Giáo trình Hình học Afin và Hình học Ơclít: Phần 1

Chia sẻ: Lê Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:77

Thêm vào BST

Báo xấu

717
lượt xem 81
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Phần 1 giáo trình "Hình học Afin và Hình học Ơclít" gồm nội dung các chương: Không gian Afin, ánh xạ Afin và biến đổi Afin, siêu mặt bậc hai. Sau mỗi chương đều có phần bài tập, nhưng không có lời giải hoặc đáp số. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình Hình học Afin và Hình học Ơclít: Phần 1

TRƯỜNG ĐẠI S ư PHẠM - ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI VÃN NHƯ CƯƠNG - T Ạ MÂN HÌNH HỌC AFIN VÀ HÌNH HỌC ƠCLÍT NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI"- 1998
Chịu trách nhiệm xuất bản: G i á m dóc Nguyền Vãn Thoa Tổng biên tập Nghiêm Đình Vỹ Người nhận xét: GS Đ o à n Q u ý n h PTS P h ạ m K h á c Ban PTS N g u y ề n Anh Kiet Biên lập và sửa bản in: H à C ư ơ n g Trìu ti bày bìa: Đinh Quang H ù n g HÌNH HỌC A F I N VÀ HÌNH H Ọ C ƠCLÍT Mã ri(i: 01.14-. ĐĨI9S - 221.98 ' in 11100 cuốn t ạ i Nhà in Dai học Quốc gia Hà Nôi ; sỏ xuất bản 221 Cx8 Số trích ngangzo KH/XB in xong và núp lưu chiếu t h á n g 5/199S.
LÒI NÓI ĐAU Giáo trình này dành cho sinh i-iẻn khoa Toán Trương Dai hoe Sư phạm, sau giai đoạn hoe táo ỏ trường Dại hoe Dai cương. Dế tiếp thu dẻ dàng giáo trĩnh này, người dọc càn có những hiểu biết tuông dối VP. không gian vecta và Dại số tuyến tỉnh. Dế giáo trình trà thành một cuốn sách dộc lập và có hê 'hòng, một vài vấn đè tuy dã dược hoe ó ĩ)hàn Dại cương nhưng '-TỈ71 dược trinh bày lại. Sau mỏi chương đều có DÌĩân bài .'ộp, nhưng không có ì ói giải /toạc đáp số. Chúng tôi hi vong sau giảo trinh nàv ỉ ũ có cuốn bài tập phong phú và có ohần hướng d n hoặc 'ái -Tín. Các tác giả chăn thành cám mi GS Đoàn. QuVilli, PTS Phàm Khác Ban. PTS Nguyen Anh Ki ót dã dóc bàn thào và tóp những V kiên xác áá/tơ. Các tác ẹià
CHƯƠNG I KHÔNG GIAN A FIN §1. ĐINH NGHÍA KHÔNG GIAN AFIN Ì - Đ ị n h n g h ĩ a : Cho không gian vectơ V t r ẽ n t r ư ờ n g K, tập A T i 0 mà các phần tử của nó gói là đ i ể m và á n h xa f . A x A -» V . Kí hiệu
b) Nếu V là một K - không gian véctơ và ánh xạ tp: V x V V cho bời
t u ế n AiAị, A A A A - I - i i + i > •••> AịKn s ộ c ủ n đ c l â P y t ỉ n h - Phán chứng minh này dành- cho bạn đọc. Dinh lý. Nếu A là không gian afin n chiêu thi trong A luôn có những hệ m điểm dộc lập uới 0 í m sỉ n + 1. Moi hệ điểm nhiều han n + Ì điềm đêu là không dộc lập. Chứng minh. Giả sử A là k h ô n g gian véctơ liên k ế t với không gian afin A và {ẽ*\ là một cơ sờ nào đó của