Giáo trình Hình học vi phân: Phần 1 - Đỗ Ngọc Diệp, Nông Quốc Chinh

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:61

Thêm vào BST

Báo xấu

13
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Phần 1 cuốn giáo trình "Hình học vi phân" cung cấp cho người đọc các kiến thức: Đường và mặt bậc hai, lý thuyết đường cong trong Rn, đại số tenso, đại số ngoài, tenso đối xứng; lý thuyết mặt cong trong R3. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình Hình học vi phân: Phần 1 - Đỗ Ngọc Diệp, Nông Quốc Chinh

/\ _ Ạ V V B ộ GIAO DỤC V A ĐAO TẠO ĐAI H Ọ C THÁI NGUYÊN ĐÔ NGỌC DIỆP - N Ô N G QUÔC CHINH G I Á O T R Ì N H H Ì N H H Ó C V I P H Â N Hà NỘI NHÀ XUẤT BẢN ĐAI HỌC QUỐC GI.
B Ộ GIÁO DỤC VÀ Đ À O TẠO ĐẠI H Ọ C THÁI NGUYÊN Đ Ỗ NGỌC DIỆP - NÔNG QUỐC CHINH G I Á O T R Ì N H H Ì N H H Ọ C V I P H Â N N H À XUẤT BẢN ĐẠI HỌC Q u ố c GIA HÀ N Ộ I
SÁCH ĐƯỢC XUẤT BẢN BỞI s ự TÀI TRỢ CỦA D ự ÁN GIÁO DỤC ĐẠI HỌC 2
M ụ c l ụ c Giới thiệu 7 Ì Đường và mặt bậc hai 9 1.1 Siêu phang afìn 9 1.1.1 T h u ậ t k h ử Gauss-Jordan g i ả i h ệ p h ư ơ n g t r ì n h tuyến tính 9 1.1.2 Đ a t ạ p t u y ế n t í n h và p h ư ơ n g p h á p toa đ ộ . lo 1.1.3 C á c p h é p b i ế n đ ổ i t r o n g h ì n h học l i 1.2 Đ ư ờ n g bậc hai v ớ i p h ư ơ n g t r ì n h chính tắc 12 1.2.1 Ellipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.2 Hyperbola 12 1.2.3 Parabola 13 1.3 Đ ư a p h ư ơ n g t r ì n h đ ư ờ n g bậc hai t r o n g m ặ t p h a n g về d ạ n g c h í n h tắc 13 1.4 P h â n l o ạ i s i ê u m ặ t bậc 2 t r o n g k h ô n g g i a n 3 c h i ề u . 14 1.5 Đ ư a p h ư ơ n g t r ì n h m ặ t bậc hai t ổ n g q u á t v ề d ạ n g chính tắc 19 1.6 P h â n l o ạ i d ờ i h ì n h c á c đ ư ờ n g bậc hai t r o n g mặt phang Euclid 21 1.7 P h â n l o ạ i d ờ i h ì n h c á c m ặ t bậc hai t r o n g k h ô n g g i a n Euclid 3 chiều 21 1.8 P h ư ơ n g p h á p t o a đ ộ cong 22 1.8.1 C á c đ ư ờ n g bậc 2 t h a m số hoa 23 1.8.2 C á c m ặ t bậc hai t h a m số hoa 23 1.9 B à i t ậ p c ủ n g cố lý t h u y ế t 24 3
4 Đ ỗ Ngọc Diệp, Nông Quốc Chinh 2 L ý t h u y ế t đ ư ờ n g cong trong R n 25 2.1 C u n g t h a m số h o a v à c u n g chính quy 25 2.2 Đ ộ d à i đ ư ờ n g cong t r o n g R " . Đ ư ờ n g t r ắ c đ ị a . . . . 27 2.3 M ụ c t i ê u t r ự c c h u ẩ n . M ụ c t i ê u F r é n e t . Đ ộ cong. Đ ộ xoắn 30 2.4 Đ ị n h lí c ơ b ả n 33 2.5 B à i t ậ p củng cố lý t h u y ế t 36 3 Đại số tensơ, đại số ngoài, tensơ đối xứng 37 3.1 T í c h tensơ c á c k h ô n g gian véctơ 37 3.2 Tích ngoài và tích tensơ đ ố i xứng 39 3.3 Đ ạ i số t e n s ơ 40 3.4 Đ ạ i số n g o à i 41 4 Lý thuyết mặt cong trong R 3 43 4.1 M ả n h t h a m số h o a c h í n h q u y v à m ặ t t h a m số h o a . 