Giáo trình học Xác suất thống kê

Chia sẻ: Langbiang Buon | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:126

Thêm vào BST

Báo xấu

1.320
lượt xem 624
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo giáo trình Xác suất thống kê dành cho sinh viên đại học. Trong giáo trình hầu hết các quy định đều được chứng minh một cách chi tiết, thậm chí có nhiều chứng minh muốn hiểu, đòi hỏi người đọc phải có trình độ toán tính nhất định, nhất là chương véctơ ngẫu nhiên, nhưng chủ trương không bắt buộc sinh viên phải hiểu tường tận các chứng minh, mà chỉ cần nhớ định lý và vận dụng chúng vào bài tập và thực tế....

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình học Xác suất thống kê

Chuong 1 ’’ ˜’ ´ ˆ ’ ’ ` ˆ ´ ˆ ´ NHUNG KHAI NIEM CO BAN VE XAC SUAT . 1. ’ ` ’ BO TUC VE GIAI T´ ˆ ´ ˆ ’ ˆ .’ ICH TO HOP 1.1 ´ ˘ Qui tac nhˆn a ’ ’’ o o Gia su mˆt cˆng viˆc n`o do duoc chia th`nh k giai doan. C´ n1 c´ch thuc hiˆn giai . e a ¯´ ¯ ’ .’ . a ¯ . o a .’ e . ¯ . ´ a ’ ´ a .’ e . ¯ . ´’ a ’ . e . ¯ . ´ doan thu nhˆt, n2 c´ch thuc hiˆn giai doan thu hai,...,nk c´ch thuc hiˆn giai doan thu ’ k. Khi do ta c´ ¯´ o n = n1 .n2 . . . nk c´ch thuc hiˆn cˆng viˆc. a .’ e o . e . • V´ du 1 Gia su dˆ’ di tu A dˆn C ta bat buˆc phai di qua diˆ’m B. C´ 3 duong kh´c ı . ’ ’’ ¯e ¯ ` ¯e ’ ´ ´ ˘ o . ’ ¯ ¯e o ¯ ’` ’ a ’ di tu A dˆn B v` c´ 2 duong kh´c nhau dˆ’ di tu B dˆn C. Vˆy c´ n = 3.2 c´ch nhau dˆ ¯ ` ¯e ¯e ’ ´ a o ¯ ’`’ a ¯e ¯ ` ¯e’ ´ a o . a ’ di tu A dˆn C. kh´c nhau dˆ ¯ ’ a ¯e ` ¯e ´ A B C 1.2 ’ Chinh hop ’ . ˜ ’ .’ a . ’ a ’’ ` a o. o o o ´ .’ 2 ¯ inh nghia 1 Chinh hop chˆp k cua n phˆn tu (k ≤ n) l` mˆt nh´m (bˆ) c´ thu tu D. . ’ o ` ’’ a a . ’ a` ’’ ¯˜ ` k phˆn tu kh´c nhau chon tu n phˆn tu da cho. gˆm ` ´ .’ a . ’ a ’’ ı e a n ` Sˆ chinh hop chˆp k cua n phˆn tu k´ hiˆu l` Ak . o ’ . ´ ınh: n! Cˆng thuc t´ o ’ Ak = n = n(n − 1) . . . (n − k + 1) (n − k)! ’ ` ’` ’ o a a´ ’ . • V´ du 2 Mˆt buoi hop gˆm 12 nguoi tham du. Hoi c´ mˆy c´ch chon mˆt chu toa ı . o ˆ . o ’ o . .’ . . v` mˆt thu k´? a o . ’ y ’ Giai ˜ o a o ’ . ’ y ` ’` ’ Mˆi c´ch chon mˆt chu toa v` mˆt thu k´ tu 12 nguoi tham du buˆi hop l` mˆt a o . . . ’ ’ .’ o . a o . ’ ’ a ’’ ` chinh hop chˆp k cua 12 phˆn tu. .’ a . 1
2 ’’ ˜ ’ a e . ’ ’ ` e a ´ Chuong 1. Nhung kh´i niˆm co ban vˆ x´c suˆt a ´ Do d´ sˆ c´ch chon l` A2 = 12.11 = 132. ¯o o a . a 12 ´ a ’ ´ ˜ o o e’ a ¯ ’.’ ´ ` • V´ du 3 Voi c´c chu sˆ 0,1,2,3,4,5 c´ thˆ lˆp duoc bao nhiˆu sˆ kh´c nhau gˆm 4 ı . ’ . e o a o ’ ´ ˜ o chu sˆ. ’ Giai ´ ´ ` ` a o ˘ ¯a ˘ ’ ´ ˜ o ’ a o o´ ` ’ ´ ˜ o C´c sˆ bat dˆu bang chu sˆ 0 (0123, 0234,...) khˆng phai l` sˆ gˆm 4 chu sˆ. o ’ ´ ` e ˜ o ¯a ’ ’ ´ ˜ o ’ ´ ˜ o Chu sˆ dˆu tiˆn phai chon trong c´c chu sˆ 1,2,3,4,5. Do do c´ 5 c´ch chon chu sˆ . a ¯´ o a . ¯a` dˆu tiˆn. e Ba chu sˆ kˆ tiˆp c´ thˆ’ chon t`y y trong 5 chu sˆ c`n lai. C´ A3 c´ch chon. ’ ´ ´ ´ ˜ o e e o e . u ´ ’ ´ ˜ o o . o 5 a . . ´ Vˆy sˆ c´ch chon l` 5.A3 = 5.(5.4.3) = 300 a o a . a 5 1.3 ’ Chinh hop l˘p . a ’ . D. ˜ ’ .’ a. a . ’ a ’’ a o ` . o o ´ .’ o 2 ¯ inh nghia 2 Chinh hop l˘p chˆp k cua n phˆn tu l` mˆt nh´m c´ thu tu gˆm k ’ ` a ’’ . ` ` ’ a ’’ ¯˜ ` ¯o o ˜ a ’’ o e ` ’ c´ m˘t 1,2,...,k lˆn trong phˆn tu chon tu n phˆn tu da cho, trong d´ mˆi phˆn tu c´ thˆ o a . a` nh´m. o ´ o ’ ’ a ’’ ¯ ’.’ ı e ` k Sˆ chinh hop l˘p ch˘p k cua n phˆn tu duoc k´ hiˆu Bn . .’ a. a . . o ´ ınh Cˆng thuc t´ ’ k Bn = nk ´ e ´ o a a a ’ o e a ´ • V´ du 4 Xˆp 5 cuˆn s´ch v`o 3 ng˘n. Hoi c´ bao nhiˆu c´ch xˆp ? ı . e ’ Giai ˜ ´ ´ o a a a a o . ’ .’ a. a . ’ ˜ ` Mˆi c´ch xˆp 5 cuˆn s´ch v`o 3 ng˘n l` mˆt chinh hop l˘p chˆp 5 cua 3 (Mˆi lˆn o a e o a ´ ´ a ’ . a a o ´ xˆp 1 cuˆn s´ch v`o 1 ng˘n xem nhu chon 1 ng˘n trong 3 ng˘n. Do c´ 5 cuˆn s´ch nˆn e o a a o a e . . a ¯ ’ .’ e´ h`nh 5 lˆn). viˆc chon ng˘n duoc tiˆn a e a` ´ a o a . ´ Vˆy sˆ c´ch xˆp l` B3 = 35 = 243. e a 5 1.4 Ho´n vi a . ˜ a . ’ a ’’ a o ` o ´ .’ o ¯’ a ` ` 2 ¯ inh nghia 3 Ho´n vi cua m phˆn tu l` mˆt nh´m c´ thu tu gˆm du m˘t m phˆn D. . o ’ . a ’’ da cho. tu ¯˜ ´ o a . ’ a ’’ ¯ ’.’ ı e a ` Sˆ ho´n vi cua m phˆn tu duoc k´ hiˆu l` Pm . . o ´ ınh Cˆng thuc t´ ’ Pm = m! ı . o a o . . ’ o a a´ ´ e ˜ ` • V´ du 5 Mˆt b`n c´ 4 hoc sinh. Hoi c´ mˆy c´ch xˆp chˆ ngˆi ? o o ’ Giai ˜ o a ´ e ˜ o ’ . ’’ o a a o . . a . ’ a ’’ ` ´ Mˆi c´ch xˆp chˆ cua 4 hoc sinh o mˆt b`n l` mˆt ho´n vi cua 4 phˆn tu. Do d´ sˆ ¯o o a ´ c´ch xˆp l` P4 = 4! = 24. e a
