zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Giáo trình hình thành hệ thống phân tích nguyên lý của hàm điều hòa dạng vi phân p2

Chia sẻ: Sfdsg Uikulo | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:10

Báo xấu

83
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'giáo trình hình thành hệ thống phân tích nguyên lý của hàm điều hòa dạng vi phân p2', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình hình thành hệ thống phân tích nguyên lý của hàm điều hòa dạng vi phân p2

h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 4. Chuçi H m Phøc V ThÆng D− .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k Chøng minh Khai triÓn Taylor h m f trong l©n cËn ®iÓm a +∞ ∑c ∀ z ∈ B(a, R), f(z) = (z − a ) n víi c0 = f(a) = lim f(zn) = 0 n +∞ n =0 KÝ hiÖu m(a) = min{n ∈ ∠ : cn ≠ 0} ≥ 0 (4.4.1) NÕu m(a) = m th× +∞ +∞ ∑ c n (z − a) n = (z - a)m ∑ c m + k (z − a) k = (z - a)mg(z) f(z) = n=m k =0 víi h m g(z) gi¶i tÝch trong l©n cËn ®iÓm a v g(a) = cm ≠ 0. Do ®ã ∃ ε > 0 : ∀ z ∈ B(a, ε), g(z) ≠ 0 Suy ra ∀ zn ∈ B(a, ε), f(zn) = (zn - a)mg(zn) ≠ 0! §iÒu n y m©u thuÉn víi gi¶ thiÕt. VËy m(a) = + ∞ . Tøc l ∀ z ∈ B(a, R), f(z) = 0 HÖ qu¶ 1 Cho h m f gi¶i tÝch trªn miÒn D. KÝ hiÖu Z(f) = {z ∈ D : f(z) = 0}. Khi ®ã Z(f) = D hoÆc Z(f) cã kh«ng qu¸ ®Õm ®−îc phÇn tö. Chøng minh KÝ hiÖu A l c¸c ®iÓm tô cña tËp Z(f) ta cã A ⊂ Z(f) ⊂ D v tËp A l tËp ®ãng Theo ®Þnh nghÜa ∀ a ∈ A, ∃ d y zn ) → a v f(zn) = 0  Z(f Theo ®Þnh lý trªn ∃ ε > 0 : ∀ z ∈ B(a, ε), f(z) = 0 ⇒ B(a, ε) ⊂ A ⇒ tËp A l tËp më. Do tËp D liªn th«ng v tËp A ⊂ D võa ®ãng v võa më nªn HoÆc A = ∅ suy ra Z(f) cã kh«ng qu¸ ®Õm ®−îc phÇn tö HoÆc A = D suy ra Z(f) = D NhËn xÐt Theo kÕt qu¶ trªn th× kh«ng ®iÓm cña h m gi¶i tÝch kh«ng ®ång nhÊt b»ng kh«ng lu«n l kh«ng ®iÓm c« lËp. Tøc l ∃ R > 0 : ∀ z ∈ B(a, R) - {a}, f(z) ≠ 0 HÖ qu¶ 2 Cho c¸c h m f, g gi¶i tÝch trong miÒn D v d y sè (zn)n∈∠ héi tô trªn miÒn D ®Õn ®iÓm a ∈ D. NÕu ∀ n ∈ ∠, f(zn) = g(zn) th× ∀ z ∈ D, f(z) = g(z). Chøng minh §Æt h(z) = f(z) - g(z), theo gi¶ thiÕt Z(h) cã ®Õm ®−îc phÇn tö, suy ra Z(h) = D Tøc l ∀ z ∈ D, h(z) = f(z) - g(z) = 0 . Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 65
