Giáo trình Sử dụng máy tính trong dạy học toán: Phần 1 - Nguyễn Thị Tân An

Chia sẻ: Bin Bin | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:43

Thêm vào BST

Báo xấu

141
lượt xem 27
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Giáo trình Sử dụng máy tính trong dạy học toán: Phần 1 do Nguyễn Thị Tân An biên soạn có nội dung được tóm lược trong 2 chương đầu giới thiệu các kiến thức về các mô hình toán học tích cực nhằm hỗ trợ dạy - học toán, sử dụng phần mềm GSP trong dạy học toán. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình Sử dụng máy tính trong dạy học toán: Phần 1 - Nguyễn Thị Tân An

ĐẠI HỌC HUẾ TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỪ XA NGUYỄN THỊ TÂN AN GIÁO TRÌNH SỬ DỤNG MÁY TÍNH TRONG DẠY HỌC TOÁN HUẾ - 2012
Chương I CÁC MÔ HÌNH TOÁN HỌC TÍCH CỰC NHẰM HỖ TRỢ DẠY - HỌC TOÁN Các mô hình toán tích cực được thiết kế bằng những phương tiện công nghệ như máy tính bỏ túi, máy tính điện tử là những công cụ thiết yếu để dạy, học và làm toán. Đặc biệt, những mô hình toán tích cực được thiết kế bằng phần mềm động trên máy tính cung cấp những hình ảnh trực quan về các ý tưởng toán học, thúc đẩy việc sắp xếp, phân tích các dữ liệu và tính toán một cách hiệu quả, chính xác. Chúng có thể hỗ trợ những khảo sát toán của học sinh trong mọi lĩnh vực toán học, bao gồm hình học, đại số, giải tích, thống kê, đo đạc và số học. Với những công cụ công nghệ phù hợp, học sinh có thể tập trung vào việc đưa ra quyết định, phản ánh, suy luận và giải quyết vấn đề. Học sinh có thể học toán được nhiều hơn, sâu hơn với việc sử dụng mô hình toán tích cực. Chúng ta không nên dừng lại ở mức độ sử dụng mô hình toán tích cực để minh họa cho học sinh hiểu và hình thành những trực giác cơ bản mà nên dùng các mô hình đó để nâng cao việc hiểu và khắc sâu các trực giác có được. Trong những chương trình dạy toán, mô hình toán tích cực nên được sử dụng rộng rãi với mục đích làm phong phú việc học toán của học sinh. Sự tồn tại, tính linh hoạt và tiềm năng của mô hình toán tích cực làm cho chúng ta thấy cần thiết phải xem lại những kiến thức toán nào học sinh nên học bằng phương tiện công nghệ hiện đại, cũng như làm thế nào để các em học những kiến thức toán đó một cách tốt nhất. 1. Mô hình toán tích cực nâng cao chất lượng học toán Mô hình toán tích cực có thể giúp học sinh học toán. Ví dụ, với máy tính bỏ túi và máy tính điện tử, học sinh có thể xem xét nhiều ví dụ hay những dạng biểu diễn hơn là thao tác trên giấy bút, vì thế các em có thể đặt và khám phá các giả thuyết một cách dễ dàng hơn. Khả năng đồ họa của những mô hình toán tích cực cho phép học sinh dễ dàng tiếp cận các mô hình có tính trực quan tốt. Khả năng tính toán của các mô hình toán tích cực giúp học sinh có thể mở rộng phạm vi bài toán dễ dàng, tiến hành các phép tính quen thuộc nhanh và chính xác, như thế các em có nhiều thời gian hơn để hình thành các khái niệm mới và mô hình hóa toán học. Mô hình toán tích cực có thể nuôi dưỡng và thúc đẩy học sinh tham gia và làm chủ các ý tưởng toán học trừu tượng. Mô hình toán tích cực làm phong phú phạm vi và chất lượng khảo sát toán bằng cách cung cấp một phương tiện để nhìn thấy được các ý tưởng toán học từ nhiều khía cạnh khác nhau. Việc học của học sinh được trợ giúp bởi những phản ánh mà mô hình toán tích cực có thể cung cấp như: kéo rê một điểm trong môi trường hình học động, khi đó hình dáng của hình sẽ thay đổi; thay đổi công thức trong các bảng tính ta sẽ thấy ngay các yếu tố phụ thuộc sẽ thay đổi theo. Mô hình toán tích cực cũng cung cấp một tiêu điểm khi các học sinh thảo luận với nhau và với giáo viên về
các đối tượng toán trên màn hình và ảnh hưởng của những phép biến đổi mà mô hình toán tích cực cho phép. Mô hình toán tích cực tạo cho giáo viên những cơ hội để điều chỉnh việc dạy phù hợp với nhu cầu đặc biệt của học sinh. Những học sinh hay xao lãng với việc học toán có thể tập trung hơn với những vấn đề toán trên máy tính. Đối với những học sinh hay gặp khó khăn trong học toán, các em có thể thu được kết quả từ những sai lầm mà các em gây nên trong môi trường máy tính. Những học sinh hay gặp phải rắc rối với những quy tắc toán cơ bản có thể phát triển và trình bày những hiểu biết của mình về toán bằng một cách khác, mà những điều đó sẽ giúp các em hiểu được các quy tắc. Khả năng thu hút học sinh bằng những thách thức có tính cụ thể hóa trong toán tăng lên đáng kể khi sử dụng những mô hình tích cực được thiết kế một cách chuyên dụng. 2. Mô hình toán tích cực hỗ trợ việc dạy toán hiệu quả Việc sử dụng có hiệu quả mô hình toán tích cực trong lớp học phụ thuộc vào giáo viên. Mô hình toán tích cực không phải là phương thuốc bách bệnh. Cũng giống như mọi phương tiện dạy học khác, nó có thể được sử dụng tốt hay tồi. Giáo viên nên sử dụng mô hình toán tích cực để nâng cao những cơ hội học tập của học sinh. Giáo viên chọn và sáng tạo các nhiệm vụ toán nhằm tận dụng được các thế mạnh của mô hình toán tích cực như vẽ đồ thị và tính toán. Giáo viên có thể dùng các