A. v ì A không rỗng nên ta có t h ế chọn m ộ t đ i ể m A nào đó của A 0 sau đó chọn các đ i ế m Aị sao cho AjjAj = ej, i = Ì, 2, ...n. Rõ r à n g hệ n + Ì đ i ể m A„, A j , A là độc lập. Ngoai ra n nếu ta lấy m đ i ể m A , A | , D A _ ! (0 sỉ m í n+1) của h ệ m đó thì h i ể n nhiên ta đưổc m đ i ế m độc lập. Nếu ta co' Ì hệ gốm r đ i ể m : P , P ... P _ ị (r > n+1) ư lLL r thì hê r - Ì véctơ P Pị, P P i , n P P _, không độc lập 0 0 r tuyến tính vì r - Ì > n = dim A, từ đó suy ra h ệ r đ i ể m đó khổng độc lập. §2. TỌA ĐỘ AFIN 1. Định nghĩa mục t i ê u afin Cho không gian afin n chiểu A liên kết. với k h ô n g gian véctơ A. Gọi E = {ép e : e } là một cơ sờ của A và o 2 n là một điếm t h u õ c A. Khi đ ó t ậ p h ơ p { 0 ; ĩ } hay { 0 ; ẽT, ẽT. . e } g ọ i là m ộ t múc tiêu a fin của A. 0 gọi là điếm gốc của m ụ c tiêu, ej gọi là vécta ca sò thứ I của m ú c tiêu. 2. Đ ị n h nghĩa t ọ a đ ộ c ủ a đ i ế m . Trong không gian afin n chiếu A cho mục tiêu afin { O . ẽ|*, ẽT, ... , ẽ ^ } . Với mỗi điểm X C Ả t a Cũ véctơ o x e Ạ 7
và vì vậy có duy nhất n phán tử X[, x , 2 ...,x n của trường K sao cho ox = + x ^ + ... + x i ^ 2 n Bộ n phấn tử (Xj, x ..-,x ) 2 > n đó được gọi l à tọa độ cùa điềm X dối ươi mục tiêu đã chon, kí hiệu: X(X), Xo, x ) n hay X = (Xj, x , 2 x ) n Chú ý rằng nếu X = (Xj, x , 2 x ) và Y = n (ý,, y , 2 ... , y> n thi XY = ÕY - õ x = - = i y i - X ; ) ^ + (y 2 - x )ẽ? + 2 ... + ( y n - x )e^ĩ n Vãv véctơ X Y có toa độ là (yj - Xị, yo - Xi,..., y n - x ) n đổi với cơ sờ £ = {ej, e-, e } n của không gian véctơ A. 3. Đổi mục tiêu afin. Trong không gian a f i n ri c h i ề u A cho hai mục tiêu afin: •Ũ: tì Ị, e, : ... , e }- và n {0'; ej', ẽt'. e '}. n Với mỗi điếm X G A gọi (XÌ, X i , x ) n là tọa độ của điếm X đối với múc riêu '.0; £ } v à { x ' j , x ' , ? x ' J là n tọa đô của điểm X đ ố i với mục tiêu {0'; £'}. Tìm sư liên hệ giữa X , và x\. Già ìừ biết: 1=1 n 00' = y.SL-fi* 1=1 Khi đó từ đ n g thức õx = dồ' + crx* ta có n n n n n n z XiẽT = ỵ ajẽ* + ỵ x ' j ẽ ^ = ỵ a i * + ỵ x ; , i ỵ c,jẽf 1=1 1=1 J = 1 1=1 J = I 1 = 1
= 2 aft l i +2 C (2 ij 'jK x 2 (ECijX'j + a j )£* • Ì 1=1 1=1 J=l j = 1 Từ đ ó suy ra: n Xị = 2/ C j j j + aj , i x = l,n j=i Biếu thức trên g ọ i là công thức dồi múc tiêu. Gọi c = (C|j) là ma trận chuyền từ cơ sỏ C sang cơ sở C của không gian Ẩ* ( c h ú ý r à n g detC * 0) Nếu kí hiệu: a Xo X = X = a = ^ 1 thỉ công thức đ ổ i mục tiêu có t h ể v i ế t dưới d a n g ma trận X = C x ' + a hay x' = c l x - c 'a §3. CÁC PHANG TRONG KHÔNG GIAN AFIN 1. Định nghĩa. Cho không gian afin A liên kết với không gian véctơ A. Gọi l i a một điếm của A và ã* là m ó t không gian véctơ con của A. K h i đó t á p h ó p . a = {M 6 A I IM G ã) được g ọ i là cái phảng 'cùng gọi tát Là "phàng") qua ì v à có phương là a* 9
