Giáo trình Không gian Metric: Phần 1 - TS. Nguyễn Hoàng

Chia sẻ: Bin Bin | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:37

Thêm vào BST

Báo xấu

1.229
lượt xem 327
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Giáo trình Không gian Metric - Phần 1 giới thiệu đến người học các kiến thức về tập hợp số thực, lực lượng của các tập hợp, không gian Metric, khái niệm - bài tập - ánh xạ liên tục của không gian Metric. Tham khảo tài liệu để có kiến thức tổng hợp về Không gian Metric.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình Không gian Metric: Phần 1 - TS. Nguyễn Hoàng

ĐẠI HỌC HUẾ TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỪ XA TS. NGUYỄN HOÀNG GIÁO TRÌNH KHÔNG GIAN MÊTRIC (CƠ SỞ GIẢI TÍCH) Huế - 2007 1
MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU ........................................................................................................... 3 A. KIẾN THỨC BỔ SUNG....................................................................................... 5 § 1 TẬP HỢP SỐ THỰC ....................................................................................... 5 §2. LỰC LƯỢNG CỦA CÁC TẬP HỢP ............................................................10 B. KHÔNG GIAN MÊTRIC....................................................................................16 §1. KHÁI NIỆM MÊTRIC. .................................................................................16 BÀI TẬP...............................................................................................................21 §2.TẬP MỞ VÀ TẬP ĐÓNG..............................................................................23 BÀI TẬP...............................................................................................................30 §3. ÁNH XẠ LIÊN TỤC .....................................................................................32 BÀI TẬP...............................................................................................................37 $4 KHÔNG GIAN MÊTRIC ĐẦY ĐỦ...............................................................38 BÀI TẬP...............................................................................................................50 §5 KHÔNG GIAN COMPACT ...........................................................................52 BÀI TẬP...............................................................................................................67 §6. KHÔNG GIAN LIÊN THÔNG .....................................................................69 BÀI TẬP...............................................................................................................71 C. LỜI GIẢI VÀ HƯỚNG DẪN.............................................................................72 PHẦN A ...............................................................................................................72 PHẦN B ...............................................................................................................73 TÀI LIỆU THAM KHẢO........................................................................................ 87 2
LỜI NÓI ĐẦU Giáo trình này được viết dựa trên bài giảng cho sinh viên khoa Toán trường ĐHSP Huế trong những năm vừa qua. Học phần này có mục đích trang bị những kiến thức căn bản về giải tích hiện đại mà bất cứ sinh viên Toán nào cũng phải nắm được. Khác với giải tích cổ điển, trong đó người ta làm việc chủ yếu trên tập IRk các bộ k số thực, ở đây các khái niệm cơ bản của giải thích như lân cận, giới hạn liên tục… được xét trong không gian tổng quát hơn mà phần tử của nó có thể là các đối tượng tuỳ ý miễn sao có thể xác định được khoảng cách giữa hai phần tử đó. Ngoài một cách bản chất và sâu sắc những kiến thức về giải thích cổ điển đã học trong những năm trước, cũng như chuẩn bị để học tốt các học phần tiếp theo như lý thuyết độ đo, tích phân, giải tích hàm… Các khá nhiều sách viết về không gian mêtric, tuy nhiên người ta thường chỉ trình bày những kiến thức đủ dùng cho mục đích của cuốn sách đó nên chưa có một giáo trình tương đối hoàn chỉnh riêng cho phần lý thuyết này. Ở đây, bạn đọc sẽ thấy nhiều bài tập được đưa vào với tư cách rèn luyện tư duy và đồng thời cũng có thể xem như bài bổ sung lý thuyết. Phần lớn các bài tập đều có lời