Giáo trình tính toán khoa học - Chương 2

Chia sẻ: Nguyen Thanhvan | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:38

Thêm vào BST

Báo xấu

168
lượt xem 49
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

MATLAB là từ viết tắt của Matrix Laboratory, được công ty MathWorks khai thác và phát triển. Đối tượng xử lý cơ bản của Matlab là các ma trận. Các vector và vô hướng được biểu diễn bởi các ma trận cỡ n1, 1n và 11. Xâu cũng có thể xử lí được trong Matlab, nhưng khá hạn chế. Matlab version 3.5 trở về trước hoạt động trong môi trường MS-DOS, các version sau này hoạt động trong môi trường Windows ...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình tính toán khoa học - Chương 2

Chương 2 CƠ SỞ MATLAB 2.1 LÀM QUEN VỚI MATLAB MATLAB là từ viết tắt của Matrix Laboratory, đư ợc công ty MathWorks khai thác và phát triển. Đối tượng xử lý cơ bản của Matlab là các ma trận. Các vector và vô hư ớng được biểu diễn bởi các ma trận cỡ n1, 1 n và 11. Xâu cũng có thể xử lí được trong Matlab, nhưng khá hạn chế. Matlab version 3.5 trở về trước hoạt động trong môi trường MS-DOS, các version sau này hoạt động trong môi trường Windows. 2.1.1 Khởi động và Thoát khỏi MATLAB Để khởi động MATLAB bạn có thể gõ lệnh Matlab trong chế độ DOS hoặc nháy chuột trái vào biểu tượng của Matlab trên màn hình của Windows. Chờ một chút b ạn sẽ thấy lời chào của Matlab và sau đó là cửa sổ lệnh Command cùng với các menu quen thuộc trong Windows như File, Edit, Debug,Desktop, Window và Help h iện ra trên màn hình. Trong cửa sổ lệnh xuất hiện dấu mời của Matlab có dạng “ >> | ”. H ình 2.1 Cửa sổ lệnh Command 24
Sau pha khởi động này, Matlab sẵn sàng nhận một câu lệnh hay lời gọi chương trình. Để thoát khỏi Matlab bạn có thể gõ lệnh quit hoặc exit sau dấu mời của Matlab hay dùng chuột chọn File/Exit. Đơn giản nhất, bạn có thể dùng tổ hợp phím Ctrl-Q. Sau đây chúng tôi sẽ giới thiệu một số lệnh cơ bản của Matlab. Những lệnh bổ sung được giới thiệu trong các chương tiếp theo vì chúng liên quan với các b ài toán và các thu ật toán giải. Để có những thông tin đầy đủ hơn về toàn bộ những câu lệnh của Matlab bạn đọc cần tham khảo thêm các cuốn sách “ MATLAB Reference Guide” và “ MATLAB Turtorial ” đi kèm với phần mềm Matlab. 2.1.2 Trợ giúp trực tuyến trong MATLAB Matlab có trợ giúp trực tuyến đối với tất cả các lệnh và hàm nội trú. Để sử dụng trợ giúp của Matlab, b ạn hãy gõ lệnh help sau đó là tên lệnh ho ặc tên hàm mà bạn muốn tìm hiểu. Thí dụ 1. Nếu trong cửa sổ Command bạn gõ lệnh: >> help tanh thì kết quả là xu ất hiện dòng thông báo sau đây: TANH Hyperbolic tangent. TANH(X) is the hyperbolic tangent of the elements of X. See also atanh . Thông báo trên có nghĩa là hàm TANH(X) sẽ tính tang hypecbol của tất cả các phần tử của X. Có rất nhiều tài liệu trực tuyến (theo kiểu như trên) bao gồm những tài liệu tham kh ảo và cả những thí dụ minh hoạ. Nếu bạn gõ lệnh h elp m à không xác định tên lệnh đi theo thì sẽ xuất hiện một menu gồm nhiều chủ đề (topic) để bạn có thể lựa chọn. Thí dụ 2. Nếu gõ lệnh: >> help thì kết quả trên màn hình là: HELP topics: 25
