Giáo trình giải tích cơ sở

Chia sẻ: Trần Bảo Quyên Quyên | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:10

Thêm vào BST

Báo xấu

552
lượt xem 184
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Giáo trình giải tích cơ sở - Không gian định chuẩn - Ánh xạ tuyến tính liên tục - Không gian Hilbert

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình giải tích cơ sở

GI I TÍCH (CƠ S ) Chuyên ngành: Gi i Tích, PPDH Toán Ph n 2. Không gian đ nh chu n Ánh x tuy n tính liên t c §3. Không gian Hilbert (Phiên b n đã ch nh s a) PGS TS Nguy n Bích Huy Ngày 27 tháng 3 năm 2005 I. Ph n lý thuy t 1 Tích vô hư ng, không gian Hilbert 1.1 Đ nh nghĩa Đ nh nghĩa 1 1. Cho không gian vectơ X trên trư ng s K (K = R ho c K = C).M t ánh x t X × X vào K, (x, y ) → x, y đư c g i là m t tích vô hư ng trên X n u nó th a mãn các đi u ki n sau: (a) x, x ≥ 0 ∀x ∈ X x, x = 0 ⇔ x = θ ∀x, y ∈ X (b) y , x = x, y ( y , x = x, y n u K = R), ∀x, x , y ∈ X (c) x + x , y = x, y + x , y ∀x, y ∈ X, ∀λ ∈ K (d) λx, y = λ x, y 1
T các tính ch t i) - iv) ta cũng có: x, y + y = x, y + x, y , x, λy = λ x, y 2. N u ., . là m t tích vô hư ng trên X thì ánh x x → x, x là m t chu n trên X , g i là chu n sinh b i tích vô hư ng. 3. N u ., . là tích vô hư ng trên X thì c p(X, ., . ) g i là m t không gian ti n Hilbert (hay không gian Unita, không gian v i tích vô hư ng). S h i t , khái ni m t p m ,...,trong (X, ., . ) luôn đư c g n v i chu n sinh b i ., . . N u không gian đ nh chu n tương ng đ y đ thì ta nói (X, ., . ) là không gian Hilbert. 1.2 Các tính ch t 1. B t đ ng th c Cauchy - Schwartz: | x, y | ≤ x . y 2. x + y 2 + x − y 2 = 2( x 2 + y 2) (đ ng th c bình hành). 3. N u lim xn = a, lim yn = b thì lim xn, yn = a, b Ví d 1 1. Trong C [a, b] các hàm th c liên t c trên [a, b] thì ánh x b (x, y ) → x, y = x(t)y (t)dt a là m t tích vô hư ng. Không gian (C [a, b], ., . ) không là không gian Hilbert.(xây d ng ví d tương t ph n không gian met- ric) 2. Trong l2, v i x = {λk }, y = {αk }, ta đ nh nghĩa ∞ x, y = λk αk k =1 thì ., . là tích vô hư ng, (l2, ., . ) là không gian Hilbert. 2
2 S tr c giao 2.1 Đ nh nghĩa Đ nh nghĩa 2 Cho không gian v i tích vô hư ng (X, ., . ) và x, y ∈ X, φ = M ⊂ X . 1. Ta nói x tr c giao v i y (vi t x⊥y ) n u x, y 2. N u x⊥y ∀y ∈ M thì ta vi t x⊥M . Ta ký hi u M ⊥ = {x ∈ X : x ⊥ M } . 2.2 Các tính ch t 1. N u x ⊥ M thì x ⊥ M ( M ch không gian con sinh b i M) 2. N u x ⊥ yn ∀n ∈ N∗ và lim yn = y thì x ⊥ y . Suy ra n u x ⊥ M thì cũng có x ⊥ M . 3. M ⊥ là m t không gian con đóng. 4. N u x1, . . . , xn đôi n t tr c giao thì 2 2 + . . . + xn 2(đ ng th c Pythagore) x1 + . . . + xn = x1 Đ nh lý 1 (v phân tích tr c giao) N u M là m t không gian con đóng c a không gian Hilbert (X, ., . ) thì m i x ∈ X có duy nh t phân tích d ng y ∈ M, z ∈ M ⊥ x = y + z, (1) Ph n t y trong (1) g i là hình chi u tr c giao c a x lên M và có tính ch t x − y = inf x − y . y ∈M 3
