Tích phân theo Lebesgue- ôn thi cao học

Chia sẻ: Trần Bá Trung4 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:10

Thêm vào BST

Báo xấu

352
lượt xem 148
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tích phân theo Lebesgue- ôn thi cao học là tài liệu mang tính chất tham khảo, giúp ích trong việc tự học, ôn thi, tạo tâm thế vững vàng, có thể tự đánh giá và nâng cao vốn kiến thức, giúp trong các kỳ thi sắp tới. Tác giả hy vọng tài liệu này sẽ giúp ích cho các bạn.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tích phân theo Lebesgue- ôn thi cao học

GI I TÍCH (CƠ S ) Ph n 3. Đ Đo Và Tích Phân §3. TÍCH PHÂN THEO LEBESGUE Chuyên ngành: Gi i Tích, PPDH Toán (Phiên b n đã ch nh s a) PGS TS Nguy n Bích Huy Ngày 1 tháng 3 năm 2006 1 PH N LÝ THUY T 1. Đi u ki n kh tích theo Riemann N u hàm f kh tích trên [a, b] theo nghĩa tích phân xác đ nh thì ta cũng nói f kh tích theo Riemann hay (R)−kh tích. Đ nh lý 1 Hàm f kh tích Riemann trên [a, b] khi và ch khi nó th a mãn hai đii u ki n sau : i. f b ch n. ii. T p các đi m gián đo n c a f trên [a, b] có đ đo Lebesgue b ng 0. 2. Đ nh nghĩa tích phân theo Lebesgue Cho không gian đ đo (X, F, µ) và A ∈ F, f : A −→ R là hàm đo đư c n (a) N u f là hàm đơn gi n, không âm trên A và f = ai .1Ai v i Ai ∈ F, Ai ∩ Aj = i=n n ø (i = j) và Ai = A thì ta đ nh nghĩa tích phân c a f trên A theo đ đo µ b i : i=1 n f dµ := ai µ(Ai ) A i=n (b) N u f là hàm đo đư c, không âm thì t n t i dãy các hàm đơn gi n, không âm fn sao cho fn (x) ≤ fn+1 (x), lim fn (x) = f (x) ∀x ∈ A n→∞ Khi đó ta đ nh nghĩa f dµ = lim fn dµ n→∞ A A Chú ý r ng, tích phân hàm đo đư c không âm luôn t n t i, là s không âm và có th b ng +∞ 1
(c) N u f là hàm đo đư c thì f + (x) = max{f (x), 0}, f − (x) = max{−f (x), 0} là các hàm đo đư c, không âm và ta có f (x) = f + (x) − f − (x). N u ít nh t m t trong các tích phân f + dµ, f − dµ là s h u h n thì ta đ nh nghĩa A A f dµ = f + dµ − f − dµ A A A Ta nói f kh tích trên A n u f dµ t n t i và h u h n (hay c hai tích phân A f + dµ, f − dµ là s h u h n). A A 3. Các tính ch t Cho không gian đ đo (X, F, µ) 3.1 M t s các tính ch t quen thu c : Gi s A ∈ F và f, g là các hàm đo đư c, không âm trên A ho c kh tích trên A. Khi đó ta có • (f + g)dµ = f dµ + gdµ A A A cf dµ = c f dµ ∀c ∈ R A A • N u f (x) ≤ g(x) ∀x ∈ A thì f dµ ≤ gdµ A A • N u A = A1 ∪ A2 v i A1 , A2 ∈ F, A1 ∩ A2 = ø thì f dµ = f dµ + f dµ A A1 A2 3.2 S không ph thu c t p đ đo O. Khái ni m "h u kh p nơi" Đ nh nghĩa Gi s P (x) là m t tính ch t phát bi u cho m i x ∈ A sao cho ∀x ∈ A thì ho c P (x) đúng ho c P (x) sai. Ta nói tính ch t P (x) đúng (hay x y ra) h u kh p nơi (vi t t t hkn) trên t p A n u t p B = {x ∈ A : P (x) không đúng} đư c ch a trong m t t p C ∈ F mà µ(C) = 0 (ho c µ(B) = 0 n u đã bi t B ∈ F ). Ví d 1) Gi s f, g đo đư c trên A. Ta có B := {x ∈ A : f (x) = g(x)} ∈ F Do v y ta nói "f (x) = g(x) hkn trên A " thì có nghĩa là µ(B) = 0. 2) N u f đo đư c trên A thì t p B = {x ∈ A : |f (x)| = +∞} thu c F . Ta nói "f h u h n hkn trên A" thì có nghĩa µ(B) = 0. 2
3) Cho các hàm đo đư c fn , f (n = 1, 2, . . .). Ta nói "Dãy {fn } h i t hkn trên A v F thì có nghĩa B = {x ∈ A : fn (x) → f (x)} có đ đo 0. S không ph thu c t p đ đo 0 N u µ(A) = 0 và f đo đư c trên A thì f dµ = 0. Do đó : A • N u f có tích phân trên A ∪ B và µ(B) = 0 thì gdµ = f dµ A∪B A • N u f, g đo đư c trên A, f (x) = g(x) hkn trên A và f có tích phân trên A thì gdµ = f dµ A A 3.3 N u f đo đư c, không âm trên A và f dµ = 0 thì f (x) = 0 hkn trên A. A 3.4 N u f kh tích trên A thì f (x) h u h n hkn trên A 3.5 Tính ch t σ−c ng Gi s An ∈ F (n ∈ N∗ ), An ∩ Am = ø (n = m) và f là hàm đo đư c, không âm ∞ ho c kh tích trên A = An . Khi đó n=1 ∞ f dµ = f dµ n=1 A A n 3.6 M t s đi u ki n kh tích: • N u f đo đư c trên A thì f kh tích trên A khi và ch khi |f | kh tích trên A. • N u f đo đư c, g kh tích trên A và |f (x)| ≤ g(x) ∀x ∈ A thì f cũng kh tích trên A. • N u f đo đư c, b ch n trên A và µ(A) < ∞ thì f kh tích trên A. 4. Qua gi i h n dư i d u tích phân Đ nh lý Levi (h i t đơn đi u) Gi s : i. fn (n ∈ N∗ ) là các hàm đo đư c trên A và 0 < fn (x) < fn+1 (x), x∈A ii. lim fn (x) = f (x) x ∈ A n→∞ Khi đó lim fn dµ = f dµ n→∞ A A (m t cách hình th c lim fn dµ = lim fn dµ) A A Đ nh lý Lebesgue (h i t b ch n) Gi s : i. Các hàm fn đo đư c trên A và t n t i hàm g kh tích trên A sao cho |fn (x)| ≤ g(x) ∀n ∈ N∗ , ∀x ∈ A 3
ii. lim fn (x) = f (x) x ∈ A n→∞ Khi đó f dµ = lim f dµ n→∞ A A Ghi chú Do s không ph thu c vào t p đ đo 0 c a tích phân, ta có th gi thi t các di u ki n i., ii. trong đ nh lý Levi và Lebesgue ch c n đúng hkn trên A. 5. Liên h gi a tích phân Riemann và tích phân Lebesgue N u A ⊂ R là t p (L)−đo đư c thì tích phân theo đ đo Lebesgue cũng ký hi u b (L) f (x)dx ho c (L) f (x)dx n u A = [a, b]. A a Đ nh lý 1) N u f kh tích Riemann trên [a, b] thì f cũng kh tích theo nghĩa Lebesgue trên [a, b] và ta có b b (L) f (x)dx = (R) f (x)dx a a 2) N u f kh tích Riemann suy r ng trên [a, b] (ho c trên [a, ∞]) và là hàm không âm thì f kh tích theo nghĩa Lebesgue trên [a, b] (trên [a, ∞]) và ta có : ∞ ∞ b b   (R) f (x)dx = (L) f (x)dx (R) f (x)dx = (L) f (x)dx a a a a 2 PH N BÀI T P Trong các t p dư i đây ta luôn gi thi t có m t không gian đ đo (X, F, µ). Các t p đư c xét luôn thu c F Bài 1 Cho hàm f đo đư c trên A, hàm g, h kh tích trên A sao cho g(x) ≤ f (x) ≤ h(x) ∀x ∈ A. Ch ng minh f kh tích trên A. Gi i Ta có f + ≤ h+ , f − ≤ g − ( vì g ≤ f ≤ h) ⇒ f + dµ ≤ h+ dµ, f− ≤ g − dµ A A A A Các tích phân v ph i h u h n nên f ± dµ < ∞. Suy ra f kh tích. (Bài này cũng có th A gi i d a vào b t đ ng th c |f (x)| ≤ |g(x)| + |h(x)|) Bài 2 4
1. Cho hàm s f ≥ 0, đo đư c trên A. Xét các hàm f (x), n u f (x) ≤ n fn (x) = (n ∈ N∗ ) n, n u f (x) > n Ch ng minh lim fn dµ = f dµ n→∞ A A 1 dx 2. ng d ng k t qu trên đ tính (L) √ x 0 Gi i 1. Ta d dàng ki m tra r ng fn (x) = min{n, f (x)}. Do đó : • fn (x) đo đư c, không âm. • fn (x) = min{n, f (x)} ≤ min{n + 1, f (x)} = fn+1 (x) • lim fn (x) = min{ lim n, f (x)} = min{+∞, f (x)} = f (x) n→∞ n→∞ Áp d ng đ nh lý Levi ta có đpcm. 1 2. Đ t f (x) = √ , x ∈ (0, 1], f (0) = +∞. Ta d dàng tìm đư c x   √ , n u x ∈ [ 1 , 1] 1 fn (x) = x n2 1  n n u x ∈ [0, n2 ] 1 1 1 (L) fn (x)dx = (R) fn (x)dx = 2 − n 0 0 Theo câu 1) ta có 1 1 (L) f (x)dx = lim fn (x)dx = 2. n→∞ 0 0 Bài 3 Cho hàm f kh tích trên A. Ta xây d ng các hàm fn như sau :   f (x), n u |f (x)| ≤ n fn (x) = n, n u f (x) > n −n, n u f (x) < −n  Ch ng minh lim fn dµ = f dµ n→∞ A A Gi i Ta d th y fn (x) = min{n, max{−n, f (x)}}. T đây ta suy ra : 5
• fn đo đư c, |fn | ≤ |f | ∀n ∈ N∗ • lim fn (x) = min{+∞, max{−∞, f (x)}} = f (x) ∀x ∈ A n→∞ Áp d ng đ nh lý Lebesgue ta có đpcm. Bài 4 Cho ϕ là hàm đo đư c, không âm trên X. Ta đ nh nghĩa : γ(A) = ϕdµ, A∈F A 1. Ch ng minh γ là đ đo. 2. Gi s f là hàm đo đư c, không âm trên X. Ch ng minh f dγ = f ϕdµ X X Gi i 1. Vì ϕ là hàm đo đư c, không âm nên ϕdµ t n t i, không âm. A • Chú ý r ng ϕdµ = 0 n u µ(A) = 0, ta có γ(φ) = 0 A • S d ng tính ch t σ−c ng c a tích phân ta suy ra γ có tính σ−c ng 2. • Đ u tiên ta ki m tra r ng đ ng th c đúng khi f là hàm đơn gi n, không âm : n n f= ai 1Ai , Ai ∩ Aj = ø(i = j), Ai = X. i=1 i=1 Th t v y n f dγ = ai γ(Ai ) X i=1 n n f ϕdµ = ai 1Ai ϕdµ = ai ϕdµ X i=1 X i=1 Ai T đây ta có đpcm. • N u f đo đư c, không âm thì t n t i dãy các hàm đơn gi n fn 0 ≤ fn ≤ fn+1 , lim fn = f. Ta có : fn dγ = fn ϕf µ ∀n ∈ N (do bư c trên) X X lim fn dγ = f dγ, lim fn ϕdµ = f ϕdµ X X X X (Do đ nh lý Levi) T đây ta có đpcm. 6