giản tóm tắt hoặc chi tiết. Điều này có lẽ sẽ mang lại lợi ích thiết thực rất hạn chế và cũng có ít sách giải bài tập để giúp cho sinh viên trong lúc học tập. Để học tốt học phần này, về nguyên tắc sinh viên chỉ cần nắm được những kiến thức sơ cấp về lý thuyết tập hợp và ánh xạ, phép qui nạp và các suy luận logic toán học. Cần phải biết diễn tả một mệnh đề bằng nhiều mệnh đề tương đương với nó cũng như hiểu và vận dụng cách chứng minh hay xây dựng các đối tượng bằng qui nạp hữu hạn. Tuy nhiên để có thể hiểu sâu sắc và nhất là làm được các bài tập. Ở đây, ngôn ngữ hình học được dùng để diễn tả các khái niệm không gian mêtric, nhưng đôi lúc có những vấn đề vượt ra khỏi trực giác và suy luận chủ quan thông thường. Do đó với từng khái niệm, người học nhất thiết phải hiểu thấu được định nghĩa, tự mình tìm được những ví dụ minh họa cho các định nghĩa đó. Như Dieudonne đã nói:... trực quan hình học, cùng với sự đề phòng thích đáng là một người hướng dẫn rất đáng tin tưởng trong hoàn cảnh tổng quát… Cuốn sách được chia làm hai phần. Phần kiến thức bổ sung nêu lại một cách có hệ thống các tính chất của tập số thực IR. Sinh viên tăng cường chú ý đến khái niệm infimum và suptemum của một tập số thực và cần sử dụng một cách thành 3
thạo, biên soạn. Về khái niệm lực lượng tập hợp, cần nắm được trong trường hợp nào thì một tập là đếm được, Phần thứ hai là phần chính của chương trình. Có nhiều con đường để trình bày các khái niệm. Ở đây chúng tôi chọn cách tiếp cận với ngôn ngữ thường dùng, một mặt để người học dễ nhớ, mặt khác phần nào giải thích lý do đưa ra tên gọi như vậy. Tuy nhiên, nhất thiết phải được hiểu theo đúng định nghĩa. Các khái niệm quan trọng phải kể đến là hội tụ, mở, đóng, liên tục, đầy đủ, compact… Đặc trưng phần này là nặng về suy luận hơn tính toán, hơn nữa nhiều thuật ngữ chồng chất lên nhau làm người mới học thấy lúng túng. Vì thế sinh viên nên tìm thêm ví dụ và hình ảnh trực quan để dễ nhớ. Sau khi nắm được lý thuyết, các bạn tự mình giải các bài tập cẩn thận trước khi xem lời giải. Các bài tập khó hơn có đánh dấu * dành cho sinh viên khá, và phải có thời gian nghiền ngẫm nhiều hơn. Tác giả xin cám ơn các bạn trong tổ Giải tích khoa Toán trường ĐHSP Huế đã động viên góp ý khi viết cuốn sách này. Mong được nhận được những phê bình của các đồng nghiệp gần xa. Tác giả 4
A. KIẾN THỨC BỔ SUNG § 1 TẬP HỢP SỐ THỰC Chúng ta đã tiếp xúc nhiều với tập hợp số thực từ chương trình toán ở bậc phổ thông. Có nhiều cách xây dựng tập hợp số thực, chẳng hạn dùng nhát cắt Dedekind, các dãy cơ bản…. của tập hợp số hữu tỉ Q. Ở đây với mục đích là hệ thống lại những kiến thức cần thiết cho giải tích, chúng tôi sẽ chọn một số mệnh đề cơ bản làm tiền đề để định nghĩa tập hợp số thực. Các tính chất còn lại được suy từ các tiên đề này. 1.1. Định nghĩa: Tập hợp số thực, ký hiệu IR là một tập cùng với các phép toán cọng + và nhân . xác định trên đó, thoả mãn các tiên đề sau: I. (IR, +) là một nhóm cọng Abel, tức là với mọi x, y, z thuộc IR ta có: x+y=y+x x + (y + z) = (x + y) + z (∃ 0 ∈ IR) (∀ x ∈ IR): x + 0 = 0 + x= x (∀ x ∈ IR)(∃ (-x)∈ IR): x + (-x) = 0 II. (IR*,.) là một nhóm phân Abel, trong đó IR* = IR \{0}, nghĩa là với mọi x, y, z thuộc IR*, ta có: xy = yx x( yz) = (xy) z (( ∃ 1 Є IR*) : x1= 1x = x (∀x ∈ IR*)(∃ x-1∈ IR*): xx -1 = x-1x = 1 (Ở đây để cho gọn, ta viết xy thay cho x.y) III. Phép nhân có tính chất phân phối đối với phép cọng: Với mọi x,y thuộc IR ta có: x(y + z) = xy+ xz Như thế IR cùng với các phép toán cọng và nhân lập thành một trường IV. IR là một trường được sắp thứ tự, nghĩa là trong IR có xác định một quan hệ thứ tự ‘≤’ thoả: 5
1. x ≤ y và y ≤ z kéo theo x ≤ z 2. x ≤ y và y ≤ z tương đương x = y 3.Với hai phần tử tuỳ ý x,y Є IR thì hoặc x ≤ y hoặc y ≤ x 4. x ≤ y kéo theo x + z ≤ y + z với mọi z ∈ IR 5. 0 ≤ x và 0 ≤ y kéo theo 0 ≤ xy Nếu x ≤ y và x ≠ y thì ta viết x < y hay y > x . V. Ta gọi một nhát cắt trong IR là một cặp (A,B) các tập con của IR sao cho A, B khác trống, A ∩ B = Ø, IR= A ∪ B và với mọi a ∈ A, b ∈ B thì a < b . Tiên đề Dedekink. IR là một trường được sắp liên tục, nghĩa là: Với mỗi nhát cắt (A,B) của tập IR đều xảy ra: hoặc có một phần tử lớn nhất trong A hoặc có một phần tử nhỏ nhất trong B và không thể vừa có phần tử lớn nhất trong A, vừa có phần tử nhỏ nhất trong B. Phần tử lớn nhất trong A (hoặc phần tử nhỏ nhất trong B) gọi là biên của nhát cắt (A,B). Tập hợp số thực cũng gọi là đường thẳng thực. 1.2. Các tính chất cơ bản: 1.2.1 Supremum và infimum : Cho M là một tập con khác trống của IR. Số x ∈ IR được gọi là một cận trên của M nếu với mọi y ∈ M thì y ≤ x, số x ∈ IR gọi là cận dưới của M nếu x ≤ y với mọi y ∈ M. Tất nhiên nếu x là cận trên (tương ứng, cận dưới) thì với mọi x1 > x ( t.