Nếu ã* có số chiêu bằng m thì a g ọ i là phảng ni chiểu hay còn gọi là m - phàng). Như vậy 0 - phảng chính là một điểm, còn n-phảng của không gian afin n chiêu A chính A . Ì - phảng còn g ọ i là dường thảng. Nếu dim A = n thì (n-1) - phảng còn g ọ i là siêu phang. Ta chú ý ràng trong định nghĩa Ì, điếm ì không đóng vai trò gi đặc biệt 30 với c á c đ i ể m khác của phảng. Thát vây g i à sử a là cái phảng qua ì và có p h ư ơ n g ã* v à J là mót điếm n à o đó c ù a a. Điêu đó có n g h ĩ a là u £ ã* Bây giờ điểm M s a khi và chi k h i I M G ã* hay k h i v à chi k h i IM - u £ ã ! tức là k h i và c h i k h i v é c t ơ JM G ã* Đ i ề u đó chứng tỏ r ằ n g đ i ể m J có t h ể đ ó n g v a i t r ò cùa điểm ì. 2 - Đinh lý. Nếu a là m-phảng của không gian afin Á có phương ã* thi a là không gian afin ni chiêu liên kết vói không gian. uẻct-a ã* Chứng minh. Rõ ràng a ^ 0. Giả sử ì là một điếm náo đ ó t h u ộ c Gí. Với m ọ i cập đ i ế m M , N của a ta l y véctơ MN = y?(M, N) £ A (không j ú a n a f i n A l à bộ ba ( A , (p. Ã*)) ' heo định nghĩa của tó thì IM £ õf IN G ã ? từ đó suy ra MX G ã* V â y t a có t h ể x é t á n h xa. 'P , . X ( , : a Xa » a và rõ ràng ánh xạ đó thỏa mãn hai tiên/ đế i), ii) của không gian afin. Tiên- đè i) suy ra từ định nghĩa của phảng, c ò n tiên, đ ế Hì d ù n g vì n ó đ ú n g trên toàn bộ A . Vây iu. 'PiaXd' ẽfì 'à một không gian afin. tức a là không gian afin liên k ế t với k h ô n g gian véctơ ã* 3. Định lị. Qua m + ì diêm dóc lập của không gian afin A có một uà chi một m-phằng (m 5 Oi Chứng minh: G i ả sử A , AỊ, 0 A M là m+1 điếm độc lặp của không gian a f i n A liên k ế t vói k h ô n g gian véctơ A . 10
Khi đó h ệ m v é c t ơ A Aj, 0 A A , 0 7 AJJA^ độc l ậ p t u y ế n tính. Ta gọi ã* là không gian véctơ con của A nhận m véctơ đó là cơ sở. B â y giờ g ọ i a là cái phảng qua A 0 có phương là ũ* Rõ ràng vi AQA^ G ã* n ê n Aị E a với i = 1, 2, m. V ậ y a là c á i p h ả n g qua m + Ì điểm đã cho. Sự duy n h ấ t của m-phẳng đó là h i ể n nhiên. Từ đ ị n h lý t r ê n ta d ễ d à n g suy ra h ệ qua sau: Hể quà: m + Ì điểm Là dộc lập khi uà chi khi chúng không cùng nấm trên một im - l)-phằng (m s ỉ J /. 