Giáo trình Hình học đại số tính toán 1 - Phạm Tiến Sơn

Chia sẻ: Nguyen Lan | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:120

Thêm vào BST

Báo xấu

158
lượt xem 46
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Giáo trình "Hình học đại số tính toán" này gồm có 5 chương, cung cấp đến người học các nội dung như sau: Hình học, đại số và các thuật toán; từ điển đại số - hình học, đa thức và hàm hữu tỉ trên đa tạp; hình học đại số xạ ảnh; chiều của đa tạp. Mời các bạn cùng tham khảo để nắm bắt các nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình Hình học đại số tính toán 1 - Phạm Tiến Sơn

Hình học đại số tính toán 1 Phạm Tiến Sơn Đà Lạt - 2008
HNH HÅC I SÈ TNH TON 1 Ph¤m Ti¸n Sìn L¤t-2008
Möc löc LÍI MÐ U 1 1 H¼nh håc, ¤i sè v c¡c thuªt to¡n 3 IFI 0 thù v khæng gin ffine F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F Q IFP 0 t¤p ffine F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F S IFQ hm sè hâ ¡ 1 t¤p ffine F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F U IFR sden F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IH IFS 0 thù mët i¸n F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IQ IFT h¥n t½h th nh ¡ th nh ph¦n §t kh£ quy v k¸t thù F F F F F F F F F F F IS IFTFI 0 thù §t kh£ quy F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IS IFTFP u¸t thù F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IT 2 Tø iºn ¤i sè-H¼nh håc 21 PFI 0ành lþ rilert v· ì sð F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F PI PFP 0ành lþ khæng 1iºm õ rilert F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F PQ PFQ sden rdil v t÷ìng ùng idenE1 t¤p F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F PS PFR êngD t½h v gio õ ¡ iden F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F PV PFRFI êng ¡ iden F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F PV PFRFP ½h ¡ iden F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F PW PFRFQ qio ¡ iden F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F PW PFS fo 1âng riski v th÷ìng õ ¡ iden F F F F F F F F F F F F F F F F F F F QP PFT 0 t¤p §t kh£ quy v ¡ iden nguy¶n tè F F F F F F F F F F F F F F F F F F F QS PFU h¥n t½h 1 t¤p th nh ¡ th nh ph¦n §t kh£ quy F F F F F F F F F F F F F QV PFV h¥n t½h nguy¶n sì õ ¡ iden F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F RP 3 a thùc v h m húu t¿ tr¶n a t¤p 45 QFI nh x¤ 1 thù F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F RS QFP h÷ìng õ ¡ v nh 1 thù F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F RV QFQ nh tå 1ë F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F SQ QFR r m húu t¿ tr¶n 1 t¤p F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F SV 4 H¼nh håc ¤i sè x¤ £nh 65 RFI uhæng gin x¤ £nh F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F TS I
MÖC LÖC I RFP ø 1iºn 1¤i sèEh¼nh hå x¤ £nh F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F UI RFQ fo 1âng x¤ £nh õ mët 1 t¤p ffine F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F US RFR r¼nh hå õ ¡ si¶u m°t ª hi F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F UV RFS 0ành lþ fezout F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F VQ 5 Chi·u cõa a t¤p 89 SFI r m rilert v hi·u õ 1 t¤p F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F VW SFIFI ghi·u õ 1 t¤p ffine F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F VW SFIFP ghi·u õ 1 t¤p x¤ £nh F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F WI SFP g¡ t½nh h§t F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F WR SFQ ghi·u v phö thuë 1¤i sè F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F WV SFR uhæng gin ti¸p xó F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IHI SFS xân ti¸p xó F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IHU A Mët v i kh¡i ni»m tø ¤i sè 113 eFI r÷íng E nh F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IIQ eFP xhâm F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IIR T i li»u tham kh£o 116
P MÖC LÖC
