Giáo trình Hình học vi phân (Dành cho hệ đào tạo từ xa)

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:116

Thêm vào BST

Báo xấu

13
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Giáo trình Hình học vi phân (Dành cho hệ đào tạo từ xa) được biên soạn gồm các nội dung chính sau: phép tính vi phân trong R; lí thuyết đường trong mặt phẳng và không gian; lí thuyết mặt trong không gian. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình Hình học vi phân (Dành cho hệ đào tạo từ xa)

§¹i Häc HuÕ Trung t©m ®µo t¹o tõ xa ts. TrÇn ®¹o dâng - ts. TrÇn vui - ts. lª anh vò Gi¸o tr×nh H×nh häc vi ph©n S¸ch dïng cho hÖ ®µo t¹o tõ xa HuÕ - 2008 1
Lêi nãi ®Çu H×nh häc vi ph©n lµ mét ngµnh cña h×nh häc trong ®ã c¸c ®èi tîng h×nh häc ®îc nghiªn cøu b»ng ph¬ng ph¸p cña gi¶i tÝch to¸n häc mµ tríc hÕt ®ã lµ phÐp tÝnh vi ph©n. C¸c ®èi tîng quan träng nhÊt cña h×nh häc vi ph©n lµ c¸c ®êng, c¸c mÆt trong kh«ng gian Euclide th«ng thêng vµ c¸c hä (liªn tôc) cña chóng. NÕu h×nh häc s¬ cÊp vµ h×nh häc gi¶i tÝch nãi riªng, h×nh häc tuyÕn tÝnh (tæng qu¸t nhiÒu chiÒu cña h×nh häc s¬ cÊp) nãi chung còng nghiªn cøu c¸c ®êng, c¸c mÆt mét c¸ch t¸ch biÖt hoÆc ®«i khi còng kh¶o s¸t mét vµi hä ®Æc biÖt nµo ®ã cña ®êng vµ mÆt th× bao qu¸t h¬n h¼n lµ h×nh häc vi ph©n u tiªn kh¶o s¸t tÊt c¶ c¸c ®êng, c¸c mÆt bÊt k× miÔn lµ cã thÓ m« t¶ chóng b»ng c¸c ph¬ng tr×nh gi¶i tÝch. §Æc trng c¬ b¶n cña h×nh häc vi ph©n lµ nghiªn cøu c¸c tÝnh chÊt cña c¸c ®èi tîng h×nh häc (c¸c ®êng, c¸c mÆt vµ c¸c hä cña chóng). C¸c tÝnh chÊt nµy ®îc gäi lµ c¸c tÝnh chÊt vi ph©n. PhÇn ®Çu trong h×nh häc vi ph©n ngêi ta nghiªn cøu c¸c tÝnh chÊt vi ph©n cña c¸c ®èi tîng h×nh häc mµ c¸c tÝnh chÊt nµy kh«ng thay ®æi (bÊt biÕn) qua c¸c phÐp biÕn h×nh. PhÇn nµy cña h×nh häc vi ph©n gäi lµ h×nh häc cæ ®iÓn. C¸c híng nghiªn cøu míi cña h×nh häc vi ph©n bao gåm : 1) LÝ thuyÕt nghiªn cøu c¸c tÝnh chÊt vi ph©n cña c¸c ®èi tîng h×nh häc trong kh«ng gian Euclide bÊt biÕn ®èi víi c¸c phÐp affine, x¹ ¶nh hay c¸c biÕn ®æi kh¸c. 2) LÝ thuyÕt nghiªn cøu c¸c tÝnh chÊt vi ph©n cña c¸c ®èi tîng h×nh häc trong kh«ng gian phi Euclide. Lo¹i bá c¸c tÝnh chÊt riªng biÖt cña c¸c ®èi tîng h×nh häc ®îc nghiªn cøu trong h×nh häc vi ph©n, tæng qu¸t ho¸ c¸c tÝnh chÊt chung 2