4. Phương trình tham sỊ của m-phẳng trong n n không gian afin A (dim A = n). n Trong không gian afín A chọn mục tiêu afin {O; £}. Già sử a là m-phẳng qua điếm I G A n và có phương là không gian v é c t ơ con m c h i ế u ã* của A . n Chon trong õ * m véctơ độc l ậ p t u y ế n tính a,, ã^, ã^. Già sử b i ế t tọa độ của véctơ ã* đ Ị i với cơ sở £ là ã* = (ă^j, aíj, .... a ) ; ni i = Ì, 2, m, và tọa đ ộ của điếm ì đỊi với múc tiêu { 0 ; £} là (bị, b , 2 b ). n Khi đó đ i ế m X có t ọ a độ ( X Ị , XI, x > thuộc n a khi và m chi k h i I X G ã* hay k h i v à chi k h i I X = 2 tjã* (tj e K) J= l t ứ c là n m n n ni 2 (Xi - bj)ẽ* = ỵ tị ỵ &ịị ẽ* = ỵ ( ỵ ajjtj) i j 1=1 j=i 1=1 1=1 j=i m Vây: (1) Xi = X a ij f c j + b i ' ì = 1, 2, .. ., n J= i li
H ệ p h ư ơ n g t r ì n h t r ê n gọi là phương trinh tham số của m - p h ả n g a, ra tham số là t j , t , t . Với bộ m số ( t j , t->, 2 m t ) ta co' một bộ n số ( X j , Xo, m x ) là tọa độ của n điểm X nào đó thuộc m-phẳng a. Với trường hợp đường thảng (m = 1) ta có hệ phương trinh tham số. (2) Xj = a,t + bị, i = Ì, 2, n Dó là phương trình của đường thảng đi qua đ i ể m K b j , in, b ) và có phương là không gian véctơ một chiều sinh n b ờ i véctơ a = ('aJ, a-,, a ). n Nếu các aj đêu khác không, ta khử t từ hệ (2) sẽ được. Xj — b) x —b 2 2 a 2 Nếu gọi X , t . b là các ma t r ậ n cột A 1 Xo I X = i b = và A = (ajj) là ma t r â n lì dòng m cột thì công thức (1) có chế viết dưới d n g ma t r ậ n X = At + b h n g A = m 5. P h ư ơ n g trinh tổng q u á t c ủ a m- phảng. Trong không gian afin n chiều A cho mục tiêu afin n { 0 ; c } . Giả sử a là m-phảng đi qua đ i ể m ì và có phương là ã* Ta chọn trong ã* m véctơ độc ìập tuyến tính: 12
b ổ 3 u n v à o v é ơ : i-?- m + 1 , ẽ^n-m+2. •••» ẽ^n v à s ^ ẽ*,, e*n- m đ ế được một cơ sở £' = { ẽ ^ , ã*"-,, ẽ*" } của n A . Như vậy ta được mục tiêu. a f i n {ì, £'}. n Với mỗi điểm X e A ta gọi (x , X - , , x ) t n là tọa độ cùa X đói với mục tiêu ( 0 ; £) và gọi ( x ' j , x ' , 2 x ' ) là n t o a độ của X đối với mục t i ê u {ì; £'}. Ta có công thức đổi mục tiêu là: n x'j = X ayXj + bị, i = Ì, 2, n j=i Đế cho điểm X = ( x ' [ , x ' , 2 x' ) 6 a điểu kiện n cấn và đủ là x\ = x ' = ... = x ' _ 2 n m = 0. Tằ đó suy ra: Đó là hệ gồm n - m p h ư ơ n g t r ì n h tuyến t í n h n biến X ị , g ọ i l à phương trinh tồng quát của m - phảng a. Chú ý rằng ma t r ậ n A = (ajj) của hệ p h ư ơ n g t r i n h trên c ó hạng bằng n - m . Như vậy mỗi m - p h ả n g trong không gian aíĩn A n được biểu thị bằng một hệ p h ư ơ n g t r ì n h tuyến tinh của các biến X , mà hạng của ma t r ậ n các hệ số của các biến l à n-m. Ngược l ạ i hệ phương t r ì n h đó là hệ phương t r ì n h xác định một m-phẳng. n Dặc biệt mỗi siêu phảng trong A có phương tinh dạng: a Xi t + a-,Xọ + ... + a x n n + b = 0 trong đó hạng của ma trận (a|aT...a ) n bàng Ì, tức là có ít nhất một a| * 0. 13