ư… x1 < x) cũng là cận trên (t.ư cận dưới) của tập M. Cận trên bé nhất (nếu có) của tập M được gọi là supremum của tập M, ký hiệu sup M. Như vậy, α = sup M khi và chỉ khi i)∀x ∈ M: x ≤ α ii) (∀α’∈ α < α) (∃ x ∈ M) : α’< x (Điều kiện ii) nói rằng vì α là cận trên bé nhất nên nếu α’ β) (∃ x ∈ M) : x < β’ Nguyên lý supremum: Mọi tập con khác trống của IR có cận trên thì phải có supremum. Cũng vậy, mọi tập con khác trống của IR có cận dưới thì phải có infimum. Chứng minh: Giả sử M ≠ Ø và c là một cận trên của M. Ta hãy xét các tập hợp sau: 6
A ={x Є IR : (∃ a ∈ M) x ≤ a}; B ={y Є IR: (∀aЄ M) a < y}. Khi đó A ≠ Ø vì M ⊂ A; B ≠ Ø vì với c’ > c thì c’Є B. Với mọi z Є IR thì hoặc z Є A hoặc z Є B nên IR = A ∪ B. Nếu z Є A∩B thì có a ∈ M sao cho z ≤ a < z hay z < z, vô lý nên A∩B = Ø. Hơn nữa, nếu x ∈ A , y ∈ B ta có x ≤ a < y với a nào đó thuộc M nên x < y. Theo định nghĩa, (A,B) là một nhát cắt của IR. Gọi m là biên của (A,B). Khi đó ta sẽ có m = sup A. Thực vậy, chẳng hạn m ∈ A thì theo định nghĩa sẽ có a ∈ M để m ≤ a vì M ⊂ A nên m = a. Còn nếu m Є B thì ∀a ∈ M : a < m. Nếu m’ < m thì m’∉ B tức là m’ ∈ A, hơn nữa m’ không phải là phần tử lớn nhất trong A nên có m”∈ A, a ∈ M để m’< m’’ ≤ a < m. Phần còn lại của định lý chứng minh tương tự. Chú ý: Giả sử M là một tập con khác rỗng của IR nhưng không có cận trên nào cả. Khi đó ta quy ước sup M = + ∞. Tương tự, nếu M không có cận dưới, ta quy ước inf M = - ∞. 1.2.2 Ta gọi các số a ∈ IR , a > 0 là số dương, a < 0 là số âm và đặt ⎪x⎪ nếu x ≥ 0; ⎪x⎪= - x nếu x < 0 và gọi ⎪x⎪là giá trị tuyệt đối của số thực x. Số a ∈ IR gọi là giới hạn của dãy số (xn)n ⊂ IR và ký hiệu lim xn = a nếu: n →∞ (∀ε > 0)(∃n0)(∀n ≥ n0): ⎟ x – a⎟ < ε Dãy (xn)n gọi là đơn điệu tăng (t.ư giảm) nếu xn ≤ xn+1 (t.ư xn ≥ xn+1) với mọi n ∈ N bị chặn trên (t.ư dưới) nếu tập {xn} có cận trên (t.ư., dưới) hội tụ nếu (xn) có giới hạn. Nguyên lý Weierstrass: Mọi dãy đơn điệu tăng (t.ư.,giảm) và bị chặn trên (t.ư., dưới) đều hội tụ. Chứng minh: Giả sử (xn)n là một dãy đơn điệu tăng và bị chặn trên. Theo nguyên lý supremum, tập {xn} có một supremum α. Với ε > 0 cho trước, theo điều kiện ii) có số nguyên n0 sao cho α – ε < xn0. Mặt khác, theo tính đơn điệu tăng của dãy (xn), ta có α – ε < xn0 ≤ xn < α + ε với mọi n ≥ n0. Khi đó:⎟ xn – α⎥ < ε với mọi n ≥ n0. Như vậy dãy (xn) hội tụ về α. Trường hợp (xn) là dãy đơn điệu giảm, bị chặn dưới cũng được chứng minh tương tự. 1.2.3. Các phần tử của tập IR: 0, 1, 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1 ... và -1, -2, -3… gọi là các số nguyên, ký hiệu tập các số nguyên là Z. Tập Z không có cận trên và cận dưới. Thật vậy, nếu Z có cận trên α thì dãy đơn điệu tăng 1, 2, 3… phải có giới hạn α; lúc đó α – 1 < p với một p nào đó của Z và thành ra α < p + 1 trái với α là a cận trên. Ký hiệu Q = { ab-1 = b , a, b Є Z, b ≠ 0} và gọi nó là tập hợp các số hữu tỉ, còn N là tập số nguyên dương (số tự nhiên) ta có bao hàm thức sau: 7
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ IR Nguyên lý Archimède: Cho hai số thực a, b bất kỳ với a > 0. Khi đó tồn tại n Є N sao cho b < na. Thực vậy, do N không bị chặn trên (tức là không có cận trên) nên với số b b thực sẽ có n ∈ N để a < n hay b < na a 1.2.4. Các tập (a, b) = {x ∈ IR: a < x < b } và [a,b] = {x ∈ IR: a ≤ x ≤ b} lần lượt gọi là khoảng (hay khoảng mở) và đoạn (hay khoảng đóng). Một dãy đoạn {[an, bn]} gọi là thắt lại nếu [an+1,bn+1] ⊂ [an,bn] và lim (b n − a n ) = 0 n →∞ Nguyên lý Cantor: Mỗi dãy đoạn thắt lại có một phần tử duy nhất chung cho tất cả các đoạn ấy. Chứng minh: Giả sử ([an, bn])n là dãy đoạn thắt lại. Ta có: a1 ≤ a2 …≤ an+1 ≤ …≤ bn+1 ≤ bn ≤ … ≤ b1 với mọi n Є N. Theo nguyên lý Weierstrass, dãy (an)n tăng, bị chặn trên (bởi b1 chẳng hạn) nên hội tụ về số ξ = sup {an}. Như thế an ≤ ξ với mọi n. Nếu ξ ∉ [ano, bno] với một n0 nào đó thì ắt hẳn bno < ξ. Đặt ε = ξ - bno. Khi đó