nhÊt cña chóng, ngêi ta ®i ®Õn kh¸i niÖm ®a t¹p vi ph©n chøa c¸c kh¸i niÖm vÒ c¸c ®êng, c¸c mÆt, hä c¸c ®êng, c¸c mÆt trong kh«ng gian Euclide vµ phi Euclide còng nh chÝnh c¸c kh«ng gian Êy nh lµ c¸c trêng hîp ®Æc biÖt. Nh vËy, c¸c ®a t¹p vi ph©n chÝnh lµ c¸c ®èi tîng tæng qu¸t cña h×nh häc vi ph©n. Gi¸o tr×nh nµy ®îc viÕt trªn c¬ së tãm lîc nh÷ng bµi gi¶ng vÒ h×nh häc vi ph©n mµ c¸c t¸c gi¶ ®· gi¶ng trong nhiÒu n¨m t¹i Khoa To¸n Trêng §¹i häc S ph¹m HuÕ, cã c©n nh¾c ®Õn tÝnh võa søc ®èi víi c¸c ®èi tîng míi-c¸c häc viªn ®µo t¹o tõ xa. VÒ bè côc vµ néi dung, gi¸o tr×nh gåm 3 ch¬ng : Ch¬ng 1 : PhÐp tÝnh vi ph©n trong n. Ch¬ng 2 : LÝ thuyÕt ®êng trong mÆt ph¼ng vµ kh«ng gian. Ch¬ng 3 : LÝ thuyÕt mÆt trong kh«ng gian. Ngoµi ra cßn cã mét hÖ thèng bµi tËp sau mçi ch¬ng vµ phÇn híng dÉn gi¶i bµi tËp. Ch¬ng 1 tr×nh bµy c¸c kiÕn thøc c¬ së, Ch¬ng 2 vµ Ch¬ng 3 dµnh cho viÖc giíi thiÖu nh÷ng néi dung c¬ b¶n nhÊt cña lÝ thuyÕt c¸c ®êng vµ mÆt trong mÆt ph¼ng vµ kh«ng gian. Do khu«n khæ h¹n chÕ cña gi¸o tr×nh, ®ång thêi còng ®Ó phï hîp víi ®èi tîng, chóng t«i ®· kh«ng ®a vµo phÇn nhËp m«n vÒ lÝ thuyÕt c¸c ®a t¹p vi ph©n còng nh c¸c kiÕn thøc c¬ së kh¸c cã liªn quan. V× lµ lÇn ®Çu tiªn biªn so¹n cho hÖ ®µo t¹o míi nªn ch¾c ch¾n kh«ng thÓ tr¸nh khái nh÷ng thiÕu sãt. C¸c t¸c gi¶ rÊt mong nhËn ®îc nhiÒu ý kiÕn ®ãng gãp cña ®ång nghiÖp gÇn xa còng nh cña b¹n ®äc víi môc ®Ých chung lµ gãp phÇn cïng Trung t©m §µo t¹o tõ xa cña §¹i häc HuÕ cã méthÖ thèng gi¸o tr×nh hoµn thiÖn h¬n. C¸c t¸c gi¶ ch©n thµnh c¶m ¬n PTS. Lª V¨n ThuyÕt ®· ®äc vµ cho nh÷ng gãp ý gióp hoµn thiÖn gi¸o tr×nh nµy. HuÕ, th¸ng 12 n¨m 1997 C¸c t¸c gi¶ 3
Híng dÉn ®äc gi¸o tr×nh (dµnh cho häc viªn) §Ó cã thÓ ®äc tèt gi¸o tr×nh nµy, häc viªn cÇn ph¶i n¾m v÷ng nh÷ng kiÕn thøc c¬ b¶n vÒ §¹i sè tuyÕn tÝnh, vÒ c¸c bé m«n H×nh häc cao cÊp vµ H×nh häc gi¶i tÝch (Affine, Euclide) vµ phÐp tÝnh vi tÝch ph©n mét chiÒu. VÒ ph¬ng ph¸p nghiªn cøu gi¸o tr×nh, häc viªn cÇn lu ý mét sè ®iÓm sau : 1. §äc thËt cÈn thËn lÝ thuyÕt, ®Æc biÖt lµ c¸c kh¸i niÖm, nhËn xÐt, c¸c tÝnh chÊt, ®Þnh lÝ. C¸c nhËn xÐt sau mçi kh¸i niÖm hay ®Þnh lÝ thêng lµ nh÷ng bæ sung, gi¶i thÝch nh»m gióp viÖc hiÓu vµ vËn dông c¸c kh¸i niÖm, ®Þnh lÝ ®îc s©u s¾c h¬n. 2. Cè g¾ng ®éc lËp gi¶i c¸c bµi tËp tríc khi xem híng dÉn. HoÆc Ýt ra còng nªn tù gi¶i l¹i cÈn thËn bµi tËp sau khi ®· xem híng dÉn. C¸c t¸c gi¶ mong vµ chóc c¸c b¹n thµnh c«ng. 4
Häc phÇn : H×nh häc vi ph©n Ch¬ng 1 PhÐp tÝnh vi ph©n trong n §1. S¬ lîc vÒ T«P« trong n. 1.1. Nh¾c l¹i c¸c kh«ng gian n vµ n TËp hîp n = x = (x1, ..., xn)x1, ..., xn   víi hai phÐp to¸n     x 1 , ..., x n  y1 , ..., y n     :  x 1  y1 , ..., x n  y n  1 . x , ..., x  n :   x , ..., x  ,    1 n lËp thµnh mét kh«ng gian vector n - chiÒu trªn . C¬ së chÝnh t¾c cña n lµ e1 = (1, 0, ..., 0), e2 = (0, 1, ..., 0), ..., en = (0, ..., 0, 1). Cã thÓ xem n lµ kh«ng gian affine n - chiÒu liªn kÕt víi chÝnh nã bëi ¸nh x¹ liªn kÕt   (x, y)  xy = y - x, x, y  n. Trong n xÐt tÝch v« híng chÝnh t¾c n i i (x1, ..., xn).(y1, ..., yn) = x y i 1 5
