Giáo trình Giải tích hàm - Nguyễn Hoàng và Lê Văn Hạp

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:146

Thêm vào BST

Báo xấu

33
lượt xem 7
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Giáo trình Giải tích hàm cung cấp cho người học những kiến thức như: không gian tuyến tính định chuẩn; ba nguyên lý của giải tích hàm và không gian liên hiệp; các không gian Lp; không gian Hilbert; toán tử compact và phổ của toán tử. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình Giải tích hàm - Nguyễn Hoàng và Lê Văn Hạp

§¹i häc HuÕ Tr−êng §¹i häc S− ph¹m NGUYÔN HOµNG Vµ L£ V¡N H¹P Gi¸o tr×nh gi¶i tÝch hµm HuÕ - 2014
æ `.I NOI LO ´ D-` ˆU A ... Va `o n˘ am 1932, Banach xuˆ a´t ba’n cuˆ o´n sa ´ ch “Ly ´ thuyˆ ´ e t toa ´n . tu’ ”, nˆo.i dung bao gˆ `om nh˜ . ´ . . e t qua’ d¯u o. c biˆ u ng kˆ ´ e t va`o th` . o i d¯o ´ vˆ`e ly ´ thuyˆ ´ e t ca´ c khˆ a’n, d¯˘ ong gian d¯i.nh chuˆ a.c biˆ e.t la ` ca ´ cu’a Banach ´ c d¯i.nh ly d¯a˜ cˆong bˆ o´ trong ca ´ c ba `i ba ´ o t`u. n˘ am 1922-1929... Cuˆ o´n sa´ ch na `y la `m cho Gia’i tı ´ch ha `m co´ mˆ o.t ta ´ c d¯ˆo.ng nhu cuˆ. o´n sa ´ ch cu’a Van der Waerden vˆ`e d¯a.i sˆo´, d¯u.o..c xuˆa´t ba’n hai n˘ am tru.´ o.c d¯o ´ . Ca´ c nha ` gia’i tı ´ch trˆ en thˆ ´ e gi´ . o i b˘ ´t d¯ˆ a `au nhˆ a.n th´ . . . u c d¯u o. c s´ . . . u c ma.nh cu’a phu o ng pha ´ p m´ . o i va ` ´ap du.ng chu ´ ng va `o ca . ´ c lı˜nh vu. c kha ´ c nhau; ca ´ c ky ´ hiˆ e.u va ` thuˆ a.t ng˜ u. cu’a Banach d¯u.o..c chˆ a´p nhˆ a.n rˆo.ng ra ˜ i, khˆ ong gian d¯i.nh chuˆ a’n d¯ˆ`ay d¯u’ d¯u.o..c go.i la ` khˆ ong gian Banach rˆ `oi ch˘ a’ng bao lˆ au, ly ´ thuyˆ ´ e t na`y tro’. tha `nh mˆ o.t phˆ`an b˘´t buˆ a o.c trong chu.o.ng trı`nh d¯a.i ho.c... J. Dieudonne ´ (1981) Gia’i tı´ch ha `m la` mˆo.t nga `nh cu’a gia’i tı´ch toa ´ n ho.c nghiˆen c´ u.u ca ´ c d¯oˆ´i tu.o..ng va` cˆa´u tru´ c toa ´ n ho.c tr` u.u tu.o..ng, tˆ o’ng qua ´ t ho.n ca ´ c khˆong gian Rn thˆ ong thu.`o.ng. Ca ´et qua’ va ´ c kˆ ` phu.o.ng pha ´ p cu’a no ´ thˆ am nhˆ a.p va`o nhiˆ `eu nga `nh kha ´ c nhau nhu. ly ´ thuyˆ ´et phu.o.ng trı`nh vi phˆ an thu.` o.ng, phu.o.ng trı`nh d¯a.o ha `m riˆeng, ly ´ thuyˆ ´et ca´ c ba `i toa . ´ n cu. c tri. va ´en phˆ ` biˆ . . an, phu o ng pha . ´ p tı´nh,... Ra d¯o` i va `o nh˜ . u ng n˘ am d¯`aˆu cu’a thˆ ´e ky’ 20, d¯´ˆen nay gia’i tı´ch ha `m tı´ch lu . . ˜ y d¯u o. c nh˜ . u ng tha . `nh tu. u quan tro.ng va ` no . ´ d¯˜a tro’ tha `nh chuˆ . a’n mu. c trong viˆe.c nghiˆen c´ . u u va ` trı`nh ba`y ca ´ c kiˆ´en th´ . u c toa ´ n ho.c. Gia ´ o trı`nh na`y da`nh cho sinh viˆen ca ´ c l´o.p Toa ´n D- a.i ho.c Su. pha.m, d¯u.o..c viˆ ´et . . ra trˆen co so’ Ba`i gia’ng gia’i tı´ch ha`m d¯˜a d¯o.c cho sinh viˆen khoa Toa ´n D - a.i ho.c Su. pha.m Huˆ ´e trong nh˜ u.ng n˘ am v` u.a qua. D-ˆay cu ˜ ng la ` ho.c phˆ a´t buˆ `an b˘ o.c cuˆo´i cu`ng `e mˆon gia’i tı´ch ma` sinh viˆen pha’i ho.c trong chı´nh khoa vˆ ´. Nˆ o.i dung gia `om 5 chu.o.ng ly ´ o trı`nh gˆ ´ thuyˆ ´et va` co´ phˆ`an hu.´o.ng dˆ a˜n gia’i ba`i tˆ . . a.p cu`ng phu. lu.c. Hai chu o ng d¯`aˆu da `nh cho viˆe.c trı`nh ba `y nh˜ . u ng kiˆ´en th´u c co. . ba’n, d¯a.i cu.o.ng cu’a khˆ ong gian d¯i.nh chuˆ a’n va ` mˆo.t sˆo´ d¯i.nh ly´ quan trong cu’a gia’i tı´ch ha `m tuyˆ ´en tı´nh. Ca . . ´ c chu o ng co `n la.i xe ´ t ca´ c vˆa´n d¯`ˆe cu. thˆe’ ho.n nhu. ca ´c khˆ ong gian L , khˆp ong gian Hilbert va ´ c vˆa´n d¯`ˆe liˆen quan d¯´ˆen toa ` ca . ´ n tu’ tuyˆ ´en tı´nh. Ca ´ c nˆ o.i dung na `y phu` ho..p v´o.i chu.o.ng trı`nh hiˆe.n ha `nh cu’a nga `nh toa ´ n ca ´c Typeset by AMS-TEX
