà n u ñ ng trên ñó thì n hư ng t chân lên ñ u là phía dương, ngư c l i là phía âm. S Khi ñó, t a ñ tr ng tâm G c a m t S là: 1 1 xG = ∫∫ x ρ ( x, y , z )dS , yG = ∫∫ y ρ ( x, y , z )dS , mS mS 1 z ρ ( x, y, z )dS . m ∫∫ zG = S • Hư ng c a biên S là hư ng ngư c chi u kim ñ ng h khi G i Di là hình chi u c a ∆Si lên Oxy kèm theo d u dương nhìn t ng n c a n . n u ∆Si có ñ nh hư ng trên, ngư c l i là d u âm. • Khi m t S không kín, ta g i phía trên là phía mà n l p v i n L p t ng tích phân I n = ∑ f (ξi ,ηi , ζ i ).S ( Di ) . tia Oz góc nh n, ngư c là là phía dư i. Khi m t S kín ta g i phía trong và phía ngoài. i =1 • M t trơn t ng khúc S là ñ nh hư ng ñư c n u hai ph n n ∑ f (ξ ,η , ζ ).S ( D ) t Nu I= lim n t i h u h n, trơn b t kỳ c a S n i v i nhau b i ñư ng biên C có ñ nh i i i i max d ( ∆Si ) →0 i =1 hư ng ngư c nhau. không ph thu c vào cách chia S và cách ch n ñi m Mi thì s I ñư c g i là tích phân m t lo i 2 c a f(x, y, z) trên m t 4.1.2. ð nh nghĩa tích phân m t lo i 2 ñ nh hư ng S. • Cho hàm s f(x, y, z) xác ñ nh trên m t ñ nh hư ng, trơn ∫∫ f ( x, y, z)dxdy . Ký hi u t ng khúc S. Chia S m t cách tùy ý thành n ph n không d m lên nhau, di n tích m i ph n là ∆Si (i=1,2,…,n). Trong S m i ∆Si ta l y ñi m M i (ξi ,ηi , ζ i ) tùy ý. Trang 14
ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A3DH • Tương t , khi chi u S lên Ozx và Oyz ta có 4.2. Liên h v i tích phân m t lo i 1 • Cho m t ñ nh hư ng trơn t ng khúc S có pháp vector ñơn ∫∫ f ( x, y, z )dzdx ∫∫ f ( x, y, z )dydz . và v n . G i α , β , γ l n lư t là góc h p b i n v i các tia S S Ox, Oy, Oz. Khi ñó: • K t h p c 3 d ng trên ta ñư c tích phân m t lo i 2 c a ∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy các hàm P, Q, R trên S: S ∫∫ P( x, y, z )dydz + Q ( x, y, z)dzdx + R( x, y, z)dxdy . = ∫∫ ( P cos α + Q cos β + R cos γ )dS . S S Trong ñó: Nh n xét 1 cos α = • N u ñ i hư ng c a m t S thì tích phân ñ i d u. , 1 + ( x y ) + ( x z/ ) 2 2 • N u S kín thì tích phân còn ñư c ký hi u là: / ∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy . 1 1 cosβ = , cosγ = . S 1 + ( yx ) + ( y ) 1 + ( z x ) + ( z /y ) 2 /2 2 2 / / z 4.3. Phương pháp tính a) N u S có hình chi u ñơn tr lên Oxy là mi n Dxy và có phương trình z(x, y) thì: ∫∫ zdxdy , v VD 1. Tính i S là phía ngoài c a m t c u ∫∫ R( x, y, z )dxdy = ± ∫∫ R( x, y, z( x, y ))dxdy . S x2 + y 2 + z2 = R2 . S Dxy (d u + hay – tùy thu c vào m t phía trên hay dư i). b) N u S có hình chi u ñơn tr lên