3 H tr c chu n. Chu i Fourier 3.1 Đ nh nghĩa Cho không gian Hilbert (X, ., . ) 1. H {e1, e2, . . .} ⊂ X g i là m t h tr c chu n n u 0 n ui=j ei, ej = 1 n ui=j = 1 ∀n ∈ N∗ và Như v y, {en} là h tr c chu n n u en ei ⊥ ej (i = j ). 2. H tr c chu n {en} g i là đ y đ , n u nó có tính ch t sau: (x ⊥ en ∀n = 1, 2, . . .) ⇒ x = θ. 3. N u {en} là h tr c chu n thì chu i ∞ x, en · en g i là chu i n=1 Fourier c a ph n t x theo h chu n {en}. Đ nh lý 2 Cho {en} là h tr c chu n trong không gian Hilbert (X, ., . ) và {λn} là m t dãy s . Ta xét chu i ∞ λnen (2) n=1 Ta có: ∞ 2 n=1 |λn | < ∞. 1. Chu i (2) h i t khi và ch khi 2. Gi s chu i (2) h i t và có t ng x thì ∞ ∀n ∈ N∗ 2 |λn|2, x = x, en = λn n=1 4
Đ nh lý 3 Chu i Fourier c a m i ph n t x ∈ X theo h tr c chu n {en} là h i t và ta có ∞ | x, en |2 ≤ x2 (b t d ng th c Bessel). n=1 Ý nghĩa c a h tr c chu n đ y đ đư c làm rõ trong đ nh lý sau. Đ nh lý 4 Cho {en} là h tr c chu n. Các m nh đ sau là tương đương: 1. H {en} đ y đ 2. ∞ ∀x ∈ X. x= x, en en, n=1 3. ∞ 2 | x, en |2 ∀x ∈ X x = (đ ng th c Parseval) n=1 II. Ph n Bài t p ∞ Bài t p 1 Trong không gian l1 các dãy s th c x = {λk }, k =1 |λk | < ∞ ta đ nh nghĩa ∞ λk · αk , x = {λk } ∈ l1, y = {αk } ∈ l1 x, y = k =1 1. Ch ng minh ., . là m t tích vô hư ng trên l1. 2. (l1, ., . ) không là không gian Hilbert. Gi i 5
1. Trư c tiên ta c n ki m tra x, y xác đ nh ∀x, y ∈ l1. Th t v y, vì lim αk = 0 nên {αk } b ch n: ∃M ∈ R, |αk | ≤ M ∀k ∈ N∗. Do đó ∞ ∞ |λk αk | ≤ M |λk | < ∞ k =1 k =1 và chu i đ nh nghĩa x, y h i t . Các đi u ki n c a tích vô hư ng d dàng ki m tra. 1 2. Chu n sinh b i ., . s là x = ( ∞ λ2 ) 2 , x = {λk }. k =1 k 1 1 Xét dãy {xn} ⊂ l1 v i xn = {1, 2 , . . . , n , 0, 0, . . .}. • Ta có {xn} là dãy Cauchy vì v i n > m: 1 1 xn − xm = {0, . . . , 0, , . . . , , 0, 0, . . .} m+1 n n 11 ⇒ xn − xm ) 2 −→ 0 (khi n, m → ∞) =( 2 k k =m+1 • Ta ch ng minh {xn} không h i t . Gi s trái l i t n t i a = {αk } ∈ l1 sao cho lim xn − a = 0. C đ nh k ∈ N∗, khi n ≥ k , ta có 1 | − αk | ≤ xn − a k ∀k ∈ N∗, vô lý vì dãy { k }k ∈ l1. 1 1 T đây ta có αk = k / V y l1 v i tích vô hư ng trên không là không gian Hilbert. Bài t p 2 Cho không gian Hilbert X và X0 là không gian con đóng c a X , A : X0 → Y là ánh x tuy n tính liên t c(Y là m t không gian đ nh chu n). Ch ng minh t n t i ánh x tuy n tính liên t c B : X → Y sao cho B (x) = A(x) ∀x ∈ X0, B = A 6