2 tru.` o.ng su. pha.m, d¯u.o..c cho.n lo.c theo phu.o.ng chˆ ` co. ba’n giu am tinh gia’n va ´ p sinh ´ d¯u.o..c ca viˆen co o´ng nhˆ ´ i nhı`n thˆ o.i nga a´t d¯oˆ´i v´ `nh gia’i tı´ch. Mˆ on ho.c na `y kˆ ´e th` u.a va ` pha ´ t triˆe’n ca ´ c kiˆ ´en th´ u.c cu’a ca´ c ho.c phˆ `an gia’i tı´ch tru ´. . o c d¯´o . Do d¯´o sinh viˆen cˆ `an oˆn la.i ca ´ c kiˆ´en th´ . u c vˆ`e khˆong gian mˆetric, tˆo pˆ o, ly ´ thuyˆ ´et d¯oˆ. d¯o, tı´ch phˆ an cu . ˜ ng nhu mˆo.t sˆo´ ky˜ n˘ ang tı´nh toa ´ n cu’a gia’i tı´ch cˆo’ d¯iˆe’n. D - ˆe’ giu´ p sinh viˆen tˆa.p vˆ a.n du.ng kiˆ ´en th´ u.c d¯˜a ho.c, cuˆo´i mˆo˜i mu.c co ´ mˆo.t sˆo´ ba`i tˆ . . a.p tu o ng u . ´ ng. Phˆ `an cuˆ o´i co´ hu ´ . . o ng dˆ a˜n va ` gia’i mˆo.t sˆo´ ca ´ c ba `i tˆa.p nhu. la ` nh˜ u.ng go..i ´y d¯ˆe’ sinh viˆen co ´ thˆe’ ho.c tˆo´t ho.n. Ca ´ c ta ´ c gia’ xin d¯u.o..c ca ´ m o.n ca ´ c d¯`oˆng nghiˆe.p o’. Tˆo’ Gia’i tı´ch Khoa Toa ´ n, Tru ` . . . o ng d¯a.i ho.c Su pha.m Huˆ ´e d¯˜a d¯´o ng go ´ p ´y kiˆ ´en va `eu kiˆe.n d¯ˆe’ gia ` ta.o d¯iˆ ´ o trı`nh na`y ra d¯o` i. Chu. ´ ng tˆ oi mong nhˆ . . a.n d¯u o. c nh˜ . u ng phˆe bı`nh, go ´ p ´y d¯ˆe’ nh˜ . u ng lˆ`an in sau gia ´ o trı`nh d¯u.o..c bˆ o’ sung va ` ca’i tiˆ ´en tˆo´t ho.n.
3 Chu.o.ng 1 ˆ KHONG ˆ´N T´INH D GIAN TUYE ˆ’ N - I.NH CHUA Kh´ ai niˆe.m khˆ ong gian tuyˆe´n t´ınh (hay khˆ ong gian vecto.) l` a mˆo.t trong nh˜ u.ng kh´ ai niˆe.m quan tro.ng v` a co. ba’n cu’a to´ an ho.c hiˆe.n d¯a.i. C´ ac vˆa´n d¯`ˆe cu’a d¯a.i sˆo´ tuyˆe´n t´ınh nhu l´ . y thuyˆe´t d¯i.nh th´ . u c, ma trˆ . . a.n, hˆe. phu o ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh, . . . d¯u.o..c ph´ at biˆe’u v` a tr`ınh b` ay mˆo.t c´ach nhˆ a´t qu´ an trˆen ngˆon ng˜ u. v`a cˆa´u tr´ uc cu’a khˆ . ong gian vecto . Trong gia’i tı´ch, khi l` am to´ an trˆen c´ac tˆa.p R hay R ch´ n ung ta kha ´ quen thuˆ . o.c v´o i cˆa´u tr´ uc sˆo´ ho.c cu’a tˆ a.p n`ay. Tuy nhiˆen bu ´ . . o c v`ao c´ac l˜ınh . vu. c kh´ ac, ch˘ ’ ang ha.n l´ . . y thuyˆe´t phu o ng tr`ınh vi phˆ . . an, phu o ng tr`ınh t´ıch phˆ an, khi pha’i thu ` . . o ng xuyˆen l` am viˆe.c trˆen tˆa.p c´ ac h`am sˆo´, ta cˆ `an xˆ . ay du. ng c´ ac cˆa´u tr´ uc khˆ ong gian tuyˆ ´en tı´nh d¯ˆe’ thu..c hiˆe.n ca ´ c phe´ p toa ´ n d¯a.i sˆo´ trˆen tˆa.p c´ac h`am sˆo´ d¯o´. D - `ˆ ong th` o.i, d¯ˆe’ c´o thˆe’ l` am to´ an gia’i t´ıch d¯u.o..c trˆen c´ac khˆ ong gian aˆ´y mˆo.t . c´ach tu. nhiˆen ch´ . ung ta pha’i d¯u a cˆa´u tr´ uc mˆetric v`ao cho ch´ ung. Tuy nhiˆen nˆe´u nghiˆen c´ u.u riˆeng r˜e cˆa´u tr´ uc khˆ ong gian vecto. v` a cˆa´u tr´ uc khˆ ong gian mˆetric th`ı ta s˜e khˆ ong thu d¯u o. c d¯iˆ. . . `eu g`ı