Oxz là mi n Dxz và có VD 2. Cho I = ∫∫ ( y − z )dydz + ( z − x )dzdx + ( x − y )dxdy , phương trình y(x, z) thì: S ∫∫ Q ( x, y, z )dzdx = ± ∫∫ Q ( x, y ( x, z), z)dzdx . v i S là phía ngoài c a m t nón x 2 + y 2 = z 2 , 0 ≤ z ≤ 4 . S Dxz Chuy n tích phân v lo i 1 r i tính I. c) N u S có hình chi u ñơn tr lên Oyz là mi n Dyz và có phương trình x(y, z) thì: ∫∫ P( x, y, z )dydz = ± ∫∫ P( x( y, z), y, z )dydz . S D yz 4.4. Công th c Stokes 4.5. Công th c Gauss – Ostrogradski • Cho S là m t ñ nh hư ng trơn t ng khúc có biên ∂S trơn • Cho V là m t kh i gi i n i v i biên S trơn t ng khúc. Gi t ng khúc và không t c t. Gi s P, Q, R là các hàm có ñ o s P, Q, R là các hàm có ñ o hàm riêng liên t c trong mi n hàm riêng liên t c trong mi n m ch a S. Khi ñó: m ch a V. Khi ñó: ∫ Pdx + Qdy + Rdz ∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = ∫∫∫ ( P + Q y + Rz/ ) dxdydz . / / ∂S x = ∫∫ ( R y − Qz/ ) dydz + ( Pz/ − Rx/ ) dzdx + (Qx/ − Py/ ) dxdy. S V / ∫∫ (Tích phân l y theo phía ngoài c a S). S (Hư ng c a ∂S là hư ng dương phù h p v i hư ng c a S). S ∫ ydx + zdy + xdz , v i C là ñư ng tròn giao VD 3. Tính ∫∫ x dydz + y dzdx + z dxdy , v 3 3 3 VD 4. Tính i S là phía C c a m t c u x + y + z = R và m t ph ng x + y + z = 0 2 2 2 2 S ngoài c a m t c u x 2 + y 2 + z 2 = R 2 . và hư ng tích phân trên C là hư ng dương khi nhìn t ng n tia Oz. Chương 5. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN – H PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN C P I §1. KHÁI NI M CƠ B N V PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN • D ng t ng quát c a ptvp c p n là F(x, y, y’,…, y(n)) = 0(*), • M t phương trình ch a ñ o hàm ho c vi phân c a 1 ho c n u t (*) ta gi i ñư c theo y(n) thì ptvp có d ng: vài hàm c n tìm ñư c g i là phương trình vi phân. y(n) = f(x, y, y’,…, y(n–1)). • Nghi m c a ptvp F(x, y, y’,…, y(n)) = 0 trên kho ng K là 1 VD 1. y’ – 2y = 1; (x + y)dy – 2ydx = 0; hàm s y = φ(x) xác ñ nh trên K sao cho khi thay y = φ(x) dy dz +2 =0. 2y’’ – 3y’ + y = 0; vào ptvp ta ñư c ñ ng nh t th c trên K. dx dx Phương trình vi phân có vô s nghi m sai khác h ng s C. • Gi i phương trình vi phân là tìm t t c các nghi m c a nó. • C p cao nh t c a ñ o hàm ch a trong phương trình vi • ð th c a nghi m y = φ(x) ñư c g i là ñư ng cong tích phân (ptvp) ñư c g i là c p c a ptvp ñó. phân. dy = x 2 là ptvp c p 1; VD 2. y’ = 3x và dx VD 3. Các hàm s y = ex, y = e–x, y = C1ex + C2e–x ñ u là y’’ + 4y’ – 3y = 0 là ptvp c p 2. nghi m c a y’’ – y = 0. Trang 15
ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A3DH §2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN C P 1 2.1. Khái ni m cơ b n v phương trình vi phân c p 1 • Nghi m c a ptvp ch a h ng s C là nghi m t ng quát, • Phương trình vi phân c p 1 là phương trình có d ng t ng nghi m ch a h ng s C0 c th là nghi m riêng và nghi m quát F(x, y, y’) = 0 (*), n u t (*) ta gi i ñư c theo y’ thì không nh n ñư c t nghi m t ng quát là nghi m kỳ d . y’ = f(x, y). VD 2. • Gi i ptvp c p 1 v i ñi u ki n ñ u y(x0) = y0 là ñi tìm Tìm nghi m kỳ d c a ptvp y ′ = 1 − y 2 . nghi m th a ñi u ki n ñ u, hay tìm 1 ñư ng cong tích phân c a ptvp ñi qua ñi m M0(x0; y0). VD 3. Tìm ptvp c a h ñư ng cong y = Cx2. VD 1. Gi i ptvp y ′ − x = 0 , bi t ñư ng cong tích phân ñi qua ñi m M(2; 1). 2.2. M t s phương trình vi phân c p 1 cơ b n Chú ý Ptvp f1 ( x ) g1 ( y )dx + f 2 ( x ) g 2 ( y )dy = 0 (1’) ñư c ñưa v 2.2.1. Phương trình vi phân c p 1 có bi n phân ly • Ptvp có bi n phân ly có d ng: d ng (1) như sau: f ( x )dx + g ( y )dy (1) . + N u g1(y0) = 0 thì y = y0 là nghi m c a (1). + N u f2(x0) = 0 thì x = x0 là nghi m c a (1). + N u g1 ( y ) ≠ 0, f 2 ( x ) ≠ 0 thì: Phương pháp gi i • L y tích phân hai v (1) ta ñư c nghi m t ng quát: f ( x) g ( y) dx + 2 dy = 0 (d ng (1)). (1') ⇒ 1 ∫ f ( x )dx + ∫ g ( y )dy = C . f2 ( x) g1 ( y ) VD 5. Gi i ptvp y ′ = xy ( y + 2) . xdx ydy VD 6. Gi i ptvp x 2 ( y + 1)dx + ( x 3 − 1)( y − 1)dy = 0 . + = 0. VD 4. Gi i ptvp 1 + x2 1 + y2 1 VD 7. Gi i ptvp xy’ + y = y2 th a ñi u ki n ñ u y (1) = . 2 2.2.2. Phương trình vi phân ñ ng c p c p 1 Phương pháp gi i y • ð t u = ⇒ y ′ = u + xu′ . • Hàm hai bi n f(x, y) ñư c g i là ñ ng c p b c n n u v i x m i k > 0 thì f(kx, ky) = knf(x, y). Ch ng h n, các hàm du dx (ϕ (u ) − u ≠ 0 ≠ x ) • (2) ⇒ u + xu ′ = ϕ (u ) ⇒ = x 2 − xy x− y ϕ (u ) − u x f ( x, y ) = , f ( x, y ) = , f(x, y) = x2 + xy là 2x + 3y 2x + 3y (ptvp có bi n phân ly). ñ ng c p b c 0, 1, 2 tương ng. x 2 − xy + y 2 VD 9. Gi i ptvp y ′ = .  y • Cho hàm f(x, y) ñ ng c p b c 0 hay f ( x, y ) = ϕ  xy .  x x+ y VD 10. Gi i ptvp y ′ = v i ñi u ki n ñ u y(1) = 0. Khi ñó, ptvp ñ ng c p có d ng: x− y y ′ = f ( x, y ) (2) . 