matlab \general - General purpose commands. matlab \ops - Operators and special characters. matlab \lang - Programming language constructs. matlab \elmat - Elementary matrices and matrix manipulation. matlab \elfun - Elementary math functions. matlab \specfun - Specialized math functions. matlab \matfun - Matrix functions - numerical linear algebra. ma tlab \datafun - Data analysis and Fourier transforms. matlab \polyfun - Interpolation and polynomials. matlab \funfun - Function functions and ODE solvers. matlab \sparfun - Sparse matrices. matlab \graph2d - Two dimensional graphs. matlab \graph3d - Three dimensional graphs. matlab \specgraph - Specialized graphs. matlab \graphics - Handle Graphics. matlab \uitools - Graphical user interface tools. matlab \strfun - Character strings. matlab \iofun - File input/output. matlab \timefun - Time and dates. matlab \datatypes - Data types and structures. matlab\winfun -Windows Operating System Interface Files(DDE/ ActiveX) matlab \demos - Examples and demonstrations. toolbox\symbolic - Symbolic Math Toolbox. nag\nag - NAG Foundation Toolbox - Numerical & Statistical Library nag\examples - NAG Foundation Toolbox - Numerical & Statistical Libra ry toolbox\pde - Partial Differential Equation Toolbox. 26
toolbox\stats - Statistics Toolbox. signal\signal - Signal Processing Toolbox. signal\siggui - Signal Processing Toolbox GUI signal\sigdemos - Signal Processing Toolbox Demonstrations toolbox\control - Control System Toolbox. control\ctrlguis - Control System Toolbox -- GUI support functions. control\obsolete - Control System Toolbox -- obsolete commands. stateflow\sfdemos - Stateflow demonstrations and samples. toolbox\sb2sl - SystemBuild to Simulink Translator stateflow\stateflow - Stateflow simulink\simulink - Simulink simulink\blocks - Simulink block library. simulink\simdemos - Simulink 3 demonstrations and samples. simulink\dee - Differential Equation Editor toolbox\tour - MATLAB Tour MATLABR11\work - (No table of contents file) toolbox\local - Preferences. For more help on directory/topic, type "help topic". Nói chung, trong câu lệnh của Matlab có phân biệt chữ hoa và chữ thường. Hầu hết các hàm nội trú của Matlab thường được sử dụng ở d ạng chữ thường. 2.1.3 Sử dụng chế độ trực tiếp hay chế độ M-file trong Matlab? Có th ể sử dụng Matlab theo một trong hai chế độ làm việc khác nhau: gõ lệnh trực tiếp trong cửa sổ Command ho ặc lập trình theo một giải thuật n ào đó. Trong chế độ trực tiếp, ngư ời sử dụng gõ nội dung câu lệnh vào sau dấu mời của Matlab. Sau khi gõ ENTER để kết thúc dòng lệnh, toàn bộ dòng lệnh được Matlab phân tích và thực hiện ngay. Thí dụ 3. >> x =1; >> 4*atan(x) %% atan là tên hàm arctg trong Matlab 27
