Giáo trình Hình học vi phân: Phần 2 - Đỗ Ngọc Diệp, Nông Quốc Chinh

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:49

Thêm vào BST

Báo xấu

21
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Phần 2 cuốn giáo trình "Hình học vi phân" cung cấp cho người đọc các kiến thức: Đường cong trên mặt cong, định lý ánh xạ ngược và định lý ánh xạ ẩn, đa tạp khả vi. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình Hình học vi phân: Phần 2 - Đỗ Ngọc Diệp, Nông Quốc Chinh

C h ư ơ n g 5 Đ ư ờ n g c o n g t r ê n m ặ t c o n g 5.1 Đ ư ờ n g c o n g t r ê n m ặ t Chúng ta xét một mảnh của mặt tham số hoa v ( u \ u 2 ) : D 2 ^ R 2 - ^ S với t ọ a đ ộ đ ị a p h ư ơ n g l à ( l i , l í ) £ D . 1 2 2 M ộ t đ ư ờ n g cong t r ô n m ặ t s đ ư ợ c cho b ở i xịt) = (*V(0,t< W).^(«HOVW).*V(f). «*(*)))• a C h ú n g t a c ó v é c t ơ t i ế p x ú c x ( í ) = 0 ủ ' ( í ) , v ớ i đ ộ d à i cho b ở i hỉ Do v ậ y t í c h p h â n đ ộ d à i c ó d ạ n g sau. Mệnh đề 5.1.1 Độ dài cung trên mặt tham số hoa cho bởi công thức ỉ ||x(r)||dr= ị J Ỹ ^ ữ ^ j - Tức là ds 2 = ^2g ủ {t)ủ (t). ij i j 61
62 Dỗ Ngọc Diệp, Nông Quốc Chinh 5.2 Độ cong pháp dạng và độ cong trắc địa của đường cong trên mặt Nhận xét rằng nếu t = s là tham số hoa tự nhiên theo cung trên m ặ t cong t h ì Ui T r o n g t r ư ờ n g h ợ p ị = s l à t h a m số h o a t ự n h i ê n t h e o đ ộ d à i cung, theo c ô n g thức F r é n e t t a có T' = k.n = ^ii e + y^ủ ^:ủ . curv fc fc i j k j Theo công thức đạo hàm Weingarten ta có f^ ^ ỉ = ^ efc + ÒiJ n '• Jc f Cho n ê n r' = kn = ^2(ủ + Y^^ủ^ek + (^6yủV)n. curv k ý' ij Định nghĩa 5.2.1 Trong tham số hoa tự nhiên (t = s) knorm. ^ bịjU Xi?= y ij đ ư ợ c g ọ i l à độ cong pháp dạng. k = \\J2(ủ +ỵ rỉ ủ ủP)e \\>0 9 k ể j i k k i,j được gọi là độ cong trắc địa. Nếu kgỶ 0, ta gọi véctơ đơn vị n inner để : kg^inner = Ỵ^{ùk + ỵ2 T ìj ủ i ủ j ) k e k i,j l à v é c t ơ pháp tuyến trong.
Hình học vi phẫn 63 T h e o Đ ị n h lí P y t h a g o r a s , t a c ó h ệ q u ả sau. Hệ quả 5.2.2 h = k 2 2 4- k 2 1* — ~ K-noTnr M ệ n h đ ề 5.2.3 Trong tham số hoa bất kì . n = L Ạ g = i_Hu u) 1 n o r m [ u ) EiãtoM /(ủ, ủ ) - C h ứ n g m i n h . Suy t r ự c t i ế p t ừ c ô n g t h ứ c t í n h đ ạ o h à m c ủ a hàm hợp. • M ệ n h đ ề 5.2.4 Giả sử ki, k 2 là các độ cong chính với các phương chính tương ứng là e i , e 2 - Khi đó ta có Chứng minh. Thật vậy, //(e») = kilia) /(e.) /(eo • . • Đ ị n h n g h ĩ a 5.2.5 Với mỗi véctơ tiếp xúc ( e T S \ { 0 } , đại p lượng = Ỉ^Ũ không đổi khi ta nhân
