intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Giáo trình hình thành quy trình điều khiển nguyên lý của hàm điều hòa dạng vi phân p7

Chia sẻ: Sdfasf Dsgfds | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Thêm vào BST
Báo xấu
74
lượt xem 4
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'giáo trình hình thành quy trình điều khiển nguyên lý của hàm điều hòa dạng vi phân p7', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình hình thành quy trình điều khiển nguyên lý của hàm điều hòa dạng vi phân p7

  1. h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 5. BiÕn §æi Fourier V BiÕn §æi Laplace .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k §4. TÝnh chÊt cña biÕn ®æi Fourier • Gi¶ sö c¸c h m m chóng ta nãi ®Õn sau ®©y kh¶ tÝch tuyÖt ®èi v do ®ã lu«n cã ¶nh v nghÞch ¶nh Fourier. KÝ hiÖu f ↔ F víi f(t) l h m gèc v F(ω) l h m ¶nh t−¬ng øng. 1. TuyÕn tÝnh NÕu h m f v h m g kh¶ tÝch tuyÖt ®èi th× víi mäi sè phøc λ h m λf + g còng kh¶ tÝch tuyÖt ®èi. ∀ λ ∈ ∀, λf(t) + g(t) ↔ λF(z) + G(z) (5.4.1) Chøng minh +∞ +∞ +∞ ∫ (λf (t ) + g(t ))e − iωt − i ωt − i ωt dt = λ ∫ f (t )e ∫ g(t )e dt + dt −∞ −∞ −∞ 2. DÞch chuyÓn gèc NÕu h m f kh¶ tÝch tuyÖt ®èi th× víi mäi sè thùc α h m f(t - α) còng kh¶ tÝch tuyÖt ®èi. ∀ α ∈ 3, f(t - α) ↔ e-iαωF(ω) (5.4.2) Chøng minh +∞ +∞ -iαω − iωt − iω( t − α ) ∫ f (t − α)e ∫ f (t − α)e d( t − α) §æi biÕn τ = t - α dt = e −∞ −∞ 3. §ång d¹ng NÕu h m f kh¶ tÝch tuyÖt ®èi th× víi mäi sè thùc α kh¸c kh«ng h m f(αt) còng kh¶ tÝch tuyÖt ®èi. ω 1 ∀ α ∈ 3*, f(αt) ↔ F( ) v f(-t) ↔ F(-ω) (5.4.3) |α| α Chøng minh ω +∞ +∞ sgn(α) − i ( αt ) − i ωt ∫ f (αt )e dt = α −∫ f ( α t ) e α d( α t ) §æi biÕn τ = αt −∞ ∞ sin ω VÝ dô Cho f(t) = 1 | t | ≤ 1 ↔ F(ω) = 2 0 | t | > 1 ω  sin(ω / 3) sin ω 1 Ta cã g(t) = f(3t + 3) - f(t + 3) ↔ G(ω) = 2ei3ω - eØ3ω ω ω 2 4. §¹o h m gèc Gi¶ sö h m f v c¸c ®¹o h m cña nã kh¶ tÝch tuyÖt ®èi. f’(t) ↔ iωF(ω) v ∀ n ∈ ∠, f(n)(t) ↔ (iω)nF(ω) (5.4.4) Chøng minh +∞ +∞ +∞ +∞ ∫ f ′(t)e dt = f (t )e − iωt + (iω) ∫ f (t )e −iωt dt = (iω) ∫ f (t )e −iωt dt − iωt f’(t) ↔ −∞ −∞ −∞ −∞ Qui n¹p suy ra c«ng thøc thø hai. . Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 85