ans = 3.1416 %% Đợi câu lệnh tiếp theo >> | Dấu chấm phảy (;) ở cuối một câu lệnh dùng để thông báo cho Matlab không hiển thị kết quả của câu lệnh. Trong thí dụ trên, giá trị của biến x không được hiển thị, nhưng giá trị của biểu thức 4*atan(x) được lưu trữ trong biến ans và được hiển th ị trên màn hình dưới dạng số thực dấu phảy tĩnh qui tròn với 5 chữ số có ngh ĩa. Hai câu lệnh trên cũng có th ể đư ợc viết thành một chương trình đơn giản. Bạn h ãy so ạn thảo ra một file kiểu text có tên là Calcpi.m (đ ể tính số ) bằng cách sử dụng một chương trình soạn thảo văn bản (Text Editor) tu ỳ ý, hoặc mở menu file rồi chọn chức năng new hoặc open. Tên file chương trình ph ải có phần mở rộng chuẩn là m (*.m) và cần được lưu trữ vào một thư mục tên có là Work của Matlab. Nội dung của file Calpi.m có thể được viết như sau: % Matlab code to calculate the value of Pi = 3.141592653589793238... % Every line that begins with % is a comment line and will be ignored % by MATLAB x =1; 4* atan(x) Tiếp theo, để thực hiện chương trình b ạn chỉ cần gõ tên của M-file: >> Calcpi Kết quả trả về trên màn hình sẽ là: ans = 3 .1416 Chú ý: nh ững dòng lệnh trong ch ương trình bắt đầu bằng dấu % là những dòng chú thích, chúng sẽ bị chương dịch bỏ qua. Như vậy cấu trúc của một chương trình trong Matlab khá đơn giản. Mỗi chương trình chỉ là một danh sách các dòng lệnh, đư ợc viết liên tiếp. Khi gọi tên 28
chương trình, những dòng lệnh đó lần lượt được thự c hiện theo thứ tự theo danh sách đ ã liệt kê. 2.1.4 Một số biến gán sẵn và hàm nội trú của Matlab Trong Matlab có một số các tên hàm và biến chuẩn. Vì vậy, khi đặt tên M- file và tên biến b ạn nên tránh nh ững tên đó để tránh những xung đột không mong muốn có thể xảy ra. Sau đây là một số tên hàm và biến chuẩn hay được sử dụng: Bảng 2-1 Danh sách một số biến gán sẵn và hàm nội trú của Matlab Tên Ý nghĩa Tên biến chứa kết quả nếu chưa gán kết quả tính cho biến nào ans Số epsilon, số thực đủ nhỏ m à khi thêm eps vào một số thành eps một số khác mà Matlab sẽ phân biệt được nó với số gốc: 2.2204e-016 Số pi:  =3.1415926... pi Số vô cùng, kết quả của phép chia 1/0 inf Not-a-Number, số vô định, kết quả của phép chia 0/0 NaN i (and) j Đơn vị ảo hay 1 Số thực nhỏ nhất biểu diễn được trên MTĐT: 2.2251e-308 realmin Số thực lớn nhất biểu diễn được trên MTĐT: 1.7977e+308 realmax Hàm giá trị tuyệt đối hoặc modul của số phức x abs(x) Hàm arccos(x) acos(x) Hàm arcsin(x) asin(x) Hàm arctg(x) atan(x) Hàm arctg(y/x) atan2(y,x) Hàm tính số liên h ợp của số phức x conj(x) Hàm cos(x) cos(x) Hàm ex exp(x) Phần ảo của số phức x imag(x) 29
Hàm ln(x) log(x) Hàm log2(x) log2(x) Hàm lg(x) log10(x) Hàm lấy phần thực của số phức x real(x) Hàm d ấu của số thực x sign(x) Hàm sin(x) sin(x) sqrt(x) x Hàm Hàm tg(x) tan(x) 2.1.5 Hiển thị dữ liệu trên màn hình Tất cả các biến, kể cả các b iến gán sẵn lẫn các biến do người sử dụng định nghĩa đều có thể được hiển thị trên màn hình theo các đ ịnh dạng khác nhau tùy theo phương án sử dụng câu lệnh FORMAT mới nhất.  Câu lệnh FORMAT Cú pháp: format [ ] Giải thích. Lệnh Format dùng để thay đổi qui cách hiển thị dữ liệu. - Nếu string1 là long : h iển thị kết quả tới 16 chữ số có nghĩa; Nếu là short (giá trị mặc định): hiển thị kết quả với 5 chữ số có nghĩa; Nếu là rat: hiển thị kết quả dạng phân số (giá trị xấp xỉ). - Nếu string2 là e thì hiển thị kết quả kiểu số thực dấu ph ảy động; Nếu là g thì hiển thị kết quả kiểu số thực dấu phảy tĩnh. Nếu mu ốn biết thêm các định dạng khác bạn đọc nên tham khảo cuốn sách “MATLAB manual”. Thí dụ 4. >> 4*atan(1) ans = 3.1416 >> format long e; ans 30