Theo t r ê n thì mối m - p h ẳ n g có p h ư ơ n g t r ì n h tống q u á t là một hệ gốm n - m phương t r ì n h tuyến tỉnh nên ta suy ra: n Trong không gian aíĩn A mọi m - p h ẳ n g đ ể u có t h ế xem như là giao của n - m siêu phang nào đó (ỏ đây "giao" h i ế u theo nghĩa của lý thuyết tập hợp). §4. VI TRÍ TƯƠNG ĐỐI CÙA CÁC PHÀNG n Ì - Định n g h í a . Trong không gian a f i n A cho p-phảng a và q-phảng /3 (với p í q) lần lượt có p h ư ơ n g là là ã* và Ị* a) Các phảng a và p gọi là cát nhau nếu chúng có ..!iểm chung. b) Cái phảng" a gọi là song song với (ỉ nếu ã* là không •Gcian con cùa /J* Ù: Các phảng a và p gọi là chéo nhau nếu c h ú n g không ca* nhau và không song song với nhau. di Giao a n / j hiểu theo nghĩa t h ô n g thưứng của lý thuyết tậD hóp và gói là giao của hai cái phảng a và p. e) Tổng a + P là giao của t ấ t cá các phảng chứa a và •J, a + Ịi gọi là tổng của hai cái phảng a và ịi. 2. Định lý: Gi ao'hai cái phảng a và ịi lioặc Là táp rỗng, roăc là mót cai phàng có phương là ã* n p* Chứng minh. Nếu a n /ỉ * 0 , thi c h ú n g có ít nhất mót điếm chung ì. Gọi ỏ là cái phảng qua đ i ế m ì và có phương ỳ* = ã* n b* Một điểm M G a n ỊỈ khi và chi khi M £ a và M £ p. tức I M G ã* và I M e ,7* tức khi và chi khi IM £ ã* n M e ỗ. Như vậy a n ịi là cái phảng ỗ có phương là a* n Ẹ* 14
Hệ quà 1. Nếu phàng a song song vói phảng ộ thi hoặc chúng không có điếm chung hoặc a nám trong 3. T h ậ t vậy nế u a song song với ệ> thì ã* c ịi. Nế u c h ú n g có đ i ể m chung thì theo định lý 2, giao a n 8 là cái phảng có phương là ã* n P* = ã* Suy ra a n /3 = a hav a c /3. Hê q u à 2. Qua m ộ i điế m 7 đã cho có một m - phảng duy nhát song song với ìn - phàng dã cho a. T h ậ t vậy gọi à là m - phang đi qua đ iế m ì và có phương là phương ã*của a. K h i đó à song song với a. N ế u có mót m - p h à n g a" cũng đi qua ì và song song với a thì rõ r à n g à và a" cũng song song với nhau và vì c h ú n g có đ i ể m chung và á" = ã* nên chúng t r ù n g nhau. 3. Đ ị n h lý: Hai phàng á uà Ịỉ cát nhau khi uà chi khi với mọi điểm ỉ £ a, mọi điềm J G ổ ta có I J s a*+ ịỉ. Chứng minh. Nế u a và Ịì cát nhau và M là một đ i ế m chung của c h ú n g t h ỉ I M G õf M J 6 /?f do đó LĨ = I M + MJ E 5*+ jST Ngược l ạ i nế u I J £ ã * + /ĩ* thì IJ = u - Ì - V . trong đó Ĩ T G ã ! V s P* Trong a ta lấv điế m M sao cho D Ĩ = ũT trong Ịỉ ta. lấy đ i ể m N sao cho J N = - V . Khi đó IJ = I M - •ÌN tức u + J N = I M h a v I N = IM. Từ đ ó S U Y ra hai đ i ể m M và N t r ù n g nhau và là điểm chung của (í và ịi. 4. Đ ị n h lý v ế s ố c h i ể u c ủ a giao v à tổng c ủ a hai cái p h ă n g . Đ ị n h lý: Trong không gian afin A" cho hai cái phàng a uà Ị3 có phương Lần Lượt là ã * Lí à p* N ế u a và Ịi c t nhau thì dim(a + fỉ) = dime + dim/3 - dim(a n (ỉ) N ế u a và ậ không cất nhau thỉ dim ia + /3) = dime + dim/3 - dim(õ* n pT + 1. 15