mô phỏng để học sinh thực hành với những tình huống có vấn đề mà khó có thể thực hiện được nếu không có mô hình toán tích cực. Giáo viên cũng có thể sử dụng các số liệu và tài liệu trên mạng internet để thiết kế các nhiệm vụ toán cho học sinh. Những bảng tính toán, phần mềm hình học động và máy tính là những công cụ hữu ích để đặt ra các bài toán có giá trị về mặt giáo dục. Mô hình toán tích cực không bao giờ có thể thay thế được vị trí của người giáo viên. Khi học sinh đang sử dụng các phương tiện với mô hình toán tích cực, các em thường dành thời gian làm việc theo những cách mà mới thoạt nhìn là độc lập với giáo viên, nhưng ấn tượng đó là không đúng. Giáo viên đóng vai trò quan trọng trong lớp học khi áp dụng mô hình toán tích cực, đưa ra những quyết định tác động đến việc học của học sinh theo những cách mang lại hiệu quả học tập tốt nhất. Khởi đầu, giáo viên phải quyết định, liệu nên dùng, khi nào dùng và dùng mô hình toán tích cực như thế nào? Khi học sinh sử dụng máy tính bỏ túi và máy tính, giáo viên có cơ hội để quan sát học sinh và chú trọng vào tư duy của các em. Khi các em làm việc với mô hình toán tích cực, các em có thể bộc lộ những phương pháp tư duy toán mà thường là khó có thể quan sát được. Như vậy, những trợ giúp của công nghệ trong đánh giá cho phép giáo viên xem xét những quá trình tư duy toán được sử dụng bởi học sinh trong khi thao tác trên máy tính. Những thông tin phản hồi như vậy cho phép giáo viên đưa ra các quyết định giáo dục tiếp theo một cách phù hợp. 3. Mô hình toán tích cực tác động và chi phối nội dung toán nào được dạy với máy tính Mô hình toán tích cực không chỉ tác động đến việc toán học được dạy và học như thế nào mà còn gây ảnh hưởng đến việc dạy cái gì và dạy khi nào với sự hỗ trợ của máy
tính đối với một chủ đề trong khung chương trình. Với mô hình toán tích cực trong tay, học sinh có thể khám phá và giải các bài toán liên quan đến các số lớn, hay có thể khảo sát các đặc trưng của các hình bằng cách dùng các phần mềm hình học động. Học sinh trung học phổ thông có thể dùng các mô hình mô phỏng để nghiên cứu các phân bố mẫu hay có thể làm việc với những hệ thống đại số mà máy tính thể hiện một cách có hiệu quả hầu hết các tính toán bằng chữ, các chương trình này đặt trọng tâm vào các chủ đề của toán học truyền thống ở trường trung học phổ thông. Việc học đại số không chỉ còn giới hạn trong những tình huống đơn giản mà học sinh chỉ cần sử dụng trực tiếp các tính toán bằng chữ. Sử dụng công cụ của mô hình toán tích cực, học sinh có thể lập luận về các vấn đề tổng quát hơn, như thay đổi tham số, lập mô hình và giải các bài toán phức tạp mà trước đây khó có thể tiếp cận được. Mô hình toán tích cực cũng làm xuất hiện lờ mờ những tách biệt giả tạo giữa các chủ đề trong đại số, hình học và phân tích dữ liệu bằng cách cho phép học sinh dùng các ý tưởng từ một lĩnh vực toán này để hiểu tốt hơn một lĩnh vực toán khác. Mô hình toán tích cực có thể giúp giáo viên liên hệ sự phát triển các kỹ năng và quy tắc toán với sự phát triển tổng quát hơn của việc hiểu toán. Chẳng hạn như, một vài kĩ năng được xem là chính yếu khi chưa có mô hình toán tích cực lại là ít cần thiết hơn khi dùng các công cụ công nghệ, học sinh có thể được yêu cầu làm việc ở những mức độ cao hơn về tổng quát hóa và trừu tượng hóa. Làm việc với những đồ dùng thao tác được (các mô phỏng trên máy tính hay đồ dùng dạy học thực) hay với một số phần mềm cho phép học sinh mở rộng các kinh nghiệm thực tiễn và hình thành hiểu biết bước đầu về các ý tưởng có ý nghĩa như việc sử dụng các thuật toán. Phần mềm hình học cơ hoạt có thể cho phép các thực nghiệm đối với những họ các đối tượng hình học với trọng tâm là các phép biến đổi hình học. Một cách tương tự, những chức năng vẽ đồ thị thúc đẩy việc khám phá những đặc trưng của các lớp hàm cụ thể trong chương trình như hàm bậc hai, bậc ba, hàm mũ, hàm logarit. 4. Mô hình toán tích cực - chiếc cầu nối giữa dạy và học Mối quan hệ giữa công nghệ thông tin với dạy - học toán đã và đang được nhiều nhà giáo dục toán quan tâm nghiên cứu. Ngay cả những giáo viên có kinh nghiệm dạy học nhất, đôi khi cũng phải mất nhiều thời gian hơn một lần để giải thích một cách rõ ràng giúp học sinh nắm bắt và hiểu được khái niệm toán nào đó. Để học sinh nắm bắt và đưa ra được mối quan hệ giữa các khái niệm, giáo viên không chỉ đơn giản nói cho các em biết các quan hệ đó. Con đường hình thành khái niệm của một học sinh ở giai đoạn đầu thường khác với con đường mà thầy giáo dự định, hoặc không theo một thứ tự được biết của toán học. Giải quyết vấn đề, những công việc thực tế phù hợp, thảo luận, khảo sát là những khía cạnh cần thiết của môi trường học toán ở mọi cấp học. Công nghệ thông tin trong dạy và học toán có thể được xem như là sự hỗ trợ đặc tính tương tác giữa học sinh và giáo viên bởi các đồ dùng dạy học phù hợp. Những phương tiện dạy học thông tin điện tử đem lại những khả năng có tính động cơ, kích thích sự thích thú, lôi cuốn học sinh vào việc học và hiểu toán.