ans = 3.141592653589793e+00 >> format long g ans ans = 3.14159265358979 >> format short e; ans ans = 3.1416e+00 >> format rat ; ans ans = 355/113 2.1.6 Tạo vector và ma trận Một thế mạnh của Matlab là xử lí được vector, ma trận và cả số phức. Vector và ma trận có thể được gán cho các biến theo nhiều cách khác nhau. Cú pháp của lệnh tạo vector cách đều nh ư sau: = [ First : Increment: Last] Lệnh sẽ sinh ra một vector hàng với phần tử đầu là First, ph ần tử cuối là Last và số gia (bước nhảy) là Increment. Mặc định của số gia là 1. Vector này sẽ được gán cho biến . Thí dụ 5. %% Tạo vector hàng >> a = [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10]; % % Tạo vector cột >> b = [ 1 ; 2 ; 3; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10]; % % Vector hàng giống a >> c = [1:10]; % % Vector cột >> d = [1:0.5:5.5]'; % % Vector cùng cỡ với a >> e = sin(a); %% Ma trận cỡ 3 3 >> A=[1 2 3 ; 4 5 6 ; 7 8 9 ]; % % Ma trận cỡ 4 3 >> B = [A; 10 11 12 ]; 31
>> f = [ 0.5:2:10] f= 0.5000 2.5000 4.5000 6.5000 8.5000 2.1.7 Xử lý các phần tử ma trận Trong Matlab các phần tử của một mảng (vector hay ma trận) có thể được xác đ ịnh theo nhiều cách khác nhau. Một cách đơn giản nhất là viết tên ma trận đi kèm với các ch ỉ số h àng và cột của của phần tử cần xử lý. Thí dụ 6. >> A=[1 2 3 ; 4 5 6 ; 7 8 9 ]; >> C = [A; 10 11 12 ]; %% Hiện phần tử hàng 4 cột 2 của ma trận C >> C(4,2) ans = 11 %% Hiện phần tử thứ 8 trong ma trận A >> A(8) ans = 6 Nếu bạn muốn rút trích cả một h àng, một cột hay một ma trận con th ì dùng các câu lệnh nh ư sau: %% Hiện cột thứ 2 của A >> A(:,2) %% Hiện hàng thứ 3 của A >>A(3,:) >> Asub = A(1:2, 2:3) ; >> C=A(:,[2 3]; Thậm chí b ạn có thể rút trích dữ liệu trong các ma trận để “ lắp ghép” với nhau để tạo thành một m a trận mới: >> B =A([3 1 1], :) B= 7 8 9 32
1 2 3 1 2 3 >> E=[A B; B A] E= 1 2 3 7 8 9 4 5 6 1 2 3 7 8 9 1 2 3 7 8 9 1 2 3 1 2 3 4 5 6 1 2 3 7 8 9 2.1.8 Các phép toán trên ma trận Bảng 2-2 Danh sách các phép toán số học trên ma trận Toán tử Ý nghĩa Phép nhân nói chung: Vô h ướng –Vô hướng, Vô hướng -Vector, * Vô hướng- Ma trận, Ma trận – Ma trận . Phép nhân phần tử với phần tử tương ứng. .* Phép lu ỹ thừa. ^ Phép lu ỹ thừa của từng phần tử. .^ Phép chuyển vị ma trận hoặc tính số phức liên hợp. ' Phép chuyển vị ma trận. .' Phép cộng (trừ) ma trận-ma trận, ma trận -vô hướng. + (-) Phép chia phải. / Phép chia phải tương ứng từng phần tử của ma trận . Các ma trận ./ ph ải cùng kích thước. Phép chia trái. \ Phép chia trái tương ứng từng phần tử của ma trận. Các ma trận .\ ph ải cùng kích thước. 33