Bài 5 Cho các hàm f, g kh tích trên A. V i n ∈ N ta đ t : An = {x ∈ A : n ≤ |f (x)| < n + 1} Bn = {x ∈ A : |f (x)| ≥ n} Ch ng minh : 1. lim gdµ = 0 n→∞ An ∞ 2. nµ(An ) < +∞ n=1 3. lim nµ(Bn ) = 0 n→∞ Gi i ∞ Ta d ki m tra đư c An ∩ Am = ø (n = m) An = A n=0 1. Do tính ch t σ−c ng, ta có: ∞ gdµ = gdµ ∈ R. n=0 A A n T đây ta có đpcm (do đi u ki n c n c a s h i t c a chu i) 2. Cũng do tính ch t σ−c ng, ta có: ∞ |f |dµ = |f |dµ < ∞. n=0 A A n K t h p đánh giá |f |dµ ≥ nµ(An ), ta có đpcm. An ∞ 3. Đ t Γn = kµ(Ak ) ta có : k=n lim Γn = 0 (do câu 2) n→∞ ∞ Γn ≥ n µ(Ak ) = nµ(Bn ) k=n T đây ta có đpcm. Bài 6 Gi s µ(X) < ∞. Ta kí hi u M là t p các hàm đo đư c, h u h n trên X. Trong M ta đ nh nghĩa quan h ” = ” như sau : f = g ⇔ f (x) = g(x)hkn trên X. Ta đ nh nghĩa : |f − g| d(g, f ) = dµ f, g ∈ M 1 + |f − g| X 1. Ch ng minh d là m t metric trên M . 7
2. Gi s lim fn (x) = f (x). Ch ng minh lim fn = f trong (M, d). n→∞ n→∞ Gi i 1. Trư c h t ta ki m tra s d(f, g) h u h n v i m i c p f, g ∈ M . Th t v y, hàm h = |f − g| đo đư c, b ch n trên t p X và µ(X) < ∞ nên là hàm kh tích. Ki m tra 1 + |f − g| đi u ki n i), iii) c a metric như sau : i) Hi n nhiên d(f, g) ≥ 0 |f (x) − g(x)| d(f, g) = 0 ⇔ =0 hkn trên X 1 + |f (x) − g(x)| ⇔ f (x) = g(x) hkn trên X ⇔ f = g trong M iii) V i f, g, h ∈ M ta có : |f (x) − g(x)| ≤ |f (x) − h(x)| + |h(x) − g(x)| |f (x) − g(x)| |f (x) − h(x)| |h(x) − g(x)| ⇒ ≤ + 1 + |f (x) − g(x)| 1 + |f (x) − h(x)| 1 + |h(x) − g(x)| (Phương pháp ch ng minh đã bi t) L y tích phân hai v ta có d(f, g) ≤ d(f, h) + d(h, g) 2. Ta c n ch ng minh lim d(fn , f ) = 0 n→∞ |fn − f | Đ t hn = (n ∈ N∗ ), ta có : 1 + |fn − f | • hn đo đư c trên X, |hn | = hn ≤ 1, hàm g(x) = 1 kh tích trên X (do µ(X) < ∞). • lim hn = 0 hkn trên X. n→∞ Áp d ng đ nh lý Lebesgue, ta có lim hn dµ = 0 hay lim d(fn , f ) = 0 n→∞ n→∞ X Bài 7 Cho f là hàm đo đư c, dương, h u h n hkn trên A. V i m i k ∈ Z đ t Ak = {x ∈ A : 2k−1 < +∞ f (x) ≤ 2k }. Ch ng t r ng f kh tích trên A khi và ch khi : 2k µ(Ak ) < ∞ k=−∞ Gi i Đ t B = {x ∈ A : f (x) = +∞}. Ta có các t p Ak , (k ∈ Z), B là nh ng t p không giao nhau, có h p b ng A. Do tính σ−c ng c a tích phân, ta có : +∞ f dµ = f dµ ( chú ý f dµ = 0 do µ(B) = 0) A k=−∞A B k 8