’ ` e ’ ıch o .’’ 1. Bˆ t´ c vˆ giai t´ tˆ hop o u 3 1.5 ’ ’ Tˆ hop o . D. ˜ ’ o .’ a. ’ a ’’ ` 2 ¯ inh nghia 4 Tˆ hop chˆp k cua n phˆn tu (k ≤ n) l` mˆt nh´m khˆng phˆn biˆt a o . o o a e . ´ tu, gˆm k phˆn tu kh´c nhau chon tu n phˆn tu da cho. thu .’ o ’ ` a` ’’ a . `’ a` ’’ ¯˜ ´ ’ ’ a ’’ ı e a k ` Sˆ tˆ hop chˆp k cua n phˆn tu k´ hiˆu l` Cn . o o .’ a . . o ´ ınh Cˆng thuc t´ ’ k n! n(n − 1) . . . (n − k + 1) Cn = = k!(n − k)! k! Ch´ y u´ ’´ i) Qui uoc 0! = 1. ’ k n−k ii) Cn = Cn . k k−1 k iii) Cn = Cn−1 + Cn−1 . ı . ˜ o ¯e` o` a ´ ’ a a ’ ’´ ’ o e’ a • V´ du 6 Mˆi dˆ thi gˆm 3 cˆu hoi lˆy trong 25 cˆu hoi cho truoc. Hoi c´ thˆ lˆp ’ . e e ¯e ` nˆn bao nhiˆu dˆ thi kh´c nhau ? a ’ Giai 25! 25.24.23 Sˆ dˆ thi c´ thˆ’ lˆp nˆn l` C25 ´ o ¯e` o e a e a 3 . = = = 2.300. 3!.(22)! 1.2.3 ı . o a ı . o o’ ’ ’’ . o ` ¯ e’ a y o o ˜ ’ ´ ˜ ’ • V´ du 7 Mˆt m´y t´nh c´ 16 cˆng. Gia su tai mˆi thoi diˆm bˆt k` mˆi cˆng ho˘c a . trong su dung ho˘c khˆng trong su dung nhung c´ thˆ’ hoat dˆng ho˘c khˆng thˆ hoat ’’ . a . o ’’ . ’ o e . ¯o . a . o e’ . . ’ o e a ı´ a . ¯o o’ ’’ . dˆng. Hoi c´ bao nhiˆu cˆu h`nh (c´ch chon) trong d´ 10 cˆng trong su dung, 4 khˆng ¯o o ’’ dung nhung c´ thˆ’ hoat dˆng v` 2 khˆng hoat dˆng? trong su . ’ o e . ¯o . a o . ¯o . ’ Giai De’ a ¯i ´ ’´ ¯ ˆ x´c d.nh sˆ c´ch chon ta qua 3 buoc: o a . ’ ’´ ’ ’’ . o 10 Buoc 1: Chon 10 cˆng su dung: c´ C16 = 8008 c´ch. ’ . o a Buoc 2: Chon 4 cˆng khˆng trong su dung nhung c´ thˆ’ hoat dong trong 6 cˆng c`n ’´ ’ . o’ o ’’ . ’ o e . ¯ˆ . o’ o 4 lai: c´ C6 = 15 c´ch. . o a Buoc 3: Chon 2 cˆng khˆng thˆ’ hoat dˆng: c´ C2 = 1 c´ch. ’´ ’ . o’ o e . ¯o . o 2 a ´ ˘ o 10 4 2 Theo qui tac nhˆn, ta c´ C16 .C6 .C2 = (8008).(15).(1) = 120.120 c´ch. a a 1.6 ´ Nhi thuc Newton . ’ ’’ o o ’ ´ ¯˜ e a ˘ ¯˘ ` ’ ´ ¯a ´ O phˆ thˆng ta da biˆt c´c hang dang thuc d´ng nho ’ ’ a + b = a 1 + b1 (a + b)2 = a2 + 2a1 b1 + b2 (a + b)3 = a3 + 3a2 b1 + 3a1 b2 + b3 . ´ a e o ` a ˘ ¯˘ ’ C´c hˆ sˆ trong c´c hang dang thuc trˆn c´ thˆ’ x´c d.nh tu tam gi´c Pascal ´ e o e a ¯i ’ ` ’ a
4 ’’ ˜ ’ a e . ’ ’ ` e a ´ Chuong 1. Nhung kh´i niˆm co ban vˆ x´c suˆt a 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 0 1 2 3 4 n−1 n Cn Cn Cn Cn Cn ... Cn Cn ¯˜ ´ ’ ’ ´ o . ´ Newton da chung minh duoc cˆng thuc tˆng qu´t sau (Nhi thuc Newton): ’ ¯ ’ .’ o a ’ n (a + b)n = Cn an−k bk k k=o = Cn an + Cn an−1 b + Cn an−2 b2 + . . . + Cn an−k bk + . . . + Cn abn−1 + Cn bn 0 1 2 k n−1 n ´ a a o .’ ´ (a,b l` c´c sˆ thuc; n l` sˆ tu nhiˆn) a o .’ e 2. ´ ˆ ´ ˆ ` ˆ ˜’ ´ ´ ˆ ´ ˆ BIEN CO VA QUAN HE GIUA CAC BIEN CO . 2.1 ’ a e o´ ´ Ph´p thu v` biˆn cˆ e ’ Viˆc thuc hiˆn mˆt nh´m c´c diˆu kiˆn co ban dˆ’ quan s´t mˆt hiˆn tuong n`o do e . .’ e . o . o a ¯ e` e . ’ ’ ¯e a o . e . ’ .’ a ¯´ ’’ C´c kˆt qua c´ thˆ’ xay ra cua ph´p thu duoc goi l` biˆn cˆ (su duoc goi mˆt ph´p thu. a e ¯ ’ .’ . o . e ´ ’ o e ’ ’ e ´ ´ ’’ ¯ ’ .’ . a e o .’ kiˆn). e . • V´ du 8 ı . ` e` e a o ’’ Do` e` a a a ¯o a ´ ’’ a o i) Tung dˆng tiˆn lˆn l` mˆt ph´p thu. ¯ ˆng tiˆn lˆt m˘t n`o d´ (xˆp, ngua) l` mˆt ¯o . e . . . ´ ´ biˆn cˆ. e o ´ ˘ o . a u a o a . a o. e ’’ ii) Ban mˆt ph´t s´ng v`o mˆt c´i bia l` mˆt ph´p thu. Viˆc viˆn dan tr´ng (trˆt) e . e ¯. u a . ´n cˆ. bia l` mˆt biˆ o a o e . ´ 2.2 a ´ ´ e o a e ˜ a . ’ ´ ´ C´c biˆn cˆ v` quan hˆ giua c´c biˆn cˆ e o i) Quan hˆ k´o theo e e . ´ ´ e o ¯ ’ .’ . a e ´ ´ e o ı e . ´ e ’ ı ’ Biˆn cˆ A duoc goi l` k´o theo biˆn cˆ B, k´ hiˆu A ⊂ B, nˆu A xay ra th` B xay ra. ii) Quan hˆ tuong duong e ’’ . ¯’’ ´ ´ a ¯ ’ .’ . a ’ ’ ¯ ’ ’ ´’ ´ Hai biˆn cˆ A v` B duoc goi l` tuong duong voi nhau nˆu A ⊂ B v` B ⊂ A, k´ hiˆu e o e a ı e . A = B. ´ ´ ´ iii) Biˆn cˆ so cˆp e o ’ a Biˆn cˆ so cˆp l` biˆn cˆ khˆng thˆ’ phˆn t´ duoc nua duoc nua. ´ ´ ´ e o ’ a a e o o ´ ´ e a ıch ¯ ’ .’ ˜ ¯ ’ .’ ’ ’ ´ ´ ´ e o ˘ ´ ˘ iv) Biˆn cˆ chac chan ´ ´ ´ e ’ .’ e . e ’’ ı e L` biˆn cˆ nhˆt d.nh s˜ xay ra khi thuc hiˆn ph´p thu. K´ hiˆu Ω. a e o a ¯i .