th× n víi tÝch v« híng nµy lËp thµnh mét kh«ng gian vector Euclide  n - chiÒu, kÝ hiÖu lµ  n .  Khi ®ã x = (x1, ..., xn)   n ta ®Þnh nghÜa n 2 x = x. x  x  i 1 i gäi lµ ®é dµi hay chuÈn cña vector x. Tõ ®Þnh nghÜa ta cã  (1) x  0, x   n , x = 0  x = 0.  (2) x.y  x.y, x, y   n , dÊu b»ng x¶y ra khi vµ chØ khi hÖ x, y phô thuéc tuyÕn tÝnh.  (3) x  y  x  y  x  y , x, y   n .  (4) x   . x ,   , x   n . Ta thÊy c¬ së chÝnh t¾c e1, ..., en) cña n chÝnh lµ c¬ së trùc chuÈn  cña kh«ng gian vector Euclide  n . Kh«ng gian affine n víi tÝch v« híng chÝnh t¾c gäi lµ kh«ng gian Euclide n - chiÒu  n . LÊy O   n th× O ; e1, ..., en lµ mét môc tiªu trùc chuÈn cña  n , gäi lµ môc tiªu chÝnh t¾c. Ta ®Þnh nghÜa d(x, y) = x  y , x, y   n , gäi lµ kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®iÓm x, y trong  n . 1.2. TËp con më, ®ãng vµ sù héi tô trong n Ta gäi B(x0, ) = x  n x  x 0 <  lµ h×nh cÇu më n - chiÒu t©m x0, b¸n kÝnh . 6
1.2.1. §Þnh nghÜa. U  n gäi lµ tËp më nÕu x0  U, tån t¹i  =  (x0) > 0 sao cho B(x0, )  U. HÖ c¸c tËp më cña n lËp thµnh mét t«p« gäi lµ t«p« th«ng thêng trªn n. TËp V  n gäi lµ ®ãng nÕu U = n \V më trong n. TËp S  n gäi lµ l©n cËn cña x  n nÕu tån t¹i  > 0 sao cho B(x, )  S. 1.2.2. Héi tô D·y xk  n gäi lµ héi tô vÒ x0  n nÕu d·y sè x  x0  0 trong . KÝ hiÖu xk  x0. §iÓm x  n gäi lµ héi tô ®Õn x0  n cho tríc nÕu d·y sè x  x0  0 trong . KÝ hiÖu x  x0. §2. Hµm vector. §¹o hµm cña hµm vector 2.1. Hµm vector Cho U  n vµ xÐt ¸nh x¹ f: U m x  f(x) = (y1, ..., ym). Víi mçi j = 1, m ¸nh x¹ j : m   (y1, ..., ym)  yj 7
gäi lµ phÐp chiÕu chÝnh t¾c thø j. Khi ®ã f j = j  f : U   lµ hµm trªn U, gäi lµ hµm thµnh phÇn (thø j) cña f. H¬n n÷a ta cã f(x) = (f 1(x), ..., f m(x)), x  U. Ta gäi f lµ hµm vector víi m hµm thµnh phÇn f 1, ..., f m. KÝ hiÖu f = (f 1, ..., f m ). 2.2. Hµm vector liªn tôc 2.2.1. §Þnh nghÜa. Hµm vector f : U  n  m gäi lµ liªn tôc t¹i x0  U nÕu  > 0,  > 0 : x  U, x  x0 <   f  x   f  x 0    . Ta nãi f liªn tôc trªn U nÕu f liªn tôc t¹i mäi x  U. 2.2.2. NhËn xÐt (1) NÕu U  n vµ f : U   th× ®Þnh nghÜa trªn trïng víi ®Þnh nghÜa vÒ hµm liªn tôc th«ng thêng. (2) f = (f 1, ..., f m) liªn tôc trªn U  f i liªn tôc trªn U, i = 1, m . (3) Cho f : U  n  m vµ g : V  m  p liªn tôc. Khi ®ã g  f : U  p liªn tôc. 2.2.3. VÝ dô (1) Mäi ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh f : n  m ®Òu liªn tôc. (2) Mäi phÐp tÞnh tiÕn tx0 : n  n, x  x0 + x, víi x0  n cho tríc, ®Òu liªn tôc. 2.3. Hµm vector kh¶ vi 8