h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 4. Chuçi H m Phøc V ThÆng D− .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k HÖ qu¶ 3 Cho ®iÓm a l kh«ng ®iÓm cña h m f gi¶i tÝch v kh«ng ®ång nhÊt b»ng kh«ng trong miÒn D. Khi ®ã ∃! m ∈ ∠*, ∃ R > 0 : ∀ z ∈ B(a, R), f(z) = (z - a)m g(z) (4.4.2) víi g l h m gi¶i tÝch trong h×nh trßn B(a, R) v g(a) ≠ 0. §iÓm a gäi l kh«ng ®iÓm cÊp m cña h m f. Chøng minh Khai triÓn Taylor h m f trong l©n cËn ®iÓm a +∞ ∑c (z − a ) n víi c0 = f(a) = 0 f(z) = n n =0 Theo c¸c kÕt qu¶ trªn ®iÓm a l kh«ng ®iÓm c« lËp nªn ∃ R > 0 : ∀ z ∈ B(a, R) - {a}, f(z) ≠ 0 Theo c«ng thøc (4.4.1) nÕu m(a) = +∞ th× ∀ z ∈ B(a, R), f(z) = 0 tr¸i víi gi¶ thiÕt. Suy ra m(a) = m ∈ ∠*. Tøc l +∞ +∞ ∑ c n (z − a) n = (z - a)m ∑ c m + k (z − a) k = (z - a)mg(z) f(z) = n=m k =0 víi g l h m gi¶i tÝch trong h×nh trßn B(a, R) v g(a) = cm ≠ 0 §5. Chuçi Laurent §Þnh lý Cho miÒn D = { r < | z - a | < R} v h m f liªn tôc trªn D , gi¶i tÝch trong D. Víi mäi ρ ∈ (r, R) kÝ hiÖu B = B(a, ρ) ∩ D v Γ = ∂B+(a, ρ). f (ζ ) +∞ (z − a ) n víi cn = 1 ∫ ∑c ∀ z ∈ B, f(z) = dζ , n ∈ 9 (4.5.1) 2 πi Γ (ζ − a ) n +1 n −∞ C«ng thøc (4.5.1) gäi l khai triÓn Laurent cña h m f t¹i ®iÓm a. Chøng minh Víi mäi z ∈ B cè ®Þnh. Theo c«ng thøc tÝch ph©n Cauchy f (ζ ) f (ζ ) f (ζ ) 1 1 1 ∫D ζ − z dζ = − 2πi Γ∫ ζ − z dζ + 2πi Γ∫ ζ − z dζ f(z) = (1) 2πi ∂ 1 2 Víi mäi ζ ∈ Γ1 : | ζ - a | = r, ta cã q = | ζ - a | / | z - a | < 1 ζ Γ suy ra khai triÓn n z 1 ζ −a +∞ 1 1 1 ∑z−az−a = = ζ−a z−a z−ζ   1− n =0 Γ2 Γ1 ζ z−a n f (ζ ) f (ζ )  ζ − a  +∞ ∑z−az−a v = (2) z−ζ   n =0 . Trang 66 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 4. Chuçi H m Phøc V ThÆng D− .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k Víi mäi ζ ∈ Γ2 : | ζ - a | = R, ta cã q = | z - a | / | ζ - a | < 1 suy ra khai triÓn n n 1 z−a f (ζ ) f (ζ )  z − a  +∞ +∞ 1 1 1 ∑ ζ −a ζ −a v ζ − z = ∑ζ −a ζ −a = = (3)     z−a ζ−z ζ−a     1− n =0 n =0 ζ−a Do h m f liªn tôc trªn D nªn cã module bÞ chÆn suy ra chuçi (2) héi tô ®Òu trªn Γ1 v chuçi (3) héi tô ®Òu trªn Γ2. Ngo i ra theo ®Þnh lý Cauchy f (ζ ) f (ζ ) f (ζ ) ∫ (ζ − a) n dζ = ∫ (ζ − a) n dζ = Γ∫ (ζ − a ) n dζ Γ Γ1 2 TÝch ph©n tõng tõ c«ng thøc (1) suy ra c«ng thøc (4.5.1) • Ng−êi ta th−êng viÕt chuçi Laurent d−íi d¹ng +∞ +∞ +∞ c −n c n (z − a ) n = ∑ ∑ + ∑ c n (z − a ) n (4.5.2) n =1 ( z − a ) n n =0 −∞ PhÇn luü thõa d−¬ng gäi l phÇn ®Òu, phÇn luü thõa ©m gäi l phÇn chÝnh. NÕu h m f gi¶i tÝch trong c¶ h×nh trßn B(a, R) th× ∀ n ≥ 1, c-n = 0. Khi ®ã chuçi Laurent (4.5.1) trë th