´ o a ´ e ˜ a ´ o ´ 2. Biˆn cˆ v` quan hˆ giua c´c biˆn cˆ e . ’ e 5 u ˘ ´ ´ ´ . ´ u ˘ o o a ´ ´ e ’ • V´ du 9 Tung mˆt con x´c xac. Biˆn cˆ m˘t con x´c xac c´ sˆ chˆm b´ hon 7 l` ı . o . e o a a biˆ ˆ e ´ ˘ ´ ´ ´n co chac chan. ˘ ´ ´ o v) Biˆn cˆ khˆng thˆ e o e’ ´ ´ ´ o ’ .’ e . e ’’ ı e L` biˆn cˆ nhˆt d.nh khˆng xay ra khi thuc hiˆn ph´p thu. K´ hiˆu ∅. a e o a ¯i . ⊕ Nhˆn x´t Biˆn cˆ khˆng thˆ’ ∅ khˆng bao h`m mˆt biˆn cˆ so cˆp n`o, nghia l` a . e ´ ´ e o o e o a o . ´ ´ ´ a e o ’ a ˜ a o o e ´ cˆ so cˆp n`o thuˆn loi cho biˆn cˆ khˆng thˆ’. ´ ’ a a khˆng c´ biˆn o ´ a .’ . e o ´ o e ´ ´ a ˜ vi) Biˆn cˆ ngˆu nhiˆn e o e L` biˆn cˆ c´ thˆ’ xay ra ho˘c khˆng xay ra khi thuc hiˆn ph´p thu. Ph´p thu m` ´ ´ a e o o e ’ a . o ’ .’ e . e ’’ e ’’ a ´ ’ ’ ´ ´ ˜ ’’ a˜ c´c kˆt qua cua n´ l` c´c biˆn cˆ ngˆu nhiˆn duoc goi l` ph´p thu ngˆu nhiˆn. a e o a a e o a e ¯ ’ .’ . a e e ´ ´ ’ vii) Biˆn cˆ tˆng e o o ´ ´ ’ ’ ´ ´ ´ ’ Biˆn cˆ C duoc goi l` tˆng cua hai biˆn cˆ A v` B, k´ hiˆu C = A + B, nˆu C xay e o ¯ ’ .’ . a o e o a ı e. e a ıt a´ o . ´ ´ ra khi v` chi’ khi ´ nhˆt mˆt trong hai biˆn cˆ A v` B xay ra. e o a ’ ı . ’` .’ a u ’ ´ ˘ a o . u e .´ a e o´ ´ ’` • V´ du 10 Hai nguoi tho s˘n c`ng ban v`o mˆt con th´. Nˆu goi A l` biˆn cˆ nguoi ’ thu ˆ ’ ´ ˘ ´ u u a a e ´ o ´ ’` ´’ ’ ´ u ´ nhat ban tr´ng con th´ v` B l` biˆn cˆ nguoi thu hai ban tr´ng con th´ th` C = A+B ˘ u ı l` biˆ o a e ´ u . ˘´ ´n cˆ con th´ bi ban tr´ng. u Ch´ y u´ i) Moi biˆn cˆ ngˆu nhiˆn A dˆu biˆ’u diˆn duoc duoi dang tˆng cua mˆt sˆ biˆn cˆ . ´ ´ ˜ e o a e ¯e` e ˜ e ¯ ’ .’ ’´ . ’ o’ ’ . ´ ´ ´ o o e o ´ ’ a a ¯´ a ´ ´ e o ’ a ´ o’ a ¯ ’ .’ . a a ´ ´ so cˆp n`o do. C´c biˆn cˆ so cˆp trong tˆng n`y duoc goi l` c´c biˆn cˆ thuˆn loi cho e o a .’ . ´ cˆ A. biˆn o e ´ ii) Biˆn cˆ chac chan Ω l` tˆng cua moi biˆn cˆ so cˆp c´ thˆ’, nghia l` moi biˆn cˆ ´ ´ ´ e o ˘ ´ ˘ a o ’ ’ . ´ ´ ´ e o ’ a o e ˜ a . ´ ´ e o ´ ’ a ¯e` a .’ . ¯´ o ¯ ’ .’ . a o a ´ ´ so cˆp dˆu thuˆn loi cho Ω. Do do Ω c`n duoc goi l` khˆng gian c´c biˆn cˆ so cˆp. e o ’ a ´ ı . o. u ˘ ´ o ´ ´ e o ’ a ´ • V´ du 11 Tung mˆt con x´c xac. Ta c´ 6 biˆn cˆ so cˆp A1 , A2 , A3 , A4 , A5 , A6 , trong a e ´n cˆ xu´t hiˆn m˘t j chˆm j = 1, 2, . . . , 6. d´ Aj l` biˆ o ¯o ´ a e . a . ´ a . ´ ´ ´ e . a ´ o a . ’ ´ ´ ˜ ˘ ı o ´ ´ Goi A l` biˆn cˆ xuˆt hiˆn m˘t voi sˆ chˆm chan th` A c´ 3 biˆn cˆ thuˆn loi l` a e o a e o a .’ a . A2 , A 4 , A 6 . Ta c´ A = A2 + A4 + A6 o . ´ ´ ´ . a ´ o a . ’ ´ ´ ´ e ı o ´ ´ Goi B l` biˆn cˆ xuˆt hiˆn m˘t voi sˆ chˆm chia hˆt cho 3 th` B c´ 2 biˆn cˆ thuˆn a e o a e e o a . loi l` A3 , A6 . .’ a Ta c´ B = A3 + A6 o ´ ´ viii) Biˆn cˆ t´ e o ıch ´ ´ e o ¯ ’ .’ . a ıch ’ ´ ´ e o a ı e . ´ e ’ Biˆn cˆ C duoc goi l` t´ cua hai biˆn cˆ A v` B, k´ hiˆu AB, nˆu C xay ra khi v` a ˜ chi’ khi ca A lˆn B c`ng xay ra. ’ a u ’
6 ’’ ˜ ’ a e . ’ ’ ` e a ´ Chuong 1. Nhung kh´i niˆm co ban vˆ x´c suˆt a ı . ’` u ’ ´ ˘ a • V´ du 12 Hai nguoi c`ng ban v`o mˆt con th´. o . u ´ ´ ’` ’ ´ ´ ’ ´ a ˘ ´ ´ ’` ’ ´ ´ ˘ Goi A l` biˆn cˆ nguoi thu nhˆt ban truot, B l` biˆn cˆ nguoi thu hai ban truot th` . a e o ’.’ a e o ’ ’.’ ı C = AB l` biˆn o a e ´ u o . ˘´ ´ cˆ con th´ khˆng bi ban tr´ng. u ´ ´ . ix) Biˆn cˆ hiˆu e o e . ´ ´ e o ´ ´ a e o ı e . ´ ´ Hiˆu cua biˆn cˆ A v` biˆn cˆ B, k´ hiˆu A \ B l` biˆn cˆ xay ra khi v` chi’ khi A e ’ a e o ’ a ’ ’ xay ra nhung B khˆng xay ra. ’ o ´ ´ ´ ˘ x) Biˆn cˆ xung khac e o ´ ´ ´ ´ ´ ´ ˘ e ` ` Hai biˆn cˆ A v` B duoc goi l` hai biˆn cˆ xung khac nˆu ch´ng khˆng dˆng thoi e o a ¯ ’ .’ . a e o u o ¯o ’ ’ o . e ’’ xay ra trong mˆt ph´p thu. ı . o ¯o . ` e` • V´ du 13 Tung mˆt dˆng tiˆn. . ´ ´ ´ . . ´ a a ´ ´ ´ . a e o a e a . ’’ Goi A l` biˆn cˆ xuˆt hiˆn m˘t xˆp, B l` biˆn cˆ xuˆt hiˆn m˘t ngua th` AB = ∅. a e o a e ı ´ ´ ´ . xi) Biˆn cˆ dˆi lˆp e o ¯o a ´ ´ e o o ’ e o ¯ ’ .’ . a e o ¯o a ´ e o ´ ´ ´ ´ ´ . ’ ´ ´ Biˆn cˆ khˆng xay ra biˆn cˆ A duoc goi l` biˆn cˆ dˆi lˆp voi biˆn cˆ A. K´ hiˆu A. ı e . Ta c´ o A + A = Ω, AA = ∅ ⊕ Nhˆn x´t a . e . e ´ a a ´ ´ ’ e o o ´ . ıch, e ¯o a . ’’ ´ Qua c´c kh´i niˆm trˆn ta thˆy c´c biˆn cˆ tˆng, t´ hiˆu, dˆi lˆp tuong ung voi a a e ’ ´’ . .’ . ` b` cua l´ thuyˆt tˆp hop. Do d´ ta c´ thˆ’ su dung c´c ph´p tˆp hop, giao, hiˆu, phˆn u a e a ’ y ´ a e . .’ ¯o o e ’’ . a e e a a . .’ a e a e a ´ ´ to´n trˆn c´c tˆp hop cho c´c ph´p to´n trˆn c´c biˆn cˆ. a e o Ta c´ thˆ’ d`ng biˆ’u dˆ Venn dˆ’ miˆu ta c´c biˆn cˆ. o e u e ¯o ` ¯e e ’ a ´ ´ e o Ω Ω Ω ´ ˘ ´ ˘ Bc chac chan A+B AB Ω Ω Ω A B A B A A A=⇒B ´ ˘ A,B xung khac ´ . ¯ ˆi lˆp A Do a