Nếu việc dạy toán được xem như là một quá trình truyền thụ thì công nghệ thông tin được sử dụng để trình bày, giải thích và làm sáng tỏ các ý tưởng toán học mà giáo viên tìm cách để thuyết phục học sinh. Còn nếu việc dạy toán được xem như là một quá trình kiến tạo, thì công nghệ thông tin được sử dụng gắn liền với người học, nó khuyến khích tính độc lập suy nghĩ, tinh thần dám đặt câu hỏi và phản ánh của học sinh. Như vậy, những điều đó đang thay đổi môi trường sư phạm, nó cho phép giáo viên sử dụng công nghệ thông tin một cách phù hợp và có ý thức trong dạy học toán nhằm giúp các em tự kiến tạo tri thức. 5. Thiết kế nhiệm vụ học tập trong môi trường máy tính Một trong những mục đích nghiên cứu của giáo dục toán là khảo sát mối quan hệ giữa dạy và học toán. Người ta thường quan sát và rút ra kết luận học sinh không học được những gì mà thầy cô giáo mong đợi các em phải đạt được. Các em có thể học được một điều gì khác mà nó không nằm trong nội dung cần dạy, và đôi khi lại học được một điều gì đó không đúng. Nhiều nghiên cứu đã chỉ ra rằng, lắng nghe bài giảng của thầy giáo, xem một bài trình bày toán mạch lạc, chưa đảm bảo là việc học sẽ xảy ra như mong đợi. Theo những quan điểm của lý thuyết kiến tạo được nhiều nhà giáo dục toán chia sẻ một cách rộng rãi thì kiến thức được xây dựng một cách tích cực bởi chủ thể nhận thức khi đang tương tác với những môi trường học tập toán. Khái niệm về môi trường học tập toán nên được hiểu theo một nghĩa rộng, môi trường là một trạng thái mang tính vật chất và cũng là một trạng thái mang tính trí tuệ. Các bài toán là một phần của những môi trường như vậy, chúng có thể đóng một vai trò quan trọng trong việc hình thành các kiến thức toán bởi người học. Trong môi trường này, người học tạo ra được cơ hội dùng các ý tưởng của chính mình để kiểm chứng tính hiệu quả và tính giá trị khi nỗ lực tìm lời giải. Brousseau (1986) đã xem xét quá trình phân tích lời giải bởi người học, khi sự tương tác giữa người học với “hoàn cảnh” cho phép người học thể hiện một số hành động đã có sẵn để giải quyết vấn đề và đưa ra phản ánh về những hành động của mình. Thuật ngữ “hoàn cảnh” ở đây được hiểu là một hệ thống mà học sinh giao tiếp trực tiếp với nó. Một ví dụ điển hình về “hoàn cảnh” được đưa ra trong tình huống ghép hình. Học sinh cần phải phóng to một trò chơi ghép hình trí uẩn trong một hình vuông, gồm các hình đa giác (tam giác, hình vuông, hình chữ nhật, hình thang, hình bình hành…) sao cho hình ghép gốc có chiều rộng 4 cm trở thành hình ghép mới có chiều rộng 7 cm. Cách giải đầu tiên thường gặp là học sinh cộng thêm 3 cm cho mỗi cạnh mà lại giữ nguyên bản chất của các hình. Nhưng khi các em ghép chúng lại với nhau thì có một hình không khít. Hoàn cảnh đó tạo ra một cơ hội để học sinh phản ánh lại kiến thức mà các em đã có về một hình ghép là các mảnh phải khít với nhau. Máy tính là môi trường giúp giải quyết vấn đề xảy ra ở trên. Hiện nay, những khả năng về tính toán và đồ họa của một số phần mềm cho phép tạo “vật cụ thể hoá” mà ta hay gọi là mô hình toán tích cực về các khái niệm trừu tượng, và nói riêng là các đối tượng toán học, mà khi ta thao tác trên các đối tượng đó sẽ thu được nhiều thông tin phản hồi. Khi máy tính tạo cơ hội cho người học thao tác trên những đối tượng này, thì
sẽ thay đổi chính đối tượng. Sự phản ánh của đối tượng được xem xét cũng có thể có bản chất khác. Có thể dễ hiểu hơn khi ta so sánh tình huống giấy bút với tình huống máy tính. Việc thiết kế một tình huống có vấn đề trong môi trường dựa trên máy tính đòi hỏi một cách phân tích mới các đối tượng toán, các phép toán, phép biến đổi và sự phản ánh sư phạm liên quan trong tình huống này. Điều đó giải thích tại sao đôi khi giáo viên ngại dùng máy tính trong lớp học của mình, mặc dù một phân tích về những tác dụng đem lại bởi máy tính được trình bày trong nhiều bài nghiên cứu nhưng nó không phải của giáo viên thực sự đứng lớp. 6. Một mối liên hệ khác của các đối tượng hình học thông qua máy tính Người ta thường cho rằng bản chất của hình học là có tính đối ngẫu: những bài toán hình học có thể mang bản chất thực hành cũng như lý thuyết. Từ khởi nguồn của việc đo đạc các đồng lúa bị ngập lụt ở sông Nile - Ai Cập, môn hình học bắt đầu được hình thành như là một cách để điều khiển các mối quan hệ với không gian vật lý. Nhưng rồi hình học đã được phát triển như một lĩnh vực lý thuyết gắn liền với các đối tượng trừu tượng. Điều này đã trở nên rõ ràng hơn khi hình học phi Euclide xuất hiện như là một lý thuyết khả dĩ để mô hình hóa thế giới thực tiễn. Thông thường, để làm việc với các đối tượng trừu tượng trong hình học, người ta dựa trên các biểu diễn tượng hình mà ta gọi là các hình. Mối liên hệ giữa các nhà toán học với các biểu diễn tượng hình này là phức tạp và nó phản ánh bản chất đối ngẫu của hình học. Những người làm toán vẽ các hình, làm việc trên các hình đó như những đối tượng vật chất (theo nghĩa là một loại thực nghiệm) nhưng suy luận của họ lại thực sự không gắn chặt với các hình mà là với các đối tượng lý thuyết. Ta thấy cũng cùng một hình nhưng suy luận trong hình học Euclide và trong hình học xạ ảnh lại hoàn toàn khác nhau. Những phần mềm hình học cho phép vẽ các hình trên màn hình máy tính giúp ta hiểu tốt hơn sự phân biệt này. Từ việc vẽ đến hình Như là một thực thể vật chất thì một hình vẽ là không hoàn hảo, chẳng hạn những đường thẳng là không thực sự thẳng. Nhưng các nhà toán học đã bỏ qua những cái không hoàn hảo đó và làm việc trên một “hình vẽ lý tưởng”. Những câu hỏi sau đây, mà cho đến bây giờ vẫn chưa được nghiên cứu và trả lời một cách thỏa đáng, đang trở nên đáng lưu ý cho những người thiết kế các hình biểu diễn đồ họa trên màn hình máy tính. - Đến giai đoạn nào thì sự không hoàn hảo của một hình vẽ sẽ làm cho người sử dụng có ý kiến và không ngăn cản người sử dụng xâm nhập vào hình vẽ lí tưởng? - Đến giai đoạn nào thì một dãy gồm những đoạn nhỏ được thừa nhận như là đại diện của một đường thẳng? Giữa những giới hạn nào thì độ mịn của đường trên máy tính cho ta hình ảnh trực quan của một đường thẳng? - Giới hạn trên của độ dài một đoạn thẳng, một đường tròn và những đường thẳng tiếp xúc của chúng là bao nhiêu? Máy tính thực sự bộc lộ một hiện tượng quan trọng đối với học sinh quen với các tình huống trên giấy bút. Đối với các học sinh làm việc trên giấy bút thì những sự không