Khi tính toán với ma trận phải kích thước của chúng phải phù hợp. Nếu không, Mat lab sẽ đưa ra thông báo lỗi. Thí dụ 7. %% Tạo ra một vector cột >> d = [10 :-1.5:5.5]'; >> C = [ 1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]; >> b = [ 10 11 12]; %% Tương tự như b.^2 >> b.*b ans = 100 121 144 >> C*C' ans = 14 32 50 32 77 122 50 122 194 %% Tương tự như C*C >> C^2 ans = 30 36 42 66 81 96 102 126 150 %% Câu lệnh có lỗi kích thước >> C*b ??? Error using ==>* Inner matrix dimensions must agree >> C*b' ans = 68 167 266 %% Bình phương từng phần tử >> C.^2; %% Có kết quả tương tự B= 2\A >> B= C/2; 34
>> a=[1:5}; >>b=[6:10]; >> a.\b ans = 6.0000 3.5000 2.6667 2.2500 2.0000 >> C = [ 1 2 3; 4 5 -6; 7 -8 9]; >> d = [ 10; 11; 12]; %% Giải hệ ph ương trình Cx=d >> C\d ans = 2.2667 1.9333 1.2889 Chú ý: phép nhân ma trận không có tính ch ất giao hoán. Do đó n ếu A và B là 2 ma trận vuông cùng cấp th ì: + C=A/B nghĩa là C=A*B^-1 nghĩa là C= B^-1*A + C=B\A 2.1.9 Các hàm về kích thước vector và ma trận Trong các chương trình của Matlab, các biến không cần khai báo trước. Kiểu và kích thước mỗi biến tùy thu ộc vào dữ liệu thực tế m à nó đang lưu trữ. Do đó, nhiều khi ta cần phải xác định kích thước hiện tại của ma trận để chọn câu lệnh xử lý thích hợp . Chằng hạn như trong điều khiển vòng lặp. Bảng 2-3 Các hàm về kích thước vector và ma trận Hàm Ý nghĩa Số phần tử của vector x hoặc max của số hàng và số cột của ma trận x length(x) Trả về vector 2 chiều gồm số hàng và số cột của ma trận A size(A) Kết quả là : số hàng nếu p =1, số cột nếu p=2 , bằng 1 nếu p>2 size(A,p) 35
Thí dụ 8. >> [ m n ] = size(A) m= 3 n= 4 >> size(A,2) ans = 4 >> size(A,1) ans = 3 >> b=length(A) b= 4 2.1.10 Một số ma trận quen thuộc Bảng 2-4 Một số ma trận quen thuộc Ma trận Ý nghĩa o nes(m,n) Ma trận gồm to àn số 1, cỡ mn zeros(m,n) Ma trận không, cỡ m n eye(m,n) Ma trận đơn vị mở rộng, cỡ m n Ma trận rỗng, tương tự như ones(0,0), zeros(0,0), eye(0,0) [] Thí dụ 9. >> A =ones(3,4) A= 36
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 %% Ma trận đ ơn vị mở rộng >> B=eye(size(A)) B= 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 >> E = eye(4) E= 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 %% Cộng từng phần tử của A với 2 >> A+2 Đối với một số phiên bản đầu tiên của Matlab, khi b ạn sử dụng lệnh này, Matlab sẽ đưa ra thông báo lỗi vì hai ma trận trong biểu thức không cùng kích thước. Với các phiên bản sau, kết quả thực hiện câu lệnh trên sẽ tương tự nh ư: >> A+2*ones(size(A)) ans = 3 4 5 6 7 8 9 10 11 37
2.2 NHỮNG CÂU LỆNH ĐIỀU KHIỂN CHƯƠNG TRÌNH 2.2.1 Các toán tử và hàm quan hệ và logic Bảng 2-5 Danh sách các toán tử quan hệ và logic Toán tử Ý nghĩa So sánh nhỏ hơn < So sánh nhỏ hơn hoặc bằng So sánh lớn hơn ho ặc bằng >= So sánh bằng nhau == So sánh không bằng nhau ~= Toán tử logic Hội & Toán tử logic Tuyển || Toán tử logic Phủ định ~ Khi so sánh 2 số, kết quả đúng là 1 và kết quả sai là 0. Nếu các m a trận so sánh với nhau, thì chúng phải cùng cỡ và việc so sánh thực hiện với từng phần tử tương ứng của hai ma trận và kết quả của phép so sánh là một 0-1 ma trận cùng cỡ với chúng. Thí dụ 10. >> 5~=7 -2 ans = 0 >> A =[ 1 2 3; 3 2 1] ; >>A(1,:) > B = [ 1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]; >>L = ~(B>5) 38