´ 3. X´c suˆt a a 7 3. ´ ´ ˆ XAC SUAT 3.1 ˜ a ´ ´ ’ ’ ¯ inh nghia x´c suˆt theo lˆi cˆ diˆn D. a o o ¯e 2 ¯ inh nghia 5 Gia su ph´p thu c´ n biˆn cˆ dˆng kha n˘ng c´ thˆ’ xay ra, trong d´ D. ˜ ’ ’’ e ’’ o ´ ´ ` e o ¯o ’ a o e ’ ¯o c´ m biˆ o o e ´ ¯o` ’ a a .’ . e´ o ´ a o’ ´n cˆ dˆng kha n˘ng thuˆn loi cho biˆn cˆ A (A l` tˆng cua m biˆn cˆ so cˆp ’ e´ o ’ a ´ ´ a ¯o a ´ a ’ ´ ´ e o ı e. ¯ ’.’ ¯i ˜ ˘` o ´ n`y). Khi d´ x´c suˆt cua biˆn cˆ A, k´ hiˆu P (A) duoc d. nh nghia bang cˆng thuc sau: ’ m ´ o ’` Sˆ truong hop thuˆn loi cho A ’ .’ a .’ . P (A) = = n ` ’ ´ truong hop c´ thˆ xay ra Sˆ ’ ’ o .’ o e ’ o . ´ u ˘ a ¯o ¯o ´ ` ´ a ınh a ´ a ´ e • V´ du 14 Gieo mˆt con x´c xac cˆn dˆi, dˆng chˆt. T´ x´c suˆt xuˆt hiˆn m˘t ı . a . a . ˜ ˘ chan. ’ Giai . ´ ´ ´ e a e o a . a . ´ a a ´ ´ ´ e a e o a . a . ˜ ˘ Goi Ai l` biˆn cˆ xuˆt hiˆn m˘t i chˆm v` A l` biˆn cˆ xuˆt hiˆn m˘t chan th` ı A = A2 + A4 + A6 Ta thˆy ph´p thu c´ 6 biˆn cˆ so cˆp dˆng kha n˘ng c´ thˆ’ xay ra trong d´ c´ 3 ´ a e ’’ o ´ ´ e o ’ a ¯o´ ` ’ a o e ’ ¯o o ´ ´ biˆn cˆ thuˆn loi cho A. e o a .’ . 3 1 P (A) = = 6 2 ı . o . ’` . ¯ e ’ . . ’ . e ´ ´ o o ’ o ¯e ´ . . a ` • V´ du 15 Mˆt nguoi goi diˆn thoai nhung lai quˆn 2 sˆ cuˆi cua sˆ diˆn thoai cˆn . ´ a ’ ´ ım a ´ goi m` chi’ nho l` 2 sˆ d´ kh´c nhau. T` x´c suˆt dˆ a o ¯o a a ¯e ’ nguoi d´ quay ngˆu nhiˆn mˆt ’` ¯o ’ ˜ a e o. lˆn u a o´ a . ` tr´ng sˆ cˆn goi. ` ’ Giai . ´ ´ ’` ¯o ’ ˜ a e . ` u o a ´ ` Goi A l` biˆn cˆ nguoi d´ quay ngˆu nhiˆn mˆt lˆn tr´ng sˆ cˆn goi. a e o o a . Sˆ biˆn cˆ so cˆp dˆng kha n˘ng c´ thˆ’ xay ra (sˆ c´ch goi 2 sˆ cuˆi) l` n = A2 = 90. ´ ´ ´ o e o ’ a ¯o ´ ` ’ a o e ’ ´ o a . ´ ´ o o a 10 ´ ´ ´ Sˆ biˆn cˆ thuˆn loi cho A l` m = 1. o e o a .’ . a 1 Vˆy P (A) = a . 90 . • V´ du 16 Trong hˆp c´ 6 bi trang, 4 bi den. T` x´c suˆt dˆ’ lˆy tu hˆp ra duoc ı . o o . ´ ˘ ¯ ım a ´ ´ ’ . a ¯e a ` o ¯ ’.’ i) 1 viˆn bi den. e ¯ ´ ˘ ii) 2 viˆn bi trang. e ’ Giai . ´ ´ ´ ’ . a e o a ` o ¯ ’ .’ e ¯ a ´ ´ ´ ’ . a e o a ` o Goi A l` biˆn cˆ lˆy tu hˆp ra duoc 1 viˆn bi den v` B l` biˆn cˆ lˆy tu hˆp ra 2 ´ng. ˘ viˆn bi tra e Ta c´ o
8 ’’ ˜ ’ a e . ’ ’ ` e a ´ Chuong 1. Nhung kh´i niˆm co ban vˆ x´c suˆt a 1 C4 2 i) P (A) = 1 = C10 5 2 C6 1 ii) P (B) = 2 = C10 3 u ˜ a ’ . ˜ e ` o o a u ’ ’ a a ım a ´ • V´ du 17 R´t ngˆu nhiˆn tu mˆt cˆ b`i t´ lo kho 52 l´ ra 5 l´. T` x´c suˆt sao ı . a cho trong 5 l´ r´t ra c´ a u o a ¯’ a a ¯ a) 3 l´ do v` 2 l´ den. ’ o o` b) 2 con co, 1 con rˆ, 2 con chuˆn. ’ Giai . ´ ´ a e o u ¯ ’ .’ a ¯’ a a ¯ Goi A l` biˆn cˆ r´t ra duoc 3 l´ do v` 2 l´ den. a e ´ cˆ r´t ra duoc 2 con co, 1 con rˆ, 2 con chuˆn. B l` biˆn o´ u ¯ ’ .’ ’ o o` Sˆ biˆn cˆ c´ thˆ’ xay ra khi r´t 5 l´ b`i l` C52 . ´ ´ ´ o e o o e ’ u a a a 5 ´ ´ ´ o e o a .’ . a 3 2 a) Sˆ biˆn cˆ thuˆn loi cho A l` C26 .C26 . 3 2 C26 .C26 845000 P (A) = 5 = = 0, 3251 C52 2598960 ´ ´ ´ o e o a .’ . a 2 1 2 b) Sˆ biˆn cˆ thuˆn loi cho B l` C13 .C13 .C13 2 1 2 C13 .C13 .C13 79092 P (B) = 5 = = 0, 30432 C52 2598960 ı . a a a o . o o` ’`’ ım a a ¯e’ o ıt ´ • V´ du 18 (B`i to´n ng`y sinh) Mˆt nh´m gˆn n nguoi. T` x´c suˆt dˆ c´ ´ ´t hai nguoi c´ c`ng ng`y sinh (c`ng ng`y v` c`ng th´ng). nhˆ a ` o u ’’ a u a a u a ’ Giai Goi S l` tˆp hop c´c danh s´ch ng`y sinh c´ thˆ’ cua n nguoi v` E l` biˆn cˆ c´ ´ . a a . .’ a a a o e ’ ’` a ’ ´ ´ a e o o ıt ´ ’` nhˆt hai nguoi trong nh´m c´ c`ng ng`y sinh trong n˘m. a ’ o o u a a ´ ´ a e o o o ’ ´ ’` a y Ta c´ E l` biˆn cˆ khˆng c´ hai nguoi bˆt k` trong nh´m c´ c`ng ng`y sinh. o o o u a ´ ’` .’ ’ Sˆ c´c truong hop cua S l` o a ’ a n(S) = 365.365 . . . 365 = 365n n ´ o ’` Sˆ truong hop thuˆn loi cho E l` ’ .’ a .’ . a n(E) = 365.364.363. . . . [365 − (n − 1)] [365.364.363. . . . (366 − n)](365 − n)! = (365 − n)! 365! = (365−n)!
´ 3. X´c suˆt a a 9 ı a ´ ` e o ¯o ’ a V` c´c biˆn cˆ dˆng kha n˘ng nˆn e 365! n(E) (365−n)! 365! P (E) = = n = n .(365 − n)! n(S) 365 365 Do d´ x´c suˆt dˆ’ ´ nhˆt c´ hai nguoi c´ c`ng ng`y sinh l` ¯o a ´ a ¯e ıt a o´ ’` o u ’ a a 365! (365−n)! 365! P (E) = 1 − P (E) = 1 − = 365n 365n .(365 − n)! ´ ’` Sˆ nguoi trong nh´m o ’ o ´ ´ ’` o u X´c suˆt c´ ´ nhˆt 2 nguoi c´ c`ng ng`y sinh a a o ıt a ’ a n P (E) 5 0,027 10 0,117 15 0,253 20 0,411 23 0,507 30 0,706 40 0,891 50 0,970 60 0,994 70 0,999 ’ Bang b`i to´n ng`y sinh a a a Ch´ y ¯ inh nghia x´c suˆt theo lˆi cˆ diˆ’n c´ mˆt sˆ han chˆ: u ´ D. ˜ a ´ a ´ ’ o o ¯e o o o . . ´ ´ e o e . ’ ´ ´ e o ’ a ´ i) N´ chi’ x´t cho hˆ huu han c´c biˆn cˆ so cˆp. e ˜ . a ’ u a ` ’ a ’ ii) Khˆng phai l´c n`o viˆc ”¯ˆng kha n˘ng” c˜ng xay ra. o e do . u 3.2 ˜ a ´ ´ ´ ¯ inh nghia x´c suˆt theo lˆi thˆng kˆ D. a o o e D. ˜ .’ e . e ’’ a` ´ ´ ’ ’’ e o ´ e a . a` 2 ¯ inh nghia 6 Thuc hiˆn ph´p thu n lˆn. Gia su biˆn cˆ A xuˆt hiˆn m lˆn. Khi ` ´ ¯ ’.’ . a a o ’ ´ ´ e o a ’ o´ ¯ ’.’ . a a m ` ´ ´ . ´ d´ m duoc goi l` tˆn sˆ cua biˆn cˆ A v` ty sˆ n duoc goi l` tˆn suˆt xuˆt hiˆn biˆn ¯o a a e e ´ cˆ A trong loat ph´p thu. o . e ’’ ´ o e ’’ a e o . a` ´ a ´ e a . ´ ´ e o ` . ´ a e` o o a Cho sˆ ph´p thu t˘ng lˆn vˆ han, tˆn suˆt xuˆt hiˆn biˆn cˆ A dˆn vˆ mˆt sˆ x´c ´ a ’ ´ ´ d. nh goi l` x´c suˆt cua biˆn cˆ A. ¯i . a a e o m P (A) = n→∞ lim n . ´ e ¯. a o a´ • V´ du 19 Mˆt xa thu ban 1000 viˆn dan v`o bia. C´ xˆp xi’ 50 viˆn tr´ng bia. Khi ı . o . ’ ˘ e u ¯o a a ’ . ’ ˘ ´ ´t dˆ xa thu ban tr´ng bia l` 50 = 5%. d´ x´c suˆ ¯e u a 1000 • V´ du 20 ¯ ˆ’ nghiˆn cuu kha n˘ng xuˆt hiˆn m˘t sˆp khi tung mˆt dˆng tiˆn, nguoi ı . De e ´ ’ ’ a ´ . a e . ´ a a o ¯o . ` e` ’` ’ ´ e a ¯o` e` e` a a ` ¯ ’.’ e´ ’ ’’ ’ ´ ¯a ta tiˆn h`nh tung dˆng tiˆn nhiˆu lˆn v` thu duoc kˆt qua cho o bang duoi dˆy: ’’