hoàn hảo của một hình vẽ là không ảnh hưởng lớn đến việc làm toán, vì nó thực sự đòi hỏi các kiến thức toán học. Một hình vẽ lý tưởng có thể đưa đến nhiều hình vẽ phụ thuộc vào các khía cạnh phù hợp với bài toán cần được giải. Đối tượng toán học gắn liền với một hình vẽ không thể được suy ra chỉ từ hình vẽ mà còn từ một đoạn văn theo một cách không rành mạch. Có hai lý do để giải thích điều này: i/ Tính không phù hợp của một vài tính chất của hình vẽ Một số quan hệ rõ ràng trên hình vẽ có thể không phản ánh tính chất của hình hình học. - Vị trí của hình vẽ trên giấy thường là không quan trọng đối với một bài toán hình học. Một hình vẽ là mô hình của một hình, và cũng giống như mọi mô hình, tất cả các mối quan hệ được thể hiện trong hình vẽ không thể giải thích được hết các mối quan hệ của hình. Việc giải thích hình vẽ có ý nghĩa như thế nào được xác định bởi lý thuyết mà người dùng hình vẽ sử dụng. - Trong hình học xạ ảnh, tính song song trên hình vẽ là không phù hợp vì mọi đường thẳng đều cắt nhau. Trong hình vẽ phối cảnh của các hình ba chiều, giao của hai đường thẳng không được xem là giao điểm của các đường thẳng tương ứng trong không gian. ii/ Tính chất thay đổi được của các phần tử của một hình Một khía cạnh quan trọng của những hình hình học là nó liên quan đến những phần tử thay đổi trong các tập con của mặt phẳng (xem như là một tập các điểm). Một hình vẽ không thể miêu tả tính chất thay đổi của các phần tử của nó. - Một điểm của một đoạn thẳng trên hình vẽ là thuộc vào đoạn thẳng hay đường thẳng chứa đoạn thẳng đó? - Những cát tuyến của đường tròn trên hình vẽ có nhất thiết phải được xem là cát tuyến của bài toán? Việc mô tả một hình theo ngôn ngữ tự nhiên hay theo một ngôn ngữ hình tượng nào đó đều cần đến việc giải thích bởi một hình vẽ. Những hình hình học phía sau màn hình Máy tính đã và đang được sử dụng để thiết kế các chương trình cho phép có vô số hình vẽ gắn liền với một hình hình học đã cho, và chúng ta có thể thao tác trên các hình vẽ đó. Người ta có thể làm điều đó bằng nhiều phương tiện như ngôn ngữ lập trình hay lặp lại các phương trình có sẵn. Sự tiến bộ của các phương tiện công nghệ đã cho phép những thao tác trực tiếp và hình vẽ trên màn hình có thể được thay đổi bằng cách kích chuột và kéo rê các hình vẽ trong khi các tính chất hình học được sử dụng để dựng hình vẽ đó được bảo toàn. Một tính chất chung của những phần mềm động là cách sử dụng chúng để mô tả tường minh các hình: một hình vẽ tạo được trên màn hình là kết quả của một quá trình thể hiện bởi người học, các em đã làm tường minh định nghĩa của đối tượng. Những phần mềm động như vậy khác với các chương trình vẽ hình mà quá trình
của nó chỉ liên quan đến những gì xuất hiện trên màn hình chứ không có mối liên hệ giữa các phần tử. Học sinh học trong môi trường phần mềm động Bản chất đối ngẫu của hình học đã dược nhấn mạnh ở trên. Nó là một bộ phận lý thuyết của hiện tượng có tính đồ họa và không gian thông qua các mô hình tri thức, nhưng nó cũng phát triển trong chính nó. Chúng ta biết rằng, cách dạy hình học truyền thống thường chú trọng vào vai trò của những kiến thức lý thuyết mà bỏ qua hoặc đánh giá thấp những mối liên hệ giữa vẽ hình và lý thuyết hình học. Hình học không được trình bày như là kiến thức cho phép sự lý giải các hiện tượng trực quan hay ngay cả để điều khiển và dự đoán chúng. Vai trò của những hình vẽ chỉ được thừa nhận như là một minh họa cho các khái niệm hình học. Học sinh không được dạy cách làm thế nào để lý giải một hình vẽ theo những thuật ngữ hình học, làm thế nào để phân biệt những tính chất không gian là thích đáng, không theo một quan điểm hình học mà gắn liền với hình vẽ. Đó là lý do tại sao đôi khi xuất hiện một số hiểu nhầm giữa giáo viên và học sinh. Khi giao cho học sinh một bài toán dựng hình, người giáo viên thường tin rằng nhiệm vụ đó liên quan đến việc sử dụng hình học trong khi học sinh lại hiểu là vẽ hình. Ví dụ, khi học sinh được yêu cầu vẽ đường thẳng tiếp xúc với một đường tròn và đi qua điểm P cho trước, học sinh thường quay đường thẳng qua P sao cho nó chạm vào đường tròn. Hành động này không dựa trên hình học mà dựa trên sự thừa nhận. Nhiệm vụ đó theo dự kiến của giáo viên là không phải để cho học sinh vẽ hình mà là một bài toán hình học. Với cùng lý do như vậy, khi học sinh được yêu cầu chứng minh một tính chất hình học không gian, có thể các em sẽ thấy khó hiểu tại sao không được phép suy ra các tính chất trực tiếp từ hình vẽ. Giả thuyết được đưa ra ở đây là: bằng cách thiết kế các nhiệm vụ toán cụ thể trong một môi trường có phần mềm động thì có thể thúc đẩy các kiến thức toán như là một công cụ để lý giải những hiện tượng thấy được, giải thích, tạo nên và dự đoán chúng. Những bài toán mới được nảy sinh từ môi trường máy tính Những hình vẽ cơ hoạt của các phần mềm động cho phép việc phát sinh ra những phạm trù mới về các bài toán trong chính bản thân toán học. Mặt khác, trong môi trường máy tính, thông qua các khả năng đặc thù của nó, cho phép chúng ta đặt ra các bài toán mà không dễ gì đặt ra cho học sinh trong môi trường giấy bút. 7. Những dạng bài toán mới trong hình học a. Những phép dựng hình cơ bản Một số phép dựng hình phụ thuộc vào vị trí tương đối trong không gian của các phần tử của hình mà ta có thể thay đổi bằng cách kéo rê chuột. Ví dụ, việc dựng các đường thẳng tiếp xúc từ một điểm ngoài đường tròn là khác cơ bản với từ một điểm ở trên đường tròn. Vì thế khi kéo rê điểm P cho đến khi nó nằm trên đường tròn thì quá trình dựng hình không cho ta đường tiếp tuyến nữa bởi vì điểm cùng với P để dựng tiếp tuyến không xác định được.