64 Dỗ Ngọc Diệp, Nông Quốc Chinh 5.3 P h ư ơ n g c h í n h v à đ ộ c o n g G a u s s Với mỗi véctơ riêng ế của hp, hp(ẽ) = kẽ, ta có kẽ lí-A _ UM - ~ l - lí \ k{e) = = -T-T = k(s). ỉ [é) e.e Chọn cơ sở trực chuẩn {ẽ*i, 6*2} của TpS gồm các véctơ riêng của hp. T a c ó đ ị n h n g h ĩ a sau Định nghĩa 5.3.1 k(ẽi) = kị, k(ẽ ) = k 2 2 dược gọi là độ cong chính của s tại p. Mệnh đề 5.3.2 (Công thức Euler) Nếu + k sin ọ. c 2 2 2 Chứng minh. HỖ =II(Ỗ = M ở - Í = h (cosípẽip + sin (^ế ).(cosi/7ếi 2 +sin^ế ) 2 = (/ri cos ếi + k sin v?ế ).(cos t^ẽ*! + s i n ự>ể ). 2 2 2 ũ Hệ quả 5.3.3 í. Các độ cong chính kị, k là các, cực trị của độ 2 cong pháp dạng k(i) khi f thay đổi trên TpS \ { 0 } . 2. Nếu các độ cong chính ki,k có cùng dấu thì độ cong pháp 2 dạng k(Ẹ) củng có cùng dấu đó. Nếu các độ cong chính khác dấu nhau thì luôn tồn tại phương
Hình học vi phân 65 5.4 M ộ t số t í n h c h ấ t đ ặ c t r ư n g c ủ a đ ư ờ n g trên mặt cong Định nghĩa 5.4.1 Véctơ tiếp xúc a e TpS được gọi là phương tiệm cận, nếu /7(a,a) = ^ 6 i j a V = 0. y Dường tiệm cận là đường mà tại mỗi điểm k n o r m = 0. Hệ quả 5.4.2 Nếu tại điểm p e s, K{P) < 0 thì tồn tại phương tiệm cận tại p, nếu K( ) P > 0 thì không có phương tiệm cận tại p. Nếu mặt s có độ cong Gauss Kịp) < 0 tại mọi nơi thì tại mọi điểm đều tồn tại phương tiệm cận. Đinh nghĩa 5.4.3 Các đường độ cong (curvature huê) là các đường mà tại mỗi điếm các vectơ tiếp xúc là hai phương chính. Dường trác dĩa {geodesic line) là đường mà tại mỗi điểm của nó, kg = 0. Hệ quả 5.4.4 Dọc theo đường trắc địa, ta có ds Phương trình đường trắc địa là ủ + Y^T ủ ù =Q. k k lJ l ] M Định lí 5.4.5 u(t) là đường trắc đìa nối 2 điểm A và B, ứng với 2 tham số t ị và t , chỉ 2 khi
66 Dỗ Ngọc Diệp, Nông Quốc Chinh C h ứ n g m i n h . T h e o n g u y ê n lý F e r m a t - H u g e n •ta r —• m i n v à do đ ó »Í2 2 T —• m i n / t h ì đ ạ o h à m b i ế n p h â n là t r i ệ t t i ê u /•Í2 ố / Ỵ^g ủ {r)ù (T)dT lj i i = 0 Đạo hàm biến phân và tích phân có thể đổi chỗ cho nhau, cho nên rỵ ô(g ủ (T)ủi(T))dT = 0 / lJ i J h ư Từ đó suy ra phương trình đường trắc địa. • 5.5 Định lí Gauss -Bonnet Trước hết chúng ta nhắc lại đôi điều về tích phân đường và tích p h â n m ặ t trong giải tích. Tích phân đường l o ạ i ì của h à m f { x , y , z ) dọc theo đường cong t h a m số hoa 7 cho b ở i t h a m số hoa r(t) đ ư ợ c đ ị n h n g h ĩ a là tích p h â n Riemann f(r(t))dt= r f(r(t))dt. í '7 J ti Ví dụ tích phân độ dài đường cong là tích phân đường loại ì. Tích phân đường loại l i / 7 Ui == / Ui c ủ a m ộ t b i ể u t h ứ c v i p h â n , c ò n đ ư ợ c g ọ i là 1-dạng vi phân, w(x) = ujj(x)dx +u (x)dx + to {x)dx l 2 2 3 3 = P{x)dx l + Q{x)dx 2 + R{-x)dx\