2.3.1. §Þnh nghÜa. Cho U më trong n. Hµm vector f : U  m gäi lµ kh¶ vi t¹i x0  U nÕu tån t¹i mét ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh  :   n  m sao cho f  x0  h   f  x0     h  lim  0. h0 h ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh  ®îc gäi lµ ®¹o hµm cña f t¹i x0, kÝ hiÖu  = Df(x0). Ta gäi f kh¶ vi trªn U nÕu f kh¶ vi t¹i mäi x0  U. NÕu f kh¶ vi t¹i x0, ta ®Þnh nghÜa h¹ng cña f t¹i x0, kÝ hiÖu rank x 0 ( f ), lµ h¹ng cña ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh Df(x0). 2.3.2. §Þnh lÝ. §¹o hµm cña hµm vector f : U  m t¹i x0  U nÕu tån t¹i th× duy nhÊt. Chøng minh Gi¶ sö f kh¶ vi t¹i x0  U vµ  = Df(x0). NÕu cã  : n  m lµ ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh còng tho¶ m·n f  x0  h   f  x 0     h  lim  0, h0 h th×   h     h     h   f  x0  h   f  x0   f  x0   f  x0  h    h   f  x0  h   f  x 0     h   f  x 0  h   f  x0     h  nªn  ( h)   ( h) lim  0. h0 h Râ rµng (0) = (0) = 0. 9
Ngoµi ra x  0, t  , tx  0  t  0. Do ®ã  vµ  tuyÕn tÝnh nªn x  n ta cã   tx     tx  x  x 0  lim  lim t0 tx t0 x x  x = . x Hay (x) = (x), x  n. Nãi c¸ch kh¸c :  = . 2.3.3. VÝ dô vµ nhËn xÐt (1) f : n  m, f(x) = c, c lµ h»ng sè, x  n. Ta cã Df (x0) = 0, x0  n. (2) NÕu f : n  m lµ ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh th× Df(x0) = f, x0  n. (3) Gäi x = x - x0 = h lµ sè gia cña biÕn vµ f = f(x) - f(x0) lµ sè gia cña hµm f. Râ rµng f kh¶ vi t¹i x0 nÕu vµ chØ nÕu f    x   o  x  (v« cïng bÐ cÊp cao h¬n x ) ; tøc lµ sè gia f cña hµm f ®îc xÊp xØ bëi mét biÓu thøc tuyÕn tÝnh (x) cña sè gia cña biÕn khi bá qua mét v« cïng bÐ cÊp cao h¬n sè gia cña biÕn. Ta còng nãi (mét c¸ch n«m na) nÕu f kh¶ vi t¹i x0 th× khi x ®ñ gÇn x0, cã thÓ xÊp xØ f bëi mét ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh  (mµ ®îc gäi lµ ®¹o hµm cña f t¹i x0). 10
(4) Khi m = n = 1, hµm f : I = (a, b)   lµ kh¶ vi (theo ®Þnh nghÜa trªn) t¹i x0  I khi vµ chØ khi f cã ®¹o hµm f ( x0 ) (¸nh x¹ tuyÕn tÝnh  chÝnh lµ ¸nh x¹    cho bëi phÐp nh©n víi f ( x 0 )) (5) Hµm f : A  m (A lµ tËp con kh«ng nhÊt thiÕt më trong n) gäi lµ kh¶ vi trªn A nÕu tån t¹i mét U më trong n, A  U vµ mét hµm f : U  m kh¶ vi sao cho f = f. 2.3.4. TÝnh chÊt (1) f = (f 1, ..., f m) kh¶ vi t¹i x0  f i kh¶ vi t¹i x0, i = 1, m vµ ta cã Df(x0) = (Df 1(x0), ..., Df m(x0)). (2) D(f + g)(x0) = Df(x0) + Dg(x0), D(g  f)(x0) = Dg(f(x0))  Df(x0). (3) Cho f, g : n  n kh¶ vi t¹i x0. Khi ®ã f  g kh¶ vi t¹i x0 vµ ta cã D(f  g)(x0) = g(x0)  Df(x0) + f(x0)  Dg(x0). 