Gi i • Ta đ nh nghĩa ánh x A như sau. Theo đ nh lý v phân tích tr c giao, m i x ∈ X có duy nh t phân tích ⊥ y ∈ X0, z ∈ X0 x = y + z, (3) và ta đ t B (x) := A(y ). Vì phân tích d ng (3) c a x ∈ X0 là x = x + θ nên ta có ngay B (x) = A(x) ∀x ∈ X0 • Ta ki m tra B là tuy n tính: v i x, x ∈ X, α, α ∈ K ta vi t phân tích (3) và ⊥ y ∈ X0, z ∈ X0 x =y +z, Khi đó: αx + α x = (αy + α y ) + (αz + α z ) ∈X0 ⊥ ∈X0 ⇒ B (αx + α x ) = A(αy + α y ) = αA(y ) + α A(y ) = αB (x) + α B (x ). • Ti p theo ta ch ng minh B liên t c và B = A . T (3) và đ nh lý Pythagore ta có x 2 = y 2 + z 2, do đó: A( y ) ≤ A · y B (x ) = (Do A liên t c) ⇒ B (x ) ≤ A · x , ∀x ∈ X V y B liên t c và B ≤ A . M t khác ta có: B = supx∈X, x =1 B (x) ≥ supx∈X0, B (x ) x =1 = supx∈X0, x =1 A(x) = A Vy B = A . 7
Bài t p 3 Cho h tr c chu n {en} trong không gian Hilbert X . Xét dãy ánh x Pn :X −→ X n x ∈ X, n ∈ N∗. Pn (x ) = x, ek ek , k =1 1. Ch ng minh Pn(x) là hình chi u tr c giao c a x lên Xn := e1, . . . , en . 2. Gi s h {en} đ y đ . Ch ng minh limn→∞ ||Pn(x)−I (x)|| = 0 ∀x ∈ X nhưng ||Pn − I || 0(I : X → X là ánh x đ ng nh t) Gi i 1. Ta có: x = Pn(x) + (x − Pn(x)), Pn(x) ∈ Xn. ⊥ Do đó ch còn ph i ch ng minh x − Pn(x) ∈ Xn hay x − Pn(x) ⊥ Xn. Vì Xn sinh b i {e1, . . . , en} nên ch c n ch ng minh x − Pn(x) ⊥ ei ∀i = 1, . . . , n.Th t v y: n x−Pn(x), ei = x, ei − x, ek ek , ei = x, ei − x, ei = 0 k =1 2. – Do đ ng th c Parseval, ta có ∀x ∈ X : ∞ n x, ek · ek = lim x, ek · ek = lim Pn(x) x= n→∞ n→∞ k =1 k +1 –Đ t ∞ Qn(x) = I (x)−Pn(x) = x, ek ·ek , x ∈ X, n = 1, 2 . . . k =n+1 8
Ta có Qn(x) tuy n tính và ∞ ||Qn(x)||2 = | x, ek |2 ≤ ||x||2 (bđt Bessel) k =n+1 ⇒ Qn liên t c, ||Qn|| ≤ 1 ||Qn (en+1 || M t khác, Qn(en+1) = en+1 và ||Qn|| ≥ = 1 nên ||en+1 || ta có ||Qn|| = 1 hay ||I − Pn|| = 1 Bài t p 4 Cho {en} là h tr c chu n trong không gian Hilbert X và {λn} là dãy s . 1. Gi s {λn} là dãy b ch n. Ch ng minh r ng ∞ λn x, en · en x∈X A( x ) = (4) n=1 là ánh x tuy n tính liên t c t X vào X và ||A|| = supn∈N∗ |λn| 2. Gi s chu i trong (4) h i t ∀x ∈ X . Ch ng minh {λn} là dãy b ch n. Gi i 1. Đ t M = supn∈N∗ |λn| Đ u tiên ta ki m tra A xác đ nh hay ch ng minh chu i trong (4) h i t . Ta có ∞ ∞ |λn x, en |2 ≤ M 2 | x, en |2 ≤ M 2 · ||x||2 (5) n=1 n=1 nên theo đ nh lý 2, chu i trong (4) h i t . D ki m tra A là ánh x tuy n tính. T đ nh lý 2 và (5) ta có 9
∞ 2 |λ x, en |2 ≤ M 2 · ||x||2 ∀x ∈ X ||A(x)|| = n=1 ⇒ A liên t c, ||A|| ≤ M M c khác ta có: và ||A(ek )|| ≤ ||A|| ∀k ∈ N∗ A(ek ) = λk ek nên ||A|| ≥ |λk | ∀k ∈ N∗. Do đó ||A|| ≥ M . V y ||A|| = M đpcm. 2. T gi thi t và đ nh lý 2, ta có ∞ |λn|2 · | x, en |2 < ∞ ∀x ∈ X. (6) n=1 N u {λn} không b ch n thì ta tìm đư c dãy con {λnk }k sao cho |λnk | > k (k ∈ N∗). Ta có ∞ ∞ ∞ 1 1 1 ≤ ⇒ ∃a := en (theo đ nh lý 2) λn k k |λnk |2 k2 k =1 k =1 k =1 Ta có 1 n u n = nk λnk a, en = n u n ∈ {n1, n2, . . .} 0 / do đó: ∞ ∞ 1 |λn|2 · | a, en |2 = |λnk |2 · =∞ |λnk |2 n=1 k =1 Ta g p mâu thu n v i (6). 10