Ánh xạ tuyến tính liên tục- ôn thi cao học

Chia sẻ: Trần Bá Trung4 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:7

Thêm vào BST

Báo xấu

356
lượt xem 121
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Ánh xạ tuyến tính liên tục- ôn thi cao học là tài liệu mang tính chất tham khảo, giúp ích trong việc tự học, ôn thi, tạo tâm thế vững vàng, có thể tự đánh giá và nâng cao vốn kiến thức, giúp trong các kỳ thi sắp tới. Tác giả hy vọng tài liệu này sẽ giúp ích cho các bạn.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Ánh xạ tuyến tính liên tục- ôn thi cao học

GI I TÍCH (CƠ S ) Chuyên ngành: Gi i Tích, PPDH Toán Ph n 2. Không gian đ nh chu n Ánh x tuy n tính liên t c §2. Ánh X Tuy n Tính Liên T c (Phiên b n đã ch nh s a) PGS TS Nguy n Bích Huy Ngày 1 tháng 3 năm 2006 PH N LÝ THUY T 1. S liên t c c a c a ánh x tuy n tính : Ánh x tuy n tính liên t c gi a các không gian đ nh chu n có t t c các tính ch t c a m t ánh x liên t c gi a các không gian metric. Ngoài ra nó còn có các tính ch t đ c bi t nêu trong đ nh lý sau : Đ nh lý 1 : Gi s X, Y là các không gian đ nh chu n trên cùng m t trư ng s và A : X −→ Y là m t ánh x tuy n tính. Các m nh đ sau là tương đương : (a) A liên t c t i m t đi m nào đó c a X. (b) A liên t c trên X. (c) T n t i s M > 0 sao cho A(x) Y M ||x||X ∀x ∈ X 2. Chu n c a ánh x tuy n tính liên t c. Không gian L(X, Y ) (a) N u A : (X, ||.||X ) −→ (Y, ||.||Y ) là ánh x tuy n tính liên t c thì ta đ nh nghĩa chu n c a A b i : ||A(x)||Y ||A|| = sup x∈X ||x||X x=0 T đ nh nghĩa này, ta d th y các tính ch t sau : i. ||A|| = sup ||A(x)||Y = sup ||A(x)||Y ||x||X ≤1 ||x||X =1 1
ii. N u A tuy n tính liên t c thì ||A(x)||Y ||A||.||x||X , ∀x ∈ X iii. N u A tuy n tính và t n t i s dương M sao cho ||A(x)||Y M.||x||X , ∀x ∈ X thì A liên t c và ||A|| M (b) Ta ký hi u L(X, Y ) là t p t t c các ánh x tuy n tính liên t c t X vào Y . L(X, Y ) tr thành không gian đ nh chu n n u ta đ nh nghĩa chu n c a m i A ∈ L(X, Y ) như trên và các phép toán như sau : (A + B)(x) = A(x) + B(x) (λA)(x) = λA(x), x∈X Đ nh lý 2 : N u Y là không gian Banach thì L(X, Y ) là không gian Banach. 3. Phi m hàm tuy n tính liên t c • M t ánh x tuy n tính t không gian đ nh chu n X vào trư ng s K cũng còn g i là m t phi m hàm tuy n tính. Đ nh lý 3 : Cho f : (X, ||.