Độ đo-ôn thi cao học

Chia sẻ: Trần Bá Trung4 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:6

Thêm vào BST

Báo xấu

163
lượt xem 63
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong toán học, một độ đo là một hàm số cho tương ứng một "chiều dài", một "thể tích" hoặc một "xác suất" với một phần nào đó của một tập hợp cho sẵn. Nó là một khái niệm quan trọng trong giải tích và trong lý thuyết xác suất. Một cách hình thức, độ đo μ là một hàm số cho tương ứng mỗi phần tử S của một tập σ-đại số X với một giá trị μ(S) là một số thực không âm hoặc vô hạn. ...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Độ đo-ôn thi cao học

GI I TÍCH (CƠ S ) Ph n 3. Đ Đo Và Tích Phân Chuyên ngành: Gi i Tích, PPDH Toán §1. Đ Đo (Phiên b n đã ch nh s a) PGS TS Nguy n Bích Huy Ngày 1 tháng 3 năm 2006 1 PH N LÝ THUY T 1. Không gian đo đư c Đ nh nghĩa : 1) Cho t p X = ø; m t h F các t p con c a X đư c g i là m t σ−đ i s n u nó th a mãn các đi u ki n sau : i. X ∈ F và n u A ∈ F thì Ac ∈ F , trong đó Ac = X \ A. ii. H p c a đ m đư c các t p thu c F cũng là t p thu c F . 2) N u F là σ−đ i s các t p con c a X thì c p (X, F ) g i là m t không gian đo đư c ; m i t p A ∈ F g i là t p đo đư c (đo đư c đ i v i F hay F − đo đư c) Tính ch t Gi s F là σ−đ i s trên X. Khi đó ta có : 1) ø ∈ X. Suy ra h p c a h u h n t p thu c F cũng là t p thu c F . 2) Giao c a h u h n ho c đ m đư c các t p thu c F cũng là t p thu c F . 3) N u A ∈ F , B ∈ F thì A \ B ∈ F . 2. Đ đo Đ nh nghĩa : Cho m t không gian đo đư c (X, F ) 1) M t ánh x µ : F −→ [0, ∞] đư c g i là m t đ đo n u : i. µ(ø) = 0 ii. µ có tính ch t σ−c ng, hi u theo nghĩa ∞ ∞ ∀{An }n ⊂ F, (An ∩ Am = ø, n = m) ⇒ µ( An ) = µ(An ) n=1 n=1 2) N u µ là m t đ đo xác đ nh trên σ−đ i s F thì b ba (X, F, µ) g i là m t không gian đ đo 1
Tính ch t : Cho µ là m t đ đo xác đ nh trên σ−đ i s F ; các t p đư c xét dư i đây đ u gi thi t là thu c F . 1) N u A ⊂ B, thì µ(A) ≤ µ(B), hơn n a n u µ(A) < ∞ thì ta có µ(B \ A) = µ(B) − µ(A) ∞ ∞ 2) µ( An ) ≤ µ(An ). n=1 n=1 ∞ Do đó, n u µ(An ) = 0 (n ∈ N∗ ) thì µ( An ) = 0 n=1 ∞ 3) N u An ⊂ An+1 (n ∈ N∗ ) thì µ( An ) = lim µ(An ) n=1 n→∞ ∗ 4) N u An ⊃ An+1 (n ∈ N ) và µ(A1 ) < ∞ thì ∞ µ( An ) = lim µ(An ) n=1 n→∞ Quy ư c v các phép toán trong R Gi s x ∈ R, a = +∞ ho c a = −∞. Ta quy ư c : 1) −∞ < x < +∞ 2) x + a = a, a + a = a a , n ux>0 3) x.a = , a.a = +∞, a.