43 4.2 M ụ c t i ê u D a r b o u x của đ ư ờ n g cong t r ê n m ặ t d ì m . . 44 4.3 D ạ n g t o à n p h ư ơ n g cơ b ả n 45 4.4 Đ ạ o h à m Weingarten và k ý hiệu Christoffel . . 50 4.5 Đạo h à m thuận biến . 53 4.6 Đ ộ cong R i e m a n n 55 4.7 C á c đ ị n h lí c ơ b ả n c ủ a lí t h u y ế t mặt dìm 58 5 Đường cong trên mặt cong 61 5.1 Đ ư ờ n g cong t r ê n m ặ t 61 5.2 Đ ộ cong p h á p d ạ n g v à đ ộ cong t r ắ c đ ị a c ủ a đ ư ờ n g cong t r ê n m ặ t 62 5.3 P h ư ơ n g c h í n h v à đ ộ c o n g Gauss 64 5.4 M ộ t số t í n h c h ấ t đ ặ c t r ư n g c ủ a đ ư ờ n g t r ê n m ặ t c o n g 65 5.5 Đ ị n h lí Gauss - B o n n e t . . . 66 5.6 B à i t ậ p củng cố lý t h u y ế t 71
Hình học vi phẫn 5 6 Định lý ánh xạ ngược và Định lý ánh xạẩn 73 6.1 Đ ị n h n g h ĩ a đ ạ o á n h v à c á c t í n h c h ấ t cơ b ả n . . . . 73 6.2 Đạo h à m riêng và vi p h â n 80 6.3 Đ ị n h lí h à m ( á n h x ạ ) n g ư ợ c 83 6.4 Đ ị n h lí h à m ( á n h x ạ ) ẩ n 85 6.5 B ó các h à m trơn 86 6.6 B à i t ậ p c ủ n g cố l ý t h u y ế t 89 7 Đa tạp khả vi 91 7.1 Đ ị n h nghĩa. V í d ụ 91 7.2 A n h x ạ t r ơ n giữa các đ a t ạ p 93 7.3 P h â n thớ tiếp xúc, đối tiếp xúc 94 7.3.1 K h ô n g gian tiếp xúc. P h â n t h ớ t i ế p x ú c . . 94 7.3.2 K h ô n g gian đ ố i tiếp xúc. P h â n t h ớ đ ố i t i ế p x ú c 96 7.4 Đ a t ạ p con. Đ a t ạ p t h ư ơ n g 97 7.4.1 Đ i ề u kiện d ì m và điều kiện ngập 97 7.4.2 C ấ u t r ú c v i p h â n c ả m sinh 99 7.4.3 Đ ị n h lí G o d e m a n 100 7.4.4 Ví dụ loi 7.5 Tôpô các đ a tạp loi 7.6 B à i t ậ p c ủ n g cố lý t h u y ế t 102 7.7 S ơ lược v ề h ì n h h ọ c R i e m a n n tổng quát 103 7.8 Sơ lược v ề h ì n h h ọ c s y m p l e c t i c tổng quát 103
G i ớ i t h i ệ u 0 t r ư ờ n g pho t h ô n g , h ì n h học được dạy và học theo quan đ i ể m h ì n h h ọ c E u c l i d . C á c vật thể hình học đ ư ợ c c ấ u t h à n h t ừ c á c mảnh phang v à mảnh cầu. Quan hệ so sánh giữa các v ậ t t h ể h ì n h học đ ư ợ c t h ự c h i ệ n b ở i c á c phép dời hình; hai vật thể hình học được xem là bằng nhau n ế u c h ú n g c ó t h ể đ ư ợ c chồng khít lên nhau qua những phép dời hình. Đ ạ i số t u y ế n t í n h v à h ì n h h ọ c g i ả i t í c h x é t c á c v ậ t t h ể h ì n h h ọ c đ ư ợ c c ấ u t h à n h t ừ c á c mảnh phang v à c á c mảnh bậc 2 tổng quát. C á c q u a n h ệ so s á n h đ ư ợ c x é t n h ư c á c phép biến đổi tuyến tính hoặc afin. C á c đ ư ờ n g bậc hai được đ ư a về 9 dạng chính tắc, các m ặ t bậc h a i t r o n g k h ô n g g i a n 3 - c h i ề u đ ư ợ c đ ư