Ch÷ìng 1 H¼nh håc, ¤i sè v c¡c thuªt to¡n gh÷ìng n y tr¼nh y mët sè kh¡i ni»m ì £n õ gi¡o tr¼nhF 0èi t÷ñng qun t¥m h½nh l ¡ 1 t¤p ffine @o gçm ¡ 1÷íng ong v ¡ m°t ongAF g¡ 1 t¤p n y x¡ 1ành ði ¡ ph÷ìng tr¼nh 1 thùF 0º t¼m hiºu ¡ 1 t¤p ffine t ¦n nghi¶n ùu ¡ iden trong v nh 1 thù k[x1 , x2 , . . . , xn ]. 1.1 a thùc v khæng gian affine ành ngh¾a 1.1.1. 0ìn thù theo ¡ i¸n x , x , . . . , x 1 2 n l iºu thù â d¤ng x α1 x α2 . . . x αn , 1 2 n trong 1â ¡ lôy thø α1 , α2 , . . . , αn l ¡ sè nguy¶n khæng ¥mF è nguy¶n α1 + α2 + · · · + αn gåi l ª õ 1ìn thù n yF 0º 1ìn gi£nD t th÷íng vi¸t α = (α1 , α2 , . . . , αn ), |α| = α1 + α2 + · · · + αn , x α = x α1 x α2 . . . xαn . 1 2 n ành ngh¾a 1.1.2. 0 thù f theo ¡ i¸n x , x , . . . , x 1 vîi ¡ h» sè trong k l mët tê 2 n hñp tuy¸n t½nh húu h¤n ¡ 1ìn thù vîi ¡ h» sè trong k; tù l f= aα x α , aα ∈ k, α∈Λ trong 1â Λ l tªp on húu h¤n õ tªp Nn . uþ hi»u k[x1 , x2 , . . . , xn ] l tªp t§t £ ¡ 1 thù theo ¡ i¸n x1 , x2 , . . . , xn vîi ¡ h» sè trong k. Q
R CH×ÌNG 1. HNH HÅC, I SÈ V CC THUT TON Chó þ 1.1.3. uhi sè i¸n l 1, 2, 3 t s³ kþ hi»u mët ¡h 1ìn gi£n l k[x], k[x, y] v k[x, y, z]. gh¯ng h¤nD 2 f (x, y, z) = 2x3 yz 2 + y 3 z 3 − xyz 3 l mët 1 thù trong Q[x, y, z]. ành ngh¾a 1.1.4. qi£ sû f = α∈Λ aα xα l 1 thù trong k[x1 , x2 , . . . , xn ]. @iA aα gåi l h» sè õ 1ìn thù xα . @iiA x¸u aα = 0 th¼ aα xα gåi l mët tø õ f. @iiiA fª õ f, kþ hi»u deg f, l sè nguy¶n lîn nh§t |α| so ho aα = 0. V½ dö 1.1.5. qi£ sû f (x, y, z) = 2x y z + 5xy + 7xyz + 9z ∈ Q[x, y, z]. â deg f = 6. 3 2 3 3 Chó þ 1.1.6. riºn nhi¶n têng v t½h õ hi 1 thù l mët 1 thùF nâi 1 thù g hi h¸t ho 1 thù f n¸u tçn t¤i 1 thù h ∈ k[x1 , x2 , . . . , xn ] so ho g = f · h. h¹ d ng hùng minh r¬ng k[x1 , x2 , . . . , xn ] vîi ¡ ph²p to¡n ëng v nh¥n hi 1 thù l mët v nh gio ho¡nF ¼ lþ do n y m t th÷íng nâi k[x1 , x2 , . . . , xn ] l v nh 1 thùF ành ngh¾a 1.1.7. gho k l mët tr÷íng v n l sè nguy¶n d÷ìngF ªp hñp k n = {(a1 , a2 , . . . , an ) | ai ∈ k, i = 1, 2, . . . , n} gåi l khæng gin ffine n hi·u tr¶n tr÷íng k. uhi n = 1 t gåi k 1 l 1÷íng th¯ng ffineY khi n = 2 t gåi k 2 l m°t ph¯ng ffineF wéi 1 thù f = α cα xα ∈ k[x1 , x2 , . . . , xn ] x¡ 1ành mët h m sè f : k n → k, (a1 , a2 , . . . , an ) → c α aα 1 aα 2 . . . a α n . 1 2 n α M»nh · 1.1.8. qi£ sû tr÷íng k â væ h¤n ph¦n tûF uhi 1â f = 0 trong k[x , x , . . . , x ] 1 2 n n¸u v h¿ n¸u f : k n → k l h m 1çng nh§t khængF H» qu£ 1.1.9. qi£ sû tr÷íng k â væ h¤n ph¦n tûF uhi 1â f = g trong k[x , x , . . . , x ] n¸u 1 2 n v h¿ n¸u ¡ h m f, g : k n → k tròng nhuF guèi òngD mët t½nh h§t 1° i»t õ ¡ 1 thù tr¶n tr÷íng sè phù C l X ành lþ 1.1.10. qi£ sû f l 1 thù mët i¸n kh¡ h¬ng tr¶n tr÷íng sè phù C. uhi 1â tçn t¤i ½t nh§t a ∈ C so ho f (a) = 0. ành ngh¾a 1.1.11. r÷íng k gåi l 1âng 1¤i sè n¸u måi 1 thù kh¡ h¬ng trong k[x] â mët nghi»m trong k. V½ dö 1.1.12. r÷íng ¡ sè thü R khæng 1âng 1¤i sè v¼ 1 thù x 2 + 1 khæng â nghi»m trong R. r÷íng ¡ sè phù C l 1âng 1¤i sèF
1.2. A TP AFFINE S B i tªp IF gho p l sè nguy¶n tèF r¶n Z x²t qun h» ≡ m ≡ n mod p n¸u v h¿ n¸u m − n hi h¸t ho p. @A ghùng minh qun h» ≡ l qun h» t÷ìng 1÷ìngF uþ hi»u Fp l tªp t§t £ ¡ lîp t÷ìng 1÷ìngF ghùng minh Fp gçm 1óng p ph¦n tûF @A qi£i th½h t¤i so Fp \ {0} l mët nhâm 1èi vîi ph²p nh¥nF @A ghùng minh ap−1 = 1 vîi måi a ∈ Fp \ {0}. @dA ghùng minh ap = a vîi måi a ∈ Fp . @eA ¼m 1 thù kh¡ khæng f ∈ Fp [x] so ho f ¬ng khæng t¤i måi 1iºm õ Fp . PF ghùng minh n¸u f ∈ C[x1 , x2 , . . . , xn ] ¬ng khæng tr¶n Zn th¼ f ≡ 0. QF qi£ sû f ∈ C[x1 , x2 , . . . , xn ] v M = degx1 f. 0°t Zn +1 = {(x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Zn | 1 ≤ xi ≤ M + 1}. M ghùng minh n¸u f ¬ng khæng tr¶n Zn +1 th¼ f ≡ 0. M 1.2 a t¤p affine ành ngh¾a 1.2.1. qi£ sû k l mët tr÷íng v f , f , . . . , f 1 2 s ∈ k[x1 , x2 , . . . , xn ]. ªp hñp V (f1 , f2 , . . . , fs ) = {(a1 , a2 , . . . , an ) ∈ k n | fi (a1 , a2 , . . . , an ) = 0, i = 1, 2, . . . , s} gåi l 1 t¤p ffine x¡ 1ành ði f1 , f2 , . . . , fs . V½ dö 1.2.2. @iA rong R2 1 t¤p ffine V (x2 + y 2 − 1) l 1÷íng trán t¥m t¤i gè tå 1ë ¡n k½nh 1ìn vàF @iiA 0ç thà õ 1 thù f l mët 1 t¤p ffineF @iiiA 0 t¤p ffine V (y − x2 , z − x3 ) l 1÷íng ong ª trong R3 . @ivA ªp ¡ nghi»m õ h» ¡ ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh a11 x1 + · · · + a1n xn = b1 , a21 x1 + · · · + a2n xn = b2 , F F = F F F F am1 x1 + · · · + amn xn = bm l mët 1 t¤p ffine trong k n @gåi l 1 t¤p tuy¸n t½nhAF Bê · 1.2.3. qi£ sû V, W ⊂ k n l ¡ 1 t¤p ffineF uhi 1â V ∪ W v V ∩ W l ¡ 1 t¤p ffineF V½ dö 1.2.4. â V (z) ∪ V (x, y) = V (zx, zy).