10 ’’ ˜ ’ a e . ’ ’ ` e a ´ Chuong 1. Nhung kh´i niˆm co ban vˆ x´c suˆt a ’` a ´ ` ´ ` ` Nguoi l`m Sˆ lˆn Sˆ lˆn duoc Tˆn suˆt ’ o a o a ¯ ’ .’ a ´ a th´ nghiˆm tung ı e . . ´ m˘t sˆp a a f (A) Buyﬀon 4040 2.048 0,5069 Pearson 12.000 6.019 0,5016 Pearson 24.000 12.012 0,5005 3.3 ˜ a ´ ’ ¯ inh nghia x´c suˆt theo quan diˆm h` hoc D. a ¯e ınh . D. ˜ e o . e ’’ o o a ´ ´ e o ’ a ´ ¯ ’.’ e’ ˜ 2 ¯ inh nghia 7 X´t mˆt ph´p thu c´ khˆng gian c´c biˆn cˆ so cˆp Ω duoc biˆu diˆn e boi miˆn h`nh hoc Ω c´ dˆ do (¯ˆ d`i, diˆn t´ch, thˆ’ t´ ’’ ` e ı . o ¯o ¯ do a . . e ı . ˜ . ´ ´ e ıch) huu han kh´c 0, biˆn cˆ A ’ a e o duoc biˆ’u diˆn boi miˆn h` hoc A. Khi do x´c suˆt cua biˆn cˆ A duoc x´c d. nh boi: ¯ ’.’ e ˜ e ’’ ` e ınh . ¯´ a ´ a ’ ´ ´ ¯ ’.’ a ¯i e o ’’ o ¯ ’ e` Dˆ do cua miˆn A P (A) = ¯ . Do ¯ ’ ` ¯ ˆ do cua miˆn Ω . e e ¯ . ’ ˘ a˜ e ¯ e’ • V´ du 21 Trˆn doan thang OA ta gieo ngˆu nhiˆn hai diˆm B v` C c´ toa dˆ tuong ı . a o . ¯o ’ ’ . ung ’ ı a ´ ´ OB = x, OC = y (y ≥ x). T`m x´c suˆt sao cho dˆ d`i cua doan BC b´ hon dˆ a ¯o a . ’ ¯ . e ’ ¯o . a ’ ¯ . d`i cua doan OB. ’ Giai ’ ’’ ’ Gia su OA = l. C´c toa dˆ x v` y phai a . ¯o a y . ’ a a ¯ e` e thoa m˜n c´c diˆu kiˆn: . I M Q 0 ≤ x ≤ l, 0 ≤ y ≤ l, y≥x (*) y=2x Biˆ’u diˆn x v` y lˆn hˆ truc toa do vuˆng e ˜ e a e e . . ¯ˆ o . . g´c. C´c diˆ o a ¯e ’m c´ toa do thoa m˜n (*) thuˆc o . ¯ˆ ’ . a o . tam gi´c OM Q (c´ thˆ a o e ’ xem nhu biˆn cˆ chac ’ e ´ ´ ´ o ˘ ˘´ chan). O x M˘t kh´c, theo yˆu cˆu b`i to´n ta phai c´ y − x < x hay y < 2x (**). Nhung diˆ’m a . a ` e a a a ’ o ˜ ¯e ’ o . ¯ˆ ’ . a a o . e` o . e` a .’ . ´ cˆ cˆn t` e ´ a ım c´ toa do thoa m˜n (*) v` (**) thuˆc miˆn c´ gach. Miˆn thuˆn loi cho biˆn o ` a a a . ´ ` l` tam gi´c OM I. Vˆy x´c suˆt cˆn t´ a a a ınh diˆn t´ OM I e ıch . 1 p= = diˆn t´ OM Q e ıch . 2 a a ` • V´ du 22 (B`i to´n hai nguoi g˘p nhau) ı . ’’ a . Hai nguoi hen g˘p nhau o mˆt d. a dıˆ’m x´c d. nh v`o khoang tu 19 gio dˆn 20 gio. ’` . a ’ . ’’ o ¯i ¯ e . a ¯i a ’ `’ ’ ´ ` ¯e ` ’ Mˆi nguoi dˆn (chac chan s˜ dˆn) diˆ’m hen trong khoang thoi gian trˆn mˆt c´ch dˆc ˜ o ’ ’ ´ ` ¯e ´ ˘ ´ ´ ˘ e ¯e ¯ e . ’ `’ e o a ¯o . . a ´ . ’ `’ u ´ e o a´ ’` ’ ´ ¯e e ’ ¯ lˆp voi nhau, cho trong 20 ph´t, nˆu khˆng thˆy nguoi kia dˆn s˜ bo di. T` x´c suˆt ım a a´ ¯e’ ’` a dˆ hai nguoi g˘p nhau. ’ .
´ 3. X´c suˆt a a 11 ’ Giai Goi x, y l` thoi gian dˆn diˆ’m hen cua mˆi nguoi . a ` ’ ´ ¯e ¯ e . ’ ˜ o ’`’ a a e ´ cˆ hai nguoi g˘p nhau. R˜ r`ng x, y v` A l` biˆn o ´ ’` a ’ . o a l` mˆt diˆ’m ngˆu nhiˆn trong khoang [19, 20], ta a o ¯e . a˜ e ’ y c´ 19 ≤ x ≤ 20; o 19 ≤ y ≤ 20. 20 D De’ ’` a ¯ ˆ hai nguoi g˘p nhau th` ’ . ı A 1 ` 19 |x − y| ≤ 20 ph´t = 3 gio. u ’ Do d´ ¯o Ω = {(x, y) : 19 ≤ x20, 19 ≤ y ≤ 20} o 19 20 x 1 A = {(x, y) : |x − y| ≤ } 3 e ıch ’ e` ` ˘ Diˆn t´ cua miˆn Ω bang 1. . e ıch ’ . e` ` Diˆn t´ cua miˆn A bang 1 − 2. 2 . 2 . 2 = ˘ 1 5 3 3 9 diˆn t´ A e ıch 5/9 Vˆy P (A) = . a . = = 0, 555. diˆn t´ Ω e ıch . 1 3.4 ˜ a ´ ` ¯ inh nghia x´c suˆt theo tiˆn dˆ D. a e ¯e ’ ’’ ´ ´ ´ a e o ˘ ´ ˘ ’ ’ a ¯ e` e Gia su Ω l` biˆn cˆ chac chan. Goi A l` ho c´c tˆp con cua Ω thoa c´c diˆu kiˆn . a . a a . . sau: ´ i) A chua Ω. ’ ´ ii) Nˆu A, B ∈ A th` A, A + B, AB thuˆc A. e ı o . . ’ a e ¯e` a ı ¯ ’.’ . a ¯. o ´ Ho A thoa c´c tiˆn dˆ i) v` ii) th` A duoc goi l` dai sˆ. ´ a ’’ ’ ` ’ iii) Nˆu A1 , A2 , . . . , An , . . . l` c´c phˆn tu cua A th` tˆng v` t´ vˆ han A1 + A2 + e a a ı o a ıch o . . . . + An v` A1 A2 . . . An . . . c˜ng thuˆc A. a u o . ´ e ’ a ¯ e` e . ı ¯ ’ .’ . a ¯ . o ´ Nˆu A thoa c´c diˆu kiˆn i), ii), iii) th` A duoc goi l` σ dai sˆ. ˜ ´ a e a o a . ´ 2 ¯ inh nghia 8 Ta goi x´c suˆt trˆn (Ω, A) l` mˆt h`m P sˆ x´c d. nh trˆn A c´ gi´ D. . a o a ¯i e o a . a ’ tri trong [0,1] v` thoa m˜n 3 tiˆn dˆ a e ¯e ` sau: i) P (Ω) = 1. ´ ´ ˘ ii) P (A + B) = P (A) + P (B) (voi A, B xung khac). ’ ´ o ı ´ iii) Nˆu d˜y {An } c´ t´nh chˆt A1 ⊃ A2 ⊃ . . . ⊃ An ⊃ . . . v` A1 A2 . . . An . . . = ∅ th` e a a a ı lim P (An ) = 0. n→∞