a v ề 17 d ạ n g c h í n h t ắ c . T r o n g h ì n h h ọ c đ ạ i số b ằ n g p h ư ơ n g p h á p p h â n l o ạ i c ó t h ể n g h i ê n c ứ u c á c đ ư ờ n g v à m ặ t h o ặ c s i ê u m ặ t b ậ c 3 hay, t ổ n g q u á t h ơ n , b ậ c b ấ t k ì . P h é p b i ế n đ ổ i cho p h é p l à c á c phép biến đổi đa thức hoặc song hữu tỉ. Quan điểm nói trên được p h á t triển trong cùng m ộ t ngữ cảnh c ủ a hình học vi phân khi m à các vật t h ể được cấu tạo t ừ các mảnh tham số hoa b ằ n g c á c toa độ địa phương, m à nói chung các h à m toa đ ộ địa p h ư ơ n g là c á c h à m t r ơ n b ấ t kì. C á c p h é p b i ế n đ ổ i là c á c phép vi phôi. D o vậy các v ậ t t h ể h ì n h học trong h ì n h học v i p h â n đ a d ạ n g h ơ n , n h i ề u chiều h ơ n và theo m ộ t nghĩa n h ấ t đ ị n h là " t r ơ n h ơ n " các v ậ t t h ể h ì n h học trong các m ô n h ì n h học t r ê n . Phương pháp nghiên cứu c ủ a h ì n h h ọ c v i p h â n t ư ơ n g đ ố i đ a d ạ n g . T r ư ớ c h ế t h ì n h h ọ c v i p h â n sử d ụ n g c á c p h é p t í n h v i p h â n v à tích p h â n trong k h ô n g gian Euclid R n để xây dựng các p h é p tính 7
8 Đỗ Ngọc Diệp, Nông Quốc Chinh vi p h â n và tích p h â n t ư ơ n g ứng t r ê n các v ậ t t h ể h ì n h học. Đồng t h ờ i n ó c ũ n g v ậ n d ụ n g c á c p h ư ơ n g p h á p t ô p ô , t ô p ô đ ạ i số, p h ư ơ n g p h á p t ổ hợp, p h ư ơ n g t r ì n h v i p h â n t h ư ờ n g và p h ư ơ n g t r ì n h đạo h à m riêng, đ ể t ì m ra c á c t í n h chất của c á c đ ố i t ư ợ n g h ì n h học. G i á o t r ì n h n à y được biên soạn trong k h u ô n k h ổ c h ư ơ n g t r ì n h cho s i n h v i ê n c á c n ă m c u ố i đ ạ i h ọ c . C á c t á c g i ả đ ã d ạ y c h ư ơ n g t r ì n h n à y cho c á c l ớ p c ủ a Đ ạ i h ọ c H u ế , Đ ạ i h ọ c T h á i n g u y ê n , Đ ạ i h ọ c Q u y N h ơ n . T h ự c t ế g i ả n g d ạ y đ ã g ợ i ý cho c á c t á c g i ả c h ọ n l ọ c c á c n ộ i d u n g n à y , sao cho v ừ a p h ả i , k h ô n g q u á n h i ề u v à c ũ n g k h ô n g quá nghèo nàn. G i á o t r ì n h g ồ m c ó các chương chính sau: Chương Ì dành cho v i ệ c n h ì n l ạ i lý t h u y ế t đ ư ờ n g v à m ặ t b ậ c Ì v à 2. M ụ c đ í c h của c h ư ơ n g n à y l à t ạ o r a m ộ t k h ở i đ i ể m h ì n h h ọ c cho v i ệ c h ọ c t i ế p t ụ c . C h ư ơ n g 2 đ ư ợ c d à n h cho v i ệ c n g h i ê n c ứ u c á c đ ư ờ n g c o n g t r o n g k h ô n g g i a n E u c l i d n - c h i ề ụ . C h ư ơ n g 3 đ ư ợ c d à n h cho v i ệ c x â y d ự n g l ạ i k h á i n i ệ m v ề t e n s ơ v à đ ạ i số t e n s ơ . C h ư ơ n g 4 l à c h ư ơ n g t r ọ n g t â m , d à n h cho l ý t h u y ế t m ặ t