||) −→ K là phi m hàm tuy n tính. Các m nh đ sau là tương đương : (a) f liên t c t i m t đi m nào đó c a X. (b) f liên t c trên X. (c) ∃M > 0 : |f (x)| M.||x|| ∀x ∈ X (d) Kerf = {x ∈ X : f (x) = 0} là không gian con đóng. • Không gian L(X, K) t t c các phi m hàm tuy n tính liên t c trên X thư ng ký hi u là X ∗ và g i là không gian liên h p c a X. T đ nh lý 2 ta có X ∗ là không gian Banach v i chu n |f (x)| ||f || = sup x=θ ||x|| PH N BÀI T P Bài 1 Cho các không gian đ nh chu n (X, ||.||X ), (Y, ||.||Y ) v i dim X = n và A : X −→ Y là ánh x tuy n tính. Ch ng minh : 1. A liên t c. 2. T n t i di m xo ∈ X sao cho : ||xo ||X = 1, ||A|| = ||A(xo )||Y Gi i 2
1. Gi s e = {e1 , . . . , en } là m t cơ s c a X và ||.||e là chu n Euclide sinh b i cơ s e n (xem§1). V i x = λk ek , ta có : k=1 1 1 n n 2 n 2 ||A(x)||Y ≤ |λk |.||A(ek )|| ≤ |λk |2 . ||A(ek )||2 k=1 k=1 k=1 ||x||e M Như v y t n t i s M ≥ 0 th a mãn : ||A(x)||Y ≤ M.||x||e Vì X h u h n chi u nên ||.||e ∼ ||.||X và có s a > 0 sao cho : ||x||e ≤ a||x||X , ∀x ∈ X. T đây ta có : ||A(x)||Y ≤ M a||x||X , ∀x ∈ X Do đó A liên t c. 2. Ta có : ||A|| = sup ||A(x)||Y , ||x||X =1 ánh x x −→ ||A(x)||Y liên t c trên (X, ||.||X ), t p S = {x ∈ X : ||x||X = 1} là t p comp c trong (X, ||.||X ) (Vì X h u h n chi u). Do đó t n t i xo ∈ S sao cho ||A(xo )||Y = sup ||A(x)||Y (đpcm) x∈S Bài 2 Cho các không gian đ nh chu n (X1 , ||.||1 ), (X2 , ||.||2 ), (Y, ||.||Y ) và các ánh x tuy n tính liên t c Ak : Xk −→ Y, k = 1, 2. Trên không gian đ nh chu n tích X1 × X2 ta xét chu n ||(x1 , x2 )|| = ||x1 ||1 + ||x2 ||2 và xét ánh x A :X1 × X2 −→ Y A(x1 , x2 ) = A1 (x1 ) + A2 (x2 ), (x1 , x2 ) ∈ X1 × X2 . Ch ng minh A tuy n tính liên t c và ||A|| = max(||A1 ||, ||A2 ||) Gi i Đ t M = max(||A1 ||, ||A2 ||) • V i x = (x1 , x2 ), x = (x1 , x2 ) ∈ X1 × X2 , α, α ∈ K, ta có : αx + α x = (αx1 + α x1 , αx2 + α x2 ) ⇒ A(αx + α x ) = A1 (αx1 + α x1 ) + A2 (αx2 + α x2 ) = αA1 (x1 ) + α A1 (x1 ) + αA2 (x2 ) + α A2 (x2 ) = α[A1 (x1 ) + A2 (x2 )] + α [A1 (x1 ) + A2 (x2 )] = αA(x) + α A(x ) V y A là ánh x tuy n tính. 3