với n đủ lớn thì ξ - a n < ξ - bno tức là bno < an! vô lý. Vậy ξ Є [an,bn] với mọi n. Mặt khác, nếu có ξ’ Є[an,bn] với mọi n thì⎥ ξ-ξ’⎥ ≤ bn – an. Do đó 0 ≤⎥ ξ-ξ’⎥ ≤ lim (bn − an ) = 0 n →∞ hay⎥ ξ-ξ ⎥ = 0 nghĩa là ξ = ξ’ ’ 1.2.5. Dãy (xn) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới. Điều này tương đương với: (∃a ∈ IR)(∀ n ∈ N):⎟ xn⎟ ≤ a Nguyên lý Bolzano –Weierstrass: Mọi dãy số thực bị chặn (xn)n đều có một dãy con hội tụ. Chứng minh: Theo giả thiết, tồn tại số a sao cho với mọi n Є N ta có – a ≤ xn ≤ a. Trong hai giai đoạn [-a,0] và [0,a] phải có một đoạn chứa vô số các phần tử xn (nếu không, hoá ra (xn)n chỉ có hữu hạn các số hạng). Ta gọi đoạn này là a1+ b1 [a1,b1].Chia hai đoạn này bằng điểm giữa c1= 2 . Trong hai đoạn [a1,c1] và [c1,b1] cũng có một đoạn chứa vô số các xn, ký hiệu đoạn này là [a2,b2] và lại a + b2 chia đôi đoạn này bởi điểm giữa c2 = 2 v.v... Tiếp tục quá trình đó ta thu 2 8
được một dãy đoạn thắt lại [ak, bk] (vì hiển nhiên [ak+1, bk+1] ⊂ [ak, bk] và bk – ak a = k → 0 khi k → ∞). Theo nguyên lý Cantor, dãy đoạn này có duy nhất phần tử 2 ∞ chung ξ Є I [a k , bk ] . Vì mỗi đoạn [ak, bk] chứa vô số các phần tử xn nên ta k =1 hãy lấy phần tử xn1 ∈ [a1, b1] rồi xn2 ∈ [a2, b2] với n2 > n1, xn3 ∈ [a3, b3], n3 > n2… khi đó (xnk)k là dãy con của dãy (xn)n và⎟xnk – ξ⎪ ≤ bk - ak → 0 (k → ∞), nghĩa là dãy (xnk) hội tụ về ξ. 1.2.6 Dãy số thực (xn)n được gọi là dãy cơ bản (hay dãy Cauchy) nếu: (∀ε > 0)(∃ n0)(∀ n ≥ n0)(∀ m ≥ n0) : ⎪xn –xm⎪ < ε Nguyên lý Cauchy: Mọi dãy số thực cơ bản thì phải hội tụ: Chứng minh: Trước hết ta chứng minh rằng nếu (xn)n cơ bản thì nó phải bị chặn. Với ε = 1, tồn tại n0 để với mọi n ≥ n0 ta có ⎪xn –xno⎪ < 1 hay xno - 1≤ xn ≤ xno + 1. Đặt a = max { ⎪x1⎪,…,⎪xno⎪, ⎪xno⎪+1}, khi ấy với mọi n thì -a ≤ xn ≤ a. Do đó theo nguyên lý Bolzano- Weierstrass, dãy (xn)n có một dãy con xnk hội tụ về ξ. Bây giờ với ε > 0 cho trước sẽ có n0 sao cho với m, n ≥ n0 thì⎪xn – xm⎪< ε/2 do (xn)n cơ bản. Mặt khác xnk → ξ nên cũng tồn tại số m0 để nếu n ≥ m0 thì | xnk – ξ| < ε/2. Đặt n0’ = max(n0, m0) khi đó nếu n > n0’ thì ⎪xn – ξ ⎪ ≤ ⎪xn – xnk ⎪ +⎪ xnk – ξ ⎪ < ε/2 + ε/2 = ε. Vậy dãy (xn)n cũng hội tụ về ξ và điều này kết thúc việc chứng minh. 1.2.7. Tính trù mật của tập Q trong IR: Định lý: Với mỗi cặp số thực (a;b), a < b bao giờ cũng tồn tại một số hữu tỉ r sao cho a < r < b. Chứng minh: Do tập IR có tính chất Archimède nên có số nguyên n để n > 1 b-a hay b - a > 1/n. Tương tự, có số nguyên p để p ≥ nb. Gọi q là số nguyên bé q-1 q-1 nhất thoả mãn q ≥ n, do đó q-1 < nb hay n < b. Lúc này a < n vì nếu a ≥ q-1 q-1 q q-1 n sẽ dẫn đến b-a ≤ b - n < n - n = 1/n trái với b-a > 1/n trở lên. Vậy ta q-1 tìm được số hữu tỉ r = n ∈ (a,b) Sự kiện phát biểu bởi định lý trên được gọi là tập số hữu tỉ Q trù mật trong tập số thực IR. Cũng từ định lý này, ta suy ra trong khoảng (a,b) có chứa vô số số hữu tỉ. 9
§2. LỰC LƯỢNG CỦA CÁC TẬP HỢP Cho một tập hợp A, có các phần tử là những đối tượng nào đó. Ta chưa quan tâm đến bản chất các đối tượng này. Trước hết hãy thử để ý đến “số lượng” các phần tử của tập hợp A. Có thể xảy ra một trong hai khả năng: - Nếu đếm hết được các phần tử của tập hợp A thì A được gọi là tập hữu hạn và số nguyên cuối cùng đếm tới chính là số lượng các phần tử của tập hợp A. - Nếu việc đếm các phần tử của tập hợp A không thể nào kết thúc được thì tập hợp A được gọi là tập hợp vô hạn. - Bây giờ chúng ta muốn so sánh “số lượng” các phần tử của hai tập A, B. Nếu trong hai tập này có ít nhất một tập hữu hạn thì việc so sánh trở nên dễ dàng nhờ việc đếm các phần tử. Trường hợp cả A lẫn B đề vô hạn thì cách đếm không thể thực hiện nên chưa so sánh được. Ta xét ví dụ sau. Ký hiệu B là tập hợp các số tự nhiên chẵn: B = {2,4,6,…, 2n,…} Hiển nhiên B là tập con thực sự của tập số tự nhiên N = {1, 2,3,…}. Tuy nhiên chúng ta không thể quả quyết rằng “số lượng” các phần tử của N nhiều gấp đôi “số lượng” các phần tử của B. Mặt khác, thực chất của việc đếm là thực hiện một đơn ánh từ tập ta đếm vào tập số tự nhiên N và muốn biết hai tập hợp có cùng số lượng hay không, ta chỉ cần xem có thể thiết lập một song ánh giữa hai tập này ( tức là có thể cho tương ứng mỗi phần tử của tập này với một và chỉ một phần tử của tập kia) hay không. Bằng phương pháp này, việc so sánh “số lượng” phần tử của tập hữu hạn hay vô hạn vẫn còn hiệu lực. 2.1. Tập hợp tương đương: 2.1.1. Định nghĩa: Ta nói hai tập hợp A, B là tương đương với nhau nếu tồn tại một song ánh từ A lên B. 2.1.2. Ví dụ: 1. Hai tập hợp hữu hạn có cùng một số lượng các phần tử thì tương đương với nhau. 2. Ở ví dụ trong phần mở đầu, hai tập B = {2,4,...,2n,…} và N tương đương với nhau vì ta có một song ánh từ N lên B xác định bởi n → 2n, n ∈ N. Nhận xét: Tập B có được từ N sau khi bỏ đi tất cả các số nguyên lẻ nhưng B vẫn tương đương với N. Điều này không thể xảy ra đối với các tập hữu hạn. 10