Một ví dụ khác, khi dựng điểm nghịch đảo của một điểm P đối với đường tròn (C) tâm O, quy trình thông thường đối với một điểm ngoài đường tròn dựa trên việc dựng hai đường tiếp xúc, tức là dùng hai giao điểm của đường tròn (C) với đường tròn đường kính OP. Trong khi quy trình thông thường cho điểm ở trong đường tròn là dựa trên giao điểm của đường tròn (C) với đường thẳng qua P vuông góc với OP. (C) (C) O P O Thực ra thì còn có những lời giải (C) chung như hình bên: O P' P b. Những vấn đề mới đặt ra cho học sinh Trong mối quan hệ giữa hình vẽ và hình học, chúng ta có thể phân biệt những loại vấn đề sau đây: i/ Chuyển từ mô tả bằng lời một hình hình học sang hình vẽ; trong môi trường giấy bút đó có thể là những nhiệm vụ dựng hình cổ điển mà học sinh phải đưa ra các phép dựng cho các đối tượng hình học được mô tả bằng lời. ii/ Giải thích sự tuân thủ của các hình vẽ theo phương tiện hình học tương ứng với việc chuyển từ hình vẽ sang mô tả bằng lời và giải thích. Lý giải các hình vẽ theo ngôn ngữ hình học, điều này xảy ra trong các bài toán mà học sinh phải chứng minh tại sao một tính chất hình học đưa đến các minh chứng trực giác lại được kiểm chứng bởi một hình vẽ. Dự đoán một hiện tượng trực quan như trong các bài toán liên quan đến quỹ tích. iii/ Tái tạo lại một hình vẽ hay biến đổi một hình vẽ bằng cách dùng hình học. Ba loại nhiệm vụ này trở nên khác nhau trong môi trường máy tính có phần mềm động bởi vì những đặc thù của việc vẽ hình bằng phần mềm động. Những nhiệm vụ (i) Việc tạo ra một hình vẽ cơ hoạt thoả mãn những tính chất không gian khi nó được kéo rê đòi hỏi phải dùng đến các tính chất hình học về dựng hình và không chấp nhận những quá trình thử và sai phạm dựa trên cảm nhận bằng mắt. Quá trình dựng tiếp tuyến ở trên đưa ra một hình vẽ cơ hoạt không thỏa mãn điều kiện dựng hình khi một điểm cơ
bản bị kéo rê. Việc sử dụng hình học được đòi hỏi bởi chính bài toán chứ không phải như trên giấy bút là bởi thầy giáo. Chúng ta đã biết rằng trong môi trường giấy bút, nếu ta thay đổi công cụ dựng hình có thể làm thay đổi công cụ khái niệm (tức là những tính chất hình học) được sử dụng để thể hiện phép dựng. Trong môi trường phần mềm, có thể không chỉ mô phỏng những kiến thức cơ bản cho học sinh mà còn tạo nên những kiến thức mới trong khi sáng tạo nên các đối tượng mới. Ví dụ. Dùng các phép biến đổi như là công cụ để thu được các tính chất hình học Khả năng sáng tạo nên một phép dựng nào đó, tức là một hàm hình học thực sự cho phép tạo ra một đối tượng hình học khi các đối tượng đầu vào được cho. Điều đó cho phép giáo viên sáng tạo ra những công cụ mới và yêu cầu học sinh dựng các hình hình học bằng các công cụ được quyết định bởi giáo viên. Ví dụ, học sinh được yêu cầu dựng đường thẳng qua một điểm và song song với đường thẳng đã cho bằng cách dùng các kiến thức sau: góc, phân giác, đối xứng trục, đối xứng qua điểm. Hai lời giải được cho như sau: P'' P P P'' A d d A A' P' P' Kết hợp đối xứng trục và đối xứng tâm Dùng đường vuông góc chung Cái mới ở đây là việc dùng một dãy các phép biến đổi để thu được một tính chất một cách trực quan. Mặc dù, có thể phép đối xứng trục là một cách để thu được đường thẳng vuông góc với một phương đã cho, nhưng thường học sinh không biết đến bởi vì nó không được dùng trong môi trường giấy bút. Khi học sinh làm việc trong môi trường phần mềm cơ hoạt các em sẽ ngạc nhiên khi phát hiện ra rằng, đường thẳng nối một điểm với ảnh của nó qua phép đối xứng trục là vuông góc với trục đối xứng. Các em sẽ tự hỏi: “Có phải là do may mắn nên ta có được đường thẳng vuông góc?”. Việc sử dụng kết hợp các phép đối xứng tâm thường là kết quả của một định lý, nó có thể được dùng trong một chứng minh nhưng nó không phải là một công cụ để tạo nên hình vẽ của một hình. Việc sử dụng kết hợp các phép biến đổi trong một chứng minh là ở mức độ cao của tư duy, trong trường hợp này có thể là quá trình phức tạp đối với học sinh ở đầu cấp THPT khi so sánh với định lý về đường trung bình của một tam giác. Trong trường hợp này, ta thấy máy tính đã cho học sinh cơ hội:
