Giải tích ( Cơ sở )

Chia sẻ: Trần Bảo Quyên Quyên | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:6

Thêm vào BST

Báo xấu

318
lượt xem 89
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Giải tích ( Cơ sở ) - Phần 3: Đo độ và tích phân

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giải tích ( Cơ sở )

GI I TÍCH (CƠ S ) Ph n 3. Đ Đo Và Tích Phân Chuyên ngành: Gi i Tích, PPDH Toán §1. Đ Đo (Phiên b n đã ch nh s a) PGS TS Nguy n Bích Huy Ngày 18 tháng 4 năm 2005 1 PH N LÝ THUY T 1. Không gian đo đư c Đ nh nghĩa : 1) Cho t p X = ø; m t h F các t p con c a X đư c g i là m t σ −đ i s n u nó th a mãn các đi u ki n sau : i. X ∈ F và n u A ∈ F thì Ac ∈ F , trong đó Ac = X \ A. ii. H p c a đ m đư c các t p thu c F cũng là t p thu c F . 2) N u F là σ −đ i s các t p con c a X thì c p (X, F ) g i là m t không gian đo đư c ; m i t p A ∈ F g i là t p đo đư c (đo đư c v i F hay F − đo đư c) Tính ch t Gi s F là σ −đ i s trên X . Khi đó ta có : 1) ø ∈ X . Suy ra h p c a h u h n t p thu c F cũng là t p thu c F . 2) Giao c a h u h n ho c đ m đư c các t p thu c F cũng là t p thu c F . 3) N u A ∈ F , B ∈ F thì A \ B ∈ F . 2. Đ đo Đ nh nghĩa : Cho m t không gian đo đư c (X, F ) 1) M t ánh x µ : F −→ [0, ∞] đư c g i là m t đ đo n u : i. µ(ø) = 0 ii. µ có tính ch t σ −c ng, hi u theo nghĩa ∞ ∞ ∀{An }n ⊂ F, (An ∩ Am = ø, n = m) ⇒ µ( An ) = µ(An ) n=1 n=1 2) N u µ là m t đ đo xác đ nh trên σ −đ i s F thì b ba (X, F, µ) g i là m t không gian đ đo 1
Tính ch t : Cho µ là m t đ đo xác đ nh trên σ −đ i s F ; các t p đư c xét dư i đây đ u gi thi t là thu c F . 1) N u A ⊂ B , thì µ(A) ≤ µ(B ), hơn n a n u µ(A) < ∞ thì ta có µ(B \ A) = µ(B ) − µ(A) ∞ ∞ An ) ≤ 2) µ( µ(An ). n=1 n=1 ∞ Do đó, n u µ(An ) = 0 (n ∈ N∗ ) thì µ( An ) = 0 n=1 ∞ (n ∈ N∗ ) thì µ( 3) N u An ⊂ An+1 An ) = lim µ(An ) n→∞ n=1 ∗ 4) N u An ⊃ An+1 (n ∈ N ) và µ(A1 ) < ∞ thì ∞ µ( An ) = lim µ(An ) n→∞ n=1 Quy ư c v các phép toán trong R Gi s x ∈ R, a = +∞ ho c a = −∞. Ta quy ư c : 1) −∞ < x < +∞ 2) x + a = a, a + a = a a, n ux>0 a.a = +∞, a.(−a) = −∞ 3) x.a = , −a , n u x < 0 x =0 4) a ax∞ Các phép toán a − a, 0.a, , , không có nghĩa. 00∞ Khi th c hi n các phép toán trong R ta ph i h t s c c n tr ng. Ví d , t x + a = y + a không suy ra đư c x = y (n u a = ±∞). Đ nh nghĩa Đ đo µ xác đ nh trên σ −đ i s F các t p con c a X đư c g i là : 1) Đ đo h u h n n u µ(X ) < ∞. 