2.4. Ma trËn Jacobi vµ ®¹o hµm riªng 2.4.1. Ma trËn Jacobi Ma trËn cña ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh Df(x0) ®èi víi cÆp c¬ së chÝnh t¾c cña n vµ m gäi lµ ma trËn Jacobi cña f t¹i x0, kÝ hiÖu f (x0). Nh vËy, f (x0) lµ ma trËn thùc cÊp m  n (m dßng n cét). Ngoµi ra h = (h1, ..., hn)  n ta cã Df(x0)(h) = f (x0)  [h], víi [h] lµ ma trËn cét cña vector h. 11
Khi m = n, cã thÓ xÐt ®Þnh thøc det f (x0), kÝ hiÖu Jf(x0) gäi lµ ®Þnh thøc hµm Jacobi cña f t¹i x0 hay Jacobien cña f t¹i x0. Tõ ®Þnh nghÜa ta suy ra : (g  f)(x0) = g(f(x0))  f (x0). 2.4.2. §¹o hµm riªng Cho U më trong n vµ f : U  , x0  U. NÕu tån t¹i lim  0 i i n  1  f x 1 , ..., x0  1 , x 0  h, x0  1 , ..., x 0  f x 0 , ..., x0 i n  h0 h th× gi¸ trÞ nµy gäi lµ ®¹o hµm riªng thø i cña f t¹i x0, kÝ hiÖu lµ f Di f(x0) hay i  x0  , víi i = 1, n . x Tõ ®Þnh nghÜa ta cã : (1) Di f(x0)  , i = 1, n . (2) NÕu f cã ®¹o hµm riªng Dif(x0) t¹i mäi x  U, ta x¸c ®Þnh ®îc ¸nh x¹ Di f : U  . Tõ ®ã ta x¸c ®Þnh ®îc ®¹o hµm riªng cña Dif t¹i x0 k.h Dj (Di f)(x0)   Dij (x0) gäi lµ ®¹o hµm riªng hçn hîp cÊp 2 cña f t¹i x0. T¬ng tù, ta cã thÓ ®Þnh nghÜa ®¹o hµm riªng hçn hîp cÊp k tuú ý t¹i x0 (k  1) kÝ hiÖu Di1 ... ik f(x0) x¸c ®Þnh bëi    Di1 ... ik f(x0) = Dik Dik  1 ... Di1 f   ...  x  . 0 2.4.3. NhËn xÐt (1) NÕu Dij vµ Dji liªn tôc trªn mét tËp më chøa x0 th× Dij f(x0) = Dji f(x0). (2) Ta còng cã nhËn xÐt t¬ng tù nhËn xÐt (1) ®èi víi c¸c ®¹o hµm riªng hçn hîp cÊp k  1 tuú ý (nÕu chóng tån t¹i). 12
Trêng hîp f cã ®¹o hµm riªng mäi cÊp, ta viÕt f  C . Khi ®ã thø tù lÊy ®¹o hµm trong Di1 ....ik f  x0  lµ kh«ng quan träng. 2.4.4. §Þnh nghÜa Hµm f : U   m, U më trong  n, gäi lµ kh¶ vi líp C r, r  1, trªn U nÕu c¸c hµm thµnh phÇn f 1, ..., f m cña f kh¶ vi líp C r, tøc lµ víi mäi k  r, tån t¹i k f i c¸c ®¹o hµm riªng liªn tôc, víi ki  0, i = 1, 2,..., n vµ k1 + k2 + ...  k1 x 1 ... kn x n + kn = k. Hµm f liªn tôc ®îc gäi lµ kh¶ vi líp C0. Quy íc. Tõ nay trë ®i nÕu kh«ng nhÊn m¹nh, ta chØ xÐt nh÷ng hµm f  C gäi lµ hµm tr¬n. 2.5. C¸c ®Þnh lÝ c¬ b¶n 2.5.1. §Þnh lÝ (BiÓu thøc tÝnh ®¹o hµm nhê ®¹o hµm riªng) Cho ¸nh x¹ f = (f 1, f 2, ..., f m) : n  m kh¶ vi t¹i a  n. Khi ®ã tån t¹i c¸c ®¹o hµm riªng Dj f i(a), i = 1, m , j = 1, n vµ ta cã  D1 f 1  a   Dn f 1  a   k.h   f (a) =         Dj f i  a   mn .  D f m  a  D f m  a   1 n  mn Chøng minh XÐt trêng hîp m = 1 : Ta cã f : n  . X¸c ®Þnh h :   n, h(x) = (a1, ..., aj 1 , x, aj + 1, ..., an) ta cã theo quy t¾c ®¹o hµm cña hµm sè hîp 13