- Không chỉ làm việc trên lĩnh vực các đối tượng lý thuyết như là một hoạt động chứng minh mà còn liên hệ những khái niệm lý thuyết với những ảnh hưởng trực quan. - Liên kết các khía cạnh trực quan và lý thuyết với nhau về khái niệm hợp các phép biến đổi, không phải bằng một con đường thụ động (như phim ảnh) mà theo con đường vận hành (những đối tượng lý thuyết được dùng như những công cụ tìm lời giải của bài toán đã cho). Bởi vì hình vẽ được vẽ trong phần mềm có tính chất cơ hoạt nên việc thoả mãn một số điều kiện về sự thay đổi của nó được đòi hỏi theo nhiệm vụ bài toán. Ví dụ, vẽ một tam giác đều bằng cách quay quanh tâm của nó. Để đáp ứng loại điều kiện này đòi hỏi sự phân tích các hình vẽ động theo các mức tự do khác với nhiệm vụ dựng hình truyền thống. Những điều kiện về các điểm cố định và chuyển động cũng có thể đòi hỏi một phép dựng với một thứ tự khác và do đó đưa ra việc sử dụng các tính chất hình học khác. Đó là một trường hợp trong khi dựng một tam giác đều thì người ta ít khi bắt đầu từ tâm của tam giác. Các nhiệm vụ (ii) Những hình vẽ cơ hoạt cung cấp một hình ảnh trực quan mạnh hơn một hình vẽ tĩnh duy nhất. Một tính chất hình học có thể hiện ra như là một bất biến trong khi chuyển động mà điều đó khó có thể thấy được trong hình vẽ tĩnh. Trong trường hợp sau, nó có thể không được quan sát, ví dụ, một đường thẳng luôn đi qua một điểm đã cho. Chúng ta giả sử rằng trong các nhiệm vụ (ii) môi trường phần mềm nhấn mạnh tầm quan trọng đến quan sát trực quan và do đó có thể thúc ép học sinh giải thích tại sao các em lại thu được những hiện tượng đáng chú ý và trực quan như vậy. Môi trường phần mềm có thể thúc đẩy tính phù hợp của sự giải thích hay chứng minh bài toán bởi học sinh. Theo thuật ngữ của Brousseau (1986) thì nó thúc đẩy quá trình chuyển giao của bài toán; người học sinh thu được “quyền sở hữu” bài toán theo cách của mình trong khi ở môi trường truyền thống một nhiệm vụ chứng minh có thể được xem như là việc học tập ở nhà trường mà không có mối liên hệ nào với các hiện tượng trực quan. Những nhiệm vụ như vậy được sử dụng trong môi trường phần mềm động. Những nhiệm vụ (iii) Những nhiệm vụ (iii) trong môi trường phần mềm động liên quan đến cả hai khía cạnh, việc giải thích các hình vẽ động theo thuật ngữ hình học và việc dựng hình lại bằng phương tiện các đối tượng hình học cơ bản của phần mềm. Chúng ta gọi đó là những nhiệm vụ “hộp đen”. Một hình vẽ động được tạo nên bởi phần mềm động, khi đưa cho học sinh, các em sẽ không biết là nó được dựng như thế nào và những chỉ dẫn dựng hình được loại bỏ. Nhiệm vụ của học sinh là dựng lại các hình đó, tức là một hình vẽ động mà khi ta kéo rê nó có những thay đổi như là hình vẽ đã cho. Những tình huống hộp đen này không thể cho trong môi trường giấy bút, bởi vì chỉ một hình vẽ thì không thể chuyển đạt thông tin về mối quan hệ của các bộ phận của nó một cách tương ứng. Một mô tả không cần phải hoàn chỉnh về hình hình học nên được cho kèm theo hình vẽ.
Tóm lại, các nhiệm vụ (i) và (ii) nên đòi hỏi việc sử dụng bước đầu kiến thức hình học và các nhiệm vụ (iii) là để kích thích nhu cầu cần chứng minh. Kết luận Phần mềm động cung cấp những môi trường phong phú cho việc tạo mô hình và thể hiện các đối tượng toán học. Việc nghiên cứu các phần mềm động trong hình học và đại số đã nhấn mạnh sự cần thiết của việc phân tích mối liên hệ mới với kiến thức được kiến tạo nên bởi học sinh thông qua phần mềm. Sự phân tích này phải gắn liền với các bài toán được sử dụng bởi giáo viên để thúc đẩy việc học. Những bài toán mới là có thể dùng được, nhưng ý nghĩa của chúng là gì đối với học sinh? Có vẻ như là một môi trường phần mềm đưa ra thông tin phản hồi có thể thúc đẩy các thử nghiệm có tính kinh nghiệm nhằm thu được những lời giải được dự kiến trước do may mắn. Những nhiệm vụ được thiết kế phải tránh được những khả năng thử nghiệm để thu được lời giải như vậy. Sự phản ánh trực quan dựa trên hình học đóng một vai trò quan trọng trong sự phát triển của học sinh, trên cả hai phương diện, chỉ ra phương pháp của học sinh là không thoả đáng và những minh chứng về một số hiện tượng trực quan. Hơn nữa cũng có thể xuất hiện hiện tượng học sinh sử dụng rộng rãi sự liên kết giữa trạng thái kéo rê và những tính chất cơ bản của hình học để nhận được những thông tin phản hồi phức tạp hơn. Điều đó chỉ đường cho chúng ta nhấn mạnh vào mối quan hệ giữa các hiện tượng hình học và trực quan với sự tồn tại của những khả năng giao diện mới.