2.2.3. Phương trình vi phân toàn ph n Bư c 3. ð o hàm (3c) theo y: • Cho ptvp có d ng: P( x, y )dx + Q ( x, y )dy = 0 (3) v i ñi u u y = ϕ y + C ′( y ) (3d). / / ki n Qx/ = Py/ trong mi n ph ng D. N u t n t i hàm u(x, y) Bư c 4. So sánh (3b) và (3d) ta tìm ñư c C(y), thay vào (3c) ta ñư c u(x, y). sao cho du(x, y) = P(x, y)dx + Q(x, y)dy thì (3) ñư c g i là ptvp toàn ph n. VD 11. Cho phương trình vi phân: • Nghi m t ng quát c a (3) là u(x, y) = C. (3 y 2 + 2 xy + 2 x )dx + ( x 2 + 6 xy + 3)dy = 0 (*). Phương pháp gi i a) Ch ng t (*) là ptvp toàn ph n. Bư c 1. T (3) ta có ux = P (3a) và u y = Q (3b). / / b) Gi i ptvi (*). Bư c 2. L y tích phân (3a) theo x: VD 12. Gi i ptvp ( x + y − 1)dx + (e y + x )dy = 0 . u( x, y ) = ∫ P( x, y )dx = ϕ ( x, y ) + C ( y ) (3c), v i C(y) là hàm theo bi n y. Trang 16
ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A3DH 2.2.4. Phương trình vi phân tuy n tính c p 1 Chú ý • Phương trình vi phân tuy n tính c p 1 có d ng: y ′ + p( x ) y = q( x ) (4) . • Khi tính các tích phân trên, ta ch n h ng s là 0. • Phương pháp bi n thiên h ng s là ñi tìm nghi m t ng • Khi f(x) = 0 thì (4) ñư c g i là ptvp tuy n tính c p 1 thu n quát c a (4) dư i d ng: nh t. y = C ( x )e ∫ − p ( x ) dx . Phương pháp gi i (phương pháp bi n thiên h ng s Lagrange) VD 13. Gi i pt y ′ − x 2 y = 0 th a ñi u ki n x = 3, y = – e9. Bư c 1. Tìm bi u th c A( x ) = e ∫ − p ( x ) dx . VD 14. Gi i pt y ′ + y cos x = e − sin x . Bư c 2. Tìm bi u th c B( x ) = ∫ q( x ).e ∫ p ( x ) dx dx . Bư c 3. Nghi m t ng quát là y = A( x ) [ B( x ) + C ] . VD 15. Gi i pt y ′( x + y 2 ) = y . 2.2.5. Phương trình vi phân Bernoulli • Phương trình vi phân Bernoulli có d ng: Chú ý y ′ + p( x ) y = q( x ) y α (5) . • Phương trình Bernoulli luôn có nghi m kỳ d là y = 0. • Khi α = 0 ho c α = 1 thì (5) là tuy n tính c p 1. VD 16. • Khi p(x) = q(x) = 1 thì (5) là phương trình có bi n phân ly. y Gi i ptvp y ′ + = xy 2 v i ñi u ki n x = 1, y = 1. Phương pháp gi i (v i α khác 0 và 1) x + V i y ≠ 0 , bi n ñ i: VD 17. Gi i ptvp y ′ − 2 xy = x 3 y 2 . y′ y (5) ⇒ α + p( x ) α = q( x ) ⇒ y ′y −α + p( x ) y1−α = q( x ) . y y dy dy + 2y = x . VD 18. Gi i ptvp x 3 sin y + ð t z = y1−α ⇒ z ′ = (1 − α ) y ′y −α thì dx dx (5) ⇒ z ′ + (1 − α ) p( x ) z = (1 − α ) q( x ) (pt tuy n tính c p 1). §3. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN C P 2 3.1. Các d ng phương trình cơ b n 3.1.2. Phương trình khuy t y 3.1.1. Phương trình khuy t y và y’ • D ng phương trình: y ′′ = f ( x, y ′) (2) . • D ng phương trình: y ′′ = f ( x ) (1) . Phương pháp gi i • ð t z = y’ ñ ñưa (2) v phương trình tuy n tính c p 1. Phương pháp gi i • L y tích phân hai v (1) hai l n. y′ VD 3. Gi i ptvp y ′′ = x − . VD 1. Gi i ptvp y ′′ = x 2 . x y′ VD 4. Gi i ptvp y ′′ − − x ( x − 1) = 0 v i x −1 7 3 VD 2. Gi i ptvp y ′′ = e 2 x v i y (0) = − , y ′(0) = . y(2) = 1 và y’(2) = –1. 