m´o i. Chu ´ ng ta hy vo.ng r˘ ` ng v´ a o.i su.. kˆe´t ho..p nhˆ a´t d¯.inh gi˜ . u a hai cˆ a´u tr´ uc n` ay th`ı c´ac vˆa´n d¯`ˆe nghiˆen c´ . u u c` ung nh˜ u ng kˆe´t qua’ m´o.i . s˜e xuˆ a´t hiˆe.n nhiˆ `eu ho.n. C´ ac nˆ o.i dung d¯o´ s˜e d¯u.o..c lˆ `an lu.o..t tr`ınh b` ay qua c´ ac . . chu o ng cu’a gi´ ao tr`ınh n` . ay. Mo’ d¯`aˆu, mu.c §1 da `nh cho viˆe.c ˆon la.i c´ac kh´ ai niˆe.m v` a t´ınh chˆ a´t d¯˜a biˆ ´et liˆen quan d¯ˆe´n khˆ ong gian vecto . Ca. ´ c mu.c kha ´ c la` nˆo.i dung m´o.i cu’a chu.o.ng na `y. ˆ §1. KHONG ˆ´N T´INH GIAN TUYE 1.1 D - i.nh ngh˜ıa. Mˆ o.t khˆong gian tuyˆ ´en tı´nh hay khˆ ong gian vecto. X trˆen mˆo.t tru.` o.ng K l` a.p ho..p kh´ a mˆo.t tˆ o´ng X, c´o trang bi. hai ph´ep to´ ac trˆ an cˆo.ng (+) v` a ph´ep nhˆan ngo` ai (nhˆ an vˆ . o hu ´. o ng) nghiˆe.m d¯u ´ ng c´ac tiˆen d¯`ˆe sau: 1) (X, +) l` a mˆo.t nh´ om Abel, ngh˜ıa l` a: v´o.i mˆo˜i c˘a.p phˆ`an tu’. (x, y) ∈ X × X ´.ng v´ cho u o.i mˆo.t phˆ`an tu’. cu’a X k´ y hiˆe.u x + y, go.i l` a tˆ o’ng cu’a x v` a y, thoa’ m˜an a. x + y = y + x v´ o.i mo.i x, y ∈ X. b. (x + y) + z = x + (y + z) v´ o.i mo.i x, y, z ∈ X. c. Tˆ`on ta.i phˆ`an tu’. 0 ∈ X, go.i l` a phˆ `an tu’. khˆ ong sao cho ∀x ∈ X, x + 0 = 0 + x = x.
4 d. V´ o.i mo.i x ∈ X tˆ `on ta.i mˆo.t phˆ`an tu’. k´ y hiˆe.u −x, go.i l` `an tu’. d¯ˆ a phˆ o´i cu’a x sao cho x + (−x) = 0. 2) X c` ung ph´ep nhˆan vˆ o hu.´o.ng trˆen X, t´ u.c l`a mˆo˜i c˘a.p (α, x) ∈ K × X u ´.ng o.i mˆo.t phˆ v´ `an tu’. cu’a X, k´ y hiˆe.u αx, thoa’ m˜an a. α(x + y) = αx + αy v´ o.i mo.i α ∈ K, x, y ∈ X. b. (α + β)x = αx + βx v´ o.i mo.i α, β ∈ K, x ∈ X. c. α(βx) = (β α)x = αβx, α, β ∈ K, x ∈ X. d. ∀x ∈ X, 1x = x. C´ac phˆ `an tu’. cu’a X go.i l` a c´ac vecto., α ∈ K go.i l` a vˆ o hu.´o.ng. Trong gi´ ao tr`ınh n` ay ta chı’ l` . . am viˆe.c v´o i tru `. . a R (tru ` o ng K l` . o ng c´ . . . ac sˆo´ thu. c) ho˘a.c C (tru `o ng c´ac sˆo´ ph´. u c). V´ı du.. a.p ho..p K n = K × . . . × K v´ 1. Tˆ o.i c´ac ph´ep to´ an cˆo.ng v` a nhˆ o hu.´o.ng: an vˆ `an n lˆ x + y = (x1 + y1 , . . . , xn + yn ), αx = (αx1 , . . . , αxn ) trong d¯o´ α ∈ K, x = (x1 , . . . , xn ), y = (y1 , . . . , yn ) ∈ K n l` a mˆo.t khˆong gian vecto.. D -˘a.c biˆe.t khi n = 1 th`ı K l` ong gian vecto. trˆen ch´ınh n´ a mˆo.t khˆ o. 2. Tˆa.p ho..p c´ ac d¯a th´u.c mˆo.t biˆe´n thu..c trˆen R, k´ o.i ph´ep cˆo.ng hai a P v´ y hiˆe.u l` u.c, ph´ep nhˆan mˆ d¯a th´ o.i d¯a th´ o.t sˆo´ v´ u.c d¯u.o..c x´ac d¯i.nh theo c´ach thˆ ong thu.`o.ng c˜ung l` a mˆo.t khˆong gian vecto.. 3. Tˆ a.p ho..p tˆ am sˆo´ thu..c ho˘ a´t ca’ c´ac h` u.c x´ac d¯i.nh trˆen mˆo.t tˆ a.c ph´ a.p A kh´ ac o´ng v´ trˆ . o i c´ac ph´ep to´ an ∀x ∈ A, (f + g)(x) = f (x) + g(x), (λf )(x) = λf (x), l` a mˆo.t khˆ ong gian vecto., ta k´ a F(A). y hiˆe.u l` 4. Tˆa.p ho..p c´ ac d˜ay sˆo´ thu..c (ho˘ a.c ph´u.c) v´ o.i c´ac ph´ep cˆo.ng v` a ph´ep nhˆ an vˆo hu.´o.ng d¯u.o..c x´ac d¯.inh theo c´ ach thˆ ong thu.` o.ng lˆ a.p th`anh khˆ ong gian vecto., k´ y hiˆe.u l` a s. Thˆ a.t ra, theo k´ . y hiˆe.u o’ v´ı du. 3, ta c´o s = F(N), v´ . o i N l` a tˆ ac sˆo´ tu.. a.p c´ nhiˆen.