Chương II SỬ DỤNG PHẦN MỀM GSP TRONG DẠY HỌC TOÁN I. Giới thiệu sơ lược phần mềm The GEOMETER’S SKETCHPAD 5.00 1. Một số đặc điểm của phần mềm GSP Phần mềm The Geometer’s Sketchpad (GSP) được viết bởi Nicholas Jackiw là một phần mềm hỗ trợ việc dạy và học trên máy tính. Phiên bản đầu tiên ra đời vào năm 1991. So với các phiên bản đầu tiên, phiên bản 5.00 đã có nhiều cải tiến quan trọng giúp chương trình dễ sử dụng và linh hoạt hơn. GSP là một phần mềm hỗ trợ sáng tạo, khám phá và phân tích một lớp rộng các kiến thức toán. Sử dụng phần mềm hình học động GSP, ta có thể xây dựng những mô hình toán tương tác từ những khảo sát đơn giản về hình dạng đến những minh họa động phức tạp. Đối với học sinh, phần mềm GSP với tính năng hoạt hình, nhanh chóng tạo ra vô số hình vẽ mới từ hình vẽ ban đầu, chỉ bằng cách kéo rê chuột, mà những tính chất hình học vẫn được giữ nguyên, cho phép các em khám phá các quan hệ toán học thông qua xây dựng và khảo sát các mô hình. Phần mềm cũng tạo điều kiện thuận lợi cho các em đặt và kiểm chứng các giả thuyết toán, trợ giúp tìm đường lối chứng minh nhờ tính năng trực quan và cơ hoạt của mình. Đối với giáo viên, Sketchpad cung cấp một môi trường hấp dẫn để trình bày các khái niệm toán, mô hình hóa các câu hỏi, tạo ra các hình vẽ mà với sự quan sát bằng mắt rất dễ dàng nhận ra các tính chất, những liên hệ của các yếu tố của hình… khuyến khích các dự đoán của học sinh. Đối với các nhà nghiên cứu giáo dục, những người yêu thích toán, họ có thể sử dụng GSP để thăm dò các tính chất của phép dựng, khám phá ra các kết quả mới cũng như tạo ra các minh họa toán học để sử dụng trong các hoạt động, nhiệm vụ nghiên cứu, các báo cáo hoặc ấn bản… 2. Hệ thống lệnh và các công cụ làm việc chính của phần mềm GSP Màn hình làm việc của phần mềm Geometer’s Sketchpad (GSP) 5.00: Thanh menu Hộp công cụ Thanh văn bản
2.1. Hộp công cụ - Toolbox - Công cụ mũi tên chọn (Selection Arrow Tool) dùng để chọn các lệnh, các đối tượng; dùng để di chuyển tịnh tiến một đối tượng. - Công cụ mũi tên quay (Rotation Arrow Tool) dùng để quay một đối tượng quanh tâm được chọn trước - Công cụ mũi tên vị tự (Dilation Arrow Tool) - Công cụ điểm (Point Tool) dùng để dựng điểm tùy ý hoặc giao điểm của các đường thẳng, đoạn thẳng, đường tròn, cung tròn… - Công cụ đường tròn (Compass Tool) dùng để dựng đường tròn khi biết tâm và một điểm thuộc đường tròn. - Công cụ thước thẳng (Segment Straightedge Tool) dùng để dựng đoạn thẳng. - Công cụ tia (Ray Straightedge Tool) dùng để dựng tia. - Công cụ đường thẳng (Line Straightedge Tool) để dựng đường thẳng qua hai điểm. - Công cụ đa giác (Polygon Tool) dùng để dựng miền trong của đa giác. - Công cụ đa giác và biên (Polygon and Edges Tool) dùng để dựng biên và miền trong của đa giác. - Công cụ biên đa giác (Polygon Edges Tool) dùng để dựng biên của đa giác - Công cụ văn bản (Text Tool) dùng để đặt tên, đổi tên cho một đối tượng; tạo ra các khung chú thích, các văn bản, các công thức toán… - Công cụ đánh dấu (Marker Tool) dùng để đánh dấu góc, đánh dấu đoạn thẳng hoặc phác thảo những nét vẽ tay. - Công cụ thông tin (Information Tool) dùng để khảo sát cách dựng của một hình vẽ cũng như mối liên hệ giữa các đối tượng trong hình vẽ đó.
- Công cụ thường dùng (Custom Tool) cho phép người sử dụng tự tạo các công cụ hỗ trợ cho việc dựng hình, các công cụ này chỉ cần thiết kế một lần và sau đó được sử dụng khi cần thiết. 2.2. Các lệnh cơ bản trên thanh menu 2.2.1. Menu File New Sketch Tạo một File GSP mới. Open Mở các File GSP đã lưu. Save Lưu File. Document Options Các lựa chọn trên tài liệu: tạo thêm trang mới, xóa trang, copy một trang, thay đổi thứ tự các trang. Print In. Quit Thoát khỏi chương trình GSP. 2.2.2. Menu Edit Paste Dán các hình ảnh có định dạng tùy ý vào một, hai hoặc ba điểm trong GSP để có thể thay đổi kích thước hoặc vị trí của hình.