T CH×ÌNG 1. HNH HÅC, I SÈ V CC THUT TON B i tªp IF rong R2 , v³ ¡ 1 t¤p ffine @A V (x2 + 4y 2 + 2x − 16y + 1). @A V (x2 − y 2 ). @A V (2x + y − 1, 3x − y + 2). @dA V (y 2 − x(x − 1)(x − 2)). PF rong R2 , v³ h¼nh £nh minh hå V (x2 + y 2 − 4) ∩ V (xy − 1) = V (x2 + y 2 − 4, xy − 1). QF rong R3 , v³ ¡ 1 t¤p ffine @A V (x2 + y 2 + z 2 − 1). @A V (x2 + y 2 − 1). @A V (x + 2, y − 1.5z). @dA V (xz 2 − xy). @eA V (x2 + y 2 + z 2 − 1, x2 + y 2 + (z − 1)2 − 1). RF f i tªp n y hùng minh måi tªp on húu h¤n õ k n l 1 t¤p ffineF @A ghùng minh tªp gçm mët 1iºm (p1 , p2 , . . . , pn ) ∈ k n l mët 1 t¤p ffineF @A ghùng minh måi tªp on húu h¤n õ k n l 1 t¤p ffineF SF ghùng minh tªp {(x, x) ∈ R2 | x = 1} khæng ph£i 1 t¤p ffine trong R2 . TF ghùng minh tªp {(x, y) ∈ R2 | y = 0} khæng ph£i 1 t¤p ffine trong R2 . UF ghùng minh tªp Zn khæng ph£i 1 t¤p ffine trong Zn . VF ghùng minh hñpD gio húu h¤n ¡ 1 t¤p ffine l 1 t¤p ffineF WF gho v½ dö hùng tä hñp tòy þ ¡ 1 t¤p ffine khæng ph£i 1 t¤p ffineF IHF gho v½ dö hùng tä hi»u hi 1 t¤p ffine khæng khæng ph£i 1 t¤p ffineF IIF gho V ⊂ k m v W ⊂ k n l ¡ 1 t¤p ffineF ghùng minh t½h de grtes V × W l mët 1 t¤p ffineF
1.3. THAM SÈ HÂA CC A TP AFFINE U 1.3 Tham sè hâa c¡c a t¤p affine r÷î h¸t t t 1¦u vîi mët v i v½ döF V½ dö 1.3.1. rong R 3 x²t h» ¡ ph÷ìng tr¼nh x + y + z = 1, 2 + 2y − z = 3. ªp ¡ nghi»m õ h» tr¶n l mët 1÷íng th¯ng 1÷ñ ho ði z = t, x = −1 − 2t, z = 2 + 2t, vîi thm sè t ∈ R; t gåi iºu di¹n n y l ph²o thm sè hâ õ tªp nghi»m n 1¦uF V½ dö 1.3.2. i¸t r¬ng 1÷íng trong V (x 2 + y 2 − 1) ⊂ R2 â thm sè hâ 1 − t2 x = , 1 + t2 2t y = , 1 + t2 1−t2 vîi t ∈ R. ghó þ r¬ng x = 1+t2 vîi måi t n¶n 1iºm (−1, 0) khæng thuë £nh õ ph²o thm sè n yF ành ngh¾a 1.3.3. qi£ sû k l mët tr÷íngF h÷ìng f /g õ hi 1 thù f, g ∈ k[t , t , . . . , t 1 2 m] @g khæng 1çng nh§t ¬ng 0A gåi l h m húu t¿ theo ¡ i¸n t1 , t2 , . . . , tm vîi ¡ h» sè trong k. ri h m húu t¿ f /g v p/q gåi l ¬ng nhu n¸u qf = pg trong k[t1 , t2 , . . . , tm ]. ªp ¡ h m húu t¿ theo ¡ i¸n t1 , t2 , . . . , tm vîi ¡ h» sè trong k kþ hi»u l k(t1 , t2 , . . . , tm ). Nhªn x²t 1.3.4. k(t , t , . . . , t 1 2 m) vîi ¡ ph²p to¡n ëng v nh¥n hi h m húu t¿ l mët tr÷íngF gho 1 t¤p ffine V = V (f1 , f2 , . . . , fs ) ⊂ k n . nâi h» ¡ ph÷ìng tr¼nh f1 = f2 = · · · = fs = 0 l iºu di¹n ©n õ V. qi£ sû r1 , r2 , . . . , rn ∈ k(t1 , t2 , . . . , tm ) so ho ¡ 1iºm (x1 , x2 , . . . , xn ) x¡ 1ành ði x1 = r1 (t1 , t2 , . . . , tm ), x2 = r2 (t1 , t2 , . . . , tm ), F F F F = F F xn = rn (t1 , t2 , . . . , tm ), thuë V. nâi r1 , r2 , . . . , rn l mët iºu di¹n thm sè hâ húu t¿ õ 1 t¤p V. x¸u ¡ r1 , r2 , . . . , rn l ¡ h m 1 thùD t 1÷ñ mët thm sè hâ 1 thù õ V.