5 1.2 D-ˆo.c lˆ e´n t´ınh-Co. so’.. a.p tuyˆ 1.2.1. Gia’ su’. X l` a mˆo.t khˆong gian vecto. v` a c´ac vecto. a x1 , x2 , . . . , xn l` thuˆ o.c X. Tˆ o’ng n α1 x1 + · · · + αn xn = αi xi , i=1 trong d¯o´ c´ac αi ∈ K d¯u.o..c go.i l` o’ ho..p tuyˆe´n t´ınh cu’a c´ac vecto. x1 , . . . , xn a mˆo.t tˆ o.i c´ac hˆe. sˆ v´ o´ α1 , . . . , αn . Cho M l` a mˆo.t tˆ a.p con cu’a X. Ta go.i M l` a.p ho..p d¯ˆ a mˆo.t tˆ a.p tuyˆe´n t´ınh o.c lˆ nˆe´u mo.i tˆ a.p h˜u.u ha.n ca ´ c phˆ`an tu’. {x1 , . . . , xn } ⊂ M va ´ c sˆo´ α1 , . . . , αn ∈ K, ` ca ´eu nˆ n αi xi = 0 th`ı αi = 0, i = 1, . . . , n, i=1 trong d¯o´ n l`a sˆo´ tu.. nhiˆen bˆ a´t k` y. Tru.`o.ng ho..p M khˆ ong pha’i l`a d¯oˆ. c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh th`ı ta go.i M l` a phu. thuˆ o.c tuyˆe´n t´ınh. 1.2.2. Cho B l` a mˆo.t tˆ a.p con kh´ ac trˆ ong gian vecto. X. Tˆa.p B o´ng cu’a khˆ d¯u.o..c go.i l` a mˆo.t co. so’. ( hay co. so’. Hamel ) cu’a X nˆe´u: a) B l` a.p ho..p d¯oˆ. c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh. a mˆo.t tˆ b) B sinh ra X, ngh˜ıa l` a v´ o.i mo.i x ∈ X, x l` o’ ho..p tuyˆe´n t´ınh cu’a a mˆo.t tˆ mˆo.t sˆo´ h˜u.u ha.n c´ac phˆ `an tu’. cu’a B : n ∀x ∈ X ∃ α1 , . . . , αn ∈ K; ∃ x1 , . . . , xn ∈ B : x = αi xi (1.2) i=1 1.2.3 Mˆ e.nh d `e. Gia’ su’. B l` ¯ˆ o.t co. so’. cu’ a khˆ a mˆ ong gian vecto. X. Khi d¯´ o biˆe’u diˆ˜e n cu’ a vecto. x ∈ X cho bo’.i (1.2) d¯u.o..c x´ac d¯.inh mˆo.t c´ a´t. ach duy nhˆ Ch´ u ´y. Trong ph´ ay ta qui u.´ at biˆe’u cu’a mˆe.nh d¯`ˆe n` o.c r˘a ` ng trong tˆ o’ng (1.2) . c´ac vecto xj kh´ ac nhau t` . u ng d¯oˆi mˆo.t; khˆ ong co . ´ m˘a.t c´ac ha.ng tu’ da.ng 0xj v` a ho.n n˜ u.a, do tı´nh chˆ a´t giao hoa´ n cu’a phe ´ p + nˆen ta khˆong quan tˆ u. tu.. am d¯ˆe´n th´ cu’a c´ac ha.ng tu’.. u.ng minh. Gia’ su’. c´o hai c´ Ch´ ach biˆe’u diˆ ˜e n kh´ ac nhau: x = α1 x1 + · · · + αn xn = β1 y1 + · · · + βm ym , o.i αi = 0, βj = 0, i = 1, . . . , n, j = 1 . . . , m. v´
6 Ta loa.i bo’ c´ac ha.ng tu’. αj xj v` a βk yk o’. hai vˆe´ nˆe´u αj = βk v` a xj = yk . L´ uc d¯o´ c´ac ha.ng tu’. αj xj v`a βk yk c`on la.i o’. hai vˆe´ s˜e xa’y ra ho˘ a.c xj = yk ho˘ a.c nˆe´u xj = yk th`ı αj = βk . Chuyˆe’n c´ ac ha.ng tu’. d¯o´ vˆ `e mˆo.t vˆe´ v` a viˆe´t la.i th` anh µ1 v1 + · · · + µr vr = 0, 0 < r ≤ n + m. Do B l` a mˆo.t tˆ a.p ho..p d¯oˆ. c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh nˆen µ1 = · · · = µr = 0. D - iˆ `eu n`ay vˆo l´y v`ı mˆo˜i µk pha’i l` a αj ho˘ a.c βk thı` kh´ ac khˆ ong ho˘ a.c αj − βk = 0. Bˆay gi` o. gia’ su’. B l`a mˆo.t co. so’. cu’a khˆ ong gian vecto. X v` a B l` a tˆ a.p h˜ u.u ha.n c´o k phˆ `an tu’.. Khi d¯o´ mo.i tˆ a.p con d¯oˆ. c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh cu’a X c´o tˆ o´i d¯a k phˆ `an tu’. (H˜ ay ch´ u.ng minh d¯iˆ `eu d¯o´ nhu. la ` ca ´ ch ˆon la.i kiˆ´en th´ u.c cu’a d¯a.i sˆo´ tuyˆ ´en tı´nh!) L´uc n` ay ta n´ oi X l` a khˆ ong gian h˜ u.u ha.n chiˆ `an tu’. cu’a B gˆ `eu, sˆo´ phˆ `om k phˆ `an tu’. d¯u.o..c go.i l` o´ chiˆ a sˆ `eu cu’a X v` a k´ a dim X = k. Nˆe´u X khˆ y hiˆe.u l` ong pha’i l` a khˆ ong gian h˜ . u u ha.n chiˆ `eu th`ı ta go.i n´ o l`a khˆ ong gian vˆ o ha.n chiˆ `eu v` a viˆe´t dim X = ∞. Cho B l` a tˆa.p con cu’a X. D - ˆe’ nhˆa.n biˆe´t B l`a co. so’. cu’a khˆ ong