cong t r o n g k h ô n g g i a n E u c l i d R .3 Trong chương 5 chúng tôi t r ì n h b à y p h é p t o á n v i p h â n nhiều chiều cho c á c á n h x ạ t r ơ n , đ ồ n g t h ờ i n h ấ n m ạ n h c á c đ ị n h lí á n h x ạ ẩ n v à đ ị n h lí á n h x ạ n g ư ợ c . H a i đ ị n h lí n à y đ ó n g v a i t r ò t r u n g t â m t r o n g việc n g h i ê n cứu các đ a t ạ p con t r o n g R n được xác định bởi h ệ p h ư ơ n g t r ì n h h à m . Trong chương 6 c h ú n g tôi t r ì n h b à y lý thuyết tổng q u á t các đ a t ạ p k h ả vi. Đ ó chính là các đ ố i tượng t r u n g t â m của h ì n h học v i p h â n . C u ố i m ỗ i c h ư ơ n g c ó m ộ t số bài tập bổ sung cho phần lí thuyết. C á c b à i t ậ p l u y ệ n t ậ p cơ b ả n , c ầ n đ ư ợ c g i ả n g v i ê n c h ọ n t ừ c á c nguồn khác. G i á o t r ì n h được biên soạn l ầ n đ ầ u k h ô n g t r á n h k h ỏ i những t h i ế u sót. C h ú n g tôi mong n h ậ n được nhiều ý k i ế n đ ó n g góp cho v i ệ c b i ê n s o ạ n , n ộ i d u n g v à h ì n h t h ứ c c ủ a g i á o t r ì n h . Các tác giả
C h ư ơ n g Ì Đ ư ờ n g v à m ặ t b ậ c h a i T r o n g c h ư ơ n g n à y c h ú n g t a sẽ h ệ t h ố n g hoa l ạ i n h ữ n g k h á i n i ệ m v à k ế t q u ả n g h i ê n c ứ u đ ư ờ n g v à m ặ t t r o n g Đ ạ i số t u y ế n t í n h v à H ì n h h ọ c g i ả i t í c h d ư ớ i m ộ t c á c h n h ì n t h ố n g n h ấ t l à t h a m số hoa v à t o a đ ộ hoa. C á c h n h ì n t h ố n g n h ấ t n à y sẽ cho m ộ t h ì n h d u n g sơ b ộ v ề p h ư ơ n g p h á p n g h i ê n c ứ u c ủ a h ì n h h ọ c v i p h â n cổ đ i ể n . 1.1 Siêu phang afĩn Trong Đại số tuyến tính, các siêu phang afĩn đóng vai trò cơ bản, c á c m - p h ẳ n g đ ư ợ c x e m n h ư giao c ủ a h ệ c á c s i ê u p h a n g a f ì n . T r o n g h ì n h h ọ c a f i n , s i ê u m ặ t a f i n l à đ ố i t ư ợ n g cơ b ả n . C á c giao c ủ a c á c s i ê u m ặ t b ậ c 2 cho t a c á c đ ố i t ư ơ n g k i ể u c á c n h á t c ắ t c ầ u , n h á t c ắ t e l l i p s o i d , V.V.... 1.1.1 Thuật khử Gauss-Jordan giải hệ phương trình t u y ế n tính Để giải hệ phương trình tuyến tính ta có thể sử dụng thuật khử G a u s s - J o r d a n l à t h ự c h i ệ n c á c p h é p b i ế n đ ổ i sơ c ấ p t r ê n m a trận c ủ a h ệ p h ư ơ n g t r ì n h đ ã cho. C h ú n g t ô i cho r ằ n g h ọ c v i ê n đ ã b i ế t kĩ về những v ấ n đ ề liên quan. 9
10 Dỗ Ngọc Diệp, Nông Quốc Chinh 1.1.2 Đ a tạp t u y ế n tính và p h ư ơ n g p h á p toa độ Ta xét bài toán nghiên cứu tập nghiệm (hạt nhân) của phương trình v é c t ơ