V CH×ÌNG 1. HNH HÅC, I SÈ V CC THUT TON V½ dö 1.3.5. 0 t¤p ffine V (x 2 − y 2 z 2 + z 3 ) â thm sè hâ 1 thù x = t(u2 − t2 ), y = u, z = u2 − t2 , trong 1â ¡ thm sè u, t ∈ k. x¸u i¸t iºu di¹n thm sè õ V t â thº sû döng m¡y t½nh 1º v³ nâF w°t kh¡D n¸u i¸t ¡ ph÷ìng tr¼nh x¡ 1ành V t d¹ d ng kiºm tr 1iºm p ∈ k n â thuë V hy khængF ri v§n 1· n£y sinh • @hm sè hâA wåi 1 t¤p ffine â mët thm sè hâ húu t¿c • gho tr÷î mët thm sè hâ húu t¿ iºu di¹n 1 t¤p ffine V. gâ thº t¼m ¡ ph÷ìng tr¼nh x¡ 1ành V. îi ¥u häi thù nh§tX h¦u h¸t ¡ 1 t¤p ffine 1·u khæng thº thm sè hâ húu t¿ 1÷ñF g¡ 1 t¤p nh÷ vªy gåi l ¡ 1 t¤p khæng húu t¿F xâi hungD khâ â thº i¸t mët 1 t¤p ffine l húu t¿ hy khængF îi ¥u häi thù hiX ho tr÷î mët iºu di¹n thm sèD t luæn luæn â thº t¼m ¡ ph÷ìng tr¼nh x¡ 1ànhF V½ dö 1.3.6. ²t iºu di¹n thm sè x = 1 + t, y = 1 + t2 . h¹ th§y ¡ ph÷ìng tr¼nh thm sè n y iºu di¹n 1 t¤p ffine V (y − x2 + 2x + 2). V½ dö 1.3.7. 0÷íng trán 1ìn và x 2 + y 2 = 1 â iºu di¹n thm sè 1 − t2 x = , 1 + t2 2t y = . 1 + t2 V½ dö 1.3.8. 0 t¤p ffine V (y − x , z − x ) â iºu di¹n thm sè 2 3 x = t, y = t2 , z = t3 . IF hm sè hâ tªp nghi»m õ h» ¡ ph÷ìng tr¼nh su x + 2y − 2z + w = −1, x + y + z − w = 2.
1.3. THAM SÈ HÂA CC A TP AFFINE W PF qi£ sû f ∈ k[x]. ¼m mët thm sè hâ õ V (y − f (x)). QF gho thm sè hâ t x = , 1+t 1 y = 1 − 2. t @A ¼m 1 t¤p ffine t÷ìng ùng thm sè hâ tr¶nF @A ghùng minh thm sè hâ tr¶n hù måi 1iºm õ 1 t¤p ngo¤i trø mët 1iºm (1, 1). RF ²t hyperol x2 − y 2 = 1. @A ghùng minh ¡ 1iºm x = cosh(t), y = sinh(t) thuë hyperol x2 − y 2 = 1. h¦n n o õ hyperol 1÷ñ phõ ði thm sè n yc @A ghùng minh 1÷íng th¯ng §t ký t hyperol nhi·u nh§t t¤i 3 1iºmF @A ¼m mët thm sè hâ húu t¿ õ hyperolF @dA hm sè hâ ð ph¦n @A khæng 1÷ñ x¡ 1ành t¤i 1óng hi gi¡ trà t. qi£i th½h mèi qun h» õ sü ki»n n y vîi ¡ 1÷íng th¯ng ti»m ªn õ hyperolF SF ghùng minh â thº thm sè hâ húu t¿ m°t ¦u x2 + y 2 + z 2 − 1 = 0 trong khæng gin hi·u ði 2u x = 2 , u + v2 + 1 2v y = 2 , u + v2 + 1 u2 + v 2 − 1 z = 2 . u + v2 + 1 TF ¼m mët thm sè hâ húu t¿ õ m°t ¦u (n − 1) hi·u x2 + x2 + · · · + x2 = 1. 1 2 n UF qi£ sû c l mët sè thü v x²t 1÷íng ong C = V (y 2 − cx2 + x3 ). @A ghùng minh 1÷íng th¯ng §t ký t 1÷íng ong C nhi·u nh§t t¤i 3 1iºmF @A ghùng minh 1÷íng th¯ng y = mx, m = 0, t C \ {(0, 0)} t¤i 1óng mët 1iºm n¸u m2 = c. @A îi méi 1iºm (1, t) ∈ V (x − 1) gåi L l 1÷íng th¯ng 1i qu hi 1iºm (1, t) v (0, 0). 0÷íng th¯ng L t C t¤i mët 1iºm (x, y). ³ h¼nh minh hå v sû döng h¼nh hå hùng minh C â thm sè hâ húu t¿X x = c − t2 , y = t(c − t2 ).
