Ánh xạ liên tục

Chia sẻ: Xuan Khuong | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:1

Thêm vào BST

Báo xấu

303
lượt xem 78
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Giải tích cơ sở - Chuyên ngành: Giải tích, PPDH Toán - Phần 1: Không gian Metric - Bài 3: Ánh xạ liên tục

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Ánh xạ liên tục

GI I TÍCH (CƠ S ) Chuyên ngành: Gi i Tích, PPDH Toán Ph n 1. Không gian metric §3. Ánh x liên t c (Phiên b n đã ch nh s a) PGS TS Nguy n Bích Huy Ngày 20 tháng 12 năm 2004 Tóm t t lý thuy t 1 Đ nh nghĩa Cho các không gian metric (X, d), (Y, ρ) và ánh x f : X → Y • Ta nói ánh x f liên t c t i đi m x0 ∈ X n u ∀ε > 0, ∃δ > 0 : ∀x ∈ X, d(x, x0 ) < δ =⇒ ρ(f (x), f (x0 )) < ε • Ta nói f liên t c trên X n u f liên t c t i m i x ∈ X 2 Các tính ch t Cho các không gian metric (X, d), (Y, ρ) và ánh x f : X → Y . Đ nh lí 1. Các m nh đ sau tương đương 1. f liên t c t i x0 ∈ X 2. ∀{xn } ⊂ X (lim xn = x0 ) =⇒ lim f (xn ) = f (x0 ) 1
H qu . N u ánh x f : X → Y liên t c t i x0 và ánh x g : Y → Z liên t c t i y0 = f (x0 ) thì ánh x h p g ◦ f : X → Z liên t c t i x0 . Đ nh lí 2. Các m nh đ sau tương đương 1. f liên t c trên X 2. V i m i t p m G ⊂ Y thì t p ngh ch nh f −1 (G) là t p m trong X . 3. V i m i t p đóng F ⊂ Y thì t p f −1 (F ) là t p m trong X . 3 Ánh x m , ánh x đóng, ánh x đ ng phôi Cho các không gian metric X , Y và ánh x f : X → Y . • Ánh x f g i là ánh x m (đóng) n u v i m i t p m (đóng) A ⊂ X thì nh f (A) là t p m (đóng). • Ánh x f g i là ánh x đ ng phôi n u f là song ánh liên t c và ánh x ngư c f −1 : Y → X liên t c. 4 M t s các h th c v nh và nh ngư c Cho các t p X , Y khác tr ng và ánh x f : X → Y . V i các t p A, Ai ⊂ X và B, Bi ⊂ Y , ta có Ai ) ⊂ 1. f ( Ai ) = f (Ai ), f( f (Ai ) i∈I i∈I i∈I i∈I 2. f −1 ( f −1 (Bi ), f −1 ( f −1 (Bi ) Bi ) = Bi ) = i∈I i∈I i∈I i∈I −1 −1 −1 (B1 \ B2 ) = f (B1 ) \ f f (B2 ) 3. f (f −1 (B )) ⊂ B ("=" n u f là toàn ánh) f −1 (f (A)) ⊃ A ("=" n u f là đơn ánh) Bài t p Bài 1. Trong không gian C[a,b] , ta xét metric d(x, y ) = sup |x(t) − y (t)| và trong R ta xét a≤t≤b metric thông thư ng. Ch ng minh các ánh x sau đây liên t c t C[a,b] vào R. 2