67 Hình học vi phẫn với p, Q, i? là các hàm số trơn theo các biến X = (x , X , X ) là tích 1 2 3 p h â n Riemann r (P(x) cos a(í) + Q(x) cos /3(í) + fí(x) cos 7(t)) đ ư ợ c đ ị n h n g h ĩ a l à t í c h p h â n R i e m a n n 1 2 li f(r(u ,u ))dS = li ỉ{r{u\u ))du du . 2 2 2 l 2 Ví dụ tích phân diện tích mặt cong \r' X r' \\du du ul u2 l 2 I L l à t í c h p h â n m ặ t l o ạ i ì. T í c h p h â n m ặ t l o ạ i l i T í c h p h â n Ị^ư = ^ o ; của m ộ t b i ể u t h ứ c v i p h â n b ậ c 2, c ò n đ ư ợ c g ọ i l à 2-dạng vỉ phân, w(x) = c;i(x)di A dx + w (x)áx A dã; + iư {x)dx A da; 2 3 2 3 1 3 l 2 = P{x)dx dx + Q{x)dx dx + R{x)dx dx , 2 3 3 l 1 2 v ớ i p Q R l à c á c h à m số t r ơ n t h e o c á c b i ế n X = ( ì , X , X ) 1 2 3 là tích phân Riemann ỊỊ (P(yi)n (u\u ) + Q(x)n V V) + Rự)n\u\u ))du du\ l 2 2 l trong đó n(u\ii ) = (n^y, u ),n (u\ u ),n (u\ u )) là ba thành 2 2 2 2 3 2 p h ầ n của véctơ p h á p t u y ế n ngoài với m ặ t định hướng t h u ậ n E. G i ả sử Ip : c/ c R 2 —> R 3 l à m ộ t t h a m số hoa đ ị a p h ư ơ n g của m ặ t M. G i ả sử A A ) £ C o l à m ộ t t a m g i á c t r o n g u. 0 A n h của tam
68 Đỗ Ngọc Diệp, Nông Quốc Chinh g i á c n à y q u a á n h x ạ if l à m ộ t t a m g i á c cong, k í h i ệ u l à (ABC) vói c á c đ ỉ n h A = p ( i 4 ) , B =
Hình học vi phẫn 69 t r o n g đ ó tp(s ) 0 = ei(p(s )),p'(s ) 0 0 là đ ộ lớn của góc đ ị n h h ư ớ n g t ạ o b ở i e ( p ( s ) ) v à p'(s ). 1 0 0 V ậ y n ê n ta có /k ds = ex{c£ĩ{C) - e^BịứiB) - íu\. g Tương tự, ta cũng có công thức cho í kgds, và ỉ kgds. Cuối b c cùng ta có ỉd{ABC) kgds = e^^MA) - e^^diA)) +e (Bịd(B)- l(B),a>(B)) 1 e +e (C),a'(A)-e (A) ư(A)) l l ì - ữ ý ì + J M a + Ỉ A ) = - Ă - Ẻ - C + 2nl-J { A B C ) Kịi Theo công thức Stokes, ta có / CƯ2 + / OJ\ + / u\ = / dujị= Kịt. Ja Jb Jc J(ABC) J(ABC) Bây giờ ta chỉ cần chỉ ra là bội số / = 1. Thật vậy, chúng ta có công thức / Kịx + í kgds + {Ả + É + Ồ) = 2ĩTỈ. J(ABC) Jd(ABC) K í h i ệ u (., .)o l à c ấ u t r ú c R i e m a n n t r ê n V = r(U) đẳng cấu đẳng cự v ớ i u c R . K h i đ ó v ớ i m ỗ i t € [ 0 , 1 ] , c ô n g t h ứ c (., .)t = ( Ì 2 - t)(., .)o + t(.,.) x á c đ ị n h cấu t r ú c Riemann t r ê n V và công thức của ta có d ạ n g / Kfi+ ỉ kgds + {Ả +Ố +ủ) = 2Ỉ7Ĩ J(ABC) J d(ABC) đúng với mọi t € [0,1]. Hai tích phânở vế trái phụ thuộc liên t ụ c v à o t. Suy r a / c ũ n g p h ụ t h u ộ c l i ê n t ụ c v à o t. N h ư n g I e z, n ê n / k h ô n g p h ụ t h u ộ c v à o t. K h i t = 0 t a c ó K = 0, kg = 0, v à Ả + B + Ồ — 2ĩĩ, t h e o h ì n h h ọ c E u c l i d t r o n g R . V ậ y suy r a / = 1. 2 •