IH CH×ÌNG 1. HNH HÅC, I SÈ V CC THUT TON 1.4 Idean ành ngh¾a 1.4.1. gho I ⊂ k[x , x , . . . , x ]. I gåi l iden n¸u 1 2 n @iA 0 ∈ I. @iiA x¸u f, g ∈ I th¼ f + g ∈ I. @iiiA x¸u f ∈ I v g ∈ k[x1 , x2 , . . . , xn ] th¼ f g ∈ I. V½ dö 1.4.2. @iA ªp {xf + y 2 g | f, g ∈ k[x, y]} l mët iden trong v nh k[x, y]. @iiA ªp hñp {x1 f1 + x2 f2 + · · · + xn fn | f1 , f2 , . . . , fn ∈ k[x1 , x2 , . . . , xn ]} l mët iden trong v nh ¡ 1 thù k[x1 , x2 , . . . , xn ]. qi£ sû f1 , f2 , . . . , fs ∈ k[x1 , x2 , . . . , xn ]. uþ hi»u s f1 , f2 , . . . , fs = fi gi | g1 , g2 , . . . , gs ∈ k[x1 , x2 , . . . , xn ] . i=1 h¹ th§y f1 , f2 , . . . , fs l mët iden trong k[x1 , x2 , . . . , xn ]. gåi f1 , f2 , . . . , fs l iden sinh ði f1 , f2 , . . . , fs . sden I ⊂ k[x1 , x2 , . . . , xn ] gåi l húu h¤n sinh n¸u tçn t¤i ¡ 1 thù f1 , f2 , . . . , fs so ho I = f1 , f2 , . . . , fs ; khi 1â t nâi f1 , f2 , . . . , fs l mët ì sð õ I. V½ dö 1.4.3. @iA sden {xf + y 2 g | f, g ∈ k[x, y]} sinh ði ¡ 1 thù x v y 2 . @iiA g¡ 1 thù x1 , x2 , . . . , xn t¤o th nh mët ì sð õ iden {x1 f1 + x2 f2 + · · · + xn fn | f1 , f2 , . . . , fn ∈ k[x1 , x2 , . . . , xn ]}. Chó þ 1.4.4. wåi iden trong k[x , x , . . . , x ] l húu h¤n sinh v â thº â nhi·u ì sð 1 2 n kh¡ nhuF Bê · 1.4.5. qi£ sû f , f , . . . , f 1 2 s v g1 , g2 , . . . , gt l ¡ ì sð õ òng mët iden I trong k[x1 , x2 , . . . , xn ]. uhi 1â V (f1 , f2 , . . . , fs ) = V (g1 , g2 , . . . , gt ). gho V ⊂ k n l 1 t¤p ffineF uþ hi»u I(V ) = {f ∈ k[x1 , x2 , . . . , xn ] | f (a1 , a2 , . . . , an ) = 0 vîi måi (a1 , a2 , . . . , an ) ∈ V }. â I(V ) l mët idenF
1.4. IDEAN II V½ dö 1.4.6. qi£ sû V = {(0, 0)} ⊂ k . uhi 1â 2 I(V ) = x, y . V½ dö 1.4.7. qi£ sû k l mët tr÷íng â væ h¤n ph¦n tûF uhi 1â I(k n ) = {0}. V½ dö 1.4.8. qi£ sû V = V (y − x , z − x ) ⊂ R . uhi 1â 2 3 3 I(V ) = y − x2 , z − x3 . hªt vªyD o h m thù I(V ) ⊃ y − x2 , z − x3 l d¹ d ngF 0º hùng minh hi·u ng÷ñ l¤iD nhªn x²t r¬ng xα y β z γ = xα (x2 + (y − x2 ))β (x3 + (z − x3 ))γ = xα (x2β + g1 (y − x2 ))(x3γ + g2 (z − x3 )) = h1 (y − x2 ) + h2 (z − x3 ) + xα+2β+γ = h1 (y − x2 ) + h2 (z − x3 ) + r, trong 1â g1 ∈ R[x, y], g2 ∈ R[x, z], h1 , h2 ∈ R[x, y, z] v r ∈ R[x]. w°t kh¡D måi 1 thù f ∈ R[x, y, z] 1·u l tê hñp tuy¸n t½nh @vîi h» sè trong RA õ ¡ 1ìn thùD n¶n t â thº vi¸t f = h1 (y − x2 ) + h2 (z − x3 ) + r trong 1â h1 , h2 ∈ R[x, y, z] v r ∈ R[x]. ho 1â n¸u f ∈ I(V ) th¼ 0 = f (t, t2 , t3 ) = 0 + 0 + r(t) vîi måi t ∈ R. ho 1â r ≡ 0. ù l f ∈ y − x2 , z − x3 . Bê · 1.4.9. qi£ sû f , f , . . . , f 1 2 s ∈ k[x1 , x2 , . . . , xn ]. uhi 1â f1 , f2 , . . . , fs ⊂ I(V (f1 , f2 , . . . , fs )). ½ dö su h¿ r o h m thù trong ê 1· tr¶n â thº thü süF V½ dö 1.4.10. â I(V (x , y )) = 2 2 x, y . rìn nú x ∈ x2 , y 2 . ªy o h m thù su l thü sü x2 , y 2 ⊂ I(V (x2 , y 2 )). M»nh · 1.4.11. qi£ sû V v W l ¡ 1 t¤p ffine trong k n . uhi 1â @iA V ⊂ W n¸u v h¿ n¸u I(V ) ⊃ I(W ). @iiA V = W n¸u v h¿ n¸u I(V ) = I(W ).