2) Đ đo σ − h u h n n u t n t i dãy {An } ⊂ F sao cho ∞ µ(An ) < ∞ ∀n ∈ N∗ X= An , n=1 3) Đ đo đ n u nó có tính ch t (A ⊂ B ; B ∈ F, µ(B ) = 0) ⇒ A ∈ F 3. Đ đo Lebesgue trên R T n t i m t σ −đ i s F các t p con c a R mà m i A ∈ F g i là m t t p đo dư c theo Lebesgue (hay (L)− đo đư c) và m t đ đo µ xác đ nh trên F (g i là đ đo Lebesgue trên R ) th a mãn các tính ch t sau : 1) Các kho ng (hi u theo nghĩa r ng), t p m , t p đóng, ... là (L)−đo đư c. N u I là kho ng v i đ u mút a, b (−∞ ≤ a ≤ b ≤ t) thì µ(I ) = b − a 2) T p h u h n ho c đ m đư c là (L)−đo đư c và có đ đo Lebesgue b ng 0. 2
3) T p A ⊂ R là (L)−đo đư c khi và ch khi v i m i ε > 0, t n t i t p đóng F , t p m G sao cho F ⊂ A ⊂ G, µ(G \ F ) < ε 4) N u A là t p (L)−đo đư c thì các t p x + A, xA cũng là (L)−đo đư c và : µ(xA) = |x|µ(A) µ(x + A) = µ(A) 5) Đ đo Lebesgue là đ , σ − h u h n 2 PH N BÀI T P 1. Bài 1 Cho không gian đ đo (X, F, µ), t p Y = ø và ánh x ϕ : X −→ Y Ta đ nh nghĩa : A = {B ⊂ Y : ϕ−1 (B ) ∈ F } Ch ng minh A là σ −đ i s trên Y và γ là đ đo xác đ nh trên F Gi i • Ta ki m tra A th a hai đi u ki n c a σ −đ i s : i. Ta có Y ∈ A vì ϕ−1 (Y ) = X ∈ F Gi s B ∈ A, ta c n ch ng minh B c = Y \ B ∈ A. Th t v y, ta có ϕ−1 (Y \B ) = ϕ−1 (Y )\ϕ−1 (B ) = X \ϕ−1 (B ) ϕ−1 (B ) ∈ F nên X \ ϕ−1 (B ) ∈ F ( do B ∈ A) ⇒ ϕ−1 (Y \ B ) ∈ F hay Y \ B ∈ A ∞ ii. Gi s Bn ∈ A(n ∈ N∗ ) và B = Bn . Ta có n=1 ∞  −1 −1 ϕ (B ) = ϕ (Bn )  ⇒ ϕ−1 (B ) ∈ F hay B ∈ A. n=1 ϕ−1 (Bn ) ∈ F (n ∈ N∗ )  • Ti p theo ta ki m tra γ là đ đo. V i B ∈ A ta có ϕ−1 (B ) ∈ F nên s µ[ϕ−1 (B )] xác đ nh, không âm. V y s γ (B ) ≥ 0, xác đ nh. i. Ta có γ (ø) = µ[ϕ−1 (ø)] = µ(ø) = 0 ∞ ii. Gi s Bn ∈ A (n ∈ N∗ ), Bn ∩ Bm = ø (n = m) và B = Bn .Ta có n=1 ∞ ϕ−1 (B ) = ϕ−1 (Bn ), n=1 ϕ−1 (Bn ) ∩ ϕ−1 (Bm ) = ϕ−1 (Bn ∩ Bm ) = ø (n = m). ∞ ⇒ µ[ϕ−1 (B )] = µ [ϕ−1 (Bn )] (do tính σ −c ng c a µ) n=1 ∞ ⇒ γ (B ) = γ (Bn ) n=1 3
(n ∈ N∗ ). Đ t : 2. Bài 2 Cho không gian đ đo (X, F, µ) và các t p An ∈ F ∞ ∞ B= An (T p các đi m thu c m i An t m t lúc nào đó) k=1 n=k ∞ ∞ B= An (T p các đi m thu c vô s các An ). k=1 n=k Ch ng minh 1) µ(B ) ≤ lim µ(An ) n→∞ ∞ 2) µ(C ) ≥ lim µ(An ) An ) < ∞ N u có thêm đi u ki n µ( n→∞ n=1 Gi i ∞ 2) Đ t Ck = ta có : n=k ∞ ∗ Ck ∈ F (k ∈ N ), C1 ⊃ C2 ⊃ . . . , µ(C1 ) < ∞; C = Ck k=1 µ(C ) = lim µ(Ck ) (1) Do đó : k→∞ Ck ⊃ Ak M t khác ta có nên ∀k ∈ N∗ µ(Ck ) ≥ µAk và lim µ(Ck ) ≥ lim µ(Ak ) (2) k→∞ k→∞ T (1), (2) ta có đpcm. 3. Bài 3 : Cho σ −đ i s F và ánh x : µ : F −→ [0, ∞] th a mãn các đi u ki n sau : i. µ(ø) = 0 ii. N u A1 , A2 ∈ F, A1 ∩ A2 = ø thì µ(A1 ∪ A2 ) = µ(A1 ) + µ(A2 ) (Ta nói µ có tính ch t c ng h u h n) ∞ (n ∈ N∗ ), iii. N u An ∈ F A1 ⊃ A2 ⊃ . . . và An = ø thì lim µ(An ) = 0 Ch ng n→∞ n=1 minh µ là đ đo. Gi i ∞ (n ∈ N∗ ), Gi s Bn ∈ F Bn ∩ Bm = ø (n = m) và B = Bn , ta c n ch ng minh n=1 ∞ µ(B ) = µ(Bn ) (1) n=1 4
Đt ∞ Ck = Bn (k = 1, 2 . . .), n=k ta có Ck ∈ F, C1 ⊃ C2 ⊃ . . . và B = B1 ∪ . . . ∪ Bn ∪ Cn+1 ∞ Ck = ø (Xem ý nghĩa t p C , bài 2 và gi thi t v các Bn ) k=1 n  µ(B ) = µ(Bk ) + µ(Cn+1 ) (2) ( do tính ch t ii.)  ⇒ k=1  lim µ(Cn ) = 0 ( do tính ch t iii.) m→∞ Cho n → ∞ trong (2) ta có (1). 4. Bài 4 : Ký hi u µ là đ đo Lebesgue trên R. Cho A ⊂ [0, 1] là t p (L)−đo đư c và µ(A) = a > 0. Ch ng minh r ng trong A có ít nh t m t c p s mà hi u c a chúng là s h ut. Gi i Ta vi t các s h u t trong [0, 1] thành dãy {rn }n và đ t An = rn + A (n ∈ N∗ ). Ta ch c n ch ng minh t n t i n = m sao cho An ∩ Am = ∅. Gi s trái l i, đi u này không đúng. Khi đó ta có ∞ ∞ µ( An ) = µ(An ) (1) n=1 n=1 M t khác, ta có ∞ An ⊂ [0, 2] µ(An ) = µ(A) = a, n=1 Do đó v ph i c a (1) b ng +∞ còn v trái ≤ 2, vô lý 5. Bài 5 : Cho t p (L)− đo đư c A ⊂ R. Ch ng minh A có th vi t thành d ng A = B \ C v i B là giao c a đ m đư c t p m và C là t p (L)−đo đư c, có đ đo Lebesgue b ng 0. Gi i Do tính ch t 3) c a đ đo Lebesgue, v i m i n ∈ N∗ ta tìm đư c t p m Gn ⊃ A sao cho 1 µ(Gn \ A) < n ∞ Gn và C = B \ A. Đ tB= n=1 Ta có B là (L)− đo đư c và do đó C cũng là (L)− đo đư c. Vì C ⊂ Gn \ A ∀n = 1, 2, . . . nên ta có : 1 µ(C ) ≤ ∀n = 1, 2, . . . n V y µ(C ) = 0. 5
6. Bài 6 : Cho t p L− đo đư c A ⊂ [0, 1] v i µ(A) = a > 0. Ch ng minh: 1) Hàm f (x) = µ(A ∩ [0, x]) liên t c trên [0, 1]. 2) ∀b ∈ (0, a) ∃B ⊂ A : B (L)− đo đư c, µ(B ) = b Gi i 1) V i 0 ≤ x < y ≤ 1 ta có f (y ) =µ(A ∩ [0, y ]) =µ(a ∩ [0, x]) + µ(A ∩ (x, y ]) ⇒ f (x) − f (y ) = µ(A ∩ (x, y ]) ⇒ 0 ≤ f (x) − f (y ) ≤ y − x Do đó f liên t c trên [0, 1] 2) Ta có f (0) = 0, f (1) = a và f liên t c nên t n t i xo ∈ (0, 1) th a f (xo ) = b hay µ(A ∩ [0, x]) = b. T p B := A ∩ [0, xo ] c n tìm. 6