0    Dj f(a) = (f  h)(a ) = f (a)h (a ) = f (a).  1   vÞ trÝ thø j. j j    0   Do (f  h)(a j) cã Dj f(a) lµ phÇn tö duy nhÊt chøng tá Dj f(a) tån t¹i vµ lµ phÇn tö thø j cña ma trËn f (a) cÊp 1  n. Trêng hîp m tuú ý, ®Þnh lÝ suy ra tõ tÝnh chÊt 2.3.4 ; theo ®ã mçi hµm thµnh phÇn f i lµ kh¶ vi vµ dßng thø i cña ma trËn f (a) lµ (f i)(a). 2.5.2. §Þnh lÝ. (Tiªu chuÈn kh¶ vi) Cho f = (f 1, f 2, ..., f m) : n  m vµ a  n. NÕu tÊt c¶ c¸c ®¹o hµm riªng Dj f(x) tån t¹i trªn mét tËp më chøa a vµ liªn tôc t¹i a th× f kh¶ vi t¹i a. Chøng minh Còng nh khi chøng minh ®Þnh lÝ 2.5.1, chØ cÇn xÐt trêng hîp m = 1, tøc lµ f : n  . Ta cã : f(a + h) - f(a) = f(a1 + h1, a2, ..., a n) - f(a1, a2, ..., a n) + f(a1 + h1, a2 + h2, a3, ..., a n) - f(a1 + h1, a2, ..., a n) + ... + + f(a1 + h1, ..., a n + h n) - f(a1 + h1, ..., a n - 1 + h n - 1, a n). Do Di f(x) lµ ®¹o hµm cña hµm g(x) = (x, a 2, ..., a n) nªn ¸p dông ®Þnh lÝ gi¸ trÞ trung b×nh ta cã : f(a1 + h1, a2, ..., a n) - f(a1, ..., a n ) = h1D1(b1, a2, ..., a n). trong ®ã b1 lµ sè n»m gi÷a a1 vµ a1 + h1. T¬ng tù, ta tÝnh ®îc sè h¹ng thø i cña tæng b»ng : hiDif(a1 + h1, ..., a i - 1 + h i - 1, b i, a i + 1, ..., a n) = hiDi f(c i), víi c i nµo ®ã, i = 1, n . Suy ra : 14
n f  a  h   f  a   Df  a  h   D f c   D f a h  i 1 i i i i lim  lim h0 h h0 h n  lim h0   D f c   D f  a i 1 i i i  0, do Di f liªn tôc t¹i a. Trêng hîp m tuú ý, ¸p dông tÝnh chÊt 2.3.4 ta suy ra ®îc tÝnh kh¶ vi cña f t¹i a. 2.5.3. §Þnh lÝ. (Quy t¾c lÊy ®¹o hµm cña hµm sè hîp) Cho f = (f 1, ..., f m) : n  m, x  f(x) = y kh¶ vi t¹i a  n vµ g : m   kh¶ vi t¹i f(a). Khi ®ã F = g  f kh¶ vi t¹i a vµ ta cã : m Di F(a) = Di (g  f)(a) =   D g  (f(a)).D f j 1 j i j (a), i = 1, n  g f j m (hoÆc i (g  f) = 1 y j . x i , i = 1, n ). x j Chøng minh. Ta cã F(a) = (g  f)(a) = g(f(a)).f(a)  D1 f 1  a  Dn f 1  a     = (D1g(f(a))  Dmg(f(a)))     D f m  a  D f m  a    1 n  = (D1F(a)  DnF(a)). §ång nhÊt hai vÕ theo tõng h¹ng tö ta suy ra ®iÒu cÇn chøng minh. 2.6. H¹ng cña ¸nh x¹ kh¶ vi vµ vi ph«i 2.6.1. H¹ng cña ¸nh x¹ kh¶ vi 15
Cho U më trong n vµ f : U  m kh¶ vi líp C r t¹i a  U. Theo ®Þnh nghÜa ë 2.3.1 h¹ng cña f t¹i a, kÝ hiÖu ranka(f), chÝnh lµ h¹ng cña ma ®n trËn Jacobi cña f t¹i a, tøc lµ ranka(f)  rankf (a). Tõ ®Þnh nghÜa ta suy ra ranka(f)  min(n, m). NÕu ranka(f) = min(n, m) ta gäi a lµ ®iÓm chÝnh quy cña f vµ gäi a lµ ®iÓm k× dÞ trong trêng hîp ranka(f) < min(n, m). 