Vì 2k−1 µ(Ak ) ≤ f dµ ≤ 2k µ(Ak ) ta có Ak +∞ +∞ 1 2k µ(Ak ) ≤ f dµ ≤ 2k µ(Ak ) 2 k=−∞ k=−∞ A T đây ta có đi u ph i ch ng minh. Bài 8 Cho dãy các hàm {fn } kh tích, h u h n trên A, h i t đ u trên A v hàm f và µ(A) < ∞. Ch ng minh f kh tích trên A và lim fn dµ = f dµ n→∞ A A Gi i Vì các hàm fn đo đư c nên f đo đư c. Vì dãy {fn } h i t đ u trên A v f nên có s no ∈ N∗ th a mãn |fn (x) − f (x)| ≤ 1 ∀x ∈ A, ∀n ≥ no (1). • T (1) ta có |f (x)| ≤ 1 + |fn (x)|. Vì µ(A) < ∞ nên hàm 1 + |fn | kh tích trên A. Do đó f kh tích trên A. • Cũng t (1) ta có |fn | ≤ 1 + |f | trên A (∀n ≥ no ) và hàm 1 + |f | kh tích trên A. Áp d ng đ nh lý Lebesgue ta có đpcm. Bài 9 Tính các gi i h n : 2 √ n 1. lim 1 + x2n .dx n→∞ 0 1 x + x2 enx 2. lim n→∞ 1 + enx .dx −1 n x n 3. lim 1+ .e−2x dx n→∞ n 0 Gi i √ n 1. Đ tfn (x) = 1 + x2n , x ∈ [0, 2], n = 1, 2, . . . • Hàm fn liên t c trên [0, 2] nên (L)−đo đư c. • Khi 0 ≤ x < 1 ta có lim fn (x) = 1. 1 Khi 1 < x ≤ 2 ta có lim x2 . n 1 + = x2 n→∞ x2n lim fn (1) = 1 n→∞ Do đó lim fn (x) = f (x) v i f (x) = 1, x ∈ [0, 1], f (x) = x2 , x ∈ [1, 2]. 9
• |fn (x)| = fn (x) ≤ 1 + x2 ∀n ∈ N∗ Áp d ng đ nh lý Lebesgue, ta có : 2 2 10 lim fn (x)dx = f (x)dx = n→∞ 3 0 0 2. Đ t fn (x) là hàm trong d u tích phân thì ta có • lim fn (x) = f (x) v i f (x) = x, x ∈ [−1, 0], f (x) = x2 , x ∈ (0, 1]. n→∞ |x| + x2 enx • |fn (x)| ≤ ≤ 1 ∀n ∈ N∗ , ∀x ∈ [−1, 1]. 1 + enx 3. Đ t x n 1+ n .e−2x , x ∈ [0, n] fn (x) = 0 , x ∈ (n, +∞) • fn (L)−đo đư c trên [0, ∞). • V i m i x ∈ [0, ∞) thì x ∈ [0, n] khi n đ l n, do đó : x n lim fn (x) = lim 1+ .e−2x = ex .e−2x = e−x. n→∞ n→∞ n x n −2x • |fn (x)| ≤ 1 + .e ≤ ex .e−2x = e−x. ∀n ∈ N∗ , ∀x ∈ [0, ∞). n (ta đã s d ng 1 + t ≤ et , t ≥ 0) Hàm g(x) = e−x là (L)−kh tích trên [0, ∞) Áp d ng đ nh lý Lebesgue ta có n +∞ +∞ x n lim 1+ .e−2x .dx = lim fn (x).dx = e−x = 1 n→∞ n n→∞ 0 0 0 Bài 10 1 xn 1 Ch ng minh lim n .dx = 2 n→∞ 1+x 0 Gi i nxn đây ta không th áp d ng đ nh lý Lebesgue cho dãy hàm fn (x) = vì không tìm đư c 1+x hàm g kh tích sao cho |fn (x)| ≤ g(x) ∀n. Ta tích phân t ng ph n và đư c : 1  1  n n+1 n+1 x n x x n .dx = |1 + .dx 1+x n+1 1+x 0 (1 + x)2 0 0 n 1 = + In n+1 2 Áp d ng đ nh lý Lebesgue ta ch ng minh đư c lim In = 0. n→∞ 10