Chứng minh. Nếu a và ị5 cát nhau thi giao a n /3 ià cái phảng có phương là ã* n /5* Ta lấv I s a n và gọi •/ là cái phàng qua ì và có phương là ỹ* = ã* + Ẹ* Rõ rằng ;/ chứa a và li. Ngoài ra nếu có một phảng y' chứa a và thì nó phải chứa đ i ể m ì và p h ù o n g của nó phải chứa ã* và 5f lức chứa ã*+ p* Nói cách khác ỵ' phải chứa •/. Từ đó 3 U V ra ••' = Li + 3. Vẫy dimia + Ịỉ) = dim(õ*+ py = dimõ*+ dim/ĩ*- dim(ă* n Ịĩĩ = dima + dim/3 - dim(a n Ịi). Bâv giờ nếu a và (ỉ không cắt nhau. Theo định lý 3 có điếm I s a. có điể*n J s ịi sao cho I J Ể õ*+ p r Gói .7* là không gian véctơ một chiểu sinh ra bời véctơ IJ. Ta lấy mót điểm E nào đó cùa phang ư và gọi / là cái phảng qua điếm s có phương là ỹ * = (ã* + pj Q õ* Phảng V dĩ nhiên chứa a. chứa. Ịi và chứa đường thẳng qua ĩ và J. Giả s v' là phảng khác chứa a, /3 thì 7' qua điểm s và phương j ủ a nó phải chứa õT /ĩ* v à 0 * Từ đ ó suV ra •/ chứa V và do đó V = a + 8. Vâv: di 111 (à- - y"> = dim((õ*-r- P? © o i = dinnõ*-?- pĩ -í- đimS* = dim ã*+ dim dim {ã* n oT -- Ì 1 = di ma dim/i? - dim(ã* n /J7 + 1. Đinh lý dã được chứng minh. 5. Đ ị n h lý: Một siêu phảng a uà ni - phàng ộ -rong n không gian a fin A thi hoặc (ỉ song song vói a ìioãc cát J. theo mót ''m-li phằhg: 'Ì tỉm tin-ỉ). Chứng minh. Nếu a và (ỉ cát nhau thi có thể xàv ra hai trường hóp. 1. ộ c a. khi đó Ịì và a song song với nhau. 2. Nếu fì
suy ra dim(a n p) - m - Ì V ậ y a và Ịỉ c á t nhau theo m ộ t (m - l)-phẳng. N ế u a v à /3 k h ô n g c á t n h a u t h ì c ũ n g á p d ụ n g c ô n g thức của định lý 4) ' t a cố. n = m + n - l + l - dim(õ* n Jĩĩ t r o n g đó ã* và / J * l ẩ n lượt là p h ư ơ n g của a v à p, ta suy ra d i m (5* n j?T = m, tức l à p*c ã* N h ư vậy v à a p h ả i song song. Đ ị n h lý đ ã đ ư ợ c chứng minh. §5. TÂM Ti C ự Ì - Định lý. Cho k điểm PỊ, PI, P k của không gian afin A và k số thuộc trường K: ẦỊ, Ả ), Ằk sao cho Ị- y Àj TÍ ỡ . Khi đó có duy nhất điềm G sao cho ••=1 k 1=1 Chứng minh. Lấy một điểm 0 tùy ý c ủ a A t h i điếm G .'Xác: định bời k k EA,;GP, - Õ* ỵ Aj(ÕPj - ỐG) = Õ* 1=1 1=1 k k « E W = (2Ai) ÕG, i= Ì 1=1 k - Ì tức OG = -jp— X ^ O P j . i=I