nh chuçi Taylor (4.3.1) VÝ dô 1 trªn miÒn D ={ 1 < | z | < 2} 1. Khai triÓn h m f(z) = (z − 1)(z − 2) 1 1 1 1 1 1 1 1 (1 + ... + n zn + ...) - (1 + ... + n + ...) f(z) = - - =- z 1 2 2 z z z 2 1− 1− 2 z 2. Khai triÓn h m f(z) = sin z th nh chuçi t©m t¹i a = 1 z −1 f(z) = sin1cos 1 + cos1sin 1 z −1 z −1 sin 1 = 1 − 1 cos 1 = 1 − 1 1 + ... v 1 + ... z − 1 z − 1 3! (z − 1) 3 z −1 2! (z − 1) 2 §6. Ph©n lo¹i ®iÓm bÊt th−êng • §iÓm a gäi l ®iÓm bÊt th−êng nÕu h m f kh«ng gi¶i tÝch t¹i a. NÕu ∃ ε > 0 sao cho h m f gi¶i tÝch trong B(a, ε) - {a} th× ®iÓm a gäi l ®iÓm bÊt th−êng c« lËp. Cã thÓ ph©n lo¹i c¸c ®iÓm bÊt th−êng c« lËp nh− sau. NÕu lim f (z ) = L th× ®iÓm a gäi l bÊt th−êng z →a . Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 67
h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 4. Chuçi H m Phøc V ThÆng D− .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k bá qua ®−îc. NÕu lim f (z ) = ∞ th× ®iÓm a gäi l cùc ®iÓm. NÕu lim f (z ) kh«ng tån t¹i th× z →a z →a ®iÓm a gäi l bÊt th−êng cèt yÕu. Gi¶ sö trong l©n cËn ®iÓm a bÊt th−êng c« lËp, h m f cã khai triÓn Laurent +∞ +∞ c -n f(z) = ∑ + ∑ c n (z − a ) n (4.6.1) n =1 ( z − a ) n n =0 §Þnh lý KÝ hiÖu m(a) = min{ n ∈ 9 : cn ≠ 0 } 1. §iÓm a l bÊt th−êng bá qua ®−îc khi v chØ khi m(a) ≥ 0 2. §iÓm a l cùc ®iÓm cÊp m khi v chØ khi m(a) < 0 3. §iÓm a l bÊt th−êng cèt yÕu khi v chØ khi m(a) = -∞ Chøng minh +∞ ∑c 1. m(a) = m ≥ 0 ⇒ f(z) = (z − a ) n a → c0 = L  z→ n n =0 Ng−îc l¹i, h m g(z) = f (z) z ≠ 0 gi¶i tÝch trong B(a, ε). Khai triÓn Taylor t¹i ®iÓm a L z=0  +∞ ∑c (z − a ) n víi c0 = L ⇒ m(a) ≥ 0 g(z) = n n =0 +∞ c -n m ∑ (z − a ) ∑c (z − a ) n a → ∞  2. m(a) = -m < 0 ⇒ f(z) = + z→ n n n =1 n =1 1 z≠a  gi¶i tÝch trong B(a, ε) v g(a) = 0. Ng−îc l¹i, h m g(z) =  f (z) 0 z=a  Theo hÖ qu¶ 3, §4 g(z) = (z - a)mh(z) víi m ∈ ∠* v h l h m gi¶i tÝch trong B(a, ε), h(a) ≠ 0 Suy ra +∞ 1 1 1 m∑ n b (z − a ) n víi c-m = b0 ≠ 0 ⇒ m(a) = -m f(z) = = ( z − a ) n =0 ( z − a ) h( z ) m +∞ +∞ c −n ∑ (z − a ) ∑c 3. m(a) = -∞ ⇒ f(z) = (z − a ) n kh«ng cã giíi h¹n khi z → a + n n n =1 n =0 Ng−îc l¹i, ph¶n chøng trªn c¬ së 1. v 2. HÖ qu¶ 1 (§Þnh lý Sokhotsky) §iÓm a l ®iÓm bÊt th−êng cèt yÕu cña h m f khi v chØ khi víi mäi sè phøc A cã d y sè phøc (zn)n∈∠ héi tô ®Õn a sao cho d y sè phøc (f(zn))n∈∠ héi tô ®Õn A. Tøc l tËp f(B(a, ε)) trï mËt trong tËp ∀. • H m f gi¶i tÝch trªn to n tËp sè phøc gäi l h m nguyªn. Nh− vËy h m nguyªn chØ cã 1 mét ®iÓm bÊt th−êng duy nhÊt l z = ∞. §æi biÕn ζ = suy ra h m g(ζ) = f(z) cã duy z . Trang 68 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 4. Chuçi H m Phøc V ThÆng D− .