gian vecto. X, ta c`on c´o: - i.nh l´ 1.2.4 D y. Tˆ a.p ∅ = B ⊂ X l` a co. so’. cu’ a khˆong gian vecto. X khi v` a chı’ khi B l` . a.p ho. p d¯ˆ a tˆ a.p tuyˆe´n t´ınh tˆ o.c lˆ o´i d¯a.i (ngh˜ıa l` a B d¯oˆ. c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh v` a nˆe´u M B th`ı M phu. thuˆ o.c tuyˆe´n t´ınh). u.ng minh. Ch´ a. D- iˆ `eu kiˆe.n cˆ`an. Cho M B. Gia’ su’. x ∈ M v` ax∈ / B. Khi d¯o´ theo d¯i.nh ngh˜ıa co. so’., pha’i c´o x1 , . . . , xn ∈ B, α1 , . . . , αn ∈ K sao cho n n x= αi xi hay αi xi − 1x = 0. i=1 n=1 Hˆe. {x1 , . . . , xn , x} phu. thuˆ o.c tuyˆe´n t´ınh nˆen M phu. thuˆ o.c tuyˆe´n t´ınh. b. D - iˆ `eu kiˆe.n d¯u’. V´ o.i x ∈ X, nˆe´u x ∈ B th`ı x = 1x. Nˆe´u x ∈ / B th`ı do B ∪ {x} phu. thuˆ o.c tuyˆe´n t´ınh nˆen tˆ . o’ ho. p tuyˆe´n t´ınh `on ta.i mˆo.t tˆ α1 x1 + · · · + αn xn = 0 sao cho tˆa´t ca’ c´ac α1 , . . . , αn khˆ o.i b˘ ong d¯`oˆng th` ` a ng khˆong. Trong c´ac vecto. xi ay pha’i c´o m˘a.t vecto. x, ch˘ n` a’ng ha.n x = x1 v` a khi d¯o´ α1 = 0 v`ı nˆe´u khˆ ong pha’i . nhu vˆa.y th`ı B s˜e phu. thuˆ o.c tuyˆe´n t´ınh. Do d¯o´ x = x1 = −(α−1 −1 1 α2 x2 + · · · + α1 αn xn ).
7 Vˆa.y B l` a mˆo.t co. so’. cu’a X. 1.2.5 D - .inh l´ y. Gia’ su’. X l` a mˆ o.t khˆong gian vecto. v` a M l` a mˆ a.p ho..p d¯ˆ o.t tˆ o.c a.p tuyˆe´n t´ınh trong X. L´ lˆ uc d¯´ `on ta.i mˆ o tˆ . . o.t co so’ B cu’ a X sao cho B ⊃ M. Ch´ u.ng minh. K´ y hiˆe.u F l`a tˆa.p ho..p tˆ a´t ca’ c´ac tˆa.p ho..p N d¯oˆ. c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh trong X ch´ u.a M . Khi d¯o´ F = ∅ v`ı M ∈ F. Ta d¯i.nh ngh˜ıa quan hˆe. th´ u. tu.. trˆen F nhu. sau: v´ o.i N1 , N2 ∈ F, N1 ≤ N2 khi v` a chı’ khi N1 ⊂ N2 . Gia’ su’. A ⊂ F l` a mˆo.t tˆ a.p con s˘ a´p th˘ a’ng cu’a F. Ta d¯a˘. t N0 b˘ a . ` ng ho. p cu’a tˆ a´t ca’ c´ac tˆa.p N thuˆ o.c A. L´ uc d¯o´ N0 l` a mˆo.t cˆa.n trˆen cu’a A. Do F thoa’ m˜an c´ac gia’ thiˆe´t cu’a bˆ o’ d¯`ˆe Zorn nˆen trong F tˆ `on ta.i mˆo.t phˆ `an tu’. tˆ o´i d¯a.i B. Vˆ a.y B l` a co. so’. pha’i t`ım. 1.2.6 Hˆ ong gian vecto. X = {0} d¯`ˆeu tˆ e. qua’. Mo.i khˆ `on ta.i co. so’.. Ch´u.ng minh. Lˆ a´y x ∈ X, x = 0 v` a d¯a˘. t M = {x} rˆ `oi a´p du.ng D- i.nh l´ y 1.2.5. ong gian vecto. con. 1.3 Khˆ 1.3.1 D - i.nh ngh˜ıa. Cho X l` a mˆo.t khˆ ong gian vecto. v` a M l` a mˆo.t tˆ a.p con kh´ ac trˆ . o´ng cu’a X. Gia’ su’ c´ac ph´ep to´an cˆo.ng v` a nhˆ an vˆ . o hu ´ . o ng trˆen X thu he.p la.i trˆen M c˜ ung l` am cho M th` anh mˆ o.t khˆ . ong gian vecto . Khi d¯o´ ta go.i M l` a mˆo.t khˆ ong gian vecto. con (hay go.i t˘ a´t la ` khˆong gian con) cu’a X. 1.3.2 D- i.nh l´ y. Cho M l` a mˆo.t tˆ a.p con kh´ ac trˆ - iˆ o´ng cu’ a X. D `eu kiˆe.n cˆ `an v` a . d¯u’ d¯ˆe’ M tro’ th` anh mˆ ong gian con cu’ a X l` o.t khˆ a: a. ∀ x, y ∈ M : x + y ∈ M. b. ∀x ∈ M, ∀α ∈ K : αx ∈ M. Ch´ u.ng minh. D - iˆ `an hiˆe’n nhiˆen. Do gia’ thiˆe´t, c´ac ph´ep to´ `eu kiˆe.n cˆ an cˆo.ng v`a nhˆan vˆ o hu ´. . o ng l` . a k´ın trˆen M . Ho n n˜ . a´t cu’a c´ac ph´ep to´ u a, c´ac t´ınh chˆ an n`ay vˆa˜n c`on d¯u ´ ng khi ta l` am viˆe.c v´o.i c´ac phˆ `an tu’. cu’a M nˆen ta ´ m tiˆen d¯`ˆe cu’a mˆo.t khˆ ong . . . gian vecto d¯u o. c nghiˆe.m d¯´u ng. T` . . . u d¯aˆy cho ph´ep ta suy d¯u o. c d¯iˆ `eu kiˆe.n d¯u’. Ch´u y ´. Trong thu..c h` anh, d¯ˆe’ kiˆe’m tra mˆo.t tˆ a.p Y n`ao d¯o´ l` a khˆong gian vecto., ngu.`o.i ta thu.` o.ng nh´ung n´ o v`ao trong mˆo.t khˆ ong gian vecto. d¯a˜ biˆe´t rˆ `oi kiˆe’m tra c´ac d¯iˆ `eu kiˆe.n cu’a d¯i.nh l´ y trˆen. 1.3.3 V´ı du.. 1. Tˆa.p ho..p l1 gˆ ay sˆo´ thu..c ho˘ `om tˆa´t ca’ c´ac d˜ u.c x = (xn )n sao cho a.c ph´ ∞ |xn | < ∞ l` ong gian con cu’a khˆ a mˆo.t khˆ ong gian s c´ac d˜ay sˆo´. n=1