2.6.2. Vi ph«i Cho U, V më trong  n vµ f : U  V lµ song ¸nh. NÕu f vµ f 1 ®Òu  kh¶ vi líp C k th× f gäi lµ vi ph«i líp C k. Vi ph«i líp C gäi lµ vi ph«i tr¬n. Cho U më trong n vµ f : U   n , x0  U. Ta nãi f vi ph«i tr¬n ®Þa ph¬ng t¹i x0 nÕu tån t¹i mét l©n cËn U0  x0 sao cho f U0 : U0  f(U0) lµ vi ph«i tr¬n. 2.7. §Þnh lÝ hµm Èn vµ ®Þnh lÝ hµm ngîc 2.7.1. VÝ dô më ®Çu Gi¶ sö U, V lÇn lît lµ c¸c tËp më trong n, m vµ f : U  V  m lµ hµm vector kh¶ vi liªn tôc trªn U  V. XÐt ph¬ng tr×nh f(x, y) = 0, (x, y)  U  V. (1) Ta ®Æt c©u hái : Khi nµo th× ph¬ng tr×nh (1) cã thÓ gi¶i ®îc theo x, tøc lµ t×m ®îc mét biÓu thøc (hµm) y = y(x) 16
sao cho f(x, y(x)) = 0 ? §Ó tr¶ lêi c©u hái nµy, tríc hÕt ta h·y xÐt mét trêng hîp ®Æc biÖt nhng lÝ thó. XÐt hä ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt trªn . a11 x1  ...  a1n x n  a1 n  1 y1  a1 n  m  y m  0    (2) a x 1  ...  a x n  a 1 m y  ...  am n  m  y  0  m1  mn m  n  1 gåm m ph¬ng tr×nh n + m Èn x1, ..., xn, y1, ..., ym víi ma trËn hÖ sè A = (aij)m  (m + n) trªn . §Ó chuyÓn hÖ ph¬ng tr×nh (2) vÒ hÖ ph¬ng tr×nh (1), ®Æt f : n   m   m lµ ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh nhËn A lµm ma trËn trong c¬ së chÝnh t¾c cña n  m  n + m vµ m. Lóc ®ã (2) cã d¹ng f(x, y) = 0, víi x = (x 1, ..., x n)  n, y = (y 1, ..., y m)  m, tøc lµ d¹ng ph¬ng tr×nh (1). LÝ thuyÕt vÒ c¸c d¹ng hÖ ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh kh¼ng ®Þnh r»ng : NÕu det(aij)1  i m, n + 1  j  n + m  0 th× hÖ ph¬ng tr×nh (2) cã thÓ gi¶i ®îc theo c¸c Èn tù do x 1, x 2, ..., x n. Cô thÓ lµ tån t¹i duy nhÊt ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh g : n  m, x¸c ®Þnh bëi g(x 1, x 2, ..., x n) = (y 1(x 1, ..., x n), ..., y m(x 1 ..., x n)) sao cho 17
f(x, g(x)) = 0, víi mäi x = (x 1, ..., x n)  n. Trë l¹i trêng hîp tæng qu¸t, v× hµm f trong ph¬ng tr×nh (1) ®îc gi¶ thiÕt lµ kh¶ vi liªn tôc (líp C1), tøc lµ ë ®Þa ph¬ng cã thÓ xÊp xØ f bëi mét ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh (®¹o hµm cña nã) nªn ta hi väng cã thÓ dïng ®îc kÕt qu¶ ë trêng hîp ®Æc biÖt vÒ hÖ ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh (2). CÇn lu ý r»ng ë ®©y, chØ cã lêi gi¶i ®Þa ph¬ng (chø kh«ng ph¶i toµn côc nh trêng hîp ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh). Ngoµi ra, thay cho ma trËn A = (aij)m  (n + m) vµ gi¶ thiÕt det(aij)1  i  m , n + 1  j  n + m  0 lµ ma trËn Jacobi f (x, y) vµ cÇn cã det(Dn + j f i(x, y))  0. Tõ ®ã ta cã ®Þnh lÝ díi ®©y gäi lµ ®Þnh lÝ hµm Èn. §©y lµ mét trong nh÷ng ®Þnh lÝ trung t©m cña gi¶i tÝch nhiÒu chiÒu. Ta sÏ thõa nhËn ®Þnh lÝ nµy. 2.7.2. §Þnh lÝ (®Þnh lÝ hµm Èn) Cho U, V t¬ng øng lµ c¸c