1. f1 (x) = inf x(t) a≤t≤b b x2 (t)dt 2. f2 (x) = a 1. Ta s ch ng minh |f1 (x) − f1 (y )| ≤ d(x, y ) Gi i. (*) Th t v y f1 (x) ≤ x(t) = y (t) + (x(t) − y (t)) ≤ y (t) + d(x, y ) ∀t ∈ [a, b] =⇒ f1 (x) − d(x, y ) ≤ y (t), ∀t ∈ [a, b] =⇒ f1 (x) − d(x, y ) ≤ f1 (y ) f1 (x) − f1 (y ) ≤ d(x, y ) hay Tương t , ta có f1 (y ) − f1 (x) ≤ d(x, y ) nên (*) đúng. T đây, ta th y ∀{xn }, lim xn = x =⇒ lim f1 (xn ) = f1 (x) n→∞ n→∞ 2. Xét tùy ý x ∈ C[a,b] , {xn } ⊂ C[a,b] mà lim xn = x, ta c n ch ng minh lim f2 (xn ) = f2 (x) Ta có |x2 (t) − x2 (t)| = |xn (t) − x(t)|.|xn (t) − x(t) + 2x(t)| n ≤ d(xn , x).[d(xn , x) + M ] (M = sup 2|x(t)|) a≤t≤b b |x2 (t) − x2 (t)|dt =⇒ |f2 (xn ) − f2 (x)| ≤ n a ≤ d(xn , x)[d(xn , x) + M ](b − a) Do lim d(xn , x) = 0 nên t đây ta có lim f2 (xn ) = f2 (x) (đpcm) Ghi chú. Ta có th dùng các k t qu v ánh x liên t c đ gi i bài t p 3 (§2). Ví d , đ ch ng minh t p M = {x ∈ C[a,b] : x(t) > x0 (t), ∀t ∈ [a, b]} (x0 ∈ C[a,b] cho trư c ) là t p m , ta có th làm như sau. Xét ánh x f : C[a,b] → R, f (x) = inf (x(t) − x0 (t)) a≤t≤b Ta có: • f liên t c (lý lu n như khi ch ng minh f1 liên t c) 3
• M = {x ∈ C[a,b] : f (x) > 0} = f −1 ((0, +∞)), (0, ∞) là t p m trong R Bài 2. Cho các không gian metric X , Y và ánh x f : X → Y . Các m nh đ sau là tương đương 1. f liên t c trên X 2. f −1 (B ) ⊃ f −1 (B ) ∀B ⊂ Y 3. f (A) ⊂ f (A) ∀A ⊂ X Gi i. 1) ⇒ 2) Ta có f −1 (B ) là t p đóng (do f liên t c và B ⊂ Y là t p đóng) f −1 (B ) ⊃ f −1 (B ) =⇒ f −1 (B ) ⊃ f −1 (B ) (do tính ch t "nh nh t" c a bao đóng) 2) ⇒ 3) Đ t B = f (A) trong 2), ta có f −1 (f (A) ) ⊃ f −1 (f (A)) ⊃ A Do đó f (f −1 (f (A) )) ⊃ f (A) =⇒ f (A) ⊃ f (A) 3) ⇒ 1) Xét tùy ý t p đóng F ⊂ Y , ta c n ch ng minh f −1 (F ) là t p đóng. Đ t A = f −1 (F ), ta có f (A) ⊂ f (A) = f (f −1 (F )) ⊂ F = F (do F đóng) =⇒ f −1 (f (A)) ⊂ f −1 (F ) =⇒ A ⊂ A V y A = A nên A là t p đóng. Bài 3. Trong C[a,b] ta xét metric d(x, y ) = sup{|x(t) − y (t)|, a ≤ t ≤ b}. Cho ϕ : [a, b] × R → R là hàm liên t c. Ch ng minh ánh x sau đây liên t c F : C[a,b] → C[a,b] , F (x)(t) = ϕ(t, x(t)) Gi i. C đ nh x0 ∈ C[a,b] , ta s ch ng minh F liên t c t i x0 . Đ t M = 1 + sup |x0 (t)|. Cho ε > 0 tùy ý. a≤t≤b Hàm ϕ liên t c trên t p compact D := [a, b] × [−M, M ] nên liên t c đ u trên D. Do đó, t n t i s δ1 > 0 sao cho ∀(t, s), (t , s ) ∈ D, |t − t | < δ1 , |s − s | < δ1 =⇒ |ϕ(t, s) − ϕ(t , s )| < ε 4
Đ t δ = min(δ1 , 1). V i m i x ∈ C[a,b] , d(x, x0 ) < δ , ta có |x(t) − x0 (t)| < δ ∀t ∈ [a, b] x(t) ∈ [−M, M ] (do |x(t) − x0 (t)| < 1, ∀t ∈ [a, b]) Do đó, |ϕ(t, x(t)) − ϕ(t, x0 (t))| < ε, ∀t ∈ [a, b] =⇒ |F (x)(t) − F (x0 )(t)| < ε, ∀t ∈ [a, b] =⇒ d(F (x), F (x0 )) < ε Như v y, ta đã ch ng minh ∀ε > 0, ∃δ > 0 : ∀x ∈ C[a,b] , d(x, x0 ) < δ ⇒ d(F (x), F (x0 )) < ε hay F liên t c t i x0 . Bài 4. Cho các không gian metric X , Y và song ánh f : X → Y . Ch ng minh các m nh đ sau tương đương 1. f −1 : Y → X liên t c 2. f là ánh x đóng Gi i. Ta có (f −1 : Y → X liên t c) −1 ⇐⇒ (∀A ⊂ X, A đóng ⇒ (f −1 ) (A) đóng trong Y ) ⇐⇒ (∀A ⊂ X, A đóng ⇒ f (A) đóng) ⇐⇒ (f : X → Y là ánh x đóng) Bài 5. Cho không gian metric (X, d). V i x ∈ X , ∅ = A ⊂ X , ta đ nh nghĩa d(x, A) = inf d(x, y ) y ∈A Ch ng minh các kh ng đ nh sau đây 1. Ánh x f : X → R, f (x) = d(x, A) liên t c 2. x ∈ A ⇔ d(x, A) = 0 3. N u F1 , F2 là các t p đóng, khác ∅ và F1 ∩ F2 = ∅ thì t n t i các t p m G1 , G2 sao cho F1 ⊂ G1 , F2 ⊂ G2 , G1 ∩ G2 = ∅ 1. Ta s ch ng minh |f (x) − f (x )| ≤ d(x, x ) Gi i. (*) Th t v y, ta có d(x, y ) ≤ d(x, x ) + d(x , y ) ∀y ∈ A =⇒ inf d(x, y ) ≤ d(x, x ) + inf d(x , y ) y ∈A y ∈A =⇒ d(x, A) − d(x , A) ≤ d(x, x ) 5
2. Ta có d(x, A) = 0 ⇐⇒ (∃{xn } ⊂ A : lim d(x, xn ) = 0) (do tính ch t c a inf và d(x, A) ≥ 0) n→∞ ⇐⇒ (∃{xn } ⊂ A : lim xn = x) ⇐⇒ x ∈ A 3. Ta xét ánh x g : X → R, g (x) = d(x, F1 ) − d(x, F2 ) Ta có g liên t c theo câu 1) Đ t G1 = {x ∈ X : g (x) < 0}, G2 = {x ∈ X : g (x) > 0}, ta có • G1 ∩ G2 = ∅ • G1 , G2 là các t p m (do G1 = g −1 ((−∞, 0)), G2 = g −1 ((0, +∞)), (0, +∞),(−∞, 0) là các t p m và g liên t c). d(x, F1 ) = 0 • F1 ⊂ G1 vì x ∈ F1 ⇒ (do x ∈ F2 và k t qu câu 2)) d(x, F2 ) > 0 / ⇒ g (x) < 0 Tương t , F2 ⊂ G2 Bài t p t gi i có hư ng d n Bài 6. Cho các không gian metric X , (Y1 , d1 ), (Y2 , d2 ). Trên Y1 × Y2 , ta xét metric d((y1 , y2 ), (y1 , y2 )) = d1 (y1 , y1 ) + d2 (y2 , y2 ) Gi s r ng f1 : X → Y1 , f2 : X → Y2 là các ánh x liên t c. Ch ng minh r ng ánh x f : X → Y1 × Y2 , f (x) = (f1 (x), f2 (x)) liên t c. Hư ng d n §1. S d ng đ nh lý 1 và đi u ki n h i t trong không gian metric tích trong bài t p Bài 7. Cho các không gian metric X , Y và ánh x f : X → Y . Ch ng minh các m nh đ sau tương đương: 1. f liên t c trên X 2. f −1 (Int B ) ⊂ Int f −1 (B ) ∀B ⊂ Y 6
Hư ng d n • 1) ⇒ 2) Áp d ng đ nh lý 2 và tính ch t "l n nh t" c a ph n trong. • 2) ⇒ 1) Áp d ng đ nh lý 2 và tính ch t G = Int G n u G m . Bài 8. Cho các không gian metric (X, d), (Y, ρ) và các ánh x liên t c f, g : X → Y . Ta đ nh nghĩa ánh x h : X → R, h(x) = ρ(f (x), g (x)), x ∈ X 1. Ch ng minh h liên t c 2. Suy ra r ng t p A := {x ∈ X : f (x) = g (x)} là t p đóng. Hư ng d n ρ d 1. Ch ng minh r ng n u dn −→ x thì h(xn ) → h(x) trong R, s d ng tính ch t yn −→ y , ρ zn −→ z thì ρ(yn , zn ) → ρ(y, z ) 2. A = h−1 ({0}), {0} là t p đóng trong R Bài 9. Cho không gian metric (X, d) và A, B là các t p đóng khác ∅, không giao nhau. Ch ng minh r ng t n t i ánh x liên t c f : X → R sao cho 0 ≤ f (x) ≤ 1, ∀x ∈ X , ∀x ∈ A, f (x) = 0, ∀x ∈ B f (x) = 1, Hư ng d n d(x, A) Ch ng minh hàm f (x) = c n tìm. d(x, A) + d(x, B ) 7