12 ’’ ˜ ’ a e . ’ ’ ` e a ´ Chuong 1. Nhung kh´i niˆm co ban vˆ x´c suˆt a 3.5 ´ a ınh a ’ ´ C´c t´ chˆt cua x´c suˆt a a ´ . ´ ´ i) 0 ≤ P (A) ≤ 1 voi moi biˆn cˆ A ’ e o ii) P (Ω) = 1 iii) P (∅) = 0 ´ iv) Nˆu A ⊂ B th` P (A) ≤ P (B). e ı v) P (A) + P (A) = 1. vi) P (A) = P (AB) + P (AB). 4. ´ MOT SO CONG THUC T´ ˆ ˆ ˆ ´’ ´ ´ ˆ INH XAC SUAT . 4.1 o ´ o ’ . a ´ Cˆng thuc cˆng x´c suˆt a o ´ Cˆng thuc 1 ’ ’ ’’ ´ ´ ´ ˘ Gia su A v` B l` hai biˆn cˆ xung khac (AB = ∅). Ta c´ a a e o o P (A + B) = P (A) + P (B) ´ Chung minh ’ Gia su ph´p thu c´ n biˆn cˆ dˆng kha n˘ng c´ thˆ’ xay ra, trong do c´ mA biˆn cˆ ’ ’’ e ’’ o ´ ´ ` e o ¯o ’ a o e ’ ¯´ o ´ ´ e o . ´ ´ ´ ´ e o a .’ . ´ ´ e o ´ ´ ´ thuˆn loi cho biˆn cˆ A v` mB biˆn cˆ thuˆn loi cho biˆn cˆ B. Khi do sˆ biˆn cˆ thuˆn a .’ e o a ¯´ o e o a . .’ ´ cˆ A + B l` m = mA + mB . loi cho biˆn o e ´ a Do d´ ¯o mA + mB mA mB P (A + B) = = + = P (A) + P (B) n n n ˜ 2 ¯ inh nghia 9 D. ´ ´ ´ ´ ` e o ¯a ¯’ ´ ’ ˘ ` i) C´c biˆn cˆ A1 , A2 , . . . , An duoc goi l` nh´m c´c biˆn cˆ dˆy du xung khac tung a e o ¯ ’.’ . a o a ´ ´ ’ ˘ ` ¯o a o dˆi nˆu ch´ng xung khac tung dˆi v` tˆ ¯o e u ’ng cua ch´ng l` biˆn cˆ chac chan. Ta c´ ’ u ´ ´ ´ a e o ˘ ´ ˘ o A1 + A2 + . . . + An = Ω, Ai Aj = ∅ ´ ´ ´ ´ . . ´ ` ii) Hai biˆn cˆ A v` B duoc goi l` hai biˆn cˆ dˆc lˆp nˆu su tˆn tai hay khˆng tˆn e o a ¯ ’.’ . a e o ¯o a e .’ o . o o` . ’ ´n cˆ n`y khˆng anh huong dˆn su tˆn tai hay khˆng tˆn tai cua biˆn cˆ kia. tai cua biˆ o e ´ a o ’ ’ ´ ’’ ¯e .’ o .` o o` . ’ ´ o e ´ ´ ´ e o ¯ ’.’ . ¯o a . . a ` ´ o e o ¯o a a e ˜ ´ ´ . . iii) C´c biˆn cˆ A1 , A2 , . . . , An duoc goi dˆc lˆp to`n phˆn nˆu mˆi biˆn cˆ dˆc lˆp a ´ ı ’ ’ hop bˆt k` trong c´c biˆn cˆ c`n lai. voi t´ch cua mˆt tˆ .’ a y ’ o o . ´ a ´ ´ e o o . e. ’ Hˆ qua 1 ´ e ´ ´ a e o ´ ’ ˘ ` ¯o ı i) Nˆu A1 , A2 , . . . , An l` biˆn cˆ xung khac tung dˆi th` P (A1 + A2 + . . . + An ) = P (A1 ) + P (A2 ) + . . . + P (An )
´ o o o . ´ ınh x´c suˆt 4. Mˆt sˆ cˆng thuc t´ ’ a ´ a 13 ´ e a o a ´ ´ ` e o ¯a ¯’ ´ ’ ˘ ` ¯o ı ii) Nˆu A1 , A2 , . . . , An l` nh´m c´c biˆn cˆ dˆy du xung khac tung dˆi th` n P (Ai ) = 1 i=1 iii) P (A) = 1 − P (A). o ´ Cˆng thuc 2 ’ P (A + B) = P (A) + P (B) − P (AB) ´ Chung minh ’ Gia su ph´p thu c´ n biˆn cˆ dˆng kha n˘ng c´ thˆ’ xay ra, trong do c´ mA biˆn cˆ ’ ’’ e ’’ o ´ ´ ` e o ¯o ’ a o e ’ ¯´ o ´ ´ e o . ´ ´ ´ ´ a .’ . ´ ´ e o a ´ ´ thuˆn loi cho biˆn cˆ A, mB biˆn cˆ thuˆn loi cho biˆn cˆ B v` k biˆn cˆ thuˆn loi cho a .’ e o e o e o a .’ . ´ ´ ´ ´ ´ ¯o o e o a .’ . ´ ´ biˆn cˆ AB. Khi d´ sˆ biˆn cˆ thuˆn loi cho biˆn cˆ A + B l` mA + mB − k. e o e o a Do d´ ¯o mA + mB − k mA mB k P (A + B) = = + − = P (A) + P (B) − P (AB). n n n n e . ’ Hˆ qua 2 n i) P (A1 + A2 + . . . , +An ) = P (Ai ) − P (Ai Aj ) + P (Ai Aj Ak ) + . . . + i=1 i
14 ’’ ˜ ’ a e . ’ ’ ` e a ´ Chuong 1. Nhung kh´i niˆm co ban vˆ x´c suˆt a 1 5 C2 .C8 112 8 P (B) = 6 = = C10 210 15 Do d´ ¯o 2 8 2 P (C) = P (A) + P (B) = + = 15 15 3 o ´ o . ’ e ¯o o e ’ . ˜ • V´ du 24 Mˆt lop c´ 100 sinh viˆn, trong d´ c´ 40 sinh viˆn gioi ngoai ngu, 30 sinh ı . ’ e ’ . e ’ ’ . ˜ a viˆn gioi tin hoc, 20 sinh viˆn gioi ca ngoai ngu lˆ ’ . e a ’ ıt a ´ ˜n tin hoc. Sinh viˆn n`o gioi ´ nhˆt mˆt trong hai mˆn s˜ duoc thˆm diˆ’m trong kˆt qua hoc tˆp cua hoc k`. Chon ngˆu o . o e ¯ ’.’ e ¯e e´ ’ . a ’. . y . ˜ a nhiˆn mˆt sinh viˆn trong lop. T`m x´c suˆt dˆ’ sinh viˆn d´ duoc t˘ng diˆ’m. e o . e ´ ’ ı a ´ a ¯e e ¯o ¯ ’.’ a ¯ e ’ Giai Goi . A l` biˆn cˆ goi duoc sinh viˆn duoc t˘ng diˆ’m. ´ ´ a e o . ¯ ’ .’ e ¯ ’ .’ a ¯ e ´ ´ a e o . ¯ ’ .’ e ’ . ˜ N l` biˆn cˆ goi duoc sinh viˆn gioi ngoai ngu. ’ ´ cˆ goi duoc sinh viˆn gioi tin hoc T l` biˆn o a e ´ . ¯ ’ .’ e ’ . th` A = T + N . ı Ta c´ o 30 40 20 50 P (A) = P (T ) + P (N ) − P (T N ) = + − = = 0, 5 100 100 100 100 4.2 ´ a o ¯e ` e . a o ´ ’ a a ´ X´c suˆt c´ diˆu kiˆn v` cˆng thuc nhˆn x´c suˆt a a a ´ a o ¯e ` a) X´c suˆt c´ diˆu kiˆn e . ˜ ´ a ’ ´ ´ ´ ¯ e` e ´ ´ ’ 2 ¯ inh nghia 10 X´c suˆt cua biˆn cˆ A voi diˆu kiˆn biˆn cˆ B xay ra duoc goi l` D. a e o ’ . e o ¯ ’.’ . a a o ¯ e` e ’ . ´ ´ x´c c´ diˆu kiˆn cua biˆn cˆ A. K´ hiˆu P (A/B). e o ı e . . e ´ ˘ e ¯ ´ ` ’.’ • V´ du 25 Trong hˆp c´ 5 viˆn bi trang, 3 viˆn bi den. Lˆy lˆn luot ra 2 viˆn bi ı . o o a a e ´ ’ lˆn thu hai lˆy duoc viˆn bi trang biˆt lˆn thu nhˆt a ¯e ` (khˆng ho`n lai). T`m x´c suˆt dˆ a o a . ı a ´ ’ ´ a ¯ ’.’ e ´ ˘ ´ ` e a ´ a ’ ´ da lˆ ¯ ’.’ e ¯˜ a ´ ´y duoc viˆn bi trang. ˘ ’ Giai ´ ´ ` ´ ´ ´ ˘ Goi A l` biˆn cˆ lˆn thu hai lˆy duoc viˆn bi trang . a e o a ’ a ¯ ’ .’ e ´ ´ ` a e o a ´ a a ¯ ’ .’ ’ ´ ´ e ´ ˘ B l` biˆn cˆ lˆn thu nhˆt lˆy duoc viˆn bi trang. Ta t` P (A/B). ım ´ ` ´ a a ¯ ’ .’ e ´ ´ ´ ˘ ¯˜ ’ Ta thˆy lˆn thu nhˆt lˆy duoc viˆn bi trang (B da xay ra) nˆn trong hop c`n 7 viˆn a a ’ e .’ o e ¯o o e ´ ˘ng. Do d´ bi trong d ´ c´ 4 viˆn bi tra ¯o 1 C4 4 P (A/B) = 1 = C7 7
´ o o o . ´ ınh x´c suˆt 4. Mˆt sˆ cˆng thuc t´ ’ a ´ a 15 o ´ Cˆng thuc ’ P (AB) P (A/B) = P (B) ´ Chung minh ’ Gia su ph´p thu c´ n biˆn cˆ dˆng kha n˘ng c´ thˆ’ xay ra trong do c´ mA biˆn c´ ’ ’’ e ’’ o ´ ´ ` e o ¯o ’ a o e ’ ¯´ o ´ e o . ´ cˆ A, mB biˆn cˆ thuˆn loi cho biˆn cˆ B v` k biˆn cˆ thuˆn loi cho thuˆn loi cho biˆn o a .’ e ´ ´ o e ´ a .’ . ´ o e ´ a e´ o ´ a .’ . ´ cˆ AB. biˆn o e ´ Theo d.nh nghia x´c suˆt theo lˆi cˆ diˆ’n ta c´ ¯i ˜ a ´ a ´ ’ o o ¯e o k mB P (AB) = , P (B) = n n ım ´ ´ ¯˜ ’ ı e o e ´ ´ ` e o ¯o ’ a ’ Ta t` P (A/B). V` biˆn cˆ B da xay ra nˆn biˆn cˆ dˆng kha n˘ng cua A l` mB , a ´ cˆ thuˆn loi cho A l` k. Do d´ biˆn o e ´ a .’ . a ¯o k k n P (AB) P (A/B) = = mB = . mB n P (B) • V´ du 26 Mˆt bˆ b`i c´ 52 l´. R´t ngˆu nhiˆn 1 l´ b`i. T` x´c suˆt dˆ’ r´t duoc ı . o o a o . . a u ˜ a e a a ım a ´ a ¯e u ¯ ’.’ a ´ ` e ˘ con ”´t” biˆt rang l´ b`i r´t ra l` l´ b`i m`u den. a a u a a a a ¯ ’ Giai . ´ ´ Goi A l` biˆn cˆ r´t duoc con ”´t” a e o u ¯ ’ .’ a A A ´ ´ B l` biˆn cˆ r´t duoc l´ b`i m`u den. a e o u ¯ ’ .’ a a a ¯ ♣ ♠ ´ Ta thˆy trong bˆ b`i c´ a o a o . 26 ♣ ♠ 26 l´ b`i den nˆn P (B) = a a ¯ e 52 2 2 con ”´t” den nˆn P (AB) = a ¯ e 52 . A A P (AB) 2/52 1 ♣ ♠ Do d´ P (A/B) = ¯o = = P (B) 26/52 13 ´ ’ a a ´ b) Cˆng thuc nhˆn x´c suˆt o a ` o ´ a ´ a o ¯ e` e Tu cˆng thuc x´c suˆt c´ diˆu kiˆn ta c´ ’ ’ . o i) P (AB) = P (A).P (B/A) = P (B).P (A/B). ´ e a ´ ´ . . ii) Nˆu A, B l` hai biˆn cˆ doc lˆp th` P (AB) = P (A).P (B). e o ¯ˆ a ı iii) P (ABC) = P (A).P (B/A).P (C/AB) P (A1 A2 . . . An ) = P (A1 )P (A2 /A1 ) . . . P (An /A1 A2 . . . An−1 ). o . ´ a o ’ ´ ´ ˘ a ¯ o . ´’ o ´ ˘ • V´ du 27 Hˆp thu nhˆt c´ 2 bi trang v` 10 bi den. Hˆp thu hai c´ 8 bi trang v` 4 ı . a ¯ ’ ˜ . ´ ` o o a e ı a a ¯e’ ´ bi den. Tu mˆi hˆp lˆy ra 1 viˆn bi. T`m x´c suˆt dˆ
16 ’’ ˜ ’ a e . ’ ’ ` e a ´ Chuong 1. Nhung kh´i niˆm co ban vˆ x´c suˆt a ’ ` ˘ ´ a) Ca 2 viˆn bi dˆu trang, e ¯e ´ ˘ b) 1 bi trang, 1 bi den. ¯ ’ Giai . ´ ´ ´ a e o a ¯ ’ .’ ’ ´ ˘ Goi T l` biˆn cˆ lˆy ra duoc ca 2 bi trang ´ ´ ´ a e o a ¯ ’ .’ ´ ˘ ` o ´ a ´ T1 l` biˆn cˆ lˆy duoc bi trang tu hˆp thu nhˆt ’ . ’ T2 l` biˆn o a e ´ a ¯ ’ .’ ´ ´ ´ cˆ lˆy duoc bi trang tu hˆp thu hai ˘ ` o ’ . ´ ’ a ´ ´ . . th` T1 , T2 l` 2 biˆn cˆ doc lˆp v` T = T1 T2 . Ta c´ ı e o ¯ˆ a a o 1 2 P (T1 ) = , P (T2 ) = 6 3 Do d´ P (T ) = P (T1 T2 ) = P (T1 ).P (T2 ) = 1 . 3 = 1 . ¯o 6 2 9 ´ ´ ´ ´ ˘ ’’ o ´ a ´ ´ b) Goi T1 , T2 l` biˆn cˆ lˆy duoc bi trang o hˆp thu nhˆt, thu hai . a e o a ¯ ’ .’ . ’ ’ ´ cˆ lˆy duoc bi den o hˆp thu nhˆt, thu hai D1 , D2 l` biˆn o a e ´ a ¯ ’ .’ ´ ¯ ’’ o . ´ a ’ ´ ´ ’ T1 D2 l` biˆn o a e ´ ´ ´ cˆ lˆy duoc bi trang o hˆp thu nhˆt v` bi den o hˆp thu hai ´ a ¯ ’ .’ ˘ ’’ o . ´ a a ’ ´ ¯ ’’ o . ´’ ´ ´ ´ a e o a ¯ ’ .’ ´ng o hˆp thu hai v` bi de n o hˆp thu nhˆt T2 D1 l` biˆn cˆ lˆy duoc bi tra ’’ o ˘ . ´’ a ¯ ’’ o . ´ a ’ ´ th` A = T1 D2 + T2 D1 . ı Ta c´ o 1 2 P (T1 ) = , P (T2 ) = 6 3 5 1 P (D1 ) = 1 − P (T1 ) = P (D2 ) = 1 − P (T2 ) = 6 3 Suy ra P (A) = P (T1 D2 ) + P (T2 D1 ) = P (T1 ).P (D2 ) + P (T2 ).P (T1 ) 1 1 2 5 11 = . + . = 6 3 3 6 8 ı . . . ´ o e o ¯ ’.’ a ´ a ’’ a a` e ’ ¯ ’.’ . a o e • V´ du 28 Mˆt hˆ thˆng duoc cˆu th`nh boi n th`nh phˆn riˆng le duoc goi l` mˆt hˆ . . ´ng song song nˆu n´ hoat dˆng khi ´ nhˆt mˆt th`nh phˆn hoat dˆng. Th`nh phˆn thˆ o ´ o . ¯o e . ıt a´ o . a a` . ¯o . a a` ´ dˆ a ´ a ’ . . ’ ` a . ¯o . ´ a ’ ´ a ım a ´ thu i (¯oc lˆp voi c´c th`nh phˆn kh´c) hoat dˆng voi x´c suˆt pi . T` x´c suˆt dˆ e a a ’ hˆ a ¯e . ´ng song song hoat dˆng. thˆ o . ¯o. 1 A 2 B 3 n ’ Giai Goi . ´ ´ . ´ A l` biˆn cˆ hˆ thˆng hoat dˆng. a e o e o . ¯o.
´ o o o . ´ ınh x´c suˆt 4. Mˆt sˆ cˆng thuc t´ ’ a ´ a 17 ´ ´ a e o a a` ´ Ai l` biˆn cˆ th`nh phˆn thu i hoat dˆng. ’ . ¯o. Ta c´ o P(A) = 1 − P (A) = 1 − P (A1 .A2 . . . An ) n = 1− P (Ai ) i=1 n = 1− (1 − pi ) i=1 . ı e . . ´ ` a a` e o . ´ • V´ du 29 (H^ x´ch) X´t mˆt hˆ thˆng gˆm hai th`nh phˆn. Hˆ thˆng hoat dˆng ı . e o e o o . ¯o . a` ¯o . . a a ` ´i theo x´ch). khi v` chi’ khi ca hai th`nh phˆn hoat dˆng (c´c th`nh phˆn duoc nˆ a ’ a a ¯ ’.’ o ı A B . . ’ o . a ` a ’ e o . ´ a a ´ a a a ` ¯ ˆ tin cˆy R(t) cua mˆt th`nh phˆn cua hˆ thˆng l` x´c suˆt m` th`nh phˆn c´ Do a a o ’ hoat dong ´ nhˆt khoang thoi gian t. thˆ . ¯ˆ ıt a e . ´ ’ `’ ´ e ı e . ´ ´ e o a a` . ´ . ¯ˆ ıt a ¯ ’ . ` ’ ’’ Nˆu k´ hiˆu biˆn cˆ ”th`nh phˆn hoat dong ´ nhˆt t don vi thoi gian” boi T > t th` ı R(t) = P (T > t) . . a ’ . a a` a ˜ a Goi PA v` PB l` do tin cˆy cua th`nh phˆn A v` B, nghia l` a a ¯ˆ ´ . ¯o ıt a ¯ ’ . ` PA = P (A hoat dˆng ´ nhˆt t don vi thoi gian), . ’ ´ . ¯o ıt a ¯ ’ . ` PB = P (B hoat dˆng ´ nhˆt t don vi thoi gian). . ’ ´ e a a a` . ¯o ¯o a . . . ı ¯o . a ’ . . ´ a Nˆu c´c th`nh phˆn hoat dˆng dˆc lˆp th` dˆ tin cˆy cua hˆ thˆng l` R = pA .pB . e o • V´ du 30 ı . e ¯o. a ’ e o . . ´ X´t dˆ tin cˆy cua hˆ thˆng cho boi’’ A B ı e a ` ´ h`nh bˆn. Th`nh phan nˆi A v` B trˆn ˆ o a e ¯’ dinh c´ thˆ o e ’ thay boi th`nh phˆn don ’’ a ` a ¯’ ´ ¯o ’ . . a a` voi dˆ tin cˆy pA .pB . Th`nh phˆn song a song cua ngat C v` D c´ thˆ’ thay boi ’ ´ ˘ a o e ’’ C ´t don voi dˆ tin cˆy 1−(1−pC ).(1− ˘ nga ¯ ’ ’ . ´ ¯o a . pD ). D Do. a ’ e o . . ´ ¯ ˆ tin cˆy cua hˆ thˆng song song n`y l` a a 1 − (1 − pA .pB )[1 − (1 − (1 − pC ).(1 − pD ))]