4 2 3.1.3. Phương trình khuy t x 3.2. Phương trình vi phân c p 2 tuy n tính v i h s • D ng phương trình: h ng y ′′ = f ( y , y ′) (3) . 3.2.1. Phương trình thu n nh t • D ng phương trình: y ′′ + a1 y ′ + a2 y = 0 (4) (a1, a2 là các h ng s ). Phương pháp gi i dz dz dy dz • ð t z = y ′ ⇒ y ′′ = z ′ = = . =z ñ ñ ưa v p t Phương pháp gi i dx dy dx dy • Xét phương trình ñ c trưng c a (4): k 2 + a1k + a2 = 0 (5). bi n s phân ly. VD 5. Gi i ptvp 2 yy ′′ = ( y ′) + 1 . 1) Trư ng h p 1: (5) có hai nghi m th c phân bi t k1, k2. 2 Khi ñó, (4) có hai nghi m riêng y1 = e k1 x , y2 = e k2 x và VD 6. Gi i ptvp y ′′ + 2 y ′(1 − 2 y ) = 0 v i nghi m t ng quát là y = C1e k1 x + C2 e k2 x . 1 y (0) = 0, y ′(0) = . 2 Trang 17
ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A3DH 2) Trư ng h p 2: (5) có nghi m kép th c k. 3.2.2. Phương trình không thu n nh t Khi ñó, (4) có hai nghi m riêng y1 = e kx , y2 = xe kx và • D ng phương trình: y ′′ + a1 y ′ + a2 y = f ( x ) (6) (a1, a2 là các h ng s ). nghi m t ng quát là y = C1e kx + C2 xe kx . Phương pháp gi i 3) Trư ng h p 3: (5) có hai nghi m ph c liên h p • N u (4) có hai nghi m riêng y1(x), y2(x) thì (6) có nghi m k = α ± i β . Khi ñó, (4) có hai nghi m riêng t ng quát là y = C1 ( x ) y1 ( x ) + C2 ( x ) y2 ( x ) . y1 = eα x cos β x, y2 = eα x sin β x và nghi m t ng quát: • ð tìm C1(x) và C2(x), ta gi i h Wronsky: y = eα x ( C1 cos β x + C2 sin β x ) . C1′( x ) y1 ( x ) + C2 ( x ) y2 ( x ) = 0 ′  . C1′( x ) y1 ( x ) + C2 ( x ) y2 ( x ) = f ( x ) ′ ′ ′ VD 7. Gi i ptvp y ′′ + 2 y ′ − 3 y = 0 . VD 8. Gi i ptvp y ′′ − 6 y ′ + 9 y = 0 . 1 VD 10. Gi i ptvp y ′′ + y = . VD 9. Gi i ptvp y ′′ + 2 y ′ + 7 y = 0 . cos x ð nh lý (nguyên lý ch ng nghi m) ð nh lý • Cho ptvp y ′′ + p( x ) y ′ + q( x ) y = f1 ( x ) + f 2 ( x ) (9) . • Nghi m t ng quát c a (6) b ng t ng nghi m t ng quát c a (4) v i 1 nghi m riêng c a (6). Gi s y1(x) và y2(x) l n lư t là nghi m riêng c a y ′′ + p( x ) y ′ + q( x ) y = f1 ( x ) , y ′′ + p( x ) y ′ + q( x ) y = f 2 ( x ) VD 11. Cho phương trình vi phân: thì y(x) = y1(x) + y2(x) là nghi m riêng c a (9). y ′′ − 2 y ′ + 2 y = (2 + x 2 )e x (*). a) Ch ng t (*) có 1 nghi m riêng là y = x 2 e x . VD 14. Tìm nghi m t ng quát c a ptvp y ′′ − y ′ = 2 cos 2 x . b) Tìm nghi m t ng quát c a (*). Bi t: y ′′ − y ′ = 1 có nghi m riêng y1 = − x , y ′′ − y ′ = cos 2 x có VD 12. Tìm nghi m t ng quát c a ptvp: 2 1 y ′′ + y ′ = 2 sin 2 x + 4 cos 2 x nghi m riêng y2 = − cos 2 x − sin 2 x . 