Vày điểm G có v à xác định duy nhất. 2 - Định nghĩa. Điểm G nói trong định lí Ì được gọi là tăm ti cự của hệ đ i ể m Pj g ắ n v ớ i h ọ h ệ số Ằ v Trong trường hợp các Ảị bằng nhau, điếm G gọi là trong tâm của hệ đ i ế m Pj. Chú ý: a) Nếu thay các hệ số Aj, i = Ì, 2, k, k VA, * 0, bời kAj, k e K - {0} thì tâm ti cự G không thay đ ố i . Vậy trong trường hợp G là" t r ọ n g tâm có thể lấy các À, = Ì và khi đó trọng tâm G của hệ điểm {P,} đươc xác đinh bởi: k - Ì _ OG = fEOP, V i bi Khi k = 2, trọng tâm G của hai điếm PỊ và PT c ò n .rọi là :.rung đ i ể m của cỉp điểm '.Pj, pọ 3 - Định lý. Tập hop tất cả các tâm ti cu cùa ho liềm p,, Pj, P ) , Pị. vói f các ho hẻ số khác nham là cái •Jtiang )é nhát chứa các diêm áy. Chúng minh. Gói a là cái p h a n g bé nhát chứa c á c điểm ?.. i = 0. Ì, .... le. K h i đ ó c á c v e c t ơ Y \ ỳ p j , , p,^p, rhuòc chương ã* của phảng a. Ta ỉấv hệ vđctơ con độc láp t u ven tinh tối đa! cùa hê véctơ trên, già sứ đó là P|,p , P^P : PJ> S (S í k). Vây d i ma = s. s Diem G E a P^G £ 5* p j } = ỵ Ả^p 1=1 s = £/,(GP, - GP ) () IS
1=1 1=1 Đảng thức này chứng tỏ G là tâm t i cự của họ điểm P, (1 Pị, P gắn với họ các hệ số: k s Ì - ỵ Ầị,Ầ Ằ , l lì 2 ...A , s 0 0 . 1 = 1 (tống các hệ số nàv bảng 1). Ngược l ạ i nếu G là tâm tỉ cự của họ p „ P|, ... P k gán với họ hệ số Ả , Àj. A thì n k k k 2A,GP, = (f=> 2A,(GP C) + P^Pj) = F~ | = p. G E õ*=> G G Gí. Định lý đã được chứng minh. Hẻ quả. Cho m-phảng a di qua ni -T- Ì điềm dộc lập p , Pị t P . Khi dó a chính / à tập họp các tăm ti cu m rủa / l ọ điềm dó (gàn ươi các họ hê sổ khác nhau). 4 - Định lý. Cho m-phằng a di qua ni + Ì điềm dóc lập P , Pị,0 P và một diêm in 0 tùy ý. Diêu kiên càn và dù dế điếm M thuộc a là m m Ô M = 2 À, ố p ị , trong đó 2 Aj = Ì i=o i=o Chứng minh. Điểm M s a » M là tám t i cư của họ điếm P , P[, ... , P 0 gán với họ các hệ số A' , À'j, m Ẳ' 0 m nào đó 19
in m p SÀ'jM i = õ ^ S ^ i C O P i - OM) = õ* =o i= o m m SA',) ÔM = DA'iOPj. 1=0 Vì Y A'i * 0, nên nếu đ á t Ải = _— thì i=o m m O M = ỵẢ ov í í v à ỵẤị = 1. i= o i= o 56. TẬP LỒI T R O N G KHÔNG GIAN AFIN THỰC Ì - Đoạn thảng. Cho hai điểm p và Q của không gian aíìn thúc A. Điếm M thuộc'đường thảng d đi qua p và Q khi và chỉ khi với đ i ể m 0 tùy ý thì ÔM = AÕP + ,uÕQ v ớ i Ả + LI = Ì hav là ÔM = AÕP + ( Ì - À) Õ Q , A e R Táp hơp những'điếm M sao cho OM = AOP + a-/)OQ. với 0 s /. í Ì đ ư ợ c g ọ i là đoạn thảng PQ. Khi p = Q, đoạn thảng PQ gồm chi một điếm p. Khi p * Q, đoạn thẳng PQ gốm điểm p (khi Ả = 1) và Q (khi À = 0) v à những đ i ế m ứng v ớ i X (0 < Ả < ì). Hai điểm p, Q gọi là hai mút của đoan thang PQ, những điếm k h á c của đoạn thảng PQ gọi là ở giữa p và Q.