  2. h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 5. BiÕn §æi Fourier V BiÕn §æi Laplace .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k 5. TÝch ph©n gèc Gi¶ sö h m f v tÝch ph©n cña nã kh¶ tÝch tuyÖt ®èi. t 1 F(ω) + πF(0)δ(ω) ∫ f (τ)dτ ↔ (5.4.5) iω −∞ Chøng minh t ∫ f (τ)dτ ↔ G(ω), g’(t) = f(t) KÝ hiÖu g(t) = −∞ ∀ ω ∈ 3, (iω)G(ω) = F(ω) Theo tÝnh chÊt 4 1 G(ω) = F(ω) víi ω ≠ 0 v G(0) = πF(0)δ(ω) Suy ra iω 6. ¶nh cña tÝch chËp NÕu h m f v h m g kh¶ tÝch tuyÖt ®èi th× tÝch chËp cña chóng còng kh¶ tÝch tuyÖt ®èi. (f∗g)(t) ↔ F(ω)G(ω) (5.4.6) Chøng minh +∞ +∞ +∞ +∞   − iωt   ∫∞ −∫∞f (t − τ)g(τ)dτ e dt = ∫  ∫ f (t − τ)e dt g(τ)e − iωτ dτ − iω( t − τ ) (f∗g)(t) ↔     −    −∞ − ∞ = F(ω)G(ω) 7. HÖ thøc Parseval Gi¶ sö h m f v h m ¶nh F cña nã kh¶ tÝch tuyÖt ®èi. +∞ +∞ 1 2 ∫ | f (t) | dt = ∫ F(ω) dω 2 (5.4.7) 2π −∞ −∞ Chøng minh +∞ +∞ +∞  1 +∞ *  ∫∞  2π −∫∞F (ω)e dω dt f (t ) − itω ∫ | f (t) | dt = ∫ f (t)f (t )dt = 2 *    −∞ −∞ − +∞ +∞ +∞ 1 * 1 2 ∫∞ −∫∞f (t )e dt F (ω)dω = 2π − itω ∫ F(ω) dω =   2π −   −∞ VÝ dô t dη 1. δ(t) ↔ 1 ⇒ η(t) = ∫ δ(τ)dτ ↔ 1 + πδ(ω) v δ(t) = ↔ iω( 1 + πδ(ω)) ≡ 1 iω iω dt −∞ t 1 1 2. g(t) = ∫ f (τ)dτ = (f∗η)(t) ↔ F(ω)( + πδ(ω)) = F(ω) + πF(0)δ(ω) iω iω −∞ 1 1 1 1 1 3. f(t) = [e-λtη(t)]∗[e-µtη(t)] (λ ≠ µ) ↔ F(ω) = − = ( ) λ + iω µ + iω µ − λ λ + iω µ + iω ) 1 (e-λt - e-µt)η(t) ≡ f(t) ↔ F (t) = µ−λ . Trang 86 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
  3. h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 5. BiÕn §æi Fourier V BiÕn §æi Laplace .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k C«ng thøc ®èi ngÉu So s¸nh cÆp c«ng thøc Fourier (5.3.1) v (5.3.2) ( +∞ 1 i ( − ω) σ ∫∞f (σ)e dσ = 2π F (-ω) ≡ 2πf(-ω) f(t) ↔ F(ω) ⇒ F(t) ↔ 2π 2π − +∞ 1 1ˆ 1 −i(− t )τ ∫∞f (τ)e dτ = 2π f (-t) ≡ 2π f(-t) F(ω) ↔ f(t) ⇒ f(ω) ↔ (5.4.8) 2π − Tõ ®ã suy ra tÝnh ®èi ngÉu cña cÆp biÕn ®æi Fourier. NÕu biÕn ®æi Fourier thuËn cã tÝnh chÊt α th× biÕn ®èi Fourier nghÞch còng cã tÝnh chÊt ®ã chØ sai kh¸c mét h»ng sè 2π v biÕn sè cã dÊu ng−îc l¹i. Chóng ta cã c¸c c«ng thøc sau ®©y. eiαtf(t) ↔ F(ω - α) ∀α∈3 2’. DÞch chuyÓn ¶nh (5.4.2’) 1 t ∀ α ∈ 