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k nhÊt ®iÓm bÊt th−êng c« lËp l ζ = 0. Khai triÓn Laurent h m g(ζ) trong l©n cËn ζ = 0 +∞ +∞ +∞ +∞ c c g(ζ) = ∑ −nn + c0 + ∑ c n ζ n = ∑ c − n z n + c0 + ∑ n (4.6.2) n =1 ζ n n =1 z n =1 n =1 f(z) 0→ f(a) nªn ∀ n ≥ 1, cn = 0  Do Tõ ®ã suy ra kÕt qu¶ sau ®©y. HÖ qu¶ 2 KÝ hiÖu mf(∞) = - mg(0) 1. H m f l h m h»ng khi v chi khi m(∞) = 0 2. H m f l ®a thøc bËc n khi v chi khi m(∞) = n 3. H m f l h m siªu viÖt khi v chi khi m(∞) = +∞ • H m f(z) gäi l h m ph©n h×nh nÕu nã chØ cã h÷u h¹n cùc ®iÓm trªn tËp ∀ HÖ qu¶ 3 H m f(z) l h m ph©n h×nh khi v chØ khi h m f(z) l ph©n thøc h÷u tû Chøng minh P(z ) Râ r ng h m h÷u tû f(z) = cã h÷u h¹n cùc ®iÓm l c¸c kh«ng ®iÓm cña Q(z) Q( z ) Ng−îc l¹i, gi¶ sö h m f(z) cã m cùc ®iÓm trªn ∀. Khi ®ã h(z ) f(z) = (z − z 1 )..(z − z m ) víi h m h gi¶i tÝch trªn to n ∀ v mh(∞) = n suy ra h(z) = P(z) §7. ThÆng d− • Cho h m f gi¶i tÝch trong B(a, R) - {a}, liªn tôc trªn Γ = ∂B(a, R). TÝch ph©n Resf(a) = 1 ∫ f (z)dz (4.7.1) 2 πi Γ gäi l thÆng d− cña h m f t¹i ®iÓm a. Theo ®Þnh lý Cauchy, nÕu a l ®iÓm th−êng cña h m f th× Resf(a) = 0. NÕu a l ®iÓm bÊt th−êng c« lËp th× Resf(a) kh«ng phô thuéc v o ®−êng cong Γ ®¬n, kÝn, tr¬n tõng khóc, bao ®iÓm a, ®Þnh h−íng d−¬ng v n»m gän trong h×nh trßn B(a, R). Cho h m f gi¶i tÝch trong miÒn R < | z | < ∞, liªn tôc trªn Γ = ∂B(0, R). TÝch ph©n 1 2πi Γ∫− Resf(∞) = f (z)dz (4.7.2) gäi l thÆng d− cña h m f t¹i ®iÓm ∞. . Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 69
h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 4. Chuçi H m Phøc V ThÆng D− .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k §Þnh lý Th¨ng d− cña h m f t¹i ®iÓm a l hÖ sè c-1 cña khai triÓn Laurent t¹i ®iÓm ®ã. Resf(a) = c-1 (4.7.3) Chøng minh Khai triÓn Laurent h m f t¹i ®iÓm a f (ζ ) +∞ +∞ c −n 1 f(z) = ∑ + ∑ c n (z − a ) n víi cn = ∫ (ζ − a ) n +1 dζ , n ∈9 2 πi Γ n =1 ( z − a ) n n =0 So s¸nh víi c«ng thøc (4.7.1) suy ra c«ng thøc (4.7.3) HÖ qu¶ Cho ®iÓm a l cùc ®iÓm cÊp m cña h m f 1 lim d ( m −1) [(z − a ) m f (z)] Resf(a) = (4.7.4) (m − 1)! z →a dz ( m −1) Chøng minh Khai triÓn Laurent t¹i cùc ®iÓm a cÊp m +∞ c −m c + ... + −1 + ∑ c n (z − a ) n f(z) = z−a (z − a ) m n =0 Suy ra (z - a)mf(z) = c-m + ... + c-1(z - a)m-1 + c0(z - a)m + .... [(z - a)mf(z)](m-1) = (m - 1)!c-1 + m(m-1)..2c0(z - a) + ... ChuyÓn qua giíi h¹n hai vÕ lim [(z - a)mf(z)](m-1) = (m - 1)!c-1 z →a ez cã hai cùc ®iÓm cÊp 3 l ±i VÝ dô H m f(z) = (z 2 + 1) 3 ″ 1  ez 12e z   e2  6e z 1 1i − + =   (z + i ) 3 (z + i ) 4 (z + i ) 5  = 16 e (3 - 2i) Resf(i) = lim   (z + i) 3  2 2! z →i   z =i  §Þnh lý Cho h m f cã c¸c cùc ®iÓm h÷u h¹n l ak víi k = 1...n n ∑ Re sf (a ) + Resf(∞) = 0 (4.7.5) k k =1 Chøng minh Gäi Γk víi k = 1...n l c¸c ®−êng trßn | z - ak | = Rk ®ñ bÐ ®Ó chØ bao riªng tõng ®iÓm ak v Γ l ®−êng trßn | z | = R ®ñ lín ®Ó bao hÕt tÊt c¶ c¸c ®−êng trßn Γk. Theo c«ng thøc tÝch ph©n Cauchy n ∑ ∫ f (z)dz ∫ f (z)dz = ∫ f (z)dz =- k =1 Γk Γ− Γ ChuyÓn vÕ sau ®ã chia hai vÕ cho 2πi suy ra c«ng thøc (4.7.5) . Trang 70 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 4. Chuçi H m Phøc V ThÆng D− .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k HÖ qu¶ Cho ®−êng cong Γ ®¬n, kÝn, tr¬n tõng khóc, ®Þnh h−íng d−¬ng v h m f liªn tôc trªn Γ, gi¶i tÝch trong DΓ ngo¹i trõ h÷u h¹n cùc ®iÓm ak ∈ DΓ víi k = 1...n n ∫ f (z)dz = 2πi ∑ Re sf (a k ) (4.7.6) k =1 Γ sin zdz ∫ (z víi Γ l ®−êng trßn | z | = 2 ®Þnh h−íng d−¬ng VÝ dô TÝnh I = + 1)(z + 3) 2 Γ H m f(z) cã hai cùc ®iÓm z = ±i n»m trong miÒn DΓ v mét cùc ®iÓm z = -3 n»m ngo i miÒn DΓ. sin( −i ) sin z Resf(-i) = lim = z → − i ( z − i )( z − 3) − 2 + 6i i sin(i ) -3 Resf(i) = lim = -i (z + i )(z − 3) − 2 − 6i z →i 3 I = 2πi[Resf(-i) + Resf(i)] = - sin(i) 5 §8. ThÆng d− Loga • Cho h m f gi¶i tÝch v kh¸c kh«ng trong B(a, R) - {a}, liªn tôc trªn Γ = ∂B(a, R). TÝch ph©n 1 f ′(z ) 2 πi ∫ f (z ) ResLnf(a) = dz (4.8.1) Γ gäi l thÆng d− loga cña h m f t¹i ®iÓm a. Theo ®Þnh nghÜa trªn f ′(z) víi z ∈ B(a, R) - {a} ResLnf(a) = Resg(a) trong ®ã g(z) = [Ln f(z)]’ = f (z) §Þnh lý Víi c¸c kÝ hiÖu nh− trªn 1. NÕu a l kh«ng ®iÓm cÊp n cña h m th× ResLnf(a) = n 2. NÕu b l cùc ®iÓm cÊp m cña h m f th× ResLnf(b) = -m Chøng minh 1. Theo hÖ qu¶ 3, §4 ∀ z ∈ B(a, R), f(z) = (z - a)nh(z) víi h(z) l h m gi¶i tÝch trong B(a, R) v h(a) ≠ 0 §¹o h m h m f suy ra f’(z) = n(z - a)n-1h(z) + (z - a)nh(z) h ′(z) h ′(z) n g(z) = + víi l h m gi¶i tÝch trong B(a, R) z−a h( z ) h( z ) . Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 71