(−a) = −∞ −a , n u x < 0 x 4) =0 a a x ∞ Các phép toán a − a, 0.a, , , không có nghĩa. 0 0 ∞ Khi th c hi n các phép toán trong R ta ph i h t s c c n tr ng. Ví d , t x + a = y + a không suy ra đư c x = y (n u a = ±∞). Đ nh nghĩa Đ đo µ xác đ nh trên σ−đ i s F các t p con c a X đư c g i là : 1) Đ đo h u h n n u µ(X) < ∞. 2) Đ đo σ− h u h n n u t n t i dãy {An } ⊂ F sao cho ∞ X= An , µ(An ) < ∞ ∀n ∈ N∗ n=1 3) Đ đo đ n u nó có tính ch t (A ⊂ B; B ∈ F, µ(B) = 0) ⇒ A ∈ F 3. Đ đo Lebesgue trên R T n t i m t σ−đ i s F các t p con c a R mà m i A ∈ F g i là m t t p đo dư c theo Lebesgue (hay (L)− đo đư c) và m t đ đo µ xác đ nh trên F (g i là đ đo Lebesgue trên R ) th a mãn các tính ch t sau : 1) Các kho ng (hi u theo nghĩa r ng), t p m , t p đóng, ... là (L)−đo đư c. N u I là kho ng v i đ u mút a, b (−∞ ≤ a ≤ b ≤ ∞) thì µ(I) = b − a 2) T p h u h n ho c đ m đư c là (L)−đo đư c và có đ đo Lebesgue b ng 0. 2
3) T p A ⊂ R là (L)−đo đư c khi và ch khi v i m i ε > 0, t n t i t p đóng F , t p m G sao cho F ⊂ A ⊂ G, µ(G \ F ) < ε 4) N u A là t p (L)−đo đư c thì các t p x + A, xA cũng là (L)−đo đư c và : µ(x + A) = µ(A) µ(xA) = |x|µ(A) 5) Đ đo Lebesgue là đ , σ− h u h n 2 PH N BÀI T P 1. Bài 1 Cho không gian đ đo (X, F, µ), t p Y = ø và ánh x ϕ : X −→ Y Ta đ nh nghĩa : A = {B ⊂ Y : ϕ−1 (B) ∈ F } γ(B) = µ(ϕ−1 (B)) Ch ng minh A là σ−đ i s trên Y và γ là đ đo xác đ nh trên A Gi i • Ta ki m tra A th a hai đi u ki n c a σ−đ i s : i. Ta có Y ∈ A vì ϕ−1 (Y ) = X ∈ F Gi s B ∈ A, ta c n ch ng minh B c = Y \ B ∈ A. Th t v y, ta có ϕ−1 (Y \B) = ϕ−1 (Y )\ϕ−1 (B) = X\ϕ−1 (B) ϕ−1 (B) ∈ F ( do B ∈ A) nên X \ ϕ−1 (B) ∈ F ⇒ ϕ−1 (Y \ B) ∈ F hay Y \ B ∈ A ∞ ii. Gi s Bn ∈ A(n ∈ N∗ ) và B = Bn . Ta có n=1 ∞  −1 −1 ϕ (B) = ϕ (Bn )  n=1 ⇒ ϕ−1 (B) ∈ F hay B ∈ A. ϕ−1 (Bn ) ∈ F (n ∈ N∗ )  • Ti p theo ta ki m tra γ là đ đo. V i B ∈ A ta có ϕ−1 (B) ∈ F nên s µ[ϕ−1 (B)] xác đ nh, không âm. V y s γ(B) ≥ 0, xác đ nh. i. Ta có γ(ø) = µ[ϕ−1 (ø)] = µ(ø) = 0 ∞ ii. Gi s Bn ∈ A (n ∈ N∗ ), Bn ∩ Bm = ø (n = m) và B = Bn .Ta có n=1 ∞ ϕ−1 (B) = ϕ−1 (Bn ), n=1 ϕ−1 (Bn ) ∩ ϕ−1 (Bm ) = ϕ−1 (Bn ∩ Bm ) = ø (n = m). ∞ ⇒ µ[ϕ−1 (B)] = µ [ϕ−1 (Bn )] (do tính σ−c ng c a µ) n=1 ∞ ⇒ γ(B) = γ(Bn ) n=1 3
