Giáo trình giải tich 3 part 4

Chia sẻ: Pham Duong | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:10

Thêm vào BST

Báo xấu

143
lượt xem 22
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Ngoài ra dạng vi phân cũng là khái niệm thích hợp đểå tích phân trường vector trên đa tạp sẽ được đề cập đến ở chương sau. Chương này xét đến các dạng vi phân và các phép toán trên chúng.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình giải tich 3 part 4

III. Daïng vi phaân Khi tính tích phaân treân ña taïp ta caàn moät ñoái töôïng baát bieán vôùi pheùp tham soá hoaù. Ví du ïñôn giaûn nhaát laø khi tính tích phaân treân R, theo coâng thöùc ñoåi bieán ta coù b β f (x)dx = f (ϕ(t))ϕ (t)dt a α trong ñoù ϕ laø vi phoâi töø (α, β ) leân (a, b). Ngöôøi ta ñöa vaøo khaùi nieäm daïng vi phaân baäc 1: ω = f (x)dx vaø pheùp ñoåi bieán: ϕ∗ ω = f (ϕ(t))ϕ (t)dt. Khi ñoù coâng thöùc treân coù theå vieát laïi laø b β ϕ∗ ω ω= a α Ngoaøi ra daïng vi phaân cuõng laø khaùi nieäm thích hôïp ñeåå tích phaân tröôøng vector treân ña taïp seõ ñöôïc ñeà caäp ñeán ôû chöông sau. Chöông naøy xeùt ñeán caùc daïng vi phaân vaø caùc pheùp toaùn treân chuùng. 1. DAÏNG k-TUYEÁN TÍNH PHAÛN ÑOÁI XÖÙNG. Cho V laø khoâng gian vector treân R. Moät daïng k-tuyeán tính phaûn ñoái 1.1. Ñònh nghóa. xöùng treân V laø moät aùnh xaï ω : V × ···× V → R k laàn thoûa caùc ñieàu kieän sau vôùi moïi v1 , · · · , vk ∈ V , α ∈ R vaø 1 ≤ i < j ≤ k: (A1) ω(v1 , · · · , vi + vi , · · · , vk ) = ω(v1 , · · · , vi , · · · , vk ) + ω(v1 , · · · , vi , · · · , vk ). (A2) ω(v1 , · · · , αvi , · · · , vk ) = αω(v1 , · · · , vi , · · · , vk ). (A3) ω(v1 , · · · , vi , · · · , vj , · · · , vk ) = − ω(v1 , · · · , vj , · · · , vi , · · · , vk ). Nhaän xeùt. Ñieàu kieän (A1)(A2) coù nghóa laø ω tuyeán tính theo töøng bieán Nhaän xeùt. Ñieàu kieän (A3) töông ñöông vôùi moät trong caùc ñieàu kieän sau: (A3’) ω(v1 , · · · , vi · · · , vj , · · · , vk ) = 0, neáu vi = vj , vôùi moïi i = j . (A3”) ω(vσ(1) , · · · , vσ(k) ) = (σ )ω(v1, · · · , vk ), vôùi moïi hoaùn vò σ cuûa {1, · · · , k}, (σ ) laø kyù soá (= sign i