70 Dỗ Ngọc Diệp, Nông Quốc Chinh N h ậ n x é t 5.5.2 í . Chúng ta kí hiệu các góc trong của một tam giác là Ả = 7T - Ă, É = ĩĩ - É, Ở = 7 - Ở . Công T thức Gauss -Bonnet trở thành í Kịi+ Ị kgds = A + B + C - Ĩ Ĩ . J(ABC) J d(ABC) ' (ABC) Jd( 2. Nếu a, b, c là những cung trắc địa thì công thức Gauss-Bonnet trở thành í Kụ. = Ả + É + c -IX. J(ABC) Vậy tổng các góc trong của một tam giác với các cạnh là các đường cong trắc địa lớn hơn 7 nếu độ cong T Gauss K > 0, và bé hơn 7 nếu K < 0 và bằng 7 nếu độ cong T T Gauss K = 0. 3. Độ cong trắc địa kg, dọc theo một cung dinh hướng trên mặt hai chiều định hướng dổi dấu khi đổi dinh hướng của cung đó cho nên tích phân Ị kgds thực ra là tích phẫn đường loại li, tức là tích phân của dạng vi phân Kgds dọc theo đường cong định hướng 7 . Định lí 5.5.3 (Đặc trưng Euler) Giả sử M là một mặt định hướng, compắc và được chia ra bởi một lưới các điểm thành các tam giác cong (được gọi là tam giác phân hoa). Kí hiệu Pi, 02,03 lần lượt là số đỉnh, số cạnh và số mặt tam giác của tam giác phân hóa đó, Eul(M) = Khi đó 2^ / ^ = Eul(M) = f 3 0 - p l + 02. C h ứ n g m i n h . K í h i ệ u ơ là t a m giác cong của t a m giác p h â n h ó a đ ó . T h e o c ô n g t h ứ c G a u s s - B o n n e t cho t a m g i á c t a co L t* = T,Í *ds + £(A(
Hình học vi phẫn 71 t r o n g đ ó A ( c r ) l à t ổ n g c á c g ó c t r o n g c ủ a t a m g i á c cong ơ. V ì m ỗ i c ạ n h của t a m giác p h â n là c ạ n h của đ ú n g hai t a m giác cong kề nhau trong t a m giác p h â n h ó a đó và cùng hướng với cạnh ấy khi coi n ó l à t h u ộ c t a m g i á c n à y v à n g ư ợ c h ư ớ n g v ớ i c ạ n h ấ y k h i coi n ó t h u ộ c t a m g i á c k i a , cho n ê n kgds — 0. T ổ n g c á c g ó c t r o n g c ủ a m ộ t t a m g i á c cong t ạ i m ỗ i đ ỉ n h b ằ n g 2TT, nên 5 2 ( A ( ơ ) - lĩ) = # , 2 * - &7T. ơ Vậy n ê n ta có 1 Kịi = 7T(2A) - 02). L' M ỎM M ỗ i c ạ n h c ủ a t a m g i á c p h â n h ó a t h u ộ c đ ú n g h a i t a m g i á c cong, m à m ỗ i t a m g i á c c o n g c ó b a c ạ n h cho n ê n 2/?i = 3/?2- T ừ đ ó suy r a Kịi = 7T(2A) - A O = 7T(2A) - 2 A + 202) = 2 T T ( E U 1 ( M ) ) . í JM Nhận xét rằng đặc trưng Euler tổng quát trong tôpô học cũng c h í n h l à x(M) = E ul(M). • 5.6 B à i t ậ p c ủ n g c ố l ý t h u y ế t 1. Tìm cung chính quy trong R xác định bởi tham số hoa í H-> 3 p(í), biết p h ư ơ n g t r ì n h tiếp t u y ế n t ạ i m ỗ i đ i ể m t của n ó trong t o a đ ộ c ủ a k h ô n g g i a n t i ế p x ú c cho b ở i h ệ p h ư ơ n g t r ì n h ị a {t)X + b {{t)Y + c {t)Z + d {t) = 0 l í 1 l \ a ịt)X 2 + b {{t)Y 2 + c {t)Z 2 + d ịt) 2 = 0 G ợ i ý: D ù n g đ ị n h lí t ồ n t ạ i v à d u y n h ấ t n g h i ệ m c ủ a p h ư ơ n g trình vi phân.