Hình học vi phẫn li không gian con afin Xo + L. Nếu xem không gian con afin như là vật thê hình học độc lập thì các phép biến đổi hình học cho phép chính là các phép biến đổi afin. Việc chọn cách tách biến như trên cho phép "tọa độ hoa" không gian (đa tạp) afin đó. M ộ t ví d ụ k h á c là các h ì n h t h u được nhờ compa. Theo quan d i ê m t r ừ u t ư ợ n g corapa là c ô n g cụ có t á c d ụ n g d u y n h ấ t là vẽ c á c đ ư ờ n g t r ò n h o ặ c l à c á c c u n g c ủ a n ó . M ộ t lý thuyết tổng quát các mặt bậc 2 đ ư ợ c n g h i ê n c ứ u t r o n g p h ầ n c u ố i c ủ a m ộ t g i á o t r ì n h đ ạ i số t u y ế n t í n h . T r o n g t r ư ờ n g h ợ p n à y các phép biến đổi cho phép là các phép biến đổi bảo toàn các dạng bậc 2, tức là các phép biến đổi afin trực giao. V í d ụ v ớ i m ặ t c ầ u p h é p b i ế n đ ổ i cho p h é p l à c á c p h é p b i ế n đ ổ i t r o n g k h ô n g g i a n E u c l i d ( c á c p h é p quay, c á c p h é p p h ả n x ạ , t ị n h t i ế n ) . B à i t o á n q u y về việc n g h i ê n cứu h ệ m ộ t hay nhiều p h ư ơ n g t r ì n h , b ấ t p h ư ơ n g t r ì n h bậc 2, v í d ụ d ạ n g t o à n p h ư ơ n g . L ạ i m ộ t l ầ n n ữ a , c â u h ỏ i t ự n h i ê n đ ư ợ c đ ặ t r a là: c ó t h ể c h ă n g nghiên cứu các mặt tổng quát hơn là mặt bậc 21 B à i t o á n cơ b ả n l à c á c v i ệ c l à m n ó i t r ê n c ó t h ể t h ự c h i ệ n hay k h ô n g k h i h ệ p h ư ơ n g t r ì n h p h i t u y ế n ( k h ô n g là t u y ế n t í n h hoặc các p h ư ơ n g t r ì n h có bậc l ớ n h ơ n 2). T r ả l ờ i c â u h ỏ i này, h ì n h học vi p h â n d ù n g t o à n b ộ c ô n g cụ v i tích p h â n của giải tích. Đ ó cũng c h í n h là n ộ i d u n g của h ì n h học các đ a t ạ p k h ả v i . T u y n h i ê n đ ể có đ ư ợ c đ i ề u đ ó t a p h ả i h u y đ ộ n g t o à n b ộ p h é p t í n h v i t í c h p h â n trong R n ở dạng tổng quát nhất. 1.1.3 Các phép biến đồi trong hình học Trong một không gian, điều quan trọng hơn cả là chúng ta chấp nhận các p h é p biến đ ổ i nào. N ế u chấp n h ậ n đ ủ nhiều các p h é p biến đ ổ i đ ư ợ c coi l à b i ế n đ ổ i t ư ơ n g đ ư ơ n g t h ì c ó đ ủ n h i ề u c á c v ậ t t h ể hình học được đ ồ n g n h ấ t với nhau. N ế u h ạ n chế chỉ x é t c á c p h é p b i ế n đ ổ i h ì n h học là t u y ế n t í n h t h ì c h ú n g t a c ó n h ó m b i ế n đ ổ i l à nhóm tuyến tính tổng quát G = GL(ĩl )n = Ơ L ( R ) của k h ô n g gian, g ồ m t ấ t cả các p h é p b i ế n đ ổ i n t u y ế n t í n h k h ả nghịch. C h ú n g ta t h u được h ì n h học a f i n [aphin]. N ế u c h ú n g t a h ạ n c h ế h ẹ p h ơ n , chỉ c h ấ p n h ậ n c á c p h é p b i ế n đ ổ i