Do vậy, ta có định nghĩa khác (tương đương với định nghĩa trước) về tập hữu hạn và vô hạn như sau: Tập A được gọi là vô hạn nếu A tương đương với một tập con thực sự của nó. Tập A được gọi là hữu hạn nếu A không phải là tập vô hạn. 3. Tập (0,1) tương đương với tập (a,b) với a, b bất kỳ thuộc IR , a < b, nhờ song ánh (0,1) ∋ x → y= (b-a)x + a ⎛ π π⎞ 4.Tập hợp ⎜ − , ⎟ tương đương với tập IR bởi song ánh ⎝ 2 2⎠ ⎛ π π⎞ f : ⎜ − , ⎟ → IR: x → y = f(x) = tg x ⎝ 2 2⎠ Khi hai tập hợp tương đương với nhau ta bảo chúng có cùng lực lượng hay cùng bản số. Đối với các tập hữu hạn, rõ ràng hai tập có cùng lực lượng khi và chỉ khi chúng có cùng số lượng các phần tử. Do đó ta đồng nhất lực lượng của tập có n phần tử là n. Lực lượng của tập A (hữu hạn hay vô hạn) được ký hiệu là A hay card A. Như vậy ví dụ card{1,2,3,4,5} = 5, card {a,b,c} = 3 Nếu tập hợp B tương đương với một con thực sự của A nhưng không tương đương với A thì ta nói lực lượng của B nhỏ hơn lực lượng của A ký hiệu B < A hoặc cũng gọi lực lượng của A lớn hơn lực lượng của B, ký hiệu A > B . Người ta chứng minh được rằng, cho hai tập A, B bất kỳ bao giờ cũng xảy ra một và chỉ một trong ba trường hợp. 1. Xảy A = B (tức là A, B tương đương với nhau) 2 Xảy A < B 3. Xảy A > B 2.2. Tập hợp đếm được: 2.2.1. Định nghĩa: Tập hợp A được gọi là tập hợp đếm được nếu A tương đương với tập số tự nhiên N. Nói cách khác, A đếm được nếu và chỉ nếu tồn tại một song ánh từ N lên A. Khi đó ta cũng nói A có lực lượng đếm được. Gọi a: N→ A là song ánh nói trên, ta có: N Э n → a (n) = an Є A Như vậy có thể nói tập hợp đếm được là một tập mà các phân tử của nó có thể đánh số thành một dãy vô hạn. a1, a2, a3,…,an,… 11
2.2.2. Ví dụ: 1. Tập hợp các số tự nhiên chẵn, các số tự nhiên lẻ đều là các tập đếm được. Thật vậy, theo mục trước, card {2,4,6…} = cardN, còn E = { 1,3,5,...,2n +1,…} tương đương với N nhờ song ánh. N Э n → 2n + 1 Є E 2. Tập Z có số nguyên là đếm được. Để chứng tỏ điều đó, ta xét ánh xạ f : N→Z cho bởi : n 2 nếu n chẵn n → f(n) = ‘ 1- n 2 nếu n lẻ Dễ dàng kiểm tra f là song ánh ta có được kết luận 3. Tập các số hữu tỉ Q là đếm được. Thật vậy, một số hữu tỉ có thể viết p được duy nhất thành một phân số tối giản , q > 0. Ta hãy tạm gọi tổng |p| + q q p là “hạng” của số hữu tỉ . Rõ ràng tập hợp tập hợp các phân số có hạng cho q 0 1 −1 trước là hữu hạn, ví dụ: phân số có hạng 1 là = 0, hạng 2 là và , hạng 3 1 1 1 2 1 − 2 −1 là , , , ,... Hơn nữa mỗi số hữu tỉ đều có hạng xác định nên ta có thể 1 2 1 2 đánh số hữu tỉ thành dãy theo thứ tự tăng dần của hạng, tức là bắt đầu đánh số các số hạng 1 rồi tiếp theo các số hạng 2, hạng 3,…Vậy các phần tử của Q có thể sắp xếp thành dãy Q đếm được. Tiếp theo, chúng ta thiết lập các định lý cơ bản của tập đếm được. 2.2.3. Định lý: Mọi tập vô hạn luôn luôn có chứa một tập con đếm được. Chứng minh: Giả sử M là tập vô hạn. Lấy ra một phần tử bất kỳ a1 Є M. Khi đó M \ {a1} vô hạn nên lấy tiếp phần tử a2 Є M\ {a1} rồi a3 Є M {a1,a2} v.v … Quá trình này được tiếp tục mãi và ta thu được tập đếm được A = {a1, a2,…} ⊂ M 2.2.4 Định lý: Mọi tập con của một tập đếm được thì phải là tập hữu hạn hoặc đếm được. Chứng minh: Giả sử A = {a1, a2,…} là tập đếm được và B là một tập con của A. Gọi an1, an2,... Là các phần tử của A thuộc tập hợp B theo thứ tự tăng dần trong A. Nếu trong các số n1, n2,... có số lớn nhất thì B là hữu hạn. Trường hợp 12