72 Dỗ Ngọc Diệp, Nông Quốc Chinh 2. T í n h đ ộ d à i c ủ a c á c c u n g t r ê n đ o ạ n t e [to, ti]: a. Trong toa độ Đề Các x(t) = t,y(t) = t ,z(t) = Co với n Co = const. b . T r o n g t o a đ ộ t r ụ ( r , ( f , z), r = y/x(t) ĩ y(t) , ự} = pfei. 2 2 c. T r o n g t o a đ ộ c ầ u (r, V?, ớ ) : V = (a?(0»y(0 êi),I ớ = (x(0,y(0^(í))c3). 3. C h o c u n g đ i n h ố c t r ò n r x á c đ ị n h b ở i í !-> = ( a c o s ( í ) , a s i n ( í ) , 6 < ) , (a > 0) trong R . 3 a. Hãy viết phương trình tiếp tuyến, pháp tuyến chính, t r ù n g p h á p tuyến, m ặ t phang m ậ t tiếp, m ặ t p h á p diện, m ặ t t r ự c đạc của n ó t ạ i m ỗ i đ i ể m . b. C h ứ n g m i n h r ằ n g c á c t i ế p t u y ế n của n ó n g h i ê n g một g ó c k h ô n g đ ổ i so vói m ặ t p h a n g n ằ m n g a n g Oxy, còn các p h á p tuyến chính luôn luôn cắt trục Oz. 4. Tính độ cong Gauss và độ cong trung bình của: a. Mặt đinh ốc dựng đứng. b. M ặ t p a r a b o l o i d . c. M ặ t t i ế p x ú c . 5. Cho mặt s trong R xác định bởi phương trình 3 X + y2 4 + z6 - Ì = 0. Chứng m i n h rằng s là m ộ t đ a t ạ p compắc, định hướng. G ọ i ụ. l à d ạ n g d i ệ n t í c h c h í n h t ắ c c ủ a s v à K l à đ ộ c o n g Gauss của s . H ã y t í n h f Kịi. s
C h ư ơ n g 6 Định lý ánh xạ ngược và Định lý ánh xạẩn Hình học vi phân cần đến các phép toán vi phân và tích phân khá tồng q u á t . Cho n ê n việc n g h i ê n cứu được b ắ t đ ầ u t ừ việc h ệ t h ố n g hoa p h é p t í n h v i p h â n t r o n g R . T r o n g c h ư ơ n g n à y c h ú n g t a sẽ t i ế p n cận khái n i ệ m đ a t ạ p k h ả v i t ừ khía cạnh giải tích, xem c h ú n g n h ư những t ậ p nghiệm của m ộ t h ệ p h ư ơ n g t r ì n h h à m trong k h ô n g gian R . Sau đ ó t ư t ư ở n g " b ó hoa" n d ẫ n d ắ t đ ế n sự n g h i ê n c ứ u đ a t ạ p tổng quát. 6.1 Định nghĩa đạo ánh và các tính chất cơ bản Chúng ta kí hiệu R là tập tất cả các số thực, R là tích Descartes n c ủ a n p h i ê n b ả n t ậ p c á c số t h ự c R = {(I ,...,I )|I G R,Vi = ĩ~^}. n 1 B Ỉ Nói một cách khác, mỗi phần tử của R là một bộ n số thực X = n (x ,..., x ), x l n { € R . C h ú n g t a kí h i ệ u theo h ệ t h ố n g kí h i ệ u t e n s ơ t r o n g h ì n h h ọ c v à do v ậ y v i ế t c á c chỉ số ở t r ê n . Đ ể cho g ọ n , t a sẽ k í h i ệ u c á c p h ầ n t ử đ ơ n g i ả n l à X, y,.... và gọi chúng là các véctơ. Đôi 73
74 Đỗ Ngọc Diệp, Nông Quốc Chinh k h i đ ể n h ấ n m ạ n h r ằ n g c h ú n g l à c á c v é c t ơ , t a sẽ k í h i ệ u t h ê m d ấ u m ũ i t ê n p h í a t r ê n đ ầ u X, ỹ , . . . . h o ặ c v i ế t b ằ n g c h ữ đ ậ m : X, y , . . . . X é t t ậ p mathbfR n với các p h é p toán trên các véctơ n h ư sau: N ế u X = ( x \ . . . , x ) , y = ( y , . . . , y ) là các véctơ thuộc R n ì n n và Ả € R , n thì • Tông các véctơ X và y là véctơ X + y: x + y = (x +y\... x + y ), 1 ì n n • Tích véctơ với một vô hướng A là véctơ Xx: Xx = (Xx\...,Xx ). n Mệnh