32 III.1. Daïng k-tuyeán tính phaûn ñoái xöùng. (A3”) ⇒ (A3): AÙp duïng (A3”) vôùi laø chuyeån vò i vaø j . σ Ví duï. Cho F laø moät vector trong R3 . Khi ñoù: a) WF (v) =< F, v >, v ∈ R3 , laø daïng 1-tuyeán tính treân R3 (coâng cuûa F doïc theo v) b) ωF (v1 , v2 ) =< F, v1 × v2 >, v1 , v2 ∈ R3 , laø daïng 2-tuyeán tính phaûn ñoái xöùng treân R3 (thoâng löôïng cuûa F qua hình bình haønh taïo bôûi v 1 , v2 ) c) Ñònh thöùc laø daïng n-tuyeán tính phaûn ñoái xöùng treân R n . Giaù trò det(v1 , · · · , vn ) laø theå tích coù höôùng cuûa bình haønh taïo bôûi v1 , · · · , vn ∈ Rn . Kyù hieäu Λk (V ) laø taäp moïi daïng k-tuyeán tính phaûn Λ k (V ). 1.2 Khoâng gian vector ñoái xöùng treân V . Treân taäp naøy ta ñònh nghóa 2 pheùp toaùn: (ω + γ )(v1 , · · · , vk ) = ω (v1 , · · · , vk ) + γ (v1 , · · · , vk ) (αω )(v1 , · · · , vk ) = αω (v1 , · · · , vk ) , vôùi ω, γ ∈ Λk (V ), α ∈ R. Deã thaáy (Λk (V ), +, ·) laø khoâng gian vector treân R. Ví duï. a) Λ1 (V ) chính laø khoâng gian ñoái ngaãu cuûa V , i.e. Λ1 (V ) = V ∗ = L(V, R). b) Cho ϕ1 , ϕ2 ∈ V ∗ . Ñònh nghóa daïng 2-tuyeán tính: ϕ1 ∧ ϕ2 : V × V → R, ϕ1 (v1 ) ϕ1 (v2 ) (ϕ1 ∧ ϕ2 )(v1 , v2 ) = ϕ1 (v1 )ϕ2 (v2 ) − ϕ2 (v1 )ϕ1 (v2 ) = det ϕ2 (v1 ) ϕ2 (v2 ) Veà maët hình hoïc giaù trò treân chính laø dieän tích coù höôùng cuûa hình bình haønh trong R2 taïo bôûi ϕ(v1 ), ϕ(v2 ), trong ñoù ϕ = (ϕ1 , ϕ2 ) : V → R2 . Cho ϕ1 , · · · , ϕk ∈ V ∗ . Tích ngoaïi cuûa caùc daïng treân laø moät k-daïng 1.3 Tích ngoaïi. ϕ1 ∧ · · · ∧ ϕk ∈ Λk (V ), ñöôïc ñònh nghóa: ϕ1 ∧· · ·∧ϕk (v1 , · · · , vk ) = (σ )ϕσ(1) (v1 ) · · · ϕσ(k) (vk ) = det(ϕi (vj )), v1 , · · · , vk ∈ V, σ i.e. (σ )ϕσ(1) ⊗ · · · ⊗ ϕσ(k) . ϕ 1 ∧ · · · ∧ ϕk = σ Vôùi moïi ϕ1 , · · · , ϕk , ϕi ∈ Λ1 (V ), α, β ∈ R vaø i = 1, · · · , k, Tính chaát. (1) ϕ1 ∧· · ·∧ (αϕi + βϕi ) ∧· · ·∧ ϕk = αϕ1 ∧· · ·∧ ϕi ∧· · ·∧ ϕk + βϕ1 ∧· · ·∧ ϕi ∧· · ·∧ ϕk . (2) ϕσ(1) ∧ · · · ∧ ϕσ(k) = (σ )ϕ1 ∧ · · · ∧ ϕk , vôùi σ laø hoaùn vò. Chöùng minh: Suy töø tính chaát cuûa ñònh thöùc. k -tuyeán tính phaûn ñoái xöùng. Cho V laø moät khoâng gian vector 1.4 Bieåu dieãn daïng treân R. Giaû söû ϕ1 , · · · , ϕn laø moät cô sôû cuûa V ∗ . Khi ñoù moät cô sôû cuûa Λk (V ) laø heä {ϕi1 ∧ · · · ∧ ϕik , 1 ≤ i1 < · · · < ik ≤ n}. Nhö vaäy moïi ω ∈ Λk (V ) coù bieåu dieãn duy nhaát döôùi daïng ω= ai1 ···ik ϕi1 ∧ · · · ∧ ϕik 1≤i1