10 10 bi t 1 nghi m riêng là y = − cos 2 x . §4. H PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN C P 1 • M i ptvp c p n d ng y ( n ) = f ( x, y , y ′,..., y ( n −1) ) ñ u có th 4.1. Khái ni m cơ b n ñưa v d ng h ptvp chu n t c c p 1 b ng cách ñ t • H phương trình vi phân chu n t c c p 1 có d ng: y = y1 , y ′ = y2 ,..., y ( n −1) = yn .  y1/ = f1 ( x, y1 , y2 ,..., yn )  y1/ = y2 /  y2 = f 2 ( x, y1 , y2 ,..., yn ) /  y2 = y3  , .................................  Khi ñó, ta ñư c h : .......... .  y / = f ( x, y , y ,..., y ) n  y/ = y n 1 2 n  n −1 n trong ñó x là bi n s ñ c l p và y1(x), y2(x),…, yn(x) là các  yn = f ( x, y1 , y2 ,..., yn ) /  hàm s c n tìm. • B n hàm s yi = ϕi ( x, C1 , C2 ,..., Cn ), i = 1, n th a h ptvp là nghi m. 4.2. Phương pháp gi i b) Phương pháp ma tr n a) Phương pháp kh ñưa v phương trình vi phân c p cao  y1/ = a11 y1 + a12 y2 + ... + a1n yn  y1/   y1  /  / y   y = a21 y1 + a22 y2 + ... + a2 n yn y  y′ = 5 y + z ⇔  2  = A 2  , • 2  VD 1. Gi i h phương trình:   ...  . ...............................................  ...   z ′ = 4 y + 5z   y/   y / = a y + a y + ... + a y  yn   n n n1 1 n2 2 nn n v i A = ( aij ) .  y′ = z VD 2. Gi i h phương trình:  .  z′ = y Gi s phương trình ñ c trưng det( A − λ I ) = 0 có n nghi m phân bi t λi , i = 1, n . V i m i λi có vector riêng ( p1i , p2i ,..., pni ) . Trang 18
ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A3DH  y′ = y + 2 z Khi ñó, h ptvp có h nghi m cơ b n là: VD 3. Gi i h phương trình:  .  y11 = p11eλ1 x , y21 = p21eλ1 x ,..., yn1 = pn1eλ1 x  z ′ = 4 y + 3z  λx λx λx  y12 = p12 e 2 , y22 = p22 e 2 ,..., yn 2 = pn 2 e 2 ð c bi t  • H ptvp có d ng ................................................................  y1/   λ11 0 ... 0   y1   y1   C11eλ11 x   y = p eλn x , y = p eλn x ,..., y = p eλn x  1n      λ22 x   /   y2  =  0 λ22 ... 0   y2  ⇔  y2  =  C22 e  . 1n 2n 2n nn nn  y1 = C1 y11 + C2 y12 + ... + Cn y1n  ...   ... ... ... ...   ...   ...   ...   y = C y + C y + ... + C y  /          0 ... λnn   yn   yn   Cnn e λnn x  và nghi m t ng quát là  2 1 21 2 22 n 2n  yn   0  . .................................................   y′ = − y  yn = C1 yn1 + C2 yn 2 + ... + Cn ynn   VD 4. Gi i h phương trình:  z ′ = 3z . u ′ = 2u  …………………………………..H t………………………………… Trang 19