đề 6.1.1 Cùng với các phép toán trên, R là một không n gian véctơ. Chứng minh. Hiển nhiên là véctơ 0 = (0,..., 0) sẽ là véctơ t r u n g hoa cho p h é p c ộ n g . P h ầ n t ử đ ố i c ủ a v é c t ơ X l à v é c t ơ -X = ( - X , . . . , - x ) . Đ ể chứng m i n h m ệ n h đ ề , c h ú n g t a chỉ c ầ n k i ể m 1 n t r a các t i ê n đ ề của m ộ t cấu t r ú c k h ô n g gian véctơ, bao gồm: • Luật kết hợp theo phép cộng: {x + y) + z = X + (y + z), Vx, y, z € R . n • Sự tồn tại phần tử trung hoa 0. • Sự tồn tại phần tử đối: 3- x;x + (-x) = (-x) + X = 0. • Luật giao hoán của phép cộng x + y = y + x,\fx,y 6 R . n
Hình học vi phân ' • Luật phân phối của phép cộng và phép nhân: (A +ụ)x = Xx + fix, VA, ịi € R, X e R . n X(x + y) = Xx + Áy,VA € R,x,y € R . n • Luật kết hợp của phép nhân (Xụ)x = A(jLíx),VA,/x e R,x € R . n • Tính chuẩn hoa: 1.1 = x , V x € R . n Chúng tôi dành cho bạn đọc kiểm tra chi tiết các tính chất trên. Xét các véctơ đặc biệt: ei = (l,0,...,0), e i = (0,...,l,0,...,0), (số Ì d u y n h ấ t đ ứ n g ở v ị t r í t h ứ i) e = (0,...,0,l). n Nhận xét rằng các véctơ d , . . . , e n là độc l ậ p t u y ế n t í n h và c h ú n g l ậ p t h à n h m ộ t cơ sở c ủ a R . M ỗ i v é c t ơ b ấ t kì X = ( ì , . . . , x ) đ ư ợ c n 1 n p h â n t í c h d u y n h ấ t t h à n h t ố h ợ p t u y ế n t í n h c ủ a c á c v é c t ơ cơ sở n 3 —X C — oe &ị. 1=1 Chú ý rằng trong công thức trên, theo truyền thống của hình học, v i ế t m ộ t chỉ số t r ê n v à m ộ t chỉ số d ư ớ i b ằ n g c ù n g m ộ t c h ữ c á i c ó n g h ĩ a l à l ấ y t ổ n g t h e o chỉ số đ ó . N h ư n g đ ô i k h i đ ể cho đ ỡ n h ầ m l ẫ n , n g ư ờ i ta cũng v ẫ n v i ế t luôn cả d ấ u tổng, n ế u t h ấ y cần t h i ế t nhấn mạnh.
76 Đ ỗ Ngọc Diệp, Nông Quốc Chinh Chúng ta định nghĩa tích vô hướng của hai véctơ X = (x ,..., x ) 1 n và y = ( y , . • • > y ) 1 n theo công thức n (x,y) = x.y = ^ T V y * . i=l Mệnh đề 6.1.2 Cùng wớz ííc/ỉ. vô hướng tự nhiên trên, R" írJ thành không gian Euclid. Chứng minh. Chúng ta cần kiểm tra rằng tích vô hướng nói trên có các t í n h chất: • Tuyến tính: (Ax + Ịiy, z) = X(x, z) + fi(y, 2), VA,ụ, G R, X, y, z e R . n • Đối xứng: (x,y) = (y,x)yx,y e R . n • Xác định dương: (x,x) > 0,Vx € R , n (x, x) = 0 X = 0. Chúng tôi dành việc kiểm tra chi tiết các tính chất đó cho đọc giả. • N h ậ n x é t r ằ n g cơ sở e i , . . . , e n n ó i t r ê n l à m ộ t cơ sở trực chuẩn, tức là (eị, Gj) = ỗịj, trong đóỏij là kí hiệu Kronecker quen biết. Mệnh đề 6.1.3 Mọi không gian Euclid n-chiều đều đẳng cấu với không gian R . n