33 III.2 Daïng vi phaân. n! vaø dim Λk (V ) = Cn = . k (n − k )!k ! Chöùng minh: Goïi {ϕ1 , · · · , ϕn } laø cô sôû ñoái ngaãu cuûa {e 1 , · · · , e n }, i.e. ϕi (ej ) = δij (delta Kronecker). Cho ω ∈ Λk (V ). Cho v1 , · · · , vk ∈ V . Khi ñoù v1 = ϕi1 (v1 )ei1 , · · · , vk = ϕik (vk )eik , i1 ik ω (v1 , · · · , vk ) = ω ( ϕi1 (v1 )ei1 , · · · , ϕik (vk )eik ) i1 ik ϕi1 (v1 ) · · · ϕik (vk )ω (ei1 , · · · , eik ) = i1 ,··· ,ik ϕiσ(1) (v1 ) · · · ϕiσ(k) (vk ) (σ )ω (ei1 , · · · , eik ) = i1
34 III.2 Daïng vi phaân. Cho f : U → R laø haøm lôùp C p+1 . Khi ñoù vôùi moïi x ∈ U , f (x) : Rn → R laø daïng tuyeán tính. Ta ñònh nghóa vi phaân cuûa f laø 1-daïng vi phaân df : U → Λ1 (Rn ), x → df (x) = f (x). Xeùt haøm toïa ñoä thöù i xi : Rn → R, (x1 , · · · , xn ) → xi . Ta coù dxi (x)(v ) = xi (x)v = vi , v = (v1 , · · · , vn ) ∈ Rn . Vaäy ∂f ∂f df (x)(v ) = f (x)v = (x)v1 + · · · + (x)vn ∂x1 ∂xn ∂f ∂f (x)dx1 (x)(v ) + · · · + (x)dxn (x)(v ). = ∂x1 ∂xn n ∂f Hay laø dxi . df = ∂xi i=1 Tích ngoaïi cuûa caùc 1-vi phaân ϕ1 , · · · , ϕk ∈ Ω1 (U ): 2.2 Bieåu dieãn daïng vi phaân. (ϕ1 ∧ · · · ∧ ϕk )(x) = ϕ1 (x) ∧ · · · ∧ ϕk (x), x ∈ U, laø moät k-daïng vi phaân treân U . Do caùc 1-daïng dx1 , · · · , dxn laø moät cô sôû cuûa Ω1 (U ), neân caùc k-daïng vi phaân treân U coù bieåu dieãn duy nhaát döôùi daïng ω= ai1 ···ik dxi1 ∧ · · · ∧ dxik , 1≤i1
35 III.2 Daïng vi phaân. Ví duï. a) Cho ϕ : R → R2 , ϕ(t) = (x = cos t, y = sin t) vaø ω(x, y) = xdy − ydx. Khi ñoù ϕ∗ ω(t) = cos td(sin t) − sin td(cos t) = dt. b) Cho ϕ : R2 → R2 , ϕ(r, θ) = (x = r cos θ, y = r sin θ) v… ω(x, y) = dx ∧ dy. Khi ñoù ϕ∗ ω (r, θ) = d(r cos θ) ∧ d(r sin θ) = (cos θdr − r sin θdθ) ∧ (sin θdr + r cos θdθ) = rdr ∧ dθ (do dr ∧ dr = dθ ∧ dθ = 0, dθ ∧ dr = −dr ∧ dθ). Tính chaát. (1) ϕ∗ (ω1 + ω2 ) = ϕ∗ (ω1 ) + ϕ∗ (ω2 ), ω1 , ω2 ∈ Ωk (V ). (2) ϕ∗ (γ1 ∧ · · · ∧ γk ) = ϕ∗ (γ1 ) ∧ · · · ∧ ϕ∗ (γk ), γ1 , · · · , γk ∈ Ω1 (V ). m ∂ϕi (3) duj . ϕ∗ (dxi ) = dϕi = ∂uj j =1 Chöùng minh: Xem nhö baøi taäp. Baøi taäp: Cho ϕ : Rn → Rn khaû vi. Chöùng minh ϕ∗ (f (x)dx1 ∧ · · · ∧ dxn ) = f (ϕ(u)) det ϕ (u)du1 ∧ · · · ∧ dun . Nhaän xeùt. Coù theå ñònh nghóa toaùn töû ñoåi bieán khoâng qua bieåu dieãn treân toïa ñoä (i.e. ñònh nghóa khoâng phuï thuoäc heä toïa ñoä) nhö sau ϕ∗ ω (u)(v1 , · · · , vk ) = ω (ϕ(u))(ϕ (u)v1 , · · · , ϕ (u)vk ). Vôùi moãi k ∈ N, toaùn töû vi phaân ñöôïc ñònh nghóa nhö sau 2.4 Toaùn töû vi phaân. d : Ωk (U ) → Ωk+1 (U ), d( ai1 ···ik dxi1 ∧ · · · ∧ dxik ) = dai1 ···ik ∧ dxi1 ∧ · · · ∧ dxik . 1≤i1