trái lại, các phần tử của B được sắp thành dãy vô hạn an1, an2,... nên B đếm được. 2.2.5. Định lý: Hợp một họ hữu hạn hay đếm được các tập đếm được là một tập đếm được. Chứng minh: Cho A1, A2,… là dãy các tập đếm được. Ta có thể giả thiết các tập này không giao nhau vì nếu khác đi, ta đặt B1 = A1, B2 = A2\ A1, B3 = A3\ (A1 U A2),... Các tập Bi này hữu hạn hoặc đếm được, không giao nhau và ∞ ∞ U Ai = U Bi . Bây giờ ta sắp xếp các phần tử của A1,A2,... thành một bảng vô hạn i =1 i =1 như sau: A1 : a11 a12 a13 .... A2 : a21 a22 a23 .... A3 : a31 a32 a33 .... . . . . ... Ta hãy đánh số tất cả các phần tử này theo “đường chéo” từ trái lên phía trên. Do mỗi đường chéo có hữu hạn phần tử nên có thể đánh số thứ tự trên đường chéo thứ nhất rồi đường chéo thứ hai, thứ ba,... như sau: a11, a21, a12, a31, a22, a13,… ∞ Vậy tất cả các phần tử của tập A = U Ai được đánh số thành một dãy nên i =1 tập A đếm được. Nhận xét: Trong cách chứng minh ta thấy nếu một số hữu hạn hay đếm được các tập Ai (không phải tất cả) được thay bằng các tập hữu hạn thì kết luận của định lý không thay đổi. 2.2.6. Định lý: Khi thêm một tập hợp hữu hạn hay đếm được vào một tập vô hạn M thì lực lượng của nó không thay đổi. Chứng minh: Giả sử A là tập hữu hạn hay đếm được. Ký hiệu N = M ∪ A. Theo định lý 2.2.3, tồn tại một tập đếm được B ⊂ M. Đặt M’= M\B, ta có M = M’ ∪ B nên N = M’ ∪ B ∪ A. Theo định lý 2.2.5, B ∪ A là tập đếm được nên tồn tại song ánh f giữa B và B ∪ A. Ta đặt: g : M = M’ ∪ B → N = M’∪ (B ∪ A) x nếu x Є M’ g (x) = f(x) nếu x Є B Như thế g là song ánh từ M lên N nên card M = Card N. 13
Theo định lý này ta thấy khoảng (a,b) tương đương với đoạn [a,b]. Hơn nữa (a,b) tương đương với IR nên [a,b] cũng tương đương với IR. Nhận xét: Từ các định lý 2.2.3 và 2.2.6 ta thấy lực lượng đếm được là lực lượng “bé nhất” trong các lực lượng của tập vô hạn. 2.2.7. Định lý: Tập hợp tất cả các dãy hữu hạn có thể thành lập được với tất cả các phần tử của một tập hợp đếm được là tập đếm được. Chứng minh: Giả sử A = {a1,a2,...} là một tập đếm được. Ký hiệu Sm là tập ∞ các dãy có đúng m phần tử của A dạng (ai1, ai2,...aim). Đặt S = U S m . Ta chứng minh m =1 S đếm được. Trước hết S1 = A đếm được. Bằng qui nạp, giả sử Sm đếm được, hãy lấy ak Є A và ký hiệu Skm+1 là tập hợp tất cả các dãy có dạng (ai1, ai2,…,aim, ak). Giữa Skm+1 và Sm có một song ánh cho bởi (ai1, ai2,…,aim,ak) → ∞ (ai1,ai2,…,aim). nên Skm+1 đếm được. Mặt khác vì Sm+1 = U S m +1 nên Sm+1 đếm k k =1 được theo định lý 2.2.5. Cũng từ định lý này, S là một tập đếm được. 2.2.8. Hệ quả: Tập hợp tất cả các đa thức P(x) = a0 +a1x +...anxn (n bất kỳ) lấy giá trị trong IR với các hệ số hữu tỉ a0,a1,…, an là đếm được. Chứng minh: Mỗi đa thức tương ứng với một và chỉ một dãy hữu hạn các hệ số hữu tỉ của nó. Vì tập Q đếm được nên theo định lý 2.2.7, tập tất cả các dãy hữu hạn các số hữu tỉ là đếm được nên tập các đa thức này đếm được. 2.3. Lực lượng continum: Ta đã xét các ví dụ và thiết lập các định lý về các tập hợp đếm được. Vậy có tập hợp vô hạn nào không phải là tập đếm được hay không? Định lý sau đây cho ta câu trả lời khẳng định. 2.3.1. Định lý. Tập hợp các số thực IR là tập vô hạn không đếm được. Chứng minh: Trong ví dụ ở Định lý 2.2.6 ta thấy IR tương đương với đoạn [0,1]. Do đó chỉ cần chứng minh [0,1] không đếm được. Giả sử trái lại [0,1] là đếm được. Khi đó các phần tử của nó được đánh số thành dãy x1,x2,..xn,… Chia cho [0,1] thành 3 đoạn bằng nhau và gọi đoạn không chứa x1 là ∆1. Lại chia tiếp ∆1 thành 3 đoạn bằng nhau nữa và gọi ∆2 là đoạn không chứa x2,… Tiếp tục quá 1 trình này ta thu được dãy đoạn ∆1 ⊃∆2 ⊃... với ∆n có độ dài là |∆n| = 3n sao cho xn ∉ ∆n. Đây là dãy đoạn thắt lại nên theo nguyên lý Cantor, tồn tại ξ ∞ Є I ∆ n ⊂ [0,1]. Do đó ξ phải trùng với một xno nào đó. Vì ξ Є ∆n với mọi n nên n =1 xno Є ∆no. Điều này mâu thuẫn với cách xây dựng các đoạn ∆n. Vậy đoạn [0,1] không phải là tập đếm được. 14
Nhận xét: 1 1. Đặt a = {n : n Є N). Rõ ràng A là tập đếm được và chứa trong đoạn [0,1]. Do đó lực lượng đoạn [0,1] (hay IR) lớn hơn lực lượng đếm được. Người ta gọi lực lượng này là lực lượng continum hay lực lượng c. 2. Tập hợp số thực bằng hợp của số hữu tỉ và số vô tỉ. Do tập số hữu tỉ đếm được nên tập số vô tỉ không đếm được và cũng có lực lượng là c. BÀI TẬP 1.Hãy thiết lập một song ánh giữa hai tập (0,1) và [0,1] 2.Chứng minh tập các điểm gián đoạn của một hàm số đơn điệu xác định trên [a,b] là hữu hạn hoặc đếm được. 3. Giả sử E là một tập con của tập số thực IR có tính chất |x-y| > 1 với mọi x, y Є E. Chứng minh E là một tập hữu hạn hoặc đếm được. 4. Giả sử E là một tập vô hạn. D là một tập con hữu hạn hay đếm được của E sao cho E\D vô hạn. Chứng minh E\D có cùng lực lượng với E. 5. Cho A và B là các tập đếm được. Chứng minh A × B là tập đếm được. 6*. Ký hiệu E là tập hợp tất cả các dãy số (xn) trong đó xn = 0 hoặc xn = 1. Chứng minh E là tập hợp không đếm được. (Thực ra E có lực lượng c) 15