8 2. Tˆa.p ho..p c´ ac h` am sˆo´ liˆen tu.c x´ac d¯i.nh trˆen d¯oa.n [a, b] k´ y hiˆe.u C[a,b] l` a mˆo.t khˆong gian con cu’a khˆ ong gian c´ ac h`am sˆo´ F([a, b]). 3. Tˆa.p ho..p l∞ = {x = (xn )n ⊂ K : sup |xn | < ∞} c´ac d˜ ay sˆo´ thu..c ho˘a.c n∈N ph´u.c x = (xn )n bi. ch˘a.n c˜ ung l` ong gian vecto.. D a mˆo.t khˆ - ´o la ong gian con cu’a ` khˆ khˆong gian vecto. s ca ´ c da˜ y sˆo´. u. D T` - i.nh l´ o mˆe.nh d¯`ˆe sau. y 1.3.2 ta c´ 1.3.4 Mˆ e.nh d`e. Giao mˆ ¯ˆ o.t ho. tu`y ´y c´ ong gian con cu’ a X l` ac khˆ a mˆ o.t khˆ ong gian con cu’ a X. u.ng minh. Gia’ su’. (Mi )i∈I l` Ch´ ong gian con cu’a X. D a mˆo.t ho. c´ac khˆ - ˘a.t M = Mi . Ta c´o M kh´ o´ng v`ı n´ ac trˆ o c´o ch´u.a vecto. 0. Nˆe´u x, y ∈ M, (t´ u.c i∈I o.i mo.i i ∈ I. Do d¯o´ a x, y ∈ Mi , ∀i ∈ I), α ∈ K th`ı x + y ∈ Mi , αx ∈ Mi v´ l` x + y ∈ M v`a αx ∈ M. Vˆ a.y M l` ong gian con cu’a X. a khˆ 1.3.5 D - i.nh ngh˜ıa. Gia’ su’. A l` a.p con cu’a khˆ a mˆo.t tˆ ong gian vecto. X. Luˆ on luˆon tˆ`on ta.i mˆo.t khˆong gian con cu’a X ch´ . u a A (ch˘ ’ ang ha.n ba’n thˆan khˆ ong gian X). Giao cu’a ho. tˆ a´t ca’ c´ac khˆ ong gian con ch´ . u a A c˜ ung l`a mˆo.t khˆ ong gian con ch´u.a A. Khˆ ong gian con n` ay d¯u.o..c goi. l` a khˆong gian con sinh bo’.i A hay l` a bao tuyˆe´n t´ınh cu’a A v` . . a d¯u o. c k´ a A
ho˘ y hiˆe.u l` a.c span (A). Theo d¯i.nh ngh˜ıa, d¯aˆy l` a khˆ ong gian con b´e nhˆ a´t cu’a X ch´ . u a tˆ a.p A. Ta c´o: 1.3.6 Mˆ e.nh d `e. Bao tuyˆe´n t´ınh cu’ a tˆ ¯ˆ a.p A l`a tˆa.p ho..p tˆ a´t ca’ c´ o’ ho..p ac tˆ tuyˆe´n t´ınh cu’ a c´ ac phˆ `an tu’. thuˆo.c A. n Ch´u.ng minh. D -˘ a.t M = αi xi | αi ∈ K, xi ∈ A, n ∈ N . Ro ˜ ra `ng theo i=1 - i.nh l´ D y 1.3.2, M l` a khˆ ong gian con cu’a X. Ho.n n˜ u.a t`u. A ⊂ M suy ra A
⊂ M. n M˘ a.t kh´ac do xi ∈ A nˆen αi xi ∈ A
v`ı A
l` a mˆo.t khˆ ong gian vecto.. Do d¯´o i=1 M ⊂ A
v` a t`u. d¯´o M = A
. - i.nh nghı˜a. Gia’ su’. M v` 1.3.7 D a N l` a hai khˆ ong gian con cu’a X. Ta ky ´ hiˆe.u Z = M + N = {x + y : x ∈ M, y ∈ N }. L´ uc d¯o´ Z c˜ung l` a mˆo.t khˆ ong gian vecto. con cu’a X, d¯u.o..c go.i l` o’ng cu’a M v` a tˆ a N . Ta dˆ ˜e d` ang suy ra: M + N = M ∪ N
. Nˆe´u Z = M + N v` a M ∩ N = {0} th`ı Z d¯u.o..c go.i l` o’ng tru..c tiˆe´p cu’a M a tˆ v` y hiˆe.u Z = M ⊕ N. Ta c´o: a N , k´
9 1.3.8 D - i.nh l´ y. Cho M, N l` a c´ ong gian vecto. con cu’ a X va ac khˆ ` d¯˘a.t Z = M + N. D - iˆ a´t c´ `eu kiˆe.n ˘ a d¯u’ d¯ˆe’ Z = M ⊕ N l` o v` o.i mo.i z ∈ Z, z d¯u.o..c a v´ biˆe’u diˆ˜e n mˆo.t c´ ach duy nhˆ a´t du.´ o.i da.ng z = x + y v´o.i x ∈ M, y ∈ N. u.ng minh. Ch´ - iˆ D `an. Gia’ su’. Z = M ⊕ N v` `eu kiˆe.n cˆ a z = x + y = x + y v´ o.i x, x ∈ M ; y, y ∈ N. L´ uc d¯o´ x − x = y − y. V`ı x − x ∈ M, y − y ∈ N nˆen x − x = y − y ∈ M ∩ N = {0}. Vˆ a.y x = x v` a y = y . D `eu kiˆe.n d¯u’. Ta c´o Z = M + N. Gia’ su’. x ∈ M ∩ N. L´ - iˆ uc d¯o´ ta viˆe´t x = x + 0 = 0 + x. Do t´ınh duy nhˆ a´t cu’a biˆe’u diˆ ˜e n, ta suy ra x = 0 ngh˜ıa l` a M ∩ N = {0} hay Z = M ⊕ N. ong gian vecto. t´ıch–Khˆ 1.4. Khˆ ong gian vecto. thu.o.ng. 1.4.1. Cho X1 , . . . , Xn l` a n khˆ ong gian vecto. trˆen c` o.t tru.