tËp më trong n, m vµ f : U  V  n lµ mét hµm kh¶ vi liªn tôc trªn U  V. Gi¶ sö f(x0, y0) = 0 t¹i mét ®iÓm (x0, y0)  U  V vµ det(Dn + j f i(x0, y0))m  n  0. Khi ®ã tån t¹i c¸c l©n cËn V(x0), W(y0) t¬ng øng cña x0 vµ y0 trong U, V vµ tån t¹i duy nhÊt mét hµm g : U(x0)  W(y0) kh¶ vi liªn tôc sao cho f(x, g(x)) = 0, x  U(x0) Hµm g ®îc gäi lµ hµm Èn (®Þa ph¬ng) x¸c ®Þnh bëi ph¬ng tr×nh f(x, y) = 0. Sö dông ®Þnh lÝ hµm Èn ta thu ®îc kÕt qu¶ sau. 2.7.3. §Þnh lÝ (®Þnh lÝ hµm ngîc ®Þa ph¬ng) 18
Cho U më trong n vµ f : U  n lµ mét hµm kh¶ vi liªn tôc . Gi¶ sö x0  U lµ ®iÓm chÝnh quy cña f. Khi ®ã tån t¹i l©n cËn U(x0) cña x0 trong U sao cho f : U(x0)  f(U(x0)) lµ vi phèi líp C1. Nãi riªng tån t¹i hµm ngîc (®Þa ph¬ng) g = f - 1 : f(U(x0))  U(x0) gäi lµ hµm ngîc (®Þa ph¬ng) cña f trong l©n cËn cña x0. Chøng minh XÐt F : n  U  n (y, x)  F(y, x) = y - f(x) vµ ®Æt y0 = f(x0). Khi ®ã F kh¶ vi liªn tôc do f kh¶ vi liªn tôc, vµ ta cã F(y0, x0) = 0. Ngoµi ra F i(y, x) = y i - f i(x), i = 1, n nªn  f 1 f 1    1    x x n   F   x        y0 , x0    y0 , x 0   n n    f  f    1  x x n  tho¶ m·n F det( )  y0 , x0  = (-1)n.detf (x0)  0. x ¸p dông ®Þnh lÝ hµm Èn, tån t¹i l©n cËn më W(y0) trong n vµ tån t¹i duy nhÊt g : W(y0)  U kh¶ vi liªn tôc sao cho g(y0) = x0 vµ y  W(y0) ta cã F(y, g(y)) = 0. §Æt U(x0) = g(W(y0)) = f - 1(W(y0)) më do f liªn tôc nªn g : W(y0)  U(x0) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn y = f(g(y)) hay g = f -1 trªn W( f(x0). §Þnh lÝ ®îc chøng minh. 19
2.8. §Þnh híng trong n Hai c¬ së () vµ ( ) cña n gäi lµ cïng híng nÕu ma trËn chuyÓn S = (sij) tõ () sang () cã det S > 0. DÔ dµng kiÓm tra ®©y lµ mét quan hÖ t¬ng ®¬ng trªn tËp hîp c¸c c¬ së cña n vµ chØ cã hai líp t¬ng ®¬ng. Ta nãi mçi líp x¸c ®Þnh mét híng trong n, hai c¬ së thuéc cïng mét líp cïng híng víi nhau. Líp cña c¬ së chÝnh t¾c x¸c ®Þnh trªn n gäi lµ híng d¬ng (hay híng chÝnh t¾c), híng cßn l¹i lµ híng ©m (hay ®èi chÝnh t¾c). PhÐp biÕn ®æi tuyÕn tÝnh  : n  n gäi lµ b¶o toµn híng (t. . ®æi híng) nÕu det > 0 (t. . det < 0). PhÐp affine cña  n gäi lµ b¶o toµn híng nÕu phÐp biÕn ®æi tuyÕn tÝnh nÒn cña f lµ b¶o toµn híng. PhÐp ®¼ng cù cña n b¶o toµn híng (t. . ®æi híng) gäi lµ phÐp dêi h×nh thuËn (t. . phÐp dêi nghÞch). §3. Trêng vector vµ trêng môc tiªu 3.1. Trêng vector 3.1.1. Kh«ng gian tiÕp xóc vµ ph©n thí tiÕp xóc Víi mçi x0  n, tËp  n0 = (x0, x)x  n = x0  n lµ mét kh«ng x gian vector Euclide víi 2 phÐp to¸n  x 0 , x    x 0 , y    x 0 , x  y      x 0 , x     x 0 , x  vµ tÝch v« híng < (x0, x), (x0, y) > = < x, y>. 20