Hình học vi phẫn 77 C h ứ n g m i n h . G i ả sử E n l à m ộ t k h ô n g g i a n E u c l i d lĩ c h i ề u t u y ý, tức là m ộ t k h ô n g gian véctơ với m ộ t tích vô hướng t r ừ u t ư ợ n g x,ye£ ^(x,y)€R. n Chọn một cơ sở trực chuẩnẻi,..., ẽ , với n (&i, Gj ) =ỏi j. Phép tươngứng ẽj I—• eị, ì = Ì, n xác định một đẳng cần đẳng cự giữa (.,.)) và ( R » , (.,.))• ^ • N h ư v ậ y v i ệ c n g h i ê n c ứ u k h ô n g g i a n E u c l i d r i c h i ề u v ớ i sai k h á c đ ẳ n g cấu h o à n t o à n t ư ơ n g đ ư ơ n g với việc n g h i ê n cứu k h ô n g gian cụ t h ể R . n Trong k h ô n g gian R n ta đ ư a vào metric đ o khoảng cách giữa c á c đ i ể m n h ư sau: K h o ả n g c á c h g i ữ a h a i v é c t ơ X vầy được đo bằng đ ạ i lượng d ( x , y ) = ||x - y|| = ^ / ( x - y . x - y ) . Mệnh đề 6.1.4 R là một không gian định chuẩn. n Chứng minh. Chúng ta có thể kiểm tra rằng ánh xạ X I—ị ||x|| thoa m ã n t ấ t cả các t í n h chất của k h ô n g gian định chuẩn: • Xác định dương ||x|| > o , V x e R ,n ||x|| = 0 khi và chỉ khi X = 0. • Thuần nhất dương: ||Ax|| = |A|||x||,VA€R,VxeR n • Bất đẳng thức tam giác: l|x + y||
78 Đỗ Ngọc Diệp, Nông Quốc Chinh C h ú n g t ô i d à n h p h ầ n k i ể m t r a chi t i ế t cho b ạ n đ ọ c . • B â y g i ờ c h ú n g t a đ ị n h n g h ĩ a m ộ t số k h á i n i ệ m h ì n h c ầ u ( đ ó n g , mở), h ì n h hộp (đóng, mở) và m ặ t cầu n h ư sau. Định nghĩa 6.1.5 Mặt cầu Sịa, r) tâm a € R bán kính r > 0 là n tập các véctơ X € R n thoa mãn 7 2 l 1 2 2 ||x - a|| = ( x - a , x - a) = Y , { x - a) = r. 1=1 Hĩnh cầu đóng B(a, r) tâm a e R bán kính r > 0 là tập các véctơ n X € R " thoa mãn TI | | x - a|| 2 = ( x - a , x - a) = J 2 ( x i - ) flí 2 < r. 2 i=l Hình cầu mở B(a, r) tâm a e R bán kính r > 0 là tập các véctơ n X € R thoa n mãn n ||x - a|| 2 = ( x - a , x - a) = Y ^ ự - ứ) 2 < r. 2 i=l Hình hộp đóng P(a ;b\ ...,a ; b ) là tập các véctơ x=(x\...,x ) l n n n mà các thành phần x i của chúng thoa mãn các bất đẳng thức a* < X < b\Vi = Tji. 1 Hình hộp mở P(a ; ò\ ..., a ; b ) là tập các véctơ X = (x ,... x ) l n n 1 n mà các thành phần x i của chúng thoa mãn các bất dẳng thức á < X < 6', Vi = T77Ĩ. 1 Hình hộp đóng-mở^ P(a ;b\ ... ,a ;b ) là tập các véctơx = (x ... x ) l n n 1 n mà các^ thành phần x i của chúng thoa man một số bất đang thức hoặc đẳng thức ứ
Hình học vi phân 79 M ệ n h đ ề 6.1.6 1. Các hình cầu dóng (tương ứng, mở) lập thành cơ sở các tập đóng (tương ứng, mở) của tôpô trong R . n 2. Các hình hộp dóng (tương ứng, mở) lập thành cơ sở các tập dóng (tương ứng, mở) của tôpô trong R . n 3. Tôpô trong hai khẳng định trên là cùng đồng phôi với tôpô chuẩn trong R". Chứng minh. Để chứng minh một hệ X các tập con lập thành m ộ t t ô p ô , c h ú n g t a c ầ n k i ể m t r a c á c t i ê n đ ề cơ sở c ủ a m ộ t t ô p ô . Đ i ề u n à y đ ú n g vì: • 0, R " G X . • Trong giao của hai hình cầu (ha)' hình hộp) mở có chứa một c ầ u ( t ư ơ n g ứng, hộp) m ở . T ư ơ n g t ự v ớ i c á c c ầ u hay c á c h ộ p đ ó n g . D ể chứng m i n h các t ô p ô t ư ơ n g ứng v ớ i c ầ u hay hộp đ ề u t ư ơ n g đ ư ơ n g n h a u , c h ú n g t a chỉ c ầ n chỉ r a l à t r o n g m ỗ i c ầ u m ở c ó c h ứ a ít n h ấ t m ộ t h ộ p m ở v à n g ư ợ c l ạ i . C h ú n g t ô i d à n h p h ầ n k i ể m t r a chi t i ế t cho n g ư ờ i đ ọ c . • T ừ đ ó t a c ó h ệ q u ả t ự n h i ê n là Hệ quả 6.1.7 Ánh xạ ỉ = (/\ ..., / ) : R" —> R là liên tục khi m m và chỉ khi các thành phần f l = f ( x , . . . , x ) là hàm l l n liên tục. C h ứ n g m i n h . T ấ t c ả d ễ d à n g suy r a t ừ n h ậ n x é t r ằ n g | | x f c — x | | — 0 > k h i v à chỉ k h i x / Ẽ Ĩ Ũ H ) - > 0. 