18 ’’ ˜ ’ a e . ’ ’ ` e a ´ Chuong 1. Nhung kh´i niˆm co ban vˆ x´c suˆt a 4.3 ´ a ´ ` a ¯a ¯ ’ a o ´ Cˆng thuc x´c suˆt dˆy du v` cˆng thuc Bayes o ’ ’ o ´ a ’ ´ ` a ¯a ¯ ’ a) Cˆng thuc x´c suˆt dˆy du o ´ Cˆng thuc ’ ’ ’’ a o a ´ ´ ` e o ¯a ¯ ’ ´ ’ ˘ ` ¯o a ´ Gia su A1 , A2 , . . . , An l` nh´m c´c biˆn cˆ dˆy du xung khac tung dˆi v` B l` biˆn a e ´ bˆt k` c´ thˆ’ xay ra trong ph´p thu. Khi d´ ta c´ cˆ a o ´ y o e ’ e ’’ ¯o o n P (B) = P (Ai ).P (B/Ai ) i=1 ´ Chung minh ’ V` A1 + A2 + . . . + An = Ω nˆn ı e B = B(A1 + A2 + . . . + An ) = BA1 + B2 + . . . + BAn ´ ´ ´ ’ ˘ ` ¯o e a ´ ´ Do c´c biˆn cˆ A1 , A2 , . . . , An xung khac tung dˆi nˆn c´c biˆn cˆ t´ BA1 , BA2 , . . ., a e o e o ıch u ´c tung dˆi. BAn c˜ng xung kha ` ¯o ˘ ’ n ¯i y o. a ´ Theo d.nh l´ cˆng x´c suˆt ta c´ P (B) = a o P (BAi ). i=1 a . a o ´ M˘t kh´c theo cˆng thuc nhˆn x´c suˆt th` P (BAi ) = P (Ai ).P (B/Ai ). ’ a a a ı n Do d´ P (B) = ¯o P (Ai ).P (B/Ai ). i=1 ´ e o ¯´ ´ ¯ e` e ’’ Ch´ y Cˆng thuc trˆn c`n dung nˆu ta thay diˆu kiˆn A1 + A2 + . . . + An = Ω boi u´ o ’ e . B ⊂ A1 + A2 + . . . + An . e o o ’ ’ ´ ¯o o ’ ’ ’ ´ • V´ du 31 X´t mˆt lˆ san phˆm trong d´ sˆ san phˆm do nh` m´y I san xuˆt chiˆm ı . . a a a a a ´ e a a ’ 20%, nh` m´y II san xuˆ ´t chiˆm 30%, nh` m´y III san xuˆt chiˆm 50%. X´c suˆt phˆ a ´ e a a ’ ´ a ´ e a a´ e´ ’ ’ a a a a a a a ım a a´ phˆm cua nh` m´y I l` 0,001; nh` m´y II l` 0,005; nh` m´y III l` 0,006. T` x´c suˆt a a a ¯e’ a ´ ˜ ´ ’ dˆ lˆy ngˆu nhiˆn duoc dung 1 phˆ phˆm. a e ¯ ’.’ ¯´ e a ’ Giai . ´ ´ a e o ’ ’ ´ ´ ’ Goi B l` biˆn cˆ san phˆm lˆy ra l` phˆ phˆm a a a e a ´ ´ ´ a e o a ¯ ’ .’ ’ a’ ’ A1 , A2 , A3 l` biˆn cˆ lˆy duoc san phˆm cua nh` m´y I, II, III a a ı a o a ´ ´ e o ´ ’ ˘ ` ¯o th` A1 , A2 , A3 l` nh´m c´c biˆn cˆ xung khac tung dˆi. Ta c´ o P (A1 ) = 0, 2; P (A2 ) = 0, 3; P (A3 ) = 0, 5 P (B/A1 ) = 0, 001; P (B/A2 ) = 0, 005; P (B/A3 ) = 0, 006 Do d´ ¯o P (B) = P (A1 ).P (B/A1 ) + P (A2 ).P (B/A2 ) + P (A3 ).P (B/A3 ) = 0, 2.0, 001 + 0, 3.0, 005 + 0, 5.0, 006 = 0, 0065
´ o o o . ´ ınh x´c suˆt 4. Mˆt sˆ cˆng thuc t´ ’ a ´ a 19 ı . o o . . ´ ’ ´ ˘ a a ´ ` • V´ du 32 Mˆt hˆp chua 4 bi trang, 3 bi v`ng v` 1 bi xanh. Lˆy lˆn luot (khˆng ho`n a a ’.’ o a ` o ´ ’ lˆy duoc 1 bi trang v` 1 bi v`ng. a ¯e ´ lai) tu hˆp ra 2 bi. T`m x´c suˆt dˆ a ¯ ’.’ . ’ . ı a ´ ˘ a a ’ Giai ´ ´ ´ ´ ˘ ´ ´ ´ Goi T l` biˆn cˆ lˆy duoc bi trang, V l` biˆn cˆ lˆy duoc bi v`ng. . a e o a ¯ ’ .’ a e o a ¯ ’ .’ a Ta c´ o 4 1 3 P (T ) = = ; P (V ) = ; 8 2 8 3 4 P (V /T ) = ; P (T /V ) = 7 7 X´c xuˆt dˆ’ lˆy duoc 1 bi trang v` 1 bi v`ng l` a ´ ´ a ¯e a ¯ ’ .’ ´ ˘ a a a 1 3 3 4 3 P (T V ) = P (T ).P (V /T ) + P (V ).P (T /V ) = . + . = . 2 7 8 7 7 a a ´ 2 Cˆy x´c suˆt a ´ e` ’’ ´ e` e o´ ´ a a ´ Trong thuc tˆ c´ nhiˆu ph´p thu chua mˆt d˜y nhiˆu biˆn cˆ. Cˆy x´c suˆt cung .’ e o e ’ o a . a ´ a o o . . a .’ . e a ¯i . ´ u a cˆp cho ta mˆt cˆng cu thuˆn loi cho viˆc x´c d.nh cˆu tr´c c´c quan hˆ bˆn trong c´c a e e . a ph´p thu e ınh a ´ ’’ khi t´ x´c suˆt. a a´ u ’ a a ´ Cˆu tr´c cua cˆy x´c suˆt duoc x´c d.nh nhu sau: a ¯ ’ .’ a ¯i ’ i) V˜ biˆ’u dˆ cˆy x´c suˆt tuong ung voi c´c kˆt qua cua d˜y ph´p thu. e e ¯o a a` a ’’ ´ ´ ’ ´ a e ’ ´ ’ ’ a e ’’ ˜ a ´ o ´ ’ ˜ ii) G´n mˆi x´c suˆt voi mˆi nh´nh. a o a a ´ Cˆy x´c suˆt sau minh hoa cho v´ du 32. a a a . ı . T 3/7 V 1 3 . T 2 7 1/2 X 3 4 4/7 T . 8 7 3/8 V V X T X V o ´ b) Cˆng thuc Bayes ’ o ´ Cˆng thuc ’ ’ ’’ a o a ´ ´ ` e o ¯a ¯ ’ ´ ’ ˘ ` ¯ˆ a ´ Gia su A1 , A2 , . . . , An l` nh´m c´c biˆn cˆ dˆy du xung khac tung doi v` B l` biˆn a e ´ bˆt k` c´ thˆ’ xay ra trong ph´p thu. Khi d´ ta c´ cˆ a o ´ y o e ’ e ’’ ¯o o P (Ai ).P (B/Ai ) P (Ai /B) = n i = 1, 2, . . . , n i=1 P (Ai ).P (B/Ai )
20 ’’ ˜ ’ a e . ’ ’ ` e a ´ Chuong 1. Nhung kh´i niˆm co ban vˆ x´c suˆt a ´ Chung minh ’ o ´ a ’ ´ a o ¯ e` e Theo cˆng thuc x´c suˆt c´ diˆu kiˆn ta c´ . o (Ai B) P (Ai ).P (B/Ai ) P (Ai /B) = = P (B) P (B) n . a o ´ a ’ ` a ¯a ¯ ’ ı M˘t kh´c theo cˆng thuc x´c suˆt dˆy du th` P (B) = a P (Ai ).P (B/Ai ). i=1 P (Ai ).P (B/Ai ) Do d´ P (Ai /B) = ¯o n . i=1 P (Ai ).P (B/Ai ) ı . ’ ’’ o o . ’ ¯.’ u o. ´ a • V´ du 33 Gia su c´ 4 hˆp nhu nhau dung c`ng mˆt chi tiˆt m´y, trong d´ c´ mˆt e ¯o o o. o . e´t xˆu, 5 chi tiˆt tˆt do m´y I san suˆt; c`n ba hˆp c`n lai mˆi hˆp dung 4 hˆp 3 chi tiˆ a ´ ´ o e ´ a ’ ´ o a o o . . ˜ o ¯.’ o . ´ ´ ´ ´ ’ ´ ´ ˜ o o o ` o ¯o ` ’ . chi tiˆt xau, 6 chi tiˆt tˆt do m´y II san suˆt. Lˆy ngˆu nhiˆn mˆt hˆp rˆi tu hˆp d´ e ˆ e o a a a a e . . ´y ra mˆt chi tiˆt m´y. lˆ a o . ´ a e a) T`m x´c suˆt dˆ’ chi tiˆt m´y lˆy ra l` tˆt. ı a ´ a ¯e ´ e a a ´ a o ´ b) Voi chi tiˆt tˆt o cˆu a, t`m x´c suˆt dˆ’ n´ duoc lˆy ra tu hˆp cua m´y I. ´ ’ ´ ´ e o ’’ a ı a ´ a ¯e o ¯ ’.’ a ´ ` o ’ ’ . a ’ Giai . ´ ´ ´ a e o a ¯ ’ .’ ´ ´ Goi B l` biˆn cˆ lˆy duoc chi tiˆt tˆt e o ´ cˆ lˆy duoc hˆp dung chi tiˆt m´y cua m´y I, II A1 , A2 l` biˆn o a e ´ a ¯ ’ .’ o ¯ .’ ´ . ´ a ’ e a th` A1 , A2 l` nh´m c´c biˆn o ı a o a e ´ ´ ` ¯o ´ cˆ xung khac tung dˆi. ˘ ’ a) P (B) = P (A1 ).P (B/A1 ) + P (A2 ).P (B/A2 ) 1 5 3 6 P (A1 ) = ; P (B/A1 ) = ; P (A2 ) = ; P (B/A2 ) = 4 8 4 10 Do d´ ¯o 1 5 3 6 97 P (B) = . + . = 4 8 4 10 160 1 5 P (A1 ).P (B/A1 ) . 26 b) P (A1 /B) = = 4978 = P (B) 160 97 ´ a ’ a ’’ * Cˆy x´c suˆt cua cˆu a) cho boi a a 5 1 5 8 T . 4 8 1 I 4 X 6 3 6 10 T . 4 10 3 4 II X