B. KHÔNG GIAN MÊTRIC §1. KHÁI NIỆM MÊTRIC. Phép toán đặc trưng của môn giải tích là phép toán lấy giới hạn. Để diễn tả khái niệm này ta phải tìm cách xác định mức độ “ xa”, “gần’’ giữa các đối tượng. Các mứcs độ “xa”, “gần” đó có thể đưa vào một cách khá tự nhiên thông qua kháis niệm khoảng cách hay mêtric được chính xác hoá bởi các định nghĩa sau đây. 1.1. Định nghĩa: Giả sử X là một tập tuỳ ý khác trống cho trước, một mêtric ( hay khoảng cách) trên X là một hàm số d: X × X→ IR thoả mãn 3 tiên đề sau đây: 1) d(x, y) ≥ 0, với mọi x, y Є X: d (x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y. 2) d(x, y) = d(y, x) với mọi x, y Є X, (tính đối xứng). 3) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z),với mọi x, y, z Є X (bất đẳng thức tam giác). Khi đó tập X với mêtric d đã cho gọi là một không gian mêtric và ký hiệu là (X,d). Đôi khi để đơn giản và nếu mêtric d được xác định rõ ràng, ta chỉ ký hiệu X. Bằng ngôn ngữ hình học, phần tử x ∈ X gọi là điểm của không gian X, số thực dương (hay bằng 0) d(x,y) gọi là khoảng cách giữa 2 điểm x và y. 1.2. Các ví dụ: 1.2.1. Giả sử M là tập hợp con khác trống của tập số thực IR. Ta hãy đặt d(x,y) = | x-y | với x,y ∈ M. Khi đó nhờ các tính chất quen thuộc của giá trị tuyệt đối, ta kiểm tra dễ dàng (M, d) là một không gian mêtric. 1.2.2. Ký hiệu IRk = {(x1,...xk) : xi Є IR, i = 1, k } là tập hợp các bộ k số thực. Với x = (x1,…,xk), y = (y1,...,yk) thuộc IRk, ta đặt: k d(x,y) = ∑(xi - yi)2 i =1 Khi đó các tiên đề 1)-2) rõ ràng, ta chỉ cần kiểm tra tiên đề 3) tức là chứng minh: k k k ∑( x i i 2 −z ) ≤ ∑( x i i 2 −y ) + ∑ ( y i − z i )2 i =1 i =1 i =1 i i i i i i Đặt ai = x – y , bi = y – z khi đó ai+ bi = x - z Ta lại có : 16
k k k k d (x,z) = ∑(ai+bi) = ∑ai = ∑bi + 2 ∑ai bi 2 2 2 2 i =1 i =1 i =1 i =1 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schawrz cho số hạng sau cùng ta được: k k k k d (x,z) ≤ ∑ai + ∑bi + 2 2 2 2 ∑a i 2 ∑b2i i =1 i =1 i =1 i =1 (≤ k ∑a i + 2 k ) ∑b2i 2 i =1 i =1 Từ đó lấy căn hai vế và trở lại với ký hiệu cũ, ta có: d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z). k Vậy (IR ,d) là một không gian mêtric và gọi mêtric này là mêtric thông thường trên IRk. Chú ý: 1. Khi k = 1 ta trở về ví dụ 1.2.1 với M = IR 2. Khi xét IRk mà không nói rõ mêtric nào thì ta qui ước là xét IRk với mêtric thông thường. 1.2.3. Giả sử X là một tập tuỳ ý khác trống. Ta đặt 0, nếu x = y d(x,y) = 1, nếu x ≠ y với mọi x, y Є X. Ta hãy kiểm tra d là một mêtric trên X. Tiên đề 1) và 2) được nghiệm đúng. Tiên đề 3 có dạng: d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) i. Nếu x ≠ z thì d(x,z) = 1 còn vế sau ≥ 1 ii) x = z thì d(x,z) = 0 còn vế sau ≥ 0 Vậy tiên đề 3) cũng thoả mãn nên (X,d) trở thành một không gian mêtric. Mêtric d này gọi là mêtric tầm thường trên X. 1.2.4. Ký hiệu tập hợp các hàm liên tục f : [a,b] → IR là C[a ,b ] với hàm f,g thuộc C[a ,b ] ta hãy đặt d(f,g) = max f ( x ) − g( x ) [a ,b ] Vì f,g là các hàm liên tục trên [a,b] nên hàm⎪f - g⎪cũng vậy. Do đó giá trị lớn nhất của hàm ⎪f - g⎪ đạt được trên khoảng đóng [a,b] nên d(f,g) xác định. Các tiên đề 1)-2) hiển nhiên. Tiên đề 3) suy ra từ ∀x ∈ [a,b] : ⎪f(x)-h(x)⎪≤ ⎪f(x)-g(x)⎪+⎪g(x)+h(x)⎪ 17
≤ max f ( x ) − g( x ) + max g( x ) − h( x ) [a ,b ] [a ,b ] nên max f ( x ) − h( x ) ≤ max f ( x ) − g( x ) + max g( x ) − h( x ) [a ,b ] [a ,b ] [a ,b ] hay d(f,h) ≤ d(f,g) + d(g,h) với mọi f,g,h∈ C[a ,b ] . Không gian mêtric này thường được ký hiệu gọn là C[a ,b ] . 1.2.5 Cũng trên tập hợp C[a ,b ] ta đặt b d(f,g) = ∫ f ( x ) − g ( x ) dx a Các tiên đề 2)-3) dễ dàng kiểm tra. Ta có d(f,g) ≥ 0. Nếu d(f,g) = 0 tức là b ∫ f ( x ) − g ( x ) dx = 0. Giả sử f ≠ g khi ấy có x0 ∈[a,b] để ⎪f(x)-g(x)⎪≥ ε > 0 với a mọi x ∈[α,β] nào đó chứa trong [a,b]. Như vậy b β β ∫ f ( x) − g ( x) dx ≥ ∫ f ( x) − g ( x) dx ≥ ∫ εdx = ε (α − β ) > 0. a α α Điều này mâu thuẫn. Vậy f = g Không gian metric này được ký hiệu là C[L ,b ]. a Nhận xét: Qua các ví dụ trên, ta thấy có thể cho nhiều mêtric khác nhau trên cùng một tập X (tất nhiên sẽ nhận được các không gian mêtric khác nhau). Tùy mục đích nghiên cứu, người ta sẽ chọn mêtric nào phù hợp với yêu cầu. 1.3. Một số tính chất đơn giản Giả sử (X,d) là một không gian metric, ta có: 1.3.1 Cho x1,...,xn là các điểm của X. Khi đó ta có bất đẳng thức tam giác mở rộng: d(x1,xn) ≤ d(x1,x2) +...