2 • P h é p b i ế n đ ổ i ( đ ồ n g phôi) b i ế n các h ì n h h ì n h học t ư ơ n g đ ư ơ n g v à o n h a u đ ư ợ c g ọ i l à phép biến hình. T ậ p các p h é p biến h ì n h c ù n g v ớ i p h é p h ợ p á n h x ạ l ậ p t h à n h m ộ t n h ó m , g ọ i l à nhóm biến dổi. N ế u c á c p h é p b i ế n h ì n h l à đ ẳ n g cự t h ì coi c h ú n g l à t ư ơ n g đ ư ơ n g nhau (đồng nhất với nhau). T ô p ô đ ạ i c ư ơ n g n g h i ê n c ứ u c á c h ì n h h ì n h h ọ c sai k h á c m ộ t đ ồ n g phôi ( đ ẳ n g cự). B à i t o á n n g h i ê n cứu t r u y ề n t h ố n g của h ì n h học là p h â n l o ạ i c á c h ì n h h ì n h học và n g h i ê n cứu các t í n h chất n ộ i t ạ i của t ừ n g h ì n h h ì n h học.
80 Dỗ Ngọc Diệp, Nông Quốc Chinh 6.2 Đạo hàm riêng và vi phân Chúng ta đã xác định đối tượng của hình học Euclid là R và các n v ậ t t h ể h ì n h học t r o n g n ó , được c ấ u t ạ o t ừ c á c m ả n h cầu, hay m ả n h phang. Nghiên cứu các đ ố i tượng n à y được h i ể u theo nghĩa t h ô n g t h ư ờ n g là t ì m c á c vị trí t ư ơ n g đ ố i t r o n g k h ô n g gian v à t ì m các đặc t r ư n g b ằ n g số c ủ a c h ú n g n h ư k h ố i l ư ợ n g , t h ể t í c h , .... B à i t o á n t r ở n ê n phức t ạ p h ơ n n h i ề u nếu các h ì n h đ ó k h ô n g được g h é p t ừ các m ả n h c ầ u hay m ả n h phang. Đ ể g i ả i q u y ế t n h i ề u b à i t o á n t ư ơ n g t ự t r o n g đ ó c ó c ả c á c b à i t o á n v ề vị t r í t ư ơ n g đ ố i , t i ế p x ú c , t i ế p đ i ể m , . . . c h ú n g t a c ầ n t ớ i c ô n g cụ m ớ i h ơ n n h ữ n g c ô n g cụ t h ô n g t h ư ờ n g n h ư đ ã n ó i ở t r ê n . Đ ó c h í n h l à lí do c h ú n g t a c ầ n đ ư a p h é p t í n h v i p h â n và tích p h â n v à o t r o n g h ì n h học. Định nghĩa 6.2.1 Cho y = f(x),f : R -» R . Chúng ta nói n m rằng ánh xạ Ị là khả vi tại điểm Xo £ R , n nếu tồn tại một ánh xạ tuyến tính n m X = A(x ) : R 0 -> R sao cho \\y - V o - A ( x ) ( x - Xo)ịị = o(\\x 0 - Xoll), với y = /(xo), với mọi X trong lân cận đủ bé của XQ. Ánh xạ tuyến 0 tính \ ( x ) , nếu ữ nó tồn tại, được gọi là đạo ánh của ánh xạ Ị tại diêm Xo và được kí hiệu bằng một trong các kí hiệu cơ bản quen biết / ' ( x o ) , / . ( x o ) , Df(xo), Dy/Dx\ . X0 Nếu chúng ta cố định tất cả các biến trừ một biến x\ thì chúng ta có m ộ t h à m m ộ t biến, giá trị véctơ f(xị,..., X ,..., XQ) : R —• R , 1 n theo biến X . Đạo ánh của ánh xạ này gọi là đạo hàm riêng của ánh 1 x ạ theo b i ế n x i và được kí h i ệ u là dĩM DÌM = nf(.)= tĩu. \ = = = D i ĩ { X ữ ) = / / ( x o ) -