` ung mˆ o.ng K. K´ y a t´ıch Descartes cu’a c´ac Xi : X = X1 × . . . × Xn . V´ hiˆe.u X l` . `an tu’. o i c´ac phˆ x = (x1 , . . . , xn ), y = (y1 , . . . , yn ) thuˆ a α ∈ K ta d¯i.nh ngh˜ıa o.c X v` x + y = (x1 + y1 , . . . , xn + yn ), αx = (αx1 , . . . , αxn ). L´ ˜e d` uc d¯o´ dˆ ang kiˆe’m tra d¯ˆe’ thˆ ` ng v´ a´y r˘ a o.i hai ph´ep to´ an trˆen, X tro’. th` anh mˆo.t khˆong gian vecto. v` a X d¯u.o..c go.i l` a t´ıch (hay t´ıch tru..c tiˆe´p) cu’a n khˆ ong . gian vecto X1 , . . . , Xn . 1.4.2 Cho X l` a mˆo.t khˆ ong gian vecto. v` a M l` ong gian con cu’a n´ a mˆo.t khˆ o. Ta d¯.inh ngh˜ıa quan hˆe. sau: ∀ x, y ∈ X, x ≡ y (mod M ) ⇔ x − y ∈ M. R˜o r` a mˆo.t quan hˆe. tu.o.ng d¯u.o.ng trˆen X. Cho x ∈ X. Nˆe´u y ≡ ang d¯aˆy l` x (mod M ) th`ı y − x ∈ M hay y ∈ x + M . Ngu.o..c la.i nˆe´u z ∈ x + M th`ı z − x ∈ M hay z ≡ y (mod M ). Do d¯o´ l´ o.p tu.o.ng d¯u.o.ng cu’a x, k´y hiˆe.u x ch´ınh l` a tˆ a.p x + M = {x + m; m ∈ M }. Ta k´ a.p thu.o.ng l` y hiˆe.u tˆ a X/M = {x : x ∈ X}. Ch´ uy a` ng ´ r˘ x ≡ x (mod M ) ⇐⇒ x − x ∈ M, y ≡ y (mod M ) ⇐⇒ y − y ∈ M,
10 do d¯o´ ta c´o thˆe’ d¯i.nh ngh˜ıa c´ac ph´ep to´ an cˆo.ng v` a nhˆ o hu.´ an vˆ o.ng trˆen X/M nhu. sau x + y = x + y, αx = αx, trong d¯o´ x, y l` `an tu’. bˆ a c´ac phˆ a´t k` ac l´o.p tu.o.ng d¯u.o.ng x, y. y trong c´ Theo ch´ uy ´ trˆen, d¯i.nh ngh˜ıa c´ac ph´ep to´ an n`ay l` ´ ng d¯a˘´n v`ı khˆ a d¯u ong phu. thuˆo.c v`ao viˆe.c cho.n c´ac d¯a.i diˆe.n x ∈ x, y ∈ y. Dˆ ang kiˆe’m tra d¯ˆe’ thˆ ˜e d` a´y r˘a o.i c´ac ph´ep to´ ` ng v´ an trˆen, X/M tro’. th` anh mˆ o.t . ong gian vecto , go.i l` khˆ a khˆ . . . ong gian vecto thu o ng cu’a X theo khˆ ong gian con M. . Lu u y´ r˘` a ng phˆ . `an tu’ 0 cu’a X/M ch´ınh l` a tˆa.p M. ´ 1.5. Anh e´n t´ınh. xa. tuyˆ Cho X, Y l` a hai khˆong gian vecto. trˆen tru.` o.ng K v` a mˆo.t a´nh xa. A : X → Y, x → Ax. Ta go.i A l` an tu’. tuyˆe´n t´ınh) nˆe´u v´ anh xa. tuyˆe´n t´ınh (hay to´ a mˆo.t ´ o.i mo.i x, y ∈ X, α, β ∈ K ta c´o A(αx + βy) = αAx + βAy. Cho A l` a a´nh xa. tuyˆe´n t´ınh t` u. X v`ao Y , ta k´y hiˆe.u Im A = A(X) v` a −1 KerA = A (0) lˆ . . `an lu o. t a’nh v` an cu’a A. Nˆe´u A l` a ha.t nhˆ a song a´nh ta n´ oi A l` a ph´ep d¯a˘’ ng cˆ a´u tuyˆe´n t´ınh v` a X, Y l` a hai khˆ . ong gian vecto d¯a˘’ ng cˆ a´u v´. o i nhau. Bˆay gi`o. gia’ su’. A, B : X → Y l`a hai a´nh xa. tu` yy´. Ta c´o c´ac d¯i.nh ngh˜ıa . ong thu ` thˆ . o ng: (A + B)x = Ax + Bx, (αA)x = αAx, trong d¯o´ α ∈ K, x ∈ X. Dˆ˜e d` ang thˆ ` ng nˆe´u A, B l` a´y r˘ a a c´ac ´anh xa. tuyˆe´n t´ınh th`ı A + B, αA c˜ ung l` a nh˜. u ng a´nh xa. tuyˆe´n t´ınh t`. u X v`ao Y . K´ y hiˆe.u L(X, Y ) l` a tˆa.p ho..p tˆa´t ca’ c´ac ´anh xa. tuyˆe´n t´ınh t`u. X v`ao Y . Khi d¯o´ v´ . o i hai ph´ep to´an v` . u a x´ ac d¯i.nh, L(X, Y ) lˆ a.p th` anh mˆ o.t khˆ ong gian vecto.. Nˆe´u Y = K (R hay C) l´ anh xa. tuyˆe´n t´ınh A : X → K d¯u.o..c go.i l` uc d¯o´ ´ a phiˆe´m h`am tuyˆe´n t´ınh trˆen X, c`on L(X, K) d¯u.o..c k´ a X v` y hiˆe.u l` a go.i la ` khˆ ong gian liˆen o´ cu’a khˆ hiˆe.p d¯a.i sˆ ong gian X.