L= 1 1 1 0 1 0 0 0 0 Bảng 2-6 Danh sách một số hàm quan hệ và logic Hàm Ý nghĩa a ny(x) Bằng 1 nếu một phần tử của vector x0, ngược lại bằng 0. a ll(x) Bằng 1 nếu mọi phần tử của vector x 0, ngược lại bằng 0 . find(x) Tạo ra một vector gồm các chỉ số của các phần tử 0 của vector x; nếu x là ma trận thì nó được coi như vector bằng cách nối các cột của ma trận với nhau. Bằng 0 nếu Item không tồn tại; Bằng 1 nếu Item là biến; Bằng 2 exist('Item') n ếu Item là M-file; Bằng 3 nếu Item là một Mex-file; Bằng 4 n ếu Item là file được dịch từ phần mềm Simulink; Bằng 5 nếu Item là tên hàm nội trú của Matlab. Là ma trận cùng cỡ với x có các phần tử là 1 nếu các phần tử finite(x) tương ứng của x là hữu hạn, ngược lại là 0. Là ma trận cùng cỡ với x có các phần tử là 1 nếu các phần tử isnan(x) tương ứng của x là NaN, ngược lại là 0. Bằng 1 nếu x là ma trận rỗng, ngược lại bằng 0. isempty(x) Bằng 1 nếu x là một xâu, ngược lại bằng 0. isstr(x) Bằng 1 nếu 2 xâu x và y giống nhau, ngư ợc lại bằng 0. strcmp(x,y) Hàm logic đối xứng XOR(x,y)= x xor y. Các biến x và y ph ải là xor(x,y) các ma trận cùng cỡ hoặc một trong chúng phải là vô hướng. Kết quả là một 0-1 ma trận cùng cỡ: phần tử của nó là 0 nếu cả 2 phần tử tương ứng của x và y cùng bằng 0 hoặc cùng khác 0. Hàm dấu của x. sign(x) Thí dụ 11. 39
>> exist('A') ans = 1 >> exíst(' Calpi') ans = 2 >> exist(' F') ans = 0 >> B=[ 1 0 3; 4 5 NaN; inf 7 8]; >> isnan(B) ans = 0 0 0 0 0 1 0 0 0 >> A = [ 1 2 3; 4 0 6; 0 0 0]; >> any(A) ans = 1 1 1 >> any(A') ans = 1 1 0 >> all(A) ans = 0 0 0 >> all(A') ans = 1 0 0 40
>> C=[ ]; >> isempty(C) ans = 1 >> find(A) ans = 1 2 4 7 8 >>find(A(:,1)) ans = 1 2 >> find(A(:,2)) ans = 1 >> finite(B) ans = 1 1 1 1 1 0 0 1 1 >> s =' Hello'; isstr(s) ans = 1 >> B =eye(3); >> xor(A,B) 41
ans = 0 1 1 1 1 1 0 0 1 >>xor(B,1) ans = 0 1 1 1 0 1 11 0 >> x=[ 3 -3 0 4]; >> sign(x) ans = 1 -1 0 1 2.2.2 Câu lệnh kiểm tra và quyết định Cú pháp: if [ elseif < Commands-2> ] … [ else < Commands-3> ] end Giải thích. Câu lệnh IF dùng để kiểm tra và rẽ nhánh chương trình dựa vào giá trị của các biểu thức logic. Câu lệnh con: elseif < Commands-2> có thể không có hoặc có m ặt nhiều lần trong cùng một câu lệnh IF. 42
Đầu tiên, Matlab kiểm tra giá trị của biểu thức logic : Nếu nó đúng (hay khác 0) thì thực hiện nhóm lệnh ; Ngược lại, Matlab sẽ lần lượt kiểm tra các biểu thức logic dạng , nếu một biểu thức logic là đúng th ì thực hiện nhóm lệnh tương ứng… hoặc sẽ thực hiện nếu không tìm thấy biểu thức logic n ào cho giá trị đúng. Sơ đồ IF … ELSEIF… ELSE … END if ExpL1 Đ S Commands-1 ExpL2 Đ Đ Commands-2 S Commands-3 end Thí dụ 12. Cài đ ặt ch ương trình giải phương trình bậc 2 tổng quát: A x2 + Bx + C = 0 , với các hệ số A,B,C đ ược nhập từ b àn phím khi chạy ch ương trình. So ạn thảo chương trình GFTB2.m có nội dung: % Giai phuong trinh bac 2 : Ax^2+Bx+C =0 a= input(' He so A = '); b= input(' He so B = '); c= input(' He so C = '); delta = b^2 -4*a*c; if delta >0 43