36 III.2 Daïng vi phaân. Khi ñoù 2 +y dω = (d sin xy ) ∧ dx + d(ex ) ∧ dy + d(arctgx) ∧ dz 1 2 2 +y = (y cos xydx + x cos xydy ) ∧ dx + (2xex +y dx + ex dy ) ∧ dy + dx ∧ dz 1 + x2 1 2 = (2xex +y − x cos xy )dx ∧ dy − dz ∧ dx. 1 + x2 Baøi taäp: Tính d (P (x, y, z )dx + Q(x, y, z )dy + R(x, y, z )dz ), vaø d (P (x, y, z )dx ∧ dz + Q(x, y, z )dz ∧ dx + Q(x, y, z )dx ∧ dy) . Nhaän xeùt. Neáu ω ∈ Ωk (Rn ) vôùi k ≥ n, thì dω = 0. Tính chaát. (1) d(ω1 + ω2 ) = dω1 + dω2 , ∀ω1 , ω2 ∈ Ωk (U ). (2) d(γ1 ∧ γ2 ) = dγ1 ∧ γ2 − γ1 ∧ dγ2 , ∀γ1 , γ2 ∈ Ω1 (U ).. (3) d(dω ) = 0 , i.e. d ◦ d = 0 . (4) d(ϕ∗ ω ) = ϕ∗ (dω ) , i.e. dϕ∗ = ϕ∗ d. Chöùng minh: (1) laø roõ raøng. Do (1) ta chæ caàn chöùng minh (2) khi γ1 = adxi , γ2 = bdxj . Ta coù d(γ1 ∧ γ2 ) = d(adxi ∧ bdxj ) = d(abdxi ∧ dxj ) d(ab) ∧ dxi ∧ dxj = (bda + adb) ∧ dxi ∧ dxj = bda ∧ dxi ∧ dxj + adb ∧ dxi ∧ dxj = (da ∧ dxi ) ∧ bdxj − adxi ∧ db ∧ dxj = dγ1 ∧ γ2 − γ1 ∧ γ2 . = Tröôùc khi chöùng minh (3) ñeå ngaén goïn ta kyù hieäu: dx I = dxi1 ∧ · · · ∧ dxik , vôùi I = (i1 , · · · , ik ) laø moät boä k chæ soá thuoäc {1, · · · n}. Do (1) chæ caàn chöùng minh (3) khi ω = aI dxI . Ta coù ∂aI d(dω ) = d(daI ∧ dxI ) = d dxi ∧ dxI ∂xi   i ∂ 2 aI ∂ aI  dxj  ∧ dxi ∧ dxI d ∧ dxi ∧ dxI = = ∂xi ∂xj ∂xi i i j ∂ 2 aI do dxi ∧ dxj = −dxj ∧ dxi ) =− dxi ∧ dxj ∧ dxI ( ∂xi ∂xj i j (thay ñoåi vai troø i, j ) = −d(dω ) Vaäy 2d(dω) = 0, suy ra (3). Cuõng vaäy chæ caàn kieåm tra (4) khi ω = aI dxI ∈ Ωk (V ). Ta coù d(ϕ∗ ω ) = d(aI ◦ ϕdϕI ) = d(aI ◦ ϕ) ∧ dϕI . ϕ∗ (dω ) = ϕ∗ (daI ∧ dxI ) = ϕ∗ (daI ) ∧ ϕ∗ (dyI ) = ϕ∗ (daI ) ∧ dϕI . Caàn chöùng minh d(aI ◦ ϕ) = ϕ∗ (daI ). Ñaúng thöùc ñuùng laø do:   ∂aI ∂aI ◦ ϕ ∂aI ◦ ϕ ∂ϕj ϕ∗ (daI ) = ϕ∗  dxj  = dϕj = dui ) = d(aI ◦ϕ). ( ∂xj ∂xj ∂xj ∂ui j j j i
37 III.3 Boå ñeà Poincareù Vaäy caùc tính chaát treân ñaõ ñöôïc chöùng minh. Nhaän xeùt. Do (4) toaùn töû d khoâng phuï thuoäc heä toïa ñoä. 3. BOÅ ÑEÀ POINCAREÙù Cho daïng vi phaân ω ∈ Ωk (U ). 3.1 Daïng ñoù vaø daïng khôùp. goïi laø ñoùng treân U neáuu dω = 0 treân U . ω goïi laø khôùp treân U neáuu toàn taïi η ∈ Ωk−1 (U ) sao cho ω = dη. ω Nhaän xeùt. Neáu ω khôùp, thì ω ñoùng vì d(dη ) = 0. ydx − xdy Ví duï sau chæ ra daïng ñoùng nhöng khoâng khôùp: ∈ Ω1 (R2 \ 0). ω (x, y ) = x2 + y 2 x2 − y 2 y 2 − x2 Daïng ω laø ñoùng, vì dω = 2 2 2 dy ∧ dx − 2 2 2 dx ∧ dy = 0. (x + y ) (x + y ) Nhöng ω khoâng