11 ` TA BAI ˆP . 1.1. Cho X l` ong gian vecto., f1 , f2 l` a mˆo.t khˆ a hai phiˆe´m h` am tuyˆe´n t´ınh x´ac d¯.inh trˆen X. Gia’ su’. v´ o.i mo.i x ∈ X th`ı f1 (x)f2 (x) = 0. Ch´ u.ng minh r˘ a` ng f1 ≡ 0 hay f2 ≡ 0. 1.2. Cho X l` ong gian vecto. v` a mˆo.t khˆ a A : X → X l` an tu’. tuyˆe´n a mˆo.t to´ t´ınh. Gia’ su’. A2 = A ◦ A = 0. Ch´ u.ng minh r˘ a` ng I − A l`a mˆo.t song a´nh. (I l` a to´ . an tu’ d¯`oˆng nhˆ a´t id.) a c´ac phiˆe´m h` 1.3. Cho f, f1 , . . . , fn l` am tuyˆe´n t´ınh trˆen khˆ ong gian vecto. X. n Gia’ su’. Ker f ⊃ ∩ Ker fi . Ch´ u.ng minh r˘ a` ng f l` o’ ho..p tuyˆe´n t´ınh cu’a c´ac a mˆo.t tˆ i=1 f1 , . . . , fn . §2. KHONG ˆ ˆ´N T´INH D GIAN TUYE ˆ’ N. - I.NH CHUA 2.1. C´ ac d ¯i.nh ngh˜ıa. Cho X l` a mˆo.t khˆ ong gian vecto. v` a · : X → R l` a mˆo.t ha `m sˆo´. Ta go.i ha`m sˆo´ na `y la` mˆo.t chuˆa’n trˆen X nˆ ´eu no´ thoa’ ma ˜ n 3 tiˆen d¯`ˆe sau: 1. ∀x ∈ X : x ≥ 0; x = 0 khi v` a chı’ khi x = 0. 2. λx = |λ|x v´ o.i mo.i λ ∈ K, x ∈ X. 3. x + y ≤ x + y, v´ o.i mo.i x, y ∈ X v` a λ ∈ K (bˆ a´t d¯a˘’ ng th´u.c tam gi´ ac). Khi d¯o´ c˘a.p (X, · ) d¯u.o..c go.i l` a mˆo.t khˆ ong gian tuyˆe´n t´ınh d¯.inh chuˆ a’n hay . go.n ho n khˆ ong gian d¯.inh chuˆ a’n. Nˆe´u tru.` o.ng K = R (t.u.., C) th`ı ta go.i (X, · ) l` a khˆ ong gian d¯.inh chuˆ a’n thu..c (t.u.., khˆong gian d¯.inh chuˆ a’n ph´ u.c). Sˆ o´ thu..c x d¯u.o..c go.i l` a chuˆ a’n hay d¯ˆo. d` . ai cu’a vecto x ∈ X. Nˆe´u khˆ . ong c´o su. nhˆ `am lˆa˜n vˆ`e chuˆ a’n trˆen X th`ı ta s˜e k´ y a´t l` hiˆe.u t˘ a khˆ ong gian d¯i.nh chuˆ a’n X. Cho X l` a mˆo.t khˆong gian d¯i.nh chuˆ a’n. V´ o.i x, y ∈ X ta d¯a˘. t d(x, y) = x − y u. ba tiˆen d¯`ˆe cu’a chuˆ Khi d¯o´ t` a mˆo.t mˆetric trˆen X. Ho.n a’n, ta suy ra ngay d l` u.a d c`on tho’a m˜an: n˜ a) d(x + z, y + z) = d(x, y) b) d(λx, λy) = |λ|d(x, y)
12 o.i mo.i x, y, z ∈ X, λ ∈ K. v´ Ngu.o..c la.i cho X l` ong gian vecto. v` a mˆo.t khˆ a d l` a mˆo.t mˆetric xa ´ c d¯i.nh trˆen . X. Gia’ su’ d thoa’ m˜an thˆem c´ac d¯iˆ `eu kiˆe.n a) v` a b). Ta d¯a˘. t x = d(x, 0) th`ı r˜ ang · l` o r` a mˆo.t chuˆ a’n trˆen X. Do d¯o´ nˆe´u X l` a mˆo.t khˆ ong gian d¯i.nh chuˆ a’n th`ı n´ o c˜ ung l`a mˆo.t khˆ . ong gian mˆetric (v´o i mˆetric sinh ra t` u. chuˆ u.c a’n, t´ a d(x, y) = x − y). T` l` u. d¯aˆy tˆa´t ca’ c´ac kh´ ai niˆe.m cu’a khˆ ong gian mˆetric d¯`ˆeu d¯u.o..c chuyˆe’n cho khˆ ong gian d¯i.nh chuˆ - ˆe’ y a’n. D ` ng c´ ´ r˘ a ac t´ınh chˆa´t a) v`a b) ch´ınh a mˆo´i liˆen hˆe. gi˜ l` . u a c´ac ph´ep to´ an cˆo.ng va ` nhˆ an vˆ . o hu ´ . o ng trˆen X v´ . o i ha `m chuˆ a’n (mˆetric). 2.2. C´ ac v´ı du.. 2.2.1. Tˆa.p ho..p K n c´ac bˆo. n sˆo´ thu..c (ho˘ u.c) x = (x1 , . . . , xn) l` a.c sˆo´ ph´ a mˆo.t khˆ a’n v´ ong gian d¯i.nh chuˆ . o i chuˆa’n