12 Đỗ Ngọc Diệp, Nông Quốc Chinh là bảo t o à n k h o ả n g cách, hoặc tích vô hướng, c h ú n g t a có n h ó m 0(n) c á c b i ế n đ ổ i t r ự c giao v à h ì n h h ọ c c h í n h l à h ì n h h ọ c E u c l i d . 1.2 Đường bậc hai với phương trình chính tắc 1.2.1 Ellipse T r o n g h ì n h h ọ c g i ả i t í c h , ellipse đ ư ợ c đ ị n h n g h ĩ a n h ư q u ỹ t í c h c á c đ i ể m M m à t ổ n g k h o ả n g c á c h đ ế n h a i đ i ể m F\ v à F 2 cho t r ư ớ c l à m ộ t đ ạ i l ư ợ n g k h ô n g đ ổ i 2a. C á c đ i ể m Fi v à F 2 đó được gọi là các tiêu điểm. G ọ i k h o ả n g c á c h g i ữ a h a i đ i ể m Fi v à F 2 l à 2d. C h ọ n t r u n g đ i ể m c ủ a đ o ạ n FiF 2 l à gốc o c ủ a h ệ t o a đ ộ Descartes, c h ọ n v é c t ơ e i sao cho OFi = deị. B ổ sung t h ê m m ộ t véctơ e 2 đ ể c ó m ộ t cơ sở t r ự c c h u ẩ n t h u ậ n h ư ớ n g v à do v ậ y c ó h ệ t o a đ ộ Descartes ơ , e i , e2 . T r o n g h ệ t o a đ ộ n à y đ i ể m M c ó c á c t o a đ ộ l à (x, y) v à t a c ó p h ư ơ n g t r ì n h đ ư ờ n g ellipse ĩ! + í = Ì, với b = Va^d? à1 ÍT 1.2.2 Hyperbola Trong hình học giải tích, hyperbola được định nghĩa như quỹ tích các đ i ể m M m à trị t u y ệ t đ ố i của h i ệ u k h o ả n g c á c h đ ế n hai đ i ể m F\ v à F 2 cho t r ư ớ c l à m ộ t đ ạ i l ư ợ n g k h ô n g đ ổ i . G ọ i k h o ả n g cách giữa hai đ i ể m F i và F 2 l à 2d. C h ọ n t r u n g đ i ể m c ủ a đ o ạ n FịF2 l à gốc o c ủ a h ệ t o a đ ộ Descartes, c h ọ n v é c t ơ e i sao cho OF 2 = dũi. B o sung t h ê m m ộ t v é c t ơ e 2 đ e c ó m ộ t cơ sở t r ự c c h u ẩ n t h u ậ n h ư ớ n g v à do v ậ y c ó h ệ t o a đ ộ Descartes o, e i , e2 . T r o n g h ệ t o a đ ộ n à y đ i ể m M c ó c á c t o a đ ộ l à (x, y) v à t a c ó p h ư ơ n g trình đường hyperbola
Hình học vi phẫn 13 1.2.3 Parabola Trong hình học giải tích, parabola được định nghĩa như quỹ tích các đ i ể m M m à khoảng cách đến một điểm F và m ộ t đường thắng í t r o n g m ặ t p h a n g cho t r ư ớ c l à b ằ n g n h a u . Q u a đ i ể m F, ta hạ đ ư ờ n g v u ô n g g ó c v ớ i đ ư ờ n g t h ẳ n g í t ạ i đ i ể m p. Gọi trung điểm đ o ạ n PF l à gốc t o a đ ộ o. C h ọ n c á c v é c t ơ t r ự c c h u ẩ n e i v à &2 sao cho OF — pe .2 G ọ i (x,y) là các toa đ ộ đ i ể m M trong hệ toa độ 0 , e i , e 2 - K h i đ ó ta có p h ư ơ n g t r ì n h đường parabola là ty X = 4py. 1.3 Đ ư a p h ư ơ n g t r ì n h đ ư ờ n g b ậ c h a i t r o n g m ặ t p h ă n g v ê d ạ n g c h í n h t á c Định lí 1.3.1 (Định lí phân loại) Bằng phép biến đổi toa độ thích hợp, mỗi dường bậc hai tổng quát trong mặt phang Euclid afin 2- chiều đều dược đưa về một trong số 9 đường chính tắc sau: í. Dường ellipse _2 2 — + — = ì v a 2 b 2 2. Dường ellipse ảo: __2 2 _ + — = v -1 a2 b 2 3. Đường hyperbola _2 2 _ _ ĨL = 1 2 2 a 6 " • ị . Đường parabola 2 X — =2y,p>0. p