khôùp. Thaät vaäy, giaû söû toàn taïi haøm f ∈ Ω 0 (R2 \ 0), ω = df . Goïi ϕ(t) = (sin t, cos t). Khi ñoù ϕ∗ ω = ϕ∗ (df ) = d(ϕ∗ f ) = d(f ◦ ϕ) = (f ◦ ϕ) dt. cos td(sin t) − sin td(cos t) Maët khaùc ϕ∗ ω = = dt . Vaäy (f ◦ ϕ) (t) ≡ 1. sin2 t + cos2 t Suy ra f ◦ ϕ(t) = t+ const. Ñieàu naøy voâ lyù vì f ◦ ϕ laø haøm coù chu kyø ï 2π . Khi moät daïng Pfaff ω = a1 dx1 + · · · + an dxn ∈ Ω1 (U ), toàn taïi haøm f ∈ Ω0 (U ) thoûa df = ω , thì f ñöôïc goïi laø moät tích phaân ñaàu cuûa ω . Noùi moät caùch khaùc f thoûa heä phöông trình vi phaân ñaïo haøm rieâng caáp moät ∂f ∂f = a1 , · · · , = an . ∂x1 ∂xn Vaäy neáu ω coù tích phaân ñaàu (= khaû tích = khôùp), thì dω = 0, i.e. caùc haøm a1 , · · · , an thoûa heä thöùc ∂aj ∂ai vôùi moïi i, j = 1, · · · , n. = ∂xi ∂xj Tính chaát hình hoïc cuûa taäp nhieàu khi quyeát ñònh baøi toaùn giaõi tích. Moät daïng ñoùng cuõng laø khôùp treân U , khi taäp U coù tính chaát hình hoïc sau: Taäp con U trong goïi laø co ruùt ñöôïc veà moät ñieåm Rn x0 ∈ U 3.2 Taäp co ruùt ñöôïc. neáuu toàn taïi moät aùnh xaï lôùp C 1 h : U × [0, 1] → U, (x, t) → h(x, t) sao cho: vaø h(x, 1) = x, ∀x ∈ U . h(x, 0) = x0 Ví duï. Sau ñaây laø moät soá lôùp taäp co ruùt quan troïng:
38 III.3 Boå ñeà Poincareù Taäp loài: taäp U goïi laø loài neáuu ∀x, y ∈ U ñoaïn [x, y] = {x + t(y − x) : t ∈ [0, 1]} ⊂ U . Chaúng haïn Rn , hình caàu, hình hoäp laø caùc taäp loài. Taäp hình sao: taäp U goïi laø hình sao neáuu ∃x0 ∈ U : ∀x ∈ U, [x0 , x] ⊂ U . Trong caùc ví duï treân aùnh xaï h(x, t) = x0 + t(x − x0 ) thoûa Ñònh nghóa 3.2. Baøi taäp: Roõ raøng laø taäp loài laø taäp hình sao. Tìm ví duï taäp hình sao khoâng loài, taäp co ruùt ñöôïc khoâng hình sao. (Boå ñeà Poincareù). Giaû söû U laø taäp môû trong R n , vaø U co ruùt ñöôïc. Khi 3.3 Ñònh lyù ñoù moïi daïng ñoùng treân U laø khôùp, i.e. ω ∈ Ωk (U ), dω = 0 ⇔ ∃η ∈ Ωk−1 (U ), ω = dη. Chöùng minh: Goïi Jt : U → U × [0, 1], Jt (x) = (x, t). Cho k = 1, 2, · · · . Tröôùc heát ta xaây döïng aùnh xaï tuyeán tính K : Ωk (U × [0, 1]) → Ωk−1 (U ), thoaû ( ∗) ∗ ∗ Kd + dK = J1 − J0 Moãi phaàn töû cuûa Ωk (U × [0, 1]) laø toång caùc daïng coù moät trong hai daïng sau: (1) a(x, t)dxI hay (2) b(x, t)dt ∧ dxJ , vôùi I = (i1 , · · · , ik ), J = (j1 , · · · , jk−1 ). Vì vaäy chæ caàn ñònh nghóa K cho töøng daïng coù daïng treân. Ta ñònh nghóa K (a(x, t)dxI ) =0 1 K (b(x, t)dt ∧ dxJ ) = b(x, t)dt dxJ 0 Kieåm tra ñieàu kieän ( ∗) vôùi daïng (1): 1 ∂a (Kd + dK )(adxI ) = K (da ∧ dxI ) + d(0) = ( dt)dxI 0 ∂t ∗ ∗ = (a(x, 1) − a(x, 0)dxI = (J1 − J0 )(adxI ). Kieåm tra ñieàu kieän ( ∗) vôùi daïng (2): 1 (Kd + dK )(bdt ∧ dxJ ) = K (db ∧ dt ∧ dxJ ) + d(( bdt) ∧ dxJ ) 0 1 ∂b = K( dxi ∧ dt ∧ dxJ ) + d(( bdt) ∧ dxJ ) ∂xi 0 i 1 1 ∂b =− )dt ∧ dxi ∧ dxJ + d(( bdt) ∧ dxJ ) ( ∂xi 0 0 i 1 1 = −d(( bdt) ∧ dxJ ) + d(( bdt) ∧ dxJ ) = 0. 0 0 ∗ ∗ (J1 − J0 )(bdt ∧ dxJ ) = b(x, 1)d(1) ∧ dxJ − b(x, 0)d(0) ∧ dxJ = 0. Baây giôøõ cho h : U × [0, 1] → U laø aùnh xaï co ruùt veà x0 . Giaû söû ω ∈ Ωk (U ) ñoùng, i.e. dω = 0. Ta chöùng minh η = Kh∗ ω laø (k − 1)-daïng thoaû dη = ω . Do (∗) ta coù (Kd + dK )h∗ ω (J1 − J0 )h∗ ω. ∗ ∗ = Kdh∗ ω + dKh∗ ω ∗ ω − (h ◦ J )∗ ω. ⇔ ( h ◦ J1 ) = 0 Kh∗ dω + dKh∗ ω (idU )∗ ω − (x0 )∗ ω. ⇔ = 0 + dKh∗ ω ⇔ ω + 0. =
39 III.3 Boå ñeà Poincareù Vaäy η = Kh∗ ω laø daïng caàn tìm. Neáu U laø taäp môû co ruùt ñöôïc, ω1 , ω2 ∈ Ωk (U ), vaø dω1 = dω2 , thì toàn taïi Heä quûa. sao cho dη = ω1 − ω2 . η ∈ Ωk−1 Ví duï. Taäp R2 \ 0 laø khoâng co ruùt ñöôïc vì toàn taïi daïng vi phaân ñoùng maø khoâng khôùp treân ñoù (xem ví duï ôû 3.1). Nhaän xeùt. Töø heä quûa treân, ta thaáy η thoaû boå ñeà Poincareù laø khoâng duy nhaát. Coù theå döïa vaøo chöùng minh cuûa ñònh lyù ñeå xaây döïng ñeå dη = ω : η = Kh ∗ ω . η Ví duï. Cho ω = (x2 − 2yz )dx + (y 2 − 2zx)dy + (z 2 − 2xy)dz ∈ Ω1 (R3 ). Deã kieåm tra dω = 0. Ñeå tìm f sao cho df = ω, nhö sau: Caùch 1: Vì R3 laø taäp co ruùt veà 0 vôùi h(x, y, z, t) = (tx, ty, tz ). Theo ñònh nghóa cuûa caùc toaùn töû, ta coù: h∗ ω = t2 (x2 − 2yz )(xdt + tdx) + t2 (y 2 − 2zx)(ydt + tdy ) + t2 (z 2 − 2xy )(zdt + tdz ). 1 1 1 t2 (x2 − 2yz )xdt + t2 (y 2 − 2zx)ydt + t2 (z 2 − 2xy )zdt. Kh∗ ω = 0 0 0 1 Suy ra f = Kh∗ ω = (x3 + y 3 + z 3 − 6xyz ) laø moät tích phaân ñaàu cuûa ω , i.e. df = ω . 3 Caùch 2: Haøm f thoaû df = ω , coù theå vieát laïi ∂f = x2 − 2yz (1) ∂x ∂f = y 2 − 2zx (2) ∂y ∂f = z 2 − 2xy (3) ∂z Ñeå tìm f , ta laàn löôït tích phaân theo töøng bieán: x3 Töø (1) suy ra f = − 2xyz + ϕ(y, z ) 3 y3 ∂ϕ Töø (2) suy ra = y 2 . Vaäy ϕ = + ψ (z ). ∂y 3 z3 ∂ψ Töø (3) suy ra = z 2 . Vaäy ψ = + const. ∂z 3 13 Suy ra f = (x + y + z ) − 2xyz + const 3 3 3 (Caùch 2 coù theå laøm cho caùc mieàn hình hoäp).