Action Button Tạo các nút kích hoạt sau đây: Hide/Show Tạo nút lệnh ẩn/hiện các đối tượng được chọn; Animation Tạo nút lệnh điều khiển một hoặc nhiều đối tượng chuyển động trên đường dẫn của nó; Movement Tạo nút lệnh cho phép di chuyển vị trí một điểm tới một vị trí khác; Presentation Tạo nút lệnh trình diễn cho phép kết hợp nhiều nút lệnh theo một thứ tự định trước; Link Tạo nút lệnh liên kết. Select Parents Chọn các đối tượng cơ bản trên màn hình. Select Children Chọn các đối tượng phụ thuộc trên màn hình. Crop Picture to Polygon Tạo ra một hình mới là phần giao của một hình ảnh với một đa giác đã được chọn. Split/Merge Tách/nhập các đối tượng (điểm, văn bản…). Edit Definition Thay đổi định nghĩa của các phép toán, hàm số, (Calculation, Function, tham số, điểm đã dựng. Parameter, Plotted Point) Properties Xem thuộc tính của đối tượng được chọn. Preferences Đặt các kiểu hiển thị (đơn vị, màu sắc…). 2.2.3. Menu Display
Line Style Thay đổi nét vẽ cho đối tượng (đứt khúc, liền mảnh, liền đậm). Color Thay đổi màu sắc cho đối tượng. Text Thay đổi kiểu chữ và kích cỡ cho văn bản. Hide Objects Giấu các đối tượng được chọn. Show All Hidden Hiện tất cả các đối tượng đã được ẩn trước đó. Show Label Hiện nhãn (tên) của một đối tượng. Label Đặt tên cho một đối tượng. Trace Tạo vết cho đối tượng. Erase Traces Xóa hết vết trên trang hình. Animate Kích hoạt chuyển động một đối tượng. Increase/Decrease Tăng/giảm tốc độ chuyển động. Speed Stop Animation Dừng chuyển động. Hide/Show Text Ẩn/Hiện thanh văn bản. Palette Hide/Show Motion Ẩn/Hiện hộp điều khiển chuyển động. Controller Hide/Show Toolbox Ẩn/Hiện hộp công cụ. 2.2.4. Menu Construct Point On Object Dựng điểm trên đối tượng. Midpoint Dựng trung điểm của đoạn thẳng. Intersection Dựng giao điểm của hai đối tượng. Segment Dựng đoạn thẳng qua hai điểm. Ray Dựng tia có điểm đầu làm gốc và điểm thứ hai thuộc tia.
Line Dựng đường thẳng qua hai điểm. Perpendicular Line Dựng đường thẳng qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng được chọn. Parallel Line Dựng đường thẳng qua một điểm và song song với một đường thẳng được chọn. Angle Bisector Dựng tia phân giác trong của một góc khi biết đỉnh của góc và hai điểm thuộc hai cạnh của góc (khác đỉnh). Circle By Center Dựng đường tròn có tâm là điểm đầu và đi qua điểm And Point chọn thứ hai. Circle By Center & Dựng đường tròn có tâm và độ dài bán kính xác định Radius bởi đoạn thẳng hoặc số đo khoảng cách đã được chọn. Arc On Circle Dựng cung tròn qua hai điểm trên một đường tròn (chọn tâm đường tròn chứa cung tròn, xác định điểm đầu và điểm cuối của cung tròn theo chiều dương lượng giác). Arc Through Three Dựng cung tròn qua ba điểm bất kỳ. Points Interior Dựng miền trong của một đa giác, của một đường tròn, của một hình quạt tròn (chọn lần lượt các đỉnh của đa giác hoặc đường tròn, cung tròn). Locus Dựng quỹ tích của một đối tượng (điểm, đoạn thẳng, đường thẳng…) khi đối tượng đó di chuyển theo một điểm di động cho trước. 2.2.5. Menu Transform Mark Center Đánh dấu điểm làm tâm quay hay tâm vị tự. Mark Mirror Đánh dấu đường thẳng làm trục đối xứng. Mark Angle Đánh dấu góc quay. Mark Ratio Đánh dấu tỉ số của hai đoạn thẳng, của ba điểm thẳng hàng hoặc một giá trị không có đơn vị. Mark Vector Đánh dấu vector để tịnh tiến.
Mark Distance Đánh dấu giá trị đại diện cho khoảng cách để sử dụng trong phép tịnh tiến (Polar / Rectangular). Translate Cho phép tạo ảnh của đối tượng được chọn qua phép tịnh tiến theo một vector đã xác định trước đó hoặc theo một khoảng và một hướng xác định, hoặc theo tọa độ chữ nhật. Rotate Cho phép tạo ảnh của đối tượng được chọn qua phép quay có tâm quay và góc quay đã được xác định trước đó. Dilate Cho phép tạo ảnh của đối tượng được chọn qua phép vị tự có tâm và tỉ vị tự đã được xác định trước đó. Reflect Cho phép tạo ảnh của đối tượng được chọn qua phép đối xứng trục có trục đối xứng đã được xác định trước. Iterate Phép lặp. Define Custom Tạo ra một phép biến hình thường dùng (khác với các Transform… phép biến hình đã có). Edit Custom Thay đổi tên, thứ tự hoặc xóa một phép biến hình thường Transform… dùng đã được tạo trước đó. 2.2.6. Menu Measure Length Đo độ dài của một đoạn thẳng. Distance Đo khoảng cách giữa hai điểm, khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng. Perimeter Đo chu vi của một đa giác (bằng cách chọn miền trong của đa giác đó). Circumference Đo chu vi của đường tròn. Angle Đo độ lớn của một góc. Area Đo diện tích của một hình. Arc Angle Đo số đo của một cung.
Arc Length Đo độ dài của một cung. Radius Đo bán kính của một đường tròn hoặc một cung tròn Ratio Đo tỉ số của hai đoạn thẳng hoặc tỉ số đại số của ba điểm thẳng hàng. Value of Point Đo vị trí tương đối của điểm đã chọn trên đường (đoạn thẳng, đường thẳng, tia, cung tròn, đường tròn…) mà nó được dựng. Coordinates Đo tọa độ của điểm. Abscissa (x) Đo hoành độ của điểm. Ordinate (y) Đo tung độ của điểm. Coordinate Đo khoảng cách giữa hai điểm dựa trên hệ trục tọa độ Distance đã được xác định. Slope Đo hệ số góc của mỗi đường thẳng được chọn đối với một hệ trục xác định. Equation Cho phương trình của đường thẳng, đường tròn trong một hệ trục xác định. 2.2.7. Menu Number New Parameter Tạo tham số mới. Để thay đổi giá trị của một tham số ta có thể chọn tham số và nhấn phím + hoặc -. Calculate Máy tính. Tabulate Tạo một bảng tính các giá trị tương ứng tại các giá trị khác nhau của biến. Add Table Data Thêm một hoặc nhiều hàng dữ liệu vào bảng giá trị. Remove Table Data Xóa một hoặc tất cả các hàng dữ liệu của bảng giá trị. New Function Tạo ra một hàm số mới bằng máy tính. Define Derivative Tạo ra một hàm số mới là đạo hàm của hàm số được Function chọn. Define Function Tạo ra một hàm số mới từ hình vẽ bằng công cụ maker from Drawing hoặc bức tranh trong một hệ trục xác định.