h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 4. Chuçi H m Phøc V ThÆng D− .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k Suy ra ResLnf(a) = c-1(g) = n 2. Theo hÖ qu¶ 3, §5 h( z ) ∀ z ∈ B(a, R), f(z) = víi h(z) l h m gi¶i tÝch trong B(a, R) v h(a) ≠ 0 (z − a ) m §¹o h m h m f suy ra −m 1 f’(z) = h(z) + h’(z) m +1 (z − a ) (z − a ) m h ′(z) h ′(z) −m g(z) = + víi l h m gi¶i tÝch trong B(a, R) z−a h( z ) h( z ) Suy ra ResLnf(a) = c-1(g) = -m HÖ qu¶ 1 Cho ®−êng cong Γ ®¬n, kÝn, tr¬n tõng khóc, ®Þnh h−íng d−¬ng v h m f liªn tôc trªn Γ, cã c¸c kh«ng ®iÓm ak cÊp nk víi k = 1...p v gi¶i tÝch trong DΓ ngo¹i trõ c¸c cùc ®iÓm bj cÊp mj víi j = 1...q 1 f ′(z) p q ∑ nk − ∑ mj = N - M 2 πi ∫ f (z) dz = (4.8.2) k =1 j =1 Γ Chøng minh KÕt hîp ®Þnh lý trªn, c«ng thøc tÝch ph©n Cauchy v lËp luËn t−¬ng tù hÖ qu¶ 1, §7 • Ta xem mét kh«ng ®iÓm cÊp n l n kh«ng ®iÓm ®¬n trïng nhau v mét cùc ®iÓm cÊp m l m cùc ®iÓm ®¬n trïng nhau. Theo c«ng thøc Newtown - Leibniz v ®Þnh nghÜa h m logarit phøc f ′(z) ∫ f (z) dz = ∫ d[ln f (z)] = ∆ΓLnf(z) = ∆Γln| f(z) | + i∆ΓArgf(z) = i∆ΓArgf(z) Γ Γ KÕt hîp víi c«ng thøc (4.8.2) suy ra hÖ qu¶ sau ®©y. HÖ qu¶ 2 (Nguyªn lý Argument) Sè gia cña argument cña h m f khi z ch¹y hÕt mét vßng trªn ®−êng cong Γ kÝn, tr¬n tõng khóc v ®Þnh h−íng d−¬ng b»ng 2π nh©n víi hiÖu sè cña sè kh«ng ®iÓm trõ ®i sè cùc ®iÓm cña h m f n»m trong miÒn DΓ. Tøc l ∆ΓArgf(z) = 2π(N - M) (4.8.3) HÖ qu¶ 3 (§Þnh lý RouchÐ) Cho ®−êng cong Γ ®¬n, kÝn, tr¬n tõng khóc, ®Þnh h−íng d−¬ng v c¸c h m f , g liªn tôc trªn Γ, gi¶i tÝch trong DΓ. KÝ hiÖu NΓ(f) l sè kh«ng ®iÓm cña h m f n»m trong DΓ. Khi ®ã nÕu ∀ z ∈ Γ, | f(z) | > | g(z) | th× NΓ(f + g) = NΓ(f). Chøng minh . Trang 72 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 4. Chuçi H m Phøc V ThÆng D− .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k g( z ) g( z ) ∀ z ∈ Γ, < 1 ⇒ ∆ΓArg(1 + Theo gi¶ thiÕt )=0 f (z ) f (z) Suy ra f (z) 1+ 1 ∆ΓArg[f(z) + g(z)] g( z ) NΓ(f + g) = 2π g( z ) 1 1 ∆ΓArg[f(z)(1 + = )] 2π f (z) g( z ) 1 1 ∆ΓArgf(z) + ∆ΓArg(1 + = ) = NΓ(f) 2π 2π f (z) HÖ qu¶ 4 (§Þnh lý D’Alembert - Gauss) Mäi ®a thøc hÖ sè phøc bËc n cã ®óng n kh«ng ®iÓm phøc trong ®ã kh«ng ®iÓm béi k tÝnh l k kh«ng ®iÓm. Chøng minh Gi¶ sö P(z) = a0 + a1z + ... + zn víi ak ∈ ∀ KÝ hiÖu f(z) = zn, g(z) = a0 + ... + an-1zn-1, M = Max{| ak | , k = 0...