+d(xn-1,xn) Tính chất này được suy từ tiên đề 3 và lập luận qui nạp. 1.3.2. Với mọi x,y,u,v thuộc X ta có bất đẳng thức tứ giác: ⎪d(x,y) – d(u,v)⎪≤ d(x,u) + d(y,v) Thực vậy ta áp dung 1.3.1 ta có d(x,y) ≤ d(x,u) + d(u,v) + d(v,y) hay d(x,y) - d(u,v) ≤ d(x,u) + d(y,v) Thay đổi vai trò của x,y cho u,v ta lại được d(u,v) - d(x,y) ≤ d(x,u) + d(y,v) 18
Như vậy có được điều phải chứng minh 1.3.3. Cho A,B là hai tập con khác trống trong không gian mêtric X. Đặt d ( A, B) = inf d ( x, y ) x∈A, y∈B và gọi số thực d(A,B) này là khoảng cách giữa hai tập A và B. Nếu A = {a} ta viết d(A,B) = d(a,B) và gọi là khoảng cách từ điểm a đến tập B. Để ý rằng nếu A ∩ B ≠∅ thì d(A,B) = 0 nhưng điều ngược lại nói chung không đúng. Cho x,y ∈X, với mọi z ∈ A ta có ⎪d(x,A)-d(y,B)⎪≤ d(x,y) Thực vậy với x,y ∈X ta có d(x,A) ≤ d(x,z) ≤ d(x,y) + d(y,z), ∀z ∈A. Do đó d(x,A) ≤ d(x,y) + inf d ( y, z ) z∈A hay d(x,A) - d(y,A) ≤ d(x,y) Tương tự d(y,A) - d(x,A) ≤ d(x,y). Từ đó kết quả được chứng minh. 1.4. Không gian metric con và không gian metric tích. 1.4.1. Định nghĩa. Giả sử (X,d) là một không gian metric và Y là một tập con khác trống của X. Nếu xét hàm thu hẹp d’ của hàm d lên tập Y x Y : d\Y x Y thì hiển nhiên d’ là một metric trên Y. Ta gọi d’ là mêtric cảm sinh bởi d lên Y. Với mêtric cảm sinh này, (Y,d’’) được gọi là không gian mêtric con của không mêtric (X, d). 1.4.2 Định nghĩa: Giả sử (X,dx) và (Y,dy) là hai không gian mêtric tuỳ ý. Trên tích Descartes X × Y = {(x,y) : x Є X, y ∈ Y} ta đặt d((x1, y1),(x2, y2)) = dX(x1, x2) + dY(y1, y2) Dễ dàng kiểm tra để thấy rằng d là một mêtric trên tập X × Y. Khi đó không gian ( X × Y,d) được gọi là tích của các không gian mêtric X và Y. 1.5. Sự hội tụ trong không gian mêtric: Các khái niệm hội và giới hạn trong không gian mêtric X bất kỳ được định nghĩa một cách tương tự trong tập IR với việc thay |x-y| bằng khoảng cách giữa hai phần tử d(x,y). Một dãy trong không gian mêtric (X, d) là một ánh xạ. Ta cũng dùng kí hiệu quen thuộc là dãy (xn)nЄ N. Giả sử nk là một dãy tăng thực sự các số nguyên dương. Khi đó dãy (xnk)k được gọi là một dãy con của dãy (xn). 1.5.1. Định nghĩa: Giả sử X là một không gian mêtric và (xn)n là một dãy trong X. Ta nói dãy (xn)n hội tụ đến x∈X nếu khoảng cách giữa xn và x dần đến 0 khi n → ∞. Lúc đó x được gọi là giới hạn của dãy xn và ta sẽ ký hiệu lim xn = x n →∞ hay xn→ x, n → ∞. Diễn tả lại, ta có 19
( lim xn = x ) ⇔ (lim d ( xn , x) = 0) n →∞ n →∞ ⇔ (∀ε > 0 ∃ n0 ∀ n ≥ n0 : d(xn, x) < ε) 1.5.2. Các tính chất. Cho (xn)n, (yn)n là các dãy trong không gian mêtric X. Ta có a. Nếu dãy (xn)n hội tụ đến x Є X thì mọi dã con (xnk)k của dãy (xn)n cũng hội tụ đến x. b. Giới hạn của một dãy hội tụ là duy nhất c. Nếu xn→ x, yn→ y thì d(xn, yn) → d(x,y) khi n → ∞ Chứng minh: a. Giả sử (nk)k là dãy tăng thực sự các số nguyên. Cho ε > 0 tồn tại số nguyên n0 sao cho d(xn, x) < ε khi n ≥ n0. Từ đó với mọi nk ≥ nk0 ≥ n0 nên d(xnk, x) < ε nghĩa là dãy con xnk→ x, k → ∞ b. Giả sử xn→ x và xn→ x’. Khi đó từ bất đẳng thức tam giác ta có: d(x, x’) ≤ d(xn, x) + d(xn, x’) Cho n → ∞ thì 0 ≤ d(x, x’) ≤ lim d ( xn , x) + lim d ( xn , x' ) = 0 n →∞ n →∞ ’ ’ Vậy d(x, x ) = 0 hay x = x . c. Theo bất đẳng thức tứ giác (1.3.2.) ta có: |d(xn,yn) – d(x, y)| ≤ d(xn,x) + d(yn,y). Qua giới khi n→ ∞ ta nhận được kết quả. 1.5.3. Các ví dụ: a. Hội tụ trong IRk. Trong IRk với mêtric thông thường, ta xét dãy sau: (xn)n : xn = ( x1 ,..., xn ) . n k Theo định nghĩa dãy (xn)n hội tụ về điểm x0 = ( x1 ,..., xn ) khi và chỉ khi d(xn, x0) n k → 0 (n→ ∞) hay 1/ 2 ⎡k i ⎤ ⎢ ∑ ( x n − x0 ) 2 ⎥ i i i → 0 ⇔ ( xn − x0 ) 2 → 0 với mọi i = 1,...,k ⎣1=1 ⎦ ⇔ |xni – xoi| → 0, với mọi i = 1,...,k ⇔ xni – xoi với mọi i = 1,...,k Vậy sự hội tụ của một dãy trong IRk chính là sự hội tụ theo toạ độ (thành phần) của dãy. Đặc biệt, với k = 1 thì đây chính là sự hội tụ cuả một dãy số thực thông thường. b. Hội tụ trong C[a,b]. Giả sử (xn)n là một dãy (dãy hàm) trong C[a,b] hội tụ về x ∈ C[a,b]. Theo định nghĩa, ta có: 20