2. Bài 2 Cho không gian đ đo (X, F, µ) và các t p An ∈ F (n ∈ N∗ ). Đ t : ∞ ∞ B= An (T p các đi m thu c m i An t m t lúc nào đó) k=1 n=k ∞ ∞ C= An (T p các đi m thu c vô s các An ). k=1 n=k Ch ng minh 1) µ(B) ≤ lim µ(An ) n→∞ ∞ 2) µ(C) ≥ lim µ(An ) N u có thêm đi u ki n µ( An ) < ∞ n→∞ n=1 Gi i ∞ 2) Đ t Ck = An ta có : n=k ∞ ∗ Ck ∈ F (k ∈ N ), C1 ⊃ C2 ⊃ . . . , µ(C1 ) < ∞; C = Ck k=1 Do đó : µ(C) = lim µ(Ck ) (1) k→∞ M t khác ta có Ck ⊃ Ak nên µ(Ck ) ≥ µAk ∀k ∈ N∗ và lim µ(Ck ) ≥ lim µ(Ak ) (2) k→∞ k→∞ T (1), (2) ta có đpcm. 3. Bài 3 : Cho σ−đ i s F và ánh x : µ : F −→ [0, ∞] th a mãn các đi u ki n sau : i. µ(ø) = 0 ii. N u A1 , A2 ∈ F, A1 ∩ A2 = ø thì µ(A1 ∪ A2 ) = µ(A1 ) + µ(A2 ) (Ta nói µ có tính ch t c ng h u h n) ∞ iii. N u An ∈ F (n ∈ N∗ ), A1 ⊃ A2 ⊃ . . . và An = ø thì lim µ(An ) = 0 Ch ng n=1 n→∞ minh µ là đ đo. Gi i ∞ Gi s Bn ∈ F (n ∈ N∗ ), Bn ∩ Bm = ø (n = m) và B = Bn , ta c n ch ng minh n=1 ∞ µ(B) = µ(Bn ) (1) n=1 4
Đ t ∞ Ck = Bn (k = 1, 2 . . .), n=k ta có Ck ∈ F, C1 ⊃ C2 ⊃ . . . và B = B1 ∪ . . . ∪ Bn ∪ Cn+1 ∞ Ck = ø (Xem ý nghĩa t p C, bài 2 và gi thi t v các Bn ) k=1  n  µ(B) = µ(Bk ) + µ(Cn+1 ) (2) ( do tính ch t ii.) ⇒ k=1  lim µ(Cn ) = 0 ( do tính ch t iii.) m→∞ Cho n → ∞ trong (2) ta có (1). 4. Bài 4 : Ký hi u µ là đ đo Lebesgue trên R. Cho A ⊂ [0, 1] là t p (L)−đo đư c và µ(A) = a > 0. Ch ng minh r ng trong A có ít nh t m t c p s mà hi u c a chúng là s h ut . Gi i Ta vi t các s h u t trong [0, 1] thành dãy {rn }n và đ t An = rn + A (n ∈ N∗ ). Ta ch c n ch ng minh t n t i n = m sao cho An ∩ Am = ∅. Gi s trái l i, đi u này không đúng. Khi đó ta có ∞ ∞ µ( An ) = µ(An ) (1) n=1 n=1 M t khác, ta có ∞ µ(An ) = µ(A) = a, An ⊂ [0, 2] n=1 Do đó v ph i c a (1) b ng +∞ còn v trái ≤ 2, vô lý 5. Bài 5 : Cho t p (L)− đo đư c A ⊂ R. Ch ng minh A có th vi t thành d ng A = B \ C v i B là giao c a đ m đư c t p m và C là t p (L)−đo đư c, có đ đo Lebesgue b ng 0. Gi i Do tính ch t 3) c a đ đo Lebesgue, v i m i n ∈ N∗ ta tìm đư c t p m Gn ⊃ A sao cho 1 µ(Gn \ A) < ∞ n Đ tB= Gn và C = B \ A. n=1 Ta có B là (L)− đo đư c và do đó C cũng là (L)− đo đư c. Vì C ⊂ Gn \ A ∀n = 1, 2, . . . nên ta có : 1 µ(C) ≤ ∀n = 1, 2, . . . n V y µ(C) = 0. 5
6. Bài 6 : Cho t p L− đo đư c A ⊂ [0, 1] v i µ(A) = a > 0. Ch ng minh: 1) Hàm f (x) = µ(A ∩ [0, x]) liên t c trên [0, 1]. 2) ∀b ∈ (0, a) ∃B ⊂ A : B (L)− đo đư c, µ(B) = b Gi i 1) V i 0 ≤ x < y ≤ 1 ta có f (y) =µ(A ∩ [0, y]) =µ(A ∩ [0, x]) + µ(A ∩ (x, y]) ⇒ f (y) − f (x) = µ(A ∩ (x, y]) ⇒ 0 ≤ f (y) − f (x) ≤ y − x Do đó f liên t c trên [0, 1] 2) Ta có f (0) = 0, f (1) = a và f liên t c nên t n t i xo ∈ (0, 1) th a f (xo ) = b hay µ(A ∩ [0, xo ]) = b. T p B := A ∩ [0, xo ] c n tìm. 6