(n-1)} v R = nM + 1 Trªn ®−êng trßn Γ : | z | = R | g(z) | ≤ M(1 + ... + Rn-1) ≤ nMRn-1 < Rn = | f(z) | Theo hÖ qu¶ 3 NΓ(P) = NΓ(f + g) = NΓ(f) = n §9. C¸c øng dông thÆng d− §Þnh lý (Bæ ®Ò Jordan) Cho ®−êng cong ΓR = {| z | = R, Imz ≥ β} v h m f gi¶i tÝch trong nöa mÆt ph¼ng D = {Imz > β} ngo¹i trõ h÷u h¹n ®iÓm bÊt th−êng. Khi ®ã ta cã ∫ f (z)dz 1. NÕu lim zf(z) = 0 th× lim =0 (4.9.1) z →∞ R → +∞ ΓR iλz ∫ f (z)e 2. NÕu lim f(z) = 0 th× ∀ λ > 0, lim dz = 0 (4.9.2) z →∞ R → +∞ ΓR Chøng minh Γ2 1. Tõ gi¶ thiÕt suy ra M ∀ z ∈ ΓR, | zf(z) | ≤ M R →→ 0 ⇔ | f(z) | ≤ +∞ R Γ3 Γ1 Suy ra θ β . Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 73
h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 4. Chuçi H m Phøc V ThÆng D− .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k M ∫ f (z) ds = ∫ f (z)dz ≤ R(π + 2θ) R →→ 0 +∞ R ΓR Γ 2. Tõ gi¶ thiÕt suy ra ∀ z ∈ ΓR, | f(z) | ≤ M R →→ 0 +∞ Suy ra iλz ∫e iλz iλz iλz ∫e ∫e ∫e f (z)dz ≤ f (z) ds + f (z) ds + f (z) ds ΓR Γ1 Γ2 Γ3 ¦íc l−îng tÝch ph©n, ta cã f (z) ds ≤ 2Me-λyRθ ≤ 2Me-λ|β|β → 0 iλz iλz ∫e ∫e f (z) ds + R → +∞ Γ1 Γ3 π f (z) ds = MR ∫ e − λR sin t dt = πMRe-λRsinα → 0 víi α ∈ (0, π) iλz ∫e R → +∞ Γ2 0 HÖ qu¶ 1 Cho f(z) l ph©n thøc h÷u tû sao cho bËc cña mÉu sè lín h¬n bËc tö sè Ýt nhÊt l hai ®¬n vÞ, cã c¸c cùc ®iÓm ak víi k = 1...p n»m trong nöa mÆt ph¼ng trªn v cã c¸c cùc ®iÓm ®¬n bj víi j = 1...q n»m trªn trôc thùc. Khi ®ã ta cã +∞ q p ∫ f (x)dx = 2πi ∑ Re sf (a k ) + πi ∑ Re sf (b j ) (4.9.3) k =1 j =1 −∞ Chøng minh ΓR • §Ó ®¬n gi¶n, xÐt tr−êng hîp h m f cã mét cùc ®iÓm a thuéc nöa mÆt ph¼ng trªn v mét cùc ®iÓm ®¬n b thuéc a Γρ trôc thùc. Tr−êng hîp tæng qu¸t chøng minh t−¬ng tù. KÝ hiÖu -R b R ΓR : | z | = R, Imz > 0, Γρ : | z | = ρ, Imz > 0 Γ = ΓR ∪ [-R, b - ρ] ∪ Γρ ∪ [b + ρ, R] Theo c«ng thøc (4.7.6) ∫ f (z)dz ∫ f (z)dz + ∫ f (z)dz + ∫ f (z)dz ∫ f (z)dz = 2πiResf(a) + = Γ Γρ ΓR [ − R,b −ρ ] [ b + ρ,R ] KÕt hîp víi c«ng thøc (4.9.1) suy ra +∞ ∫ f (x)dx = ∫ f (z)dz ∫ f (z)dz + lim lim R → +∞ ,ρ →0 R → +∞ ,ρ →0 −∞ [ − R,b −ρ ] [ b + ρ,R ] ∫ f (z)dz = 2πiResf(a) - lim (1) ρ →0 Γρ c −1 Do b l cùc ®iÓm ®¬n nªn f(z) = + g(z) víi g(z) gi¶i tÝch trong l©n cËn ®iÓm b z−b Suy ra h m g(z) bÞ chÆn trªn Γρ . Trang 74 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.