• ||A(x1 , x2 )||Y = ||A1 (x1 ) + A2 (x2 )||Y ≤ ||A1 (x1 )||Y + ||A2 (x2 )||Y ≤ ||A1 ||.||x1 ||1 + ||A2 ||.||x2 ||2 (do A1 , A2 liên t c ) ≤ M (||x1 ||1 + ||x2 ||2 ) ⇒ ||A(x1 , x2 )||Y ≤ M ||(x1 , x2 )|| ∀(x1 , x2 ) ∈ X1 × X2 ⇒ A liên t c và ||A|| ≤ M. • Ti p theo ta ch ng minh ||A|| ≥ M . Ta có : ||A1 (x1 )||Y = ||A(x1 , θ)||Y ≤ ||A||.||(x1 , θ)|| hay ||A1 (x1 )||Y ≤ ||A||.||x1 || ∀x1 ∈ X1 Do đó ||A1 || ≤ ||A||. Tương t , ||A2 || ≤ ||A||. V y M ≤ ||A|| (đpcm) Bài 3 ∞ G i l1 là t p h p các dãy s th c x = {λk } sao cho : ||x|| = |λk | < ∞ k=1 Trong l1 ta xét các phép toán thông thư ng v c ng hai dãy và nhân dãy v i s th c và chu n nêu trên. 1. Gi s {αk } là dãy s th c b ch n. Ch ng minh r ng : ∞ f : x = {λk } ∈ l1 −→ f (x) = αk λk (∗) k=1 là m t phi m hàm tuy n tính liên t c và ||f || = sup |αk | k∈N∗ 2. Gi s f : l1 −→ R là m t phi m hàm tuy n tính liên t c. Ch ng minh r ng t n t i dãy s th c b ch n {αk } sao cho (∗) đúng v i m i x ∈ l1 . Gi i : 1. • Trư c h t ta ki m tra f (x) xác đ nh hay ch ng minh chu i trong (∗) là h i t . Th t v y, đ t M = sup |αk | ta có : k ∞ ∞ |αk λk | ≤ M |λk | < ∞, ∀x = {λk } ∈ l1 (∗∗) k=1 k=1 • V i x = {λk }, y = {γk } trong l1 và a, b ∈ R ta có : ax + by = {aλk + bγk } ∞ ⇒ f (ax + by) = αk (aλk + bγk ) k=1 ∞ ∞ =a αk λk + b αk γk k=1 k=1 = af (x) + bf (y). V y f tuy n tính. 4
• T (∗∗) ta suy ra |f (x)| ≤ M ||x|| ∀x ∈ l1 Do đó f liên t c và ||f || ≤ M Đ ch ng minh ||f || ≥ M ta xét các dãy en = {δkn }k v i δkn = 0 n u k = n, δnn = 1 Ta có ||en || = 1, f (en ) = αn , ||f (en )|| ≤ ||f ||.||en || nên ||f || ≥ |αn | ∀n ∈ N∗ . Suy ra ||f || ≥ M = sup |αn |. n V y ||f || = M 2. V i en đư c đ nh nghĩa trên ta đ t αn = f (en ). Ta có |αn | ≤ ||f ||.||en || = ||f || ∀n = 1, 2, . . . nên {αk }k là dãy b ch n. Ta s ch ng minh v i αk đ nh nghĩa như trên thì (∗) đúng. C đ nh x = {λk } ∈ l1 ta đ t xn = λ1 e1 +. . .+λn en , n ∈ N∗ Ta d dàng th y lim xn = x trong l1 (xem m t bài t p §1), do đó theo tính liên t c và tuy n tính c a f ta có : f (x) = lim f (xn ) n→∞ n = lim λk f (ek ) n→∞ k=1 n = lim λk αk n→∞ k=1 T đây ta có (∗) Bài 4 G i X là không gian đ nh chu n các hàm th c x = x(t) liên t c trên [0, ∞) v i chu n ||x|| = sup eat |x(t)| < ∞ (a > 0 cho trư c) t∈[0,∞) Ch ng minh phi m hàm f sau là tuy n tính liên t c trên X và tính chu n c a nó : +∞ f (x) = tx(t)dt x ∈ X. 0 Gi i Trư c tiên ta cũng ki m tra f (x) xác đ nh. V i x ∈ X ta có |tx(t)| = eat .|x(t)|.te−at ≤ ||x||.te−at ∀t ∈ [0, ∞) (1) +∞ 1 Hàm te−at kh tích trên [0, ∞) (d tính te−at dt = ) nên hàm tx(t) cũng kh tích trên 0 a2 [0, ∞). 5