14 Dỗ Ngọc Diệp, Nông Quốc Chinh 5. Cặp hai đường thẳng song song xỊ__ 1. à ~ 2 6. Cặp hai đường thẳng ảo song song: J1 -1. à" 7. Cặp hai đường thẳng ảo cắt nhau: -2 2 X V — 4- — = 0. a2 b 2 8. Cặp hai đường thẳng cắt nhau: _2 2 X y - n ò 2 C ặ p / i a i đường thẳng trùng nhau: c = 0. 2 1.4 P h â n l o ạ i s i ê u m ặ t b ậ c 2 t r o n g k h ô n g gian 3 chiều Định lí 1.4.1 (Định lí phân loại) Bằng phép biến đổi toa độ thích hợp, mỗi mặt bậc hai tổng quát trong không gian Euclỉd ba chiều đều được đưa về một trong số 17 mặt chính tắc sau: 1. Mặt ellipsoid: „ 2 2 2 X y z — + — + — = 1. a2 b c 2 2
Hình học vi phẫn 2. Mặt ellipsoid ảo: 2 2 2 x ỳ2 3. Mặt nón ảo: _2 2 2 ^2 62 + ị . Mặt elliptic hyperboỉoid một tầng _ì 2 2 ^ ỏ2 ~ ^2 + 5. Mặt elliptic hyperboloid hai tầng à? + b 2 c 2 6. Mặt nón bậc hai: ĩ! 2 + 2 2 a b c 7. Mặt elliptic paraboloid ì 2 X y p + Q = 2z,p — > 8. Mặt trụ elliptic a 2 b2 9. Mặt trụ elliptic ảo:
16 Dỗ Ngọc Diệp, Nông Quốc Chinh 10. Cặp mặt phang ảo cắt nhau: a 2 b2 l i . Mặt hyperbolic paraboloid. _2 2 : ±2z,p > 0,q > 0. V Q 12. Mặt trụ hyperbolic: 2 2 ũ b 13. Cặp hai mặt phang cắt nhau: 0? b 2 l ị . Mặt trụ parabolic X2 — 2pz,p > 0. 15. Cặp hai mặt phang song song: X = k , hay X = ±k, 2 2 k Ỷ 0. 16. Cặp hai mặt phang ảo song song: X = —k , 2 2 hay X = ±ik, k ^ 0. 17. Cặp hai mặt phang trùng nhau: X 2 = 0. C h ứ n g m i n h . Đ ị n h lí đ ư ợ c c h ứ n g m i n h b ằ n g c á c h c h ọ n p h é p đ ổ i toa đ ộ t h í c h hợp l à m biến m ấ t p h ầ n t u y ế n t í n h . D ạ n g t o à n p h ư ơ n g v à h ệ số t ự do q u y ế t đ ị n h d ạ n g c ủ a m ặ t cong. Trường hợp 1 : D ạ n g t o à n p h ư ơ n g c ó b a g i á t r ị r i ê n g k h á c 0: A i , A , A : P h ư ơ n g t r ì n h được đ ư a về d ạ n g 2 3 A1X + \ y 2 2 2 + A Z 3 2 = c ỉa. Các giá trị A i , A , A3 cùng 2 dấu, quy về Xi > 0, A2 > 0, A3 > 0
Hình học vi phẫn 17 1. N ế u c > 0 t a c ó t h ể đ ặ t á 2 = ò = 2 c 2 = 2. N ế u c < 0, t a c ó t h ể đ ặ t á 2 = ỹf, ò = 2 c 2 —c A-3 3. N ế u c = 0 t a c ó t h ể đ ặ t a 2 = ị., b = ^ , c 2 2 = iò. Các giá in riêng Ả;/iác dấu,ợuy về Ai > 0, A > 0, A < 0 2 3 4. N ế u c > 0 t a c ó t h ổ đ ặ t a 2 = ^, 6 = £, c 2 2 = ^_ A 2 ; -A - 3 5. N ế u c < 0, t a c ó t h ể đ ặ t á 2 = = f , ò = -rf, c 2 2 = — 2 - 1 .2 _ _1 6. N ế u c = 0 t a c ó t h ể đ ặ t á 2 = ỳ-, ỉ) 2 = Ằ2 A- 3 Trường hợp 2 : C ó đ ú n g m ộ t g i á t r ị r i ê n g b ằ n g k h ô n g , ví d ụ Ả! TẾ 0, Ái í 0, A = 0: 3 2a. A i vò A c ù m / dấu: 2 A i > 0, A 2 > 0, A = 0. K h i c ó m ộ t g i á 3 