IP CH×ÌNG 1. HNH HÅC, I SÈ V CC THUT TON B i tªp IF ²t h» ¡ ph÷ìng tr¼nh x2 + y 2 − 1 = 0, xy − 1 = 0. @A hòng lþ luªnD khû y tø h» tr¶nF @A ghùng minh 1 thù trong @A thuë iden x2 + y 2 − 1, xy − 1 . PF gho iden I ⊂ k[x1 , x2 , . . . , xn ] v ¡ 1 thù f1 , f2 , . . . , fs ∈ k[x1 , x2 , . . . , xn ]. ghùng minh hi 1i·u su l t÷ìng 1÷ìng @A f1 , f2 , . . . , fs ∈ I. @A f1 , f2 , . . . , fs ⊂ I. QF ghùng minh ¡ 1¯ng thù su @A x + y, x − y = x, y . @A x + xy, y + xy, x2 , y 2 = x, y . @A 2x2 + 3y 2 − 11, x2 − y 2 − 3 = x2 − 4, y 2 − 1 . RF ghùng minh V (x + xy, y + xy, x2 , y 2 ) = V (x, y). SF ghùng minh I(V (xn , y m )) = x, y vîi måi n, m nguy¶n d÷ìngF TF ghùng minh I(V ) l mët iden rdin vîi måi 1 t¤p V ⊂ k n . UF ghùng minh iden x2 , y 2 khæng rdinF uy r x2 , y 2 = I(V ) vîi måi 1 t¤p V trong k 2 . VF qi£ sû V = V (y − x2 , z − x3 ) ⊂ k 3 . @A û döng thm sè hâ õ 1÷íng ong V hùng tä y 2 − xz ∈ I(V ). @A r¢y iºu di¹n y 2 − xz d¤ng tê hñp õ y − x2 v z − x3 . WF ghùng minh I(V (x − y)) = x − y . IHF qi£ sû V ⊂ R3 l 1÷íng ong â thm sè hâ (t, t3 , t4 ), t ∈ R. @A ghùng minh V l 1 t¤p ffineF @A ¡ 1ành I(V ). IIF qi£ sû V ⊂ R3 l 1÷íng ong â thm sè hâ (t2 , t3 , t4 ), t ∈ R. @A ghùng minh V l 1 t¤p ffineF @A ¡ 1ành I(V ).
1.5. A THÙC MËT BIN IQ IPF gho tªp hñp S ⊂ k n . 0°t I(S) = {f ∈ k[x1 , x2 , . . . , xn ] | f (a1 , a2 , . . . , an ) = 0 vîi måi (a1 , a2 , . . . , an ) ∈ S}. @A ghùng minh I(S) l mët idenF @A ¡ 1ành I(S) n¸u S = {(a, a) ∈ R2 | a = 1}. @A ¡ 1ành I(Zn ) n¸u Zn l tªp ¡ 1iºm õ Cn vîi ¡ tå 1ë nguy¶nF 1.5 a thùc mët bi¸n qi£ sû f ∈ k[x] l 1 thù mët i¸n kh¡ 1 thù khængX f (x) = a0 xm + a1 xm−1 + · · · + am , trong 1â ai ∈ k v a0 = 0. 0ìn thù a0 xm gåi l sè h¤ng 1¦u ti¶n õ f v kþ hi»u l LT(f ) = a0 xm . V½ dö 1.5.1. qi£ sû f (x) = 3x 3 − 5x2 + 7. uhi 1â LT(f ) = 3x3 . ø 1ành ngh¾ suy r n¸u f, g l ¡ 1 thù kh¡ 1 thù khæng th¼ deg f ≤ deg g n¸u v h¿ n¸u LT(g) hi h¸t ho LT(f ). M»nh · 1.5.2. gho k l tr÷íng v g ∈ k[x] l 1 thù kh¡ khængF uhi 1â vîi måi f ∈ k[x] tçn t¤i duy nh§t ¡ 1 thù q, r ∈ k[x] so ho f = qg + r, trong 1â ho° r = 0 ho° deg r < deg g. H» qu£ 1.5.3. gho k l tr÷íng v f ∈ k[x] l 1 thù kh¡ khængF uhi 1â f â nhi·u nh§t deg f nghi»m trong k. H» qu£ 1.5.4. gho k l tr÷íng v iden I ⊂ k[x]. uhi 1â tçn t¤i duy nh§t @si kh¡ mët h¬ng sè kh¡ khængA 1 thù f ∈ k[x] so ho I = f . xâi ¡h kh¡ måi iden trong k[x] l iden h½nhF ành ngh¾a 1.5.5. ×î hung lîn nh§t õ ¡ 1 thù f , f , . . . , f 1 2 s ∈ k[x], kþ hi»u GCD(f1 , f2 , . . . , fs ), l 1 thù h thä m¢n ¡ t½nh h§t suX @iA f1 , f2 , . . . , fs hi h¸t ho h. @iiA x¸u f1 , f2 , . . . , fs hi h¸t ho 1 thù p th¼ h ông hi h¸t ho p. M»nh · 1.5.6. gho f , f , . . . , f 1 2 s ∈ k[x]. uhi 1â @iA çn t¤i duy nh§t @si kh¡ h¬ng sè kh¡ khængA GCD(f1 , f2 , . . . , fs ). @iiA GCD(f1 , f2 , . . . , fs ) l ph¦n tû sinh õ iden f1 , f2 , . . . , fs .