D dàng ki m tra đư c f là tuy n tính. T b t đ ng th c (∗) ta có : +∞ |f (x)| ≤ te−at dt.||x|| 0 1 = ||x|| ∀x ∈ X (2). a2 1 Do đó f liên t c và ||f || ≤ a2 1 Ta s ch ng minh ||f || = 2 . Trong (1), (2) ta th y d u ” = ” đ t đư c khi x = e−at . Đ t a xo = e−at , ta có : 1 xo ∈ X, ||xo || = 1, f (xo ) = 2 a 1 1 M t khác |f (xo )| ≤ ||f ||.||xo ||. Do đó ta suy ra ||f || ≥ 2 . V y ||f || = 2 a a Bài 5 Trên C[−1, 1] v i chu n h i t đ u ta xét phi m hàm : 1 0 f (x) = x(t)dt − x(t)dt x ∈ C[−1, 1] 0 −1 Ch ng minh f tuy n tính liên t c và tính ||f ||. Gi i : D dàng ki m tra f là tuy n tính và 1 0 |f (x)| ≤ |x(t)|dt + |x(t)|dt ≤ 2||x|| ∀x ∈ C[−1, 1] 0 −1 Do v y f liên t c và ||f || ≤ 2. Ta s ch ng minh ||f || = 2. Ta th y trong b t đ ng th c trên d u ” = ” đ t đư c khi xo (t) = 1 trên (0, 1], xo (t) = −1 trên [−1, 0], nhưng hàm xo này không thu c C[−1, 1]. Ta xét dãy hàm {xn } như sau :  −1, n u t ∈ [−1, − 1 ]     n 1 1  xn (t) = nt, n u t ∈ [− , ] (n ≥ 2)  n n   1  1, n u t ∈ [ , 1]  n (n u v đ th c a hàm xn và hàm xo ta s th y ý nghĩa c a vi c ch n xn ). Ta có : 1 xn ∈ C[−1, 1], ||xn || = 1, f (xn ) = 2 − . n 6
Mà ta cũng có |f (xn )| ≤ ||f ||.||xn ||. 1 Do đó ta đư c ||f || ≥ 2 − ∀n ∈ N∗ n Cho n → ∞ ta đư c ||f || ≥ 2. V y ||f || = 2 Bài 6 Cho các không gian đ nh chu n (X, ||.||X ), (Y1 , ||.||1 ), (Y2 , ||.||2 ) và các ánh x tuy n tính liên t c Ak : X −→ Yk , k = 1, 2. Ta xét ánh x A: X −→ Y1 × Y2 A(x) = (A1 (x), A2 (x)), x ∈ X. Ch ng minh A tuy n tính, liên t c và : 1. max(||A1 ||, ||A2 ||) ≤ ||A|| ≤ ||A1 || + ||A2 || n u trong Y1 × Y2 ta xét chu n : ||(y1 , y2 )|| = ||y1 ||1 + ||y2 ||2 , (y1 , y2 ) ∈ Y1 × Y2 . 2. ||A|| = max(||A1 ||, ||A2 ||) n u trong Y1 × Y2 ta xét chu n : ||(y1 , y2 )|| = max(||y1 ||1 , ||y2 ||2 ) Hư ng d n 1. Ta có : ||A(x)|| = ||A1 (x)||1 + ||A2 (x)||2 ||A(x)|| ≤ (||A1 || + ||A2 ||)||x|| ⇒ ||Ak (x)|| ≤ ||A(x)|| ≤ ||A||.||x|| ||A|| ≤ ||A1 || + ||A2 || ⇒ ||Ak || ≤ ||A|| 2. ||A(x)|| = max(||A1 (x)||, ||A2 (x)||), s d ng các đánh giá tương t . Bài 7 Trên C[−1, 1] ta xét chu n h i t đ u và xét phi m hàm : 1 f (x) = x(t)dt − x(0), x ∈ C[−1, 1]. −1 Tính ||f ||. Hư ng d n 1 |f (x)| ≤ |x(t|dt + |x(0)| ≤ 3||x||, ∀x ∈ C[−1, 1]. −1 Do đó ||f || ≤ 3. Đ ch ng minh ||f || ≥ 3 ta chú ý r ng trong b t đ ng th c trên, d u ” = ” đ t đư c t i hàm xo (t) = 1 n u t = 0, xo (0) = −1, nhưng xo ∈ C[−1, 1]. / 7