t r ị r i ê n g A = 0 t h ì h ệ số t ự do l ạ i c ó t h ể l à m t r i ệ t t i ê u . N ế u h ệ số 3 bậc n h ấ t t h e o z k h á c 0 t a c ó t h ể đ ặ t l à ± 2 p , V > 0. T a c ó 7. Nếu hệ số bậc nhất theo z triệt tiêu, ta có phương trình dạng Aix 2 + A y 2 2 = Ị c. ĐAI H Ọ C THẢI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Ta có ba t r ư ờ n g hợp: T H Ư V I Ệ N 8. N ế u c > 0 t a c ó t h ể đ ặ t á 2 = f - , b = f-, c 2 2 = c -A - 3 9. N ế u c < 0, t a c ó t h ể đ ặ t á = y £, b = =z b c = -=£- 2 2 2 2 10. N ế u c = 0 t a c ó t h ể đ ặ t a 2 = ị-, b = ị-, 2 c 2 = Ị -A 3 Sò. A i v à A 2 Ả;/iác d ấ u : A i > 0, A < 0, A = 0 2 3 li. N ế u c > 0 ta có t h ể đ ặ t á 2 = ỵ-, 6 2 c -A ' 2 12. N ế u c < 0, t a c ó t h ể đ ặ t a 2 = b = -=£ 2 A 2
18 Đỗ Ngọc Diệp, Nông Quốc Chinh 13. Nếu c = 0 ta có thể đặt á = ị-,b = 2 2 T r ư ờ n g h ợ p 3: C ó đ ú n g m ộ t g i á t r ị r i ê n g k h á c 0, v í d ụ A i 7^ 0, A = A = 0. K h i đ ó p h ư ơ n g t r ì n h t ổ n g q u á t c ó d ạ n g 2 3 Aix 2 + 2a x x + 2a y 2 + 2a z 3 + ao = 0. N ế u D = y/aị + aị Ỷ 0 t a t h ự c h i ệ n p h é p đ ố i t o a đ ộ t r ự c giao: X = x' y = f y ' + * = r f y ' + f z ' Trong h ệ toa đ ộ m ớ i này, p h ư ơ n g t r ì n h có d ạ n g Airc' + 2a x' 2 x + ?Dz' + a' = 0 ữ T h ự c hiện p h é p tịnh t i ế n toa độ x' = -21+x Ai y' = y z> = - 4 + z ta có các trường hợp 14. N ế u D = 0 t h ì p h ư ơ n g t r ì n h t ổ n g q u á t c ó d ạ n g A i x ' + 2aix' 2 + a' = 0 ữ T h ự c h i ệ n p h é p t ị n h t i ế n toa đ ộ theo t r ụ c X t a n h ậ n được p h ư ơ n g trình mới dạng: Aix 2 + a' = 0. Q C ó ba t r ư ờ n g hợp: 15. Xi > 0, a' < 0, t a đ ặ t k ữ 2 = 16. Xi > 0, a' > 0, t a đ ặ t k 0 2 = ỷ. 17. A i > 0, a'o = 0, c h i a h a i v ế cho A i .
Hình học vi phẫn ^ 1.5 Đưa phương trình mặt bậc hai tổng quát về dạng chính tắc Giả sử (ỡ, ei,..., e„) và (ỏ, ẽi,..., ẽ ) là hai hệ toa độ Descartes n với [ ẽ i , . . . , ẽ ] = [ei,... ,e„]A, n n OỒ = ^ b ỉ e i 1=1 là p h é p chuyển toa đ ộ yL=(x\...,x )~i=(x\...,x ) n n với X - A x + b, tức là TI 3=1 Nói cách k h á c qua p h é p biến đ ổ i t ọ a độ, TI OM = 00 + ỐM = b + ỵ2 ỉ j ẻ j . j=i Siêu mặt bậc 2 là quĩ tích các điểm M trong không gian Euclid a f i n Av t h o a m ã n p h ư ơ n g t r ì n h 0 - đ i ể m c ủ a m ộ t hàm bậc 2 q(M) = ip[ÕM, OM) + 2ĩ (ÔM) + c = 0, trong đó phần bậc 2 ự) là không đồng nhất bằng 0. Nếu trên siêu m ặ t b ậ c 2 c ó điểm tâm đối xứng o, t ứ c l à -OM thoa m ã n phương —* t r ì n h q{M) = 0 n ế u ÔM t h o a m ã n , t h ì v i ế t t r o n g gốc t ọ a đ ộ t ạ i o p h ầ n bậc n h ấ t t r i ệ t tiêu /(ỠM) = $(00, ÔM) + ĩ {ÔM) = 0.