3* f ( ) ↔ F(αω) 3’. §ång d¹ng (5.4.3’) |α| α - itf(t) ↔ F’(ω) v ∀ n ∈ ∠, (-it)nf(t) ↔ F(n)(ω) 4’. §¹o h m ¶nh (5.4.4’) ω - 1 f(t) + πf(0)δ(t) ↔ ∫ F(σ)dσ 5’. TÝch ph©n ¶nh (5.4.5’) it −∞ +∞ 1 1 ∫∞F(σ)G(ω − σ)dσ = 2π (F∗G)(ω) f(t)g(t) ↔ 6’. ¶nh cña tÝch (5.5.6’) 2π − VÝ dô 2λ 2λ f(t) = e-λ|t| (λ > 0) ↔ F(ω) = ⇒ g(t) = 2 2 ↔ G(ω) = 2πe-λ|ω| 1. λ +t λ +ω 22 1 11 (Rea > 0) ↔ f(t) = e-atη(t) ⇒ G(ω) = e-aωη(ω) ↔ g(t) = F(ω) = 2. a + iω 2 π a − it iαt u(t) =1 ↔ 2πδ(ω) ⇒ ∀ α ∈ 3, e ↔ 2πδ(ω - α) 3. π π 1 1 -iαt f(t) = sinαt = eiαt - e ↔ F(ω) = δ(ω - α) - δ(ω + α) 2i 2i i i 1π π G(ω) = sinαω ↔ g(t) = ( δ(-t - α) + δ(-t + α)) 2π i i §5. T×m ¶nh, gèc cña biÕn ®æi Fourier • Tõ cÆp c«ng thøc ®èi ngÉu (5.4.8) suy ra r»ng nÕu chóng ta cã ®−îc mét c«ng thøc cho h m ¶nh th× sÏ cã c«ng thøc t−¬ng tù cho h m gèc v ng−îc l¹i. V× vËy trong môc n y chóng ta chØ ®−a ra c«ng thøc t×m ¶nh hoÆc c«ng thøc t×m gèc. . Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 87
  4. h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 5. BiÕn §æi Fourier V BiÕn §æi Laplace .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k ¶nh cña h m tuÇn ho n Do h m mò g(ω) = e-iωt tuÇn ho n víi chu kú T = 2π nªn h m ¶nh F(ω) lu«n l h m tuÇn ho n víi chu kú T = 2π. Ng−îc l¹i, ta cã +∞ 1 dt = eiαt − iωt ∫ 2πδ(ω − α)e ∀ α ∈ 3, F1(ω) = 2πδ(ω - α) ↔ f1(t) = 2π −∞ NÕu h m f(t) l h m tuÇn ho n chu kú T, khai triÓn Fourier T +∞ f (t )e − ikαt dt , k ∈ 9 v α = 2π 1 ∑ a k e ikαt víi ak = T∫ f(t) = T -∞ 0 Do tÝnh tuyÕn tÝnh +∞ ∑a f(t) ↔ F(ω) = 2 πδ(ω − kα ) (5.5.1) k -∞ VÝ dô +∞ 1 ∑ δ(t − nT ) tuÇn ho n chu kú l T v ∀ k ∈ 9, a k = 1. H m f(t) = suy ra T −∞ 2 π +∞ 2π +∞ ∑ δ(t − nT ) ↔ F(ω) = ∑ δ(ω − k T ) f(t) = T −∞ −∞ 1 -iαt 1 iαt 2. Ta cã f(t) = cosαt = e + e ↔ F(ω) = πδ(ω + α) + πδ(ω - α) suy ra 2 2 +∞ 1 1 1 ∫∞F(σ)G(ω − σ)dσ = 2 G(ω + α) + 2 G(ω - α) víi g(t) ↔ G(ω) f(t)g(t) ↔ 2π − ¶nh cña h m trÞ thùc KÝ hiÖu f*(t) l liªn hîp phøc cña h m f(t). Khi ®ã nÕu h m f kh¶ tÝch tuyÖt ®èi th× h m f* còng kh¶ tÝch tuyÖt ®èi v ta cã * +∞  +∞  ∫∞f (t )e dt =  −∫∞f (t )e dt  = F (- ω) − i ωt − i ( − ω) t * *     − Tõ ®ã suy ra c«ng thøc f*(t) ↔ F*(-ω) (5.5.2) • Gi¶ sö ∀ ω ∈ 3, F(ω) = R(ω) + iI(ω) = |F(ω)| eΦ(ω) NÕu f(t) l h m trÞ thùc f*(t) = f(t) ⇒ F*(-ω) = R(-ω) - iI(-ω) ≡ F(ω) = R(ω) + iI(ω) Tõ ®ã suy ra R(-ω) = R(ω), I(-ω) = - I(ω) v |F(-ω)| = |F(ω)|, Φ(-ω) = - Φ(ω) (5.5.3) NÕu f(t) l h m trÞ thùc v ch½n f*(t) = f(t) v f(-t) = f(t) ⇒ F*(-ω) = F(-ω) = F(ω) l h m trÞ thùc v ch½n NÕu f(t) l h m trÞ thùc v lÎ . Trang 88 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
  5. h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 5. BiÕn §æi Fourier V BiÕn §æi Laplace .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k f*(t) = f(t) v f(-t) = - f(t) ⇒ F*(-ω) = - F(-ω) = F(ω) l h m thuÇn ¶o v lÎ NÕu f(t) l h m trÞ thùc bÊt k×, ph©n tÝch 1 1 f(t) = [(f(t) + f(-t)] + [f(t) - f(-t)] = Ef(t) + Of(t) 2 2 víi Ef l h m ch½n v Of l h m lÎ. Dïng tÝnh tuyÕn tÝnh v c¸c kÕt qu¶ ë trªn f(t) ↔ R(ω) + iI(ω) = F(ω) (5.5.4) 2λ 1 VÝ dô f(t) = e-λ|t| = 2E{ e-λtη(t) } (λ > 0) ↔ F(ω) = 2Re{ }= 2 λ + iω λ + ω2 Gèc cña h m h÷u tû Ta ® cã 1 (Rea > 0) ↔ e-atη(t) (5.5.5) a + iω Sö dông c«ng thøc ®¹o h m ¶nh v qui n¹p suy ra t n −1 1 (Rea > 0) ↔ e-atη(t) (5.5.6) ( n − 1)! (a + iω) n XÐt tr−êng hîp h m F(ω) l mét ph©n thøc h÷u tû thùc sù. Do h m F(ω) kh¶ tÝch tuyÖt ®èi nªn nã kh«ng cã cùc ®iÓm thùc. Tr−íc hÕt chóng ta ph©n tÝch F(ω) th nh tæng c¸c ph©n thøc ®¬n v ph©n thùc béi. Sau ®ã sö dông c¸c c«ng thøc (5.4.1) - (5.4.7’) ®Ó ®−a vÒ c¸c tr−êng hîp trªn. Trong c¸c tr−êng hîp phøc t¹p h¬n cã thÓ ph¶i dïng ®Õn c¸c c«ng thøc ¶nh cña tÝch hoÆc ¶nh cña tÝch chËp ®Ó t×m gèc. VÝ dô T×m gèc cña ph©n thøc (iω) 2 + 3iω + 2 B C 1. F(ω) = =A+ + 3 + iω (3 + iω) 2 (iω) + 6iω + 9 2 1 2 ↔ f(t) = δ(t) - e-3tη(t) + 2te-3tη(t) =1- + 3 + iω (3 + iω) 2 2ω − 1 2ω − 1 A B 2. F(ω) = = = + − (iω) + 4i(iω) + 5 1 + 2i − iω 1 − 2i + iω ω − 4ω + 5 2 2 −2+i 2+i ↔ f(t) = (-2 + i)e-(1+2i)tη(t) - (2 + i)e-(1-2i)tη(t) = - 1 + 2 i − iω 1 − 2 i + iω Ph−¬ng tr×nh vi ph©n hÖ sè h»ng Cho ph−¬ng tr×nh vi ph©n hÖ sè h»ng N M ∑a y (t ) = ∑ b j x ( j) (t ) víi N ≥ M (k) (5.5.7) k k =0 j =0 ChuyÓn qua ¶nh . Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 89
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2