IR CH×ÌNG 1. HNH HÅC, I SÈ V CC THUT TON @iiiA çn t¤i thuªt to¡n t¼m GCD(f1 , f2 , . . . , fs ). V½ dö 1.5.7. ×î hung lîn nh§t õ ¡ 1 thù x 3 − 3x + 2, x4 − 1 v x6 − 1 l 1 thù x − 1. uy r x3 − 3x + 2, x4 − 1, x6 − 1 = x − 1 . u¸t qu£ tr¶n ho ph²p gi£i i to¡n th nh vi¶nX çn t¤i thuªt to¡n kiºm tr 1 thù f â thuë iden I = f1 , f2 , . . . , fs hy khængc hªt vªyD 1°t h = GCD(f1 , f2 , . . . , fs ). â thº vi¸t f = qh + r, trong 1â deg r < deg h. uhi 1â f ∈ I n¸u v h¿ n¸u r = 0. V½ dö 1.5.8. 0 thù x +4x +3x−7 khæng thuë iden 3 2 x3 −3x+2, x4 −1, x6 −1 = x−1 v¼ x3 + 4x2 + 3x − 7 = (x2 + 5x + 8)(x − 1) + 1. B i tªp IF ghùng minh x, y khæng l iden h½nh trong v nh k[x, y]. PF qi£ sû f, g ∈ k[x] v h = GCD(f, g). ghùng minh tçn t¤i ¡ 1 thù A, B ∈ k[x] so ho Af + Bg = h. QF qi£ sû f, g ∈ k[x]. ghùng minh f − qg, g = f, g vîi måi q ∈ k[x]. RF qi£ sû f1 , f2 , . . . , fs ∈ k[x] v h = GCD(f2 , . . . , fs ). û döng 1¯ng thù h = f2 , . . . , fs , h¢y hùng minh f1 , h = f1 , f2 , . . . , fs . SF û döng ph¦n m·m m¡y t½nhD h¢y x¡ 1ành @A GCD(x4 + x2 + 1, x4 − x2 − 2x − 1, x3 − 1 . @A GCD(x3 + 2x2 − x − 2, x3 − 2x2 − x + 2, x3 − x2 − 4x + 4 . TF 0óng hy siX x2 − 4 ∈ x3 + x2 − 4x − 4, x3 − x2 − 4x + 4, x3 − 2x3 − x − 2 ? UF f i tªp n y kiºm tr khi n o 1 t¤p ffine V ⊂ C l kh¡ trèngF @A qi£ sû f ∈ C[x] l 1 thù kh¡ 1 thù khængF ghùng minh V (f ) = ∅ n¸u v h¿ n¸u f l 1 thù h¬ngF @A qi£ sû f1 , f2 , . . . , fs ∈ C[x]. ghùng minh V (f1 , f2 , . . . , fs ) = ∅ n¸u v h¿ n¸u GCD(f1 , f2 , . . . , fs ) = 1. VF qi£ sû f = c(x − a1 )r1 (x − a2 )r2 · · · (x − al )rl ∈ C[x] v fred = c(x − a1 )(x − a2 ) · · · (x − al ). @A ghùng minh V (f ) = {a1 , a2 , . . . , al }. @A ghùng minh I(V (f )) = fred .
1.6. PHN TCH THNH CC THNH PHN BT KH QUY V KT THÙC IS WF 0¤o h m h¼nh thù õ 1 thù f = a0 xn + a1 xn−1 + · · · + an ∈ C[x] l 1 thù f = na0 xn + (n − 1)a1 xn−2 + · · · + an−1 + 0. ghùng minh ¡ quy t su (af ) = af , c ∈ C, (f + g) = f +g, (f g) = f g + fg . IHF f i tªp n y t¼m ÷î hung lîn nh§t õ f v f n¸u f ∈ C[x]. @A qi£ sû f = (x − a)r h trong C[x], vîi h(a) = 0. ghùng minh f = (x − a)r−1 h1 vîi 1 thù h1 ∈ C[x] kh¡ khæng t¤i a. @A qi£ sû f = (x − a1 )r1 (x − a2 )r2 · · · (x − al )rl , vîi ai 1æi mët kh¡ nhuF ghùng minh f = (x − a1 )r1 −1 (x − a2 )r2 −2 · · · (x − al )rl −1 H, trong 1â H ∈ C[x] kh¡ khæng t¤i ai @A ghùng minh GCD(f, f ) = (x − a1 )r1 −1 (x − a2 )r2 −2 · · · (x − al )rl −1 . @dA ghùng minh f fred = . GCD(f, f ) @eA û döng ph¦n m·m m¡y t½nhD h¢y x¡ 1ành 1 thù thu gån õ 1 thù su x11 − x10 + 2x8 − 4x7 + 3x5 − 3x4 + x3 + 3x2 − x − 1. IIF ¼m ì sð õ iden I(V (x5 − 2x4 + 2x2 − x, x5 − x4 − 2x3 + 2x2 + x − 1)). 1.6 Ph¥n t½ch th nh c¡c th nh ph¦n b§t kh£ quy v k¸t thùc 1.6.1 a thùc b§t kh£ quy t 1¦u vîi 1ành ngh¾ suX ành ngh¾a 1.6.1. gho k l mët tr÷íngF 0 thù f ∈ k[x , x , . . . , x ] gåi l §t kh£ quy 1 2 n tr¶n k n¸u f kh¡ h¬ng sè v khæng tçn t¤i ¡ 1 thù g, h ∈ k[x1 , x2 , . . . , xn ] â ª d÷ìng so ho f = g · h. V½ dö 1.6.2. 0 thù x 2 + 1 §t kh£ quy tr¶n Q, R nh÷ng khæng §t kh£ quy tr¶n C.
IT CH×ÌNG 1. HNH HÅC, I SÈ V CC THUT TON M»nh · 1.6.3. wåi 1 thù kh¡ h¬ng f ∈ k[x , x , . . . , x ] 1·u â thº ph¥n t½h th nh 1 2 n t½h õ ¡ 1 thù §t kh£ quy tr¶n k. ành lþ 1.6.4. qi£ sû f ∈ k[x1 , x2 , . . . , xn ] l 1 thù §t kh£ quy tr¶n k v g, h ∈ k[x1 , x2 , . . . , xn ]. x¸u t½h g · h hi h¸t ho f th¼ ho° g hi h¸t ho f ho° h hi h¸t ho f. H» qu£ 1.6.5. qi£ sû f, g ∈ k[x , x , . . . , x ] l hi 1 thù vîi deg 1 2 n x1 (f ) > 0, degx1 (g) > 0. uhi 1â f, g â ÷î hung h ∈ k[x1 , x2 , . . . , xn ] vîi degx1 (h) > 0 n¸u v h¿ n¸u f, g â ÷î hung trong k(x2 , . . . , xn )[x1 ]. ành lþ 1.6.6. qi£ sû f ∈ k[x1 , x2 , . . . , xn ]. uhi 1â tçn t¤i ¡ 1 thù §t kh£ quy f1 , f2 , . . . , fr tr¶n k so ho f = f1 · f2 · · · fr . rìn nú n¸u f = g1 · g2 · · · gs vîi gi l ¡ 1 thù §t kh£ quy th¼ r = s v su khi 1¡nh sè l¤i t â fi v gi si kh¡ mët h¬ng sè kh¡ khængF 1.6.2 K¸t thùc Bê · 1.6.7. qi£ sû f, g ∈ k[x] l ¡ 1 thù ª t÷ìng ùng l > 0 v m > 0. uhi 1â f v g â ÷î hung kh¡ h¬ng n¸u v h¿ n¸u tçn t¤i ¡ 1 thù A, B ∈ k[x] so ho @iA A, B khæng 1çng thíi ¬ng khængF @iiA deg A ≤ m − 1 v deg B ≤ l − 1. @iiiA Af + Bg = 0. ành ngh¾a 1.6.8. qi£ sû f, g l hi 1 thù ª d÷ìngX f = a0 xl + a1 xl−1 + · · · + al , a0 = 0, g = b0 xm + b1 xm−1 + · · · + bm , b0 = 0. w trªn k½h th÷î (l + m) × (l + m) : a0 b0    a1 a0 b1 b0  FF FF   a  2 a1 F b2 b1 F  F F  F FF F FF F a0 F  F F b0  F F  Syl(f, g, x) =   F F a1 F F  b1     al bm  F F F  F    al F bm F    FF FF   F F  al bm
1.6. PHN TCH THNH CC THNH PHN BT KH QUY V KT THÙC IU @â m ët ai v l ët bj A gåi l m trªn ylvester õ f, g t÷ìng ùng vîi i¸n x. qi¡ trà Res(f, g, x) = det Syl(f, g, x) gåi l k¸t thù õ f v g t÷ìng ùng i¸n x. M»nh · 1.6.9. qi£ sû f, g ∈ k[x] l ¡ 1 thù â ª d÷ìngF uhi 1â Res(f, g, x) l mët 1 thù vîi ¡ h» sè nguy¶n theo ¡ i¸n l ¡ h» sè õ f v g. rìn núD f, g â ÷î hung kh¡ h¬ng trong k[x] n¸u v h¿ n¸u Res(f, g, x) = 0. V½ dö 1.6.10. qi£ sû f = 2x2 + 3x + 1, g = 7x2 + x + 3 l hi 1 thù trong Q[x]. â   2 0 7 0 3 2 1 7 Res(f, g, x) =  1  = 153 = 0. 3 3 1 0 1 0 3 uy r f v g khæng â ÷î hung kh¡ h¬ngF ành lþ 1.6.11. qi£ sû f, g ∈ k[x] l ¡ 1 thù â ª d÷ìngF uhi 1â tçn t¤i ¡ 1 thù A, B ∈ k[x] so ho Af + Bg = Res(f, g, x). rìn núD ¡ h» sè õ A v B l ¡ 1 thù nguy¶n theo ¡ i¸n l ¡ h» sè õ f v g. B i tªp IF h÷îi 1¥y l v½ dö v· ¡ 1 thù §t kh£ quyF @A ghùng minh måi 1 thù f ∈ k[x] ª I l §t kh£ quy tr¶n k. @A qi£ sû f ∈ k[x] â ª ¬ng P ho° QF ghùng minh f §t kh£ quy tr¶n k n¸u v h¿ n¸u f khæng â nghi»m tr¶n k. @A ghùng minh 1 thù x2 − 2 §t kh£ quy tr¶n Q nh÷ng khæng §t kh£ quy tr¶n R. @dA ghùng minh 1 thù x4 + 1 §t kh£ quy tr¶n Q nh÷ng khæng §t kh£ quy tr¶n R. @eA û döng ph¦n @dA hùng minh @A si 1èi vîi ¡ 1 thù ª ≥ 4. PF ghùng minh tr÷íng k l 1âng 1¤i sè n¸u v h¿ n¸u måi 1 thù §t kh£ quy trong k[x] â ª ¬ng 1. QF qi£ sû f = i ai xi v g = 1 i i bi x 1 , trong 1â ai , bi ∈ k[x2 , x3 , . . . , xn ].